第五章动态规划
第五章 动态规划建模与求解作业题解答
2.（2）某公司从事某种商品的经营，现欲制定本年度10月至12月的进货及销售计划。
已知该种商品的初始库存量为2000件，公司库存最多可存放该种商品10000件。
公司拥有的经营资金为80万元，据预测，10月至12月的进货及销售价格如表5.29所示。
若每个月在1号进货1次，且要求年底时商品的库存量达到3000件。
在以上条件下，问如何安排进货及销售计划，使公司获得最大利润？解：（0）阶段划分：按月份划分阶段，阶段变量 k =1,2,3。
（1）条件1：状态及状态变量用k x 表示k 阶段的库存量，12000x =件, 43000x =，最大库存量M ＝10000件。
0≤k 阶段的库存量≤M, 所以状态可能集：0k x M ≤≤ （2）条件2：决策及决策变量设k u ，k v 是k 阶段的进货量和销售量， 全部流动资金＝800000＋上一阶段的盈利 ＝800000元＋2,111,11()k k k k P v P u ----- 其中1,1k P -，2,1k P -是k －1阶段的进货价格和销售价格；1k u -，1k v -是k －1阶段的进货量和销售量（000,0u v ==）； 1,k P ，2,k P 是k 阶段的进货价格和销售价格（见数据表）。
则：12,1,01,800000()0min{,}k m m m m m k k kP v P u u M x P -=+-≤≤-∑， 0k k k v x u ≤≤+。
（3）条件3：状态转移方程1k k k k x x u v +=+-（k 阶段的库存量＋k 阶段的进货量－k 阶段的销售量）（4）阶段效应和目标函数 2,1,k k k k k r P v P u =- 31kk R r==∑（5）动态规划的基本方程2,1,11,44()max{()}()0k kk k k k k k k k u v f x P v P u f x f x ++=-+⎧⎪⎨=⎪⎩2.（4）某公司计划用100万元对其三个分厂进行投资，三个分厂的投资方式各不相同，其投资和收。
运筹学第三版课后习题答案 (2)
运筹学第三版课后习题答案第一章：引论1.1 课后习题习题1a)运筹学是一门应用数学的学科，旨在解决实际问题中的决策和优化问题。
它包括数学模型的建立、问题求解方法的设计等方面。
b)运筹学可以应用于各个领域，如物流管理、生产计划、流程优化等。
它可以帮助组织提高效率、降低成本、优化资源分配等。
c)运筹学主要包括线性规划、整数规划、指派问题等方法。
习题2运筹学的应用可以帮助组织提高效率、降低成本、优化资源分配等。
它可以帮助制定最佳的生产计划，优化供应链管理，提高运输效率等。
运筹学方法的应用还可以帮助解决紧急情况下的应急调度问题，优化医疗资源分配等。
1.2 课后习题习题1运筹学方法可以应用于各个领域，如物流管理、生产计划、供应链管理、流程优化等。
在物流管理中，可以使用运筹学方法优化仓储和运输的布局，提高货物的运输效率。
在生产计划中，可以使用运筹学方法优化产品的生产数量和生产周期，降低生产成本。
在供应链管理中，可以使用运筹学方法优化订单配送和库存管理，提高供应链的效率。
在流程优化中，可以使用运筹学方法优化业务流程，提高整体效率。
习题2在物流管理中，可以使用运筹学方法优化车辆的调度和路线规划，以提高运输效率和降低成本。
在生产计划中，可以使用运筹学方法优化生产线的安排和产品的生产量，以降低生产成本和提高产能利用率。
在供应链管理中，可以使用运筹学方法优化供应链各个环节的协调和调度，以提高整体效率和减少库存成本。
在流程优化中，可以使用运筹学方法优化业务流程的排布和资源的分配，以提高流程效率和客户满意度。
第二章：线性规划基础2.1 课后习题习题1线性规划是一种数学优化方法，用于解决包含线性约束和线性目标函数的优化问题。
其一般形式为：max c^T*xs.t. Ax <= bx >= 0其中，c是目标函数的系数向量，x是决策变量向量，A是约束矩阵，b是约束向量。
