理论力学动力学测试
北航理论力学 动力学5C
x
qT [x, ] qT [x,]
T 1 qT Mq
M mm21Lcoms2
m2
4 3
L cos
m2 L2
2
M是正定对称矩阵，是广义坐标的函数 14
§5-4、哈密顿方程
T 1 qT Mq 2
pj
T q j
,
( j 1,2)
p
T q
p Mq
系统的哈密顿函数H=T+V
H
T
V
1 2
对于定常约束的保守系统，哈密顿函数H就是系统的动能与
势能的和，即：
H T V
12
§5-4、哈密顿方程
例题：求自由质点在重力场中的哈密顿函数和哈密顿方程
z
1、系统的广义坐标：x, y, z
2、系统的动能 T 1 m(x2 y 2 z2 )
mg
y
2
pj
T q j
,
( j 1,2,3)
px mx py my pz mz
21
哈密顿系统的辛算法
20世纪80 年代，提出了 哈密顿系统的 辛算法。该算 法可保持长期 数值计算的稳 定性。
冯 康(1920.9～1993.8) 数学与物理学家、计 算数学家。1944年毕业于重庆中央大学物理 系。1951～1953年赴前苏联进修。
曾任中国数学会理事，计算数学分会副 理事长，中国计算机学会副主任等职。 1980 年被选为中国科学院学部委员(数学物理学部 院士)。
v1 ? v2 ? ?
10
§5-4、哈密顿方程
一、保守系统的拉格朗日方程 设：L＝T-V （拉格朗日函数）
d dt
L q j
L q j
0,
( j 1,2,, k)
理论力学动力学部分试题及答案
1物体自地球表面以速度眄铅直上抛.试求该物体返回地面时的速度巧・假定空气阻力R=mkv2,其中k是比例常量，搜数值它等于单位质量在单位速度时所受的阻力。
m是物体质V 是物体速度，重力加速度认为不变.答:叮解：阻力方向在上升与下降阶段不同（其方向与速度y相反），故分段考虑（1）上升阶段：tn— - -tng一dt通过坐标变换有加V字二-刃护-加£ ,积分得axvdv（2）下落阶段:(1)g2.静止中心0以引力F=k2mr吸弓I质量是m的质点M,其中k是比例常量，r=OM是点M的矢径.运动开始时OMo=b,初速度时呵并与阪成夹角求质点M的运动方程。
x = b cos 处 + —cosasin ktky = —sinasin^k解：取坐标如图，质点M在任意位貳将fna = F 沿x、y轴投彫，得mx = 一F cos<p= -k2fnrcos （p= -Qmxfny = 一Fsin cp= -k2fnr sin (p= -k^my艮卩x+k2x = 0 , y+^2y = 0徽分方程得通解为：x = s coskt+c2 sin kt求导得x = -kc x sin kt + kc2 coskt , y = -kc3 sin kt + kc^ cos kt (2)已知初始条件f=0 z 妒b z /o=0，x0 = v0 sin a ,代入方程（1），（2）得点M的运动方程为v =—cosax = 2?cos Ar/ +—kcos ar sin kt -I sin asin kt y =c3 cos kt + c^ sin kt (1)九=v0 sin a3单摆M 的悬线长/,摆重G 支点B 具有水平向左的均加速度a.如将摆在&=0处静止 释啟，试确定悬线的张力T （表示成&的函数）.解：质点的相对徴分方程为 ma r = mg+f +©投影到法线方向由式(2)得T = Gsin3 + —acos0 + — v 2g 0T = G 3 sin + 3 — cos — 2 —\ g S )答・ T - G(3sin3-cos^- 2-) g g投影到切线方向= T-Gsin^-0e cosB g !(2)由式（1）得 妙=gcos^-usin 0分离变量并积分|*V Xiv = \ f geos^10- [ asm Odd v 2 = 2"gsin &+ocos&-a 1(3)将式（3）代入上式代入式（2）得dt dt积分得4.水平面内弯成任意形状的细管以匀角速度G 绕点0转动.光滑小球M 在管內可自由 运动.设初瞬时小球在吆处，OMo=©相对初速^v o =0,求小球相对速度大小冬与极径r的关系。
《理论力学》动力学典型习题+答案
《动力学I 》第一章 运动学部分习题参考解答1－3 解：运动方程：θtan l y =，其中kt =θ。
