第一轮复习自己整理绝对经典立体几何文科第一轮
立体几何题型总结（2015版文科）重要定理：直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这两条直线垂直于这个平面.直线和平面平行性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.平面平行判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行. 两个平面垂直性质判定：如果一个平面与一条直线垂直，那么经过这条直线的平面垂直于这个平面.两个平面垂直性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线也垂直于另一个平面.推论：如果两个相交平面都垂直于第三平面，则它们交线垂直于第三平面.证明：如图，找O 作OA 、OB 分别垂直于21,l l ， 因为ααββ⊥⊂⊥⊂OB PM OA PM ,,,则OB PM OA PM ⊥⊥,.一：夹角问题① 异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的取值范围依次.② 直线的倾斜角、到的角、与的夹角的取值范围依次是．异面直线所成角：范围：]90,0(︒︒（1）平移法：在异面直线中的一条直线中选择一特殊点，作另一条的平行线构成三角形；解三角形求出角。
(常abc b a 2cos 222-+=θ)用到余弦定理（2）补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体、长方体等，其目的在于容易发现两条异面直线间的关系； (3)向量法。
转化为向量的夹角ACAB AC AB ⋅⋅=θcos(计算结果可能是其补角) 直线与平面所成的角θαα＝时，∥或0b ob ⊂斜线和平面所成的是一个直角三角形的锐角，它的三条边分别是平面的垂线段、斜线段及斜线段在平面上的射影。
通常通过斜线上某个特殊点作出平面的垂线段，垂足和斜足的连线，是产生线面角的关键；向量法：设直线l 的方向向量为l ，平面α的法向量为n ，l 与α所成的角为θ，l 与n 的夹角为ϕ，则有sin cos l n l nθϕ⋅==的求法二面角l αβ--的平面角，（1）定义法：在棱l 上取一点P ，两个半平面内分别作l 的垂线（射线）m 、n ，则射线m 和n 的夹角θ为二面角α—l —β的平面角。
P αβθM A B Oθcba（2）三垂线法：（三垂线定理法：A ∈α作或证AB ⊥β于B ，作BO ⊥棱于O ，连AO ，则AO ⊥棱l ，∴∠AOB 为所求。
） 向量法：设1n ，2n 是二面角l αβ--的两个面α，β的法向量，则向量1n ，2n 的夹角（或其补角）就是二面角的平面角的大小．若二面角l αβ--的平面角为θ，则1212cos n n n n θ⋅=．二、空间距离问题两异面直线间的距离方法一：转化为线面距离。
如图，m 和n 为两条异面直线，α⊂n 且α//m ，则异面直m 和n 之间的距离可转化为直线m 与平面α之间的距离。
方法二：高考要求是给出公垂线，所以一般先利用垂直作出公垂线，然后再进行计算,直接计算公垂线段的长度。
点到直线的距离：一般用三垂线定理作出垂线再求解；向量法：点到直线距离：在直线l 上找一点P ，过定点A 且垂直于直线l 的向量为n ，则定点A 到直线l 的距离为cos ,n d n nPA ⋅=PA 〈PA 〉=点到平面的距离方法一：几何法。
步骤1：过点P 作PO ⊥α于O ，线段PO 即为所求。
步骤2：计算线段PO 的长度。
(直接解三角形；等体积法和等面积法；换点法)等体积法步骤：①在平面内选取适当三点，和已知点构成三棱锥；②求出此三棱锥的体积V 和所取三点构成三角形的面积S ；③由V=31S ·h ，求出h 即为所求.这种方法的优点是不必作出垂线即可求点面距离. 方法二：坐标法。
>⋅<⋅=AP n AP d cos nAP n ⋅=线面距、面面距均可转化为点面距三、平行与垂直问题证明直线与平面的平行：（1）转化为线线平行；（2）转化为面面平行. 证明平面与平面平行：（1）转化为线面平行；（2）转化为线面垂直.证明线线垂直：（1）转化为相交垂直；（2）转化为线面垂直；（3）转化为线与另一线的射影垂直； 方法（2）：用线面垂直实现。
方法（3）：三垂线定理及其逆定理。
m l m l ⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥ααPO l OA l PA l αα⊥⎫⎪⊥⇒⊥⎬⎪⊂⎭证明线面垂直：（1）转化为该直线与平面内相交二直线垂直；（2）转化为该直线与平面的一条垂线平行；（3）n mαθαP OAnOAPα转化为该直线垂直于另一个平行平面；（4）转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直.方法（1）：用线线垂直实现。
方法二：用面面垂直实现。
αα⊥⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⊂=⋂⊥⊥l AB AC A AB AC AB l ACl ,αββαβα⊥⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂⊥=⋂⊥l l m l m , 面面垂直：方法一：用线面垂直实现。
βαβα⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥l l 方法二：计算所成二面角为直角。
题型一：空间几何体的结构、三视图、旋转体、斜二测法了解柱、锥、台、球体及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中的简单物体的结构。
能画出简单空间几何体的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测画法画出它们的直观图。
能用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间几何体的三视图与直观图。
了解空间几何体的不同表示形式。
会画某建筑物的视图与直观图。
例1.将正三棱柱截去三个角（如图1所示A B C ，，分别是GHI △三边的中点）得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图（或称左视图）为（ ）例 2.由大小相同的正方体木块堆成的几何体的三视图如图所示，则该几何体中正方体木块的个数是 ．正视图 左视图例3.已知一个正四面体，其三视图均为边长为2的正方形，则这个正四面体的外接球的体积为 ．例10：如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积为( )EF D IA H G BC EF D ABC侧视图1图2BEA ．BEB ．BEC ．BED ．俯视图lβαmlβαA ．π12B ．π16C ．π32D ．π8例5：四棱锥P ABCD -的顶点P 在底面ABCD 中的投影恰好是A ，其三视图如图，则四棱锥P ABCD -的表面积为( )A. 23aB.22a C.2223a a +D. 222a +例6：三棱柱ABC —A 1B 1C 1的体积为V ，P 、Q 分别为AA 1、CC 1上的点，且满足AP=C 1Q ，则四棱锥B —APQC 的体积是___________例7：如图，斜三棱柱ABC —111C B A 中，底面是边长为a 的正三角形，侧棱长为 b ，侧棱AA ’与底面相邻两边AB 、AC 都成450角，求此三棱柱的侧面积和体积．例8：如图是一个几何体的三视图，根据图中的数据（单位：cm ），可知几何体的体积是_________真题：【2015高考新课标1，文6】《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米有（ ）A ．14斛 B.22斛 C.36斛 D.66斛【2015高考浙江，文2】某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积是（ ）俯视图左视图主视图A ．83cmB ．123cmC ．3233cm D ．4033cm【2015高考浙江，文7】如图，斜线段AB 与平面α所成的角为60，B 为斜足，平面α上的动点P 满足30∠PAB =，则点P 的轨迹是（ ）A ．直线B ．抛物线C ．椭圆D ．双曲线的一支【2015高考新课标1，文11】圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r ）组成一个几何体，该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为1620π+，则r =( ) （A ）1 （B ）2 （C ）4 （D ）8【2015高考陕西，文5】一个几何体的三视图如图所示，则该 几何体的表面积为（ ）A ．3πB ．4πC ．24π+D ．34π+【2015高考福建，文9】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于（ ）1112A ．822+B ．1122+C ．1422+D ．15【2015高考湖南，文10】某工作的三视图如图3所示，现将该工作通过切削，加工成一个体积尽可能大的正方体新工件，并使新工件的一个面落在原工作的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用率=新工件的体积/原工件的体积）（ ）A 、89πB 、827πC 、224(21)π-D 、28(21)π-【2015高考天津，文10】一个几何体的三视图如图所示（单位:m ）,则该几何体的体积为 3m .【2015高考四川，文14】在三棱住ABC －A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，其正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是直角边长为1的等腰直角三角形，设点M ，N ，P 分别是AB ，BC ，B 1C 1的中点，则三棱锥P －A 1MN 的体积是______.斜二测法：原斜S S 42=例9：一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45，腰和上底边均为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积是（ ） A ．2221+B ． 22+C ．21+D ．221+例10：对于一个底边在x 轴上的三角形，采用斜二测画法作出其直观图，其直观图面积是原三角形面积的（ ）A ．2倍B ．24倍 C ．22倍 D ．12倍例11：如图，已知四边形ABCD 的直观图是直角梯形A 1B 1C 1D 1，且A 1B 1＝B 1C 1＝2A 1D 1＝2， 则四边形ABCD 的面积为( )A ．3B ．3 2C ．6 2D ．