理论力学动力学部分3动量矩定理
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第10章 动量矩定理
2019年8月3日
1
动力学/动量矩定理
首先分析以下两个刚体的动量：
2
动力学/动量矩定理
动量是描述质点系随质心平移的一个动力学量， 它不能描述质点系相对于质心转动的动力学状态。
相应地，动量定理也不能描述质点系相对于质心 或某一固定点的运动规律。
本章引进动量矩的概念，并研究描述质点系相对 于某一定点（定轴）或质心（质心轴）的运动状态与 外力矩之间的关系——动量矩定理。
y Fx
x y Fy Fxy
力对轴的矩的 解析表达式
13
静力学/第四章 空间力系来自◆ 力矩关系定理 空间力对点的矩的解析式为：
Mo(F) = (yFz- zFy) i + ( zFx- xFz) j + ( xFy- yFx) k
= [Mo(F)]x i + [Mo (F )]y j + [Mo (F )]z k 空间力对轴的矩的解析式为：
解：让三线摆作微小扭转振动， 设圆盘绕 z 轴转过微小角度为
z
C´
FT
FT C
O
B´ A´
FT B A
W
分析圆盘受力：
应用刚体绕定轴转动的运动微分方程
51
动力学/动量矩定理
应用刚体绕定轴转动的运动微分方程
z
C´
FT
FT C
O
B´ A´
FT B A
W
让三线摆作微小扭转振动，建立振动周期与转动惯 量之间的关系，通过测量振动周期，就可以测量出圆盘 的转动惯量。
• 计算转动惯量
在机械工程手册中，可以查阅到简单几何形状或几 何形状已标准化的零件的回转半径。
理论力学-动量矩定理
§11-5 质点系相对于质心的动量矩定理
1．对质心的动量矩
vi vC vir
LC MC mivi ri mivi
?
ri 'mivir
LC ri0 mivC ri mivir
z
ri mivC ( mir 'i ) vC 0
LC ri mivir
LO
(rC
r
')
JzC mi (x12 y12 )
Jz m i r2 m i (x2 y2) mi[x12 ( y1 d )2 ]
0 mi (x12 y12 ) 2d mi y1 d 2 mi
Jz JzC md 2
4．组合法
已知：杆长为 l质量为 m，1 圆盘半径为 ，d质量为 . m2
2g
运动方程为
s v0
3R
2g
r
sin
2g
3R
r
t
例11-11 已知：如图所示均质圆环半径为r，质量为m，其上焊接 刚杆OA，杆长为r，质量也为m。用手扶住圆环使其在OA 水平位置静止。设圆环与地面间为纯滚动。 求：放手瞬时，圆环的角加速度，地面的摩擦力及法向 约束力。
A O
解: 整体质心为C，其受力如图所示
解： (1) LO JO m1v1r1 m2v2r2
(JO m1r12 m2r22 )
MO (F (e) ) (m1r1 m2r2 )g
由
dLO dt
MO (F(e))
,得
d
dt
(m1r1 m2r2 )g JO m1r12 m2r22
FN
（2）由质心运动定理
FN (m m1 m2 )g (m m1 m2 )aCy
理论力学公式
定轴转动刚体上一点的速度和加速度：（角量与线量的关系）1．点的运动✶ 矢量法22 , , )(dt rd dtv d a dtr d v t r r ==== 点的合成运动re a v v v +=r e a a a a +=（牵连运动为平动时）k r e a a a a a ++=（牵连运动为转动时）其中， ),sin(2 , 2r e r e k r e k v v a v a ωωω=⨯=ωR v =ετR a =2ωR a n =全加速度：2),(ωε=n atg 轮系的传动比：nn n n i Z Z R R n n i ωωωωωωωωωω13221111221212112 ,-⋅⋅⋅⋅======ωω , ⋅=+=AB v v v v BA BA A B 为图形角速度22 , , )(dtd dt d dt d t f ϕωεϕωϕ====质心运动定理M a c = ∑F ≡ R2. 动量矩定理：平行移轴定理刚体平面运动微分方程三．动能定理平面运动刚体的动能：四． 达朗伯原理对整个质点系，主动力系、约束反力系、惯性力系形式上构成平衡力系。
