高中数学必修直线与方程知识点总结与练习

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高三文科数学直线与方程知识点复习

直线与方程一、倾斜角当直线与X轴相交时,取X轴为基准,叫做直线得倾斜角。

当直线与X轴平行或重合时,规定直线得倾斜角为,因此,直线得倾斜角得取值范围就是。

二、斜率(1)定义:一条直线得倾斜角得叫做这条直线得斜率;当直线得倾斜角时,该直线得斜率;当直线得倾斜角等于时,直线得斜率。

(2)过两点得直线得斜率公式:过两点得直线得斜率公式。

若,则直线得斜率,此时直线得倾斜角为。

练习:1、已知下列直线得倾斜角,求直线得斜率(1)(2)(3)(4)2、求经过下列两点直线得斜率,并判断其倾斜角就是锐角还就是钝角(1) (2)(3) (4)3,判断正误（1）直线得倾斜角为任意实数。

( )（2）任何直线都有斜率。

( )（3）过点得直线得倾斜角就是。

( )（4）若三点共线,则得值就是-2、( )三、注:必记得特殊三角函数值表四、直线得常用方程1、直线得点斜式: 适用条件就是:斜率存在得直线。

2、斜截式:3、截距式: ,为x轴与y轴上得截距。

4、两点式: ()5、直线得一般式方程:练习:1、写出下列直线得点斜式方程（1）经过点A(3,-1),斜率为（2）经过点倾斜角就是（3）经过点C(0,3),倾斜角就是（4）经过点D(-4,-2),倾斜角就是2、写出下列直线得斜截式方程（1）斜率就是在轴上得截距就是-2（2）斜率就是-2,在y轴上得截距就是43、填空题（1）已知直线得点斜式方程就是则直线得斜率就是_________,经过定点________,倾斜角就是______________;（2）已知直线得点斜式方程就是则直线得斜率就是_________,经过定点________,倾斜角就是______________;4、判断(1)经过顶点得直线都可以用方程表示。

( )(2)经过顶点得直线都可以用方程表示。

( )(3)不经过原点得直线都可以用表示。

( )(4)经过任意两个不同得点得直线都可以用方程表示。

( )直线得一般式方程为:,当B不等于0时直线得斜率为_________一般求完直线方程后化成一般式。

高中数学必修知识点总结：第三章直线与方程

高中数学必修知识点总结：第三章直线与方程1. 直线的一般方程直线的一般方程可以表示为：Ax + By + C = 0。

其中A、B、C是常数，A和B 不同时为0。

这个方程可以通过直线上任意两点的坐标来确定。

2. 直线的斜截式方程直线的斜截式方程可以表示为：y = kx + b。

其中k是直线的斜率，b是y轴截距。

通过斜截式方程，我们可以方便地确定直线的斜率和截距。

3. 直线的点斜式方程直线的点斜式方程可以表示为：y - y1 = k(x - x1)。

其中(x1, y1)是直线上的一个已知点，k是直线的斜率。

根据点斜式方程，我们可以通过已知点和斜率来确定直线的方程。

4. 直线的两点式方程直线的两点式方程可以表示为：(y - y1)/(x - x1) = (y2 - y1)/(x2 - x1)。

其中(x1, y1)和(x2, y2)是直线上的两个已知点。

通过两点式方程，我们可以直接利用已知点的坐标来确定直线的方程。

5. 直线的斜率公式和截距公式直线的斜率可以通过斜率公式来计算：k = (y2 - y1)/(x2 - x1)。

直线的截距可以通过截距公式来计算：b = y1 - kx1。

通过斜率公式和截距公式，我们可以方便地计算直线的斜率和截距。

6. 直线的平行和垂直关系如果直线1的斜率等于直线2的斜率，则直线1和直线2平行。

如果直线1的斜率与直线2的斜率的乘积为-1，则直线1和直线2垂直。

7. 直线与坐标轴的交点直线与x轴的交点可以通过将y设为0得到，直线与y轴的交点可以通过将x 设为0得到。

8. 直线的倾斜角直线的倾斜角可以通过斜率来计算：θ = arctan(k)，其中k是直线的斜率。

9. 直线的距离公式直线Ax + By + C = 0到点(x0, y0)的距离可以通过公式计算：d = |Ax0 + By0 +C|/√(A²+B²)。

10. 直线与线段的位置关系直线与线段的位置关系可以分为以下三种情况：•直线与线段相交•直线与线段不相交•直线与线段重合通过计算直线与线段的交点，可以确定它们的位置关系。

