2014汤家凤线性代数辅导讲义
(整理)考研数学高分导学班讲义(汤家凤).
课程配套讲义说明1、配套课程名称2013年考研数学高分导学（汤家凤，16课时）2、课程内容此课件为汤家凤老师主讲的2013考研数学高分导学班课程。
此课程包含线代和高数，请各位学员注意查看。
3、主讲师资汤家凤——文都独家授课师资，数学博士，教授，全国著名考研数学辅导专家，全国唯一一个能脱稿全程主讲的数学辅导老师，全国大学生数学竞赛优秀指导老师。
汤老师对数学有着极其精深的研究，方法独到。
汤老师正是凭借多年从事考研阅卷工作的经验，通过自己的归纳总结，在课堂上为学生列举大量以往考过的经典例子。
深入浅出，融会贯通，让学生真正掌握正确的解题方法。
严谨的思维、激情的课堂，轻松的学习，这是汤老师课堂的特色！主讲：高等数学、线性代数。
4、讲义20页（电子版）文都网校2011年9月15日2013考研数学高分导学班讲义线性代数部分—矩阵理论一、矩阵基本概念1、矩阵的定义—形如⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛mn m m n n a a aa a a a a a 212222111211，称为矩阵n m ⨯，记为n m ij a A ⨯=)(。
特殊矩阵有（1）零矩阵—所有元素皆为零的矩阵称为零矩阵。
（2）方阵—行数和列数都相等的矩阵称为方阵。
（3）单位矩阵—主对角线上元素皆为1其余元素皆为零的矩阵称为单位矩阵。
（4）对称矩阵—元素关于主对角线成轴对称的矩阵称为对称矩阵。
2、同型矩阵—行数和列数相同的矩阵称为同型矩阵。
若两个矩阵同型且对应元素相同，称两个矩阵相等。
3、矩阵运算（1）矩阵加、减法：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=mn m m n n mn m m n n b b b b b b b b b B a a a a a a a a a A 212222111211212222111211,，则 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛±±±±±±±±±=±mn mn m m m m n n n n b a b a ba b a b a b a b a b a b a B A221122222221211112121111。
考研数学高分导学班讲义汤家凤
考研数学高分导学班讲义汤家凤课程配套讲义说明1、配套课程名称2013年考研数学高分导学（汤家凤，16课时）2、课程内容此课件为汤家凤老师主讲的2013考研数学高分导学班课程。
此课程包含线代和高数，请各位学员注意查看。
3、主讲师资汤家凤——文都独家授课师资，数学博士，教授，全国著名考研数学辅导专家，全国唯一一个能脱稿全程主讲的数学辅导老师，全国大学生数学竞赛优秀指导老师。
汤老师对数学有着极其精深的研究，方法独到。
汤老师正是凭借多年从事考研阅卷工作的经验，通过自己的归纳总结，在课堂上为学生列举大量以往考过的经典例子。
深入浅出，融会贯通，让学生真正掌握正确的解题方法。
严谨的思维、激情的课堂，轻松的学习，这是汤老师课堂的特色！主讲：高等数学、线性代数。
4、讲义20页（电子版）文都网校2011年9月15日2013考研数学高分导学班讲义线性代数部分—矩阵理论一、矩阵基本概念1、矩阵的定义—形如??mn m m n n a a a a a a a a a 212222111211，称为矩阵n m ?，记为n m ij a A ?=)(。
特殊矩阵有（1）零矩阵—所有元素皆为零的矩阵称为零矩阵。
（2）方阵—行数和列数都相等的矩阵称为方阵。
（3）单位矩阵—主对角线上元素皆为1其余元素皆为零的矩阵称为单位矩阵。
（4）对称矩阵—元素关于主对角线成轴对称的矩阵称为对称矩阵。
2、同型矩阵—行数和列数相同的矩阵称为同型矩阵。
若两个矩阵同型且对应元素相同，称两个矩阵相等。
3、矩阵运算（1）矩阵加、减法：=??????? ??=mn m m n n mn m m n n b b b b b b b b b B a a a a a a a a a A 212222111211212222111211,，则±±±±±±±±±=±mn mn m m m m n n n n b a b a ba b a b a b a b a b a b a B A221122222221211112121111。
考研数学之线性代数讲义(考点知识点+概念定理总结)
考研数学之线性代数讲义（考点知识点+概念定理总结）线性代数讲义目录第一讲基本概念矩阵的初等变换与线性矩阵方程的消去完全展开式化零降阶法其它性质克莱姆法则第三讲矩阵乘积矩阵的列向量和行向量矩阵分解矩阵方程逆矩阵伴随矩阵第4讲向量组线性表示向量组的线性相关性向量组的极大无关组和秩矩阵的秩第五讲方程组解的性质解的判别基本解系统和通解第6讲特征向量和特征值的相似性和对角化特征向量与特征值―概念,计算与应用相似对角化―判断与实现附录一内积正交矩阵施密特正交化实对称矩阵的对角化第七讲二次型二次型及其矩阵可逆线性变量取代了实对称矩阵惯性指数正定二次型与正定矩阵的合同标准化与规范化附录二向量空间及其子空间附录III两个线性方程组的解集之间的关系附录四06,07年考题一第一讲基本概念1.线性方程组的基本概念。
