第3讲：直线与方程
直线与方程(讲义)
直线与方程（讲义）一、基础知识梳理1、直线方程的几种形式2、两条直线的位置关系3、两条直线的交角①直线1l 到2l 的角（方向角）；直线1l 到2l 的角，是指直线1l 绕交点依逆时针方向旋转到与2l 重合时所转动的角θ，它的范围是),0(π，当 90≠θ时21121tan k k k k +-=θ. ②两条相交直线1l 与2l 的夹角：两条相交直线1l 与2l 的夹角，是指由1l 与2l 相交所成的四个角中最小的正角θ，又称为1l 和2l 所成的角，它的取值范围是 ⎝⎛⎥⎦⎤2,0π，当 90≠θ，则有21121tan k k k k +-=θ. 4、距离问题5、对称问题题型总结一、直线方程1、直线过原点且倾角的正弦值是54，则直线方程为 2、直线x+6y+2=0在x 轴和y 轴上的截距分别是（ ）A.213, B.--213, C.--123, D.－2，－3 3、求过点P （2，-1），在x 轴和y 轴上的截距分别为a 、b,且满足a=3b 的直线方程。
4、若直线ax + by + c = 0在第一、二、三象限，则( )A. ab ＞0，bc ＞0B. ab ＞0，bc ＜0C. ab ＜0，bc ＞0D. ab ＜0，bc ＜0二、垂直与平行1.(安徽高考) 过点(1,0)且与直线x-2y=0平行的直线方程是（ ）A.x-2y-1=0B. x-2y+1=0C. 2x+y-2=0D. x+2y-1=02. 过点(1,3)P -且垂直于直线032=+-y x 的直线方程为（ ）A. 012=-+y xB. 052=-+y x3、(安徽高考)直线过点（-1，2），且与直线2x-3y+4=0垂直，则直线的方程是（ ） A . 3x+2y-1=0 B. 3x+2y+7=0 C. 2x-3y+5=0 D. 2x-3y+8=04、（上海文，15）已知直线12:(3)(4)10,:2(3)230,l k x k y l k x y -+-+=--+=与平行，则k 得值是（ ）A. 1或3B.1或5C.3或5D.1或25、（05北京卷）“m =21”是“直线(m +2)x +3my +1=0与直线(m －2)x +(m +2)y －3=0相互垂直”的( )（A ）充分必要条件 （B ）充分而不必要条件（C ）必要而不充分条件 （D ）既不充分也不必要条件三、直线系问题（1）过定点()00,M x y 的直线系方程为()00y y k x x -=-及0x x =（2）与直线0Ax By C ++=平行的直线系方程为10Ax By C ++=（1C C ≠）（3）与直线0Ax By C ++=垂直的直线系方程为0Bx Ay m -+=（4）过直线11110l a x b y c ++=：和22220l a x b y c ++=：的交点的直线系的方程为：()()1112220a x b y c a x b y c λ+++++=（不含2l ）1、求通过两条直线3100x y +-=和30x y -=的交点，且到原点距离为1；2、经过点()3,2A ，且与直线420x y +-=平行；3、经过点()3,0B ，且与直线250x y +-=垂直.4、求通过两条直线3100x y +-=和30x y -=的交点，250x y +-=平行5、经过两直线11x+3y －7=0和12x+y －19=0的交点，且与A （3，－2），B （－1，6）等距离的直线的方程是6、求经过直线0323:,0532:21=--=-+y x l y x l 的交点且平行于直线032=-+y x 的直线方程.四、对称问题点关于点的对称问题1、求点A （2，4）关于点B （3，5）对称的点C 的坐标.点关于直线的对称问题1、求点A （1，3）关于直线l ：x+2y-3=0的对称点A ′的坐标2、在直线y =－2上有一点P ，它到点A (－3, 1)和点B (5, －1)的距离之和最小，则点P 的坐标为3、已知点A (1, 3), B (5, －2)，在x 轴上取点P ，使||P A |－|PB ||最大，则点P 坐标为 .4、从点P (3, －2)发出的光线，经过直线l 1: x －y －2=0反射，若反射光线恰好通过点Q (5, 1)，则光线l 所在的直线方程是 .5、（06湖北联考）一条光线经过点()2,3P ，射在直线l ：10x y ++=上，反射后穿过点()1,1Q .()1求入射光线的方程；直线关于某点对称的问题1、求直线2x+11y+16=0关于点P （0，1）对称的直线方程.