高等代数中向量空间的度量
高等代数第五章知识点总结
高等代数第五章知识点总结高等代数是数学中的一个重要分支，主要研究代数结构、线性代数、群论等数学领域。
第五章主要涉及线性方程组、矩阵、向量空间、线性变换等知识点。
以下是对这些知识点的总结:1. 线性方程组：线性方程组是一组线性方程的集合，其中每个方程都是一次多项式。
线性方程组的解称为线性方程组的解，可以用矩阵和向量来表示。
2. 矩阵：矩阵是一种特殊的数组，可以表示线性方程组、线性变换和向量空间等数学对象。
矩阵的加法、数乘等运算符合矩阵的定义，并且矩阵具有一些特殊的性质，如行列式、秩等。
3. 向量空间：向量空间是一个线性空间，其中添加了一个标量值域。
向量空间的元素称为向量，向量空间的基和维数是重要概念。
向量空间的加法、数乘等运算符合向量空间的定义。
4. 线性变换：线性变换是一个将一个线性空间映射到另一个线性空间的函数。
线性变换的特征是保持向量空间的加法和数乘运算。
线性变换的矩阵表示是一个方阵，其中每行每列都是一个向量。
5. 特征值和特征向量：特征值和特征向量是两个重要的概念，用于描述矩阵的性质。
矩阵的特征值是指矩阵在乘以某个向量后得到的值，而特征向量是指与特征值相关的向量。
6. 相似矩阵：相似矩阵是指具有相同特征值的矩阵。
相似矩阵之间具有一些相似性质，如行列式、秩等。
相似矩阵可以用来表示线性变换的缩放比例和旋转角度。
7. 克莱默法则：克莱默法则是一个用于求解线性方程组的公式，可以将线性方程组的系数矩阵转换为阶梯形矩阵或行最简矩阵，从而求解线性方程组的解。
8. 特征值分解：特征值分解是将矩阵分解成一组特征向量的乘积，从而求解矩阵的特征值和特征向量。
特征值分解在矩阵的分解和求解中发挥着重要作用。
9. 二次型：二次型是一种特殊的矩阵，其元素是二次多项式。
二次型可以用来表示线性变换的对称矩阵和非对称矩阵，并且具有一些重要的性质，如行列式、秩等。
以上是第五章的主要知识点总结，这些知识点是高等代数中的重要基础，对于理解代数结构、线性代数和群论等数学领域具有重要意义。
大一高代知识点
大一高代知识点高等代数是大一数学课程中的一门重要课程，它是线性代数的延伸和拓展，具有广泛的应用领域。
本文将为大一学生总结高等代数中的一些重要知识点，以帮助他们更好地理解和掌握这门课程。
一、向量空间向量空间是高等代数的基础概念之一。
一个向量空间必须满足以下几个条件：1.封闭性：对于向量空间中的任意向量，其线性组合仍然在该向量空间中。
2.加法交换律和结合律：向量空间中的加法操作满足交换律和结合律。
3.零向量：向量空间中必须存在一个零向量，它与任意向量的加法操作结果为该向量本身。
4.负向量：对于向量空间中的任意向量，它必须存在一个相反向量，使得它们的加法结果为零向量。
5.标量乘法：向量空间中的向量可以与标量进行乘法操作。
二、线性相关与线性无关线性相关和线性无关是判断向量组是否具有独立性的重要概念。
1.线性相关：如果向量组中存在一个非零向量，可以表示为其他向量的线性组合，则称该向量组线性相关。
2.线性无关：如果向量组中的向量不能表示为其他向量的线性组合，则称该向量组线性无关。
三、矩阵与矩阵运算矩阵是高等代数中的另一个核心概念。
矩阵是由数个数按行列顺序排列而成的矩形数组。
矩阵运算包括以下几种：1.矩阵的加法：对应位置元素相加。
2.矩阵的数乘：每个元素乘以一个常数。
3.矩阵的乘法：满足左乘规则和右乘规则。
四、行列式行列式是矩阵的一个重要性质，它是一个标量值。
行列式的定义涉及矩阵的排列和元素的交换，计算行列式可以使用拉普拉斯展开定理或递推法。
五、特征值与特征向量特征值与特征向量是矩阵的另一项重要概念。
1.特征值：一个矩阵的特征值是使得该矩阵与其特征向量相乘得到的结果是特征向量的常数倍。
2.特征向量：一个矩阵的特征向量是在矩阵乘法下保持方向不变或者只伸缩的向量。