线性方程组的一般形式是：a11x1+a12x2++a1nxn=b1，a21x1+a22x2+？+a2nxn=b2，？？？？am1x1+am2x2+？+amnxn=bm，其中未知数的个数n和方程式的个数m不必相等.线性方程组的解是一个n维向量（k1，k2，k，kn）（称为解向量），它满足当每个方程中的未知数席被Ki替换时，它变成一个方程。
线性方程组的解的情况有三种:无解,唯一解,无穷多解.在线性方程组的讨论中有两个主要问题：（1）判断解（2）求解，特别是当存在无穷多个连接时求通解b1=b2=?=bm=0的线性方程组称为齐次线性方程组.n维零向量总是齐次线性方程组的解，称为零解。
因此，齐次线性方程组只有两种解：唯一解（即只要零解）和无限解（即非零解）把一个非齐次线性方程组的每个方程的常数项都换成0，所得到的齐次线性方程组称为原方程组的导出齐次线性方程组，简称导出组.2.矩阵和向量（1）基本概念矩阵和向量都是描写事物形态的数量形式的发展.是M吗？一张表有M行和N列，以N个数字排列，两边用括号或方括号括起来，就变成了M？例如N型矩阵2-101111102254-29333-18是4吗？5矩阵对于上述线性方程组，它被称为矩阵a11a12?a1na11a12?a1nb1a=a21a22?a2n和(a|?)=a21a22?a2nb2??????? am1am2？amnam1am2？amnbm为其系数矩阵和增广矩阵.增广矩阵体现了方程组的全部信息,而齐次方程组只用系数矩阵就体现其全部信息.矩阵中的数字称为其元素，第I行和第J列中的数字称为（I，J）位元素所有元素为0的矩阵称为零矩阵，通常记录为0两个矩阵a和b相等(记作a=b),是指它的行数相等,列数也相等(即它们的类型相同),并且对应的元素都相等.N个数的有序数组称为N维向量，这些数称为其分量书写中可用矩阵的形式来表示向量,例如分量依次是a1,a2,?,an的向量可表示成二a1(a1,a2,?,an)或a2,┆an请注意,作为向量它们并没有区别,但是作为矩阵,它们不一样(左边是1?n矩阵,右边是n?1矩阵).习惯上把它们分别称为行向量和列向量.(请注意与下面规定的矩阵的行向量和列向量概念的区别.)一个M？n的矩阵的每一行是一个n维向量，称为其行向量；每一列都是一个m维向量，称为它的列向量。
[整理]考研数学高数定积分公开课讲义(汤家凤)
![[整理]考研数学高数定积分公开课讲义(汤家凤)](https://img.taocdn.com/s3/m/f6e47fa9bb4cf7ec4bfed040.png)
课程配套讲义说明1、配套课程名称2013年考研数学高数中值定理及定积分公开课（汤家凤）2、课程内容此课程为2013年考研数学高数部分的公开课，主要讲授定积分部分。
3、主讲师资汤家凤——主讲高等数学、线性代数。
著名考研辅导专家，南京大学博士，南京工业大学教授，江苏省大学生数学竞赛优秀指导教师。
凭借多年从事考研阅卷工作的经验，通过自己的归纳总结，在课堂上为学生列举大量以往考过的经典例子。
深入浅出，融会贯通，让学生真正掌握正确的解题方法。
4、讲义：6页（电子版）文都网校2011年5月27日公开课二：定积分理论一、实际应用背景1、运动问题—设物体运动速度为)(t v v =，求],[b a t ∈上物体走过的路程。
（1）取b t t t a n =<<<= 10，],[],[],[],[12110n n t t t t t t b a -⋃⋃⋃= ， 其中)1(1n i t t t i i i ≤≤-=∆-； （2）任取)1](,[1n i x x i i i ≤≤∈-ξ，ini it f S ∆≈∑=)(1ξ；（3）取}{max 1i ni x ∆=≤≤λ，则ini ix f S ∆=∑=→)(lim1ξλ2、曲边梯形的面积—设曲线)(0)(:b x a x f y L ≤≤≥=，由b x a x L ==,,及x 轴围成的区域称为曲边梯形，求其面积。
（1）取b x x x a n =<<<= 10，],[],[],[],[12110n n x x x x x x b a -⋃⋃⋃= ， 其中)1(1n i x x x i i i ≤≤-=∆-； （2）任取)1](,[1n i x x i i i ≤≤∈-ξ，ini ix f A ∆≈∑=)(1ξ；（3）取}{max 1i ni x ∆=≤≤λ，则ini ix f A ∆=∑=→)(lim1ξλ。
二、定积分理论（一）定积分的定义—设)(x f 为],[b a 上的有界函数，（1）取b x x x a n =<<<= 10，],[],[],[],[12110n n x x x x x x b a -⋃⋃⋃= ， 其中)1(1n i x x x i i i ≤≤-=∆-； （2）任取)1](,[1n i x x i i i ≤≤∈-ξ，作ini ix f ∆∑=)(1ξ；（3）取}{m a x 1i ni x ∆=≤≤λ，若ini ix f ∆∑=→)(lim 1ξλ存在，称)(x f 在],[b a 上可积，极限称为)(x f 在],[b a 上的定积分，记⎰badx x f )(，即⎰badx x f )(i ni i x f ∆=∑=→)(lim 1ξλ。