【精品】高中数学必修2_直线的一般式方程及综合讲义知识点讲解+巩固练习(含答案) _基础

高一数学直线方程知识点归纳及典型例题

直线的一般式方程及综合【学习目标】1．掌握直线的一般式方程；2．能将直线的点斜式、两点式等方程化为直线的一般式方程，并理解这些直线的不同形式的方程在表示直线时的异同之处；3．能利用直线的一般式方程解决有关问题.【要点梳理】要点一：直线方程的一般式关于x和y的一次方程都表示一条直线．我们把方程写为Ax+By+C=0，这个方程(其中A、B不全为零)叫做直线方程的一般式．要点诠释：1．A、B不全为零才能表示一条直线，若A、B全为零则不能表示一条直线.当B≠0时，方程可变形为A Cy xB B=--，它表示过点0,CB⎛⎫-⎪⎝⎭，斜率为AB-的直线．当B=0，A≠0时，方程可变形为Ax+C=0，即CxA=-，它表示一条与x轴垂直的直线．由上可知，关于x、y的二元一次方程，它都表示一条直线．2．在平面直角坐标系中，一个关于x、y的二元一次方程对应着唯一的一条直线，反过来，一条直线可以对应着无数个关于x、y的一次方程（如斜率为2，在y轴上的截距为1的直线，其方程可以是2x―y+1=0，也可以是1122x y-+=，还可以是4x―2y+2=0等．）要点二：直线方程的不同形式间的关系直线方程的五种形式的比较如下表：要点诠释：在直线方程的各种形式中，点斜式与斜截式是两种常用的直线方程形式，要注意在这两种形式中都要求直线存在斜率，两点式是点斜式的特例，其限制条件更多（x1≠x2，y1≠y2），应用时若采用(y2―y1)(x―x1)―(x2―x1)(y―y1)=0的形式，即可消除局限性．截距式是两点式的特例，在使用截距式时，首先要判断是否满足“直线在两坐标轴上的截距存在且不为零”这一条件．直线方程的一般式包含了平面上的所有直线形式．一般式常化为斜截式与截距式．若一般式化为点斜式，两点式，由于取点不同，得到的方程也不同．要点三：直线方程的综合应用1．已知所求曲线是直线时，用待定系数法求．2．根据题目所给条件，选择适当的直线方程的形式，求出直线方程．对于两直线的平行与垂直，直线方程的形式不同，考虑的方向也不同．（1）从斜截式考虑已知直线111:b x k y l +=,222:b x k y l +=,12121212//()l l k k b b αα⇒=⇒=≠；12121211221tan cot 12l l k k k k παααα⊥⇒-=⇒=-⇒=-⇒=- 于是与直线y kx b =+平行的直线可以设为1y kx b =+；垂直的直线可以设为21y x b k=-+．（2）从一般式考虑：11112222:0,:0l A x B y C l A x B y C ++=++= 1212120l l A A B B ⊥⇔+=121221//0l l A B A B ⇔-=且12210A C A C -≠或12210B C B C -≠，记忆式（111222A B C A B C =≠） 1l 与2l 重合，12210A B A B -=，12210A C A C -=，12210B C B C -=于是与直线0Ax By C ++=平行的直线可以设为0Ax By D ++=；垂直的直线可以设为0Bx Ay D -+=.【典型例题】类型一：直线的一般式方程例1．根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程．（1）斜率是12-，经过点A （8，―2）；（2）经过点B （4，2），平行于x 轴；（3）在x 轴和y 轴上的截距分别是32，―3；（4）经过两点P 1（3，―2），P 2（5，―4）．【答案】（1）x+2y―4=0（2）y―2=0（3）2x―y―3=0（4）10x y +-= 【解析】（1）由点斜式方程得1(2)(8)2y x --=--，化成一般式得x+2y―4=0．（2）由斜截式得y=2，化为一般式得y―2=0．（3）由截距式得1332x y +=-，化成一般式得2x―y―3=0．（4）由两点式得234(2)53y x +-=----，化成一般式方程为10x y +-=．【总结升华】本题主要是让学生体会直线方程的各种形式，以及各种形式向一般式的转化，对于直线方程的一般式，一般作如下约定：x 的系数为正，x ，y 的系数及常数项一般不出现分数，一般按含x 项、y 项、常数项顺序排列．求直线方程的题目，无特别要求时，结果写成直线方程的一般式．举一反三：【变式1】已知直线l 经过点(3,1)B -，且倾斜角是30︒，求直线的点斜式方程和一般式方程.【答案】1(3)3y x +=- 330y --=【解析】因为直线倾斜角是30︒，所以直线的斜率tan tan 303k α==︒=，所以直线的点斜式方程为：1(3)3y x +=-330y --=.