六、线性变换与线性方程组线性变换是指在向量空间中进行的保持加法和标量乘法的运算。
线性方程组是线性变换的一种具体表达形式，可以使用矩阵运算进行求解。
七、特殊矩阵在高等代数中还有一些特殊的矩阵：1.单位矩阵：对角线上的元素为1，其他元素为0。
高等代数中空间定义
高等代数中空间定义
在高等代数中，一个空间是指在一定规则下满足一些特定性质的集合。
具体地说，一个空间需要满足以下三个性质：
1. 封闭性：对于空间中的任意两个元素进行某种运算，其结果仍然属于该空间中。
例如，在一个向量空间中，任意两个向量进行线性组合运算后的结果仍然是一个向量。
2. 直和性：空间中的元素可以通过线性组合的方式表示。
也就是说，空间中的任意一个元素都可以被其他元素的线性组合唯一表示。
这个性质表明空间是由一组基向量生成的，这也是向量空间的基础概念。
3. 尺度任意性：对于空间中的任意一个非零元素，我们可以通过对其进行标量乘法运算来获得其他与之平行但尺度不同的向量。
也就是说，空间中的元素具有尺度的任意性。
总之，空间是一个满足封闭性、直和性和尺度任意性三个性质的集合。
常见的空间包括向量空间、矩阵空间、函数空间等。
这些空间在高等代数中都有广泛的应用。
高等代数第二版课件§3[1].2_n维向量空间
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a , a , , a , b 元向量来表示： i 1 i 2 i n i
a ,,, aa , b ,,, bb 向量的相等：如果两个n维向量 1 2 n 1 2 n bi , 1 , 2 , . n 的对应分量都相等，即 a ，则 i i 称这两个向量相等，记为 a b , a b ,, a b 向量的和：向量 称为向量 1 12 2 n n aa ,2 , , a 与 记为 r=α+β。 bb ,2 , , b 1 n 的和， 1 n 0,0 ,0 称为零向量。 零向量：分量全为零的n维向量： 负向量：向量 a , a , , a aa ,2 , , a 称为向量 的负向 1 2 n 1 n 量，记为-α。 a , a , , akF , ，则称向量 向量的数量乘积：设 1 2 n k ak ,a , , k a 为向量α与数k的数量乘积， 1 2 n 记为kα。 向量的减法：α-β=α+（-β）。
如果我们不考虑研究对象的具体性质和内容，只讨论那 些与运算有关的性质，则可以抽象出向量空间的公理化定义。 定义3.2.2：F是一个数域，V是以F中的数为分量的n维 向量组成的全体，考虑上面定义的向量加法和数量乘积。其 加法和数乘分别满足以上四条规律，称V为F上的n维向量空 间，记为 F n 。 由向量的加法和数乘可以推出以下性质: 1、 0 0； 2、 1 ； 3、k 0 0； 4、若 k 0 ,0，则
§3.2
n维向量空间
一、向量空间的定义和例子
向量与向量空间对我们并不陌生，在解几中，我们已经讨 论过二维和三维向量空间中的向量。 在那里，两个向量相加可以按平行四边形法则相加，若向 量用坐标表示，则两个向量相加转化为对应坐标相加，数与向 量相乘变为数与向量的每个坐标相乘，由此可抽象出一般向量 的定义。 定义3.2.1：数域F上一个n维向量就是由F中n个数组成的 ,a , ,a a 有序数组： 1 2 n 其中 a i 称为向量的第i个分量。 几何上的向量是n维向量的特殊情况，虽然n维向量当n>4 时没有直观的几何意义，但仍然把它称为向量。一方面它包含 通常的向量作为其特例，另一方面它与通常的向量有许多共同 的性质。本课程常常用小写希腊字母α,β,γ,…表示向量。有了 x a x a xb 向量，一个方程 a 就可以用一个n+1 i 1 1 i 2 2 i n n i
高等代数06向量空间
其系数 不全为零，故 1, 2, …, s 线性相关.