习题2使用线性规划方法可以解决许多实际问题，如生产计划、供应链管理、资源分配等。
运筹学教程 胡运权 第5版
运筹学教程胡运权第5版1. 简介《运筹学教程》是一本经典的运筹学教材，由胡运权教授编写，已经出版了第5版。
本教程旨在介绍运筹学的基本概念、方法和应用，帮助读者掌握运筹学的基本原理和技巧。
2. 内容概述本教程分为十个章节，涵盖了运筹学的主要内容。
第一章：运筹学概述本章介绍了运筹学的基本概念和发展历程，阐述了运筹学在现代管理决策中的重要作用。
第二章：线性规划本章介绍线性规划的基本概念、模型和求解方法，包括单纯形法和对偶理论等内容。
第三章：整数规划本章介绍整数规划的基本概念和求解方法，包括分枝定界法和割平面法等内容。
第四章：非线性规划本章介绍非线性规划的基本概念和求解方法，包括梯度法和牛顿法等内容。
第五章：动态规划本章介绍动态规划的基本概念和求解方法，包括最优子结构和状态转移方程等内容。
第六章：网络优化本章介绍网络优化的基本概念和求解方法，包括最小生成树和最短路问题等内容。
第七章：多目标规划本章介绍多目标规划的基本概念和求解方法，包括帕累托最优解和权衡法等内容。
第八章：排队论本章介绍排队论的基本概念和模型，包括利用泊松分布和指数分布建模等内容。
第九章：库存管理本章介绍库存管理的基本概念和模型，包括经济订货量和安全库存等内容。
第十章：决策分析本章介绍决策分析的基本概念和方法，包括决策树和期望值法等内容。
3. 学习目标通过学习本教程，读者可以掌握以下技能：•理解运筹学的基本概念和方法；•掌握线性规划、整数规划、非线性规划等方法的应用；•学会运用动态规划、网络优化、多目标规划等方法解决实际问题；•掌握排队论、库存管理、决策分析等方法的应用。
4. 使用说明读者可以将本教程作为自学资料，按照章节顺序逐步学习。
每个章节都包括基本概念的讲解、求解方法的介绍和案例分析。
在阅读本教程时，读者可以使用Markdown文本格式进行标注和整理笔记。
Markdown具有简单易学、格式清晰的特点，适合用于文档编写和批注。
5. 结语《运筹学教程》是一本经典的运筹学教材，适合作为运筹学的入门教材或者参考资料。
《运筹学》第五章汇总
第五章刼态规刻(Dynamic programming) 研究多阶段决策问题R.E.Bellman 1951年提出动态规划。
1957年出版Dynamic Programming应用：最优调度、资源分配最优路径、最优控制设备更新、库存问题§ 2•多卧段决策问龜例.某产品从A城运至F城，其间要经过若干个城镇和若干条道路，路线结构如图所示, 图中给出了每段道路的运费（元），试选择一条合理的运输路线，使总运费最小？分析：力案①：A-Bl-Cl-El-F运费：26元方案②：A->B3->C3-E3-F 运费:22元方案③：A->B2->Cl->E2->F 运费:18元锻优方案：方案③§ 3•基本概念1 •阶段和阶段变量壬尸"〜阶段：过程的划分，包括时间、空间的划分，阶段数:n阶段变量：描述阶段的变量用£表示，&1,2,.•…,n2 •状态和状态变量状态：描述过程的必要信息。
状态应具仃无后效性：若给定了某阶段状态，则在这阶段以后过程的发展不受这阶段以前各阶段状态的影响.状态变量：描述状态的变量，用s表示。
»:表示第阶段的状态变量S A :表示第阶段状态变量篠合Sk e Sk如£[ = 4 = S],52 = B\ e S2 = {B[,82,83}53 = {C],C2,C3} , S4 = {Ex£"2,E3}S4+l={F} = F决策：决定（选择），从一个阶段的状态到下一个阶段状态的选择。
'决策变量：描述决策的变量，月U表示. u k=u k（s k）表示第邓介段处于》的决策变量D k = Dg表示第郊介段处于时决策变量的集合心wDg如》2（31）= {w2（^l）=G，W2（^I）=%2（B]）= C] W Z）2（B1）4 •策略策略：决策按顺序构成的序列，用卩表示。