直线关于直线的对称问题1、求直线l 1：x-y-1=0关于直线l 2：x-y+1=0对称的直线l 的方程.2、求直线a ：2x +y －4=0关于直线l ：3x +4y －1=0对称的直线b 的方程.3、求直线1l ：23y x =+关于直线l ：1y x =+对称的直线2l 的方程.五、最值问题1.设－π≤α≤π，点P (1, 1)到直线x cosα+y sinα=2的最大距离是（A ）2－2 （B ）2+2 （C ）2 （D ）22．点P 为直线x －y +4=0上任意一点，O 为原点，则|OP |的最小值为（A ）6 （B ）10 （C ）22 （D ）23．已知两点P (cosα, sinα), Q (cosβ, sinβ)，则|PQ |的最大值为（A ）2 （B ）2 （C ）4 （D ）不存在4．过点(1, 2)且与原点距离最大的直线方程是（A ）x +2y －5=0 （B ）2x +y －4=0 （C ）x +3y －7=0 （D ）x －2y +3=05．已知P (－2, －2), Q (0, 1), R (2, m )，若|PR |+|RQ |最小，则m 的值为（A ）21 （B ）0 （C ）－1 （D ）－34 6．已知A (8, 6), B (2, －2)，在直线3x －y +2=0上有点P ，可使|P A |+|PB |最小，则点P 坐标为（A ）(2, 0) （B ）(－4, －10) （C ）(－10, －4) （D ）(0, 2)7．已知点A(1, 3), B(5, －2)，在x轴上取点P，使||P A|－|PB||最大，则点P坐标为.。
直线与方程_知识点总结_例题习题精讲_详细答案_提高训练
【知识点一：倾斜角与斜率】 （1）直线的倾斜角①关于倾斜角的概念要抓住三点：1、与x 轴相交；2、x 轴正向；3、直线向上方向。
②直线与x 轴平行或重合时,规定它的倾斜角为00 ③倾斜角α的范围000180α≤< （2）直线的斜率①直线的斜率就是直线倾斜角的正切值，而倾斜角为090的直线斜率不存在. 记作tan k α=0(90)α≠⑴当直线l 与x 轴平行或重合时, 00α=,0tan 00k ==⑵当直线l 与x 轴垂直时, 090α=,k 不存在.②经过两点1112212(,),(,)P x y P x y x x ≠（）的直线的斜率公式是2121y y k x x -=-③每条直线都有倾斜角，但并不是每条直线都有斜率.（3）求斜率的一般方法：①已知直线上两点，根据斜率公式212121()y y k x x x x -=≠-求斜率；②已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数根据tan k α=来求斜率； （4）利用斜率证明三点共线的方法：已知112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，若123AB BC x x x k k ===或，则有A 、B 、C 三点共线。
【知识点二：直线平行与垂直】（1）两条直线平行：对于两条不重合的直线12,l l ，其斜率分别为12,k k ，则有2121 // k k l l =⇔ 特别地，当直线12,l l 的斜率都不存在时，12l l 与的关系为平行（2）两条直线垂直：如果两条直线12,l l 斜率存在，设为12,k k ，则有1- 2121=⋅⇔⊥k k l l 注：两条直线12,l l 垂直的充要条件是斜率之积为-1，这句话不正确；由两直线的斜率之积为-1，可以得出两直线垂直；反过来，两直线垂直，斜率之积不一定为-1。
如果12,l l 中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，12l l 与互相垂直. 【知识点三：直线的方程】 名称 方程的形式 已知条件 局限性①点斜式11()y y k x x -=-11(,)x y 为直线上一定点， k 为斜率不包括垂直于x 轴的直线②斜截式 y kx b =+ k 为斜率，b 是直线在y 轴上的截距不包括垂直于x 轴的直线知能梳理问题：过两点111222(,),(,)P x y P x y 的直线是否一定可用两点式方程表示？ 【不一定】 (1)若1212x x y y =≠且，直线垂直于x 轴,方程为1x x =； (2)若1212x x y y ≠=且，直线垂直于y 轴,方程为12y y =； (3)若1212x x y y ≠≠且，直线方程可用两点式表示直线的点斜式方程实际上就是我们熟知的一次函数的解析式； 利用斜截式求直线方程时，需要先判断斜率存在与否.用截距式方程表示直线时，要注意以下几点：方程的条件限制为0,0a b ≠≠，即两个截距均不能为零，因此截距式方程不能表示过原点的直线以及与坐标轴平行的直线；用截距式方程最便于作图，要注意截距是坐标而不是长度.截距与距离的区别：截距的值有正、负、零。
