2016-2017学年湖北省华中师范大学第一附属中学高二下学期期中考试数学(文)试题
华中师大一附中2016-2017学年度下学期高二期中检测数学（文）试题考试时间：120分钟 试卷满分：150分一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把答案填在答题卡相应位置上） 1.i 为虚数单位，则21i i=+ A.1i -B.1i --C.1i -+D.1i +2.若0a b <<，则下列不等式中错误的．．．是A.11a b> B.11a b a>- C.a b > D.22a b >3.我国南宋数学家秦九韶所著《数学九章》中有“米谷粒分”问题：粮仓开仓收粮，粮农送来米1512石，验得米内夹谷.取一把米，数得216粒内夹谷27粒，则这批米内夹谷约A.164石B.178石C.189石D.196石4.平面直角坐标系xOy 中，满足221,0,0x y x y +≤≥≥的点(,)P x y 的集合对应的平面图形的面积为4π；类似的，在空间直角坐标系Oxyz 中，满足2221,0,0,0x y z x y z ++≤≥≥≥的点(,,)P x y z 的集合对应的 空间几何体的体积为A.8πB.6πC.4πD.3π5. 若a 是从区间[]0,3内任取的一个数，b 是从区间[]0,2内任取的一个数，则关于x 的一元二次方程2220x ax b ++=有实根的概率为A.13B.14C.23D.346.某长方体被一平面所截，得到的几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为A.4B.22C.42D.8正视图1 21 12侧视图22ADCBE7.如图，已知一个八面体各棱长均为1，四边形ABCD 为正方形，则下列命题中不正确．．．的是 A.不平行的两条棱所在直线所成的角为60︒或90︒ B.四边形AECF 为正方形 C.点A 到平面BCE 的距离为64D.该八面体的顶点在同一个球面上8.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，点M ，N ，F 分别为椭圆C 的左顶点，上顶点，左焦点.若90MFN NMF ∠=∠+︒，则椭圆C 的离心率为A.512- B.312- C.212- D.229. 已知函数()f x ',()f x 的图象如图所示，则函数()()x f x g x e=的单调递减区间为 A.()0,4B. ()4,1,,43⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C. 40,3⎛⎫⎪⎝⎭D. ()()0,1,4,+∞10.给出定义：()f x '是()f x 的导函数，()f x ''是()f x '的导函数，若方程()0f x ''=有实数解0x ，则称点()00,()x f x 为函数()f x 的“拐点”.已知函数()34sin cos f x x x x =+-的“拐点”是点()00,()M x f x ，则点M 在A.直线3y x =-上B. 直线3y x =上C. 直线4y x =-上D. 直线4y x =上11.已知函数2()4ln f x ax ax x =--，则()f x 在区间()1,3上不单调的一个充分不必要条件是A.1,6a ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭B. 1,2a ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭C. 11,26a ⎛⎫∈-⎪⎝⎭ D. 1,2a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭12. 设二次函数2()f x ax bx c =++的导函数为()f x '，则对x R ∀∈，不等式()()f x f x '≥恒成立，则2222b a c+的最大值为 A.62+B.62-C.62+D.62-二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡相应位置上） 13.已知复数z 为纯虚数，且()21z i ai +=+，则实数a 的值为__________14.若关于x 的不等式13x x m +--≤的解集为空集，则m 的取值范围为_________434 x21 0y15.已知F 是双曲线22:18y C x -=的右焦点，P 为左支上任意一点，点()0,66A ，当△PAF 的周长最小时，点P 坐标为___________ 16.已知函数()xx f x e =，若关于x 的方程()10f x m -+=恰有三个不等实根，则实数m 的取值范围为____________三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，把答案填在答题卡相应位置上）17.(本题满分10分) 已知函数2()ln ,()()3f x x g x f x ax x ==+-，函数()g x 的图象在点()1,(1)g 处的切线平行于x 轴.（1）求a 的值； （2）求函数()g x 的极值.18. (本题满分10分) 已知命题p ：方程2220a x ax +-=在区间[]0,1上有解，命题q ：对于x R ∀∈，不等式sin cos x x a +>恒成立.若命题p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，求实数a 的取值范围.19. (本题满分12分)如图，在边长为3的菱形ABCD 中，∠ABC =60°，PA ⊥平面ABCD ，且3PA =，E 为PD 中点，F 在棱PA 上，且1AF =.（1）求证：CE ∥平面BDF ； （2）求点P 到平面BDF 的距离.20. (本题满分12分)为了传承经典，促进学生课外阅读，某校从高中年级和初中年级各随机抽取100名学生进行有关对中国四大名著常识了解的竞赛.图1和图2分别是高中年级和初中年级参加竞赛的学生成绩按照[)[)[)[)40,50,50,60,60,70,70,80分组，得到的频率分布直方图.PDCF EBA40 50 60 70 80 40 50 60 70 80 成绩成绩0.010.02 0.030.04 0.015 0.035 频率/组距频率/组距（1）分别计算参加这次知识竞赛的两个学段的学生的平均成绩；（2）规定竞赛成绩达到[)75,80为优秀，经统计初中年级有3名男同学，2名女同学达到优秀，现从上述5人中任选两人参加复试，求选中的2人恰好都为女生的概率；（3）完成下列22⨯的列联表，并回答是否有99%的把握认为“两个学段的学生对四大名著的了解有差异”？成绩小于60分人数 成绩不小于60分人数 合计 初中年级 高中年级 合计附：()()()()22()n ad bc K a b c d a c b d -=++++临界值表：20()P K k ≥0.10 0.05 0.01 0k2.7063.8416.63521. (本题满分13分)如图，已知点12,F F 是椭圆221:12x C y +=的两个焦点，椭圆222:(0)2x C y λλ+=≠过点12,F F ，点P 是椭圆2C 上异于12,F F 的任意一点，直线12,PF PF 与椭圆1C 的交点分别为A,B 和C,D ， 设直线AB ，CD 的斜率分别为12,k k .（1）求证：12k k ⋅为定值； （2）求AB CD ⋅的最大值.22. (本题满分13分)已知函数ln ()1xf x x=-. （1）求函数()f x 的单调区间；（2）设0m >，求函数()f x 在区间[],2m m 上的最大值； （3）证明：对*n N ∀∈，不等式()111ln 1123en n n+<+++++ 恒成立. xyABCDOF 1F 2华中师大一附中2016-2017学年度高二下学期期中测试数学（文）试题参考答案考试时间：120分钟 试卷满分：150分 命题人：李继林 审题人：王雪冰一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把答案填在答题卡相应位置上） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 DBCBCDCADBDD二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡相应位置上） 13. 2- 14. (),4-∞- 15．()2,26- 16. 21,12e e ⎛⎫+⎪ ⎪⎝⎭三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，把答案填在答题卡相应位置上） 17. (本题满分10分)解：（1）2()ln 3g x x ax x =+-，1()23g x ax x'=+-，由题意知(1)12301g a a '=+-=⇒=………………………………………………4分（2）∵1a =，所以()()22111231()23x x x x g x x x x x---+'=+-==…………6分令()0g x '>，解不等式得：112x x <>或，又0x >， ∴()g x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，()1,+∞上单调递增 ………8分 ∴15()=ln 224g x g ⎛⎫=--⎪⎝⎭极大，()()=12g x g =-极小.…………………………10分 18. (本题满分10分)解：方程2220a x ax +-=的两根为21,a a-，………………………………………2分由题意知210101a a≤-≤≤≤或，解得21a a ≤-≥或， 即命题p 为真命题时a 的取值集合为(][),21,A =-∞-+∞ .……………………4分 ∵sin cos x x a +>恒成立，所以()min sin cos 2a x x <+=-即命题q 为真命题时a 的取值集合为(),2B =-∞-.……………………………7分 又∵命题p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，所以a 的取值范围为()()()()()[)2,21,RRA B B A =--+∞ 痧.………………………………10分19. (本题满分12分)解：（1）取PF 中点G ，连接AC 交BD 于O 点，连接FO ，GC ，EG 由题意易知G 为PF 中点，又E 为PD 中点，所以GE ∥FD ，故GE FDGE BDF GE BDF FD BDF ⎧⎪⊄⇒⎨⎪⊂⎩面面面 FO 为三角形AGC 的中位线，所以FO ∥GCGC FO GC BDF GC BDF FO BDF ⎧⎪⊄⇒⎨⎪⊂⎩面面面 所以面EGC ∥平面BDF ，EC EGC ⊂，∴CE ∥平面BDF ……………………6分（2）由题意知点P 到平面BDF 的距离等于A 到平面BDF 的距离的两倍，记A 到平面BDF 的距离为h ，则在四面体F ABD 中，易求得3394BDF S ∆= 由体积自等得133911333134322A BDF D ABF V V h --=⇒⋅⋅=⋅⋅⋅⋅， ∴31313h =，∴P 到平面BDF 的距离等于613213h =……………………12分 （向量做法相应给分） 20. (本题满分12分)解：（1）56,60x x ==高中初中……………………………………………………………3分（2）从5名同学中任选2人参加复试的所有基本事件数有10个，其中选中的2人恰好都是女生的基本事PDCF EB A G O件只有1个，故选中的2人恰好都是女生的概率为110P =.…………7分（3）列联表如下成绩小于60分人数 成绩不小于60分人数 合计 初中年级 50 50 100 高中年级 70 30 100 合计1208020022200(50305070)8.33 6.63510010012080K ⋅-⋅=≈>⋅⋅⋅，故有99%的把握认为“两个学段的学生对四大名著的了解有差异” …………………12分 21. (本题满分13分)解：（1）点12,F F 是椭圆221:12x C y +=的两个焦点，所以()()121,0,1,0F F -，将坐标代入得12λ=设点()00,P x y ，则2200122x y +=，整理得220012x y -=且直线AB ，CD 的斜率分别为001200,11y yk k x x ==+- ∴200012200011112y y y k k x x x =⋅==-+--…………………………………………………5分（2）直线1PF 的方程可表示为：(1),0y k x k =+≠，联立得22(1)12y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得()222124220k x k x k +++-=，设()()1122,,,A x y B x y ， 由韦达定理可知22121222422,1212k k x x x x k k-+=-+=++，……………………………7分 ∴弦AB 的长度()()2222121212222111412k AB k x x k x x x x k +=+-=++-=+，……………9分同理，将上式中的k 换为12k-并整理求得()2221412k CD k +=+，…………………10分∴()()422222445111941411822144k k AB CD k k k ⎛⎫++ ⎪⎛⎫==+≤+= ⎪ ⎪⎝⎭+ ⎪++⎝⎭…………12分 当且仅当221242k k k ==±即时等号成立 故AB CD ⋅的最大值为92.……………………………………………………………13分 22. (本题满分13分) 解：（1）由21ln ()0xf x x-'=>解得0x e <<， ∴()f x 在()0,e 上单调递增，(),e +∞上单调递减；………………………………3分 （2）①当2m e ≤即02em <≤时，函数()f x 在区间[],2m m 上单调递增， ∴()max ln 2()212mf x f m m==-；…………………………………………………5分 ②当2m e m ≤<即2em e <≤时，函数()f x 在区间(),m e 上单调递增，(),2e m 上单调递减， ∴()maxln 1()11e f x f e e e==-=-；……………………………………………7分③当m e >时，函数()f x 在区间[],2m m 上单调递减，∴()max ln ()1mf x f m m==-；…………………………………………………9分 （3）由（1）知()1()1f x f e e ≤=-即ln 11ln x x x x e e≤⇒≤当且仅当x e =时等号成立取1n x n +=得11111ln 1n n n e n e n ++⎛⎫<⋅=⋅+ ⎪⎝⎭……………………………………11分 ∴231111lnln ln 1122n n n e n +⎛⎫+++<⋅++++ ⎪⎝⎭ . 即1111ln112n n e n +⎛⎫<⋅++++ ⎪⎝⎭， ∴()()1111ln 11ln 1122ee n n n n n n+<++++⇒+<++++ ……………13分 （其他证明方法相应给分）。
湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2018-2019学年高二下学期期中考试数学(理)试题附答案
华中师大一附中2018—2019学年度下学期期中检测高二年级理科数学试题时限：120分钟 满分：150分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若i 为虚数单位，复数=3+i z ，则表示复数1+iz的点在 A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．一物体的运动方程是21(2s at a =为常数)，则该物体在0t t =时的瞬时速度是A ．012at B ．02at C ．0at D ．0at -3．曲线sin =+xy x e 在点（0,1）处的切线斜率是 A ．1- B ．1 C ．2 D ．2-4．已知三个正态分布密度函数22()2()2i i x i ix μσϕπσ--=（x ∈R ，=1,2,3i ）的图象如图所示，则A ．123μμμ<=，123σσσ=>B ．123μμμ<=，123σσσ=<C ．123μμμ>=，123σσσ=>D ．123μμμ>=，123σσσ=< 5．设01p <<，随机变量X 的分布列是X0 1 2P 2p 12p -12则当p 在(0,1)内增大时， A ．()E X 增大B ．()E X 减小C ．()E X 先增大，后减小D ．()E X 先减小，后增大6．设0()sin f x x =，10()()f x f x '=，21()()f x f x '=，…，1()()n n f x f x +'=，n ∈N ，则2019()f x = A ．sin x -B ．sin xC ．cos x -D ．cos x7．一次考试中，某班级数学成绩不及格的学生占20％，数学成绩和物理成绩都不及格的学生占 15％，已知该班某学生数学成绩不及格，则该生物理成绩也不及格的概率为 A ．0.15B ．0.2C ．0.3D ．0.758．设函数()f x 在定义域内可导，()y f x =的图象如图所示， 则导函数()f x '的图象可能是A B C D9．分别抛掷2枚质地均匀的硬币，设“第1枚为正面”为事件A ，“第2枚为正面”为事件B ，“2枚结果相同”为事件C ，有下列三个命题： ①事件A 与事件B 相互独立； ②事件B 与事件C 相互独立； ③事件C 与事件A 相互独立． 以上命题中，正确的个数是 A ．0B ．1C ．2D ．310．若130()3()d f x x f x x =+⎰，则10()d f x x =⎰A ．1-B ．13-C ．14-D ．18-11．已知函数32()31f x ax x =-+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且00x <，则a 的取值范围是A ．(2,)+∞B ．(1,)+∞C ．(,2)-∞-D ．(,1)-∞-12．若函数()f x 满足2()2()e x xf x f x x '-=，2(2)2e f =-，则当0x >时，()f xA ．有极大值，无极小值B ．有极小值，无极大值C ．既有极大值又有极小值D ．既无极大值又无极小值二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13．设复数z 满足1i 1zz+=-，则||z = . 14．如图，CDEF 是以O 为圆心，半径为1的圆的内接正方形，点H 是劣弧EF 的中点，将一颗豆子随机地扔到圆O 内，用A 表示事件“豆子落在扇形OCFH 内”，B表示事件“豆子落在正方形CDEF 内”，则(|)P B A = .15．某一部件由四个电子元件按如图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3或元件4正常工作，则部件正常工作.设四个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布)50,1000(2N ，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为 .16．传说中孙悟空的“如意金箍棒”是由“定海神针”变形得来的.定海神针在变形时永远保持为圆柱体，其底面半径原为12cm 且以每秒1cm 的等速率缩短，而长度以每秒20cm 的等速率增长.已知神针之底面半径只能从12cm 缩到4cm 为止，且知在这段变形过程中，当底面半径为10cm 时其体积最大.假设孙悟空将神针体积最小时定形成金箍棒，则此时金箍棒的底面半径为 cm . 三、解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知1i z =+，a ，b 为实数． （1）若234z z ω=+-，求||ω； （2）若221i 1z az b z z ++=--+，求a ，b 的值．18．（12分）袋中有20个大小相同的球，其中标号为0的有10个，标号为n 的有n 个（n =1,2,3,4）.现从袋中任取一球，X 表示所取球的标号.求X 的分布列、数学期望和方差.19．（12分）已知221()(ln )x f x a x x x-=-+，a ∈R ．求()f x 的单调增区间.20．（12分）Monte-Carlo 方法在解决数学问题中有广泛的应用．下面利用Monte-Carlo 方法来估算定积分140d x x ⎰．考虑到140d x x ⎰等于由曲线4y x =，x 轴，直线1x =所围成的区域M 的面积，如图，在M 外作一个边长为1正方形OABC ．在正方形OABC 内随机投掷n 个点，若n 个点中有m 个点落入M 中，则M 的面积的估计值为mn，此即为定积分140d x x ⎰的估计值．现向正方形OABC 中随机投掷10000个点，以X 表示落入M 中的点的数目．（1）求X 的期望()E X 和方差()D X ；（2）求用以上方法估算定积分140d x x ⎰时，140d x x ⎰的估计值与实际值之差在区间（-0.01，0.01）的概率．21．（12分）已知函数2()ln(1)(0)(0)2f x x f x f x '=+--+.（1）求)(x f 的解析式； （2）若2()f x x ax b ≤++，求32b a -+的最小值． 22．（12分）已知函数2()e l n x f x a x b x =+，曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程为(3e 1)(1)e y x =--+.（e 2.71828=2e 1.649,e 7.389≈，e0.495≈1.640，e-0.703≈0.495）（1）求a ，b 的值； （2）证明：11()10f x >.华中师大一附中2018—2019学年度下学期期中检测高二理科数学参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.1－5.DCCBB6－10.CDADD11－12.AB二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．114．2π15.91616.4三、解答题：本大题共6小题，共70分.17．(1)2(1i)3(1i)41i ω=++--=--，所以||2ω=5分 (2)由条件，得()(2)i1i ia b a +++=-，所以()(2)i 1i a b a +++=+所以121a b a +=⎧⎨+=⎩，解得12a b =-⎧⎨=⎩……………………………………………………………………………5分18．X 的分布列为……………………………………………………………………………………………………………………4分∴11131()01234 1.522010205E x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=……………………………………………………4分∴2222211131()(0 1.5)(1 1.5)(2 1.5)(3 1.5)(4 1.5)22010205D x =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯ 2.75=……………………………………………………………………………………………………………………4分19．()f x 的定义域为(0,)+∞，223322(2)(1)'()a ax x f x a x x x x--=--+=…………………………………2分 当0a ≤时，若(0,1)x ∈，则'()0f x >，()f x 单调递增…………………………………………………2分 当0a >时，3(1)22'()a x f x x x x a a ⎛-=⎝(i)当02a <<21a> 当(0,1)x ∈或2,x a ⎫∈+∞⎪⎪⎭时，'()0f x >，()f x 单调递增………………………………………2分 (ii)当2a =21a，在(0,)+∞上，'()0f x ≥，()f x 单调递增……………………………………2分 (iii)当2a >时，201a<当2x a ⎛∈ ⎝或(1,)x ∈+∞时，'()0f x >，()f x 单调递增………………………………………2分 综上所述，当0a ≤时，()f x 在(0,1)上单调递增当02a <<时，()f x 在(0,1)，2,a ⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增 当2a =时，()f x 在(0,)+∞上单调递增当2a >时，()f x 在2x a ⎛∈ ⎝，(1,)+∞上单调递增……………………………………………………2分20．(1)依题意，每个点落入M 中的概率为1400.2p x dx ==⎰，~(100000.2)X B ，所以()100000.22000E X =⨯=，()100000.20.81600D X =⨯⨯=……………………………6分 (2)依题意，所求概率为0.010.20.0110000X P ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭2099100001000019010.010.20.01(19002100)0.20.810000tt t t X P P X C -=⎛⎫-<-<=<<=⨯⨯ ⎪⎝⎭∑209919001000010000100001000000.20.80.20.80.99330.00620.9871tt ttt t t t CC --===⨯⨯-⨯⨯=-=∑∑………………………………………………………………………………………………………………………12分21．(1)由已知得(0)2f =，2()ln(1)(0)22f x x f x x '=+--+从而1()2(0)21f x f x x ''=--+，(0)1f '=- 于是2()ln(1)22f x x x x =++-+由于2121()2211x f x x x x -'=+-=++，故当2(1,)2x ∈--时，()0f x '>；当2(22x ∈-时，()0f x '<；当2()x ∈+∞时，()0f x '> 从而()f x 的单调增区间为2(1,-和2)+∞ 单调减区间为22(22-……………………………………………………………………………………6分(2)由已知条件得ln(1)(2)2b x a x ≥+-++设()ln(1)(2)2g x x a x =+-++，则1()(2)1g x a x '=-++ ①若20a +≤，则()0g x '>，()g x 无最大值 ②若20a +>，则当1(1,1)2x a ∈--+时，()0g x '>；当1(1,)2x a ∈-+∞+时，()0g x '< 从而()g x 在1(1,1)2a --+上单调递增，在1(1,)2a -+∞+上单调递减故()g x 有最大值1(1)3ln(2)2g a a a -=+-++所以2()f x x ax b ≤++等价于3ln(2)b a a ≥+-+ 因此3ln(2)22b a a a a --+≥++ 设ln(2)()2a a h a a -+=+，则21ln(2)()(2)a h a a ++'=+ 当12,2ea ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时，()0h a '<；当12,e a ⎛⎫∈-+∞⎪⎝⎭时，()0h a '> 所以()h a 在12,2e⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减，在12,e ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增 故()h a 有最小值1(2)1e eh -=- 从而31e 2b a -≥-+当且仅当12,e3ln(2),a b a a ⎧=-⎪⎨⎪=+-+⎩即12,e 12,e a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩时，32b a -+的最小值为1e -……………………………………………………………………………………………………12分22.(1)函数()f x 的定义域为(0,)+∞，()2(1)e x b f x ax x x'=++由题意可得(1)e=e f a =,(1)3e 3e 1f a b '=+=-故1a =，1b =-………………………………………………………………………………………………4分 (2)解法一：由(1)知，2()e ln x f x x x =-，从而11()10f x >等价于152211ln e 10xx x x+>设函数12e ()x g x x=，则321()()e 2x g x x x -'=-所以当1(0,)2x Î时，()0g x '<；当1(,)2x ∈+∞时，()0g x '>故()g x 在1(0,)2单调递减，在1(,)2+∞单调递增，从而()g x 在(0,)+∞的最小值为121()2e 2g =设函数5211ln 10()x h x x+=，则7275()(ln )42h x x x -'=-+所以当710(0,e )x -Î时，()0h x '>；当710(e,)x -∈+∞时，()0h x '<故()h x 在710(0,e)-单调递增，在710(e ,)-+∞单调递减，从而()h x 在(0,)+∞的最大值为771042(e)e 5h -=因为5625e 4>54e 2172422e e 5> 综上，当0x >时，()()g x h x >，即11()10f x >…………………………………………………………12分分。
湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2022-2023学年高一下学期期中数学试题
西方向上的笔直公路自东向西以 30 3km/h 的速度前进，6 分钟后到达 N 点．在 M 点时
测得 A 点位于北偏西 45° 方向上，B 点位于北偏西15° 方向上；在 N 点时测得 A 点位于
北偏东15° 方向上，B 点位于北偏东 45° 方向上，且在 N 点时观测 A 的仰角的正切值为
2 ．设 A 点在地表水平面上的正投影为 A¢ ，B 点在地表水平面上的正投影为 B¢ ， A¢ ， 15
( ) D．若△ABC 的面积 S=
3 4
b2 + c2 - a2
，则
A
=
π 3
11．一对不共线的向量
ar
，
r b
的夹角为
θ，定义
ar
´
r b
为一个向量，其模长
ar
´
r b
=
ar
×
r b
sin q
，其方向同时与向量 ar
r ，b
垂直（如图
1
所示）．在平行六面体
OACB - O¢A¢C¢B¢ 中（如图 2 所示），下列结论正确的是（ ）
sinq
=2
3sinq cosq ，
∴
2 (cosq - sinq )(cosq + sinq ) = 2
2 2
(
cosq
-
sin
q
)
3sinq cosq ，
∴ cosq + sinq = 3sinq cosq ，
两边同时平方，得 cos2 q + 2sinq cosq + sin2 q = 3(sinq cosq )2 ，
和
uuur OC
表示
uuuur OM
湖北省华中师范大学第一附属中学2020~2021学年第一学期期中检测高一数学试题及答案
华中师大一附中2020～2021学年度上学期期中检测高一年级数学试题试卷总分150分 考试时间120分钟一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求.1．已知A ＝{3-，0，1 }，B ＝{4-，3-，1}，则A ∪B 的真子集的个数为（ ）A ．3B ．7C ．15D ．312．钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话中，“不便宜”是“好货”的（ ）A ．充分条件B ．必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知函数()f x 的定义域为(1,1)-，函数()(21)g x f x =-，则函数()g x 的定义域为 （ ）A ．(1,1)-B ．(0, 1)C ．(3,1)-D ．((3),(1))f f - 4．若正实数a ，b 满足1a b +=，则12a b+的最小值为（ ）A．B ．6C ．D ．3+5．函数(f x（ ）A ．(,2]-∞B ．[2,)+∞C ．[0，2]D ．[2，4]6．若关于x 的不等式2|1||2|1()x x a a a -+-≤++∈R 的解集为空集，则实数a 的取值范围是（ ） A ．10a -<<B ．01a <<C ．12a <<D ．1a <-7．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在(0,)+∞上单调递减，(2)0f -=，则不等式()0xf x > 的解集为（ ）A ．(,2)(0,2)-∞-B ．(,2)(2,)-∞-+∞C ．(2,0)(0,2)-D ．(2,0)(2,)-+∞8．已知函数2()2+1,[0,2]f x x x x =-+∈，函数()1,[1,1]g x ax x =-∈-，对于任意1[0,2]x ∈，总存在2[1,1]x ∈-，使得21()()g x f x =成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(,3]-∞-B ．[3,)+∞C ．(,3][3,)-∞-+∞D ．(,3)(3,)-∞-+∞二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有若干个选项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分. 9．已知a ，b ，c 为互不相等的正数，且222a c bc +=，则下列关系中可能成立的是 （ ）A ．a b c >>B ．c b a >>C ．b a c >>D ．a c b >> 10．下列各结论中正确的是（ ） A ．“0ab >”是“0ab>”的充要条件． B．函数y =2．C ．命题“1x ∀>，20x x ->”的否定是“01x ∃≤，200x x -≤” ． D ．若函数21y x ax =-+有负值，则实数a 的取值范围是2a >或2a <-．11．定义域为R 的函数()f x 满足()()()f x y f x f y +=+，且当0x >时，()0f x >．以下结论正确的是（ ）A ．()f x 为奇函数B ．()f x 为偶函数C ．()f x 为增函数D ．()f x 为减函数12．设定义域为R 的函数1, 1|1|()1, 1x x f x x ⎧≠-⎪+=⎨⎪=-⎩，若关于x 的方程2[()]()0f x af x b ++=有且仅有三个不同的实数解x 1，x 2，x 3，且x 1 < x 2 < x 3．下列说法正确的是 （ ）A ．2221235x x x ++=B ．10a b ++=C ．1322x x x +>D ．132x x +=-三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．已知集合{2,1}A =-，{|2}B x ax ==，若AB B =，则实数a 的取值集合为____________．14．关于x 的一元二次方程2210x kx k ++-=在区间(1,2)-内、外各有一个实数根，则实数k 的取值范围是___________．15．两次购买同一种物品，可以用两种不同的策略，第一种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量一定；第二种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱数一定.则第______种购物方式比较经济．16．已知函数2()=x ax a f x x++在(]0,1上单调递减，则实数a 的取值范围为____________．四、解答题（本大题共6小题，共70分） 17．（本小题满分10分）已知集合26{||1|2}{|1}4x A x x B x x -=-≤=<-，，定义{|}A B x x A x B -=∈∉且. （1）求A B -；（2）求B A -．18．（本题满分12分）已知非空集合()(){}2|312310A x x a x a =-++-<，集合(){}223|220B x x a a x a a =-++++<.命题p ：x A ∈，命题q ：x B ∈，若p 是q 的充分条件，求实数a 的取值范围.19．（本题满分12分）已知函数2()1mx nf x x +=+是定义在[1,1]-上的奇函数，且(1)1f = （1）求m ，n 的值；判断函数()f x 的单调性并用定义加以证明； （2）求使2(1)(1)0f a f a -+-<成立的实数a 的取值范围．20．（本题满分12分）已知函数2()(1)()f x x a x a =-++∈R ．（1）若对于任意[1,2]x ∈，恒有2()2f x x ≥成立，求实数a 的取值范围； （2）若2a ≥，求函数()f x 在区间[0, 2]上的最大值()g a ．21．（本题满分12分）华师一附中为了迎接建校70周年校庆，决定在学校艺术中心利用一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面积为24平方米，且背面靠墙的长方体形状的荣誉室．由于荣誉室的后背靠墙，无需建造费用，甲工程队给出的报价为：荣誉室前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米300元，屋顶和地面以及其他报价共计14400元．设荣誉室的左右两面墙的长度均为x 米(36)x ≤≤．（1）当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队的整体报价最低？并求最低报价； （2）现有乙工程队也要参与此荣誉室的建造竞标，其给出的整体报价为1800(1)a x x+元(a>0)，若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功（乙工程队的整体报价比甲工程队的整体报价更低），试求实数a 的取值范围．22．（本题满分12分）若函数()y f x =自变量的取值区间为[a , b ]时，函数值的取值区间恰为22[,]b a，就称区间[a , b ]为()y f x =的一个“和谐区间”．已知函数()g x 是定义在R 上的奇函数，当(0,)x ∈+∞时，()3g x x =-+．（1）求()g x 的解析式；（2）求函数()g x 在(0,)+∞内的“和谐区间”；（3）若以函数()g x 在定义域内所有“和谐区间”上的图像作为函数()y h x =的图像，是否存在实数m ，使集合2{(,)|()}{(,)|}x y y h x x y y x m ==+恰含有2个元素．若存在，求出实数m 的取值集合；若不存在，说明理由．高一年级数学试题参考答案一、单选题1．C 2．B 3．B 4．D 5．D 6．A 7．A 8．C 二、多选题9．BC 10．AD 11． AC 12．ABD 三、填空题13．{-1,0,2} 14．3,04⎛⎤- ⎥⎝⎦15．二 16．12a ≤-或1a ≥四、解答题17．解：{||1|2}{|13}A x x x x =-≤=-≤≤， (2)分26{|1}{|24}4x B x x x x -=<=<<- (4)分（1）{|12}A B x x -=-≤≤ (7)分（2）{|34}B A x x -=<< (10)分18．解：()(){}|2310A x x x a =---<⎡⎤⎣⎦，()(){}2|20B x x a x a ⎡⎤=--+<⎣⎦.∵22172024a a a ⎛⎫+-=-+> ⎪⎝⎭，∴22a a +>.∴{}2|2B x a x a =<<+. (2)分∵p 是q 的充分条件，∴A B ⊆. (3)分① 当1a =时，312a -=，A =∅，不符合题意； (5)分② 当1a >时，312a ->，{}|231A x x a =<<-，要使A B ⊆，则212312a a a a ⎧>⎪≤⎨⎪-≤+⎩ ∴12a <≤. (8)分③ 当1a <时，312a -<，{}|312A x a x =-<<，要使A B ⊆，则213122a a a a ⎧<⎪≤-⎨⎪≤+⎩ ∴112a ≤<. (11)分综上所述，实数a 的取值范围是1[,1)(1,2]2. (12)分19．（1）解法一：因为函数()f x 是定义在[-1,1]上的奇函数，则()()0011f f ⎧=⎪⎨=⎪⎩，得012n m n =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得20m n =⎧⎨=⎩， (2)分经检验2m =，0n =时，()221xf x x =+是定义在[1,1]-上的奇函数. (3)分法二：()f x 是定义在[1,1]-上的奇函数，则()()f x f x -=-，即2211mx n mx nx x -+--=++，则0n =，所以()21mxf x x =+，又因为()11f =，得2m =，所以2m =，0n =. ………………3分设12,[1,1]x x ∀∈-且12x x <，则()()22121221211212222222121212222(1)2(1)2()(1)11(1)(1)(1)(1)x x x x x x x x x x f x f x x x x x x x +-+---=-==++++++1211x x -≤<≤ 222112120,10,(1)(1)0x x x x x x ∴->-<++>()()120f x f x ∴-< ()()12f x f x ∴< ()f x ∴在[1,1]-上是增函数 (6)分（2）由（1）知()221xf x x =+，()f x 在[1,1]-上是增函数， 又因为()f x 是定义在[]1,1-上的奇函数，由()()2110f a f a -+-<，得()()211f a f a -<-， (7)分2211111111a a a a -≤-≤⎧⎪∴-≤-≤⎨⎪-<-⎩， (10)分即2020221a a a ≤≤⎧⎪≤≤⎨⎪-<<⎩，解得01a ≤<． 故实数a 的取值范围是[0，1)． (12)分20．