第五章 物流运筹学——动态规划
的单件重量和装载收费如表5-1所示，又规 由于它表示了由 段到 段的状态转移
因此，在物流管理中，如何进行决策，制定一个最优的设备维护更新策略，是非常重要的。
第三节 动态规划模型的建立与求解
定货物2和货物3都至多装两件。问如何装 但假设初始状态虽已给定，终点状态有多个，需比较到达不同终点状态的各个路径及最优指标函数值，以选取总效益最正确的终点状
3
• 【例5-1】〔生产与存储问题〕工厂在3个季度中
• 安排某种产品的生产方案。假设该季度生产此
种产x
x2
• 品 〔吨〕，那么本钱为 元。假设当季
生产的
• 每吨产品未销售a k 掉，那么进库，季末需付存储费，
• 产品每季的存储费为1元。现估计3个季度对该 产
• 品的需求量 分别为100吨，110吨和120吨，
3
j 仪器
1
2
3
10
9
14
9
12
10
6
5
8
7
• 【例5-4】〔机器负荷问题〕设某机器可以在高、
• 低两种不同的负荷下进行生产。假设年初x 有 台
• 机器在高负荷下进行生产，那么产品年a产 8x
量
，
0.3
y
• 机器的年折损率
低
0.1
；假设年b 初5有y 台机器在
• 负荷下进行生产，那么产品年产量
，机器
的
• 年折损率
。假设初始时有性能正常的机器
1000
• 台，要求制定机器负荷的四年分配方案，确定每
年
8
A
动态规划写课程设计
动态规划写课程设计一、课程目标知识目标：1. 学生能理解动态规划的概念、原理和应用场景。
2. 学生能掌握动态规划问题的解题步骤，包括状态定义、状态转移方程、边界条件等。
3. 学生能运用动态规划解决经典问题，如背包问题、最长递增子序列等。
技能目标：1. 学生能够运用动态规划的思想分析问题，提高问题求解的效率。
2. 学生能够运用编程语言实现动态规划的算法，解决实际问题。
3. 学生能够通过动态规划的实践，培养逻辑思维和编程能力。
情感态度价值观目标：1. 学生通过学习动态规划，培养面对复杂问题时的耐心和毅力。
2. 学生在学习过程中，学会与他人合作、交流，培养团队协作精神。
3. 学生能够认识到算法在生活中的广泛应用，激发对计算机科学的兴趣和热爱。
课程性质：本课程为计算机科学或信息技术相关专业的核心课程，旨在培养学生解决实际问题的能力。
学生特点：学生已具备一定的编程基础和算法知识，具有一定的逻辑思维能力。
教学要求：教师需结合实际案例，引导学生掌握动态规划的核心思想，注重理论与实践相结合，提高学生的实际操作能力。
同时，关注学生的情感态度价值观的培养，激发学生的学习兴趣。
在教学过程中，将课程目标分解为具体的学习成果，便于教学设计和评估。
二、教学内容1. 动态规划基本概念：介绍动态规划的定义、特点和应用场景，使学生了解动态规划的核心思想。
教材章节：第二章 动态规划基础内容列举：动态规划的定义、动态规划与分治、贪心算法的关系、动态规划的应用场景。
2. 动态规划解题步骤：讲解动态规划问题的解题方法，包括状态定义、状态转移方程、边界条件等。
教材章节：第二章 动态规划基础内容列举：状态定义、状态转移方程、边界条件、动态规划算法的设计方法。
3. 经典动态规划问题：通过分析经典问题，使学生掌握动态规划的应用。
教材章节：第三章 动态规划经典问题内容列举：背包问题、最长递增子序列、最长公共子序列、矩阵链乘、最优二叉搜索树。
4. 动态规划实践：结合编程实践，让学生动手解决实际问题，提高动态规划的应用能力。
清华大学《运筹学》教材相应的授课文档.第五章
= opt v k ( s k , u k ) + opt V k +1, n ( s k +1 , p k +1, n ) uk p k +1, n = opt {v k ( s k , u k ) + f k +1 ( s k +1 ) }
uk
* p k , n 表示 s k → s n的最优策略 , 则最优值函数
4.策略 策略:决策按顺序构成的序列,用p表示.