直线与方程
直线与方程引言直线与方程是初等数学中的重要概念，它们在几何图形的研究以及实际问题的解决中起着至关重要的作用。
本文将深入探讨直线的定义、直线的方程及其应用等相关内容，帮助读者全面理解和运用直线与方程的知识。
直线的定义直线是平面上两点之间所有点的集合。
在几何上，直线被认为是没有宽度和厚度的，只有长度的对象。
直线可以用于描述空间中的路径、距离等概念，是几何中最基本的图形之一。
直线的方程直线的方程是用代数符号和式子来表示直线的特征和性质的数学表达式。
直线的方程有多种表示形式，其中常见的有： - 一般式方程：Ax+By+C=0； - 截距式方程：y=mx+c； - 斜截式方程：y=mx+b。
一般式方程一般式方程是直线的一种标准表示形式，在几何上可用于描述直线的位置和方向。
其一般形式为Ax+By+C=0，其中A、B、C是实数常数，并且A和B不同时为0。
截距式方程截距式方程是直线的另一种常见表示形式，利用直线在坐标轴上的截距来表示直线的特征。
截距式方程的形式为y=mx+c，其中m为直线的斜率，c为直线与y轴的截距。
斜截式方程斜截式方程是直线的一种特殊形式，利用直线的斜率和与y轴的截距来表示直线的特征。
斜截式方程的形式为y=mx+b，其中m为直线的斜率，b为直线与y轴的截距。
直线方程的求解在实际问题中，我们经常需要求解直线的方程以解决相关的几何或物理问题。
根据直线经过的已知点及其斜率等条件，我们可以通过以下方法求解直线的方程： 1. 已知两点求解方程： - 设已知直线上两点的坐标分别为(x1,y1)和(x2,y2)； - 计； - 将斜率m和任意一个已知点的坐标代入斜截式方程算直线的斜率m=y2−y1x2−x1y=mx+b中，解得截距b； - 得到直线的斜截式方程y=mx+b。
2.已知点斜式求解方程：–设已知直线上一点的坐标为(x1,y1)，斜率为m；–将已知点和斜率代入斜截式方程y=mx+b中，解得截距b；–得到直线的斜截式方程y=mx+b。
专题课件：直线与方程、圆与方程
高频考点
类型一 直线的倾斜角与斜率 【例 1】 已知直线 2xsinα＋2y－5＝0，则该直线 的倾斜角的变化范围是___________是认为直线斜率 k ＝tanβ 在[0，π)上是单调函数．当已知直线斜率 k 的取值 范围求直线倾斜角的取值范围时，一定要正确利用正切函 数的单调性．正切函数 k＝tanβ 在[0，π)上并不是单调的 函数，因此当 k 的取值连续时，直线倾斜角的取值范围有 时却是断开的，如本题就是．
考情分析
函数知识的综合应用，故对圆的两类方程及直线与圆的 位置关系的考查将是今后一段时间平面解析几何的命题 方向．
要点串讲
1. 直 线 的 倾 斜 角 和 斜 率 的 大 小 反 映 了 直 线 的 倾 斜 程 度．任何直线都有倾斜角，但只有倾斜角不等于 90°的直线 才有斜率；根据定义可知直线的倾斜角 α 的取值范围是[0°， 180°)．已知倾斜角 α，则斜率 k＝不tan存α在α≠α9＝0°90° ；直线 的斜率也可以用一直线上的两点坐标来表示，即 k＝yx22－－yx11 (x1≠x2)．
2．直线方程的 5 种形式分别为：(1)点斜式：y－y0 ＝k(x－x0)；(2)斜截式：y＝kx＋b；(3)截距式：xa＋yb＝1； (4)两点式：yy2－－yy11＝xx2－－xx11；(5)一般式：Ax＋By＋C＝0(A， B 不全为 0)．
其中，只有一般式可以表示所有的直线．在利用直线 方程的不同形式解题时，一定要注意它们表示直线的局限 性．比如，根据“在两坐标轴上的截距相等”这个条件设 方程一定不要忽略过原点的特殊情况．而题中给出直线方 程的一般式，我们通常先把它转化为斜截式再进行处理．
5．若点 P(a，b)关于直线 l：Ax＋By＋C＝0 的对称 点为 Q(x0，y0)，则 l 是线段 PQ 的垂直平分线．即
高一数学必修1知识点
