必修二第三章直线与方程知识点总结及练习

必修二 第三章 直线与方程

（1）直线的倾斜角

定义：x 轴正向与直线向上方向

或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。因此，倾斜角的取值范围是（2）直线的斜率

①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常

用

与x 轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0; 当直线l 与x 轴垂直时, α= 90°, k 不存在. 当时，； 当时，； 当时，不存在。

②过两点的直线的斜率公式： （ P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2）

注意下面四点：(1)当时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°；

(2)k 与P 1、P 2的顺序无关；

(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得； (4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。

注意：当直线的斜率为0°时，k=0，直线的方程是y =y 1。

当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因l 上每一点的横坐标都等于x 1，所以它的方程是x =x 1。

12

注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。 （7）两条直线的交点 相交

交点坐标即方程组的一组解。

方程组有无数解与重合

（8设是平面直角坐标系中的两个点，

（9一点到直线的距离

（10已知两条平行线直线1l 和2l 的一般式方程为1l ：01=++C By Ax ，

2l ：02=++C By Ax ，则1l 与2l 的距离为2

2

21B

A C C d +-=

直线的方程

1.设a ，b ，c 是互不相等的三个实数，如果A （a ，a 3

）、B （b ，b 3

）、C （c ，c 3

）在同一直线上，求证：a+b+c=0.证明 ∵A 、B 、C 三点共线，∴k AB =k AC ，

∴

c

a c a

b a b a --=--3333，化简得a 2+ab+b 2=a 2+ac+

c 2

，

∴b 2

-c 2

+ab-ac=0，（b-c ）（a+b+c ）=0，

∵a 、b 、c 互不相等，∴b-c ≠0，∴a+b+c=0. 2.若实数x,y 满足等式(x-2)2

+y 2

=3，那么

x

y

的最大值为 （ ）

A.2

1

B.

3

3 C.

2

3

D.3

答案D

3.求经过点A （-5，2）且在x 轴上的截距等于在y 轴上的截距的2倍的直线方程； 解 ①当直线l 在x 、y 轴上的截距都为零时，设所求的直线方程为y=kx, 将（-5，2）代入y=kx 中，得k=-52，此时，直线方程为y=-5

2

x, 即2x+5y=0. ②当横截距、纵截距都不是零时，设所求直线方程为

a y a x +2=1，将（-5，2）代入所设方程，解得a=-2

1

， 此时，直线方程为x+2y+1=0.综上所述，所求直线方程为x+2y+1=0或2x+5y=0.

4.直线l 经过点P （3，2）且与x ，y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点，△OAB 的面积为12，求直线l 的方程.

解 方法一 设直线l 的方程为1=+b

y

a x （a ＞0,

b ＞0）, ∴A(a,0),B(0,b), ∴⎪⎩

⎪

⎨⎧=+=.123,

24b

a a

b 解得⎩⎨⎧==.4,6b a

∴所求的直线方程为

4

6y

x +=1,即2x+3y-12=0. 方法二 设直线l 的方程为y-2=k(x-3), 令y=0,得直线l 在x 轴上的截距a=3-k

2

,令x=0,得直线l 在y 轴上的截距b=2-3k. ∴⎪⎭⎫ ⎝

⎛

-k 23(2-3k)=24.解得k=-32.∴所求直线方程为y-2=-32(x-3).即2x+3y-12=0.

9.已知线段PQ 两端点的坐标分别为（-1，1）、（2，2），若直线l ：x+my+m=0与线段PQ 有交点，求m 的取值范围.

解 方法一 直线x+my+m=0恒过A （0，-1）点. k AP =

1011+--=-2，k AQ =2021---=2

3

，

则-m 1≥2

3

或-m 1≤-2， ∴-

32≤m ≤21且m ≠0.又∵m=0时直线x+my+m=0与线段PQ 有交点，∴所求m 的取值范围是-32≤m ≤2

1. 方法二 过P 、Q 两点的直线方程为y-1=(x+1),即y=31x+3

4

,代入x+my+m=0, 整理，得x=-

37+m m . 由已知-1≤-37+m m ≤2, 解得-32≤m ≤2

1

.

两直线方程

例1 已知直线l 1:ax+2y+6=0和直线l 2:x+(a-1)y+a 2

-1=0, （1）试判断l 1与l 2是否平行； （2）l 1⊥l 2时，求a 的值.

解 （1）方法一 当a=1时，l 1:x+2y+6=0,l 2:x=0,l 1不平行于l 2;

当a=0时，l 1:y=-3,l 2:x-y-1=0,l 1不平行于l 2;

当a ≠1且a ≠0时，两直线可化为 l 1:y=-x a 2-3,l 2:y=x a

-11-(a+1), l 1∥l 2⇔⎪⎩

⎪⎨⎧+-≠--=

-)1(3112a a a ，解得a=-1,

综上可知，a=-1时，l 1∥l 2，否则l 1与l 2不平行.

方法二 由A 1B 2-A 2B 1=0，得a （a-1）-1×2=0，由A 1C 2-A 2C 1≠0，得a(a 2

-1)-1×6≠0,

∴l 1∥l 2⇔⎪⎩

⎪⎨⎧≠⨯--=⨯--061)1(0

21)1(2a a a a

⇔⎪⎩

⎪⎨⎧≠-=--6)1(0

222a a a a ⇒a=-1,

故当a=-1时，l 1∥l 2，否则l 1与l 2不平行.

（2）方法一 当a=1时，l 1:x+2y+6=0,l 2:x=0,l 1与l 2不垂直，故a=1不成立.

当a ≠1时，l 1:y=-

2a x-3,l 2:y=x a -11-(a+1), 由⎪⎭⎫ ⎝⎛-2a ·a

-11=-1⇒a=32.

方法二 由A 1A 2+B 1B 2=0，得a+2(a-1)=0⇒a=

3

2

.

例3 已知直线l 过点P （3，1）且被两平行线l 1:x+y+1=0,l 2:x+y+6=0截得的线段长为5，求直线l 的方程. 解 方法一 若直线l 的斜率不存在，

则直线l 的方程为x=3,此时与l 1,l 2的交点分别是A （3，-4），B （3，-9）， 截得的线段长|AB|=|-4+9|=5,符合题意.

若直线l 的斜率存在时，则设直线l 的方程为y=k(x-3)+1,分别与直线l 1,l 2的方程联立，

由⎩⎨⎧=+++-=011)3(y x x k y ,解得A ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-141,123k k k k .

8分

由⎩⎨⎧=+++-=061)3(y x x k y ,解得B ⎪⎭⎫

⎝⎛+-+-191173k k ，k k ,

由两点间的距离公式，得