例2．ABC ∆的一个顶点为(1,4)A --，B ∠、C ∠ 的平分线在直线10y +=和10x y ++=上，求直线BC 的方程. 【答案】230x y +-=【解析】由角平分线的性质知，角平分线上的任意一点到角两边的距离相等，所以可得A 点关于B ∠的平分线的对称点'A 在BC 上，B 点关于C ∠的平分线的对称点'B 也在BC 上．写出直线''A B 的方程，即为直线BC 的方程.例3．求与直线3x+4y+1=0平行且过点（1，2）的直线l 的方程．【答案】3x+4y―11=0 【解析】解法一：设直线l 的斜率为k ，∵l 与直线3x+4y+1=0平行，∴34k =-．又∵l 经过点（1，2），可得所求直线方程为32(1)4y x -=--，即3x+4y―11=0．解法二：设与直线3x+4y+1=0平行的直线l 的方程为3x+4y+m=0， ∵l 经过点（1，2），∴3×1+4×2+m=0，解得m=―11． ∴所求直线方程为3x+4y―11=0．【总结升华】（1）一般地，直线Ax+By+C=0中系数A 、B 确定直线的斜率，因此，与直线Ax+By+C=0平行的直线可设为Ax+By+m=0，这是常采用的解题技巧．我们称Ax+By+m=0是与直线Ax+By+C=0平行的直线系方程．参数m 可以取m≠C 的任意实数，这样就得到无数条与直线Ax+By+C=0平行的直线．当m=C 时，Ax+By+m=0与Ax+By+C=0重合．（2）一般地，经过点A （x 0，y 0），且与直线Ax+By+C=0平行的直线方程为A(x―x 0)+B(y―y 0)=0．（3）类似地有：与直线Ax+By+C=0垂直的直线系方程为Bx―Ay+m=0（A ，B 不同时为零）．举一反三：【变式1】已知直线1l ：3mx+8y+3m-10=0 和 2l ：x+6my-4=0 .问 m 为何值时: （1）1l 与2l 平行（2）1l 与2l 垂直. 【答案】（1）23m =-（2）0m = 【解析】当0m =时，1l ：8y-10=0；2l ：x-4=0，12l l ⊥当0m ≠时，1l ：310388m m y x -=-+；2l ：1466y x m m =-+由3186m m-=-，得23m =±，由103486m m -=得2833m =或而31()()186m m-⋅-=-无解综上所述（1）23m =-，1l 与2l 平行．（2）0m =，1l 与2l 垂直．【变式2】求经过点A （2，1），且与直线2x+y―10=0垂直的直线l 的方程．【答案】x －2y=0【解析】因为直线l 与直线2x+y―10=0垂直，可设直线l 的方程为20x y m -+=，把点A （2，1）代入直线l 的方程得：0m =，所以直线l 的方程为：x －2y=0．类型二：直线与坐标轴形成三角形问题例4．已知直线l 的倾斜角的正弦值为35，且它与坐标轴围成的三角形的面积为6，求直线l 的方程．【思路点拨】知道直线的倾斜角就能求出斜率，进而引进参数——直线在y 轴上的截距b ，再根据直线与坐标轴围成的三角形的面积为6，便可求出b ．也可以根据直线与坐标轴围成的三角形的面积为6，设截距式直线方程，从而得出1||62ab =，再根据它的斜率已知，从而得到关于a ，b 的方程组，解之即可．【答案】334y x =±或334y x =-±【解析】解法一：设l 的倾斜角为α，由3sin 5α=，得3tan 4α=±．设l 的方程为34y x b =±+，令y=0，得43x b =±．∴直线l 与x 轴、y 轴的交点分别为4,03b ⎛⎫±⎪⎝⎭，（0，b ）． ∴2142||6233S b b b ∆=±⋅==，即b 2=9，∴b=±3．故所求的直线方程分别为334y x =±或334y x =-±．解法二：设直线l 的方程为1x y a b +=，倾斜角为α，由3sin 5α=，得3tan 4α=±．∴1||||6234a b b a⎧⋅=⎪⎪⎨⎪-=±⎪⎩，解得43a b =±⎧⎨=±⎩．故所求的直线方程为143x y +=±或143x y-=±．【总结升华】（1）本例中，由于已知直线的倾斜角（与斜率有关）及直线与坐标轴围成的三角形的面积（与截距有关），因而可选择斜截式直线方程，也可选用截距式直线方程，故有“题目决定解法”之说．（2）在求直线方程时，要恰当地选择方程的形式，每种形式都具有特定的结论，所以根据已知条件恰当地选择方程的类型往往有助于问题的解决．例如：已知一点的坐标，求过这点的直线方程，通常选用点斜式，再由其他条件确定该直线在y 轴上的截距；已知截距或两点，选择截距式或两点式．在求直线方程的过程中，确定的类型后，一般采用待定系数法求解，但要注意对特殊情况的讨论，以免遗漏．