（1）解法一：对任意的[]1,2x ∈，恒有()22f x x ≥，即22(1)2x a x x -++≥，整理得23(1)0x a x -+≤对任意的[]1,2x ∈恒成立， (2)分构造函数()23(1)g x x a x =-+，其中[]1,2x ∈，则()max0g x ≤，即()()1020g g ⎧≤⎪⎨≤⎪⎩，…… 4分 即3(1)0122(1)0a a -+≤⎧⎨-+≤⎩，解得5a ≥，因此，实数a 的取值范围是[)5,+∞.………………6分解法二：对任意的[]1,2x ∈，恒有()22f x x ≥，即22(1)2x a x x -++≥，整理得23(1)0x a x -+≤对任意的[]1,2x ∈恒成立， (2)分max 1(3)6a x ∴+≥= (5)分因此，实数a 的取值范围是[)5,+∞. (6)分（2）()()22211(1)24a a f x x a x x ++⎛⎫=-++=--+⎪⎝⎭． 2a ≥ 102a +∴> (7)分①当122a +<，即23a ≤<时，函数()y f x =在10,2a +⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增， 在1,22a +⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，此时()()21124a a g a f ++⎛⎫== ⎪⎝⎭； (9)分②当122a +≥，即3a ≥时，()y f x =在[0, 2]上单调递增，此时()()222g a f a ==-．………………11分 综上所述，2(1),23()422,3a a g a a a ⎧+≤<⎪=⎨⎪-≥⎩． (12)分21．（1）设甲工程队的总造价为y 元， 则72163006400144001800()14400(36)y x x x x x =⨯+⨯+=++≤≤， ………………2分161800()14400180021440028800x x ++≥⨯=， ………………4分 当且仅当16x x =，即x = 4时等号成立． ………………5分故当左右两侧墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低，最低报价为28800元． ……6分（2）由题意可得161800(1)1800()14400a x x x x+++>对任意的[3,6]x ∈恒成立． 故2(4)(1)x a x x x ++>，从而2(4)1x a x +>+恒成立， ………………8分令1x t +=，22(4)(3)961x t t x t t++==+++，[4,7]t ∈． 又96y t t =++在[4,7]t ∈为增函数，故min 494y =. ………………11分所以a 的取值范围为49(0,)4． (12)分22．（1）因为()g x 为R 上的奇函数，∴(0)0g =又当(0,)x ∈+∞时，()3g x x =-+所以，当(,0)x ∈-∞时，()()(3)3g x g x x x =--=-+=--；3,0()0,03,0x x g x x x x --<⎧⎪∴==⎨⎪-+>⎩ (3)分 （2）设0a b <<，∵()g x 在(0,)+∞上递单调递减，2()32()3g b b b g a a a⎧==-+⎪⎪∴⎨⎪==-+⎪⎩，即,a b 是方程23x x =-+的两个不等正根． ∵0a b << ∴12a b =⎧⎨=⎩ ∴()g x 在(0,)+∞内的“和谐区间”为[1,2]． ………………6分 （3）设[a , b ]为()g x 的一个“和谐区间”，则22a b b a <⎧⎪⎨<⎪⎩，∴a ，b 同号． 当0a b <<时，同理可求()g x 在(,0)-∞内的“和谐区间”为[2,1]--．[1,2]3,()[2,1]3,h x x x x x -+∈⎧⎨----∈∴=⎩ (8)分依题意，抛物线2y x m =+与函数()h x 的图象有两个交点时，一个交点在第一象限，一个交点在第三象限．因此，m 应当使方程23x m x +=-+在[1,2]内恰有一个实数根，并且使方程23x m x +=--，在[2,1]--内恰有一个实数.由方程23x m x +=-+，即230x x m ++-=在[1,2]内恰有一根，令2()3F x x x m =++-，则(1)10(2)30F m F m =-≤⎧⎨=+≥⎩，解得31m -≤≤；由方程23x m x +=--，即230x x m +++=在[2,1]--内恰有一根，令2()3G x x x m =+++，则(1)30(2)50G m G m -=+≤⎧⎨-=+≥⎩，解得53m -≤≤-. 综上可知，实数m 的取值集合为{3}-． ………………12分（用图象法解答也相应给分）。
湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2022-2023学年高二上学期期末数学试题(含解析)
华中师范大学第一附属中学2022-2023学年高二上学期期末数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题二、多选题三、填空题90，则M221(yb-=,N两点，若四、问答题求圆C的标准方程；OP的最大值已知数列{求数列{}n anS的最大值和最小值五、证明题19．如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，ED⊥平面,ABCD FB⊥平面ABCD，且1ED FB==.45，六、问答题PAB面积为22．已知椭圆的直线与椭圆交于(1)求椭圆(2)过椭圆参考答案：22)159-++=所过点，然后利用点差法求得直线l 的斜率，进而求得正确答案AP PQ ⊥又AQ k k =由1y kt x k ⎧-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩A 在双曲线又P 在双曲线(221b k∴-30，1302=，所以2⎛+- ⎝90，面积有最大值为3PC=4，则//NC NB ，3(NC x =-，2(NB x =-，所以231()(4x y -=则22211()244y y --，整理可得：2323()2y y y y -+也即21()04y -+=，因为，所以23y y =-又12y y =-1=-，所以 ，由0MA MB ⋅=及数量积的坐标公式得2()A B y y y y ++横纵坐标的和积代入上式求M 的纵坐标即可，则(1,),(1,A A B MA x y y MB x =+-=+90，则(A MA MB x ⋅=+B x ++.4）运用点到直线距离公式求出圆OP 的最大值的距离为（2）依题意作上图，P 为弦MN 的轨迹为以CA 为直径的圆，圆心为)(210222+-2max ||12OP ∴=++=综上，圆C OP 的最大值为313S b ≠，所以8n b ⎛∴=⨯ ⎝又42a d -=(2n a a ∴=+2）由（1）和等比数列的前81⎡⨯-⎢⎢⎣=）建立空间直角坐标系，得到0EC DF EC DA ⋅=⋅= 故设(0E G E C λλ=<()()(0,1,1,1,0,0,1,1,1EC DA DF ∴=-==0110EC DA EC DF ⎧⋅=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，故EC ⊥DF ，EC ⊥∵DA DF D =，,DA DF ⊂平面ADF ，EC ∴⊥平面ADF ；（2）设(0EG EC λλ=<(,0,DG λ=设平面GBD 的法向量为(),,n m n t =()100n DG n t n DB m n λλ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令t λ=-，则法向量()1,1n λλλ=--，平面GBD 与平面的夹角为45，且平面的法向量为(0,1,EC =2cos452)n EC n EC⋅==，1<，13λ=，n b ++11111551723n -+-++⋅1231n ⎫⎪⋅-⎭. 31231n n -=⋅-）先由PAB 面积得到，从而求得1）依题意，设抛物线的方程为),2m 在抛物线上，所以12PABS =PABS=设过点P 的抛物线的切线方程为联立方程y ⎧⎪⎨.2设P A A Qλ=，则P B B Q λ=-，设(A y 表示1x 、1y 、2x 、2y ，再消去参数即可得解 ①，221b MN a ==②，又2a =2PA PB 122x ∴-12,x x <<联立24y x ⎧=⎪⎨+⎪⎩则12x x +=法二：2PA PB (PB PQ -PB QB=，设PA AQ λ=，则PB BQ λ=-，设A 由PA AQ λ=可得112121x x y y λλλλ+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩，由PB BQ λ=-，可得A 、B 在椭圆2214x y +=上，2221421x λλ⎧+⎛⎫⎪ ⎪+⎛⎝⎭⎪+ ⎪∴⎨-⎛⎪ ⎪-⎝⎪答案第17页，共17页。
湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2022-2023学年高三上学期期中数学试题(解析版)
令 ，得： ，
当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增，
故 时， 取极小值 ，
当 时， ，
当 时， 单调递增；当 时， 单调递减，
且 ，
根据以上信息，作出 的大致图象如图，
由图可知， 的图象与直线 有2个不同的交点，
由题意，只需 的图象与直线 有4个不同的交点，则 ，
综上得： 的取值范围是 ．
又因为 值域为 ，
所以 能取到 内任意实数，所以
故 ；
【小问2详解】
解：因为 ，所以 ，
所以当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减；
所以 在 上单调递减，
，
问题可转化为：任意的 ， 恒成立，
令 ， ，
，
所以 在 上单调递减，
所以 ，
所以 ，
则 ，解得 ，
故 的取值范围为： ．
21.已知函数 ．
华中师大一附中2022-2023学年度上学期高三年级期中检测
数学试题
本试题共4页，四大题．全卷满分150分，考试用时120分钟．请将答案填涂在答题上．
命题人：胡兵华方牡丹审题人：张丹王文莹
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知复数 满足 ，则复数 （）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，满分20分
13.已知向量 与 不共线，且 与 共线，则 ___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据向量共线定理列方程求解即可.
【详解】因为 与 共线，
所以存在唯一实数 ，使 ，
即 ，
因为向量 与 不共线，
所以 ，解得 ，
故答案为：
湖北省武汉华中师范大学第一附属中学2025届高三六校第一次联考数学试卷含解析
湖北省武汉华中师范大学第一附属中学2025届高三六校第一次联考数学试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知ABC ∆为等腰直角三角形，2A π=，BC =M 为ABC ∆所在平面内一点，且1142CM CB CA =+，则MB MA ⋅=（ ）A ．4B ．72-C ．52-D ．12-2．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x =-，且在(0,)+∞上是增函数，不等式()()21f ax f +≤-对于[]1,2x ∈恒成立，则a 的取值范围是A ．3,12⎡⎤--⎢⎥⎣⎦B ．11,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C ．1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．[]0,13．下列命题是真命题的是（ ）A ．若平面α，β，γ，满足αγ⊥，βγ⊥，则//αβ；B ．命题p ：x R ∀∈，211x -≤，则p ⌝：0x R ∃∈，2011x -≤；C ．“命题p q ∨为真”是“命题p q ∧为真”的充分不必要条件；D ．命题“若()110xx e -+=，则0x =”的逆否命题为：“若0x ≠，则()110xx e -+≠”.4．若函数()sin 2f x x =的图象向右平移6π个单位长度得到函数()g x 的图象，若函数()g x 在区间[0,]a 上单调递增，则a 的最大值为（ ）． A ．2π B ．3π C ．512π D ．712π 5．已知点(m ,8)在幂函数()(1)n f x m x =-的图象上，设,(ln ),()m a f b f c f n n π⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则（ ） A ．b ＜a ＜cB ．a ＜b ＜cC ．b ＜c ＜aD ．a ＜c ＜b6．命题“(0,1),ln xx ex -∀∈>”的否定是（ ）A ．(0,1),ln x x e x -∀∈≤B ．000(0,1),ln x x ex -∃∈>C ．000(0,1),ln x x ex -∃∈< D ．000(0,1),ln x x ex -∃∈≤7．如图是一个算法流程图，则输出的结果是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．68．中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是A ．B ．C ．D ．9．已知集合2{|1}A x x =<，{|ln 1}B x x =<，则 A ．{|0e}A B x x =<< B ．{|e}A B x x =< C ．{|0e}A B x x =<<D ．{|1e}AB x x =-<<10．()()()()()*121311x x x nx n N +++⋅⋅⋅+∈的展开式中x 的一次项系数为（ ）A ．3n CB ．21n C +C ．1n n C -D ．3112n C + 11．已知双曲线22221x y C a b-=：的一条渐近线与直线350x y -+=垂直，则双曲线C 的离心率等于( )A ．2?B ．103C ．10?D ．2212．已知复数z 满足()11z i i +=-（i 为虚数单位），则z 的虚部为（ ） A ．i -B ．iC ．1D ．1-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