汤家凤对线性无关的解释
汤家凤对线性无关的解释
线性无关一般指线性独立；线性独立一般是指向量的线性独立，指一组向量中任意一个向量都不能由其它几个向量线性表示。
扩展资料
在线性代数里，矢量空间的一组元素中，若没有矢量可用有限个其他矢量的线性组合所表示，则称为线性无关或线性独立（linearly independent），反之称为线性相关（linearly dependent）。
例如在三维欧几里得空间R的三个矢量（1，0，0），（0，1，0）和（0，0，1）线性无关；但（2，1，
1），（1，0，1）和（3，1，2）线性相关，因为第三个是前两个的'和。
线性相关性质：
1、向量al，a2，，an（n=2）线性相关的充要条件是这n个向量中的一个为其余（n-1）个向量的线性组合。
2、一个向量线性相关的充分条件是它是一个零向量。
3、两个向量a、b共线的充要条件是a、b线性相关。
4、三个向量a、b、c共面的充要条件是a、b、c线性相关。
5、n+1个n维向量总是线性相关。
（个数大于维数必相关）。
考研数学春季基础班线性代数辅导讲义汤家凤)-精选.pdf
2013考研数学春季基础班线性代数辅导讲义-主讲：汤家凤第一讲行列式一、基本概念定义1 逆序—设j i,是一对不等的正整数，若j i，则称),(j i 为一对逆序。
定义2 逆序数—设n i i i 21是n ,,2,1的一个排列，该排列所含逆序总数称为该排列的逆序数，记为)(21n i i i ，逆序数为奇数的排列称为奇排列，逆序数为偶数的排列称为偶排列。
定义3 行列式—称nnn n n n a a a a a a a a a D212222111211称为n 阶行列式，规定nnn nj jj j j j j j j a a a D21212121)()1(。
定义 4 余子式与代数余子式—把行列式nnn n n n a a a a a a a a a D212222111211中元素ij a 所在的i 行元素和j 列元素去掉，剩下的1n 行和1n 列元素按照元素原来的排列次序构成的1n 阶行列式，称为元素ij a 的余子式，记为ij M ，称ij ji ijM A )1(为元素ij a 的代数余子式。
二、几个特殊的高阶行列式1、对角行列式—形如n a a a 00000021称为对角行列式，n na a a a a a 212100000。
2、上（下）三角行列式—称nn n n a a a a a a 0022211211及nnn n a a a a a a 21222111000为上（下）三角行列式，nn nnn n a a a a a a a a a 2211222112110，nn nnn n a a a a a a a a a 22112122211100。
3、||||B A BOO A ，||||B A BOC A ，||||B A BCO A 。
4、范得蒙行列式—形如112112121111),,,(n nn n n n aaaa a a a a a V 称为n 阶范得蒙行列式，且ni j j in nn n n n a a aaaa a a a a a V 1112112121)(111),,,(。
汤家凤2024零基础讲义pdf
汤家凤2024零基础讲义pdf首先你要搞清楚汤家凤2024《高等数学辅导讲义·零基础篇》是个什么东西。
如果你对高数纯纯的没有一点儿基础，那我建议你先看这本。
一、汤家凤2024《高等数学辅导讲义·零基础篇》是什么？（封面长这样↓）既然叫“零基础篇”，那么这本书的重点就在于帮助大家先理解基本概念，再掌握基本原理，最后学会基本的公式推导。
书的章节设置非常贴心。
1.在第一章前面增加预备章（即：零基础高等数学入门知识，包括第一节：集合、运算与关系，第二节：三角函数与反三角函数，第三节：常见不等式及数列），目的是帮助大家回忆起高中数学知识，更好地进入高数学习。
2.书中每一章开头都有本章思维导图，方便大家在学习每章之前整体了解本章的知识架构。
在解题方法方面，这本书没有做过多说明，只是起到一个入门的作用。
二、汤家凤2024《高等数学辅导讲义》是什么？（封面长这样↓）这本书是当你看完了《零基础篇》以后，对高数有点儿基础了，再来看的一本书。
如果你有高数基础，可以完全不用买《零基础篇》，直接上这本书完事。
汤家凤《高等数学辅导讲义》最突出的三大特点是：1.带你系统性复习高数，基础、强化、提高阶段都能用。
2.基础知识点和题型覆盖全。
这本书覆盖36类高数基础知识点和76种基础题型，解题步骤完整，很多重难点都是掰开了揉碎了给你讲，基本上看书就能理解。
3. 24版根据考研新大纲全新升级，直击考点，大幅提高你的应试能力。
这本书包含十二章，分别是：三、汤家凤《接力题典1800》是什么？（封面长这样↓）这套书分数一、数二、数三，每套书包含两本，分别是题目册和答案册。