举一反三：【变式1】（2015春启东市期中）已知直线m ：2x ―y ―3=0，n ：x +y ―3=0．（1）求过两直线m ，n 交点且与直线l ：x +2y ―1=0平行的直线方程；（2）求过两直线m ，n 交点且与两坐标轴围成面积为4的直线方程．【思路点拨】（1）求过两直线m ，n 交点坐标，结合直线平行的斜率关系即可求与直线l ：x +2y ―1=0平行的直线方程；（2）设出直线方程，求出直线和坐标轴的交点坐标，结合三角形的面积公式进行求解即可．【答案】（1）x +2y ―4=0；（2）【解析】（1）由23030x y x y --=⎧⎨+-=⎩，解得21x y =⎧⎨=⎩，即两直线m ，n 交点坐标为（2，1），设与直线l ：x +2y ―1=0平行的直线方程为x +2y +c =0，则2+2×1+c =0，解得c =―4，则对应的直线方程为x +2y ―4=0；（2）设过（2，1）的直线斜率为k ，（k ≠0），则对应的直线方程为y ―1=k (x ―2)，令x =0，y =1―2k ，即与y 轴的交点坐标为A （0，1―2k ）令y =0，则1212k x k k -=-=，即与x 轴的交点坐标为21(,0)k B k -，则△AOB 的面积121|||12|42k S k k-=⨯-=，即2(21)8k k -=，即244810k k k --+=，若k ＞0，则方程等价为241210k k -+=，解得32k +=32k -=，若k ＜0，则方程等价为24410k k ++=，解得12k =-．综上直线的方程为11(2)2y x -=-- ，或31(2)2y x +-=-，或31(2)2y x --=-即122y x =-+，或2y x =--2y x =-+ 类型三：直线方程的实际应用例6．（2015春湖北期末）光线从点A （2，3）射出，若镜面的位置在直线l ：x +y +1=0上，反射光线经过B （1，1），求入射光线和反射光线所在直线的方程，并求光线从A 到B 所走过的路线长．【思路点拨】求出点A 关于l 的对称点，就可以求出反射光线的方程，进一步求得入射点的坐标，从而可求入射光线方程，可求光线从A 到B 所走过的路线长．【解析】设点A 关于l 的对称点A ＇（x 0，y 0），∵AA ＇被l 垂直平分，∴0000231022312x y y x ++⎧++=⎪⎪⎨-⎪=-⎪⎩，解得0043x y =-⎧⎨=-⎩∵点A ＇（―4，―3），B （1，1）在反射光线所在直线上， ∴反射光线的方程为341314y x ++=++，即4x ―5y +1=0，解方程组451010x y x y -+=⎧⎨++=⎩得入射点的坐标为21(,)33--．由入射点及点A 的坐标得入射光线方程为1233123233y x ++=++，即5x ―4y +2=0，光线从A 到B所走过的路线长为|'|A B ==．【总结升华】本题重点考查点关于直线的对称问题，考查入射光线和反射光线，解题的关键是利用对称点的连结被对称轴垂直平分．举一反三：【变式1】（2016春福建厦门期中）一条光线从点A （－4，－2）射出，到直线y =x 上的B 点后被直线y =x 反射到y 轴上的C 点，又被y 轴反射，这时反射光线恰好过点D （－1，6）．求BC 所在直线的方程．【答案】10x －3y +8=0【解析】如图，A （－4，－2），D （－1，6），由对称性求得A （－4，－2）关于直线y =x 的对称点A ＇（－2，－4）， D 关于y 轴的对称点D ＇（1，6），则由入射光线和反射光线的性质可得：过A ＇D ＇的直线方程即为BC 所在直线的方程．由直线方程的两点式得：426412y x ++=++．整理得：10x －3y +8=0．例7．如图，某房地产公司要在荒地ABCDE 上划出一块长方形土地（不改变方向）建造一幢8层的公寓，如何设计才能使公寓占地面积最大？并求出最大面积．（精确到1 m 2）【答案】6017【解析】建立坐标系，则B （30，0），A （0，20）．∴由直线的截距方程得到线段AB 的方程为13020x y+=（0≤x≤30）．设点P 的坐标为（x ，y ），则有2203y x =-． ∴公寓的占地面积为2(100)(80)(100)(8020)3S x y x x =-⋅-=-⋅-+2220600033x x =-++（0≤x≤30）． ∴当x=5，503y =时，S 取最大值，最大值为222205560006017(m )33S =-⨯+⨯+≈．即当点P 的坐标为50(5,)3时，公寓占地面积最大，最大面积为6017 m 2．【总结升华】本题是用坐标法解决生活问题，点P 的位置由两个条件确定，一是A 、P 、B 三点共线，二是矩形的面积最大．借三点共线寻求x 与y 的关系，利用二次函数知识探求最大值是处理这类问题常用的方法．。

