高中数学直线与方程知识点归纳与常考题型专题练习(附解析)
高中直线与方程练习题及讲解
高中直线与方程练习题及讲解### 高中直线与方程练习题及讲解题目一：直线方程的求解题目描述：已知点A(2,3)和点B(-1,-2)，求经过这两点的直线方程。
解题步骤：1. 首先，我们需要找到直线的斜率。
斜率公式为 \( k = \frac{y_2- y_1}{x_2 - x_1} \)。
2. 将点A和点B的坐标代入公式，得到 \( k = \frac{-2 - 3}{-1 - 2} = \frac{-5}{-3} = \frac{5}{3} \)。
3. 有了斜率，我们可以使用点斜式方程 \( y - y_1 = k(x - x_1) \) 来写出直线方程。
选择点A代入，得到 \( y - 3 = \frac{5}{3}(x - 2) \)。
4. 最后，将方程化为一般形式 \( Ax + By + C = 0 \)，得到 \( 5x - 3y + 1 = 0 \)。
题目二：直线的平行与垂直题目描述：已知直线 \( l_1: 3x - 4y + 5 = 0 \)，求与 \( l_1 \) 平行且与直线 \( 2x + y - 7 = 0 \) 垂直的直线方程。
解题步骤：1. 平行直线的斜率相同，所以 \( l_1 \) 的斜率为 \( k =\frac{3}{4} \)。
2. 垂直直线的斜率互为相反数的倒数，因此 \( l_1 \) 垂直的直线斜率为 \( -\frac{4}{3} \)。
3. 利用点斜式方程，我们可以选择直线 \( l_1 \) 上的一点，比如\( (0, 5/4) \)，代入 \( y - y_1 = k(x - x_1) \)，得到 \( y - \frac{5}{4} = -\frac{4}{3}(x - 0) \)。
4. 将方程化为一般形式，得到 \( 4x + 3y - 15 = 0 \)。
题目三：直线的交点题目描述：求直线 \( l_1: 2x + 3y - 6 = 0 \) 与直线 \( l_2: x - y + 1 = 0 \) 的交点坐标。
直线与方程知识点与练习试题
直线与方程【知识点一：直线的方程】 （1）直线方程的几种形式（2）线段的中点坐标公式121122,(,),(,)P P x y x y 若点的坐标分别是，1212122(,)2x x x PP M x y y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩且线段的中点的坐标为 【知识点二：直线平行与垂直】（1）两条直线平行：对于两条不重合的直线12,l l ，其斜率分别为12,k k ，则有2121 // k k l l =⇔特别地，当直线12,l l 的斜率都不存在时，12l l 与的关系为平行（2）两条直线垂直：如果两条直线12,l l 斜率存在，设为12,k k ，则有1- 2121=⋅⇔⊥k k l l 注：两条直线12,l l 垂直的充要条件是斜率之积为-1，这句话不正确；由两直线的斜率之积为-1，可以得出两直线垂直；反过来，两直线垂直，斜率之积不一定为-1。
如果12,l l 中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，12l l 与互相垂直.【知识点三 直线的交点坐标与距离】 （1）两条直线的交点设两条直线的方程是1111:0l A x B y C ++=, 2222:0l A x B y C ++=两条直线的交点坐标就是方程组1112220A x B y C A x B y C ++=⎧⎨++=⎩的解。
①若方程组有唯一解，则这两条直线相交，此解就是交点的坐标； ②若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行. （2）几种距离两点间的距离：平面上的两点111222(,),(,)P x y P x y 间的距离公式12||PP =特别地，原点(0,0)O 与任一点(,)P x y的距离||OP =点到直线的距离：点00(,)o P x y 到直线0Ax By C ++=的距离d =两条平行线间的距离：两条平行线1200Ax By C Ax By C ++=++=与间的距离d =一、疑难辨析判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) 1．直线的倾斜角越大，其斜率越大．( )2．斜率公式k ＝y 2－y 1x 2－x 1，不适用于垂直于x 轴和平行于x 轴的直线．( )3．当直线的斜率不存在时，其倾斜角存在．( )4．过点P (x 1，y 1)的直线方程一定可设为y －y 1＝k (x －x 1)．( ) 5．直线方程的截距式x a ＋yb ＝1中，a ，b 均应大于0.( ) 二、选择题1．已知直线l 的斜率为－33，那么直线l 的倾斜角是( ) A ．60° B ．120° C ．30° D ．150°2直线l 经过原点O 和点P (－1，－1)，则它的倾斜角是( )A ．45°B ．135°C ．135°或225°D ．0°3过点M (－2，m )，N(m ，4)的直线的斜率等于1，则m 的值为( )A ．1B ．4C ．1或3D ．1或44直线l 过点A (1，2)且不过第四象限，那么直线l 的斜率的取值范围为( )A ．[0，2]B ．(0，2)C ．⎣⎡⎦⎤0，12D ．⎝⎛⎭⎫0，12 5.中直线l 1、l 2、l 3的斜率分别为k 1、k 2、k 3，则 ( )A ．k 1<k 2<k 3B ．k 3<k 1<k 2C ．k 3<k 2<k 1D ．k 1<k 3<k 26经过点(1，3)且斜率不存在的直线方程为( )A ．x ＝1B ．x ＝3C ．y ＝1D ．y ＝3 7．已知点A (－3，4)和B (0，b )，且|AB |＝5，则b 等于( )A ．0或8B ．0或－8C ．0或6D ．0或－6 8将方程3x －2y ＋1＝0化成斜截式方程为( )A ．y ＝23x ＋12B ．y ＝32x ＋12C ．y ＝32x ＋1D ．y ＝23x ＋19直线l 过点(－1，2)且与直线2x －3y ＋4＝0垂直，则l 的方程是( )A ．3x ＋2y －1＝0B ．3x ＋2y ＋7＝0C ．2x －3y ＋5＝0D ．2x －3y ＋8＝0直线l 过点(－1，2)且与直线2x －3y ＋4＝0平行，则l 的方程是10直线l 1：ax －y ＋b ＝0，l 2：bx ＋y －a ＝0(ab ≠0)的图象只可能是( )11已知A (2，0)，B (3，3)，直线l ∥AB ，则直线l 的斜率k ＝( )A ．－3B ．3C ．－13D ．1312已知直线l 1的斜率为0，且l 1⊥l 2，则l 2的倾斜角为( ) A ．0° B ．135° C ．90° D ．180°13点P(2，5)关于直线x＋y＝0的对称点的坐标是()A．(5，2) B．(2，5)C．(－5，－2) D．(－2，5)14．经过直线2x－y＋4＝0与x－y＋5＝0的交点，且垂直于直线x－2y＝0的直线方程是()A．2x＋y－8＝0 B．2x－y－8＝0C．2x＋y＋8＝0 D．2x－y＋8＝0三填空题15已知l1⊥l2，直线l1的倾斜角为60°，则直线l2的倾斜角为________．16直线l的方程为y－m＝(m－1)(x＋1)，若l在y轴上的截距为7，则m＝________．17倾斜角为30°，且过点(0，2)的直线的斜截式方程为________．18已知直线l1过点P(2，1)且与直线l2：y＝x＋1垂直，则l1的点斜式方程为________．19．直线y＝kx＋2(k∈R)不过第三象限，则斜率k的取值范围是________．20.直角坐标平面上连接点(－2，5)和点M的线段的中点是(1，0)，那么点M到原点的距离为________．21.方程mx＋(m2＋m)y＋4＝0表示一条直线，则实数m≠________．22．已知直线l1过点A(－2，3)，B(4，m)，直线l2过点M(1，0)，N(0，m－4)，若l1⊥l2，则常数m的值是____________．四、解答题23经过两条直线2x－3y＋10＝0和3x＋4y－2＝0的交点，且垂直于直线3x－2y＋4＝0的直线的方程为________．24．已知A(1，－1)，B(2，2)，C(3，0)三点，求点D的坐标，使直线CD⊥AB，且CB∥A D．限时训练1.（2，1)，B (3，－1)两点连线的斜率为( )A ．－2B ．－12C ．12D ．22．直线y ＝2x ＋10，y ＝x ＋1，y ＝ax －2交于一点，则a 的值为( )A ．12B ．－12C ．23D ．－233.直线y ＝－2x －1的斜率与纵截距分别为( )A ．－2，－1B ．2，－1C ．－2，1D ．2，14若过两点P (6，m )和Q(m ，3)的直线与斜率为12的直线M N 平行，则m 的值为( )A ．5B ．4C ．9D ．05经过两条直线2x －3y ＋10＝0和3x ＋4y －2＝0的交点，且垂直于直线3x －2y ＋4＝0的直线的方程为________．。
(完整版)高一数学直线方程知识点归纳及典型例题
直线的一般式方程及综合【学习目标】1．掌握直线的一般式方程；2．能将直线的点斜式、两点式等方程化为直线的一般式方程，并理解这些直线的不同样形式的方程在表示直线时的异同之处；3．能利用直线的一般式方程解决有关问题. 【要点梳理】要点一：直线方程的一般式关于 x 和 y 的一次方程都表示一条直线．我们把方程写为 Ax+By+C=0 ，这个方程 (其中 A 、B 不全为零 )叫做直线方程的一般式．要点讲解：1．A 、 B 不全为零才能表示一条直线，若 A 、 B 全为零则不能够表示一条直线 .当 B ≠0时，方程可变形为 yA x C ，它表示过点 0,C，斜率为A的直线．B BBB当 B=0 ， A ≠0时，方程可变形为Ax+C=0 ，即 xCx 轴垂直的直线．，它表示一条与A由上可知，关于 x 、 y 的二元一次方程，它都表示一条直线．2．在平面直角坐标系中，一个关于x 、y 的二元一次方程对应着唯一的一条直线，反过来，一条直线可以对应着无数个关于 x 、y 的一次方程 （如斜率为 2，在 y 轴上的截距为 1 的直线，其方程能够是 2x ―y+1=0 ，也能够是 x 1 y 1 0 ，还可以够是 4x ― 2y+2=0等．）2 2要点二：直线方程的不同样形式间的关系 直线方程的五种形式的比较以下表：名称方程的形式 常数的几何意义适用范围 点斜式y ―y（ x 1， y 1）是直线上必然点， k 是斜率 不垂直于 x 轴1=k(x ―x 1)斜截式y=kx+bk 是斜率， b 是直线在 y 轴上的截距不垂直于 x 轴 两点式y y 1 x x 1 （ x 1， y 1 ），（x 2 ，y 2）是直线上两定点不垂直于 x 轴和 y 轴y 2 y 1x 2x 1截距式x y a 是直线在 x 轴上的非零截距，b 是直不垂直于 x 轴和 y 轴，a1线在 y 轴上的非零截距b且但是原点 一般式Ax+By+C=0 （ A 2+B 2≠0） A 、B 、 C 为系数任何地址的直线要点讲解：在直线方程的各种形式中，点斜式与斜截式是两种常用的直线方程形式，要注意在这两种形式中都要求 直 线 存 在 斜 率 ， 两 点 式 是 点 斜 式 的 特 例 ， 其 限 制 条 件 更 多 （ x 1≠x 2， y 1 ≠y 2）， 应 用 时 若 采 用 (y 2―y 1)(x ―x 1) ― (x 2―x 1)(y ―y 1)=0 的形式，即可除掉限制性．