6例12：用斜二测画法画一个水平放置的平面图形为如下图的一个正方形，则原来图形的形状是（ ）旋转体：例13：下列几何体是旋转体的是（ ）A B C D 例14：如图，在四边形ABCD 中，090DAB ∠=，，，22CD =，2AD =，求四边形ABCD 绕AD 旋转一周所成几何体的表面积及体积. 真题：【2015高考山东，文9】已知等腰直角三角形的直角边的长为,将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( ) （A ）223π（B ）423π（）22π（）42π题型二：定义考察类题型例15：已知直线l 、m ,平面βα、，则下列命题中假命题是( )A ．若βα//，α⊂l ,则β//lB ．若βα//，α⊥l ,则β⊥lC ．若α//l ，α⊂m ,则m l //D ．若βα⊥，l =⋂βα,α⊂m ,l m ⊥,则β⊥m 例16：给定下列四个命题：①若一条直线与一个平面平行，那么过这条直线的平面与这个面相较，则这线平行于交线 ②若一条直线与一个平面垂直，那么这条直线垂直于这个平面内的任一直线 ③若两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行 ④若两个平面垂直，那么分别在这两个平面内的两直线垂直 其中，为真命题的是( )A ．○1和○2B ．○2和○3C ．○3和○4D ．○2和○4例17：已知,m n 是两条不同直线，,,αβγ是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ）A ．若α⊥β，m ⊂α,则m ⊥βB ．,,αγβγαβ⊥⊥若则‖C ．,,m m αβαβ若则‖‖‖D ．ββααβα⊥⇒=⋂⊥⊂⊥l c c l l ,,,例18：已知m n 、是两条不同的直线，αβ、是两个不同的平面，有下列命题： ①若,//m n αα⊂，则//m n ； ②若//m α，//m β，则//αβ； ③若,m m n α⊥⊥，则αn ； ④若,m m αβ⊥⊥，则//αβ； 其中真命题的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个例19：如图，四棱锥S —ABCD 的底面为正方形，SD ⊥底面ABCD ，则下列结论中不正确的是（ ）A 、AC ⊥SB B 、AB ∥平面SCDC 、SA 与平面SBD 所成的角等于SC 与平面SBD 所成的角 D 、AB 与SC 所成的角等于DC 与SA 所成的角例20：已知,αβ为不同的平面，A 、B 、M 、N 为不同的点，a 为直线，下列推理错误的是（ ） A.,,,,A a A B a B a βββ∈∈∈∈⇒⊂ B.,,,,M M N N MN αβαβαβ∈∈∈∈⇒=C.,,A A A αβαβ∈∈⇒=D.,,A B M A B M αβ∈∈、、、、且A 、B 、M 不共线αβ⇒、重合真题：【2015高考浙江，文4】设α，β是两个不同的平面，l ，m 是两条不同的直线，且l α⊂，m β⊂（ ）A ．若l β⊥，则αβ⊥B ．若αβ⊥，则l m ⊥C ．若//l β，则//αβD ．若//αβ，则//l m【2015高考广东，文6】若直线1l 和2l 是异面直线，1l 在平面α内，2l 在平面β内，l 是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是（ ）A ．l 至少与1l ，2l 中的一条相交B ．l 与1l ，2l 都相交C ．l 至多与1l ，2l 中的一条相交D ．l 与1l ，2l 都不相交【2015高考湖北，文5】12,l l 表示空间中的两条直线，若p ：12,l l 是异面直线；q ：12,l l 不相交，则（ ） A ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件 B ．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件C ．p 是q 的充分必要条件D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件题型三：直线与平面、平面与平面平行的判定与性质证明平行的方法：线线平行：相似，全等；平行线判断定理（内错角相等，同旁内角互补等），（高中阶段一般不考，只作为转化的一个桥梁）。
2020年高三数学一轮复习(备战2021)必备知识梳理 10 立体几何(文科)
备战2021高三数学一轮复习必备知识梳理10 立体几何一、空间几何体的三视图及其应用1.空间几何体的结构特征(1)简单多面体的结构特征①棱柱的侧棱都平行且相等，上下底面是全等的多边形.②棱锥的底面是任意多边形，侧面都是有一个公共顶点的三角形.③棱台可由平行于棱锥底面的平面截棱锥得到，其上下底面是相似的多边形.(1)旋转体的结构特征①圆柱由矩形绕其一边所在直线旋转而成.②圆锥由直角三角形绕其任一直角边所在直线旋转而成.③圆台由直角梯形绕其直角腰所在直线旋转而成.2.空间几何体的三视图几何体的三视图包括:正(主)视图、侧(左)视图、俯视图，分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察到的几何体的正投影图.3.4.(1)画法:常用斜二测画法.(2)规那么:①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x'轴、y'轴的夹角为①45°(或135°)，z'轴与x'轴和y'轴所在的平面垂直.②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴，平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半.二、球的体积与外表积1.球由半圆面绕其直径所在直线旋转一周而成.2.球的体积与外表积公式πR3.(1)球的体积公式V=43(2)球的外表积公式S=4πR2.3.球体的截面的特点球既是中心对称的几何体，又是轴对称的几何体，它的任何截面均为圆面，它的三视图都是圆.三、空间中点、线、面的位置关系1.平面的根本性质(1)公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内.(2)公理2:过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面.(3)公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线. (4)公理2的三个推论推论1:经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面. 推论2:经过两条相交直线有且只有一个平面. 推论3:经过两条平行直线有且只有一个平面. 2.空间中两直线的位置关系 (1)空间中两条直线的位置关系{共面直线{平行相交异面直线:不同在任何一个平面内(2)异面直线所成的角①定义:设a ，b 是两条异面直线，经过空间任一点O 作直线a'∥a ，b'∥b ，把a'与b'所成的锐角(或直角)叫作异面直线a 与b 所成的角(或夹角).②范围: (0，π2].(3)公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行.(4)等角定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补. 3.空间直线与平面、平面与平面的位置关系(1)直线与平面的位置关系有相交、平行、在平面内三种情况. (2)平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况. 四、直线、平面平行的判定与性质1. 图形语言2.平面与平面平行的判定定理和性质定理图形语言五、直线、平面垂直的判定与性质1.直线与平面垂直1.直线与平面垂直的定义如果一条直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直. 2.图形语言2.1.平面与平面垂直的定义两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直. 2.图形语言。
高考数学(立体几何)第一轮复习
高考数学（立体几何）第一轮复习资料知识点小结：高考立体几何知识点总结一 、空间几何体 （一） 空间几何体的类型1 多面体：由若干个平面多边形围成的几何体。
围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做多面体的顶点。
2 旋转体：把一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转形成了封闭几何体。
其中，这条直线称为旋转体的轴。
（二） 几种空间几何体的结构特征 1 、棱柱的结构特征1.1 棱柱的定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。
1.2 棱柱的分类棱柱四棱柱平行六面体直平行六面体长方体正四棱柱正方体 性质：Ⅰ、侧面都是平行四边形，且各侧棱互相平行且相等； Ⅱ、两底面是全等多边形且互相平行； Ⅲ、平行于底面的截面和底面全等；1.3 棱柱的面积和体积公式ch S 直棱柱侧（c 是底周长，h 是高） S 直棱柱表面 = c ·h+ 2S 底 V 棱柱 = S 底 ·h棱长都相等底面是正方形底面是矩形侧棱垂直于底面底面是平行四边形底面是四边形图1-1 棱柱2 、棱锥的结构特征2.1 棱锥的定义（1） 棱锥：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。
（2）正棱锥：如果有一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的投影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥。
2.2 正棱锥的结构特征Ⅰ、 平行于底面的截面是与底面相似的正多边形，相似比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比；它们面积的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的平方比；截得的棱锥的体积与原棱锥的体积的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的立方比；Ⅱ、 正棱锥的各侧棱相等，各侧面是全等的等腰三角形；正棱锥侧面积：1'2S ch =正棱椎（c 为底周长，'h 为斜高） 体积：13V Sh =棱椎（S 为底面积，h 为高）正四面体：对于棱长为a 正四面体的问题可将它补成一个边长为a 22的正方体问题。
高三文科数学一轮复习立体几何7-1
考基自主导学
考向探究导析
考题专项突破