p k ,n ( sk ) : 第 k阶段起至第 n阶段止的策略 p k ,n ( s k ) = {u k ( sk ), u k +1 ( sk +1 )... , u n ( sn )} Pk ,n ( sk ) : 第 k阶段起至第 n阶段止的策略 p k ,n ( s k ) ∈ Pk ,n ( sk ) 当 k = 1时. p1,n ( s1 )为全过程策略 . p1,n ( s1 ) ∈ P ,n ( s1 ) 1
解:阶段n = 3, k = 1,2,3 s1 = A, s 2 = {B1 , B2 , B3}, s3 = {C1 , C2 }s4 = E u k = uk ( sk ) vk = vk ( sk , uk ) → 阶段运费 f k ( sk ) = min {vk ( sk , uk ) + f k +1 ( sk +1 )} k = 1,2,3 u ( k )∈Dk f 3+1 ( s3+1 ) = f 4 ( E ) = 0
4.2基本方程 设指标函数为 n
Vk ,n =
∑ v j ( s j , u j ) = v k ( s k , u k ) + V k + 1, n
运筹学-第3版-课件-第5章 动态规划
C1
2
1 2 2 3
D1 D2
3
2
A
B2
5
C2
6
E
4
2
B3
C3
3
D3
同样的理由，可以递推得其余阶段的铺设路线，如阶 段3在C1点的决策是D1，阶段4在D1点的决策只有E点； 由于到E点是整个铺设管道的终点，至此，决策过程完成， 铺设一条A点到E点的管道是由四个阶段的管道组成的， 如A---B3---C1---D1---E，它也称为一个策略。
B
阶段2
C
阶段3
D
阶段4
E
5
B1
4 4
6
3 6
C1
2
1 2
2
D1 D2 D3
3 4
2
A
B2
5
C2
6
E
2
3
B3
C3
3
在阶段2，从B3点出发，只有C1、C3两种可 选择的点， 如选C1,则C1就是阶段2在B3点的决策结果； C1点既是阶段2铺设管道的终点，又是阶段3 铺设管道的起点；
5
B1
4 4
6 3 6
使S= f ( xi ) 16 u j =
i 1 6 t
f ( x ) 16(5x
为最小，其中
i 1 i
6
j 1
1
4 x2 3x3 2 x4 x5 185)
100xi ,0 xi 15 f ( xi ) 120xi 300,15 < xi 30
第5章 动态规划
运 筹 帷 幄 之 中 Dynamic Programming
决 胜 千 里 之 外
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v1 v1 0
v2 8
v3 5
v4 6
v2
v3 v4
6
7 9
0
9 7
8
0 8
5
5 0
f 0 (v4 , ) d 41 9
1 旅行售货员问题
f 2 (v2 , v3 , v4 ) min d 23 f1 (v 3 , v 4 ), d 24 f1 (v4 , v3 ) 20 f 2 (v3 , v2 , v4 ) min d 32 f1 (v2 , v4 ), d 34 f1 (v4 , v2 ) 18 f 2 (v4 , v2 , v3 ) min d 42 f1 (v2 , v3 ), d 43 f1 (v3 , v2 ) 22
v j V
f 0 (vi , ) d i 1
已经经过了全部的点， 现在处在vi点，回到v1 点的最短路程。
k 1, 2, ..., n
当还有k-1个点还没有 经过时，现在处在vj 点，回到v1点的最短 路程。
2 多阶段资源分配问题
共有数量x的某种资源，投入两种生产方式A和B: 以y投入生产方式A,得到收入g(y),资源的回收率a,则回收ay; 以x-y投入生产方式B,得到收入h(x-y),资源的回收率为b,则回 收b(x-y);
1 旅行售货员问题
f 0 (v2 , ) d 21 6 f 0 (v3 , ) d 31 7