截距式是两点式的特例，在使用截距式时，第一要判断可否满足 “直线在两坐标轴上的截距存在且不为零 ”这一条件．直线方程的一般式包含了平面上的所有直线形式．一般式常化为斜截式与截距式．若一般式化为点斜式，两点式，由于取点不同样，获取的 方程也不同样．要点三：直线方程的综合应用1．已知所求曲线是直线时，用待定系数法求．2．依照题目所给条件，选择合适的直线方程的形式，求出直线方程．关于两直线的平行与垂直，直线方程的形式不同样，考虑的方向也不同样．（ 1）从斜截式考虑已知直线 l 1 : y k 1 x b 1 , l 2: y k 2 x b 2 ,l 1 // l 2 1 2k 1 k 2 (b 1 b 2 ) ；l 1 l 2tancot1 k 1k 211212k 12k 2于是与直线 y kx b 平行的直线能够设为 ykx b 1 ；垂直的直线能够设为y1 x b2 ． （ 2）从一般式考虑：kl 1 : A 1x B 1 y C 1 0, l 2 : A 2 x B 2 y C 2l 1 l 2 A 1 A 2 B 1B 2l 1 // l 2A 1B 2 A 2B 1 0且 A 1C 2 A 2C 1 0 或 B 1C 2 B 2C 1 0 ，记忆式（ A 1 B 1C1 ）A 2B 2C 2l 1 与 l 2 重合， A 1B 2 A 2 B 1 0 ， A 1C 2 A 2C 1 0 ， B 1C 2 B 2C 1 0于 是 与 直 线 Ax By C 0 平 行 的 直 线 可 以 设 为 AxBy D 0 ； 垂 直 的 直 线 可 以 设 为Bx Ay D0 .【典型例题】种类一：直线的一般式方程例 1．依照以下条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程．1 （1）斜率是，经过点 A （ 8， ―2）；2（2）经过点 B （ 4， 2），平行于 x 轴；（3）在 x 轴和 y 轴上的截距分别是3，―3；2（4）经过两点 P 1（ 3，―2）， P 2（ 5， ―4）．【答案】（ 1） x+2y ―4=0 （ 2） y ―2=0 （ 3） 2x ―y ―3=0 （ 4） x y 1 0【剖析】（ 1）由点斜式方程得 y( 2)1( x 8) ，化成一般式得 x+2y ― 4=0．2（2）由斜截式得 y=2，化为一般式得 y ―2=0 ．（3）由截距式得xy1 ，化成一般式得 2x ―y ―3=0 ．3 32（4）由两点式得y 2x3，化成一般式方程为x y 1 0 ．4 ( 2)5 3【总结升华】本题主若是让学生领悟直线方程的各种形式，以及各种形式向一般式的转变，关于直线方程的一般式，一般作以下约定： x 的系数为正， x ，y 的系数及常数项一般不出现分数，一般按含 x 项、 y 项、常数项序次排列．求直线方程的题目，无特别要求时，结果写成直线方程的一般式．贯穿交融：【变式 1】已知直线 l 经过点 B(3, 1) ，且倾斜角是 30 ，求直线的点斜式方程和一般式方程.【答案】 y 13(x3) 3x 3y3 3 3 03【剖析】由于直线倾斜角是30 ，所以直线的斜率 ktantan 303 ，所以直线的点斜式方程3为： y 13(x 3) ，化成一般式方程为：3x 3 y 3 3 30 .3例 2． ABC 的一个极点为 A( 1, 4) ， B 、 C 的均分线在直线y 1 0和 x y 10 上，求直线 BC 的方程 .【答案】 x 2 y3 0【剖析】由角均分线的性质知，角均分线上的任意一点到角两边的距离相等，所以可得 A 点关于B 的均分线的对称点 A ' 在 BC 上， B 点关于C 的均分线的对称点 B ' 也在 BC 上．写出直线 A ' B ' 的方程，即为直线 BC 的方程 .例 3．求与直线 3x+4y+1=0 平行且过点（ 1， 2）的直线 l 的方程．【答案】 3x+4y ―11=0 【剖析】解法一：设直线l 的斜率为 k ，∵ l 与直线 3x+4y+1=0 平行，∴ k3 ．4又∵ l 经过点（ 1， 2），可得所求直线方程为 y 23(x 1) ，即 3x+4y ― 11=0．4解法二：设与直线 3x+4y+1=0 平行的直线 l 的方程为 3x+4y+m=0 ，∵ l 经过点（ 1， 2），∴ 3×1+4×2+m=0 ，解得 m=―11 ．∴所求直线方程为 3x+4y ―11=0 ．【总结升华】（ 1）一般地， 直线 Ax+By+C=0 中系数 A 、B 确定直线的斜率， 所以，与直线 Ax+By+C=0平行的直线可设为 Ax+By+m=0 ，这是常采用的解题技巧．我们称 Ax+By+m=0 是与直线 Ax+By+C=0 平行的直线系方程．参数m 能够取 m ≠C 的任意实数，这样就获取无数条与直线Ax+By+C=0平行的直线．当m=C 时， Ax+By+m=0 与 Ax+By+C=0 重合．（2）一般地，经过点 A （x 0 ，y 0），且与直线 Ax+By+C=0 平行的直线方程为 A(x ―x )+B(y ―y )=0 ．（3）近似地有：与直线 Ax+By+C=0 垂直的直线系方程为Bx ―Ay+m=0 （ A ， B 不同样时为零） ．贯穿交融：【变式 1】已知直线 l 1 ： 3mx+8y+3m-10=0 和 l 2 ：x+6my-4=0 . 问 m 为何值时 :（1） l 1 与 l 2 平行（ 2） l 1 与 l 2 垂直 . 【答案】（ 1） m2 （ 2） m3【剖析】当 m0 时， l 1 ： 8y-10=0 ； l 2 ： x-4=0 ， l 1 l 2当 m 0 时， l 1 ： y3m 10 3m： y 1x4x 8 ； l 2 6m86m由 3m1 ，得 m2 ，由 10 3m 4 得 m 2 或 886m38 6m 3 3 而 (3m ) ( 1 ) 1无解8 6m2综上所述（ 1） m， l 1 与 l 2 平行．（ 2） m 0 ， l 1 与 l 2 垂直．3【变式 2】 求经过点 A （ 2， 1），且与直线 2x+y ―10=0 垂直的直线 l 的方程． 【答案】 x － 2y=0【剖析】由于直线 l 与直线 2x+y ―10=0 垂直，可设直线 l 的方程为 x 2y m 0 ，把点 A （2，1）代入直线 l 的方程得： m0 ，所以直线 l 的方程为： x －2y=0 ．种类二：直线与坐标轴形成三角形问题例 4．已知直线 l 的倾斜角的正弦值为3，且它与坐标轴围成的三角形的面积为6，求直线 l 的方程．5【思路点拨】知道直线的倾斜角就能求出斜率，进而引进参数—— 直线在 y 轴上的截距 b ，再依照直线与坐标轴围成的三角形的面积为 6，即可求出 b ．也能够依照直线与坐标轴围成的三角形的面积为6，设截距式直线方程，进而得出1| ab | 6 ，再依照它的斜率已知，进而获取关于a ，b 的方程组，解之即可．3 x23 x【答案】 y3 或 y 344【剖析】解法一：设 l 的倾斜角为，由 sin33，得 tan．3544设 l 的方程为yx b ，令 y=0，得 x4 b ．3∴直线 l 与 x 轴、 y 轴的交点分别为 4 ，（ 0，b ）．b,03∴ S1 4b | b | 2b 2 6 ，即 b 2=9，∴ b=±3．23 3故所求的直线方程分别为y 3 x 3 或 y3 x 3 ．44解法二：设直线l 的方程为xy 1，倾斜角为，由 sin3 ，得 tan3 ．a b541| a | | b |6a 4∴2b3 ，解得．b 3a4故所求的直线方程为x y 1或 xy 1．4 3 4 3【总结升华】（ 1）本例中，由于已知直线的倾斜角（与斜率有关）及直线与坐标轴围成的三角形的面积（与截距有关） ，所以可选择斜截式直线方程，也可采用截距式直线方程，故有“题目决定解法 ”之说．（2）在求直线方程时，要合适地选择方程的形式，每种形式都拥有特定的结论，所以依照已知条件恰 当地选择方程的种类经常有助于问题的解决．比方：已知一点的坐标，求过这点的直线方程，平时采用点 斜式，再由其他条件确定该直线在y 轴上的截距；已知截距或两点，选择截距式或两点式．在求直线方程的过程中，确定的种类后，一般采用待定系数法求解，但要注意对特别情况的谈论，省得遗漏．贯穿交融：【变式 1】（ 2015 春 启东市期中）已知直线m ： 2x ― y ―3=0 ， n ：x+y ―3=0 ．（ 1）求过两直线 m ，n 交点且与直线 l ： x+2y ―1=0 平行的直线方程； （2）求过两直线 m ， n 交点且与两坐标轴围成面积为4 的直线方程．【思路点拨】（ 1）求过两直线 m ， n 交点坐标，结合直线平行的斜率关系即可求与直线l ： x+2y ―1=0平行的直线方程；（ 2）设出直线方程，求出直线和坐标轴的交点坐标，结合三角形的面积公式进行求解即可．【答案】（ 1） x+2y ―4=0 ；（ 2）2x y 3 0 x 2 【剖析】（ 1）由y3 ，解得y，x 01即两直线 m ， n 交点坐标为（ 2， 1），设与直线 l ： x+2y ―1=0 平行的直线方程为 x+2y+c=0 ，则 2+2×1+c=0，解得 c=―4， 则对应的直线方程为 x+2y ―4=0 ；（2）设过（ 2， 1）的直线斜率为 k ，（ k ≠0），则对应的直线方程为 y ―1= k(x ―2) ，令 x=0， y=1―2k ，即与 y 轴的交点坐标为 A （ 0， 1―2k ） 令 y=0，则 x2 1 2k 1 ，即与 x 轴的交点坐标为 B(2k 1,0) ，k kk 则△AOB 的面积 S1 | 2k 1||1 2k | 4 ，2 k即 (2k 1)2 8 k ，即 4k 24k 8 k1 0 ，若 k ＞ 0，则方程等价为 4k 212k1 0 ，解得 k3 2 2或 k 3 2 2 ，22若 k ＜ 0，则方程等价为 4k 24k1 0 ，解得 k1 ．2综上直线的方程为y 11( x 2) ，或 y 13 2 2 ( x 2) ，或 y 13 2 2( x 2)222即 y1 x2 ，或 y3 2 23 2 2x 2 2 22 x 2 2 2 ，或 y22种类三：直线方程的本质应用例 6．（ 2015 春 湖北期末）光辉从点 A （ 2，3）射出，若镜面的地址在直线 l ： x+y+1=0 上，反射光辉经过 B （ 1， 1），求入射光辉和反射光辉所在直线的方程，并求光辉从 A 到 B 所走过的路线长．【思路点拨】求出点 A 关于 l 的对称点，就可以求出反射光辉的方程，进一步求得入射点的坐标，从而可求入射光辉方程，可求光辉从A 到B 所走过的路线长．【答案】 41【剖析】设点 A 关于 l 的对称点 A ＇（ x 0， y 0），x 0 2 y 0 3 1 0 x 04∵AA ＇被 l 垂直均分，∴2 2 ，解得y 0 3y 03x 0 12∵点 A ＇（―4， ―3）， B （1， 1）在反射光辉所在直线上， ∴反射光辉的方程为y 3 x4，即 4x ―5y+1=0，1 3 1 44x 5y 1 0( 2 ,1) ． 