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【试一试】 (2011· 山东)右图是长和宽分别相等的两个矩 形．给定下列三个命题：①存在三棱柱，其主视图、俯视图如 右图；②存在四棱柱，其主视图、俯视图如右图；③存在圆柱， 其主视图，俯视图如右图．其中真命题的个数是 ( A．3 B．2 )．
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2．旋转体的结构特征 (1)圆柱可以由矩形绕 一边所在直线 旋转一周得到． (2)圆锥可以由直角三角形绕 一条直角边所在直线 旋转一周得 到． (3)圆台可以由直角梯形绕 直角腰所在直线 旋转一周或等腰梯 形绕 上下底面中心所在直线 旋转半周得到，也可 由 平行于 底面的平面截圆锥得到． (4)球可以由半圆面绕 直径 旋转一周或圆面绕直径旋转半周得 到．
投影是线段，圆或椭圆；梯形的投影是线段或梯形；长方体的 投影是平行四边形． 答案 ②⑤
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考向一 简单几何体的结构特征 【例 1】►如果四棱锥的四条侧棱都相等，就称它为“等腰四棱 锥”，四条侧棱称为它的腰，以下 4 个命题中，假命题是 ( A．等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等 B．等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补 C．等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆 D．等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上 [审题视点] 可借助几何图形进行判断．
解析 所给选项中，A、C选项的正视图、俯视图不符合，D 选项的侧视图不符合，只有选项B符合． 答案 B
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5．下列图形：①线段；②直线；③圆；④梯形；⑤长方 体．其中投影不可能是线段的是________． 解析 线段的投影是点或线段，直线的投影是点或直线；圆的
高三一轮复习文科立体几何学案(精编文档).doc
【最新整理，下载后即可编辑】第一节空间几何体的结构特征一．知识梳理1．空间几何体的结构特征(1)多面体的结构特征多面体定义结构特征棱柱棱锥棱台旋转体定义旋转图形旋转轴圆柱圆锥圆台球2.（1.）画三视图的规则：（2）三视图的排列顺序：3．空间几何体的直观图：空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴，y′轴的夹角为________ ，z′轴与x′轴和y′轴所在平面________(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别________；平行于x 轴和z轴的线段在直观图中保持原长度________；平行于y轴的线段在直观图中长度为________直观图与原图形面积的关系按照斜二测画法得到的平面图形的直观图与原图形面积的关系：(1)S直观图＝24S原图形．(2)S原图形＝2 2二．考点突破空间几何体的结构特征[例1] (1)几何体一定是( )A．圆柱B．圆锥C．球体D．圆柱、圆锥、球体的组合体(2)下列说法正确的是( )A．有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱B．四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形C．有两个平面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台D．棱台的各侧棱延长后不一定交于一点（3）下列结论正确的是( )A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥B．以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边绕旋转轴旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长都相等，则该棱锥可能是六棱锥D．圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线（4）设有以下四个命题：①底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体；②底面是矩形的平行六面体是长方体；③直四棱柱是直平行六面体；④棱台的相对侧棱延长后必交于一点．其中真命题的序号是________．（5）有半径为r的半圆形铁皮卷成一个圆锥筒，那么这个圆锥筒的高为_______（6）用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16，截去的圆锥的母线长是3 cm，则圆台的母线长为________ cm.能力练通抓应用体验的“得”与“失”1．如果四棱锥的四条侧棱都相等，就称它为“等腰四棱锥”，四条侧棱称为它的腰，以下四个命题中，假命题是( )A．等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等B．等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补C．等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆D．等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上2．给出下列四个命题：①各侧面都是全等四边形的棱柱一定是正棱柱；②对角面是全等矩形的六面体一定是长方体；③有两侧面垂直于底面的棱柱一定是直棱柱；④长方体一定是正四棱柱．其中正确的命题个数是() A．0B．1 C．2 D．3空间几何体的三视图例1．（12，且侧棱AA1⊥平面A1B1C1，正视图是边长为2的正方形，该三棱柱的侧视图的面积为（）（2）一个简单几何体的正视图、俯视图如图所示，则其侧视图不可能为( )A ．正方形B ．圆C ．等腰三角形D ．直角梯形棱长均为3， （3）正四棱锥的底面边长为2，侧其正视图和侧视图是全等的等腰三角形，则正视图的周长为_______．[例2]（1）如图所示，四面体ABCD 的四个顶点是长方体的四个顶点，则四面体ABCD 的三视图是(用①②③④⑤⑥代表图形，按正视图，侧视图，俯视图的顺序排列)( ) A ．①②⑥ B ．①②③ C ．④⑤⑥ D ．③④⑤（2）将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧(左)视图为( )能力练通 抓应用体验的“得”与“失”1.如图，三棱锥V ABC 的底面为正三角形，侧面VAC 与底面垂直且VA ＝VC ，已知其正视图的面积为23，则其侧视图的面积为( )A.32B.33C.34D.362.如图所示，三棱锥P ABC 的底面ABC 是直角三角形，直角边长AB＝3，AC ＝4，过直角顶点的侧棱PA ⊥平面ABC ，且PA ＝5，则该三棱锥的正视图是( )3.已知三棱锥的俯视图与侧视图如图所示，俯视图是边长为2的正三角形，侧视图是有一条直角边为2的直角三角形，则该三棱锥的正视图可能为( )4.一个几何体的三视图如图所示，则侧视图的面积为________．空间几何体的直观图例1.（1）用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来的图形是( ) （2）已知正三角形ABC的边长为2，那么△ABC的直观图△A′B′C′的面积为________．能力练通抓应用体验的“得”与“失”1．用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图，边AB平行于y轴，BC，AD平行于x轴．已知四边形ABCD的面积为2 2 cm2，则原平面图形的面积为( )A．4 cm2B．4 2 cm2C．8 cm2D．8 2 cm22.等腰梯形ABCD，上底CD＝1，腰AD＝CB＝2，下底AB＝3，以下底所在直线为x轴，则由斜二测画法画出的直观图A′B′C′D′的面积为________．第二节空间几何体的表面积与体积一．知识梳理1．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱 圆锥圆台侧面展开图侧面积公式圆柱、圆锥、圆台侧面积间的关系：S 圆柱侧＝2πrl ――→r ′＝r S 圆台侧＝π(r ＋r ′)l ――→r ′＝0S 圆锥侧＝πrl .2．空间几何体的表面积与体积公式 （1）柱体： （2）锥体： （3）台体： 二．考点突破空间几何体的表面积[例1]（1） 某几何体的三视图如图所示，其中侧视图的下半部分曲线为半圆弧，则该几何体的表面积为( )A ．4π＋16＋4 3B ．5π＋16＋4 3C ．4π＋16＋2 3D ．5π＋16＋2 3(2)一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是( )A ．1＋ 3B ．2＋ 3C ．1＋2 2D ．2 2(2)图（1）图空间几何体的体积[例2] (1)( )A.16B.13C.12 D ．1(2)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.13＋2πB.13π6C.7π3D.5π2（3）已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( )（A ）223π（B ）423π（）22π（）42π能力练通 抓应用体验的“得”与“失” 1．一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.13＋23πB.13＋23πC.13＋26π D ．1＋2π 2.已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.5π3 cm 3 B ．2π cm 3C.7π3 cm 3 D ．3π cm 33.某几何体的三视图如图所示，则它的表面积为( ) A ．125＋20 B ．242＋20 C ．44 D ．12 51题图 2题图 4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于( )A ．8＋2 2B ．11＋2 2 .1422C +.15D5．中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造一种标准量器——商鞅铜方升，其三视图如图所示(单位：寸)：若π取3，其体积为12.6(立方寸)，则图中的x 的值为________．考点三球体1.球与正方体（1）正方体的内切球，位置关系：正方体的六个面都与一个球都相切，正方体中心与球心重合； 数据关系：设正方体的棱长为a ，球的半径为r ，这时有2r a =.