将运动方程对时间求导并将030=θ代入得34cos cos 22lklk l yv ====θθθ938cos sin 2232lk lk y a =-==θθ1－6证明：质点做曲线运动,所以n t a a a +=, 设质点的速度为v ,由图可知:a a v v yn cos ==θ，所以: yv va a n =将c v y =，ρ2n v a =代入上式可得 ρc v a 3=证毕 1－7证明：因为n2a v =ρ，v a a v a ⨯==θsin n所以：va ⨯=3vρ证毕1－10解：设初始时,绳索AB 的长度为L ,时刻t 时的长度 为s ,则有关系式：t v L s 0-=，并且 222x l s +=将上面两式对时间求导得： 0v s-= ，x x s s 22= 由此解得：xsv x-= （a ） (a)式可写成：s v xx 0-= ，将该式对时间求导得： 2002v v s x x x =-=+ (b)将(a)式代入(b)式可得：3220220xlv x x v x a x -=-==（负号说明滑块A 的加速度向上）1－11解：设B 点是绳子AB 与圆盘的切点，由于绳子相对圆盘无滑动，所以R v B ω=，由于绳子始终处于拉直状态，因此绳子上A 、B 两点的速度在 A 、B 两点连线上的投影相等，即： θcos A B v v = （a ） 因为xR x 22cos -=θ （b ） 将上式代入（a ）式得到A 点速度的大小为： 22Rx x Rv A -=ω （c ）由于xv A -=，（c ）式可写成：Rx R x x ω=--22 ，将该式两边平方可得： 222222)(x R R x xω=- 将上式两边对时间求导可得：x x R x x R x xx 2232222)(2ω=-- 将上式消去x2后，可求得：22242)(R x xR x --=ω由上式可知滑块A 的加速度方向向左，其大小为 22242)(R x xR a A -=ω1－13解：动点：套筒A ；动系：OA 杆； 定系：机座； 运动分析：绝对运动：直线运动； 相对运动：直线运动； 牵连运动：定轴转动。
理论力学--动力学习题+答案
F
x
0
且有AB杆初始静止，
因此，沿x轴方向质心位置应守恒，质心C始终在y轴上，A点 的坐标可表示为：
建立oxy：并令y轴通过质心，则
l x A C A cos cos 2 y A BA sin l sin
消去 ，得：
A
A
C
2
4x y l
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第八章 质点的运动微分方程
【思考题】
1．选择题 （1）如图所示，质量为m的质点受力F作用，沿平 面曲线运动，速度为v。试问下列各式是否正确？
dv dv a.m F , b.m F dt dt
( A )
v
M
F
A、a、b都正确； B、a、b都不正确。 C、a正确，b不正确；D、a不正确，b正确。
aB
F
a BC B
x
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第八章 质点的运动微分方程
[例3] 均质圆柱体A和B的重量均为P，半径均为r，一绳缠在绕固 定轴O转动的圆柱A上，绳的另一端绕在圆柱B上，绳重不计且不 可伸长，不计轴O处摩擦。 求（1） 圆柱B下落时质心的加速度。 （2） 若在圆柱体A上作用一逆时针转向的转矩M，试问在什么 条第八章 质点的运动微分方程
解：（1）选圆柱A为研究对象
1P 2 r A Tr 2g
（1）
选圆柱B为研究对象
1P 2 r B T 'r 2g
P aC P T ' g
（2）
（3）
运动学关系：
aC ae ar r A r B （4）
由（1）、（2）式得：
0.5m2 1.5m1 30 75 x m1 m2 M 260
理论力学动力学测试
第三篇 动力学一、选择题（每题2分，共20分）1．在铅直面内的一块圆板上刻有三道直槽AO ，BO ，CO ，三个质量相等的小球M 1，M 2，M 3在重力作用下自静止开始同时从A ，B ，C 三点分别沿各槽运动，不计摩擦，则________到达O 点。
（A ）M 1小球先； （B ）M 2小球先； （C ）M 3小球先； （D ）三球同时。
题1 题2 题32．质量分别为m 1=m ，m 2=2m 的两个小球M 1，M 2用长为L 而重量不计的刚杆相连。
现将M 1置于光滑水平面上，且M 1M 2与水平面成︒60角。
则当无初速释放，M 2球落地时，M 1球移动的水平距离为____________。
（A ）3L； （B ）4L； （C ）6L； （D ）0。
3．质量为m ，长为b 的匀质杆OA ，以匀角速度ω绕O 轴转动。
图示位置时，杆的动量及对O 轴的动量矩的大小为________。
（A ）2ωmb p =，122ωmb L O =； （B ）0=p ，122ωmb L O =；（C ）2ωmb p =，22ωmb L O =； （D ）2ωmb p =，32ωmb L O =。