高中数学直线与方程知识点归纳与常考题型专题练习(附解析)

高中数学直线与方程知识点归纳与常考题型专题练习(附解析)　知识点：一、直线与方程（1）直线的倾斜角定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。

特别地，当直线与x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。

因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°（2）直线的斜率①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。

直线的斜率常用k 表示。

即。

斜率反映直线与轴的倾斜程度。

tan k α=当时，；当时，；当时，不存[) 90,0∈α0≥k () 180,90∈α0<k 90=αk 在。

②过两点的直线的斜率公式： )(211212x x x x y y k ≠--=注意下面四点：(1)当时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°；21x x =(2)k 与P 1、P 2的顺序无关；(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。

（3）直线方程①点斜式：直线斜率k ，且过点)(11x x k y y -=-()11,y x 注意：当直线的斜率为0°时，k=0，直线的方程是y =y 1。

当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因l 上每一点的横坐标都等于x 1，所以它的方程是x =x 1。

②斜截式：，直线斜率为k ，直线在y 轴上的截距为bb kx y +=③两点式：（）直线两点，112121y y x x y y x x --=--1212,x x y y ≠≠()11,y x ()22,y x ④截矩式：1x y a b+=其中直线与轴交于点,与轴交于点,即与轴、轴的截距分别为。

l x (,0)a y (0,)b l x y ,a b ⑤一般式：（A ，B 不全为0）0=++C By Ax 注意：各式的适用范围特殊的方程如：○1○2平行于x 轴的直线：（b 为常数）；平行于y 轴的直线：（a 为常数）；b y =a x =（5）直线系方程：即具有某一共同性质的直线（一）平行直线系平行于已知直线（是不全为0的常数）的直线系：0000=++C y B x A 00,B A （C 为常数）000=++C y B x A （二）过定点的直线系（ⅰ）斜率为k 的直线系：，直线过定点；()00x x k y y -=-()00,y x （ⅱ）过两条直线，的交点的直线系方程0:1111=++C y B x A l 0:2222=++C y B x A l 为（为参数），其中直线不在直线系中。