（2）正方体的外接球， 位置关系：正方体的八个顶点在同一个球面上；正方体中心与球心重合； 数据关系：设正方体的棱长为a ，球的半径为r ，这时有23r a =.2.球与长方体：长方体内接于球，它的体对角线正好为球的直径. 例（1）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若球的体积为9π2，则正方体的棱长为________．（2）已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积为（ ）.A. 16πB. 20πC. 24πD. 32π3.正四面体.三棱锥与球的切接问题（1） 正四面体的内切球，位置关系：正四面体的四个面都与一个球相切，正四面体的中心与球心重合； 数据关系：设正四面体的棱长为a ，高为h ；球的半径为R ，这时有643R h a ==； （2）正四面体的外接球：例（1） 若一个正四面体的表面积为S 1，其内切球的表面积为S 2，则S 1S 2＝________.（2)已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，ABC ∆是边长为1的正三角形，SC 是球O 的直径，且2SC =；则此棱锥的体积为（）A.2 B.3 C.2 D.24.其它棱锥（柱）与球的切接问题（构造长方体、正方体模型） 例(1).若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是 .(2)三棱锥P ABC -的四个顶点都在球D 的表面上，PA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，2PA =，2AB BC ==，则球O 的体积为（3）直三棱柱111ABC A B C -的六个顶点都在球O 的球面上．若2AB BC ==，90ABC ∠=，122AA =，则球O 的表面积为____________．(4)正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为( )A.81π4 B ．16π C ．9π D.27π4能力练通 抓应用体验的“得”与“失”1.一个正方体削去一个角所得到的几何体的三视图如图所示(图中三个四边形都是边长为2的正方形)，则该几何体外接球的体积为________．2．一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削、打磨、加工成球，则能得到的最大球的半径等于( )A ．1B ．2C ．3D ．43．如图是某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为( )A ．200πB ．150πC ．100πD ．50π[全国卷5年真题集中演练——明规律](2013·全国新课标1已知H是球O的直径AB上一点，A H∶H B＝1∶2，AB⊥平面α，H为垂足，α截球O所得截面的面积为π，则球O的表面积为________．1．(2016·全国甲卷)如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )A．20πB．24πC．28πD．32π2．(2016·全国甲卷)体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为( )A．12π B.323π C．8π D．4π3．(2016·全国丙卷)在封闭的直三棱柱ABCA1B1C1内有一个体积为V的球．若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，则V的最大值是( )A．4π B.9π2C．6π D.32π34．(2015·新课标全国卷Ⅱ)一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如下图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )A.18B.17C.16D.15.5．(2015·新课标全国卷Ⅰ)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16＋20π，则r＝( ) A．1 B．2C．4 D．86．(2015·新课标全国卷Ⅰ)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有( )A ．14斛B ．22斛C ．36斛D ．66斛 7．(2015·新课标全国卷Ⅱ)已知A ，B 是球O 的球面上两点，∠AOB ＝90°，C 为该球面上的动点．若三棱锥O ABC 体积的最大值为36，则球O 的表面积为( )A ．36πB ．64πC ．144πD ．256π8．(2014·新课标全国卷Ⅱ)如图，网格纸上正方形小格的边长为1(表示1 cm)，图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3 cm ，高为6 cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为( )A.1727B.59C.1027D.139．(2013·新课标全国卷Ⅰ)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．16＋8πB ．8＋8πC ．16＋16πD ．8＋16π10．(2013·新课标全国卷Ⅰ)已知H 是球O 的直径AB 上一点，AH ∶HB ＝1∶2，AB ⊥平面α，H 为垂足，α截球O 所得截面的面积为π，则球O 的表面积为________．第三节 空间点、直线、平面之间的位置关系一．知识梳理1．公理1～3 表示 公理 文字语言 图形语言 符号语言公理1公理2推论1： 推论2： 推论3：3．空间中两直线的位置关系： 4.公理4和等角定理：①公理4：②等角定理： 5．异面直线所成的角(1)定义 (2)范围：6.空间中线面的位置关系：二．考点突破[例1] (1)①在空间中，若两条直线不相交，则它们一定平行；交；④空间四条直线a ，b ，c ，d ，如果a ∥b ，c ∥d ，且a ∥d ，那么b ∥c .A ．①②③B ．②④C ．③④D ．②③（2）下列说法正确的是( )A ．若a ⊂α，b ⊂β，则a 与b 是异面直线B ．若a 与b 异面，b 与c 异面，则a 与c 异面C ．若a ，b 不同在平面α内，则a 与b 异面D ．若a ，b 不同在任何一个平面内，则a 与b 异面 （3）以下四个命题中，正确命题的个数是( )①不共面的四点中，其中任意三点不共线；②若点A ，B ，C ，D 共面，点A ，B ，C ，E 共面，则A ，B ，C ，D ，E 共面；③若直线a ，b 共面，直线a ，c 共面，则直线b ，c 共面； ④依次首尾相接的四条线段必共面．A．0 B．1 C．2 D．3（4）下列命题中正确的是( )（填序号）①若直线l上有无数个点不在平面α内，则//lα②若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都平行。
文科立体几何知识点、方法总结高三复习 (1)
立体几何知识点整理一．直线和平面的三种位置关系：1. 线面平行l符号表示：2. 线面相交符号表示：3. 线在面内符号表示：二．平行关系：1.线线平行：方法一：用线面平行实现。
mlmll////⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⋂⊂βαβα方法二：用面面平行实现。
mlml////⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⋂=⋂βγαγβα方法三：用线面垂直实现。
若αα⊥⊥ml,，则ml//。
方法四：用向量方法：若向量和向量共线且l、m不重合，则ml//。
2.线面平行：方法一：用线线平行实现。
ααα////llmml⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊄⊂方法二：用面面平行实现。
αββα////ll⇒⎭⎬⎫⊂方法三：用平面法向量实现。
若n为平面α的一个法向量，ln⊥且α⊄l,则α//l。
3.面面平行：方法一：用线线平行实现。
βααβ//',','//'//⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⊂⊂且相交且相交mlmlmmll方法二：用线面平行实现。
βαβαα//,////⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂且相交mlml三．垂直关系：1. 线面垂直：方法一：用线线垂直实现。
αα⊥⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⊂=⋂⊥⊥lABACAABACABlACl,方法二：用面面垂直实现。
αββαβα⊥⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂⊥=⋂⊥llmlm,2. 面面垂直：方法一：用线面垂直实现。
βαβα⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥l l方法二：计算所成二面角为直角。
3. 线线垂直：方法一：用线面垂直实现。
m l m l ⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥αα方法二：三垂线定理及其逆定理。
PO l OA l PA l αα⊥⎫⎪⊥⇒⊥⎬⎪⊂⎭方法三：用向量方法：若向量和向量的数量积为0，则m l ⊥。
三．夹角问题。
(一) 异面直线所成的角： (1) 范围：]90,0(︒︒ (2)求法： 方法一：定义法。
步骤1：平移，使它们相交，找到夹角。
步骤2：解三角形求出角。
(常用到余弦定理) 余弦定理：abcb a 2cos 222-+=θ(计算结果可能是其补角)方法二：向量法。
高三文科数学一轮复习之立体几何
