谈数学解题教学怎么教

谈数学解题教学怎么教课程标准对数学解题课的基本要求高中教育首先是人生发展的一个重要阶段，是学生生活的一部分，而不是服务于某一个既定目标的工具．高中阶段的任务应超越“单一任务”和“双重任务”这种教育工具化的倾向，实现从精英教育到大众教育的转变．定位于奠定高中生进一步学习的基础学力，养成其人生规划能力，培养公民基本素养并形成健全人格上．《数学课程标准》指出：“数学教育在学校教育中占有特殊的地位，它使学生掌握数学的基础知识、基本技能、基本思想，使学生表达清晰、思考有条理，使学生具有实事求是的态度、锲而不舍的精神，使学生学会用数学的思考方式解决问题、认识世界．”《数学课程标准》在界定高中数学课程性质时指出：“高中数学课程对于认识数学与自然界、数学与人文社会的关系，认识数学的科学价值、文化价值，提高提出问题、分析问题和解决问题的能力，形成理性思维，发展智力和创新意识具有基础性的作用．”《数学课程标准》关于高中数学课程性质中专门对数学的应用提出要求：“高中数学课程有助于学生认识数学的应用价值，增强应用意识，形成解决简单实际问题的能力．”《数学课程标准》在“建立合理、科学的评价体系”中提出，要“关注对学生数学地提出、分析、解决问题等过程的评价，以及在过程中表现出来的与人合作的态度、表达与交流的意识和探索的精神”．数学家波利亚长期致力于“怎样解题”的研究，他指出：“掌握数学就是意味着善于解题，不仅善于解一些标准的题，而且要善于解一些要求独立思考、思路合理、见解独到和有发明创造的题．”一、当前解题教学的问题数学解题课是高中数学教师和学生普遍重视的一种课型，在整个高中数学教学中占有非常大的比重．但目前此课型的教学中还存在不少问题．1、“题海战术”式的解题课，不能适应时代的要求“题海战术”的直接后果是许多学生一遇到形式不熟，或少见的习题就茫无所措，不知如何解答．近几年高考中出现了一些背景新颖、能力要求高、内在联系密切、思维方法灵活的问题，充分体现了新课程理念，注重知识的形成过程，关注学生获取知识的过程，考查学生创新精神和实践能力．这些数学问题靠“题海战术”是解决不了的．2、挤牙膏式的“启发”，不能提高学生的能力有些高中数学解题课是这样进行的：教师在备课时做了大量的准备工作，教学过程的每一个细节都经过精心考虑．在教学过程中，老师总是一点一滴地“启发”学生：看到这个条件，能想到什么结论？要证明这个结论，需要什么条件？．他们“引君入瓮”般使学生得到问题的解答，整节课似乎非常流畅、丝丝入扣，这可以形象地称之为挤牙膏式的“启发”．这种在当前解题课教学中习以为常的挤牙膏式“启发”的现象，是高中数学解题教学的最大误区．因为它们并不能真正培养学生的思维，这样的教学并没有让学生整体地面对问题、整体地思考问题、独立地探究问题，对培养学生的思维没有实质帮助．老师启发过后，学生往往听的很有道理，也很明白，但仍然写不出这个题的解答过程，更谈不上掌握解题方法．长此以往，学生探求知识的热情也会被扼杀，学生的创造性思维培养就更流于空谈．这样的教学不利于学生的终身发展，也不能提高学生的能力．3、学生习惯于动手，不习惯于思维在当前高中数学解题课教学中，经常看到这样的现象：教师想方设法找到各种各样的教学资料，进行仔细的梳理，试图把所有的问题都归结为一种一种的类型，然后非常详尽地把每一种类型题目所对应的解题方法传授给学生，让学生记住这些解题方法并“对号入座”地解题．在这样的解题课上，学生只是满足于用某种方法求得问题的解答，习惯于套题型解决遇到的问题．习惯于做大量的习题，很少静下心对习题做进一步的思考和研究，甚至未能对所获得结果的正确性、完整性、规范性作出必要的检验或证明．