高二数学直线的方程知识点及习题

直线的方程知识点及习题知识点一直线的点斜式方程1．方程()00y y k x x -=-由直线上一定点及其斜率确定，我们把这个方程叫做直线的点斜式方程，简称点斜式．适用于斜率存在的直线．2．如果直线过点()000,P x y ，且与y 轴垂直，这时倾斜角为0︒，tan 00︒=，即0k =，由点斜式，得直线方程为0y y =，如图3．2-1．3．如果直线过点()000,P x y ，且与x 轴垂直，此时它的倾斜角为90︒（直线与y 轴平行或重合），斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示，这时直线方程表示为0x x =，如图3．2-2．知识点二直线的点斜式方程（1）我们把直线l 与y 轴交点()0,b 的纵坐标b 叫做直线l 在y 轴上的截距．若直线l 的斜率为k ，且在y 轴上的截距为b ，则直线l 的方程为()0y b k x -=-，即y kx b =+，这个方程叫做直线的斜截式方程，简称斜截式．（2）斜截式与一次函数的解析式相同，都是y kx b =+的形式，但有区别，当0k ≠时，y kx b =+即为一次函数；当0k =时，y b =不是一次函数，一次函数y kx b =+()0k ≠必是一条直线的斜截式方程．例1.已知直线y kx b =+，当34x -≤≤时，813y -≤≤.求此直线方程.（3）截距①直线的斜截式方程是由点斜式推导而来的．直线与y 轴的交点()0,b 的纵坐标b 称为此直线的纵截距．值得强调的是，截距可能是正数，也可能是负数，还可能是0，不能将其理解为“距离”而恒为非负数．②直线与x 轴的交点(),0a 的横坐标a 称为此直线的横截距．并不是每条直线都有横截距和纵截距，如直线1x =没有纵截距，直线2y =没有横截距．练习（1）直线123y x =-+的斜率是_________，在y 轴上的截距是________，在x 轴上的截距是_________；（2）倾斜角为60︒，在y 轴上的截距为3的直线方程是_________．例2 已知直线1l 的方程为23y x =-+，2l 的方程为42y x =-，直线l 与1l 平行且与2l 在y 轴上的截距相同，求直线l 的斜截式方程．练习,.已知直线l 过点(1,2)和(,)a b ，求其方程.本题常见的错误是没有对a 进行分类讨论，而是直接利用斜率公式求斜率，然后套用点斜式写直线方程.在利用点斜式或斜截式求直线方程时，要注意直线方程的点斜式00()y y k x x -=-和斜截式y kx b =+都是斜率k 存在的前提下才能使用的，要认真分析，避免遗漏.1. 直线的两点式方程的定义212y y y y --=121x x x x --就是经过两点111222(,),(,)p x y p x y (其中1212,x x y y ≠≠)的直线方程，我们把它叫做直线的两点式方程，简称两点式.2.若点12,p p 的坐标分别为1122(,),(,)x y x y ，是线段12p p 的中点M 的坐标为(,),x y 则有中点坐标公式：121222x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩.例3：已知三角形的三个顶点分别为(6,7),(2,3),(2,1)A B C --,求AC 边上的中线所在的直线方程.3 直线的截距式方程直线与x 轴的交点(,0)a 的横坐标a 叫做直线在x 轴上的截距，若此时直线在y 轴上的截距为b ，则直线的方程为1(0),x yab a b+=≠此方程由直线在两个坐标轴上的截距a 与b 确定，所以叫做直线的截距式方程. 求截距的方法在直线l 的方程中，令0x =，解出y 的直线，即得直线l 在y 轴上的截距.令y 0=，解出x 的值，即得出直线l 在x 轴上的截距.例4：求过点A (1,1)，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程.4 直线的一般式方程1.