f1 ( v 2 , v 3 ) d 23 f 0 ( v 3 , ) 15 f1 ( v 2 , v4 ) d 24 f 0 ( v4 , ) 14 f1 ( v 3 , v 2 ) d 32 f 0 ( v 2 , ) 15 f1 ( v 3 , v4 ) d 34 f 0 ( v4 , ) 14 f1 ( v4 , v 2 ) d 42 f 0 ( v 2 , ) 13 f1 ( v4 , v 3 ) d 43 f 0 ( v 3 , ) 15
2 多阶段资源分配问题
k=1时，f1(x)表示拥有资源x再进行1个阶段生产的最大 总收入。即：f1 ( x ) max{ g( y ) h( x y )}
0 y x
k=2时，f2(x)表示拥有资源x再进行2个阶段生产的最大 总收入。 根据最优化原理，第二个阶段的最大收入是f1(x1),即 f1(ax+b(x-y)),所以两个阶段的总的最大收入为：
u 5 x 4 x
i 1 i 1
5
2
3 x3 2 x4 x5 185
1 多阶段决策问题实例（4）
有一个系统，可以分成若干个阶段，任一个阶段k系统的状态可以 用xk表示。在每一阶段k的每一状态xk都有一个决策集合Qk(xk),在决 策集合Qk(xk)中选定一个决策qk∈ Qk(xk),状态xk就转移到新的状态 xk+1=Tk(xk,qk)，并且得到收益Rk (xk,qk)阶段。我们的目的就是在每一 个阶段都在它的决策集合中选择一个决策，使得所有阶段的总效 益∑Rk (xk,qk)达到最优。称之为多阶段决策问题。 多阶段决策问题的基本要素：阶段数、状态变量、决策变量、状 态转移方程、目标函数等。
1 多阶段决策问题实例（2）
今有1000台机床，要投放到两个生产部门，计划连续使用5年， 已知对A部门投入uA台机器的年收益为g(uA )=uA2机器完好率 a=0.8；相应的B部门分别为h(uB )=2uA2 ，机器完好率b=0.4。 试建立5年间总收益最大的机器分配方案。
1 多阶段决策问题实例（2）
1 递推法求解最短线路问题
A1 2 3 6 5 A0 3 B1 87 16 A2 6 8 B2 3 5 C2 3 D2 3 A3 2 2 B3 1 2 C33 3 A4 3 5 B45 2 A5
4
A6
8 4
6 C4 6
B5 3
2 最优化原理
A1 2 3 6 5 A0 3 B1 87 16 A2 6 8 B2 3 5 C2 3 D2 3 A3 2 2 B3 1 2 C33 3 A4 3 5 B45 2 A5
v2 到v4的距离
1 旅行售货员问题
问题特征： 由于走过的点不需要再走，所以在每一个点的决策集合 和以前的决策有关； (vi,V)表示状态，其中vi表示所处的点， V是还没有经过 的点的集合； 当从V中选取一个决策vj,获得的收益是vi到vj的距离dij,并 且转入下一个状态(vj,V\{vj}); fk(vi,V)表示从vi出发，经过V中的点各一次，最后回到v0 点的最短路程，其中V中的点的数量为k;
日夜生产的总产量限制
0 xi 30, u j 0, i 1...6, j 1...5
6 5 min f ( xi ) 16 ui i1 i 1 s .t . x1 5 u1 , x2 u1 5 u2 x3 u2 10 u3 , x4 u3 30 u4 x5 u4 50 u2 , x6 u5 8 0 xi 30,u j 0,i 1...6, j 1...5 0 xi 15 其中： 100 xi f ( xi ) 120 xi 300 15 xi 30
2 多阶段决策问题分类
根据阶段数划分： 有限阶段决策问题，无限阶段决策问题； 根据变量取值情况划分： 连续多阶段决策问题，离散多阶段决策问题； 根据阶段个数是否明确划分： 定期多阶段决策问题，不定期多阶段决策问题；
根据参数取值情况划分：
确定多阶段决策问题，不确定多阶段决策问题。
§5.2 最优化原理
2 多阶段资源分配问题
问题的数学模型为：
max s .t .