数学讲义之立体几何【主干内容】1【题型分类】题型一：点、直线、平面的位置关系〖例1〗（2011四川）l，l，l是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是312?l∥ll l⊥l，l⊥A．313221?l ⊥ll l⊥l，l∥B．313221?l，l，ll∥l共面 C．l∥322113D．l，l，l共点?l，l，l共面331122解： B. 对于A，直线l与l可能异面；对于C，直线l、l、l可能构成三33211棱柱三条侧棱所在直线而不共面；对于D，直线l、l、l相交于同一个点时321不一定共面. 所以选B.〖例2〗（2011宁波二模）已知a，β表示两个互相垂直的平面，a，b表示一对异面直线，则a ⊥b的一个充分条件是()A．a∥α，b⊥βB．a∥α，b∥βC．a⊥α，b∥βD．a⊥α，b⊥β解：a al?l不平行于平面，则）若直线，且〖例3〗（2011浙江aa l内不存在与B．平行的直线A．内存在直线与异面aa ll内的直线与D．都相交内存在唯一的直线与平行C．解：B??ca,b,,是两个不同的平面，是三条不同的直线，杭二模（2011）设〖例4〗ba?）则的一个充分条件为（?????b,a??,?ac,b?c．A． B?????b?aa,b//?,D．C．解：C题型二：空间几何体〖例1〗（2011浙江卷）若某几何体的三视图如图1－1所示，则这个几何体的直观图可以是() 21图1－；由侧视图可判断该该几何体的直观图是B.由正视图可排除A，C解： B.cm）如图（2010浙江）若某几何体的三视图（单位：〖例2〗所示，则此几何体的体积是3523cm．A33203cm．B32243cm C．31603cm．D3的中心，则四边BCCBA E、F分别为正方体的面ADD、面〖例3〗如图，1111（要求：把可能的在该正方体的面上的射影可能是图的②③E形BFD1.图的序号都填上）．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是) (20114〖例〗北京32＋3248 D．16A．32 B．16＋162 C．的正四棱锥，所解： B. 由题意可知，该四棱锥是一个底面边长为4，高为21B.2＝16＋，故选164×4＋4××4×22以其表面积为2则该几何体的1所示，安徽) 一个空间几何体的三视图如图1－〖例5〗(2011)( 表面积为1－图1 A．4817 B．32＋17 C．48＋80D．由三视图可知本题所给的是一个底面为等腰梯形的放倒的直四棱柱C. 解：)，所以该直四棱柱的表面积为(如图所示1S16×4＝48＋17.×4＋21＋＝2×(2＋4)×4＋4×4＋22?ABCBC?3120?D，，的底边顶角为杭二模)如图，已知等腰〖例6〗(2011BC?ADCCAD?1?BDAD 平面沿把边上一点，且. 折起，使得平面是C?ABD ABD．BC形成三棱锥，连接ABD；(Ⅰ) ①求证：AC⊥平面；体C-ABD的积②求三棱锥. 值的正弦面BCD所成的角(Ⅱ) 求AC与平?30C??B??，，解：(Ⅰ) ①由已知得题）（第203?AB?AC．30?cos?1?3?1?3?2AD=得， =1, 在△ABD中，由BD=1222AD.AC⊥，∵AC + AD=4 = CD, ∴在△ACD中∴AC⊥平面ABD. ADC平面⊥平面ABD，⊥平面ABD，AC②∵1111?3?)?sin?(3?1?30??SAC=V =∴ . DAB-C ABD?43321?BD，得CD = 2，) (Ⅱ由3. AE=EAEABC在平面内作等腰△底边上的高线，点为垂足，则2 4在三棱锥C-ABD中，连接，于点H，作AH⊥CECE，BD⊥平面ACEBD∵BD⊥AC，⊥AE，∴平面BCD，，，∴ BD⊥AH∴AH⊥面∵AH?平ACE . 的角与∴∠ACH是直线AC平面BCD所成20题）（第AEAC??CEACE?Rt在=，中，得?AHCE??sin?ACH，即直线AC与平面BCE．∴55P?ABCAB?ACDBC的中中，，〖例7〗(2011浙江)如图，在三棱锥为ADOPOABC. ⊥平面落在线段，垂足上点，BCAP⊥（Ⅰ）证明：；2OD3??4AO?BC?8PO.，（Ⅱ）已知，，CAP?B?.的大小求二面角【好题速递】则该几何体的体积为)设右图是某几何体的三视图，1. (2011湖南)(9918＋＋12 D.π．36π＋18 C.π＋A．9π42 B22的球，3【解析】由三视图可得这个几何体是由上面是一个直径为的长方体所构成的几何体，则其23高为下面是一个长、宽都为394??3??VVV D.，故选＋＋3×3×2＝＋＝×π×π体积为：18＝21??223在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图) 2. (2011全国)( 所示，则相应的侧视图可以为1－23图 1－ 2 1 图－由正视图和俯视图知几何体的直观图是由一个半圆锥和一个三棱锥【解析】D. 组合而成的，如图，故侧视图选 5，则该几何体的单位：m)－4所示(3. (2011天津)一个几何体的三视图如图13.m体积为________41－图根据三视图还原成直观图，可以看出其是由两个形状一样的，底面长【解析】V4. ＝1×2，高为2的长方体叠加而成，故其体积＝2×1×1＋1×和宽都为1BC＝90°，AD是)如图1－8，在△ABC中，∠ABC＝45°，∠BAC陕西4.(2011 BDC＝90°.上的高，沿AD把△ABD折起，使∠ BDC；(1)证明：平面ADB⊥平面的表面积．若(2)BD＝1，求三棱锥D－ABC8－图1 【解答】 (1)∵折起前AD是BC边上的高，DB. 折起后，AD⊥DC，AD⊥∴当△ABDBDC AD⊥平面又DB∩DC＝D.∴BDC.⊥平面ABD平面ABD，∴平面.∵AD 1. DC＝⊥DB⊥DC，DCDA，DB＝DA＝⊥由(2)(1)知，DADB，2.＝∴AB＝BC＝CA11.S从而＝S＝＝×1×1＝S DCA△DAB△△DBC2231.22＝S××sin60°＝×ABC△223＋313.S∴表面积＝×3＋＝2226。
一轮立体几何复习(文科)
立体几何一、考点分析：考点一：空间几何体的结构、三视图、直观图、表面积和体积了解和正方体、球有关的简单几何体的结构特征，理解柱、锥、台、球的结构特征，能画出简单空间几何体的三视图，会用斜二测画法画出它们的直观图，会用平行投影与中心投影两种方法，画出简单空间几何体的三视图或直观图，了解空间几何体的不同表示形式，能识别上述三视图所表示的空间几何体，理解三视图和直观图的联系，并能进行转化，会计算球、柱、锥、台的表面积和体积（不要求记忆公式）考点二：点、直线、平面的位置关系理解空间中点、线、面的位置关系的定义，了解四个公理及其推论；空间两直线的三种位置关系及其判定；异面直线的定义及其所成角的求法。
考点三：直线与平面、平面与平面平行和垂直的判定与性质掌握线面、面面平行（垂直）的判定与性质定理，能用判定定理证明线面、面面平行，线线、线面、面面垂直，会用性质定理解决线面、面面平行、线面、面面垂直的问题，理解线面角、二面角的概念，能证明一些空间位置关系的简单命题。
二、知识点指导：1、空间基本元素：直线与平面之间位置关系的小结。
如下图：在正棱锥中，要熟记由高PO ，斜高PM ，侧棱PA ，底面外接圆半径OA ，底面内切圆半径OM ，底面正多边形半边长OM ，构成的三棱锥，该三棱锥四个面均为直角三角形。
3、球是由曲面围成的旋转体。
研究球，主要抓球心和半径。
4、立体几何的学习，主要把握对图形的识别及变换（分割，补形，旋转等），因此，既要熟记基本图形中元素的位置关系和度量关系，也要能在复杂背景图形中“剥出”基本图形。
三、典型例题1．空间四边形中，互相垂直的边最多有（ ） A 、1对 B 、2对 C 、3对 D 、4对 2．底面是正三角形，且每个侧面是等腰三角形的三棱锥是A 、一定是正三棱锥B 、一定是正四面体C 、不是斜三棱锥D 、可能是斜三棱锥 3．(磨中)已知一个正四面体和一个正八面体的棱长相等，把它们拼接起来，使一个表面重合，所得多面体的面数有( )A 、7B 、8C 、9D 、104、一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为 。
2020年高考文科数学一轮总复习：立体几何
2020年高考文科数学一轮总复习：立体几何认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构．能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测法画出它们的直观图．会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式．会画某些建筑物的视图与直观图(在不影响图形特征的基础上，尺寸、线条等不作严格要求).空间点、直线、 理解空间直线、平面位置关系的定义． 了解可以作为推理依据的公理和定理．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的1．空间几何体的结构特征 (1)多面体的结构特征互相平行且相等多边形互相平行互相平行(1)画法：常用斜二测画法．(2)规则：①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴，y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直．②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴．平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半．3．三视图(1)几何体的三视图包括正视图、侧视图、俯视图，分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线．(2)三视图的画法①基本要求：长对正，高平齐，宽相等．②画法规则：正侧一样高，正俯一样长，侧俯一样宽；看到的线画实线，看不到的线画虚线．[注意](1)画三视图时，能看见的线用实线表示，不能看见的线用虚线表示．(2)同一物体，若放置的位置不同，则所得的三视图可能不同．常用知识拓展 1.特殊的四棱柱四棱柱――→底面为平行四边形平行六面体――→侧棱垂直于底面直平行六面体――→底面为矩形长方体――→底面边长相等正四棱柱――→侧棱与底面边长相等正方体上述四棱柱有以下集合关系：{正方体}{正四棱柱}{长方体}{直平行六面体}{平行六面体}{四棱柱}．2．常见旋转体的三视图(1)球的三视图都是半径相等的圆．(2)水平放置的圆锥的正视图和侧视图均为全等的等腰三角形． (3)水平放置的圆台的正视图和侧视图均为全等的等腰梯形． (4)水平放置的圆柱的正视图和侧视图均为全等的矩形.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱．( ) (2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥．( )(3)夹在两个平行的平面之间，其余的面都是梯形，这样的几何体一定是棱台．( ) (4)正方体、球、圆锥各自的三视图中，三视图均相同．( ) (5)用两平行平面截圆柱，夹在两平行平面间的部分仍是圆柱．( ) (6)菱形的直观图仍是菱形．( )答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)× (6)× 关于棱柱的下列说法错误的是( ) A ．棱柱的侧棱都相等 B ．棱柱的侧棱都平行C ．棱柱的两底面是全等的多边形D ．棱柱的侧面是全等的平行四边形 解析：选D.根据棱柱的结构特征可知选D.若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是( )解析：选B.根据选项A 、B 、C 、D 中的直观图，画出其三视图，只有B 项正确． (教材习题改编)若某几何体的三视图如图所示，则该几何体为________．