在“提出问题——分析问题——解决问题——反思问题”的问题链中，只注重“解决问题”这个环节，没有“提出问题”和“反思问题”的意识和环节，对“分析问题”这个环节用时用力也是少之又少．对解决问题的“理解题意——拟定方案——执行方案——反思回顾”四个环节，也是重“执行方案”，轻视甚至舍弃反思问题、理解题意和拟定方案这三个思维训练的重要环节，表现为一种“砍头、去尾、烧中段”的急功近利的解题方式和问题意识．4、供案不讲，忽视学生、师生交流互动有些高中数学解题课采取“学案”方式，上课或课前发给学生学案，学生一味地做题，教师只是在上课结束时，提供答案不讲道理或者就题论题草草了事．这种供案不讲同样不利于学生素质的提高．一堂解题课往往安排在几个知识点后甚至一章内容之后，知识点较多，因而必须适当整理，使学生对已学知识进行再认识，进一步从数学方法论的高度认识知识的本质和内在联系，从而使所学的知识融会贯通，运用自如．通过平时的作业批改或学生辅导，教师了解哪些知识学生掌握得不够，解题课时可以回顾这些概念形成的过程，通过变式设问来加深对概念的理解，使学生思维由浅入深，培养学生准确概括的思维能力．5、正确处理讲与练的关系在传统的高中数学解题课上，往往是教师先讲例题，学生再做对应例题的练习题，先讲后练．课堂上学生的思维被禁锢在教室设置的圈套中，形成僵化的思维方式．6、学情分析是最不容忽视的教学因素在高中数学解题课教学中，还存在一种严重忽视学情分析和学法指导的现象．教师备课时不详细了解学生具体情况，对学生的基础与能力估计过高或过低，没有仔细思考和认真研究分析，没有联系学生实际，只是凭空想象按照自己的思路、想法备课，忽略了备学生的知识和能力水平．老师讲课时，往往是老师主动地讲，学生被动地听，老师把所有的步骤、思路都讲出来了，其实学生根本不知道为什么要这样想、为什么会想到这方面去，学生所谓的“听懂”最多只是老师具体的解法，而不是抽象的解法．课堂教与学生实际严重脱节，学生不能主动地参与教学活动，当然谈不上运用知识解题了．二、解题教学的意义解题就是“解决问题”，即求出数学题的答案，这个答案在数学上也叫做“解”，所以，解题就是找出题的解的活动．教学中的解题是一个再创造或再发现的过程，是数学学习的核心内容．解题是真正发生数学教育的关键环节，尚未出现解题的数学学习总给人一种尚未深入到实质或尚未进入到高潮的感觉．解题是掌握数学并学会“数学地思维”的基本途径．概念的掌握、技能的熟练、定理的理解、能力的培养、素质的提高等都离不开解题实践活动．解题也是评价学生认知水平的重要手段和方式．尽管不能认为是惟一的方式，也是当前用得最多、操作最方便、公众认可度最高的一种方式．可以说解题贯穿了认知主体的整个学习生活乃至整个生命历程．解题教学的基本含义是，通过典型数学题的学习，去探究数学问题解决的基本规律，学会像数学家那样“数学地思维”．对高中数学教学中的解题课而言，不仅要把“题”作为研究的对象，把“解”作为研究的目标，而且要把“题解”也作为对象，把开发智力、促进“人的发展”作为目标．传统意义上的解题，比较注重结果，强调答案的确定性，偏爱形式化的题目．而现代意义上的“问题解决”，则更注重解决问题的过程、策略以及思维的方法，更注重解决问题过程中情感、态度、价值观的培养．作为数学教育口号的“问题解决”，对问题的障碍性和探究性提出了较高的要求．波利亚在《数学的发现》中将问题理解为“有意识地寻求某一适当的行动，以便达到一个被清楚地意识到但又不能立即达到的目的．解决问题就是寻找这种活动．”第六届国际数学教育大会报告指出：“一个(数学)问题是一个对人具有智力挑战特征的、没有现成的直接方法、程序或算法的未解决的情境．”