定理2 如果向量组 1, 2, …, s 中有一部分向量线性相 关，则这 s 个向量也线性相关. 证 不妨设前 r (r<s) 个向量 1, 2, …, r 线性相关，即存在不 全为零的数k1, k2, …, kr 使得 k1 1+k22+ … +kr r= 0 再取 kr+1= kr+2=…= ks= 0, 则有
即 (k1, k2, …, kn) = (0, 0, …, 0)，
所以 k1= k2= …= kn=0, 即 e 1, e 2, …, e n 线性无关.
定义2 设 k1, k2,Байду номын сангаас…, ks R, 1, 2, …, s 是 n 维向 量，若 = k +k +…+k 则称 为向量 1, 2, …, s 的一个线性组合，
证
由矩阵判别法知 e1, e2, …, en 线性无关. 设 = (x1, x2, …, xr ) 为任一 n 维向量, 显然有 = x1 e1+ x2 e2+… + xnen . 所以 可由 e1, e2, …, en 线性表出,即 e1, e2, …, en 是 Rn 的基,从而 dim Rn = n.
命题 6.1.1 在一个向量空间V里，零向量是唯一的；对于V 中每一向量a，a的负向量是由a唯一确定的。
命题 6.1.2 对于任意向量A和数域F中任意数a，我们有
0 A 0, a0 0. a a (a)a aA. aA 0 a 0或A 0。
子空间
定义1 设 V 是一个向量空间，W V, W . 如果 W 关于向 量的加法与数乘也封闭，则称 W 是 V 的子空间.
高等代数-向量空间
（3）若向量组
1
,
2
,
,
是向量空间
r
V
的一
个基，则 V 可表示为
V x 11 22 rr 1 ,,r R
例6 讨论向量空间 V { x (0, x2, 的基与维数.
, xn )T | x2,
, xn R}
解：显然
e2 (0,1, 0, , 0)T e3 (0, 0,1, , 0)T
1 1 1 1 3 0 3 0 2 3 0 3 3 5 5
~ r2 2r1
r3 r1
1 1 1 1 3 0 3 0 2 3 0 3 3 5 5
r2r3~(
3) 3
1 1 1 1 3
0
1
0
2
1
3
0
1
1
5 3
5 3
r2r3~(
3) 3
r1
~
r3
r3 r2
解 V2不是向量空间.
因为若 1,a2 ,,an T V2 , 则2 2,2a2 ,,2an T V2 .
例4 设a,b为两个已知的n维向量，集合
V x a b , R
试判断集合是否为向量空间.
解 V是一个向量空间.因为若x1 1a 1b x2 2a 2b， 则有
x1 x2 (1 2 )a (1 2 )b V ,
1,2, ,n 可由 1,2,
是 Rn 的基.
这n+1个向量线性相关, 且
,n 线性表示, 则 1,2, ,n
定义: 设1,2, ,n是n维向量空间V的基, 对任
一向量 ,有且仅有一组有序数组，x1, x2 , , xn使 x11 x22 xnn
称有序数组 x1, x2 , , xn 为向量 在基 x1, x2 , , xn
高等代数欧氏空间的定义与基本性质
. .. . . ..
欧几里得空间的概念
注 在欧几里得空间的定义中, 对它作为线性空间的维数并无要 求，可以是有限维的，也可以是无限维的. 由内积的对称性可知，内积也满足 右齐次性 (α, kβ) = k(α, β)；
因而我们也称内积满足齐次性、可加性，这两条性质合在一 起称为内积的双线性性. 即内积是实线性空间中的一个正定 对称双线性函数.
. .. . . ..
