用导数研究函数的恒成立与存在性问题 答案

用导数研究函数的恒成立与存在问题

1．已知函数23()2ln x

f x x x a

=

-+，其中a 为常数． （1）若1a =，求函数()f x 的单调区间； （2）若函数()f x 在区间[1,2]上为单调函数，求a 的取值范围．

2．已知函数3

2

()4()f x x ax a R =-+-∈，'()f x 是()f x 的导函数。

（1）当2a =时，对于任意的[1,1]m ∈-，[1,1]n ∈-，求()()f m f n '+的最小值； （2）若存在0(0,)x ∈+∞，使0()f x ＞0，求a 的取值范围。

3．已知函数x ax x f ln )(+= )(R a ∈.

（1）若2=a ，求曲线)(x f y =在点1x =处的切线方程； （2）求)(x f 的单调区间；

（3）设22)(2

+-=x x x g ，若对任意1(0,)x ∈+∞，均存在[]1,02∈x ，使得)()(21x g x f <，

求实数a 的取值范围.

4．（2016届惠州二模）已知函数()22ln f x x x =-+． （Ⅰ）求函数()f x 的最大值； （Ⅱ）若函数()f x 与()a

g x x x

=+

有相同极值点． ①求实数a 的值；

②对121,,3x x e ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦

(e 为自然对数的底数)，不等式

()()

1211

f x

g x k -≤-恒成立，求实数k 的取值范围．

5．已知函数2

12

()()ln ()f x a x x a R =-+∈．

（1）当1a =时，01[,]x e ∃∈使不等式0()f x m ≤，求实数m 的取值范围；

（2）若在区间1(,)+∞，函数()f x 的图象恒在直线2y ax =的下方，求实数a 的取值范围．

用导数研究函数的恒成立与存在问题 答案

1．解：(1)若a ＝1，则f (x )＝3x －2x 2＋ln x ，定义域为(0，＋∞)，

f ′(x )＝1

x －4x ＋3＝－4x 2＋3x ＋1x ＝－(4x ＋1)(x －1)x (x ＞0)．

当x ∈(0,1)时，f ′(x )＞0，函数f (x )＝3x －2x 2＋ln x 单调递增． 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＜0，函数f (x )＝3x －2x 2＋ln x 单调递减， 即f (x )的单调增区间为(0,1)，单调减区间为(1，＋∞)． (2)f ′(x )＝3a －4x ＋1

x .

若函数f (x )在区间[1,2]上为单调函数，

即在[1,2]上，f ′(x )＝3a －4x ＋1x ≥0或f ′(x )＝3a －4x ＋1

x

≤0，

即3a －4x ＋1x ≥0或3a －4x ＋1

x ≤0在[1,2]上恒成立． 即3a ≥4x －1x 或3a ≤4x －1x

. 令h (x )＝4x －1

x

，因为函数h (x )在[1,2]上单调递增，

所以3a ≥h (2)或3a ≤h (1)，即3a ≥152或3

a

≤3，

解得a ＜0或0＜a ≤2

5

或a ≥1.

故a 的取值范围是(－∞，0)∪(0，2

5

]∪[1，＋∞)．

2. 解：（1）由题意知.43)(',42)(2

2

3

x x x f x x x f +-=-+-=令.3

4

0,0)('或得==x x f

当x 在[-1，1]上变化时，)(),('x f x f 随x 的变化情况如下表：

)(],1,1[m f m -∈∴对于的最小值为,4)0(-=f

x x x f 43)('2+-=Θ的对称轴为32

=

x ，

且抛物线开口向下, )('],1,1[n f n -∈∴对于的最小值为.7)1('-=-f

)(')(n f m f +∴的最小值为-11.

（2）)32(3)('a x x x f -

-=Θ.

①若0)(',0,0<>≤x f x a 时当, [)+∞∴,0)(在x f 上单调递减，又.4)(,0,4)0(-<>-=x f x f 时则当

.0)(,0,000>>≤∴x f x a 使不存在时当

②若,0)(',320,0><

<>x f a x a 时则当当.0)(',3

2<>x f a x 时 从而⎥⎦⎤

⎝⎛32,0)(在x f 上单调递增，在⎪⎭

⎫

⎢⎣⎡+∞,32a

上单调递减，

494278)32()(),0(33max

-+-==+∞∈∴a a a f x f x 时，当，则.3,27,0427

433

>>>-a a a 解得即

综上，a 的取值范围是).,3(+∞ (或由020

004

,0)(,0x x a x f x +>

>>得,用两种方法可解) 3． 解：（1）由已知1

20()()f x x x

'=+

>， 1213()f '=+=， 故曲线()y f x =在1x =处切线的斜率为3 而12()f =，所以切点为12(,)，)(x f y =在点1x =处的切线方程为 31y x =-

（2）110()()ax f x a x x x

+'=+

=> ①当0a ≥时，由于0x >，故10ax +>，所以0()f x '>，()f x 的单调递增区间为0(,)+∞.

②当0a <时，由0()f x '=，得1x a =-

. 在区间10(,)a

-上，0()f x '>，在区间1

(,)a -+∞上0()f x '<，

所以，函数

的单调递增区间为1

0(,)a -，单调递减区间为1

(,)a

-

+∞.