答案：四棱柱与圆柱组合而成的简单组合体在直观图(如图所示)中，四边形O′A′B′C′为菱形且边长为2 cm，则在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCO为________，面积为________cm2.解析：由斜二测画法的特点，知该平面图形的直观图的原图，即在平面直角坐标系xOy 中，四边形ABCO是一个长为4 cm，宽为2 cm的矩形，所以四边形ABCO的面积为8 cm2.答案：矩形8空间几何体的结构特征(师生共研)(1)下列结论正确的是()A．侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥B．六条棱长均相等的四面体是正四面体C．有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱D．用一个平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫圆台(2)以下命题：①以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；②以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面．其中正确命题的个数为()A．0 B．1C．2 D．3【解析】(1)底面是等边三角形，且各侧面三角形全等，这样的三棱锥才是正三棱锥，A错；斜四棱柱也有可能两个侧面是矩形，所以C错；截面平行于底面时，底面与截面之间的部分才叫圆台，D错．(2)命题①错，因为这条边若是直角三角形的斜边，则得不到圆锥；命题②错，因为这条腰必须是垂直于两底的腰；命题③对．【答案】(1)B(2)B空间几何体概念辨析问题的常用方法1．下列结论中错误的是()A．由五个面围成的多面体只能是三棱柱B．正棱台的对角面一定是等腰梯形C．圆柱侧面上的直线段都是圆柱的母线D．各个面都是正方形的四棱柱一定是正方体解析：选A.由五个面围成的多面体可以是四棱锥，所以A选项错误．B，C，D说法均正确．2．下列说法正确的是()A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥B．夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥D．圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线解析：选D.如图知，A不正确，两个平行平面与底面不平行时，截得的几何体不是旋转体，故B不正确．侧棱长与底面多边形的边长相等的棱椎一定不是六棱锥，故C错误，由定义知，D正确．空间几何体的三视图(多维探究)角度一由空间几何体的直观图识别三视图(2018·高考全国卷Ⅲ)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来．构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是()【解析】由题意知，在咬合时带卯眼的木构件中，从俯视方向看，榫头看不见，所以是虚线，结合榫头的位置知选A.【答案】 A角度二由空间几何体的三视图还原直观图(2018·高考全国卷Ⅰ)某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为()A．217 B．2 5C．3 D．2【解析】由三视图可知，该几何体为如图①所示的圆柱，该圆柱的高为2，底面周长为16.画出该圆柱的侧面展开图，如图②所示，连接MN，则MS＝2，SN＝4，则从M到N 的路径中，最短路径的长度为MS2＋SN2＝22＋42＝2 5.故选B.【答案】 B角度三已知几何体的某些视图，判断其他视图已知一三棱锥的俯视图与侧视图如图所示，俯视图是边长为2的正三角形，侧视图是有一条直角边为2的直角三角形，则该三棱锥的正视图可能为()【解析】由已知条件得直观图如图所示，正视图是直角三角形，中间的线是看不见的线P A形成的投影，应为虚线．故选C.【答案】 C三视图还原的三种方法(1)熟悉常见几何体的三视图，如两个矩形、一个圆形为圆柱，三个三角形为三棱锥等．(2)直接还原．将几何体放在长方体或正方体中，一般从俯视图入手，找几何体顶点的位置，再确定实虚线．(3)将几何体放入柱体或锥体中，通过合理切割得到相应几何体．1．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体是()A．圆柱B．三棱柱C．球D．四棱柱解析：选B.由已知中的三视图可得该几何体是三棱柱，故选B.2．(2019·唐山市五校联考)如图是一个空间几何体的正视图和俯视图，则它的侧视图为()解析：选A.由正视图和俯视图可知，该几何体是由一个圆柱挖去一个圆锥构成的，结合正视图的宽及俯视图的直径可知侧视图应为A，故选A.3．如图1所示，是一个棱长为2的正方体被削去一个角后所得到的几何体，其中DD1＝1，AB＝BC＝AA1＝2，若此几何体的俯视图如图2所示，则可以作为其正视图的是()解析：选C.根据该几何体的直观图和俯视图知，其正视图的长应为底面正方形的对角线长，宽应为正方体的棱长，故排除B，D；而在三视图中看不见的棱用虚线表示，故排除A.空间几何体的直观图(师生共研)(1)已知正三角形ABC 的边长为a ，那么△ABC 的平面直观图△A ′B ′C ′的面积为( )A.34a 2B.38a 2C.68a 2 D.616a 2 (2)如图，矩形O ′A ′B ′C ′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O ′A ′＝6 cm ，O ′C ′＝2 cm ，则原图形是( )A ．正方形B ．矩形C ．菱形D ．一般的平行四边形【解析】 (1)如图①②所示的实际图形和直观图，由②可知，A ′B ′＝AB ＝a ，O ′C ′＝12OC ＝34a ，在图②中作C ′D ′⊥A ′B ′于D ′，则C ′D ′＝22O ′C ′＝68a ，所以S △A ′B ′C ′＝12A ′B ′·C ′D ′＝12×a ×68a ＝616a 2.故选D. (2)如图，在原图形OABC 中，应有OD ＝2O ′D ′＝2×22＝42(cm)，CD ＝C ′D ′＝2 cm.所以OC ＝OD 2＋CD 2＝（42）2＋22＝6(cm)，所以OA ＝OC ，故四边形OABC 是菱形，故选C.【答案】 (1)D (2)C平面图形直观图与原图形面积间的关系对于几何体的直观图，除掌握斜二测画法外，记住原图形面积S 与直观图面积S ′之间的关系S ′＝24S ，能更快捷地进行相关问题的计算．如图，正方形OABC 的边长为1 cm ，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是________cm.解析：由题意知正方形OABC的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，所以OB＝ 2 cm，对应原图形平行四边形的高为2 2 cm，所以原图形中，OA＝BC＝1 cm，AB＝OC＝（22）2＋12＝3 cm，故原图形的周长为2×(1＋3)＝8 cm.答案：8[基础题组练]1．下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是()A．①②B．①③C．①④D．②④解析：选D.正方体的三视图都是正方形，不符合题意；圆锥的正视图和侧视图都是等腰三角形，俯视图是圆(包含圆心)，符合题意；三棱台的正视图、侧视图和俯视图各不相同，不符合题意；正四棱锥的正视图和侧视图都是等腰三角形，俯视图是正方形(含两条对角线)，符合题意．故选D.2．下列说法正确的有()①两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；②经过球面上不同的两点只能作一个大圆；③各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体；④圆锥的轴截面是等腰三角形．A．1个B．2个C．3个D．4个解析：选A.①中若两个底面平行且相似，其余各面都是梯形，并不能保证侧棱会交于一点，所以①不正确；②中若球面上不同的两点恰为球的某条直径的两个端点，则过此两点的大圆有无数个，所以②不正确；③中底面不一定是正方形，所以③不正确；很明显④是正确的．3．(2019·沈阳市教学质量监测(一))“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖)．其直观图如图所示，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线．当其正视图和侧视图完全相同时，它的俯视图可能是()解析：选B.根据直观图以及图中的辅助四边形分析可知，当正视图和侧视图完全相同时，俯视图为B ，故选B.4.如图所示，在三棱台A ′B ′C ′ABC 中，沿A ′BC 截去三棱锥A ′ABC ，则剩余的部分是( )A ．三棱锥B ．四棱锥C ．三棱柱D ．组合体解析：选B.如图所示，在三棱台A ′B ′C ′ABC 中，沿A ′BC 截去三棱锥A ′ABC ，剩余部分是四棱锥A ′BCC ′B ′.5．有一个长为5 cm ，宽为4 cm 的矩形，则其直观图的面积为________． 解析：由于该矩形的面积S ＝5×4＝20(cm 2)，所以其直观图的面积S ′＝24S ＝52(cm 2)． 答案：5 2 cm 26．一个圆台上、下底面的半径分别为3 cm 和8 cm ，若两底面圆心的连线长为12 cm ，则这个圆台的母线长为________cm.解析：如图，过点A 作AC ⊥OB ，交OB 于点C . 在Rt △ABC 中，AC ＝12 cm ，BC ＝8－3＝5(cm)． 所以AB ＝122＋52＝13(cm)． 答案：137．如图1，在四棱锥P -ABCD 中，底面为正方形，PC 与底面ABCD 垂直，图2为该四棱锥的正视图和侧视图，它们是腰长为6 cm 的全等的等腰直角三角形．(1)根据所给的正视图、侧视图，画出相应的俯视图，并求出该俯视图的面积； (2)求P A 的长．解：(1)该四棱锥的俯视图为(内含对角线)边长为6 cm 的正方形，如图，其面积为36 cm 2.(2)由侧视图可求得PD ＝PC 2＋CD 2＝62＋62＝6 2 (cm)． 由正视图可知AD ＝6 cm ，且AD ⊥PD ， 所以在Rt △APD 中， P A ＝PD 2＋AD 2＝（62）2＋62＝6 3 (cm)．8.如图所示，在侧棱长为23的正三棱锥V -ABC 中，∠AVB ＝∠BVC＝∠CVA ＝40°，过A 作截面AEF ，求△AEF 周长的最小值．解：如图，将三棱锥沿侧棱VA 剪开，并将其侧面展开平铺在一个平面上，则线段AA 1的长即为所求△AEF 的周长的最小值．取AA 1的中点D ， 连接VD ，则VD ⊥AA 1，∠AVD ＝60°. 在Rt △VAD 中， AD ＝VA ·sin 60°＝3， 所以AA 1＝2AD ＝6， 即△AEF 周长的最小值为6.[综合题组练]1．