因为学数学关键靠刷题，所以复习高数只看高数讲义是不够的，还要同步刷题提高计算能力和解题速度。
1800题目册里划分出基础篇和提高篇两部分。
基础篇的题较为简单，提高篇的题则有些难度。
有些人说1800很难，我想他大概说的是提高篇里的题。
如果你做基础篇的题仍然发现很困难，那我建议你还是重新看一下高数讲义、线代讲义和概率讲义，重新听听网课，先把基本概念和公式学明白吧。
考研数学强化班高等数学讲义汤家凤
第一讲 极限与连续主要内容归纳（略）要点题型解说一、极限问题种类一：连加或连乘的求极限问题 1．求以下极限：（ 1） lim111；n13 35(2n1)(2n 1)（ 2） limnk 3 1 ；1nk 2k 3n（ 3） lim [nk 11] n ；k (k 1)2．求以下极限：（ 1） lim111；222n4n 14n24nn3．求以下极限：（ 1） lim111；22222nn 2 n n21 n（ 2） lim nn!；nnn 1（ 3） lim。
ni2i 11nn种类二：利用重要极限求极限的问题 1．求以下极限：（ 1） lim cos x cos xcos x(x0) ；( n 1) n 112 n （ 2） limnsin；n222nnn2．求以下极限：1（ 1） lim 1 sin x 2 1 cos x ；x 011（ 3） lim1 tan x x 3ln(1 2 x)（4） lim cos1 sin x；xx 0x种类三：利用等价无量小和麦克劳林公式求极限的问题1．求以下极限：x 2；（ 1） lim1 tan x 1 sin x ；（ 2） lime tan xe x ；x 0x(1 cosx) x 0x(1 cosx)（ 3） lim1 2 cos xx1] ；（ 4） lim (11) ；x 3 [(3)x 2tan 2x 0xx（ 5） lim(3 x) x3 x2；x 0xln(1 f (x) ) f (x)（ 6）设 lim sin xA ，求 lim 。
x2x 0 a 1 x 0 xx 22．求以下极限： lim cos x e 23x 0x sin x种类四：极限存在性问题：1．设 x 1 1, x n 11 x n0 ，证明数列 { x n } 收敛，并求 lim x n 。
nnn2．设 f ( x) 在 [ 0, ) 上单一减少、非负、连续， a nf (k)f (x)dx(n 1,2, ) ，证明：k11lim a n 存在。
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文都教育2014年考研数学春季基础班线性代数辅导讲义主讲：汤家凤第一讲 行列式一、基本概念定义1 逆序—设j i ,是一对不等的正整数，若j i >，则称),(j i 为一对逆序。
定义2 逆序数—设n i i i 21是n ,,2,1 的一个排列，该排列所含逆序总数称为该排列的逆序数，记为)(21n i i i τ，逆序数为奇数的排列称为奇排列，逆序数为偶数的排列称为偶排列。
定义3 行列式—称nnn n nna a a a a a a a a D 212222111211=称为n 阶行列式，规定n nn nj j j j j j j j j a a a D 21212121)()1(∑-=τ。
定义4 余子式与代数余子式—把行列式nnn n nna a a a a a a a a D 212222111211=中元素ij a 所在的i 行元素和j 列元素去掉，剩下的1-n 行和1-n 列元素按照元素原来的排列次序构成的1-n 阶行列式，称为元素ij a 的余子式，记为ij M ，称ij ji ij M A +-=)1(为元素ij a 的代数余子式。
二、几个特殊的高阶行列式1、对角行列式—形如na a a0000021称为对角行列式，n n a a a a a a 212100000=。
2、上（下）三角行列式—称nnn n a a a a a a 00022211211及nnn n a a a a a a212221110为上（下）三角行列式，nn nnnn a a a a a a a a a221122211211000=，nn nnn n a a a a a a a a a2211212221110=。
3、||||B A BO O A ⋅=，||||B A BO C A ⋅=，||||B A BCO A ⋅=。
4、范得蒙行列式—形如112112121111),,,(---=n nn n nn a a a a a a a a a V称为n 阶范得蒙行列式，且ni j j i n nn n nn a a a a a a a a a a a V ≤<≤----==1112112121)(111),,,(。
【注解】0),,,(21≠n a a a V 的充分必要条件是n a a a ,,,21 两两不等。
三、行列式的计算性质（一）把行列式转化为特殊行列式的性质 1、行列式与其转置行列式相等，即TD D =。
2、对调两行（或列）行列式改变符号。
3、行列式某行（或列）有公因子可以提取到行列式的外面。