解方程组x y 10 得入射点的坐标为3 3y 1x 2由入射点及点 A 的坐标得入射光辉方程为3 3，即 5x ―4y+2=0 ，31 2 233光辉从 A 到 B 所走过的路线长为 | A' B |( 4 1)2 ( 3 1)241 ．【总结升华】本题要点观察点关于直线的对称问题，观察入射光辉和反射光辉，解题的要点是利用对称点的连结被对称轴垂直均分．线 贯穿交融：【变式 1】（ 2016 春 福建厦门期中）一条光辉从点 A （－ 4，－ 2）射出，到直线y=x 反射到 y 轴上的 C 点，又被 y 轴反射，这时反射光辉恰好过点 D （－ 1，6）．求 【答案】 10x － 3y+8=0【剖析】如图， A （－ 4，－ 2）， D （－ 1，6），y=x 上的 B 点后被直BC 所在直线的方程．由对称性求得 A （－ 4，－ 2）关于直线 y=x 的对称点 A ＇（－ 2，－ 4）， D 关于 y 轴的对称点 D ＇（ 1， 6），则由入射光辉和反射光辉的性质可得：过 A ＇ D ＇的直线方程即为 BC 所在直线的方程．由直线方程的两点式得： y 4 x 2 ． 整理得： 10x － 3y+8=0 ．64 1 2例 7．如图，某房地产公司要在荒地ABCDE 上划出一块长方形土地（不改变方向）建筑一幢8 层的公寓，如何设计才能使公寓占地面积最大？并求出最大面积．（精确到 1 m 2）【答案】 6017【剖析】建立坐标系，则 B （ 30， 0）， A （ 0， 20）．∴由直线的截距方程获取线段AB 的方程为x y 1 （0≤ x ≤ ）30．30 202x ． 设点 P 的坐标为（ x ， y ），则有 y203∴公寓的占地面积为S (100 x) (80y) (100 x) (80 20 2x)2 x 2 20 x 6000 （0≤ x ≤ ）30．3 3 3 ∴当 x=5 ， y50 时， S 取最大值，最大值为 S2 52 20 5 6000 6017(m 2 ) ．333即当点 P 的坐标为 (5,50) 时，公寓占地面积最大，最大面积为6017 m 2．3P 的地址由两个条件确定，一是 A 、 P 、 B 三点共线，【总结升华】本题是用坐标法解决生活问题，点 二是矩形的面积最大．借三点共线追求x 与 y 的关系，利用二次函数知识研究最大值是办理这类问题常用的方法．。
必修二第三章直线与方程知识点总结及练习(答案)
必修二第三章直线与方程（1）直线的倾斜角定义： x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。
特别地，当直线与x 轴平行或重合时 , 我们规定它的倾斜角为0 度。
所以，倾斜角的取值范围是0°≤α＜ 180°（2）直线的斜率①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。
直线的斜率常用 k 表示。
即k tan。
斜率反应直线与轴的倾斜程度。
当直线 l与 x 轴平行或重合时 ,α =0° , k = tan0° =0;当直线 l与 x 轴垂直时 ,α = 90 ° , k不存在 .当0,90 时，k 0；当90 ,180时， k 0 ；当90时， k 不存在。
②过两点的直线的斜率公式： k y2y1 (x1x2 )（ P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠ x2 ）x2x1注意下边四点： (1)当 x1x2时，公式右侧无心义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°；(2)k 与 P1、 P2的次序没关；(3)此后求斜率可不经过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率获得。
（3）直线方程①点斜式：y y1k( x x1 ) 直线斜率k，且过点x1, y1注意：当直线的斜率为= 0°时， k=0，直线的方程是y y1。
当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不可以用点斜式表示．但因l 上每一点的横坐标都等于x ，所以它的方程是x=x 。
11②斜截式：y kx b ，直线斜率为k，直线在 y 轴上的截距为b③两点式：y y1x x1（ x1 x2 , y1y2）直线两点x1, y1，x2, y2y2y1x2x1④截矩式：xy 1 此中直线l与 x 轴交于点 (a,0) ,与y轴交于点 (0,b) ,即l与 x 轴、y轴a b的截距分别为 a,b 。
高中数学直线与方程知识点归纳与常考题型专题练习(附解析)
高中数学直线与方程知识点归纳与常考题型专题练习(附解析) 知识点：一、直线与方程（1）直线的倾斜角定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。
特别地，当直线与x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。
因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°（2）直线的斜率①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。
直线的斜率常用k 表示。
即。
斜率反映直线与轴的倾斜程度。
tan k α=当时，； 当时，； 当时，不存[) 90,0∈α0≥k () 180,90∈α0<k 90=αk 在。
②过两点的直线的斜率公式： )(211212x x x x y y k ≠--=注意下面四点：(1)当时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°；21x x =(2)k 与P 1、P 2的顺序无关；(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。
（3）直线方程①点斜式：直线斜率k ，且过点)(11x x k y y -=-()11,y x 注意：当直线的斜率为0°时，k=0，直线的方程是y =y 1。
当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因l 上每一点的横坐标都等于x 1，所以它的方程是x =x 1。
②斜截式：，直线斜率为k ，直线在y 轴上的截距为bb kx y +=③两点式：（）直线两点，112121y y x x y y x x --=--1212,x x y y ≠≠()11,y x ()22,y x ④截矩式：1x y a b+=其中直线与轴交于点,与轴交于点,即与轴、轴的截距分别为。
l x (,0)a y (0,)b l x y ,a b ⑤一般式：（A ，B 不全为0）0=++C By Ax 注意：各式的适用范围 特殊的方程如：○1○2平行于x 轴的直线：（b 为常数）； 平行于y 轴的直线：（a 为常数）；b y =a x =（5）直线系方程：即具有某一共同性质的直线（一）平行直线系平行于已知直线（是不全为0的常数）的直线系：0000=++C y B x A 00,B A （C 为常数）000=++C y B x A （二）过定点的直线系（ⅰ）斜率为k 的直线系：，直线过定点；()00x x k y y -=-()00,y x （ⅱ）过两条直线，的交点的直线系方程0:1111=++C y B x A l 0:2222=++C y B x A l 为（为参数），其中直线不在直线系中。
高二数学直线的方程知识点及习题
直线的方程知识点及习题知识点一 直线的点斜式方程1．方程()00y y k x x -=-由直线上一定点及其斜率确定，我们把这个方程叫做直线的点斜式方程，简称点斜式．适用于斜率存在的直线．2．如果直线过点()000,P x y ，且与y 轴垂直，这时倾斜角为0︒，tan 00︒=，即0k =，由点斜式，得直线方程为0y y =，如图3．2-1．3．如果直线过点()000,P x y ，且与x 轴垂直，此时它的倾斜角为90︒（直线与y 轴平行或重合），斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示，这时直线方程表示为0x x =，如图3．2-2．知识点二 直线的点斜式方程（1）我们把直线l 与y 轴交点()0,b 的纵坐标b 叫做直线l 在y 轴上的截距．若直线l 的斜率为k ，且在y 轴上的截距为b ，则直线l 的方程为()0y b k x -=-，即y kx b =+，这个方程叫做直线的斜截式方程，简称斜截式．（2）斜截式与一次函数的解析式相同，都是y kx b =+的形式，但有区别，当0k ≠时，y kx b =+即为一次函数；当0k =时，y b =不是一次函数，一次函数y kx b =+()0k ≠必是一条直线的斜截式方程． 例1.已知直线y kx b =+，当34x -≤≤时，813y -≤≤.求此直线方程.（3）截距①直线的斜截式方程是由点斜式推导而来的．直线与y 轴的交点()0,b 的纵坐标b 称为此直线的纵截距．值得强调的是，截距可能是正数，也可能是负数，还可能是0，不能将其理解为“距离”而恒为非负数．②直线与x 轴的交点(),0a 的横坐标a 称为此直线的横截距．并不是每条直线都有横截距和纵截距，如直线1x =没有纵截距，直线2y =没有横截距．练习（1）直线123y x =-+的斜率是_________，在y 轴上的截距是________，在x 轴上的截距是_________；（2）倾斜角为60︒，在y 轴上的截距为3的直线方程是_________．例2 已知直线1l 的方程为23y x =-+，2l 的方程为42y x =-，直线l 与1l 平行且与2l 在y 轴上的截距相同，求直线l 的斜截式方程．练习,.已知直线l 过点(1,2)和(,)a b ，求其方程.本题常见的错误是没有对a 进行分类讨论，而是直接利用斜率公式求斜率，然后套用点斜式写直线方程.在利用点斜式或斜截式求直线方程时，要注意直线方程的点斜式00()y y k x x -=-和斜截式y kx b =+都是斜率k 存在的前提下才能使用的，要认真分析，避免遗漏.1. 直线的两点式方程的定义212y y y y --=121x x x x --就是经过两点111222(,),(,)p x y p x y (其中1212,x x y y ≠≠)的直线方程，我们把它叫做直线的两点式方程，简称两点式.2.若点12,p p 的坐标分别为1122(,),(,)x y x y ，是线段12p p 的中点M 的坐标为(,),x y 则有中点坐标公式：121222x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩.例3：已知三角形的三个顶点分别为(6,7),(2,3),(2,1)A B C --,求AC 边上的中线所在的直线方程.3 直线的截距式方程直线与x 轴的交点(,0)a 的横坐标a 叫做直线在x 轴上的截距，若此时直线在y 轴上的截距为b ，则直线的方程为1(0),x yab a b+=≠此方程由直线在两个坐标轴上的截距a 与b 确定，所以叫做直线的截距式方程. 求截距的方法在直线l 的方程中，令0x =，解出y 的直线，即得直线l 在y 轴上的截距.令y 0=，解出x 的值，即得出直线l 在x 轴上的截距.