【全国百强校】湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2018-2019学年高二下学期期中考试化学试题
【全国百强校】湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2018-2019学年高二下学期期中考试化学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．苏轼的《格物粗谈》有这样的记载：“红柿摘下未熟，每篮用木瓜三枚放入，得气即发，并无涩味。
”按照现代科技观点，该文中的“气”是指A．脱落酸B．乙烯C．生长素D．甲烷2．下列有机物一氯取代物的数目相等的是①2，3，4-三甲基己烷①①2，3，4-三甲基戊烷①间甲乙苯A．①①B．①①C．①①D．①①3．下列有机物的系统命名，正确的是A．2-甲基-2-氯丙烷B．2-甲基-1-丙醇C．1, 3, 4-三甲苯D．2-甲基-3-丁炔4．下列说法中正确的是A．仅用水不能区分己烷、溴乙烷、乙醇三种液态有机物B．碳原子数小于或等于6的单烯烃，与HBr加成反应的产物只有1种结构，符合条件的单烯烃有3种C．苯、乙烷、乙烯、乙炔分子中碳碳键的键长分别为a、b、c、d，则b c a>>>d D．等质量的烃完全燃烧，耗氧量最多的是甲烷5．己烯雌酚是一种激素类药物，结构简式如图所示，下列有关叙述中正确的是A．该有机物属于芳香烃C．该分子对称性好，所以没有顺反异构D．该有机物分子中，最多可能有18个碳原子共平面6．红色基B(2-氨基-5-硝基苯甲醚)的结构简式如图所示，它主要用于棉纤维织物的染色，也用于制一些有机颜料，则分子式与红色基B相同，且氨基(—NH2)与硝基(—NO2)直接连在苯环上并呈对位关系的同分异构体的数目(包括红色基B)为A．7种B．8种C．9种D．10种7．如图两种化合物的结构或性质描述正确的是（）A．两种化合物均是芳香烃B．两种化合物互为同分异构体，均能与溴水反应C．两种化合物分子中共平面的碳原子数相同D．两种化合物可用红外光谱区分，但不能用核磁共振氢谱区分8．下列实验操作简便、科学、易成功且现象正确的是A．将乙酸和乙醇的混合液注入浓硫酸中制备乙酸乙酯B．将铜丝在酒精灯外焰上加热变黑后再移至内焰，铜丝恢复原来的红色C．在试管中注入2mL苯酚溶液，再滴入几滴FeCl3溶液后，溶液即有紫色沉淀生成D．向苯酚溶液中滴加几滴稀溴水出现白色沉淀9．卤素互化物与卤素单质性质相似。
湖北省华中师大学第一附属中学2016-2017学年高一上学期期中考试数学试题
湖北省华中师大学第一附属中学2016-2017学年高一上学期期中考试数学试题华中师大一附中2016—2017学年度上学期高一期中检测数 学 试 题时限：120分钟 满分：150分一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题列出的四个选项中，有且只有一项符合题意．把正确答案选项的标号填涂在答题卡上．）1．已知全集U ＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A ＝{2，3，5，6}，集合B ＝{1，3，4，6，7}，则集合A ∩∁U B ＝( )A ．{2，5}B ．{3，6}C ．{2，5，6}D ．{2，3，5，6，8}2．设集合{1,2}A =,则满足{1,2,3}A B =U 的集合B 的个数是（ ）.A ．1B ．3C ．4D ．83．设全集U=R ，A=(2){|21},{|ln(1)}x x x B x y x -<==-，则右图中阴影部分表示的集合为( )A ．{|1}x x ≥ B ．{|12}x x ≤< C ．{|01}x x <≤D ．{|1}x x ≤4．下列函数中与函数x y =相等的函数是（ ）A BA ．2()y x = B ．2y x C ．2log 2xy =D ．2log 2xy =5．已知函数2log (1)y ax =-在(1,2)上单调递增，则实数a的取值范围是( ) A ．(0,1]B ．[1,2]C ．[1,)+∞D ．[2,)+∞6．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x <时，()3xf x =，则9(log 4)f 的值为( )A ．2-B ．12-C ．12D ．27．设7log 3=a ，1.12=b ，1.38.0=c ，则( )A ．c a b <<B ．a b c << C．ba c <<D ．b c a <<8．下列函数中，与函数||x y e =-的奇偶性相同，且在(,0)-∞上单调性也相同的是 （ ）A ．xy 1-= B ．||ln x y = C ．33-=xyD ．22+-=xy9．若实数,x y 满足1|1|ln 0x y--=，则y 关于x 的函数图象的大致形状是( )10．设函数21(),[]122xxf x x =-+表示不超过x 的最大整数，则函数[()]y f x =的值域是( )A ．{0,1}B ．{1,1}C ．{1,1}-D ．{0,1}- 11．已知函数,0()ln ,0x a e x f x x x ⎧⋅≤=⎨->⎩，其中e 为自然对数的底数，若关于x 的方程[()]0f f x =有且只有一个实数解，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(,0)-∞ B ．(,0)(0,1)-∞U C ．(0,1) D ．(0,1)(1,)+∞U12．已知函数()(1)(2),()ln()f x x a x a g x x a =---=-，若当x a >时，()()0f xg x ⋅≥恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[0,)+∞B ．[2,0]-C ．(,2]-∞D ．[2,)-+∞二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分） 13．函数)23(log )(221x x x f -=的定义域是 .14．已知函数(3)3(1)()log (1)aa x x f x x x --≤⎧=⎨>⎩在R 上单调递增，则实数a 的取值范围为 .15．定义在R 上的偶函数)(x f 满足：对任意的)](0,(,2121x x x x ≠-∞∈，有0)()(1212<--xx x f x f ，且0)2(=f ，则不等式05)()(2<-+x x f x f 的解集是____________16．已知函数21,()log ,x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，若方程()f x a =有四个不同的解1x ，2x ，3x ，4x ，且1234x xx x <<<，则3122341()x x x x x++的取值范围是______________三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）已知全集U ＝R ，集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |6x ＋1≥1，集合B ＝{x |x 2－2x －m ＜0}.（1）当m ＝3时，求A ∩(∁U B )；（2）若A ∩B ＝{x |－1＜x ＜4}，求m 的值.18．（本小题满分12分） 已知二次函数2()(,f x axbx a b=+为常数，且0)a ≠满足条件：(1)(3)f x f x -=-，且方程()2f x x =有两个相等的根．（1）求()f x 的解析式；（2）求()f x 在[0,]t 上的最大值()g t 的表达式．19．（本小题满分12分）设()f x 定义域为(0,)+∞且在(0,)+∞上是增函数，()()()xf f x f y y =-． （1）求证(1)0,()()()f f xy f x f y ==+； （2）若(2)1f =，解不等式1()()23f x f x -≤-． 20．（本小题满分12分）某上市股票在30天内每股的交易价格P （元）与时间t （天）组成有序数对(),t P ，点(),t P落在图中的两条线段上；该股票在30天内的日交易量Q （万股）与时间t （天）的部分数 据如下表所示第t天 4 10 16 22Q（万36 30 24 18股）（1）根据提供的图像，写出该种股票每股交易价格P（元）与时间t（天）所满足的函数关系式；（2）根据表中数据，写出日交易量Q（万股）与时间t（天）的一次函数关系式；（3）用y（万元）表示该股票日交易额（日交易额=交易价格×日交易量），写出y关于t的函数关系式，并求在这30天内第几天日交易额最大，最大值为多少？21．（本小题满分12分） 定义1(0),sgn()0(0),1(0),x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩已知函数||sgn()()(01)xx x f x aa a a =+>≠且.（1）解不等式()2f x ≤； （2）若,25)1(=f 且不等式(2)()40f t mf t ++≥对于任意正实数t 恒成立，求实数m 的取值范围．22．本小题满分12分） 函数3()log,()1log (1)(01)3aa x f x g x x a a x -==+->≠+且，设()()f x g x 和定义域的公共部分为D ． （1）求集合D ；（2）当1a >时，若不等式1()(2)26g x f x -->在D 内恒成立，求实数a 的取值范围； （3）是否存在实数a ，使得[,]m n D 时，()f x 在[,]m n 上的值域是[(),()]g n g m ．若存在求a 的取值范围；若不存在说明理由．⊂ ≠高一年级数学期中试题参考答案一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案A CB DC B CD B D B A二、填空题13．12[,0)(,1]33-U 14．36a <≤ 15．(0,2)(,2)-∞-U 16．(1,1]-三、解答题17．解：（1）651,0,{|15}11x A x x x x -≥∴≤∴=-<≤++Q 又3,{|13},{|13}Um B x x C B x x x =∴=-<<∴=≤-≥或(){|35}U A C B x x ∴=≤≤I ． （2）由{|15|{|14}A x x A B x x =-<≤=-<<I 及知 4为方程220xx m --=根，8m ∴=当8m =时，{|24}B x x =-<<，此时{|14}A B x x =-<<I 成立 8m ∴=． 18．解：（1）(1)(3),()f x f x f x -=-∴Q 关于1x =对称，12b a ∴-= 又()2f x x =有两个相等实根，2(2)0ax b x ∴+-=中0,2b ∆=∴=21,2,()2a b f x x x∴=-=∴=-+．（2）当01t <≤时，2max()()()2g t f x f t t t===-+当1t >时，max()()(1)1g t f x f ===22,01()1, 1t t t g t t ⎧-+<≤∴=⎨>⎩．19．解：（1）令x y =，则(1)()()0f f x f x =-= ()()()(),()()()xy f xy f x f f y f xy f x f y x -==∴=+． （2）(4)(2)(2)2(2),(4)2f f f f f =+=∴=Q 又1()()[(3)](4)3f x f f x x f x -=-≤-30,{|34}(3)4x x x x x x >⎧⎪∴->∴<≤⎨⎪-≤⎩．20．解：（1）当020t ≤≤时，设p at b =+，将（0，2）和（20，6）代入221,,21620255b b p t a a =⎧=⎧⎪∴∴=+⎨⎨=+=⎩⎪⎩同理：12030,810t p t <≤=-+12,020,518,2030,10t t t N p t t t N ⎧+≤≤∈⎪⎪∴=⎨⎪-+<≤∈⎪⎩．（2）设Q ct d =+，把表中任意两组数据代入，1,40c d =-=40,030,Q t t t N∴=-+≤≤∈．（3）221(15)125,020,51(60)40,2030,10t t t N y t t t N ⎧--+≤≤∈⎪⎪=⎨⎪--<≤∈⎪⎩当020t ≤≤时，15t =时，max125y =（万元）当2030t <≤时，y 随t 增大而减小，21(2060)4012010y <--=（万元）答：在第30天中第15天，日交易额最大为125万元．21．解：（1）当0x >时，1()2,1,0x x x f x aa x a =+≤∴=∴=舍去 当0x <时，()02x x f x a a =-=≤恒成立当0x =时，()12f x =≤成立综上：不等式解集为(,0]-∞．（2）,25)1(=f 212或=∴a (2)()40f t mf t ++≥Q 恒成立，22112(2)4022t t t t m ∴++++≥ 令212(0),(2,),202tt u t u u mu =+>∴∈+∞∴++≥恒成立2()(2,)m u u u ∴≥-+∈+∞在上恒成立 又2()(2,)u u-++∞在上单调递减 2()3,3u m u ∴-+<-∴≥-．22．解：（1）由30310x x x -⎧>⎪+⎨⎪->⎩，解得3,{|3}x D x x >∴=>．（2）不等式等价于7()(23)6log 123a x x x -+>-在(3,)+∞上恒成立 7()(23)623x x a x -+∴<-在(3,)+∞上恒成立令23x t -=，则32t x += 71()(23)()(6)1410623(),(3,)2323t x x t t t x t t -+++∴==++∈+∞-4(3,)t t ++∞Q 在上递增，41311,132t a t ∴+>∴<≤． （3）,()(),01m n g m g n a <>∴<<Q 6()log (1)3af x x ∴=-+在(3,)+∞上递减 [,]x m n ∴∈时，()[(),()]f x f n f m ∈()(),,()()f n g n m n f m g m =⎧∴∴⎨=⎩为方程()()f x g x =两个根 3(1)(3,)3x a x x -∴=-+∞+在上有两个不相等实根 1(3)(1)3x x a x +-∴=-，令3,0x t t -=> 112128,438t t a t t ∴=+++≥又，当且仅当23t =“=”号 123438,0a a -∴>∴<<。
湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2024-2025学年高三上学期十一月月度检测数学试卷
湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2024-2025学年高三上学期十一月月度检测数学试卷一、单选题1．已知集合22{|9200},{|log (3)1}A x x x B x x =-+≤=-<，则A B = （）A ．(,5)-∞B ．[4,5)C ．(,5]-∞D ．(3,5]2．若12iiz =-+-，则z 在复平面内对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知a 为单位向量，向量b 在向量a上的投影向量是2a ，且()4a b a l +^ ，则λ的值为（）A ．2B ．0C ．2-D ．1-4．已知6(1)(1ax -+展开式各项系数之和为64，则展开式中3x 的系数为（）A ．31B ．30C ．29D ．285．在某班进行的歌唱比赛中，共有5位选手参加，其中3位女生，2位男生．如果2位男生不能连着出场，且女生甲不能排在第一个，那么出场顺序的排法种数为A ．30B ．36C ．60D ．726．函数()()sin f x A x ωϕ=+（0A >，0ω>，π2ϕ<）的部分图象如图所示，图象上的所有点向左平移π12个单位长度得到函数()g x 的图象.若对任意的x ∈R 都有()()0g x g x +-=，则图中a 的值为（）A ．1-B ．C ．D ．7．已知数列{}n a 的通项公式21nn a =-，在其相邻两项k a ，1k a +之间插入2k 个()*3k ∈N ，得到新的数列{}n b ，记{}n b 的前n 项和为n S ，则使100n S ≥成立的n 的最小值为（）A ．28B ．29C ．30D ．318．已知点1F 、2F 是椭圆()2222:10x y B a b a b+=>>的左、右焦点，点M 为椭圆B 上一点，点1F 关于12F MF ∠的角平分线的对称点N 也在椭圆B 上，若127cos 9F MF ∠=，则椭圆B 的离心率为（）A B ．3C ．1025D ．5二、多选题9．已知直线:20l mx y m -++=和圆22:(1)(2)9C x y -+-=相交于M ，N 两点，则下列说法正确的是（）A ．直线l 过定点(1,2)-B ．||MN 的最小值为3C ．CM CN ⋅的最小值为9-D ．圆C 上到直线l 的距离为32的点恰好有三个，则m =10．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点1B ，2B ，3B ，…，n B 均在x 轴正半轴上，点1C ，2C ，3C ，…，n C 均在y 轴正半轴上.已知11OB =，122B B =，233B B =，…，1(2)n n B B n n -=≥，11OC =，122312(2)3n n C C C C C C n -====≥ ，四边形111OB D C ，222OB D C ，333OB D C ，…，n n n OB D C 均为长方形.当2n ≥时，记11n n n n n B B D C C --为第1n -个倒“L ”形，则（）A ．点n D 的纵坐标为213n +B ．点1D ，2D ，3D ，…，n D 均在曲线28199y x =+上C ．长方形n n n OB D C 的面积为(1)(21)6n n n ++D ．第10个倒“L ”形的面积为10011．如图，已知四面体ABCD 的各条棱长均等于2，E ，F 分别是棱A ，BC 的中点.G 为平面ABD 上的一动点，则下列说法中正确的有（）A ．三棱锥E AFC -B ．线段+CG GF 的最小值为3C ．当G 落在直线A 上时，异面直线EF 与AG 所成角的余弦值最大为3D ．垂直于EF 的一个面α，截该四面体截得的截面面积最大为1三、填空题12．无人酒店是利用人工智能与物联网技术为客人提供自助入住等服务的新型酒店，胜在科技感与新奇感.去某地旅游的游客有无人酒店和常规酒店两种选择.某游客去该地旅游，第一天随机选择一种酒店入住，如果第一天入住无人酒店，那么第二天还入住无人酒店的概率为0.8；如果第一天入住常规酒店，那么第二天入住无人酒店的概率为0.6，则该游客第二天入住无人酒店的概率为.13．在ABC V 中，3AB =，2AD DB = ，π3ACD ∠=，则BC 的最大值为.14．已知定义在R 上的函数()f x 满足：对任意实数m ，n 均有[()1][()1]()1f m f n f m n +⋅+=++，若(1)1f =，且0x <时，()0f x <，则关于x 的不等式()(2)3f x f x +->的解集为.四、解答题15．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，平面11AA C C ⊥平面1,1ABC AB AC BC AA ====，1,2A B D =为AC 的中点.(1)证明：AC ⊥平面1A DB ；(2)求平面1A AB 与平面11ACC A 夹角的余弦值.16．红蜘蛛是柚子的主要害虫之一，能对柚子树造成严重伤害，每只红蜘蛛的平均产卵数y （个）和平均温度x （℃）有关.现收集了某地关于红蜘蛛的平均产卵数y 和平均温度x 的7组数据，得到如下散点图.(1)根据散点图，判断模型y bx a =+与e dx y c =（其中e 为自然对数的底数）哪一个更适合作为平均产卵数y 与平均温度x 的回归分析模型；（给出判断即可，不必说明理由）(2)由（1）的判断结果，求出y 关于x 的经验回归方程；(3)根据以往每年平均气温以及对果园年产值的统计，得到以下数据：平均气温在22C ︒以下的年数占60%，对柚子的产量影响不大，不需要采取防虫措施；平均气温在22C ︒至28C ︒的年数占30%，柚子的产量会下降20%；平均气温在28C ︒以上的年数占10%，柚子的产量会下降50%.为了更好的防治红蜘蛛虫害，农科所研发出多种防害措施供果农选择.在每年价格不变且无虫害的情况下，某果园的年产值为200万元，根据以上数据，以得到最高收益（收益=年产值一防害费用）为目标，请为果农从以下3个方案中选择最佳防害方案，并说明理由.方案1：选择防害措施A ，可以防治各种气温的红蜘蛛虫害且不减产，费用是18万元；方案2：选择防害措施B ，可以防治22C ︒至28C ︒的红蜘蛛虫害，但无法防治28C ︒以上的红蜘蛛虫害，费用是10万元；方案3：不采取防虫害措施.附：对于一组数据()()()1122,,,,,,n n x y x y x y ，其回归直线 ˆy bxa =+ 的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为121ni i i nii x ynx y b xnx==-=-∑∑，.ˆây bx=-x721ii x=∑71iii x y=∑71i ii x z=∑xyzln y5215177137142781.33.617．在数列{}中，已知11a =，121nn n a a +=+-.（1）求数列{}的通项公式n a ；（2）记()1n n b a n λ=+-，且数列{}的前n 项和为n S ，若2S 为数列{}n S 中的最小项，求λ的取值范围.18．已知抛物线24y x =，顶点为O ，过焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点.(1)若||8AB =，求线段AB 中点到y 轴的距离；(2)设点G 是线段AB 上的动点，顶点O 关于点G 的对称点为C ，求四边形OACB 面积的最小值；(3)设D 为抛物线上的一点，过点D 作直线DM ，DN 分别交抛物线于M ，N 两点，作直线DP ，DQ 分别交抛物线于P ，Q 两点，且DM DN ⊥，DP DQ ⊥，设线段MN 与线段PQ 的交点为T ，求直线OT 斜率的取值范围.19．函数()1ln f x x x=-，()g x ax b =+．（1）若函数()()()h x f x g x =-在0,+∞上单调递增，求实数a 的取值范围；（2）若直线()g x ax b =+是函数()1ln f x x x=-图象的切线，求a b +的最小值；（3）当0b =时，若()f x 与()g x 的图象有两个交点()11,A x y ，()22B x y ，，试比较21x x 与22e 的大小．（取e 为2.8，取ln 2为0.7 1.4）。
湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题(解析版)
华中师大一附中2023-2024学年度上学期高二期中检测数学试题时限：120分钟 满分：150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 如图所示，在平行六面体1111ABCD A B C D −中，M 为11A C 与11B D 的交点，若1,,AB a AD b AA c === ，则BM = （ ）A. 1122−+ a b cB. 1122++a b cC. 1122−−+ a b cD. 1122a b c −++【答案】D 【解析】【分析】利用空间向量的线性运算进行求解.【详解】1111111111111()()()22222BM BB B M BB A D A B AA AD AB c b a a b c =+=+−=+−=+−=−++.故选：D2. 平面内到两定点(6,0)A −、(0,8)B 的距离之差等于10的点的轨迹为（ ） A. 椭圆 B. 双曲线C. 双曲线的一支D. 以上选项都不对【答案】D 【解析】【分析】根据动点满足的几何性质判断即可.【详解】因为(6,0)A −、(0,8)B ，所以10AB ==，而平面内到两定点(6,0)A −、(0,8)B 的距离之差等于10的点的轨迹为一条射线.故选：D3. “4k >”是“方程22(2)50x y kx k y +++−+=表示圆的方程”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据()22250x y kx k y +++−+=表示圆得到2k <−或4k >，然后判断充分性和必要性即可. 【详解】若()22250x y kx k y +++−+=表示圆，则()222450k k +−−×>，解得2k <−或4k >， 4k >可以推出()22250x y kx k y +++−+=表示圆，满足充分性， ()22250x y kx k y +++−+=表示圆不能推出4k >，不满足必要性， 所以4k >是()22250x y kx k y +++−+=表示圆的充分不必要条件. 故选：A.4. 已知椭圆22:141x y C k +=+的离心率为12，则实数k 的值为（ ）A. 2B. 2或7C. 2或133D. 7或133【答案】C 【解析】【分析】利用椭圆的标准方程、椭圆的离心率公式分析运算即可得解.【详解】由题意，椭圆22:141x y C k +=+，则10k +>，且14k +≠，由离心率12c e a ==，解得：2234b a =，若椭圆的焦点在x 轴上，则221344b k a +==，解得：2k =； 若椭圆的焦点在y 轴上，则224314b a k ==+，解得：133k =； 综上知，2k =或133. 故选：C.5. 如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分．过对称轴的截口BAC 是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点1F 上，片门位于另一个焦点2F 上．由椭圆的一个焦点1F 发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点2F ．已知112BF F F ⊥，153F B =，124F F =．若透明窗DE 所在的直线与截口BAC 所在的椭圆交于一点P ，且1290F PF ∠=°，则12PF F △的面积为（ ）A. 2B.C.D. 5【答案】D 【解析】【分析】由椭圆定义12||||6PF PF +=，根据1290F PF ∠=°，结合勾股定理可得可得12||||F P P F ⋅的值，则即可求12F PF △的面积．【详解】由112BF F F ⊥，1||F B =12||4F F =，得213||3BF ==， 则椭圆长轴长122||||6a F B F B =+=，由点P 在椭圆上，得12||||26PF PF a +==，又1290F PF ∠=°， 则2222121212121216||||||(||||)2||||362||||F F PF PF PF PF PF PF PF PF =+==+−=−， 因此12||||10PF PF ⋅=，所以12F PF △的面积为121||||52PF PF ⋅=. 故选：D6. 已知圆221:()(3)9C x a y −++=与圆222:()(1)1C x b y +++=外切，则ab 的最大值为（ ）A. 2B.C.52D. 3【答案】D 【解析】【分析】利用两圆外切求出,a b 的关系，再利用基本不等式求解即得.【详解】圆221:()(3)9C x a y −++=的圆心1(,3)C a −，半径13r =，圆222:()(1)1C x b y +++=的圆心2(,1)C b −−，半径21r =，依题意，1212||4C C r r =+=， 于是222()24a b ++=，即22122224a b ab ab ab ab =++≥+=，因此3ab ≤，当且仅当a b =时取等号，所以ab 的最大值为3. 