(2019·贵阳市适应性考试(一))如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的四个面的面积中最大的是( )A ．16B ．8C ．4 3D ．4 2解析：选B.三视图对应的几何体的直观图如图所示，由题意知，AB ＝4，AB ⊥平面BCD ，所以AB ⊥CD .在△BCD 中，BC ＝CD ＝22，BD ＝4，所以BC ⊥CD ，又AB ∩BC ＝B ，所以CD ⊥平面ABC ，所以CD ⊥AC .所以S △BCD ＝12BC ·CD ＝4，S △ABC ＝12BC ·AB ＝42，S △ABD＝12BD ·AB ＝8，S △ACD ＝12AC ·CD ＝12AB 2＋BC 2·CD ＝4 3.故选B.2．(2018·高考北京卷)某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C.将三视图还原为直观图，几何体是底面为直角梯形，且一条侧棱和底面垂直的四棱锥，如图所示．易知，BC∥AD，BC＝1，AD＝AB＝P A＝2，AB⊥AD，P A⊥平面ABCD，故△P AD，△P AB为直角三角形，因为P A⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以P A⊥BC，又BC⊥AB，且P A∩AB＝A，所以BC⊥平面P AB，又PB⊂平面P AB，所以BC⊥PB，所以△PBC为直角三角形，容易求得PC＝3，CD＝5，PD＝22，故△PCD不是直角三角形，故选C.3．正四棱锥的底面边长为2，侧棱长均为3，其正视图和侧视图是全等的等腰三角形，则正视图的周长为______________________________________________．解析：由题意知，正视图就是如图所示的截面PEF，其中E，F分别是AD，BC的中点，连接AO，易得AO＝2，又P A＝3，于是解得PO＝1，所以PE＝2，故其正视图的周长为2＋2 2.答案：2＋2 24．如图是一个几何体的三视图，则该几何体任意两个顶点间距离的最大值是________．解析：作出直观图如图所示，通过计算可知AF、DC最长且DC＝AF＝BF2＋AB2＝3 3.答案：3 35．某几何体的三视图如图所示．(1)判断该几何体是什么几何体？ (2)画出该几何体的直观图．解：(1)该几何体是一个正方体切掉两个14圆柱后得到的几何体．(2)直观图如图所示．6．(综合型)如图是一个几何体的正视图和俯视图．(1)试判断该几何体是什么几何体； (2)画出其侧视图，并求该平面图形的面积． 解：(1)正六棱锥．(2)其侧视图如图： 其中AB ＝AC ，AD ⊥BC ，且BC 的长是俯视图中的正六边形对边的距离， 即BC ＝3a ，AD 的长是正六棱锥的高，即AD ＝3a ， 所以该平面图形的面积S ＝12·3a ·3a ＝32a 2.第2讲 空间几何体的表面积与体积1．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及其侧面积公式S S S＝常用知识拓展1．正方体的棱长为a，外接球的半径为R，内切球的半径为r.(1)若球为正方体的外接球，则2R＝3a.(2)若球为正方体的内切球，则2r＝a.(3)若球与正方体的各棱相切，则2R′＝2a.2．长方体的共顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝a2＋b2＋c2.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)多面体的表面积等于各个面的面积之和．()(2)锥体的体积等于底面积与高之积．()(3)球的体积之比等于半径比的平方．()(4)简单组合体的体积等于组成它的简单几何体体积的和或差．()(5)长方体既有外接球又有内切球．()答案：(1)√(2)×(3)×(4)√(5)×以长为a，宽为b的矩形的一边所在的直线为轴旋转一周所得圆柱的侧面积为() A．ab B．πabC．2πab D．2ab解析：选C.若以长边所在的直线为轴旋转，则S侧＝2πab，若以短边所在的直线为轴旋转，则S侧＝2πba.所以S圆柱侧＝2πab，故选C.某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积是( )A ．8 cm 3B ．12 cm 3 C.323cm 3 D.403cm 3 解析：选C.由三视图可知，该几何体是由一个正方体和一个正四棱锥构成的组合体．下面是棱长为2 cm 的正方体，体积V 1＝2×2×2＝8(cm 3)；上面是底面边长为2 cm ，高为2 cm 的正四棱锥，体积V 2＝13×2×2×2＝83(cm 3)，所以该几何体的体积V ＝V 1＋V 2＝323(cm 3)．(2018·高考天津卷)如图，已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，则四棱锥A 1BB 1D 1D 的体积为____________．解析：法一：连接A 1C 1交B 1D 1于点E ，则A 1E ⊥B 1D 1，A 1E ⊥BB 1，则A 1E ⊥平面BB 1D 1D ，所以A 1E 为四棱锥A 1BB 1D 1D 的高，且A 1E ＝22，矩形BB 1D 1D 的长和宽分别为2，1，故VA 1BB 1D 1D ＝13×1×2×22＝13.法二：连接BD 1，则四棱锥A 1BB 1D 1D 分成两个三棱锥B -A 1DD 1与B -A 1B 1D 1，V A 1BB 1D 1D＝V B A 1DD 1＋V B A 1B 1D 1＝13×12×1×1×1＋13×12×1×1×1＝13.答案：13(2017·高考全国卷Ⅱ)长方体的长、宽、高分别为3，2，1，其顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为________．解析：依题意得，长方体的体对角线长为32＋22＋12＝14，记长方体的外接球的半径为R ，则有2R ＝14，R ＝142，因此球O 的表面积等于4πR 2＝14π. 答案：14π空间几何体的表面积(师生共研)(1)(2018·高考全国卷Ⅰ)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O 1，O 2，过直线O 1O 2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为( )A ．122πB ．12πC ．82πD ．10π(2)(2019·沈阳质量检测(一))某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面积是( )A ．4＋4 2B ．42＋2C ．8＋4 2D. 83【解析】 (1)因为过直线O 1O 2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，所以圆柱的高为22，底面圆的直径为22，所以该圆柱的表面积为2×π×(2)2＋22π×22＝12π.(2)由三视图可知该几何体是一个四棱锥，记为四棱锥P -ABCD ，如图所示，其中P A ⊥底面ABCD ，四边形ABCD 是正方形，且P A ＝2，AB ＝2，PB ＝22，所以该四棱锥的侧面积S 是四个直角三角形的面积和，即S ＝2×⎝⎛⎭⎫12×2×2＋12×2×22＝4＋42，故选A. 【答案】 (1)B (2)A空间几何体表面积的求法(1)以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量关系．(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积问题应注意衔接部分的处理． (3)旋转体的表面积问题应注意其侧面展开图的应用．1．(2019·湖南五市联考)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是( )A ．20＋4 5B ．12＋4 5C ．20＋2 5D ．12＋2 5解析：选A.由三视图知该几何体是一个直三棱柱，底面是直角边分别为4，2的直角三角形，高为2，所以该几何体的表面积是(2＋4＋22＋42)×2＋2×12×2×4＝20＋45，故选A.2．(2019·郑州市第二次质量预测)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是( )A ．20＋2πB ．24＋(2－1)πC ．24＋(2－2)πD ．20＋(2＋1)π解析：选B.由三视图知，该几何体是由一个棱长为2的正方体挖去一个底面半径为1、高为1的圆锥后所剩余的部分，所以该几何体的表面积S ＝6×22－π×12＋π×1×2＝24＋(2－1)π，故选B.空间几何体的体积(多维探究) 角度一 求简单几何体的体积(1)(2018·高考浙江卷)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm 3)是( )A ．2B ．4C ．6D ．8(2)(一题多解)(2017·高考全国卷Ⅱ)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为( )A ．90πB ．63πC ．42πD ．36π【解析】 (1)由三视图可知，该几何体是一个底面为直角梯形的直四棱柱，所以该几何体的体积V ＝12×(1＋2)×2×2＝6.故选C.(2)法一(补形法)：如图所示，由几何体的三视图，可知该几何体是一个圆柱被截去上面虚线部分所得．将圆柱补全，并将圆柱体从点A 处水平分成上下两部分．由图可知，该几何体的体积等于下部分圆柱的体积加上上部分圆柱体积的12，所以该几何体的体积V ＝π×32×4＋π×32×6×12＝63π. 法二(估值法)：由题意，知12V 圆柱<V 几何体<V 圆柱．又V 圆柱＝π×32×10＝90π，所以45π<V 几何体<90π.观察选项可知只有63π符合．【答案】 (1)C (2)B 角度二 求组合体的体积(2019·福州市质量检测)如图，网格纸上小正方形的边长为1，实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )A.π12＋3 B.π12＋6 C.π3＋3 D.π3＋6【解析】 由三视图可知，该几何体是由直四棱柱与圆锥拼接而成的简单组合体，如图所示．由题设得，V 四棱柱＝12×(1＋2)×2×1＝3，V圆锥＝13π⎝⎛⎭⎫122×1＝π12，所以该几何体的体积V ＝V 四棱柱＋V 圆锥＝3＋π12.故选A.【答案】 A求空间几何体的体积的常用方法1．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．16B ．14C ．12D ．10解析：选B.由三视图可知，此几何体是一个组合体，由四部分组成，其中三部分是完全相同的长方体，每一个长方体的体积为2×2×1＝4，另外一部分是三棱柱，其体积为12×2×2×1＝2，所以该几何体的体积为3×4＋2＝14.故选B.2.