高一数学必修1知识点高一数学必修1知识点第1篇一、直线与方程高考考试内容及考试要求：考试内容：1．直线的倾斜角和斜率；直线方程的点斜式和两点式；直线方程的一般式；2．两条直线平行与垂直的条件；两条直线的交角；点到直线的距离；考试要求：1．理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，掌握直线方程的点斜式、两点式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线方程；2．掌握两条直线平行与垂直的条件，两条直线所成的角和点到直线的距离公式能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系；二、直线与方程课标要求：1．在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素；2．理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式；3．根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式），体会斜截式与一次函数的关系；4．会用代数的方法解决直线的有关问题，包括求两直线的交点，判断两条直线的位置关系，求两点间的距离、点到直线的距离以及两条平行线之间的距离等。
要点精讲：1．直线的倾斜角：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x 轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角。
特别地，当直线l与x轴平行或重合时，规定α=0°。
倾斜角α的取值范围：0°≤α＜180°。
当直线l与x轴垂直时，α=90°。
2．直线的斜率：一条直线的倾斜角α（α≠90°）的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，也就是k=tanα （1）当直线l与x轴平行或重合时，α=0°，k=tan0°=0；（2）当直线l与x轴垂直时，α=90°，k不存在。
由此可知，一条直线l的倾斜角α一定存在，但是斜率k不一定存在。
3．过两点p1（x1，y1），p2（x2，y2）（x1≠x2）的直线的斜率公式：（若x1＝x2，则直线p1p2的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90°）。
直线和方程讲义
直线与方程讲义教学过程（内容）备注一．直线的倾斜角与斜率1.当直线与轴相交时，我们把轴正方向与直线向上方向之间所成的角叫做直线的倾斜角.则直线的倾斜角的范围是.2.倾斜角不是90°的直线的斜率，等于直线的倾斜角的正切值，即.特别地是，当，时，直线与x轴垂直，斜率不存在；当，时，直线与轴垂直，斜率注意：当直线与x轴平行或重合时, 我们规定它的倾斜角为0°，斜率当直线与y轴平行或者重合时，.直线的倾斜角α=90°时，斜率不存在，当时， 斜率，随着α的增大，斜率也增大；当时，斜率，随着α的增大，斜率也增大.如果知道直线上两点，则有斜率公式.三点共线的充要条件是练习1．直线的倾斜角和斜率分别是（）A． B． C．，不存在 D．，不存在1．若三点共线 则的值为_____________2．如果直线沿轴负方向平移个单位再沿轴正方向平移个单位后，又回到原来的位置，那么直线 的斜率是_____________________3．已知点，若直线过点与线段相交，求直线的斜率的取值范围3．若过点的直线与过点的直线平行，则= .两点式：截距式：一般式：，注意A、B不同时为0.直线一般式方程化为斜截式方程，表示斜率为，y轴上截距为的直线.例：在方程中，A,B,C为何值时，方程表示的直线：（1）过原点（2）与轴重合？（3）平行于轴？练习1．已知点，则线段的垂直平分线的方程是______________2．已知，则直线通过（）A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限3．直线，当变动时，所有直线都通过定点（）A． B． C． D．3．已知直线过点，求过点P且与直线所夹的锐角为的直线的方程。
4．过点作一直线，使它与两坐标轴相交且与两轴所围成的三角形面积．四．两条直线的平行与垂直1．对于两条直线：（1）（2）2.对于两条直线：（1）（2）3.与直线平行的直线可设为。
直线与方程讲义