例4：求过点A (1,1)，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程.4 直线的一般式方程1.定义在平面直角坐标系中，每一条直线都可以用一个关于,x y 的二元一次方程表示，每一个关于,x y 的二元一次方程都表示一条直线，我们把关于,x y 的二元一次方程Ax +0By C +=（其中A ，B 不同时为0）叫做直线的一般式方程，简称一般式. 2.适用范围在平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一般式表示. 3.几何意义（1）当0B ≠时，A k B -=（斜率），C b B -=（y 轴上的截距）； （2）当0A ≠时，Ca A-=（x 轴上的截距）.例5.根据条件写出直线方程，并化成一般式. （1(5,3)A ； （2）在,x y 轴上的截距分别是3,1--.5直线过定点问题例5.已知直线:5530l ax y a --+=.（1）求证：不论a 为何值，直线l 总经过第一象限； （2）为使直线不经过第二象限，求a 的取值范围.6解决与面积、周长有关的问题例6.直线过点4(,2)3P ，且与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴分别交与,A B 两点，O 为坐标原点，是否存在这样的直线能同时满足以下条件：①AOB ∆的周长为12；②AOB ∆的面积为6.若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.课堂练习1.已知直线方程34)y x -=-，则这条直线经过的定点和倾斜角分别 （ ） A.(4,3),60︒ B.(3,4),30--︒ C.(4,3),30︒ D.(4,3),60--︒2.若直线(32)6y t x =--不经过第一象限，则t 的取值范围为 .3.已知直线12y x k =+与两坐标轴围成的三角形的面积不小于1，则实数k 的取值范围是 . 4.若直线l 的倾斜角是直线1y x =+的倾斜角的2倍，且过定点(3,3)P ，则直线l 的方程为 . 5．若三条直线0,0,3x y x y x ay +=-=+=构成三角形，则a 的取值范围是（ ） A.1a ≠± B.1,2a a ≠≠ C.2a ≠ D.1,2a a ≠±≠6．若直线350mx y +-=经过连接点(1,2),(3,4)A B --的线段的中点，则m = . 7．ABC ∆的三个顶点分别为(0,4),(2,6),(8,0)A B C --. 求：（1）边AC 所在直线的直线方程； （2）AC 边上的中线BD 所在直线方程.直线方程练习题一、选择题1．已知点)1,0(-M ，点N 在直线01=+-y x 上，若直线MN 垂直于直线032=-+y x ， 则点N 的坐标是（ ）A ．)1,2(--B ．)3,2(C ． )1,2(D ．)1,2(- 2．点M ),(b a 与N )1,1(+-a b 关于下列哪种图形对称（ ） A ．直线01=+-y x B ．直线01=--y xC ．点（21,21-） D ．直线0=--+b a y x3．若三条直线l 1：x －y ＝0；l 2：x ＋y －2＝0; l 3：5x －ky －15＝0围成一个三角形，则k 的取 值范围是（ ）A ．k ∈R 且k ±≠5且k ≠1B ．k ∈R 且k ±≠5且k ≠－10C ．k ∈R 且k ±≠1且k ≠0D ．k ∈R 且k ±≠ 54、如果直线(2a +5)x +(a －2)y +4=0与直线(2－a )x +(a +3)y －1=0互相垂直，则a 的值等于（ ） A ． 2 B ．－2 C ．2,－2 D ．2,0,－25、两条直线mx+y －n =0和x+my +1=0互相平行的条件是（ ） A m=1 B m=±1C ⎩⎨⎧-≠=11n m D ⎩⎨⎧≠-=⎩⎨⎧-≠=1111n m n m 或 6、下列说法正确的有（ ）①若两直线斜率相等，则两直线平行； ②若l 1∥l 2，则k 1=k 2；③若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则两直线相交； ④若两直线斜率都不存在，则两直线平行。
2025届高三数学专题复习：直线方程重难点专题(解析版)
直线的方程重难点专题常考结论及公式结论一：两直线平行与垂直的充要条件若l 1:y =k 1x +b 1,l 2:y =k 2x +b 2；①l 1∥l 2⇒k 1=k 2⇒≠b 2；②l 1⊥l 2⇔k 1k 2=-1.若l 1:A 1x +B 1y +C 1=0,l 2:A 2x +B 2y +C 2=0，且A 1、A 2、B 1、B 2都不为零.①l 1∥l 2⇒A 1A 2=B 1B 2≠C 1C 2；l 1与l 2重合⇒A 1A 2=B 1B 2=C1C 2；②l 1⊥l 2⇔A 1A 2+B 1B 2=0.结论二：到角公式和夹角公式(1)l 1到l 2的角公式①tan α=k 2-k 11+k 2k 1.(l 1:y =k 1x +b 1,l 2:y =k 2x +b 2,k 1k 2≠-1)；②tan α=A 1B 2-A 2B 1A 1A 2+B 1B 2(l 1:A 1x +B 1y +C 1=0,l 2:A 2x +B 2y +C 2=0,A 1A 2+B 1B 2≠0)(2)夹角公式①tan α=k 2-k 11+k 1k 2.(l 1:y =k 1x +b 1,l 2:y =k 2x +b 2,k 1k 2≠-1)；②tan α=A 1B 2-A 2B 1A 1A 2+B 1B 2.(l 1:A 1x +B 1y +C 1=0,l 2:A 2x +B 2y +C 2=0,A 1A 2+B 1B 2≠0)直线l 1⊥l 2时，直线l 1与l 2的夹角是π2.结论三：四种常用直线系方程(1)定点直线系方程：经过定点P 0(x 0,y 0)的直线系方程为y -y 0=k (x -x 0)(除直线x =x 0)，其中k 是待定的系数；经过定点P 0(x 0,y 0)的直线系方程为A (x -x 0)+B (y -y 0)=0，其中A 、B 是待定的系数.(2)共点直线系方程：经过两直线l 1:A 1x +B 1y +C 1=0,l 2:A 2x +B 2y +C 2=0的交点的直线系方程为l 1:(A 1x +B 1y +C 1)+λ(A 2x +B 2y +C 2)=0(除l 2)，其中λ是待定的系数.(3)平行直线系方程：直线y =kx +b 中当斜率k 一定而b 变动时，表示平行直线系方程.与直线Ax +By +C =0平行的直线系方程是Ax +By +λ=0(λ≠0)，λ是参变量.(4)垂直直线系方程：与直线Ax +By +C =0(A ≠0,B ≠0)垂直的直线系方程是Bx -Ay +λ=0，λ是参变量.结论四：与对称有关的一些结论(1)点P (u ,v )关于点Q (s ,t )的对称点的坐标为：(2s -u ,2t -v )，特别地，点P (u ,v )关于原点的对称点的坐标为：(2×0-u ,2×0-v )，即(-u ,-v ).(2)直线Ax +By +C =0关于点P (-u ,-v )对称的直线的方程为：(2u -x )+B (2v -y )+C =0.(3)直线Ax +By +C =0关于原点、x 轴、y 轴对称的直线的方程分别为：A (-x )+B (-y )+C =0，Ax +B (-y )+C =0，A (-x )+By +C =0.(4)直线Ax +By +C =0关于直线x =u ,y =v 对称的直线的方程分为：A (2u -x )+By +C =0，Ax +B (2v -y )+C =0.(5)曲线f (x ,y )=0关于点P (u ,v )对称的直线的方程为：f (2u -x ,2v -y )=0.(6)点P (s ,t )关于直线Ax +By +C =0的对称点的坐标为：s -2A ∙As +Bt +C A 2+B 2,t -2B ∙As +Bt +CA 2+B2.特别地，当A =B ≠0时，点P (s ,t )关于直线Ax +By +C =0的对称点的坐标为：-Bt +C A,-As +CB .点P (s ,t )关于x 轴、y 轴，直线x =u ，直线y =v 的对称点的坐标分别为(s ,-t ),(-s ,t ),(2u -s ),(s ,2v -t ).题型一直线的倾斜角与斜率关系问题例1.直线x cos θ+y sin θ=0,θ∈0,5π6的斜率的取值范围为()A.-∞,3B.2,+∞C.-∞,0 ∪0,3D.-∞,2【答案】A【分析】求出直线的斜率的表达式，通过角的范围求解斜率的范围即可.【详解】由x cos θ+y sin θ=0,θ∈0,5π6 可得直线的斜率为：k =-cos θsin θ=-1tan θ.因为θ∈0,5π6 ，所以tan θ∈-∞,-33 ∪0,+∞ ,所以k =-1tan θ∈-∞,0 ∪0,3 当θ=π2时，易得k =0。
直线与方程题型总结答案
题型一：重点考查直线的倾斜角)2cos10,2sin10，)2cos130,2sin130，则直线．160【详解】方法一：由斜率和倾斜角关系，利用两点连线斜率公式可得tan 方法二：根据三角函数定义可知,P Q 在圆160QOM +，由此可得倾斜角.的倾斜角为)0180θ≤<，()()33cos10sin10sin 12010sin102sin1302sin10222cos1302cos10cos 12010cos1033cos10sin1022−+−−==−+−−−()()3sin10cos103sin 1030sin 20sin 202tan 20sin 70cos 2033sin 1060sin10cos102−−==−=−=−++tan160.PQ 的倾斜角为160；方法二：由三角函数的定义可知：点,P Q 在圆24x y +=上，如图所示，为直线PQ 与轴的交点，则10，130QOM ∠，120=，又OQ =，30OQM ∴∠，160QOM +∠，∴直线PQ 的倾斜角为160. 160.2023春·安徽合肥·高二统考开学考试）直线y ++ 34π⎤⎡⋃⎥⎢⎦⎣精练核心考点3,24ππ⎤⎡⎫⎪⎥⎢⎦⎣⎭3,24ππ⎤⎡⎫⎪⎥⎢⎦⎣⎭3,4ππ⎤⎡⎫⎪⎥⎢⎦⎣⎭【详解】解：直线l 的斜率为3≤，α∈3,4⎤⎡⎫⎪⎥⎢⎦⎣⎭ππ. ．（2023·全国·高二专题练习）直线,135︒︒⎤⎦【详解】解：直线x y −，则3x =，直线的斜率不存在，倾斜角为90；1≤，可得为不等于90的倾斜角），90135θ︒<≤综合，倾斜角的取值范围是45︒≤．题型二：重点考查直线的斜率19,6⎤⎡⎫+∞⎪⎥⎢⎦⎣⎭）因为点M 在函数)在线段AB ()19,6⎤⎡⎫+∞⎪⎥⎢⎦⎣⎭，记点16,2P ⎛− ⎝16,2P ⎛⎫− ⎪⎝⎭，所以21y +精练核心考点30，则实数D ．323303=两点的直线的方向向量为题型三：重点考查斜率与倾斜角的变化关系第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是（)30,60)30,90 )60,9060,90⎤⎦B【详解】因为直线:l ，直线23x y +()0,2B ;30； 90；)30,90.·全国·高二专题练习）经过点P10PA k −=且直线l 与连接点如下图所示，则tan PA k ≤α∴∈π[0,4故选：B例题3．