这类题目可以称为“问题”．“问题解决”是数学学科的一个永恒的课题．三、解题教学的核心培养学生的问题意识．解题活动不仅指解决问题的过程，更重要的是指提出问题的过程，解决问题最困难的部分之一是提出正确的问题．问起于题，疑源于思．数学学习过程是一个复杂的思维过程，也是一个不断地“生题——质疑——释疑”的过程．大胆怀疑，是数学创造活动的特征．质疑，表现了一种求知欲，包含着智慧的火花；质疑，是一种探索精神，孕育着创造．要逐步培养学生敢于提出问题，勇于提出问题，善于提出问题的问题意识．合情推理与问题解决．数学既是严谨的演绎科学,又是实验性的归纳科学．数学的发生、发展过程是观察、实验、归纳、类比、猜想等合情推理与判断、证明等演绎推理的交织互动．数学问题的分析过程就是一种数学发现，观察、联想、类比、猜想、归纳、概括等合情推理是数学问题分析过程的主要形式．在数学问题解决教学过程中，引导学生通过经历可信的、自然的、有一定弯拐歧路的知识生长过程，模拟数学家研究数学的过程．从合情推理发现数学命题及其证明思路，再由演绎推理证明命题的真伪，正是人们发现、发明、创造的一般程序．数学探索、研究中艰难坎坷的体验和成功的喜悦，是人生十分珍贵的经历．只要引导学生勤于思考，他们在日常的阅读中，在听讲中，在解题中，总会有所思考，有所猜想，有所发现．这日常中的点滴发现，与重大的数学发现之间，并没有不可逾越的鸿沟．多元智能与问题解决．数学问题的解决依赖于逻辑/数学智能，又是空间智能、语言智能、自我认识智能、人际交往智能等综合作用的过程．数学解题课中要充分考虑多元智能在问题解决中的重要作用，分析不同个性特征对“问题解决”的影响，发展学生的数学心智．一般解题方法的教学．学习借鉴波利亚《怎样解题表》，逐步培养学生养成“理解题意——拟定方案——执行方案——反思回顾”的科学、规范的一般解题过程．了解波利亚的数学启发法与数学解题的常用模式及其在数学解题教学中的意义．从认知心理学与数学教育学的角度认识数学基础知识、基本技能与数学解题的关系，认识知识的合理组织、调控、信念在分析与解决问题中的意义，将数学解题与思维培养紧密结合起来．要熟悉数学解题的常用策略和方法，理解数学解题策略在数学解题及生活中的意义．熟悉数学解题的一般方法与技巧．重视学生的发散思维．思维是人脑反映事物的一般特性和事物之间规律性的联系，以已有知识为中介进行推断和解决问题的过程．任一思维现象均是多种思维形态的综合．根据思维所承担的任务不同，而对于某种思维形态有所侧重．发散思维是指在思维过程中信息向各种可能的方向扩散，不局限于既定的模式，从不同的角度寻找解决问题的各种途径．具体地说，就是依据定理、公式和已知条件，产生多种想法，广开思路，提出新的设想，发现和解决新的问题．发散思维富于联想，思路宽阔，善于分解、组合、引申、推广，灵活采用各种变通方法，在数学教学中，可以培养学习兴趣，提高解题能力．在解题课教学中，对于数学问题的讲解，要结合对方法的思考及方法的选择过程，应注意“抛砖引玉”，决不“能越俎代庖”．要引导学生“察言观色”，广泛地开展联想，寻找解决问题的多种途径．学会举一反三，重视学生发散思维的培养．重视解题的基本理念．无论解决什么问题，我们都不忘从“知识—方法—观念”的角度去审视题目，做到让学生心里有数，做到知识熟、方法活、观念有．基本知识熟就是熟悉知识的等价表述，熟悉知识的有关范例，做到“一道题就是一个观点，就是一种方法”；基本方法活就是活用“基本的逻辑证法、数形结合法、待定系数法与估算法”，做到用“有限去把握无限”；基本观念有则要求学生心中要有“一与多”、“有限与无限”、“数与形”、“整体与部分”等观念．重视学生的反思能力．