4．在_____情况下，跨过滑轮的绳子两边张力相等，即F 1=F 2（不计轴承处摩擦）。
（A ）滑轮保持静止或以匀速转动或滑轮质量不计； （B ）滑轮保持静止或滑轮质量沿轮缘均匀分布； （C ）滑轮保持静止或滑轮质量均匀分布； （D ）滑轮质量均匀分布。
题4 题55．均质杆长L ，重P ，均质圆盘直径D =L ，亦重P ，均放置在铅垂平面内，并可绕O 轴转动。
初始时杆轴线和圆盘直径均处于水平位置，而后无初速释放，则在达到图示位置瞬时，杆的角速度ω1________圆盘的角速度ω2。
（A ）大于； （B ）小于； （C ）等于； （D ）小于或等于。
6．均质杆AB ，长L ，质量m ，沿墙面下滑，已知A 端速度v，B 端高度h ，AB 对过杆端A ，质心C ，瞬心I 的水平轴的转动惯量分别为J A ，J C ，J I ，则图示瞬时杆的动能为__________。
动力学测验
，动
能是
，对转轴的动量矩是
第 3 题图
r ω e C·
O
第 4 题图
第 5 题图
学号
姓
班
4 如图 4 所示，均质圆盘质量 m，半径 r，质心 C，绕偏心轴 O 以等角速 ω 转动，偏心距 OC＝e
惯性力系向质心简化的结果是
其大小
5 图 5 所示铅垂悬挂的质量-弹簧系统，其质量 m，弹簧 点的运动微分方程
得分
r2
r1
O
P2 P1
零
二 选择 填空题 每题 4 分，共 20 分
零，故力 P 的冲量也
第 1 题图 1 两个相 的均质圆盘，放在光滑水 面 ，在圆盘的
第 2 题图 位置 ，各作用一相 的水 力 F , 使圆盘由静
开始运动，试问哪个圆盘的质心运动快？___________
A A 盘质心运动快
B B 盘质心运动快 C 两盘质心运动一样快 D 无法比较
2016~2017 学 第二学期 理论力学动力学阶段检测 试卷
学号
姓
班
题号
一
二
四
五
六
七
八
九
十
总成绩
得分
一 判断题 每题 1 分，共 10 分
1.两自由运动质点，若其运动微分方程完全相 ， 运动规律就一定相 ( ) 2.质点系总动量的方向就是质点系所 外力 矢方向 ( ) 3.运动员 速奔跑时，地面摩擦力做 使其动能增 ( ) 4.自行车 速前进时，地面对 轮的摩擦力使质心产生 速 ( ) 5.质点系的动能增量只和系统外力做 有关 ( ) 6.可以伸长的绳索拉力对质点系做 一般 零 ( ) 7.总动量 零的质点系中各个物体一定处于静 状态 ( ) 8. 体系中 体间的动滑动摩擦力做 一般 值 ( ) 9.质点系对质心轴的转动惯量是该质点系对所有 行于质心轴的转动惯量中的最小值 10.用力 P 将木块顶在粗糙的墙 ，木块因摩擦而处于静 状态，由于木块的动量始终
《理论力学》习题三答案
《理论力学》习题三答案一、单项选择题（本大题共30小题，每小题2分，共60分）1. 求解质点动力学问题时，质点的初始条件是用来（ C ）。
A 、分析力的变化规律； B 、建立质点运动微分方程； C 、确定积分常数； D 、分离积分变量。
2. 在图1所示圆锥摆中，球M 的质量为m ，绳长l ，若α角保持不变，则小球的法向加速度为（ C ）。
A 、αsin g ；B 、αcos g ；C 、αtan g ；D 、αtan gc 。
3. 已知某点的运动方程为2bt a S +=（S 以米计,t 以秒计，a 、b 为常数），则点的轨迹为（ C ）。
A 、是直线；B 、是曲线；C 、不能确定；D 、抛物线。
4. 如图2所示距地面H 的质点M ，具有水平初速度0v，则该质点落地时的水平距离l 与（ B ）成正比。
A 、H ； B、H ； C 、2H ；D 、3H 。
5. 一质量为m 的小球和地面碰撞，开始瞬时的速度为1v ，碰撞结束瞬时的速度为2v（如图3），若v v v ==21，则碰撞前后质点动量的变化值为（ A ）。
A 、mv ；B 、mv 2 ；C 、mv 3；D 、 0。
6. 一动点作平面曲线运动，若其速率不变，则其速度矢量与加速度矢量（ B ）。
A 、平行； B 、垂直； C 、夹角随时间变化； D 、不能确定。
7. 三棱柱重P ，放在光滑的水平面上，重Q 的匀质圆柱体静止释放后沿斜面作纯滚动，则系统在运动过程中（ A ）。
A 、沿水平方向动量守恒，机械能守恒；B 、动量守恒，机械能守恒；C 、沿水平方向动量守恒，机械能不守恒；D 、均不守恒。
图1图2图38. 动点M 沿其轨迹运动时，下列几种情况中，正确的应该是（ A ）。
A 、若始终有a v⊥，则必有v 的大小等于常量； B 、若始终有a v ⊥，则点M 必作匀速圆周运动；C 、若某瞬时有v ∥a，则点M 的轨迹必为直线；D 、若某瞬时有a 的大小为零，且点M 作曲线运动，则此时速度必等于零。
理论力学总复习(3).