欧氏空间的度量
由欧氏空间定义中内积的正定性，有 √
(α,
α)
≥
0.
所以对于任意
的向量 α， (α, α) 是有意义的. 在几何空间中，向量的长度为
√ (α, α).
类似地，我们在一般的欧氏空间中引进：
定义 √
非负实数 (α, α) 称为向量 α 的长度，（或称范数，或称模）记 为 |α|.
. .. . . ..
欧几里得空间的概念
注 在欧几里得空间的定义中, 对它作为线性空间的维数并无要 求，可以是有限维的，也可以是无限维的. 由内积的对称性可知，内积也满足
因而我们也称内积满足齐次性、可加性，这两条性质合在一 起称为内积的双线性性. 即内积是实线性空间中的一个正定 对称双线性函数.
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
显然，向量的长度一般是正数，只有零向量的长度才是零，这样 定义的长度符合熟知的性质：
|kα| = |k||α|,
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
. .. . . ..
欧氏空间的度量
这里，k ∈ αR, α ∈ V. 事实上，
√
《高等代数》向量空间1
(a1) f(x)+g(x)= g(x) + f (x), 任给f(x),g(x)F[x].
(a2) [f(x)+g(x)]+h(x)= f(x)+ [g(x) +h(x) ],
任给f(x),g(x),h(x) F[x].
a b ab, k oa ak , a,b R , k R
证明 R 关于给定的运算构成R上的向量空间.
证明：……
注3：运算可以是通常的，可以重新定义的. 如何理解运 算？…… 注4：取数乘为通常的乘法如何？……，向量空间与运算 有关. 注5：证明向量空间需要10条性质，其中：8条是验证， 2条需要解方程求出零向量与负向量.
➢ 向量空间产生有着丰富的数学背景，又在许多领域（包 括数学本身）中有着广泛的应用，例如：线性非常组解 的结构.
➢ 向量空间是我们遇到的第一抽象的代数系统. 所谓代数 系统，就是带有运算的集合.通过本章的学习，初步熟悉 用公理系统处理代数问题的思维方法、逻辑推理的方法.
§6.1 向量空间的定义和例子
有A(aX ) a( AX ),即aX VA,0 。故 VA,0 对于F n 的两种
运算封闭，VA,0 是向量空间 F n 的一个子空间。
（2）可以知道，在β≠0 的时候， V不A, 一定是 F的n
子空间。因为对任何
X ,Y
V
，都有A
A,
(X
+
Y)
=
AX +AY =β+β≠β,故 VA, 对 F n的加法不封闭。
第6章 向量空间
6.1 向量空间的定义和例子 6.2 子空间 6.3 向量的线性相关 6.4 基和维数 6.5 坐标 6.6 向量空间的同构 6.7 矩阵的秩 齐次线性方程组的解空间
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高等代数中向量空间的度量
――《高等代数》教学模块之四
报告人：庄瓦金教授
一． 教学模块
[1] 丘维声，高等代数学习指导书（上册），清华大学出版社，2005.7
线性方程组和n 元有序数组的向量空间，矩阵的运算及矩阵的相抵，相似，合同分类（含二次型）一元和多元多项式环，域上向量空间及其线性映射；具有度量的线性空间。
…
[2] А.И.Мальцев,线性代数基础；柯召译，人教社，1957.7（俄文，1956年第二版）：
线性代数的研究对象：矩阵，向量空间，代数型（型论：线性型，双线性型，二次型以及多重线性型）
二． 关于二次型
1． 教学价值――n 维Enclid 空间的度量
2． 教材处理
三． 关于双线性型
:F m n f V W ⨯→维维
'(,f X AY αβαβ（，））＝,((,))m n A f αβ⨯= [3]姚慕生 高等代数学，复旦大学出版社，2005.3
1.教材处理
[3]⎧⎨⎩优：较一般化缺：不大区分双线性函数与双线性型
2.应用⎧⎨⎩
正交矩阵辛空间 四．关于教学要求
五．今后想法
1．做细省精品课程
2．整理教学成果。