地址：凤凰路中段468号鑫苑小区2栋2单元2号（柏杨小学旁）直线与方程讲义【学习目标】1在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素.2理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式.3能根据斜率判定两条直线平行或垂直.4根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式），体会斜截式与一次函数的关系.5能用解方程组的方法求两直线的交点坐标.6探索并掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.【学习流程】一、知识归类1.直线的倾斜角与斜率（1）直线的倾斜角与斜率是反映直线倾斜程度的两个量，它们的关系是 （)900≠α.（2）直线倾斜角的范围是 .（3）直线过))(,(),,(21222111x x y x P y x P ≠两点的斜率公式为：=k .2.两直线垂直与平行的判定（1）对于不重合的两条直线21,l l ，其斜率分别为21,k k ，，则有：⇔21//l l ；⇔⊥21l l .（2）当不重合的两条直线的斜率都不存在时，这两条直线 ；当一条直线斜率为0，另一条直线斜率不存在时，两条直线 .3.直线方程的几种形式 名称 方程形式 适用条件点斜式不表示 的直线地址：凤凰路中段468号鑫苑小区2栋2单元2号（柏杨小学旁）斜截式不表示 的直线 两点式不表示 的直线 截距式不表示 和 的直线一般式 )0(022≠+=++B A c By Ax 注意：求直线方程时，要灵活选用多种形式.4.几个距离公式（1）两点),(),,(222111y x P y x P 之间的距离公式是：=||21P P .（2）点),(00y x P 到直线0:=++c By Ax l 的距离公式是：=d .（3）两条平行线0:,0:21=++=++c By Ax l c By Ax l 间的距离公式是：=d .二、典型例题题型一：直线的倾斜角与斜率问题例1 已知坐标平面内三点)13,2(),1,1(),1,1(+-C B A .（1）求直线AC BC AB 、、的斜率和倾斜角.（2）若D 为ABC ∆的边AB 上一动点，求直线CD 斜率k 的变化范围.地址：凤凰路中段468号鑫苑小区2栋2单元2号（柏杨小学旁）题型二：直线的平行与垂直问题例2 已知直线l 的方程为01243=-+y x ，求下列直线l '的方程,l '满足（1）过点)3,1(-，且与l 平行；（2）过)3,1(-，且与l 垂直.题型三：直线的交点、距离问题例 3 已知直线l 经过点A )4,2(,且被平行直线01:01:21=--=+-y x l y x l 与所截得的线段的中点M 在直线03=-+y x 上，求直线l 的方程.题型四：直线方程的应用例4 已知直线0355:=+--a y ax l .（1）求证：不论a 为何值，直线l 总经过第一象限；（2）为使直线不经过第二象限，求a 的取值范围.【检测反馈】地址：凤凰路中段468号鑫苑小区2栋2单元2号（柏杨小学旁）1.若直线过点),32,4(),2,1(+则此直线的倾斜角是（ ）.（A ）030 （B ）045（C ）060 （D ） 0902.过点)1,1(E 和)0,1(-F 的直线与过点)0,2(k M -和点)4,0(k N 直线的位置关系是（ ） （A ）平行（B ）重合（C ）平行或重合（D ）相交或重合3.过点)3,1(-且垂直于直线032=+-y x 的直线方程为（ ）.(A)012=-+y x (B) 052=-+y x (C) 052=-+y x (D) 072=+-y x4.已知点),1,3(),2,1(B A 则到B A ,两点距离相等的点的坐标满足的条件是（ ）.（A ）524=+y x （B ）524=-y x （C ）52=+y x （D ）52=-y x5.直线),0,0(0:,0:21b a b a a y bx l b y ax l ≠≠≠=+-=+-在同一直角坐标系中的图形大致是（ ）.6.直线l 被两直线0653:,064:21=--=++y x l y x l 截得线段的中点是原点O ，则直线l 的方程为 .7.已知,0>a 若平面内三点),3(),,2(),,1(32a C a B a A -共线，则a = .8.过点),4,1(A 且纵、横截距的绝对值相等的直线共有（ ）.（A ）1条 (B) 2条 (C) 3条 (D) 4条9.已知直线l 过点)1,1(P ，且被平行直线01343=--y x 与0743=+-y x 截得的线段长为24，求直线l 的方程.A O O x y 1l 2l 2l 1l x yB O x y 1l 2lC y xO 2l 1l D。
2021年山西高考数学知识点精讲：直线与方程知识点总结
2021年山西高考数学知识点精讲：直线与方程知识点总结下面是编辑老师整理的____年山西高考数学知识点精讲：直线与方程，希望对您填报志愿有所帮助.