g ( y ) h( x y ) ... g ( yn1 ) h( xn1 yn1 ) x1 ay b( x y ) x2 ay1 b( x1 y1 ) ... xn1 ayn2 b( xn2 yn2 ) 0 y x ,0 yi xi .i 1,2,...n 1
递推法求解最短线路问题 最优化原理
1 递推法求解最短线路问题
3 2 B1 1 3 C1 1
A
4 B2
2
3 1
C2
4 C3
3
D
f1 ( s ) d ( s , D ) f k ( s ) min{d ( s, xk ( s )) f k 1 ( xk ( s ))}
xk ( s )
f 2 ( x ) max{ g( y ) h( x y ) f1 (ay b( x y ))}
0 y x
两个阶段的最大总收入
第二阶段的最大收入
2 多阶段资源分配问题
得到如下的递推式：
f1 ( x ) max{ g( y ) h( x y )}
0 y x
第一阶段结束后，得到的总收入为g(y)+h(x-y),回收的总资源 为x1=ay+b(x-y);
以数量y1和x1-y1分别再投入生产方式A和B,则第二阶段可得 到总收入g(y1)+h(x1-y1);回收总资源x2=ay1+b(x1-y1); 两阶段的总收入为g(y)+h(x-y)+ g(y1)+h(x1-y1)； 以上过程重复n个阶段，希望求出合适的y,y1,…yn-1,使得 n个 阶段的总收入最大；
问题的数学模型为： max g( y1 ) h( x1 y1 ) ... g( y5 ) h( x5 y5 ) s .t . x1 1000 x2 ay1 b( x1 y1 ) x3 ay2 b( x2 y2 ) x4 ay3 b( x3 y3 ) x5 ay4 b( x4 y4 ) 0 yi xi .i 1, 2, ...5
运筹 帷幄之中
决胜 千里之外
运 筹 学
主讲教师
赵玉英
62338357(O) yuyingzhao@
北京林业大学理学院
第5章 动态规划
多阶段决策问题 最优化原理 确定性的定期多阶段决策问题
§5.1 多阶段决策问题
多阶段决策问题实例 多阶段决策问题的分类
1 多阶段决策问题实例（1）
从A 地到D 地要铺设一条煤气管道,其中需经过两级中间站，两 点之间的连线上的数字表示距离，如图所示。问应该选择什么 路线，使总距离最短？ 3 C1 1 B1 3 2 1 3 A 2 C2 D 3 4 B2 4 1 C3
状态x1 决策 阶段1
行程1
状态x2
决策 阶段2
行程2
状态x3
决策
阶段3
行程3
状态x4
d12 f 2 ( v 2 , v 3 , v4 ) f 3 ( v1 , v 2 , v 3 , v4 ) min d13 f 2 ( v 3 , v 2 , v4 ) 23 d14 f 2 ( v4 , v 2 , v3 )
旅行售货员问题 多阶段资源分配问题
1 旅行售货员问题
某网络共有4个顶点，已知各个顶点之间的路程dij如下表，求从v1 出发经过v2 v3 v4各一次，再返回到v1的最短路程和最短线路。
v1 v2 v3 v4
v4 到v2的距离
v1 0 6 7 9
v2 8 0 9 7
v3 5 8 0 8
v4 6 5 5 0
f k ( x ) max{ g( y ) h( x y ) f k 1 (ay b( x y ))},k 2
0 y x
进行k个阶段的最大总收入
所以最优路线为v1 v3 v4 v2 v1，路长为23。
v1 v1 v2 v3 v4 0 6 7 9 v2 8 0 9 7 v3 5 8 0 8 v4 6 5 5 0