（精练核心考点2．（2023·全国·高二专题练习）已知坐标平面内三点ABC 的边A ．0,⎡⎢⎣C ．3⎡⎢⎣【答案】D【详解】如图所示，1为ABC 的边BD 斜率k ．（2023·全国·高二专题练习）若实数的取值范围为5,73⎡⎤⎢⎥⎣⎦题型四：重点考查斜率公式的应用精练核心考点题型五：重点考查由直线与线段相交求直线斜率（倾斜角）范围3,7⎤⎡⎫+∞⎪⎥⎢⎦⎣⎭【详解】解：设过点P 且垂直于当直线l 由位置PA 绕点P 此时，11354725PA k k +≥==+当直线l 由位置PC 绕点P 此时，1254PB k k +≤==精练核心考点1,2⎤⎡⎫+∞⎪⎥⎢⎦⎣⎭1,2⎤⎡⎫+∞⎪⎥⎢⎦⎣⎭题型六：重点考查两直线的平行或垂直关系；方法二：直线1l 的方向向量()6,3AB =−的方向向量(3,6CD =因为0AB CD ⋅=，所以AB CD ⊥，所以5．（2023·全国·高二专题练习）已知两条直线60my +=2)30m x y −+=，当m 为何值时，相交； 平行； 垂直．【答案】(1)m ≠−3；题型七：重点考查直线的方程．（2023·全国·高二专题练习）在ABC中，已知点轴上截距是y轴上截距的3⎫，即(−⎪⎭；题型八：重点考查两直线的交点坐标【详解】三条直线不能构成三角形三条直线相交于同一点S的最小值AOBS最小值为AOB题型九：重点考查两点间的距离公式故选：B.xA B'=所以函数的最小值为故答案为：42精练核心考点1．（2023·全国·高二专题练习）已知故选：B2．（2023·全国·高二课堂例题）【答案】32【详解】()2221x x x ++=+()(224824x x x −+=−+=如图，设点(),0A x ，()1,1B −，值．由于AB AC BC +≥，当A ，B 故答案为： 32.3．（2023·全国·高二专题练习）函数为 ．【答案】41【详解】()()219f x x =−+1故答案为：41题型十：重点考查点到直线的距离公式例题2．（2023秋·高二课时练习）求垂直于直线3105的直线l 的方程． 【答案】390x y −+=或3x −【详解】设与直线35x y +−则由点到直线的距离公式知()()2310310⨯−−+−===mm d350y+=.春·上海·高二期中）已知ABC的三个顶点y+=，且60)2,3，所以因此有+24=723+6=0m n m n −−⎧⎨⎩或+24=723+6=0m n m n −−−⎧⎨⎩，解得：=3=4m n ⎧⎨⎩或=3=0m n −⎧⎨⎩， 所以点A 的坐标为：()3,4或()3,0−．题型十一：重点考查两条平行线间的距离公式精练核心考点。
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高中数学直线与方程知识点归纳与常考题型专题练习(附解析) 知识点：一、直线与方程（1）直线的倾斜角定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。
特别地，当直线与x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。
因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°（2）直线的斜率①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。
直线的斜率常用k 表示。
即。
斜率反映直线与轴的倾斜程度。
tan k α=当时，； 当时，； 当时，不存[) 90,0∈α0≥k () 180,90∈α0<k 90=αk 在。
②过两点的直线的斜率公式： )(211212x x x x y y k ≠--=注意下面四点：(1)当时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°；21x x =(2)k 与P 1、P 2的顺序无关；(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。
（3）直线方程①点斜式：直线斜率k ，且过点)(11x x k y y -=-()11,y x 注意：当直线的斜率为0°时，k=0，直线的方程是y =y 1。
当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因l 上每一点的横坐标都等于x 1，所以它的方程是x =x 1。
②斜截式：，直线斜率为k ，直线在y 轴上的截距为bb kx y +=③两点式：（）直线两点，112121y y x x y y x x --=--1212,x x y y ≠≠()11,y x ()22,y x ④截矩式：1x y a b+=其中直线与轴交于点,与轴交于点,即与轴、轴的截距分别为。
l x (,0)a y (0,)b l x y ,a b ⑤一般式：（A ，B 不全为0）0=++C By Ax 注意：各式的适用范围 特殊的方程如：○1○2平行于x 轴的直线：（b 为常数）； 平行于y 轴的直线：（a 为常数）；b y =a x =（5）直线系方程：即具有某一共同性质的直线（一）平行直线系平行于已知直线（是不全为0的常数）的直线系：0000=++C y B x A 00,B A （C 为常数）000=++C y B x A （二）过定点的直线系（ⅰ）斜率为k 的直线系：，直线过定点；()00x x k y y -=-()00,y x （ⅱ）过两条直线，的交点的直线系方程0:1111=++C y B x A l 0:2222=++C y B x A l 为（为参数），其中直线不在直线系中。
()()0222111=+++++C y B x A C y B x A λλ2l （6）两直线平行与垂直当，时，111:b x k y l +=222:b x k y l +=；212121,//b b k k l l ≠=⇔12121-=⇔⊥k k l l注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。
（7）两条直线的交点相交0:1111=++C y B x A l 0:2222=++C y B x A l 交点坐标即方程组的一组解。
⎩⎨⎧=++=++00222111C y B x A C y B x A 方程组无解 ；方程组有无数解与重合21//l l ⇔⇔1l 2l （8）两点间距离公式：设是平面直角坐标系中的两个点，1122(,),A x y B x y ，（）则 ||AB =（9）点到直线距离公式：一点到直线的距离()00,y x P 0:1=++C By Ax l 2200B A CBy Ax d +++=（10）两平行直线距离公式在任一直线上任取一点，再转化为点到直线的距离进行求解。
常考题：一．选择题（共20小题）1．直线L 1：ax+3y+1=0，L 2：2x+（a+1）y+1=0，若L 1∥L 2，则a 的值为（ ）A ．﹣3B ．2C ．﹣3或2D ．3或﹣22．直线xsinα+y+2=0的倾斜角的取值范围是（ ）A ．[0，π）B ．[0，]∪[，π）C ．[0，]D ．[0，]∪（，π）3．已知点A （﹣1，0），B （1，0），C （0，1），直线y=ax+b （a ＞0）将△ABC 分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是（ ）A ．（0，1）B ．C ．D ．4．直线3x+y﹣1=0的倾斜角是（ ）A ．B ．C ．D ．5．已知点（a ，2）（a ＞0）到直线l ：x﹣y+3=0的距离为1，则a=（ ）A ．B ．C ．D ．6．已知点P 在直线x+3y﹣2=0上，点Q 在直线x+3y+6=0上，线段PQ 的中点为M （x 0，y 0），且y 0＜x 0+2，则的取值范围是（ ）A ．[﹣，0）B ．（﹣，0）C ．（﹣，+∞）D ．（﹣∞，﹣）∪（0，+∞）7．设m ∈R ，过定点A 的动直线x+my=0和过定点B 的直线mx﹣y﹣m+3=0交于点P （x ，y ），则|PA|+|PB|的取值范围是（ ）A ．[，2]B ．[，2]C ．[，4]D ．[2，4]8．若直线l 1：mx+2y+1=0与直线l 2：x+y﹣2=0互相垂直，则实数m 的值为（ ）A．2B．﹣2C．D．﹣9．直线（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4=0过定点（ ）A．（1，﹣3）B．（4，3）C．（3，1）D．（2，3）10．直线（a2+1）x﹣2ay+1=0的倾斜角的取值范围是（ ）A．[0，]B．[，]C．[，]D．[0，]∪[，π）11．等腰三角形两腰所在直线的方程分别为x+y﹣2=0与x﹣7y﹣4=0，原点在等腰三角形的底边上，则底边所在直线的斜率为（ ）A．3B．2C．D．12．若动点A，B分别在直线l1：x+y﹣7=0和l2：x+y﹣5=0上移动，则AB的中点M到原点的距离的最小值为（ ）A．3B．2C．3D．413．已知点（﹣1，2）和（，0）在直线l：ax﹣y+1=0（a≠0）的同侧，则直线l倾斜角的取值范围是（ ）A．（，）B．（0，）∪（，π）C．（，）D．（，）14．直线l过点P（﹣1，2）且与以点M（﹣3，﹣2）、N（4，0）为端点的线段恒相交，则l的斜率取值范围是（ ）A．[﹣，5]B．[﹣，0）∪（0，2]C．（﹣∞，﹣]∪[5，+∞）D．（﹣∞，﹣]∪[2，+∞）15．已知直线mx+4y﹣2=0与2x﹣5y+n=0互相垂直，垂足为P（1，p），则m﹣n+p的值是（ ）A．24B．20C．0D．﹣416．过点P（﹣2，2）作直线l，使直线l与两坐标轴在第二象限内围成的三角形面积为8，这样的直线l一共有（ ）A．3条B．2条C．1条D．0条17．已知直线l：3x﹣4y+m=0上存在不同的两点M与N，它们都满足与两点A （﹣1，0），B（1，0）连线的斜率k MA与k MB之积为﹣1，则实数m的取值范围是（ ）A．（﹣3，3）B．（﹣4，4）C．（﹣5，5）D．[﹣5，5]18．点P到点及到直线的距离都相等，如果这样的点恰好只有一个，那么a的值是（ ）A．B．C．D．19．已知直线l：x﹣my+m=0上存在点M满足与两点A（﹣1，0），B（1，0）连线的斜率k MA与k MB之积为3，则实数m的取值范围是（ ）A．B．∪C．∪D．以上都不对20．若两平行直线l1：x﹣2y+m=0（m＞0）与l2：2x+ny﹣6=0之间的距离是，则m+n=（ ）A．0B．1C．﹣2D．﹣1二．填空题（共9小题）21．若直线l：+=1（a＞0，b＞0）经过点（1，2），则直线l在x轴和y轴的截距之和的最小值是 ．22．在平面直角坐标系xOy中，设定点A（a，a），P是函数y=（x＞0）图象上一动点，若点P，A之间的最短距离为2，则满足条件的实数a的所有值为 ．23．已知两点A（﹣m，0），B（m，0）（m＞0），如果在直线3x+4y+25=0上存在点P，使得∠APB=90°，则m的取值范围是 ．24．已知直线（1﹣a）x+（a+1）y﹣4（a+1）=0（其中a为实数）过定点P，点Q在函数的图象上，则PQ连线的斜率的取值范围是 ．25．直线l：xtan+y+1=0的倾斜角α= ．26．