(1)直线的倾斜角
定义：_轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。
特别地，当直线与_轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0度。
因此，倾斜角的取值范围是0180
(2)直线的斜率
①定义：倾斜角不是90的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。
直线的斜率常用k表示。
即。
斜率反映直线与轴的倾斜程度。
当时，。
当时，;当时，不存在。
②过两点的直线的斜率公式：
注意下面四点：
(1)当时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90
(2)k与P1、P2的顺序无关;
(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得;
(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。
希望同学们认真阅读学习____年山西高考数学知识点精讲：直线与方程，更多相关信息高考频道!。
高等数学 直线及其方程精品PPT课件
六、小结
空间直线的一般方程. 空间直线的对称式方程与参数方程. 两直线的夹角. （注意两直线的位置关系） 直线与平面的夹角.
（注意直线与平面的位置关系）
写在最后
经常不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量 Study Constantly, And You Will Know Everything. The More
故直线方程为 x 3 y 3 z . 2 2 2
四、直线与平面的夹角
定义 直线和它在平面上的投影直线的夹
角 称为直线与平面的夹角．
0 .
2
L:
x x0 y y0 z z0 ,
s
{m,
n,
p},
m
n
p
: Ax By Cz D 0, n { A, B, C},
(s^,n)
A1 x B1 y C1z D1 0 L:
A2 x B2 y C2z D2 0
考虑
(1 ) ( 2 )
( A1 x B1 y C1z D1 ) ( A2 x B2 y C2z D2 ) 0 其中 2 2 0
因 A1, B1,C1与A2 , B2 ,C2 不成比例
例9
求直线
x y z1 0
x
y
z
1
0
在平面 x y z 0 上的投影直线的方程
[分析] 过所给直线作一平面与已知平面垂直， 两平面的交线即为所求。
解 过所给直线的平面束方程为
( x y z 1) ( x y z 1) 0
即
(1 )x (1 ) y (1 )z (1 ) 0
解 因为直线过 M1, M2 两点
因此可取 M1M2 作为直线的方向向量
直线与方程
第七章 平面解析几何初步直线与圆第1讲 直线学习目标1.能根据定义了解直线中的基本量问题；2.能用直线的方程解决相关的问题，进一步体会数形结合思想．1. 直线的倾斜角α的取值范围是 .2. 已知直线上不同的两点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，当x 1≠x 2时，直线PQ 的斜率为当x 1=x 2时，直线PQ 的斜率 .3. 当直线与x 轴不垂直时，直线的斜率k 与倾斜角α之间的关系是 . 直线方程的五种形式直线的斜率例1 若直线ax+y+1=0与连接点A (2，3)，B (-3，2)的线段相交，则实数a 的取值范围是 .2121--y y x x变式1直线l过点P(-1，2)，且与以A(-2，-3)，B(4，0)为端点的线段恒相交，则直线l的斜率的取值范围为.变式2若直线(k2-1)x-y-1+2k=0不经过第二象限，则实数k的取值范围是.直线的斜率与倾斜角例2设点P是函数(x+1)图象上异于原点的动点，且该图象在点P处的切线的斜率为k，倾斜角为θ.(1)求k的最小值；(2)求θ的取值范围.变式1如果直线l经过A(2，1)，B(1，m2)(m∈R)两点，那么直线l的倾斜角的取值范围是.变式2直线x+(a2+1)y+1=0(a∈R)的倾斜角的取值范围是.直线的方程例3 (1)已知直线l 的纵截距为-1，倾斜角是直线l 1：3x+4y-1=0的倾斜角的一半，求直线l 的方程.(2)已知直线l 过点A (-2，4)，分别交x 轴、y 轴于点B ，C ，且满足=，求直线l 的方程.1. 过点(2，1)，且倾斜角比直线y=-x-1的倾斜角小的直线方程是 .2.经过点(-2，2)，且与两坐标轴所围成的三角形面积为1的直线l 的方程为 .3.经过点A (-5，2)，且在x 轴上的截距等于在y 轴上的截距的2倍的直线方程是 .BA 12AC π44.已知点A(-1，0)，B(cos α，sin α)，且AB=，那么直线AB的方程为.