推论1行列式某行（或列）元素全为零，则该行列式为零。
推论2行列式某两行（或列）相同，行列式为零。
推论3行列式某两行（或列）元素对应成比例，行列式为零。
4、行列式的某行（或列）的每个元素皆为两数之和时，行列式可分解为两个行列式，即nnn n in i i n nn n n in i i n nn n n in in i i i i n a a a b b b a a a a a a a a a a a a a a a b a b a b a a a a21211121121211121121221111211+=+++。
5、行列式的某行（或列）的倍数加到另一行（或列），行列式不变，即nnn n jn j j jnin j i j i n nnn n jn j j ini i n a a a a a a ka a ka a ka a a a a a a a a a a a a a a a a212122111121121212111211+++=，其中k 为任意常数。
【例题1】设321,,,,γγγβα为4维列向量,且4|,,,|||321==γγγαA ，21|,3,,|||321==γγγβB ，求||B A +。
【例题2】用行列式性质1~5计算842321123-。
【例题3】计算行列式2164729541732152-----=D 。
【例题4】计算nn a a a a D ++++=1111111111111111321 ，其中)1(0n i a i ≤≤≠。
（二）行列式降阶的性质6、行列式等于行列式某行（或列）元素与其对应的代数余子式之积的和，即),,2,1(2211n i A a A a A a D in in i i i i =+++=， ),,2,1(2211n j A a A a A a D nj nj j j j j =+++=。
7、行列式的某行（或列）元素与另一行（或列）元素的代数余子式之积的和为零。
【例题1】用行列式按行或列展开的性质计算842321123-。
【例题2】设2164729541732152-----=D ，求（1）24232221M M M M +++；（2）3231M M +。
四、行列式的应用—克莱姆法则对方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++000221122221211212111n nn n n nn n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a （I ） 及⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++nn nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212********* （II ） 其中)(II 称为非齐方程组，)(I 称为)(II 对应的齐次方程组或)(II 的导出方程组。
令nn n n nnn nn n nnn n n n b a a b a ab a a D a a b a a b a a b D a a a a a a a a a D2122221112112222211211212222111211,,,===，其中D称为系数行列式，我们有定理1 )(I 只有零解的充分必要条件是0≠D ；)(I 有非零解（或者)(I 有无穷多个解）的充分必要条件是0=D 。
定理2 )(II 有唯一解的充分必要条件是0≠D ，且),,2,1(n i DD x ii ==；当0=D 时，)(II 要么无解，要么有无穷多个解。
第二讲 矩阵一 、基本概念及其运算 （一）基本概念1、矩阵—形如⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛mn m m n n a a a a a a a a a 212222111211称为m 行n 列的矩阵，记为n m ij a A ⨯=)(，行数与列数相等的矩阵称为方阵，元素全为零的矩阵称为零矩阵。
（1）若矩阵中所有元素都为零，该矩阵称为零矩阵，记为O 。
（2）对n m ij a A ⨯=)(，若n m =，称A 为n 阶方阵。
（3）称⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=11 E 为单位矩阵。
（4）对称矩阵—设n n ij a A ⨯=)(，若),,2,1,(n j i a a ji ij ==，称A 为对称矩阵。
（5）转置矩阵—设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=mn m m n n a a a a a a a a a A 212222111211，记⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=mn n n m m Ta a a a a a a a a A212221212111，称TA为矩阵A 的转置矩阵。