已知动点P（x，y）满足|x﹣1|+|y﹣a|=1，O为坐标原点，若的最大值的取值范围为，则实数a的取值范围是 ．27．过点P（3，﹣1）引直线，使点A（2，﹣3），B（4，5）到它的距离相等，则这条直线的方程为 ．28．在平面直角坐标系xOy中，将点A（2，1）绕原点O逆时针旋转到点B，若直线OB的倾斜角为α，则cosα的值为 ．29．在平面直角坐标系xOy中，直线l1：kx﹣y+2=0与直线l2：x+ky﹣2=0相交于点P，则当实数k变化时，点P到直线x﹣y﹣4=0的距离的最大值为 ．三．解答题（共21小题）30．已知直线l1的方程为3x+4y﹣12=0．（1）若直线l2与l1平行，且过点（﹣1，3），求直线l2的方程；（2）若直线l2与l1垂直，且l2与两坐标轴围成的三角形面积为4，求直线l2的方程．31．已知△ABC的顶点A（5，1），AB边上的中线CM所在直线方程为2x﹣y﹣5=0，AC边上的高BH所在直线方程为x﹣2y﹣5=0．求：（1）顶点C的坐标；（2）直线BC的方程．32．已知直线l：kx﹣y+1+2k=0（k∈R）．（1）证明：直线l过定点；（2）若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；（3）若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程．33．设直线l的方程为（a+1）x+y+2﹣a=0（a∈R）．（1）若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；（2）若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．34．已知直线l：y=（1﹣m）x+m（m∈R）．（Ⅰ）若直线l的倾斜角，求实数m的取值范围；（Ⅱ）若直线l分别与x轴，y轴的正半轴交于A，B两点，O是坐标原点，求△AOB面积的最小值及此时直线l的方程．35．在直角坐标系中，已知射线OA：x﹣y=0（x≥0），OB：2x+y=0（x≥0）．过点P（1，0）作直线分别交射线OA，OB于点A，B．（1）当AB的中点在直线x﹣2y=0上时，求直线AB的方程；（2）当△AOB的面积取最小值时，求直线AB的方程．（3）当PA•PB取最小值时，求直线AB的方程．36．在△ABC中，已知BC边上的高所在直线的方程为x﹣2y+1=0，∠A的平分线所在直线的方程为y=0．若点B的坐标为（1，2），求点C的坐标．37．已知x，y满足直线l：x+2y=6．（1）求原点O关于直线l的对称点P的坐标；（2）当x∈[1，3]时，求的取值范围．38．已知过原点O的一条直线与函数y=log8x的图象交于A、B两点，分别过点A、B作y轴的平行线与函数的y=log2x的图象交于C、D两点．（1）证明点C、D和原点O在同一条直线上；（2）当BC平行于x轴时，求点A的坐标．39．已知直线l：3x﹣y+3=0，求：（1）点P（4，5）关于l的对称点；（2）直线x﹣y﹣2=0关于直线l对称的直线方程．40．已知过点A（1，1）且斜率为﹣m（m＞0）的直线l与x轴、y轴分别交于P、Q，过P、Q作直线2x+y=0的垂线，垂足为R、S，求四边形PRSQ面积的最小值．41．已知直线l=1．（1）若直线的斜率小于2，求实数m的取值范围；（2）若直线分别与x轴、y轴的正半轴交于A、B两点，O是坐标原点，求△AOB面积的最小值及此时直线的方程．42．有三个新兴城镇，分别位于A，B，C三点处，且AB=AC=13km，BC=10km．今计划合建一个中心医院，为同时方便三镇，准备建在BC的垂直平分线上的P点处，（建立坐标系如图）（Ⅰ）若希望点P到三镇距离的平方和为最小，点P应位于何处？（Ⅱ）若希望点P到三镇的最远距离为最小，点P应位于何处？43．已知直线l过点M（1，1），且与x轴，y轴的正半轴分别相交于A，B两点，O为坐标原点．求：（1）当|OA|十|OB|取得最小值时，直线l的方程；（2）当|MA|2+|MB|2取得最小值时，直线l的方程．44．光线从点A（2，3）射出，若镜面的位置在直线l：x+y+1=0上，反射光线经过B（1，1），求入射光线和反射光线所在直线的方程，并求光线从A到B 所走过的路线长．45．过点P（3，0）有一条直线l，它夹在两条直线l1：2x﹣y﹣2=0与l2：x+y+3=0之间的线段恰被点P平分，求直线l的方程．46．已知△ABC的两个顶点A（﹣10，2），B（6，4），垂心是H（5，2），求顶点C的坐标．47．如图，平行四边形ABCD（A，B，C，D按逆时针顺序排列），AB，AD 边所在直线的方程分别是x+4y﹣7=0，3x+2y﹣11=0，且对角线AC和BD的交点为M（2，0）（1）求点A的坐标（2）求CD边所在直线的方程．48．两条互相平行的直线分别过点A（6，2）和B（﹣3，﹣1），并且各自绕着A，B旋转，如果两条平行直线间的距离为d．求：（1）d的变化范围；（2）当d取最大值时两条直线的方程．49．已知三条直线l1：2x﹣y+a=0（a＞0），l2：﹣4x+2y+1=0和l3：x+y﹣1=0，且l1与l2的距离是；（1）求a的值；（2）能否找到一点P同时满足下列三个条件：①P是第一象限的点；②点P到l1的距离是点P到l2的距离的；③点P到l1的距离与点P到l3的距离之比是：？若能，求点P的坐标；若不能，请说明理由．50．如图，矩形OABC的顶点O为原点，AB边所在直线的方程为3x+4y﹣25=0，顶点B的纵坐标为10．（Ⅰ）求OA，OC边所在直线的方程；（Ⅱ）求矩形OABC的面积．必修二第三章直线与方程知识点与常考题(附解析)参考答案与试题解析一．选择题（共20小题）1．直线L1：ax+3y+1=0，L2：2x+（a+1）y+1=0，若L1∥L2，则a的值为（ ）A．﹣3B．2C．﹣3或2D．3或﹣2【解答】解：直线L1：ax+3y+1=0的斜率为：，直线L1∥L2，所以L2：2x+（a+1）y+1=0的斜率为：所以=；解得a=﹣3，a=2（舍去）故选：A．2．直线xsinα+y+2=0的倾斜角的取值范围是（ ）A．[0，π）B．[0，]∪[，π）C．[0，]D．[0，]∪（，π）【解答】解：直线xsinα+y+2=0的斜率为k=﹣sinα，∵﹣1≤sinα≤1，∴﹣1≤k≤1∴倾斜角的取值范围是[0，]∪[π，π）故选：B．3．已知点A（﹣1，0），B（1，0），C（0，1），直线y=ax+b（a＞0）将△ABC 分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是（ ）A．（0，1）B．C．D．【解答】解：解法一：由题意可得，三角形ABC的面积为=1，由于直线y=ax+b（a＞0）与x轴的交点为M（﹣，0），由直线y=ax+b（a＞0）将△ABC分割为面积相等的两部分，可得b＞0，故﹣≤0，故点M在射线OA上．设直线y=ax+b和BC的交点为N，则由可得点N的坐标为（，）．①若点M和点A重合，则点N为线段BC的中点，故N（，），把A、N两点的坐标代入直线y=ax+b，求得a=b=．②若点M在点O和点A之间，此时b＞，点N在点B和点C之间，由题意可得三角形NMB的面积等于，即=，即=，可得a=＞0，求得b＜，故有＜b＜．③若点M在点A的左侧，则b＜，由点M的横坐标﹣＜﹣1，求得b＞a．设直线y=ax+b和AC的交点为P，则由求得点P的坐标为（，），此时，由题意可得，三角形CPN的面积等于，即•（1﹣b）•|x N﹣x P|=，即（1﹣b）•|﹣|=，化简可得2（1﹣b）2=|a2﹣1|．由于此时b＞a＞0，0＜a＜1，∴2（1﹣b）2=|a2﹣1|=1﹣a2 ．两边开方可得（1﹣b）=＜1，∴1﹣b＜，化简可得b＞1﹣，故有1﹣＜b＜．再把以上得到的三个b的范围取并集，可得b的取值范围应是，故选：B．解法二：当a=0时，直线y=ax+b（a＞0）平行于AB边，由题意根据三角形相似且面积比等于相似比的平方可得=，b=1﹣，趋于最小．由于a＞0，∴b＞1﹣．当a逐渐变大时，b也逐渐变大，当b=时，直线经过点（0，），再根据直线平分△ABC的面积，故a不存在，故b＜．综上可得，1﹣＜b＜，故选：B．4．直线3x+y﹣1=0的倾斜角是（ ）A．B．C．D．【解答】解：设直线3x+y﹣1=0的倾斜角是θ，θ∈[0，π）．直线3x+y﹣1=0化为y=﹣x+，∴tanθ=﹣，∴．故选：C．5．已知点（a，2）（a＞0）到直线l：x﹣y+3=0的距离为1，则a=（ ）A．B．C．D．【解答】解：由点到直线的距离公式得：=，∵a＞0，∴a=．故选：C．6．已知点P在直线x+3y﹣2=0上，点Q在直线x+3y+6=0上，线段PQ的中点为M（x0，y0），且y0＜x0+2，则的取值范围是（ ）A．[﹣，0）B．（﹣，0）C．（﹣，+∞）D．（﹣∞，﹣）∪（0，+∞）【解答】解：∵点P在直线x+3y﹣2=0上，点Q在直线x+3y+6=0上，线段PQ 的中点为M（x0，y0），∴，化为x0+3y0+2=0．又y0＜x0+2，设=k OM，当点位于线段AB（不包括端点）时，则k OM＞0，当点位于射线BM（不包括端点B）时，k OM＜﹣．∴的取值范围是（﹣∞，﹣）∪（0，+∞）．故选：D．7．设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的直线mx﹣y﹣m+3=0交于点P（x，y），则|PA|+|PB|的取值范围是（ ）A．[，2]B．[，2]C．[，4]D．[2，4]【解答】解：由题意可知，动直线x+my=0经过定点A（0，0），动直线mx﹣y﹣m+3=0即m（x﹣1）﹣y+3=0，经过点定点B（1，3），∵动直线x+my=0和动直线mx﹣y﹣m+3=0的斜率之积为﹣1，始终垂直，P又是两条直线的交点，∴PA⊥PB，∴|PA|2+|PB|2=|AB|2=10．设∠ABP=θ，则|PA|=sinθ，|PB|=cosθ，由|PA|≥0且|PB|≥0，可得θ∈[0，]∴|PA|+|PB|=（sinθ+cosθ）=2sin（θ+），∵θ∈[0，]，∴θ+∈[，]，∴sin（θ+）∈[，1]，∴2sin（θ+）∈[，2]，故选：B．8．若直线l1：mx+2y+1=0与直线l2：x+y﹣2=0互相垂直，则实数m的值为（ ）A．2B．﹣2C．D．﹣【解答】解：∵直线l1：mx+2y+1=0与直线l2：x+y﹣2=0互相垂直，∴m×1+2×1=0，解得m=﹣2．故选：B．9．直线（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4=0过定点（ ）A．（1，﹣3）B．（4，3）C．（3，1）D．（2，3）【解答】解：直线方程整理得：2mx+x+my+y﹣7m﹣4=0，即（2x+y﹣7）m+（x+y﹣4）=0，∴，解得：，则直线过定点（3，1），故选：C．10．直线（a2+1）x﹣2ay+1=0的倾斜角的取值范围是（ ）A．[0，]B．[，]C．[，]D．[0，]∪[，π）【解答】解：①当a=0时，斜率不存在，即倾斜角为；②当a＞0时，直线的斜率k=，∴k≥1，即直线的倾斜角的取值范围为[）．③当a＜0时，直线的斜率，∴k≤﹣1，即直线的倾斜角的取值范围为（]．综上，直线的倾斜角的取值范围为，故选：C．11．等腰三角形两腰所在直线的方程分别为x+y﹣2=0与x﹣7y﹣4=0，原点在等腰三角形的底边上，则底边所在直线的斜率为（ ）A．3B．2C．D．