如图是一个以A 1B 1C 1为底面的直三棱柱被一平面所截得到的几何体，截面为ABC ，已知A 1B 1＝B 1C 1＝2，∠A 1B 1C 1＝90°，AA 1＝4，BB 1＝3，CC 1＝2，则几何体的体积为____________．解析：过C 作平行于平面A 1B 1C 1的截面A 2B 2C ，交AA 1，BB 1分别于点A 2，B 2.由直三棱柱性质及∠A 1B 1C 1＝90°， 则V ＝V A1B 1C 1A 2B 2C ＋V C ABB 2A 2＝12×2×2×2＋13×12×(1＋2)×2×2＝6. 答案：6球与空间几何体的接、切问题(师生共研)(1)(2017·高考全国卷Ⅲ)已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为( )A.πB.3π4C.π2D.π4(2)(2018·高考全国卷Ⅲ)设A ，B ，C ，D 是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC 为等边三角形且其面积为93，则三棱锥D -ABC 体积的最大值为( )A ．12 3B ．18 3C ．24 3D ．54 3【解析】 (1)设圆柱的底面半径为r ，则r 2＝12－⎝⎛⎭⎫122＝34，所以，圆柱的体积V ＝34π×1＝3π4，故选B.(2)设等边三角形ABC 的边长为x ，则12x 2sin 60°＝93，得x ＝6.设△ABC 的外接圆半径为r ，则2r ＝6sin 60°，解得r ＝23，所以球心到△ABC 所在平面的距离d ＝42－（23）2＝2，则点D 到平面ABC 的最大距离d 1＝d ＋4＝6，所以三棱锥D -ABC 体积的最大值V max ＝13S △ABC ×6＝13×93×6＝18 3. 【答案】 (1)B (2)B处理球的“切”“接”问题的求解策略(1)“切”的处理与球有关的内切问题主要是指球内切多面体与旋转体，解答时首先要找准切点，通过作截面来解决．如果内切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作．(2)“接”的处理把一个多面体的几个顶点放在球面上即为球的外接问题．解决这类问题的关键是抓住外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径．1．正四棱锥P -ABCD 的侧棱和底面边长都等于22，则它的外接球的表面积是( ) A ．16π B ．12π C ．8πD ．4π解析：选A.设正四棱锥的外接球半径为R ，顶点P 在底面上的射影为O ，因为OA ＝12AC＝12AB 2＋BC 2＝12（22）2＋（22）2＝2，所以PO ＝P A 2－OA 2＝（22）2－22＝2.又OA ＝OB ＝OC ＝OD ＝2，由此可知R ＝2，于是S 球＝4πR 2＝16π.2．设球O 内切于正三棱柱ABC -A 1B 1C 1，则球O 的体积与正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的体积的比值为________．解析：设球O 半径为R ，正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的底面边长为a ，则R ＝33×a 2＝36a ，即a ＝23R ，又正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的高为2R ，所以球O 的体积与正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的体积的比值为43πR 334a 2×2R ＝43πR 334×12R 2×2R ＝23π27.答案：23π27直观想象——数学文化与三视图(2019·长春市质量检测(一))《九章算术》卷五商功中有如下问题：今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈，问积几何？刍甍：底面为矩形的屋脊状的几何体(网格纸中粗线部分为其三视图，设网格纸上每个小正方形的边长为1)，那么该刍甍的体积为( )A ．4B ．5C ．6D ．12【解析】 如图，由三视图可还原得几何体ABCDEF ，过E ，F 分别作垂直于底面的截面EGH 和FMN ，将原几何体拆分成两个底面积为3，高为1的四棱锥和一个底面积为32，高为2的三棱柱，所以V ABCDEF ＝2V 四棱锥E -ADHG ＋V 三棱柱EHG -FNM＝2×13×3×1＋32×2＝5，故选B. 【答案】 B本题是数学文化与三视图结合，主要是根据几何体的三视图及三视图中的数据，求几何体的体积或侧(表)面积．此类问题难点：一是根据三视图的形状特征确定几何体的结构特征；二是将三视图中的数据转化为几何体的几何度量．考查了直观想象这一核心素养．(2019·郑州市第二次质量预测)我国南北朝时期数学家、天文学家——祖暅，提出了著名的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”，“幂”是截面积，“势”是几何体的高，意思是两等高立方体，若在每一等高处的截面积都相等，则两立方体体积相等．已知某不规则几何体与如图所对应的几何体满足“幂势同”，则该不规则几何体的体积为( )A ．4－π2B ．8－4π3C ．8－πD ．8－2π解析：选C.由祖暅原理可知，该不规则几何体的体积与已知三视图的几何体体积相等．根据题设所给的三视图，可知题图中的几何体是从一个正方体中挖去一个半圆柱，正方体的体积为23＝8，半圆柱的体积为12×(π×12)×2＝π，因此该不规则几何体的体积为8－π，故选C.[基础题组练]1．(2019·安徽合肥质检)已知圆锥的高为3，底面半径为4，若一球的表面积与此圆锥侧面积相等，则该球的半径为( )A ．5 B. 5 C ．9D ．3解析：选B.因为圆锥的底面半径r ＝4，高h ＝3，所以圆锥的母线l ＝5，所以圆锥的侧面积S ＝πrl ＝20π，设球的半径为R ，则4πR 2＝20π，所以R ＝5，故选B.2．《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”．已知某“堑堵”的三视图如图所示，俯视图中间的实线平分矩形的面积，则该“堑堵”的侧面积为( )A ．2B ．4＋2 2C ．4＋4 2D ．4＋6 2解析：选C.由三视图知，该几何体是直三棱柱ABC -A 1B 1C 1，其中AB ＝AA 1＝2，BC ＝AC ＝2，∠C ＝90°，其直观图如图所示，侧面为三个矩形，故该“堑堵”的侧面积S ＝(2＋22)×2＝4＋42，故选C.。
第一轮复习自己整理绝对经典2016立体几何文科--第一轮
立体几何题型总结（2015版文科）重要定理：直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这两条直线垂直于这个平面.直线和平面平行性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.平面平行判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行. 两个平面垂直性质判定：如果一个平面与一条直线垂直，那么经过这条直线的平面垂直于这个平面.两个平面垂直性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线也垂直于另一个平面.推论：如果两个相交平面都垂直于第三平面，则它们交线垂直于第三平面.证明：如图，找O 作OA 、OB 分别垂直于21,l l ， 因为ααββ⊥⊂⊥⊂OB PM OA PM ,,,则OB PM OA PM ⊥⊥,.一：夹角问题① 异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的取值范围依次.② 直线的倾斜角、到的角、与的夹角的取值范围依次是．异面直线所成角：范围：]90,0(︒︒（1）平移法：在异面直线中的一条直线中选择一特殊点，作另一条的平行线构成三角形；解三角形求出角。
(常abc b a 2cos 222-+=θ)用到余弦定理（2）补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体、长方体等，其目的在于容易发现两条异面直线间的关系； (3)向量法。
转化为向量的夹角ACAB AC AB ⋅⋅=θcos(计算结果可能是其补角)直线与平面所成的角θαα＝时，∥或0b ob ⊂斜线和平面所成的是一个直角三角形的锐角，它的三条边分别是平面的垂线段、斜线段及斜线段在平面上的射影。
通常通过斜线上某个特殊点作出平面的垂线段，垂足和斜足的连线，是产生线面角的关键；向量法：设直线l 的方向向量为l ，平面α的法向量为n ，l 与α所成的角为θ，l 与n 的夹角为ϕ，则有sin cos l n l nθϕ⋅==的求法二面角l αβ--的平面角，（1）定义法：在棱l 上取一点P ，两个半平面内分别作l 的垂线（射线）m 、n ，则射线m 和n 的夹角θ为二面角α—l —β的平面角。
立体几何高三第一轮复习(含知识点)
第一讲 空间几何体新课标数学高考《考试大纲》中对“空间几何体”部分的要求：① 认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构. ② 能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测法画出它们的直观图. ③ 会用平行投影与中心投影两种方法，画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式. ④ 会画某些建筑物的视图与直观图（在不影响图形特征的基础上，尺寸、线条等不作严格要求）. ⑤ 了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式）.一、基础知识梳理：1。
多面体：由若干个______________围成的几何体，叫做多面体。
围成多面体的各个多边形叫做多面体的_____,相邻两个面的公共边叫做多面体的_______,棱与棱的公共点叫做多面体的_________. 2。
棱柱：有两个面互相_______，其余各面都是_________，并且每相邻两个四边形的公共边都__________，由这些面所围成的多面体叫做棱柱。
两个互相平行的面叫做________,其余各面叫做_________.棱柱的性质：侧棱都________，侧面是_____________；两个底面与平行于底面的截面是_______________；过不相邻的两条侧棱的截面是_____________。
3。
棱锥：有一个面是______，其余各面都是有一个公共顶点的_______，由这些面所围成的多面体叫做棱锥。
底面是___________，且各侧面______________的棱锥叫做正棱锥。
正棱锥的性质：各侧棱_____，各侧面都是________________；顶点在底面上的射影是底面正多边形的_____。
棱锥的高、斜高和___________________组成一个直角三角形，棱锥的高、_______和侧棱在底面上的射影也组成一个直角三角形。