在数学解题课教学中，要引导学生摆脱“题海战术”，提高数学素质，培养数学能力．使学生学会“反思”．做完一道题后，要再问几个为什么，并从中获得对下次解题有用的经验和教训．搞清楚“为什么”，才能在以后的解题中知道“做什么”和“如何做”．一道数学题，经过一番艰辛与苦思冥想解出答案后，我们应认真进行如下探索：命题的意图是什么；考核哪些方面的知识和能力；验证解题结论是否合理，命题所提供条件的应用是否完备；求解论证过程是否判断有据，严密完善；本题有无其他解法；众多解法哪一种最简捷；把本题的解法和结论进一步推广，能否得到普遍性结论，解此题的思路方法是什么等．反思的目的在于深化对知识的理解，促进知识结构的不断分解组合，使思维有一个正确可靠的基础．长期进行反思，还可培养学生对试题的鉴赏能力，对那些知识容量大，各知识间结构联系巧妙的试题产生美感，引起兴趣．四、解题教学的基本环节1：弄清问题．弄清问题是认识问题、并对问题进行表征的过程，是成功解决问题的必要前提．要求学生对题目的条件和结论有一个全面的认识，掌握题目的数形特征．有时还需对条件或结论进行转换．题中给出的条件不明显或有隐含条件时，要引导学生去发现，为探索解法指明方向．弄清问题有两个层次．第一层次，通过“未知量是什么？”了解问题的要求或要达到的目标；通过“已知数据是什么？条件是什么？”明确问题的出发点和已知条件；通过“满足条件是否可能？要确定未知数，条件是否充分？或者它是否不充分？或者是多余的？或者是矛盾的？”初步分析条件和结论之间的关系，在自己的知识结构中，寻找有用的解题方面的信息．第二层次就是通过“画一张图，引入适当的符号．”及“将条件的各部分分开．你能否把它们写下来？”指导我们通过画图、列表转化条件．通过引入符号实现文字语言、图形语言和数学语言的转化与细化，为后两个环节打好基础．弄清题意这个环节是学生解题不太重视的，有的学生认为在这个环节上浪费时间不值得，题意没看清就仓促进入第二环节，结果是欲速则不达，不得不调回头来重新审题，反而在弄清题意这个环节上花费更多的时间和精力，甚至影响到问题解决的顺利进行．2：拟定计划．这是解题思维活动的核心，是探索解题方向和途径的尝试发现过程，是思维策略的选择和调整过程．有目的地进行各种组合的试验，尽可能将问题化为已知类型，选择最优解法和解题方案，经检验后作修正，最后确定解题计划．“拟订计划”这个环节有三个层次，第一层次是试图通过类比、对比和化归直接找出已知数与未知数之间的联系．通过“你以前见过它吗？你是否见过相同的问题而形式稍有不同？你是否知道与此有关的问题？你是否知道一个可能用得上的定理？看着未知数！试想出一个具有相同未知数或相似未知数的熟悉的问题．”搜寻我们熟悉的问题模式；通过“这里有一个与你现在的问题有关，且早已解决的问题．你能不能利用它？你能利用它的结果吗？你能利用它的方法吗？为了利用它，你是否应该引入某些辅助元素？”设法利用我们搜寻到的问题模式的条件、结论和问题解决的方法．第二层次是对问题的再理解和再认识．通过“你能不能重新叙述这个问题？你能不能用不同的方法重新叙述它？”从不同侧面进一步理解题意，有时也通过“回到定义去”把问题的理解回归到有关定义上去，因为定义是概念的根本属性的解读．第三层次是如果找不出直接联系，我们可能需要考虑辅助问题，对题目进行更深入的分析．通过“如果你不能解决所提出的问题，可先解决一个与此有关的问题．你能不能想出一个更容易着手的有关问题？一个更普遍的问题？一个更特殊的问题？一个类比的问题？”进一步研究问题的内涵与外延；通过“你能否解决这个问题的一部分？仅仅保持条件的一部分而舍去其余部分，这样对于未知数能确定到什么程度？它会怎样变化？