故选：D7. 如图所示，三棱锥A BCD −中，AB ⊥平面π,2BCD BCD ∠=，222BC AB CD ===，点P 为棱AC 的中点，,E F 分别为直线,DP AB 上的动点，则线段EF 的最小值为（ ）A.B.C.D.【答案】B 【解析】【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间向量建立EF 的函数关系求解即可. 【详解】三棱锥A BCD −中，过C 作Cz ⊥平面BCD ，由π2BCD ∠=，知BC CD ⊥， 以C 为原点，直线,,CD CB Cz 分别为,,x y z 建立空间直角坐标系，如图，由AB ⊥平面BCD ，得//AB Cz ，则1(0,0,0),(1,0,0),(0,2,0),(0,2,1),(0,1,)2C D B A P ，令1(1,1,)(,,)22t DE tDP t t t ==−=− ，则(1,,)2tE t t −，设(0,2,)F m ，于是||EF ==≥， 当且仅当33,224t tm ===时取等号，所以线段EF. 故选：B8. 已知12,F F 分别为椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点，椭圆E 上存在两点,A B 使得梯形12AF F B 的高为c （c 为该椭圆的半焦距），且124AF BF =，则椭圆E 的离心率为（ ）A.B.45C.D.56【答案】C 【解析】【分析】根据124AF BF =，可得12AF BF ∥，则1AF ，2BF 为梯形12AF F B 的两条底边，作21F P AF ⊥于点P ，所以2PF c =，则可求得1230PF F ∠=°，再结合124AF BF =，建立,,a b c 的关系即可得出答案.【详解】如图，由124AF BF =，得12//AF BF ，则1AF ，2BF 为梯形12AF F B 的两条底边，作21F P AF ⊥于点P ，则21F P AF ⊥，由梯形12AF F B 的高为c ，得2PF c =，在12Rt F PF 中，122F F c =，则有1230PF F ∠=°，1230AF F ∠=°， 在12AF F △中，设1AF x =，则22AF a x =−，22221121122cos30AF AF F F AF F F =+−°，即()22224a x x c −=+−，解得1AF x ==，在12BF F △中，21150BF F ∠=°，同理2BF =，又124AF BF =，所以4=，即3a =，所以离心率c e a ==. 故选：C二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 直线:10l x y −+=与圆22:()2(13)C x a y a ++=−≤≤的公共点的个数可能为（ ） A. 0 B. 1C. 2D. 3【答案】BC 【解析】【分析】根据给定条件，求出圆心到直线l 距离的取值范围，即可判断得解.【详解】圆22:()2C x a y ++=的圆心(,0)C a −，半径r =当13a −≤≤时，点(,0)C a −到直线l 的距离d， 因此直线l l 与圆C 的公共点个数为1或2. 故选：BC10. 下列四个命题中正确的是（ ）A. 过点(3,1)，且在x 轴和y 轴上的截距互为相反数的直线方程为20x y −−=B. 过点(1,0)且与圆22(1)(3)4x y ++−=相切的直线方程为51250x y +−=或1x = C. 若直线10kx y k −−−=和以(3,1),(3,2)M N −为端点的线段相交，则实数k 的取值范围为12k ≤−或32k ≥D. 若三条直线0,0,3x y x y x ay a +=−=+=−不能构成三角形，则实数a 所有可能的取值组成的集合为{1,1}−【答案】BC 【解析】【分析】利用直线截距式方程判断A ；求出圆的切线方程判断B ；求出直线斜率范围判断C ；利用三条直线不能构成三角形的条件求出a 值判断D.【详解】对于A ，过点(3,1)在x 轴和y 轴上的截距互为相反数的直线还有过原点的直线，其方程为13y x =，A 错误；对于B ，圆:C 22(1)(3)4x y ++−=的圆心(1,3)C −，半径2r =，过点(1,0)斜率不存在的直线1x =与圆C 相切，当切线斜率存在时，设切线方程为(1)y k x =−2=，解得512k =−，此切线方程为51250x y +−=，所以过点(1,0)且与圆22(1)(3)4x y ++−=相切的直线方程为51250x y +−=或1x =，B 正确； 对于C ，直线10kx y k −−−=恒过定点(1,1)P −，直线,PM PN 的斜率分别为 ()()211131,312312PN PM k k −−−−====−−−−，依题意，PM k k ≤或PN k k ≥，即为12k ≤−或32k ≥，C 正确；对于D ，当直线0,3x y x ay a +=+=−平行时，1a =，当直线0,3x y x ay a −=+=−平行时，1a =−，显然直线0,0x y x y +=−=交于点(0,0)，当点(0,0)在直线3x ay a +=−时，3a =， 所以三条直线0,0,3x y x y x ay a +=−=+=−不能构成三角形，实数a 的取值集合为{}113−,,，D 错误. 故选：BC11. 已知椭圆2225:1092x y C k k+=<<的两个焦点分别为12,F F ，点P 是椭圆C 上的动点，点Q 是圆22:(2)(4)2E x y −+−=上任意一点．若2||PQ PF +的最小值为4（ ）A. k =B. 12PF PF ⋅的最大值为5C. 存在点P 使得12π3F PF ∠= D. 2||PQ PF −的最小值为6−【答案】ABC 【解析】【分析】首先得到圆心坐标与半径，即可判断E 在椭圆外部，在2|||PQ PF PE +≥求出2EF ，即可求出k ，再根据数量积的运算律及椭圆的性质判断B 、C ，根据椭圆的定义判断D.【详解】椭圆2225:1092x y C k k+=<<，则3a =，所以1226PF PF a +==，圆22:(2)(4)2E x y −+−=的圆心为()2,4E ，半径r =所以2222419k+>，所以点E 在椭圆外部，又2|||PQ PF PE +≥，当且仅当E 、P 、2F 三点共线（P 在E 2F 之间）时等号成立，所以24EF ，解得2c =，所以294k −=，解得k =（负值舍去），故A 正确；()()1212PF PF PO OF PO OF ⋅=+⋅+21122PO PO OF PO OF OF OF +⋅+⋅+⋅()21121PO PO OF OF OF OF +⋅+−⋅22214PO OF PO =−=− ，又PO ∈ ，所以[]25,9PO ∈ ，所以[]121,5PF PF ⋅∈ ，即12PF PF ⋅的最大值为5，当且仅当P 在上、下顶点时取最大值，故B 正确；设B 为椭圆的上顶点，则OB =，22OF =，所以2tan OBF ∠> 所以2π6OBF ∠>，所以12π3F BF ∠>，则存在点P 使得12π3F PF ∠=，故C 正确；因为()121||||6||6PQ PF PQ PF PQ PF −=−−=+−11||666PE PF EF ≥+−≥−−，当且仅当E 、Q 、P 、1F 四点共线（且Q 、P 在E 1F 之间）时取等号，故D 错误.故选：ABC12. 在棱台1111ABCD A B C D −中，底面1111,ABCD A B C D 分别是边长为4和2的正方形，侧面11CDD C 和侧面11BCC B 均为直角梯形，且113,CC CC =⊥平面ABCD ，点P 为棱台表面上的一动点，且满足112PD PC =，则下列说法正确的是（ ）A. 二面角1D AD B −−B. 棱台的体积为26C. 若点P 在侧面11DCC D 内运动，则四棱锥11P A BCD −D. 点P 【答案】ACD【解析】【分析】A 选项，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，利用空间向量相关公式求出二面角的余弦值；B 选项，利用棱台体积公式求出答案；C 选项，设出(),0,P u v ，求出轨迹方程，得到P 点的轨迹，从而得到点P 到平面11A BCD的最短距离为43PF EF EP =−=−，利用体积公式求出答案；D 选项，考虑点P 在各个面上运算，求出相应的轨迹，求出轨迹长度，相加后得到答案. 【详解】A 选项，因为1CC ⊥平面ABCD ，,BC CD ⊂平面ABCD ， 所以11,CC BC CC CD ⊥⊥，又底面1111,ABCD A B C D 分别是边长为4和2的正方形， 故BC CD ⊥，故1,,CC BC CD 两两垂直，以C 为坐标原点，1,,CD CB CC 所在直线分别为,,x y z 建立空间直角坐标系， 则()()()()112,0,3,4,4,0,4,0,0,0,0,3D A D C ，平面ADB 的法向量为()0,0,1n =，设平面1D AD 的法向量为()1,,n x y z =，则()()()()111,,0,4,040,,2,4,32430n AD x y z y n AD x y z x y z ⋅=⋅−=−= ⋅=⋅−−=−−+= ， 解得0y =，令3x =得，2z =，故()13,0,2n =，则111cos ,n n n n n n ⋅==⋅， 又从图形可看出二面角1D AD B −−为锐角， 故二面角1D ADB −−A 正确；B选项，棱台的体积为(221243283V=+×=，B 错误；C 选项，若点P 在侧面11DCCD 内运动，112PD PC =， 设(),0,P u v，整理得()22216339u v ++−=， 故P 点的轨迹为以2,0,33E−为圆心，43为半径的圆在侧面11DCC D 内部（含边界）部分，如图所示，圆弧QW 即为所求，过点E 作EF ⊥1CD 于点F ，与圆弧QW 交于点P ， 此时点P 到平面11A BCD 的距离最短，由勾股定理得1CD =，因为11128233ED EC CD =+=+=，1111sin C C CD C CD ∠=1118sin 3EF D E CD C =∠=故点P 到平面11A BCD 的最短距离为43PF EF EP =−=−， 因为11A D 与BC 平行，且BC ⊥平面11CDD C ， 又1CD ⊂平面11CDD C ，所以BC ⊥1CD ，故四边形11A BCD 为直角梯形，故面积为()1112A D BC CD +⋅=，则四棱锥11P A BCD −体积的最小值为1433 ×× ，C 正确； D 选项，由C 选项可知，当点P 在侧面11DCC D 内运动时，轨迹为圆弧QW ，设其圆心角为α，则1213cos 423C E EW α===，故π3α=， 所以圆弧QW 的长度为π433⋅当点P 在面1111D C B A 内运动时，112PD PC =， 设(),,3P s t整理得2221639s t ++=，点P 的轨迹为以2,0,33E−为圆心，43为半径的圆在侧面1111D C B A 内部（含边界）部分，如图所示，圆弧QR 即为所求轨迹，其中1213cos 423C E QER ER ∠===，故π3QER ∠=， 则圆弧QR 长度为π44π339⋅=，若点P 面11BCC B 内运动时，112PD PC =， 设()0,,P k l，整理得()22433k l +−=，点P 的轨迹为以()10,0,3C 11BCC B 内部（含边界）部分， 如图所示，圆弧GH 即为所求，此时圆心角1π2GC H =， 故圆弧GH长度为π2经检验，当点P 在其他面上运动时，均不合要求， 综上，点P的轨迹长度为π4π29×=，D 正确. 故选：ACD在【点睛】立体几何中体积最值问题，一般可从三个方面考虑：一是构建函数法，即建立所求体积的目标函数，转化为函数的最值问题进行求解；二是借助基本不等式求最值，几何体变化过程中两个互相牵制的变量（两个变量之间有等量关系），往往可以使用此种方法；三是根据几何体的结构特征，变动态为静态，直观判断在什么情况下取得最值.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知(2,),(,4)P m Q m −，且直线PQ 与直线:20+−=l x y 垂直，则实数m 的值为______． 【答案】1 【解析】【分析】首先求出直线l 的斜率，由两直线垂直得到斜率之积为1−，即可求出PQ k ，再由斜率公式计算可得.【详解】因为直线:20+−=l x y 的斜率1k =−， 又直线PQ 与直线:20+−=l x y 垂直，所以1PQ k =，即412m m−=−−，解得1m =.故答案为：114. 以椭圆2251162x y +=的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线的标准方程为______．【答案】221916y x −=【解析】【分析】根据给定的椭圆方程求出双曲线的顶点及焦点坐标，即可求出双曲线方程.【详解】椭圆2251162x y +=的长轴端点为(0,5),(0,5)−，焦点为(0,3),(0,3)−，因此以(0,3),(0,3)−为顶点，(0,5),(0,5)−4=，方程为221916y x −=. 故答案为：221916y x −=15. 椭圆22:44E x y +=上的点到直线20x y +−=的最远距离为______．【解析】【分析】设出椭圆上任意一点的坐标，再利用点到直线距离公式，结合三角函数性质求解即得.【详解】设椭圆22:14x E y +=上的点(2cos ,sin )(02π)P θθθ≤<，则点P到直线20x y +−=的距离：π2sin 4dθ=−+， 显然当5π4θ=时，max d =， 所以椭圆22:44E x y +=上的点到直线20x y +−=16. 已知点A 的坐标为(0,3)，点,B C 是圆22:25O x y +=上的两个动点，且满足90BAC ∠=°，则ABC 面积的最大值为______．