最新华东师大版九年级数学下册第26章 二次函数 单元测试题(附答案)

华东师大版九年级数学下册第26章 二次函数 单元测试题
(时间：100分钟 满分：100分)
一、选择题(每小题4分，共32分)
1.二次函数y ＝(x －2)2
＋7的顶点坐标是(B)
A.(－2，7)
B.(2，7)
C.(－2，－7)
D.(2，－7)
2.下列各点不在抛物线y ＝－x 2＋4x －1上的是(B)
A.(－2，－13)
B.(－1，－4)
C.(－1，－6)
D.(2，3)
3.二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图象上有两点(3，4)和(－5，4)，则此拋物线的对称轴是直线(A)
A.x ＝－1
B.x ＝1
C.x ＝2
D.x ＝3
4.顶点为(－5，0)，且开口方向、形状与函数y ＝－13
x 2的图象相同的抛物线是(C) A.y ＝13(x －5)2 B.y ＝－13
x 2－5 C.y ＝－13(x ＋5)2 D.y ＝13
(x ＋5)2 5.已知二次函数y ＝a(x －1)2＋2，当x ＜1时，y 随x 的增大而增大，则a 的取值范围是(B)
A.a ＞0
B.a ＜0
C.a≥0
D.a≤0
6.对于函数y ＝－2(x －m)2－1的图象，下列说法中不正确的是(D)
A.开口方向向下
B.对称轴是直线x ＝m
C.最大值是－1
D.与y 轴不相交
7.若二次函数y ＝x 2＋2x ＋kb ＋1的图象与x 轴有两个交点，则一次函数y ＝kx ＋b 的大致图象可能是(A)
8.如图，一段抛物线：y ＝－x(x －2)(0≤x≤2)记为C 1，它与x 轴交于两点O ，A 1.将C 1绕A 1旋转180°得到C 2，交x 轴于A 2；将C 2绕A 2旋转180°得到C 3，交x 轴于A 3；…，如此进行下去，得到C n .若点P(2 019，m)在抛物线C n 上，
则m 为(A)
A.－1
B.1
C.2
D.3
二、填空题(每小题5分，共25分)
9.二次函数y ＝x 2
－4x ＋2的最小值为－2.
10.请写出一个开口向上，并且与y 轴交于点(0，1)的抛物线的函数表达式：y ＝x 2＋1(答案不唯一).
11.已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a ＞0)过A(－2，0)，O(0，0)，B(－3，y 1)，C(3，y 2)四点，则y 1与y 2的大小关系是y 1＜y 2.
12.如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成.长方形的长为12 m ，宽为5 m ，抛物线的最高点C 离路面AA 1的距离
为8 m ，过AA 1的中点O 建立如图所示的平面直角坐标系，则该抛物线的函数表达式为y ＝－112x 2＋8.
13.在平面直角坐标系xOy 中，若抛物线y ＝ax 2上的两点A ，B 满足OA ＝OB ，且tan∠OAB＝12
，则称线段AB 为该抛物线的通径.那么抛物线y ＝12x 2的通径长为2.
三、解答题(共43分)
14.(9分)已知抛物线y ＝－2x 2
－4x ＋1.
(1)求这个抛物线的对称轴和顶点坐标；
(2)将这个抛物线平移，使顶点移到点P(2，0)的位置，写出所得新抛物线的表达式和平移的过程.
解：(1)y ＝－2x 2－4x ＋1＝－2(x 2＋2x ＋1)＋2＋1＝－2(x ＋1)2＋3，
∴对称轴是直线x＝－1，顶点坐标为(－1，3).
(2)∵新顶点坐标为P(2，0)，
∴新抛物线的表达式为y＝－2(x－2)2.
∴平移过程为向右平移3个单位长度，向下平移3个单位长度.
15.(10分)已知抛物线y＝mx2－2mx－3.
(1)若抛物线的顶点的纵坐标是－2，求此时m的值；
(2)已知当m≠0时，无论m为其他何值，每一条抛物线都经过坐标系中的两个定点，求出这两个定点的坐标. 解：(1)∵y＝mx2－2mx－3＝m(x－1)2－m－3，抛物线的顶点的纵坐标是－2，
∴－m－3＝－2，解得m＝－1，
即m的值是－1.
(2)∵当m≠0时，无论m为其他何值，每一条抛物线都经过坐标系中的两个定点，
当m＝1时，y＝x2－2x－3；
当m＝2时，y＝2x2－4x－3，
∴x2－2x－3＝2x2－4x－3.
∴x2－2x＝0.
∴x1＝0，x2＝2.
∴这两个定点为(0，－3)与(2，－3).
16.(12分)投资1万元围一个矩形菜园(如图)，其中一边靠墙，另外三边选用不同材料建造.墙长24 m，平行于墙的边的费用为200元/m，垂直于墙的边的费用为150元/m，设平行于墙的边长为x m.
(1)设垂直于墙的一边长为y m，直接写出y与x之间的函数关系式；
(2)若菜园面积为384 m2，求x的值；
(3)求菜园的最大面积.
解：(1)根据题意知，
y ＝10 000－200x 2×150＝－23x ＋1003
. (2)根据题意，得(－23x ＋1003
)x ＝384， 解得x ＝18或x ＝32.
∵墙的长度为24 m ，∴x＝18.
(3)设菜园的面积是S ，则S ＝(－23x ＋1003)x ＝－23x 2＋1003x ＝－23(x －25)2＋1 2503
. ∵－23
＜0，∴当x ＜25时，S 随x 的增大而增大. ∵x≤24，
∴当x ＝24时，S 取得最大值，最大值为416.
答：菜园的最大面积为416 m 2
.
17.(12分)如图，抛物线y ＝ax 2＋bx －3a 经过A(－1，0)，C(0，－3)两点，与x 轴交于另一点B.
(1)求此抛物线的表达式；
(2)已知点D(m ，－m －1)在第四象限的抛物线上，求点D 关于直线BC 对称的点D′的坐标；
(3)在(2)的条件下，连结BD.问在x 轴上是否存在点P ，使∠PCB＝∠CBD？若存在，请求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由.
解：(1)将A(－1，0)，C(0，－3)代入抛物线y ＝ax 2
＋bx －3a 中， 得⎩⎪⎨⎪⎧a －b －3a ＝0，－3a ＝－3. 解得⎩
⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－2. ∴y＝x 2
－2x －3.
(2)将点D(m ，－m －1)代入y ＝x 2－2x －3中，得
m 2－2m －3＝－m －1.
解得m ＝2或－1.
∵点D(m ，－m －1)在第四象限，
∴D(2，－3).
∵B(3，0)，C(0，－3)，
∴∠BCD＝∠BCO＝45°，CD′＝CD ＝2，OD′＝3－2＝1. ∴点D 关于直线BC 对称的点D′的坐标为(0，－1).
(3)存在.满足条件的点P 有两个.
①过点C 作CP∥BD，交x 轴于点P ，则∠PCB＝∠CBD.
∵直线BD 的表达式为y ＝3x －9，直线CP 过点C ，
∴直线CP 的表达式为y ＝3x －3.
∴点P 的坐标为(1，0)；
②连结BD′，过点C 作CP′∥BD′，交x 轴于点P′， 则∠P′CB＝∠D′BC.
根据对称性可知∠D′BC＝∠CBD，
∴∠P′CB＝∠CBD.
∵直线BD′的表达式为y ＝13
x －1，直线CP′过点C ， ∴直线CP′的表达式为y ＝13
x －3. ∴点P′的坐标为(9，0).
综上所述，满足条件的点P 的坐标为(1，0)或(9，0).。