你能不能从已知数据导出某些有用的东西？你能不能想出适于确定未知数的其它数据？如果需要的话，你能不能改变未知数或数据，或者二者都改变，以使新未知数和新数据彼此更接近？”先从局部入手或先解决问题的局部，再把战果扩大到整个题目．通过“你是否利用了所有的已知数据？你是否利用了整个条件？你是否考虑了包含在问题中的所有必要的概念？”从条件对结论的充要性方面进行探索．最终得出一个求解的计划．数学问题中已知条件和结论之间有内在的逻辑联系和必然的因果关系．在探索阶段，有时学生尚不会独自分析，需要教师的辅导．但切勿匆匆忙把想好的解题思路和盘托出或把拟好的解法过程在黑板上书写一番，更不能让学生死记硬背解法步骤，以记忆代替思考．而应分析关键环节，激活学生的思维．让学生明白怎样解题，为什么这样解，为什么想到这样解，以促进学生的思维活动进一步发展．3：实现计划．它包含着一系列基础知识和基本技能的灵活运用和思维过程的具体表达，是解题思维活动的重要组成部分．将计划的所有细节实际地付诸实现，通过与已知条件所选择的根据作对比后修正计划，然后着手叙述解答过程的方法，并且书写解答与结果．“实现计划”是思路打通之后具体实施信息资源的逻辑配置，通过“实现你的求解计划，检验每一步骤．你能否清楚地看出这一步骤是否正确的？你能否证明这一步骤是正确的？”表述解题过程，保证合乎逻辑顺序、层次分明、严谨规范、简洁明了．教师对教学进程每个阶段的解题要求应通过板书示范，逐渐让学生熟悉，并养成习惯．实现数学语言、符号准确，说理清楚明白，书写整洁有序．4：反思回顾．是发展数学思维的一个重要方面，是一个思维活动过程的结束，又是另一个新的思维活动过程的开始．与前三个阶段相比，“回顾”是最容易被忽视的，在解题以后，回头对解题活动加以反思、探讨、分析与研究是非常重要的环节．通过“你能否检验这个论证？你能否用别的方法导出这个结果？你能不能一下子看出来？你能不能把这个结果或方法用于其它的问题？”对整个解题过程（包括“弄清题意”）和最终结果进行回顾和反思．这样会对题目有更全面、更深刻的理解．既可以检验解题结果是否正确、全面，推理过程是否无误、简捷，还可以揭示数学题目之间规律性的联系，发挥例题、习题的“迁移”功能，收到“解一题会一片”的效果，有时甚至还会得到更完美的解答方案．这个解题系统集解题程序、解题基础、解题策略、解题方法等于一身，融理论与实践于一体．解题教学的上述四个环节，也不是截然分开的顺序环节，在这个解题的思维反馈网络中，每一步与前面的步骤以及每一步骤中间都可能产生必要的反馈，这是解题思维活动的核心．特别是面对较为复杂的题目，不要机械地按照以上步骤进行，而是需要在这几步之间反复交叉进行必要的思维反馈．五、解题教学的策略数学解题策略是为了实现解题目标而采取的方针．其基本出发点在于“变换”，即把面临的问题转化为一道或几道易于解答的新题，以通过对新题的考察，发现原题的解题思路，最终达到解决原题的目的．常用的解题策略有：熟悉化、简单化、直观化、特殊化、一般化、整体化、间接化等．解题策略的思维基础是逻辑思维、形象思维、直觉思维的共同作用．它介于具体的求解方法与抽象的解题思想之间，是思想转化为操作的桥梁．作为方法，一方面它是用来具体指导解题的方法，另一方面它又是运用、寻找、创造解题方法的方法．解题策略是最高层次的解题方法．学生解题的差异最主要的不是基础知识的差异，而是解题思维策略的差异．教学中教师应将一些有效的思维策略提炼出来，外显出来，有意识地教给学生．进行解题策略的教学应坚持循序渐进的原则，走“渗透——领悟——初步应用——巩固深化”之路，让学生在解题实践中逐步掌握多种策略，最终达到能应用策略指导解题的目的．。