【解析】【分析】设()11,B x y ，()22,C x y ，BC 的中点(,)P x y ，由题意求解P 的轨迹方程，得到AP 的最大值，写出三角形ABC 的面积，结合基本不等式求解． 【详解】设()11,B x y ，()22,C x y ，BC 的中点(,)P x y ，点B ，C 为圆22:25O x y +=上的两动点，且90BAC ∠=°，∴121225y x =+，222225x y +=①，122x x x +=，122y y y +=②，1212(3)(3)0x x y y +−−=③由③得1212123()90x x y y y y +−++=，即121269x x y y y +=−④， 把②中两个等式两边平方得：221122224x x x x x ++=，222121224y y y y y ++=， 即221212502()44x x y y x y ++=+⑤，把④代入⑤，可得2234124x y+−= ，即P 在以30,2为半径的圆上．则AP 的最大值为．所以()22222111244ABC S AB AC AB AC BC AP =≤+==≤ ．当且仅当AB AC =，P 的坐标为 时取等号．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知ABC 的顶点(4,1)A ，边AB 上的高线CH 所在的直线方程为10x y +−=，边AC 上的中线BM 所在的直线方程为310x y −−=． （1）求点B 的坐标； （2）求直线BC 的方程． 【答案】（1）(1,4)−−；（2）7110x y ++=. 【解析】【分析】（1）由垂直关系求出直线AB 的方程，再求出两直线的交点坐标即得.（2）设出点C 的坐标，利用中点坐标公式求出点C 坐标，再利用两点式求出直线方程. 【小问1详解】由边AB 上的高线CH 所在的直线方程为10x y +−=，得直线AB 的斜率为1， 直线AB 方程为14y x ，即3y x =−，由3310y x x y =− −−=，解得1,4x y =−=−， 所以点B 的坐标是(1,4)−−.【小问2详解】由点C 在直线10x y +−=上，设点(,1)C a a −，于是边AC 的中点2,122a a M+−在直线310x y −−=上，因此3611022a a+−+−=，解得2a =−，即得点(2,3)C −，直线BC 的斜率4371(2)k −−==−−−−， 所以直线BC 的方程为37(2)y x −=−+，即7110x y ++=. 18. 如图，在三棱柱111ABC A B C 中底面为正三角形，1114,2,120AA AB A AB A AC ==∠=∠=°．（1）证明：1AA BC ⊥；（2）求异面直线1BC 与1AC 所成角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2【解析】【分析】（1）根据数量积的运算律及定义得到10AA BC ⋅=，即可得证； （2）取AB 中点M ，连接1AC 交1AC 于点O ，连接CM 、OM ，即可得到COM ∠为异面直线1BC 与1AC 所成角或其补角，再由余弦定理计算可得.【小问1详解】因为BC AC AB=−，所以()1111AA BC AA AC AB AA AC AA AB ⋅=⋅−=⋅−⋅1111cos ,cos ,0AA AC AA AC AA AB AA AB =⋅−⋅=，所以1AA BC ⊥，即1AA BC ⊥.【小问2详解】取AB 的中点M ，连接1AC 交1AC 于点O ，连接CM 、OM ，则O 为1AC 的中点，所以1//OM BC ，所以COM ∠为异面直线1BC 与1AC 所成角或其补角， 在等边三角形ABC中CM =在平行四边形11ACC A 中()222211112AC AC AA AC AC AA AA =−=−⋅+22122244282−×××−+，所以1A C =，所以OC =，因为1AA BC ⊥，11//AA BB ，所以1BB BC ⊥， 在矩形11BCC B中1BC，所以OM =在OCM中由余弦定理cos COM ∠=的所以异面直线1BC 与1AC.19. 已知圆C 的圆心在x 轴上，其半径为1，直线:8630l x y −−=被圆CC 在直线l 的下方．（1）求圆C 的方程；（2）若P 为直线1:30l x y +−=上的动点，过P 作圆C 的切线,PA PB ，切点分别为,A B ，当||||PC AB ⋅的值最小时，求直线AB 的方程．【答案】（1）()2211x y −+=（2）2x y +=【解析】【分析】（1）设圆心C (),0a ，根据直线l 被圆Ca ，然后写圆的方程即可； （2）根据等面积的思路得到当1PC l ⊥时，PC AB 最小，然后根据直线AB 为以PC 为直径的圆与圆C 的公共弦所在的直线求直线方程.【小问1详解】设圆心C (),0a 到直线l 的距离为d，则12d =1a =或14−， 因为点C 在直线l 的下方，所以1a =，()1,0C ， 所以圆C 的方程为()2211x y −+=. 【小问2详解】因为12PACB S PC AB PA AC =⋅==，所以PC AB 最小即PC 最小， 当1PC l ⊥时，PC 最小，所以此时1PC k =，PC 的直线方程为：1y x =−，联立130y x x y =− +−= 得21x y = = ，所以()2,1P ，PC 中点31,22 ，PC =所以以PC 为直径的圆的方程为：22311222x y −+−=， 直线AB 为以PC 为直径的圆与圆C 的公共弦所在的直线，联立()222231122211x y x y −+−=−+= 得2x y +=， 所以直线AB 的方程为2x y +=. 20. 已知12,F F 分别为椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点，离心率e =，点B 为椭圆上的一动点，且12BF F △面积的最大值为2．（1）求椭圆C 的方程；（2）若点A 为椭圆C 的左顶点，点(,)P m n 在椭圆C 上，线段AP 的垂直平分线与y 轴交于点Q ，且PAQ △为等边三角形，求点P 的横坐标．【答案】（1）22142x y += （2）25− 【解析】【分析】（1）根据三角形12BF F 的面积、离心率以及222a b c =+列出关于,,ab c 的方程组，由此求解出,a b的值，则椭圆C 的方程可求；（2）表示出AP 的垂直平分线方程，由此确定出Q 点坐标，再根据PAQ △为等边三角形可得AP AQ =，由此列出关于,m n 的等式并结合椭圆方程求解出P 点坐标.【小问1详解】依题意当B 为椭圆的上、下顶点时12BF F △面积的取得最大值，则2221222c ab c a b c = ×= =+，解得2a b = = ， 所以椭圆C 方程为：22142x y +=. 【小问2详解】依题意(,)P m n ，则22142m n +=，且()2,0A −， 若点P 为右顶点，则点Q 为上（或下）顶点，则4AP =，AQ =， 此时PAQ △不是等边三角形，不合题意，所以2m ≠±，0n ≠.设线段PA 中点为M ，所以2,22m n M −， 因为PA MQ ⊥，所以1PA MQ k k ⋅=−， 因为直线PA 的斜率2AP n k m =+，所以直线MQ 的斜率2MQ m k n +=−， 又直线MQ 的方程为2222n m m y x n +− −=−−， 令0x =，得到()()2222Q m m n y n+−=+， 因为22142m n +=，所以2Q n y =−， 因为PAQ △为正三角形，的所以AP AQ =，即， 化简，得到2532120m m ++=， 解得25m =−，6m =−（舍） 故点P 的横坐标为25−.【点睛】关键点点睛：解答本题第二问关键在于AP 垂直平分线方程的求解以及将PAQ △的结构特点转化为等量关系去求解坐标，在计算的过程中要注意利用P 点坐标符合椭圆方程去简化运算. 21. 如图，在多面体ABCDEF 中，侧面BCDF 为菱形，侧面ACDE 为直角梯形，//,,AC DE AC CD N ⊥为AB 的中点，点M 为线段DF 上一动点，且2,120BC AC DE DCB =∠=°．（1）若点M 为线段DF 的中点，证明：//MN 平面ACDE ；（2）若平面BCDF ⊥平面ACDE ，且2DE=，问：线段DF 上是否存在点M ，使得直线MN 与平面的ABF 所成角的正弦值为310?若存在，求出DM DF的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析（2）存在，1DM DF=−【解析】【分析】（1）根据中位线和平行四边形的性质得到MN DG ∥，然后根据线面平行的判定定理证明； （2）建系，然后利用空间向量的方法列方程，解方程即可.【小问1详解】取AC 中点G ，连接NG ，GD ，因为,N G 分别为,AB AC 中点，所以NG BC ∥，12NG BC =， 因为四边形BCDF 为菱形，M 为DF 中点， 所以DM BC ∥，12DM BC =， 所以NG DM ∥，NG DM =，则四边形NGDM 为平行四边形，所以MN DG ∥，因为MN ⊄平面ACDE ，DG ⊂平面ACDE ，所以MN ∥平面ACDE .【小问2详解】取DF 中点H ，连接CH ，CF因为平面BCDF ⊥平面ACDE ，平面BCDF ∩平面ACDE CD =，AC CD ⊥，AC ⊂平面ACDE ， 所以AC ⊥平面BCDF ，因为CH ⊂平面BCDF ，CB ⊂平面BCDF ，所以AC CH ⊥，AC CB ⊥，因为120DCB ∠=°，四边形BCDF 为菱形，所以三角形DCF 为等边三角形，因为H 为DF 中点，所以CH DF ⊥，CH CB ⊥，所以,,CH CB AC 两两垂直，以C 为原点，分别以,,CA CB CH 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，()N ，()4,0,0A，()0,B，()F，()0,D，()0,DF =，()4,AB =−，()AF =−，()2,ND =−− 设DM DF λ=，则()0,,0DM DF λ==，()2,NM ND DM =+=−− ， 设平面ABF 的法向量为(),,m x y z = ，则40430m AB x m AF x z ⋅=−+= ⋅=−++=，令x =2y =，z =，所以m = ，3cos ,10NM m NM m NM m ⋅==，解得1λ=或1+（舍去）， 所以线段DF 上存在点M ，使得直线MN 与平面ABF 所成角的正弦值为310， 此时1DM DF =−22. 已知椭圆22:143x y C +=的左、右顶点分别为,A B ，右焦点为F ，过点A 且斜率为(0)k k ≠的直线l交椭圆C 于点P ．（1）若||AP =k 的值； （2）若圆F 是以F 为圆心，1为半径的圆，连接PF ，线段PF 交圆F 于点T ，射线AP 上存在一点Q ，使得QT BT ⋅ 为定值，证明：点Q 在定直线上．【答案】（1）1±（2）证明见解析【解析】【分析】（1）设():2l y k x =+，(),P P P x y ，联立直线与椭圆方程，求出P 点坐标，再由两点间的距离公式求出k ；（2）由P 点坐标可求得PF 斜率，进而得到PF 方程，与圆的方程联立可得T 点坐标；设()(),2Q m k m +，利用向量数量积坐标运算表示出()224841k m QT BT k −⋅=+ ，可知若QT BT ⋅ 为定值，则2m =，知()2,4Q k ；当直线PF 斜率不存在时，验证可知2m =满足题意，由此可得定直线方程.【小问1详解】依题意可得()2,0A −，可设():2l y k x =+，(),P P P x y ， 由()222143y k x x y =+ += ，消去y 整理得()2222341616120k x k x k +++−=， ()22Δ483441440k k ∴=+−=>，221612234P k x k −∴−=+， 226834P k x k −∴=+，222681223434P k k y k k k −=+= ++ ， 2226812,3434k k P k k −∴ ++，所以A P=21k =或23132k =−（舍去）， 所以1k =±.【小问2详解】 由（1）知2226812,3434k k P k k − ++，()1,0F ， 若直线PF 斜率存在，则2414PF k k k =−，∴直线214:14k PF x y k−=+，由()222141411k x y k x y −=+ −+= 得222441k y k = + ，又点T 线段PF 上， 所以22241441x k ky k = + = + ，即2224,4141k T k k ++ ，又()2,0B ， 22284,4141k k BT k k ∴=− ++， 设()(),2Q m k m +，则()()322242242,4141m k m k mk m QT k k −++−−+−= ++， ()()()()()()()22422222228421628448414141k mk m m k m k k m k QT BT k k −+−++−−+∴⋅=++ ()224841k m k −=+； 当480m −=时，0QT BT ⋅= 为定值，此时2m =，则()2,4Q k ，此时Q 在定直线2x =上；当480m −≠时，QT BT ⋅ 不为定值，不合题意；若直线PF 斜率不存在，由椭圆和圆的对称性，不妨设31,2P ，从而有()1,1T ，()2,0B ， 此时12AP k =，则直线()1:22AP y x =+， 设()1,22Q m m +，则()11,122QT m m =−−+ ，()1,1BT =− ，112QT BT m ∴⋅=− ， 则2m =时，0QT BT ⋅=，满足题意； 综上所述：当0QT BT ⋅= 为定值，点Q在定直线2x =上.【点睛】关键点点睛：本题考查椭圆与向量的综合应用问题，涉及到椭圆中的向量数量积问题的求解；本在题求解点Q 所在定直线的关键是能够根据Q 点横纵坐标之间的关系，结合向量数量积坐标运算化简QT BT ⋅ ，将QT BT ⋅ 化为关于Q 点横坐标和直线斜率的关系式，从而分析确定定值后，再得到Q 点坐标的特征.。