直线方程的综合问题例4过点P(4，1)作直线l分别交x轴、y轴正半轴于A，B两点.(1)当△AOB面积最小时，求直线l的方程；(2)当OA+OB取最小值时，求直线l的方程.例5已知直线l：(2+m)x+(1-2m)y+4-3m=0.(1)求证：不论m为何实数，直线l恒过一定点M；(2)过定点M作一条直线l1，使夹在两坐标轴之间的线段被点M平分，求直线l 1的方程.1. 在平面直角坐标系中，直线y=-x+1的倾斜角为 .2. 不论m 取何值，直线(m-1)x-y+2m+1=0恒过定点 .3.若直线l 经过点A (1，2)，且在x 轴上的截距的取值范围是(-1，3)，则直线l 的倾斜角的取值范围是 .4. 经过点A (-2，2)且在第二象限与两个坐标轴围成的三角形面积最小时的直线的方程为 .已知直线过一点求直线方程一般采用点斜式，但如果对直线斜率概念理解不清，容易忘记验证斜率不存在的直线． 本题也可用过两直线交点的直线系方程来解． 两种方法，都体现了先设后求的待定系数和方程思想．要注意提高解简单绝对值方程及无理方程的能力．一、 填空题1．直线x=tan 的倾斜角为 .2．若经过A (4，2y+1)，B (2，-3)两点的直线的倾斜角为，则y=.3π43π43．经过点(-1，8)和(4，-2)的直线的两点式方程是，截距式方程是，一般式方程是.4．若A(4，3)，B(5，a)，C(6，5)三点共线，则实数a= .5．设直线l的倾斜角为α，且≤α≤，则直线l的斜率k的取值范围是.6．已知点A(1，3)，B(-2，-1)，若直线l：y=k(x-2)+1与线段AB相交，则斜率k 的取值范围是.7．若k，-1，b三个数成等差数列，则直线y=kx+b必经过定点.8．(2014·合肥三检)记直线x-3y-1=0的倾斜角为α，若曲线y=ln x在点(2，ln 2)处切线的倾斜角为β，则α+β= .二、解答题9．求倾斜角是直线x+1倾斜角的，且分别满足下列条件的直线方程：(1)经过点，-1)；(2)在y轴上的截距是-5. π45π61410．过点P(1，4)引一条直线，使这条直线在两个坐标轴上的截距均为正值，且它们的和最小，求这条直线的方程.11．已知直线l：kx-y+1+2k=0.(1)求证：直线l过定点.(2)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，△AOB的面积为S，求S的最小值，并求出此时直线l的方程.三、选做题12．已知直线l经过点M(2，1)，且分别交x轴、y轴的正半轴于点A，B，点O是坐标原点.(1)当△ABO的面积最小时，求直线l的方程；(2)当MA·MB取得最小值时，求直线l的方程.。
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第3讲：直线与方程
【知识整合】
一、直线的斜率
1. 直线的斜率公式：
经过两点),(11y x P 和),(22y x Q 的直线的斜率公式为)(211
21
2x x x x y y k ≠--=
2. 直线的倾斜角：
在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，把x 轴所在的直线绕着交点按逆时针方向旋转到和该直线重合时所转过的最小正角称为这条直线的倾斜角。
并规定：与x 轴平行或重合的直线的倾斜角为
0。
范围是
1800<≤α。
二、直线的方程
1. 点斜式：)(11x x k y y -=-
2. 斜截式：b kx y +=
3. 两点式：
)(21211
21
121y y x x x x x x y y y y ≠≠--=--且
4. 截距式：
)0,0(1≠≠=+b a b
y
a x 5. 一般式：)0,(0不全为B A C By Ax =++ 三、两条直线的平行与垂直
1. 对于两条直线：222111:,:b x k y l b x k y l +=+= （1）21212121),(//b b k k k k l l ≠=⇔，且均存在 （2）12121-=⋅⇔⊥k k l l
2. 对于两条直线：0:,0:22221111=++=++C y B x A l C y B x A l （1）12211221122121,//C A C A C B C B B A B A l l ≠≠=⇔或且 （2）0212121=+⇔⊥B B A A l l
3. 与直线)0,(0不同时为b a c by ax =++平行的直线可设为)(0c by ax ≠=++λλ。
4. 与直线)0,(0不同时为b a c by ax =++垂直的直线可设为0=+-λay bx 。
四、直线系方程 经过两条直线
0:,0:22221111=++=++C y B x A l C y B x A l (0,02
2222121≠+≠+B A B A )的交点的直线
系方程为0)()(222111=+++++C y B x A n C y B x A m （其中n m ,为参数，且02