这就是质点系的达朗伯原理。
可用方程表示为：质点系相对质心的动量矩定理∑==)()( )(e C e i C r C M F m dtL d ετ⋅=AB a BA 2ω⋅=AB an BAω,ε分别为图形的角速度，角加速度nBABA A B a a a a ++=τ∑=-WT T 12质点系动能定理的积分形式∑==)()()(e O e i O O M F m dt L d 一质点系对固定点的动量矩定理)(22)( e zz e zz M dt d I M I ==∴ϕε或—刚体定轴转动微分方程2222221 21)(2121ωωωC C C I v M d M I +=+=T 2'md I I zC z +=∑∑==∴)( , )(e C C C F m I F a m ε()d d e i pF t=∑用动静法求解动力学问题时，对平面任意力系，刚体平面运动可分解为随基点（质点C ）的平动：绕通过质心轴的转动：根据动静法，有)()()(0=++=++∑∑∑∑∑∑i OiOiOiiiQ mN m F m Q NF CQ a M R -=εC QC I M -=(3)02/cos , 0)((2)0sin , 0(1)0cos , 0000=-⋅==+-==-+=∑∑∑QA AnQ nA n Q A M l m g F mR m g R F R m g R F ϕϕϕτττ。
理论力学课件-动量矩定理
mi m ,
mi yi myC 0 则 J z ' J zC m d 2
2
例如，对于例6中均质细杆对 z' 轴的转动惯量为
1 2 1 2 1 2 l J z ' J z m ml ml ml 4 3 2 12
五．计算转动惯量的组合法
当物体由几个规则几何形状的物体组成时，可先计算每一 部分(物体)的转动惯量, 然后加起来就是整个物体的转动惯量。
若物体有空心部分, 要把此部分的转动惯量视为负值来处理。
[例8] 图示钟摆，均质直杆：m1、l ； 均质圆盘：m2 、R 。求 JO 。
解：JO JO杆 J O盘
1 2 1 2 2 m1l m2 R m2 (l R) 3 2
[例6]匀质细直杆长为l ，质量为m。求 ① 对z轴的转动惯量Jz ；
② 对z' 轴的转动惯量 Jz’ 。
m 1 2 解：J z l x d x ml l 12 2 l m 1 J z ' x 2 d x ml 2 0 l 3
2
l 2
[例7]设有均质圆薄板，如图所示。其质量为m，半径为R，求 它对中心轴的转动惯量。 解：在圆板上取任意半径 r 处宽为dr 之圆环为微元 。由于圆板匀质，故有
以上结论称为质点系的动量矩守恒定律。
[例3] 已知物重PA > PB ，定滑轮重 P ，半径为r，求 。
解: 取整个系统为研究对象，受力如图示。
运动分析： v = r
MO PAr PB r ( PA PB )r PA PB LO v r v r J O g g r 2 1P 2 由于
理论力学第十一章动量矩定理
JO
d 2
dt 2
mga
即：
d 2
dt 2
mga
JO
0
解： 令 2 mga
JO
——固有频率
得
2 0
通解为 O sin(
mgat )
JO
周期为 T 2 2 JO
mga
例11-3 用于测量圆盘转动惯量的三线摆中，
三根长度相等（l）的弹性线，等间距悬挂被测量的圆盘。
已知圆盘半径为 R、重量为W。
dt
dt dt
v dr dt
r d(mv) d(r mv)
dt
dt
dLO dt
MO F
矢量式
质点对固定点的动量矩对时间的导数等于作 用于质点上的力对该点的矩。
★ 质点系的动量矩定理
0
d
dt
i
ri mivi
i
MO (Fii )
i
MO (Fie )
MO (Fie )
i
F2
z
F1
LO rC mvC LC
dLO d
dt dt
rC mvC LC
ri Fie (rC + ri) Fie
rC Fie ri Fie
③
即
drC dt
mvC
rC
d dt
mvC
dLC dt
rC
Fie
dLC dt
由于
① ① drC dt
② vC ,
drC dt
mvC
★ 相对质心的动量矩
LC MC mivi ri mivi
vi vC vir
LC = rimivC rimivir
其中