R ，质量为
m的匀质圆盘在其自身平面内作平面运动。
点速度大小为 B
在图示位置时，若已知图形上 A、B 二点的速度方向如图所示。
45 ，且知
v B ，则圆轮的动能为
②
2、已知匀质杆长L，质量为m，端点B的速度为v，则杆的动能为 ②
3、图示三棱柱重P，放在光滑的水平面上，重Q的匀质圆柱体静止释放后
(a 0 g ) sin / L 0
1、倾角为 的楔形块A质量为 m1 ，置于光滑水平面上，物块B的 质量为 m2 ，放置在楔块斜面上。系统由静止开始运动。求A、 B的相互作用力。（不计两物块之间的摩擦）
第九章 质点系动力学基础
一、是非题
1、任意质点系（包括刚体）的动量可以用其质心（具有系统的质量）的动量来 表示。 （√ ） 2、质点系中各质点都处于静止时，质点系的动量为零。于是可知如果质点系的 动量为零，则质点系中各质点必须静止。 （ ×） 3、不管质点系作什么样的运动，也不管质点系内各质点的速度如何，只要知道 质点系的总质量和质点系质心的速度，即可求得质点系的动量。 （√ ） √ 4、冲量的量纲与动量的量纲相同。 （ ） 5、质点系对某轴的动量矩等于质点系中各质点的动量对同一轴之矩的代数和。 （√ ） 6、刚体的质量是刚体平动时惯性大小的度量，刚体对某轴的转动惯量则是刚体 绕该轴转动时惯性大小的度量。 （ ） √
1、半径为r，质量为M的光滑圆柱放在光滑水平面上，如图所示。一质 量为m的小球从圆柱顶点无初速下滑，试求小球离开圆柱前的轨迹。
2、重为 W1 的物体A，沿三棱体D的光滑斜面下降，同时借一绕过滑轮 C的绳子使重为 W2 的物块B运动。三棱体D重为 W 0 ，斜面与水平 面成 角，如略去绳子和滑轮的重量，求三棱体D给凸出部分E
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第三篇 动力学
一、选择题（每题2分，共20分）
1．在铅直面内的一块圆板上刻有三道直槽AO ，BO ，CO ，三个质量相等的小球M 1，M 2，M 3在重力作用下自静止开始同时从A ，B ，C 三点分别沿各槽运动，不计摩擦，则________到达O 点。
（A ）M 1小球先； （B ）M 2小球先； （C ）M 3小球先； （D ）三球同时。
题1 题2 题3
2．质量分别为m 1=m ，m 2=2m 的两个小球M 1，M 2用长为L 而重量不计的刚杆相连。
现将M 1置于光滑水平面上，且M 1M 2与水平面成︒60角。
则当无初速释放，M 2球落地时，M 1球移动的水平距离为____________。
（A ）
3
L
； （B ）
4
L
； （C ）
6
L
； （D ）0。
3．质量为m ，长为b 的匀质杆OA ，以匀角速度ω绕O 轴转动。
图示位置时，杆的动量及对O 轴的动量矩的大小为________。
（A ）2ω
mb p =，122ωmb L O =； （B ）0=p ，122ωmb L O =；
（C ）2ωmb p =，22ωmb L O =； （D ）2
ω
mb p =，32ωmb L O =。
4．在_____情况下，跨过滑轮的绳子两边张力相等，即F 1=F 2（不计轴承处摩擦）。
（A ）滑轮保持静止或以匀速转动或滑轮质量不计； （B ）滑轮保持静止或滑轮质量沿轮缘均匀分布； （C ）滑轮保持静止或滑轮质量均匀分布； （D ）滑轮质量均匀分布。
题4 题5
5．均质杆长L ，重P ，均质圆盘直径D =L ，亦重P ，均放置在铅垂平面内，并可绕O 轴转动。
初始时杆轴线和圆盘直径均处于水平位置，而后无初速释放，则在达到图示位置瞬时，杆的角速度ω1________圆盘的角速度ω2。
（A ）大于； （B ）小于； （C ）等于； （D ）小于或等于。
6．均质杆AB ，长L ，质量m ，沿墙面下滑，已知A 端速度v
，B 端高度h ，AB 对过杆端A ，质心C ，瞬心I 的水平轴的转动惯量分别为J A ，J C ，J I ，则图示瞬时杆的动能为__________。