2≠+n m ）
上面的直线系可改写成0)()(222111=+++++C y B x A C y B x A λ（其中λ为参数），该直线系不包含2l 。
五、平面上两点间的距离
1. 平面上两点间的距离公式：平面上两点),(),,(222111y x P y x P 的距离公式，
21
221221)()(y y x x P P -+-= 2. 平面上两点的中点公式：平面上两点),(),,(222111y x P y x P ，线段21P P
的中点为),(00y x M ，则有2
,22
10210y y y x x x +=+=
六、点到直线的距离
1. 点),(00y x P 到直线0:=++C By Ax l 的距离2
2
00|
|B
A C By Ax d +++=。
2. 两条平行直线0:,0:2211=++=++C By Ax l C By Ax l 且21C C ≠的距离
2
2
12||B
A C C d +-=。
【典例精析】
1. 已知点)2,3(),3,2(---B A ，直线l 过点)1,1(P ，且与线段AB 相交，求直线l 的斜率的取值范围。
2. 在方程0=++C By Ax 中，A,B,C 为何值时，方程表示的直线： （1）与x 轴重合？ （2）平行与x 轴？
（3）与两坐标轴都相交？ （4）通过原点？
3. 已知直线)1(32:-=-x y l 过点)2,1(P ，求过点P 且与直线l 所夹的锐角为
30的直线的方程。
4. 一条光线从点)2,3(A 出发，经x 轴反射，反射光线经过点)6,1(-B ，求入射光线和反射光线的方程。
5. 直线04)1(2:1=+++y m x l 与直线023:2=-+y mx l 平行，则m 的值为 。
6. 已知直线02:1=+-a y ax l 与0)12(:2=++-a ay x a l 互相垂直，求a 的值。
7. 以)5,4(A 为一顶点，试在x 轴上找一点Ｂ，在直线022:=+-y x l 上找一点Ｃ，构成
ABC ∆，使其周长最小，并求点Ｂ，点Ｃ的坐标。
8. 如图所示，在平面直角坐标系中，四边形OPQR 的顶点按逆时针顺序依次为
)2,2(),2,21(),,1(),0,0(t R t t Q t P O -+-，其中),0(+∞∈t 。
（1）求证四边形OPQR 是矩形
（2）求矩形OPQR 在第一象限部分的面积。
9. 求845222+++++=x x x x y 的最小值
10. 若b a ,为正数，1=+b a ，求证
13)2()2(2
25
22<+++≤b a
11. 求证等腰三角形底边延长线上一点到两腰的距离之差等于一腰上的高。
【重点题型强化】
1. 已知实数y x ,满足)11(222
≤≤-+-=x x x y ，试求
2
3
++x y 的最大值和最小值。
y
x
Q K
R
P
O
2. 为了绿化城市，拟在矩形区域ABCD （AB>BC ）内建一个矩形草坪，如图，另外AEF ∆内部有一个文物保护区不能占用，经测量，m AF m AE m BC m AB 20,30,80,100====，应如
何设计才能使草坪面积最大？
3. 设直线l 的方程为62)12()32(22-=-++--m y m m x m m ，根据下列条件分别求m 的值。
（1）直线l 在x 轴上的截距是3- （2）直线l 的斜率为1-
4. 已知直线l 经过点)2,3(P ，且与x 轴，y 轴的正半轴分别交于A,B 两点，求ABO ∆（O 为坐标原点）面积最小时l 的方程。
5. 已知)0,3(),0,1(),3,0(C B A -，求D 点的坐标，使四边形ABCD 为直角梯形，（A ，B ，C ，D 按逆时针方向排列）
6. 已知光线经过点)4,2(-A ，且被直线072:=--y x l 反射，反射光线经过点)8,5(B ，求入射光线和反射光线所在的直线方程。
7. 设直线21,l l 的斜率分别是一元二次方程
012)32(4)12(232322=+--+++--+b a x b b a a x b a 的两个根（其中b a ,为定值，且
R b a ∈,），存在实数b a ,使直线21l l 与垂直吗？若存在，求出b a ,的关系；若不存在，请说
明理由。
Q
R
P
F E
D
C
B
A
8. 在直线013:=--y x l 上求一点P ，使得： （1）P 到)1,4(A 和)4,0(B 的距离之差最大； （2）P 到)1,4(A 和)4,3(C 的距离之和最小。
9. 已知直线x y 2=是ABC ∆种ACB ∠的平分线所在的直线的方程，若A ，B 的坐标分别为
)1,3(),2,4(B A -，求点C 的坐标，并判断ABC ∆的形状。
10. 已知ABC ∆中，)2,4(),41)(,(),1,1(C m m m B A <<，求m 为何值时，ABC ∆的面积S 最大，并求出最大值。