定义在平面直角坐标系中，每一条直线都可以用一个关于,x y 的二元一次方程表示，每一个关于,x y 的二元一次方程都表示一条直线，我们把关于,x y 的二元一次方程Ax +0By C +=（其中A ，B 不同时为0）叫做直线的一般式方程，简称一般式. 2.适用范围在平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一般式表示. 3.几何意义（1）当0B ≠时，A k B -=（斜率），C b B -=（y 轴上的截距）；（2）当0A ≠时，Ca A-=（x 轴上的截距）.例5.根据条件写出直线方程，并化成一般式. （1(5,3)A ；（2）在,x y 轴上的截距分别是3,1--.5直线过定点问题例5.已知直线:5530l ax y a --+=.（1）求证：不论a 为何值，直线l 总经过第一象限；（2）为使直线不经过第二象限，求a 的取值范围.6解决与面积、周长有关的问题例6.直线过点4(,2)3P ，且与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴分别交与,A B 两点，O 为坐标原点，是否存在这样的直线能同时满足以下条件：①AOB ∆的周长为12；②AOB ∆的面积为6.若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.课堂练习1.已知直线方程34)y x -=-，则这条直线经过的定点和倾斜角分别（） A.(4,3),60︒ B.(3,4),30--︒ C.(4,3),30︒ D.(4,3),60--︒2.若直线(32)6y t x =--不经过第一象限，则t 的取值范围为 .3.已知直线12y x k =+与两坐标轴围成的三角形的面积不小于1，则实数k 的取值范围是 . 4.若直线l 的倾斜角是直线1y x =+的倾斜角的2倍，且过定点(3,3)P ，则直线l 的方程为 . 5．若三条直线0,0,3x y x y x ay +=-=+=构成三角形，则a 的取值范围是（） A.1a ≠± B.1,2a a ≠≠ C.2a ≠ D.1,2a a ≠±≠6．若直线350mx y +-=经过连接点(1,2),(3,4)A B --的线段的中点，则m = . 7．ABC ∆的三个顶点分别为(0,4),(2,6),(8,0)A B C --. 求：（1）边AC 所在直线的直线方程；（2）AC 边上的中线BD 所在直线方程.直线方程练习题一、选择题1．已知点)1,0(-M ，点N 在直线01=+-y x 上，若直线MN 垂直于直线032=-+y x ，则点N 的坐标是（）A ．)1,2(--B ．)3,2(C ． )1,2(D ．)1,2(- 2．点M ),(b a 与N )1,1(+-a b 关于下列哪种图形对称（） A ．直线01=+-y x B ．直线01=--y xC ．点（21,21-） D ．直线0=--+b a y x3．若三条直线l 1：x －y ＝0；l 2：x ＋y －2＝0; l 3：5x －ky －15＝0围成一个三角形，则k 的取值范围是（）A ．k ∈R 且k ±≠5且k ≠1B ．k ∈R 且k ±≠5且k ≠－10C ．k ∈R 且k ±≠1且k ≠0D ．k ∈R 且k ±≠ 54、如果直线(2a +5)x +(a －2)y +4=0与直线(2－a )x +(a +3)y －1=0互相垂直，则a 的值等于（） A ． 2 B ．－2 C ．2,－2 D ．2,0,－25、两条直线mx+y －n =0和x+my +1=0互相平行的条件是（） A m=1 B m=±1C ⎩⎨⎧-≠=11n m D ⎩⎨⎧≠-=⎩⎨⎧-≠=1111n m n m 或 6、下列说法正确的有（）①若两直线斜率相等，则两直线平行； ②若l 1∥l 2，则k 1=k 2；③若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则两直线相交； ④若两直线斜率都不存在，则两直线平行。