2、同型矩阵及矩阵相等—若两个矩阵行数与列数相同，称两个矩阵为同型矩阵，若两个矩阵为同型矩阵，且对应元素相同，称两个矩阵相等。
3、伴随矩阵—设n n ij a A ⨯=)(为n 矩阵，将矩阵A 中的第i 行和j 列去掉，余下的元素按照原来的元素排列次序构成的1-n 阶行列式，称为元素ij a 的余子式，记为ij M ，同时称ij j i ij M A +-=)1(为元素ij a 的代数余子式，这样矩阵中的每一个元素都有自己的代数余子式，记⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=*nn n nn n A A A A A A A A A A 212221212111，称为矩阵A 的伴随矩阵。
（二）矩阵的三则运算1、矩阵加减法—设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=mn m m n n a a a a a a a a a A 212222111211，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=mn m m n n b b b b b b b b b B 212222111211，则 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛±±±±±±±±±=mn mn m m m m n n n n b a b a b a b a b a b a b a b a b a A221122222221211112121111。
2、数与矩阵的乘法—设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=mn m m n n a a a a a a a a a A 212222111211，则⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=mn m m n n ka ka ka ka ka ka ka ka ka kA212222111211。
3、矩阵与矩阵的乘法：设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=mn m m n n a a a a a a a a a A 212222111211，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=ns n n s s b b b b b b b b b B212222111211，则⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=ms m m n s c c cc c cc c c C 212222111211，其中∑==n k kj ik ij b a c 1（s j m i ,,2,1;,,2,1 ==）。
【注解】（1）O B O A ≠≠,推不出O AB ≠。
（2）BA AB ≠。
（3）矩阵多项式可进行因式分解的充分必要条件是矩阵乘法可交换。
若BA AB =，则)2)((2322B A B A B AB A --=+-，再如)2)(3(62E A E A E A A +-=--。
（4）方程组的三种形式 形式一：基本形式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++000221122221211212111n mn m m n n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a （I ）与⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++mn mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212*********（II ） （I ）（II ）分别称为齐次与非齐线性方程组。
记,,,2121212222111211⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=m n mn m m n n b b b b x x x X a a a a a a a a a A则方程组（I ）、（II ）可改写为 形式二：方程组的矩阵形式0=AX ， （I ） b AX =， （II ）令⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=m n mn n n m m b b b x x X a a a a a a 11121221111,,,,,ααα，则有形式三：方程组的向量形式O x x x n n =+++ααα 2211 （I ） O x x x n n =+++ααα 2211 （II ） 二、矩阵的两大核心问题—矩阵的逆矩阵与矩阵的秩【背景】初中数学问题：对一元一次方程)0(≠=a b ax ，其解有如下几种情况 （1）当0≠a 时，b ax =两边乘以a 1得abx =。