【解答】解：l1：x+y﹣2=0，k1=﹣1，，设底边为l3：y=kx由题意，l3到l1所成的角等于l2到l3所成的角于是有，解得k=3或k=﹣，因为原点在等腰三角形的底边上，所以k=3．k=，原点不在等腰三角形的底边上（舍去），故选：A．12．若动点A，B分别在直线l1：x+y﹣7=0和l2：x+y﹣5=0上移动，则AB的中点M到原点的距离的最小值为（ ）A．3B．2C．3D．4【解答】解：∵l1：x+y﹣7=0和l2：x+y﹣5=0是平行直线，∴可判断：过原点且与直线垂直时，中的M到原点的距离的最小值∵直线l1：x+y﹣7=0和l2：x+y﹣5=0，∴两直线的距离为=，∴AB的中点M到原点的距离的最小值为+=3，故选：A．13．已知点（﹣1，2）和（，0）在直线l：ax﹣y+1=0（a≠0）的同侧，则直线l倾斜角的取值范围是（ ）A．（，）B．（0，）∪（，π）C．（，）D．（，）【解答】解：点（﹣1，2），（，0）在直线ax﹣y+1=0的同侧，（﹣a﹣2+1）（a+1）＞0解不等式可得，﹣＜a＜﹣1∴，故选：D．14．直线l过点P（﹣1，2）且与以点M（﹣3，﹣2）、N（4，0）为端点的线段恒相交，则l的斜率取值范围是（ ）A．[﹣，5]B．[﹣，0）∪（0，2]C．（﹣∞，﹣]∪[5，+∞）D．（﹣∞，﹣]∪[2，+∞）【解答】解：如图，∵P（﹣1，2）、M（﹣3，﹣2）、N（4，0），∴，．由图可知，使直线l与线段MN相交的l的斜率取值范围是（﹣∞，﹣]∪[2，+∞）．故选：D．15．已知直线mx+4y﹣2=0与2x﹣5y+n=0互相垂直，垂足为P（1，p），则m﹣n+p的值是（ ）A．24B．20C．0D．﹣4【解答】解：∵直线mx+4y﹣2=0与2x﹣5y+n=0互相垂直，∴×=﹣1，∴m=10，直线mx+4y﹣2=0即5x+2y﹣1=0，垂足（1，p）代入得，5+2p﹣1=0，∴p=﹣2．把P（1，﹣2）代入2x﹣5y+n=0，可得n=﹣12，∴m﹣n+p=20，故选：B．16．过点P（﹣2，2）作直线l，使直线l与两坐标轴在第二象限内围成的三角形面积为8，这样的直线l一共有（ ）A．3条B．2条C．1条D．0条【解答】解：假设存在过点P（﹣2，2）的直线l，使它与两坐标轴围成的三角形的面积为8，设直线l的方程为：，则．即2a﹣2b=ab直线l与两坐标轴在第二象限内围成的三角形面积S=﹣ab=8，即ab=﹣16，联立，解得：a=﹣4，b=4．∴直线l的方程为：，即x﹣y+4=0，即这样的直线有且只有一条，故选：C．17．已知直线l：3x﹣4y+m=0上存在不同的两点M与N，它们都满足与两点A （﹣1，0），B（1，0）连线的斜率k MA与k MB之积为﹣1，则实数m的取值范围是（ ）A．（﹣3，3）B．（﹣4，4）C．（﹣5，5）D．[﹣5，5]【解答】解：由题意可知，点M、N、A、B在以AB为直径的圆上，则该圆的方程为x2+y2=1．∵M、N是不同的两点，∴直线l与圆相交，且直线l与圆相切为临界条件，此时原点到直线l的距离等于圆的半径，即1=，∴m=±5．∴m的取值范围为（﹣5，5）．故选：C．18．点P到点及到直线的距离都相等，如果这样的点恰好只有一个，那么a的值是（ ）A．B．C．D．【解答】解：法一由题意有点P在抛物线y2=2x上，设P（，y），则有（+）2=（﹣a）2+（y﹣2）2，化简得（﹣a）y2﹣4y+a2+=0，当a=时，符合题意；当a≠时，△=0，有a3﹣++=0，（a+）（a2﹣a+）=0，a=﹣．故选D．法二由题意有点P在抛物线y2=2x上，B在直线y=2上，当a=﹣时，B为直线y=2与准线的交点，符合题意；当a=时，B为直线y=2与抛物线通径的交点，也符合题意，故选D．故选：D．19．已知直线l：x﹣my+m=0上存在点M满足与两点A（﹣1，0），B（1，0）连线的斜率k MA与k MB之积为3，则实数m的取值范围是（ ）A．B．∪C．∪D．以上都不对【解答】解：设M（x，y），由k MA•k MB=3，得，即y2=3x2﹣3．联立，得．要使直线l：x﹣my+m=0上存在点M满足与两点A（﹣1，0），B（1，0）连线的斜率k MA与k MB之积为3，则△=，即．解得m∈∪．∴实数m的取值范围是∪．故选：C．20．若两平行直线l1：x﹣2y+m=0（m＞0）与l2：2x+ny﹣6=0之间的距离是，则m+n=（ ）A．0B．1C．﹣2D．﹣1【解答】解：由题意，解得n=﹣4，即直线l2：x﹣2y﹣3=0，所以两直线之间的距离为d=，解得m=2，所以m+n=﹣2，故选：C．二．填空题（共9小题）21．若直线l：+=1（a＞0，b＞0）经过点（1，2），则直线l在x轴和y轴的截距之和的最小值是 3+2 ．【解答】解：∵直线l：（a＞0，b＞0）经过点（1，2）∴=1，∴a+b=（a+b）（）=3+≥3+2，当且仅当b=a时上式等号成立．∴直线在x轴，y轴上的截距之和的最小值为3+2．故答案为：3+2．22．在平面直角坐标系xOy中，设定点A（a，a），P是函数y=（x＞0）图象上一动点，若点P，A之间的最短距离为2，则满足条件的实数a的所有值为 ﹣1或 ．【解答】解：设点P，则|PA|===，令，∵x＞0，∴t≥2，令g（t）=t2﹣2at+2a2﹣2=（t﹣a）2+a2﹣2，①当a≤2时，t=2时g（t）取得最小值g（2）=2﹣4a+2a2=，解得a=﹣1；②当a＞2时，g（t）在区间[2，a）上单调递减，在（a，+∞）单调递增，∴t=a，g（t）取得最小值g（a）=a2﹣2，∴a2﹣2=，解得a=．综上可知：a=﹣1或．故答案为﹣1或．23．已知两点A（﹣m，0），B（m，0）（m＞0），如果在直线3x+4y+25=0上存在点P，使得∠APB=90°，则m的取值范围是 [5，+∞） ．【解答】解：∵P在直线3x+4y+25=0上，设点P（x，），∴=（x+m，），=（x﹣m，）；又∠APB=90°，∴•=（x+m）（x﹣m）+=0，即25x2+150x+625﹣16m2=0；∴△≥0，即1502﹣4×25×（625﹣16m2）≥0，解得m≥5，或m≤﹣5，又m＞0，∴m的取值范围是[5，+∞）．故答案为：[5，+∞）．24．已知直线（1﹣a）x+（a+1）y﹣4（a+1）=0（其中a为实数）过定点P，点Q在函数的图象上，则PQ连线的斜率的取值范围是 [﹣3，+∞） ．【解答】解：已知直线（1﹣a）x+（a+1）y﹣4（a+1）=0即x+y﹣4+a （﹣x+y﹣4）=0，由，解得，故定点P的坐标为（0，4）．设点Q（m，m+），m≠0，则PQ连线的斜率为=1+﹣=﹣3≥﹣3，故PQ连线的斜率的取值范围为[﹣3，+∞），故答案为[﹣3，+∞）．25．直线l：xtan+y+1=0的倾斜角α= ．【解答】解：根据题意，设直线的倾斜角为θ，有0≤θ＜π，直线可化为y=﹣tan•x，由倾斜角与斜率的关系，可得tanθ=﹣tan，又有0≤θ＜π，则θ=，故答案为：．26．已知动点P（x，y）满足|x﹣1|+|y﹣a|=1，O为坐标原点，若的最大值的取值范围为，则实数a的取值范围是 ．【解答】解：考虑|x﹣1|+|y﹣a|=1的图象，如图，x必然是在0到2之间x取到0或2那么y只能取ax在两者之间y可以取两个值x取到1则y可以取a+1或a﹣1，图象是（0，a），（1，a﹣1），（1，a+1），（2，a）为端点的正方形，那么和O最远的应该是最远的两个端点之一，如果a＞0就是（1，a+1）或（2，a）如果a＜0就是（1，a﹣1）或（2，a）这样一来，||平方的最大值就是：当a＞0，（a+1）2+1 或a2+4当a＜0，（a﹣1）2+1 或a2+4比较它们的大小：当a≥1时，（a+1）2+1；﹣1＜a＜1时，a2+4；a≤﹣1时，（a﹣1）2+1．作以上函数图象，再读出y取值范围为[，17]时a取值范围是．故答案为：．27．过点P（3，﹣1）引直线，使点A（2，﹣3），B（4，5）到它的距离相等，则这条直线的方程为 4x﹣y﹣13=0或x=3 ．【解答】解：由题意，所求直线有两条，其中一条是经过点P且与AB平行的直线；另一条是经过P与AB中点C的直线．∵A（2，﹣3），B（4，5），∴AB的斜率k==4，可得经过点P且与AB平行的直线方程为y+1=4（x﹣3），化简得4x﹣y﹣13=0，又∵AB中点为C（3，1）∴经过PC的直线方程为x=3，故答案为：4x﹣y﹣13=0或x=3．28．在平面直角坐标系xOy中，将点A（2，1）绕原点O逆时针旋转到点B，若直线OB的倾斜角为α，则cosα的值为 ．【解答】解：设直线OA的倾斜角为θ，则tanθ=，则tanα====3，∴cosα===．故答案为：．29．在平面直角坐标系xOy中，直线l1：kx﹣y+2=0与直线l2：x+ky﹣2=0相交于点P，则当实数k变化时，点P到直线x﹣y﹣4=0的距离的最大值为 3 ．【解答】解：∵直线l1：kx﹣y+2=0与直线l2：x+ky﹣2=0的斜率乘积=k×=﹣1，（k=0时，两条直线也相互垂直），并且两条直线分别经过定点：M（0，2），N（2，0）．∴两条直线的交点在以MN为直径的圆上．并且k MN=﹣1，可得MN与直线x﹣y﹣4=0垂直．∴点M到直线x﹣y﹣4=0的距离d==3为最大值．故答案为：3．三．解答题（共21小题）30．已知直线l1的方程为3x+4y﹣12=0．（1）若直线l2与l1平行，且过点（﹣1，3），求直线l2的方程；（2）若直线l2与l1垂直，且l2与两坐标轴围成的三角形面积为4，求直线l2的方程．【解答】解：（1）由直线l2与l1平行，可设l2的方程为3x+4y+m=0，以x=﹣1，y=3代入，得﹣3+12+m=0，即得m=﹣9，∴直线l2的方程为3x+4y﹣9=0．（2）由直线l2与l1垂直，可设l2的方程为4x﹣3y+n=0，令y=0，得x=﹣，令x=0，得y=，故三角形面积S=•|﹣|•||=4∴得n2=96，即n=±4∴直线l2的方程是4x﹣3y+4=0或4x﹣3y﹣4=0．31．已知△ABC的顶点A（5，1），AB边上的中线CM所在直线方程为2x﹣y﹣5=0，AC边上的高BH所在直线方程为x﹣2y﹣5=0．求：（1）顶点C的坐标；（2）直线BC的方程．【解答】解：（1）设C（m，n），∵AB边上的中线CM所在直线方程为2x﹣y﹣5=0，AC边上的高BH所在直线方程为x﹣2y﹣5=0．∴，解得．∴C（4，3）．（2）设B（a，b），则，解得．∴B（﹣1，﹣3）．∴k BC==∴直线BC的方程为y﹣3=（x﹣4），化为6x﹣5y﹣9=0．32．已知直线l：kx﹣y+1+2k=0（k∈R）．（1）证明：直线l过定点；（2）若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；（3）若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程．【解答】解：（1）直线l的方程可化为y=k（x+2）+1，故无论k取何值，直线l总过定点（﹣2，1）．（2）直线l的方程可化为y=kx+2k+1，则直线l在y轴上的截距为2k+1，要使直线l不经过第四象限，则，解得k的取值范围是k≥0．（3）依题意，直线l在x轴上的截距为﹣，在y轴上的截距为1+2k，∴A（﹣，0），B（0，1+2k），又﹣＜0且1+2k＞0，∴k＞0，故S=|OA||OB|=×（1+2k）=（4k++4）≥（4+4）=4，当且仅当4k=，即k=时，取等号，故S的最小值为4，此时直线l的方程为x﹣2y+4=0．