ri mivC ( miri)vC 0 （rC
理论力学第9章 动量矩定理及其应用
动量矩定理与动量矩守恒
动量矩定理的投影形式
动量矩定理与动量矩守恒
动量矩定理的投影形式
比照力对点之矩与力对轴之矩的关系，可以得到动量对点 之矩在过该点之轴上的投影等于该动量对该轴之矩。
d ( ri mi v i ) ri Fi e dt i i
d LO e MO dt
相对质心的动量矩定理
质点系相对质心的动量矩
质点系相对质心的动量矩
LC ri mi v i
ri mi vir
可见，计算质点系相对质心的动量矩，用绝对速度和相对 速度结果都是一样的。对于一般运动的质点系，通常可分解 为随质心的平移和绕质心的转动，因此，用上式中的第二项 计算质点系相对质心的动量矩更方便些。
相对质心的动量矩定理
质点系相对质心的动量矩
质点系相对固定点的动量矩与 相对质心的动量矩之间的关系
质点系相对固定点的动量矩与质点系相对质心的动量矩之 间存在确定的关系。 质点系相对固定点的动量矩为
LO ri mi v i
i
注意到 mi v i
相对质心的动量矩定理
质点系相对质心的动量矩
质点系相对质心的动量矩
根据动量矩定义，质点系相对质心的动
量矩应为
LC ri mi v i
其中vi为第i个质点的绝对速度。 则有
v i v C v ir
LC ri mi ( vC vir ) ( mi ri) vC ri mi vir vC ri mi vir m rC 0 ri mi vir
9.5 动量和动量矩定理在碰撞问题中的应用
9.6 结论与讨论
返回
9.2 动量矩定理与动量矩守恒
13动量矩定理
O
r1
M
B
m2 g
mg
A
m1 g
理论力学 第二节 动量矩定理
第十三章
动量矩定理
解:取系统为研究对象进行受力分析和运动分析 1、受力分析
2、运动分析
Foy
FN
B
v1 r1
v2 r2
v2
M
r2
O
r1
系统对O轴的动量矩和外力矩：
LO J O m1r12 m2 r22
F1 F1
解得主动轮与从动轮的角加速度分别为：
MR 2 1 J1 R 2 J 2 r 2
MRr 2 J1 R 2 J 2 r 2
理论力学 第十三章 动量矩定理
第十三章
动量矩定理
第四节 刚体的平面运动微分方程
理论力学
第十三章
动量矩定理
第四节 刚体的平面运动微分方程
若平面运动刚体具有质量对称平面，且其运动平 面与该质量对称平面平行，则有:
第十三章
动量矩定理
三、质点系的动量矩定理
设质点系中有n个质点，其中第 i 个质点： d [M z mi vi ] = M z Fi e M z Fi i dt
n n d e [M z mi vi ] M z Fi M z Fi i dt i 1 i 1 i 1 n
O
A
B
理论力学 第二节 动量矩定理
第十三章
动量矩定理
FO y
O
解: 取整个系统为研究对象，
受力分析如图示。 运动分析： v =ｒ
FO x
M F m gr m gr
e z i 1 2
理论力学动量矩定理资料重点
O h
x
r
A(x,y,z)
MO (mv) r mv
y
[MO (mv)]z M z (mv)
第十三章 动 量 矩 定 理
2. 质点系的动量矩
z
O x
mivi
m2
mi
ri
m1 y
LO
M
O
(mivi
)
ri mvi
Lz M z (mivi )
[LO ]z Lz
质点系中所有质点对于点 O 的动量矩的矢量和，称为
z
M O (F )
MO(F) F h
B F
MO (F) 2OAB
O h
x
r
A(x,y,z)
MO(F) r F
y
[MO (F)]z M z (F)
第十三章 动 量 矩 定 理
1. 质点的动量矩
z
MO (mv)
B mv
MO (mv) mv h MO (mv) 2OAB
M (e) O
PR
由动量矩定理:
(
JRdOdLtO
W g
MR)O(d e)v
dt
WR
a WR2
(JO
W g
R2)
第十三章 动 量 矩 定 理
FOy
O
FOx
mg
v
P
例题 13-2 求：此时系统的角速度
z
z
Aa l
aB l
C
o D
A
C
B
D
第十三章 动 量 矩 定 理
解：取系统为研究对象 受力分析：
Fn
d
dt
(
J
z)
M z (Fi(e) )