（A ）22)(2121h v J mv A +； （B ）22
)(21421h
v J mv
C +； （C ）2)(21h v J I ；（
D ）221mv
题6 题7 题8
7．已知均质杆长L ，质量为m ，端点B 的速度为v
，则AB 杆的动能为___________。
（A ）2
3
1mv ；
（B ）
2
2
1mv ； （C ）
2
3
2mv ； （D ）
23
4mv 8．质量为m 1的均质杆OA ，一端铰接在质量为m 2的均质圆盘中心，另一端放在水平面上，
圆盘在地面上作纯滚动。
圆心速度为v
，则系统的动能为_______。
（A ）222221v m v m +； （B ）2
2212v m v m +； （C ）4
22221v m v m +； （D ）4322221v m v m +
9．已知曲柄OA 长r ，以角速度ω转动，均质圆盘半径为R ，质量为m ，在固定水平面上作
纯滚动，则图示瞬时圆盘的动能为________。
（A ）322
2ωmr ；
（B ）322ωmr ； （C ）3
42
2ωmr ；
（D ）22ωmr 。
题9 题10
10．汽车以匀速率v 在不平的道路上行驶，当汽车通过A ，B ，C 三个位置时，汽车对路面
的压力分别为F N A ，F N B ，F N C ，则下述关系式_____________成立。
（A ）F N A =F N B =F N C ；（B ）F N A <F N B <F N C ；（C ）F N A >F N B >F N C ；（D ）F N A =F N B >F N C 。
二、填空题（每空2分，共20分）
1．质量为m 的均质杆OA ，长L ，在杆的下端固结一质量亦为m ，半径为
2
L
的均质圆盘，图示瞬时角速度为ω，角加速度为α，则系统的动量为___________，系统对O 轴的动量矩为___________。
题1 题2 题3
2．图示系统置于铅垂面内，由静止开始释放，若：（1）均质圆盘在中心C 与杆铰接，则系统下降过程中，圆盘作____________ 运动；（2）均质圆盘在D 点与杆铰接，则系统下降过程中，圆盘作____________ 运动。
3．刚体的质量为m ，质心为C ，已知该刚体对A 轴的转动惯量为J A 。
若AC =a ，BC =b ，则该物体对B 轴的转动惯量J B =_______。
4．杆AB 长为L ，质量为m ，可绕轴O 转动，某瞬时角速度为ω，则该瞬时杆的动能大小为_________，动量大小为_________，杆对O 轴的动量矩大小为_________。
题4 题5
5．已知物块A 、B 质量均为m ，轮C 半径为R ，质量也为m ，。
某瞬时物A 有向下的速度v
，则该瞬时系统的动量大小为_______，动能的大小为_______。
三、计算题（共60分） 1．（15分）图示均质水平细杆AB 长为l ，一端铰接于A ，一端系于细绳BC ，而处于水平位置。
设细绳突然被割断。
试求（1）此瞬时细杆的角加速度1α；（2）细杆运动到铅直位置时的角加速度2α及角速度2ω。
2．（10分）图示均质杆OA 长l ，质量为1m ，在A 处与半径为r 、质量为2m 的均质圆盘B 相固连，且r l 2=，m m m ==21，O 、A 与盘心B 在同一条直线上，初瞬时杆水平，系统静止，置于铅垂面内。
若将绳突然烧断，试求此瞬时轮心B 的加速度及轴承O 处的约束力（绳重和摩擦不计）。
3．（10分）均质杆AB 长l ，质量为m 。
试求AB 杆无初速地由水平位置顺时针绕O 轴转动到铅直位置时杆的角速度和角加速度。
4．（10分）图示滑轮受重力P
，可视为均质圆盘，半径为R ，轮上绕以细绳，绳的一端固定于A 点，试求滑轮由静止开始降落时轮心的加速度和绳的张力。
5．（15分）均质细直杆AB ，长为2l 、质量为m ，其A 端搁于光滑水平面上，B 端用细绳铅直吊起，使杆成30º倾斜，如图3-6所示。
若B 端细绳断掉，试求杆子滑倒与水平面将接触（但尚未接触）时的角速度。
30=αA
B。