33．设直线l的方程为（a+1）x+y+2﹣a=0（a∈R）．（1）若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；（2）若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）令x=0，得y=a﹣2．令y=0，得（a≠﹣1）．∵l在两坐标轴上的截距相等，∴，解之，得a=2或a=0．∴所求的直线l方程为3x+y=0或x+y+2=0．（2）直线l的方程可化为y=﹣（a+1）x+a﹣2．∵l不过第二象限，∴，∴a≤﹣1．∴a的取值范围为（﹣∞，﹣1]．34．已知直线l：y=（1﹣m）x+m（m∈R）．（Ⅰ）若直线l的倾斜角，求实数m的取值范围；（Ⅱ）若直线l分别与x轴，y轴的正半轴交于A，B两点，O是坐标原点，求△AOB面积的最小值及此时直线l的方程．【解答】解：（Ⅰ）由已知直线l斜率k=1﹣m，∵倾斜角，由k=tanα可得1≤k≤，∴1≤1﹣m≤，解得1﹣≤m≤0；（Ⅱ）在直线l：y=（1﹣m）x+m中，令x=0可得y=m，∴点B（0，m）；令y=0可得x=，∴点A（，0），由题设可知m＞1，∴△AOB面积S=|OA||OB|=•m•==[（m﹣1）++2]≥[2+2]=2，当且仅当（m﹣1）=即m=2时S取得最小值2，此时直线l的方程为：x+y﹣2=035．在直角坐标系中，已知射线OA：x﹣y=0（x≥0），OB：2x+y=0（x≥0）．过点P（1，0）作直线分别交射线OA，OB于点A，B．（1）当AB的中点在直线x﹣2y=0上时，求直线AB的方程；（2）当△AOB的面积取最小值时，求直线AB的方程．（3）当PA•PB取最小值时，求直线AB的方程．【解答】解：（1）设A（a，a），B（b，﹣2b），则线段AB的中点为C．∴﹣2×=0，=，分别化为：a=5b，a+2b﹣3ab=0．解得：，∴直线AB的方程为：y﹣0=（x﹣1），化为：7x﹣4y﹣7=0．（2）设A（a，a），B（b，﹣2b），（a，b＞0）．a=b=1时，A（1，1），B（1，﹣2），S△OAB=×|OP|×|AB|==．a，b≠1时，S△OAB=×|OP|×（a+2b）=（a+2b），又，化为a+2b=3ab，∴a+2b=3ab=≤，解得：a+2b≥．∴S△OAB≥×=，当且仅当a=2b=时取等号．综上可得：当△AOB的面积取最小值时，直线AB的方程为：y=（x﹣1），化为：4x﹣y﹣4=0．（3）设直线AB的方程为：my=x﹣1.．联立，解得A，可得|PA|==．联立，解得B，可得|PB|==．∴|PA|•|PB|====f（m），m=﹣3时，f（﹣3）=1；令m+3=k≠0，f（m）=g（k）==，k＜0时，g（k）=≥=．k＞0时，g（k）=≥=，而＜，∴g（k）的最小值为：．当且仅当k=﹣时取等号．∴m=﹣﹣3．∴直线AB的方程为：（﹣﹣3）y=x﹣1．36．在△ABC中，已知BC边上的高所在直线的方程为x﹣2y+1=0，∠A的平分线所在直线的方程为y=0．若点B的坐标为（1，2），求点C的坐标．【解答】解：点A为y=0与x﹣2y+1=0两直线的交点，∴点A的坐标为（﹣1，0）．∴k AB==1．又∵∠A的平分线所在直线的方程是y=0，∴k AC=﹣1．∴直线AC的方程是y=﹣x﹣1．而BC与x﹣2y+1=0垂直，∴k BC=﹣2．∴直线BC的方程是y﹣2=﹣2（x﹣1）．由y=﹣x﹣1，y=﹣2x+4，解得C（5，﹣6）．故点C的坐标（5，﹣6）．37．已知x，y满足直线l：x+2y=6．（1）求原点O关于直线l的对称点P的坐标；（2）当x∈[1，3]时，求的取值范围．【解答】解：（1）设原点O关于直线l的对称点P的坐标为（a，b），则满足，解得a=，b=，故；（2）当x∈[1，3]时，的几何意义为到点C（2，1）的斜率的取值范围．当x=1时，y=，当x=3时，y=，由可得A（1，），B（3，），从而k BC==，k AC==﹣，∴k的范围为（﹣∞，﹣]∪[，+∞）38．已知过原点O的一条直线与函数y=log8x的图象交于A、B两点，分别过点A、B作y轴的平行线与函数的y=log2x的图象交于C、D两点．（1）证明点C、D和原点O在同一条直线上；（2）当BC平行于x轴时，求点A的坐标．【解答】解：（Ⅰ）设点A、B的横坐标分别为x1、x2由题设知，x1＞1，x2＞1．则点A、B纵坐标分别为log8x1、log8x2．因为A、B在过点O的直线上，所以，点C、D坐标分别为（x1，log2x1），（x2，log2x2）．由于log2x1==3log8x1，log2x2==3log8x2OC的斜率，OD的斜率．由此可知，k1=k2，即O、C、D在同一条直线上．（Ⅱ）由于BC平行于x轴知log2x1=log8x2，即得log2x1=log2x2，∴x2=x13．代入x2log8x1=x1log8x2得x13log8x1=3x1log8x1．由于x1＞1知log8x1≠0，∴x13=3x1．考虑x1＞1解得x1=．于是点A的坐标为（，log8）．39．已知直线l：3x﹣y+3=0，求：（1）点P（4，5）关于l的对称点；（2）直线x﹣y﹣2=0关于直线l对称的直线方程．【解答】解：（1）设P（x，y）关于直线l：3x﹣y+3=0的对称点为P′（x′，y′）．∵k PP′•k1=﹣1，即×3=﹣1．①又PP′的中点在直线3x﹣y+3=0上，∴3×﹣+3=0．②由①②得把x=4，y=5代入③及④得x′=﹣2，y′=7，∴P（4，5）关于直线l的对称点P′的坐标为（﹣2，7）．（2）用③④分别代换x﹣y﹣2=0中的x，y，得关于l的对称直线方程为﹣﹣2=0，化简得7x+y+22=0．40．已知过点A（1，1）且斜率为﹣m（m＞0）的直线l与x轴、y轴分别交于P、Q，过P、Q作直线2x+y=0的垂线，垂足为R、S，求四边形PRSQ面积的最小值．【解答】解：设l的方程为y﹣1=﹣m（x﹣1），则P（1+，0），Q（0，1+m）．从而可得直线PR和QS的方程分别为x﹣2y﹣=0和x﹣2y+2（m+1）=0．又PR∥QS，∴|RS|==．又|PR|=，|QS|=，四边形PRSQ为梯形，S四边形PRSQ =[+]•=（m++）2﹣≥（2+）2﹣=3.6．∴四边形PRSQ的面积的最小值为3.6．41．已知直线l=1．（1）若直线的斜率小于2，求实数m的取值范围；（2）若直线分别与x轴、y轴的正半轴交于A、B两点，O是坐标原点，求△AOB面积的最小值及此时直线的方程．【解答】解：（1）直线l过点（m，0），（0，4﹣m），则2，解得m＞0或m＜﹣4且m≠4．∴实数m的取值范围是m＞0或m＜﹣4且m≠4；（2）由m＞0，4﹣m＞0得0＜m＜4，则，则m=2时，S有最大值，直线l的方程为x+y﹣2=0．42．有三个新兴城镇，分别位于A，B，C三点处，且AB=AC=13km，BC=10km．今计划合建一个中心医院，为同时方便三镇，准备建在BC的垂直平分线上的P点处，（建立坐标系如图）（Ⅰ）若希望点P到三镇距离的平方和为最小，点P应位于何处？（Ⅱ）若希望点P到三镇的最远距离为最小，点P应位于何处？【解答】解：（Ⅰ）设P的坐标为（0，y），则P至三镇距离的平方和为f（y）=2（25+y2）+（12﹣y）2=3（y﹣4）2+146．所以，当y=4时，函数f（y）取得最小值．答：点P的坐标是（0，4）．（Ⅱ）解法一：P至三镇的最远距离为g（y）=由解得，记，因为在[y*，+∞）上是增函数，而|12﹣y|在（﹣∞，y*]上是减函数．所以y=y*时，函数g（y）取得最小值．答：点P的坐标是；解法二：P至三镇的最远距离为g（y）=由解得，记，函数x=g（y）的图象如图（a），因此，当y=y*时，函数g（y）取得最小值．答：点P的坐标是；解法三：因为在△ABC中，AB=AC=13，且，．所以△ABC的外心M在线段AO上，其坐标为，且AM=BM=CM．当P在射线MA上，记P为P1；当P在射线MA的反向延长线上，记P为P2，这时P到A、B、C三点的最远距离为P1C和P2A，且P1C≥MC，P2A≥MA，所以点P与外心M重合时，P到三镇的最远距离最小．答：点P的坐标是；43．已知直线l过点M（1，1），且与x轴，y轴的正半轴分别相交于A，B两点，O为坐标原点．求：（1）当|OA|十|OB|取得最小值时，直线l的方程；（2）当|MA|2+|MB|2取得最小值时，直线l的方程．【解答】解：（1）设点A（a，0），B（0，b），且a＞0，b＞0，直线l的方程为：+=1，且直线l过点M（1，1），∴+=1①；∴a+b=（a+b）•（+）=2++≥2+2=4，当且仅当=，即a=b时取“=”，将a=b代入①式得a=2，b=2；∴直线l的方程为x+y﹣2=0，即|OA|+|OB|取最小值4时，l的方程为x+y﹣2=0；（2）设直线方程为y﹣1=k（x﹣1）（k＜0），则A（﹣+1，0），B（0，1﹣k），∴|MA|2+|MB|2=[（﹣）2+1]+[1+（﹣k）2]=2+k2+≥2+2•k2•=4，当且仅当k=﹣1时取“=”；∴当|MA|2+|MB|2取得最小值4时，直线l的方程为y﹣1=﹣（x﹣1），即x+y﹣2=0．44．光线从点A（2，3）射出，若镜面的位置在直线l：x+y+1=0上，反射光线经过B（1，1），求入射光线和反射光线所在直线的方程，并求光线从A到B 所走过的路线长．【解答】解：设点A关于l的对称点为A′（x0，y0），∵AA′被l垂直平分，∴，解得∵点A′（﹣4，﹣3），B（1，1）在反射光线所在直线上，∴反射光线的方程为=，即4x﹣5y+1=0，解方程组得入射点的坐标为（﹣，﹣）．由入射点及点A的坐标得入射光线方程为，即5x﹣4y+2=0，光线从A到B所走过的路线长为|A′B|==．45．过点P（3，0）有一条直线l，它夹在两条直线l1：2x﹣y﹣2=0与l2：x+y+3=0之间的线段恰被点P平分，求直线l的方程．【解答】解：如图，设直线l夹在直线l1，l2之间的部分是AB，且AB被P （3，0）平分．设点A，B的坐标分别是（x1，y1），（x2，y2），则有，（4分）又A，B两点分别在直线l1，l2上，所以．（8分）由上述四个式子得，即A点坐标是，B（，﹣）（11分）所以由两点式的AB即l的方程为8x﹣y﹣24=0．（12分）46．已知△ABC的两个顶点A（﹣10，2），B（6，4），垂心是H（5，2），求顶点C的坐标．【解答】解：∴∴直线AC的方程为即x+2y+6=0（1）又∵k AH=0∴BC所直线与x轴垂直故直线BC的方程为x=6（2）解（1）（2）得点C的坐标为C（6，﹣6）47．如图，平行四边形ABCD（A，B，C，D按逆时针顺序排列），AB，AD 边所在直线的方程分别是x+4y﹣7=0，3x+2y﹣11=0，且对角线AC和BD的交点为M（2，0）（1）求点A的坐标（2）求CD边所在直线的方程．【解答】解：（1）由题意联立直线方程，解方程组可得，∴A（3，1）（2）解法一：A关于M的对称点为C，∴C（1，﹣1），又，∴CD边所在的直线方程为化为一般式可得：x+4y+3=0解法二：A关于M的对称点为C，∴C（1，﹣1），设CD边所在的直线方程为：x+4y+m=0，∴1+4×（﹣1）+m=0，解得m=3，∴CD边所在的直线方程为x+4y+3=0解法三：设P（x，y）为CD边所在的直线上的任一点，P关于点M的对称点为P′（x0，y0），。