2025届高三数学专题复习：直线方程重难点专题(解析版)

直线的方程重难点专题常考结论及公式结论一：两直线平行与垂直的充要条件若l 1:y =k 1x +b 1,l 2:y =k 2x +b 2；①l 1∥l 2⇒k 1=k 2⇒≠b 2；②l 1⊥l 2⇔k 1k 2=-1.若l 1:A 1x +B 1y +C 1=0,l 2:A 2x +B 2y +C 2=0，且A 1、A 2、B 1、B 2都不为零.①l 1∥l 2⇒A 1A 2=B 1B 2≠C 1C 2；l 1与l 2重合⇒A 1A 2=B 1B 2=C1C 2；②l 1⊥l 2⇔A 1A 2+B 1B 2=0.结论二：到角公式和夹角公式(1)l 1到l 2的角公式①tan α=k 2-k 11+k 2k 1.(l 1:y =k 1x +b 1,l 2:y =k 2x +b 2,k 1k 2≠-1)；②tan α=A 1B 2-A 2B 1A 1A 2+B 1B 2(l 1:A 1x +B 1y +C 1=0,l 2:A 2x +B 2y +C 2=0,A 1A 2+B 1B 2≠0)(2)夹角公式①tan α=k 2-k 11+k 1k 2.(l 1:y =k 1x +b 1,l 2:y =k 2x +b 2,k 1k 2≠-1)；②tan α=A 1B 2-A 2B 1A 1A 2+B 1B 2.(l 1:A 1x +B 1y +C 1=0,l 2:A 2x +B 2y +C 2=0,A 1A 2+B 1B 2≠0)直线l 1⊥l 2时，直线l 1与l 2的夹角是π2.结论三：四种常用直线系方程(1)定点直线系方程：经过定点P 0(x 0,y 0)的直线系方程为y -y 0=k (x -x 0)(除直线x =x 0)，其中k 是待定的系数；经过定点P 0(x 0,y 0)的直线系方程为A (x -x 0)+B (y -y 0)=0，其中A 、B 是待定的系数.(2)共点直线系方程：经过两直线l 1:A 1x +B 1y +C 1=0,l 2:A 2x +B 2y +C 2=0的交点的直线系方程为l 1:(A 1x +B 1y +C 1)+λ(A 2x +B 2y +C 2)=0(除l 2)，其中λ是待定的系数.(3)平行直线系方程：直线y =kx +b 中当斜率k 一定而b 变动时，表示平行直线系方程.与直线Ax +By +C =0平行的直线系方程是Ax +By +λ=0(λ≠0)，λ是参变量.(4)垂直直线系方程：与直线Ax +By +C =0(A ≠0,B ≠0)垂直的直线系方程是Bx -Ay +λ=0，λ是参变量.结论四：与对称有关的一些结论(1)点P (u ,v )关于点Q (s ,t )的对称点的坐标为：(2s -u ,2t -v )，特别地，点P (u ,v )关于原点的对称点的坐标为：(2×0-u ,2×0-v )，即(-u ,-v ).(2)直线Ax +By +C =0关于点P (-u ,-v )对称的直线的方程为：(2u -x )+B (2v -y )+C =0.(3)直线Ax +By +C =0关于原点、x 轴、y 轴对称的直线的方程分别为：A (-x )+B (-y )+C =0，Ax +B (-y )+C =0，A (-x )+By +C =0.(4)直线Ax +By +C =0关于直线x =u ,y =v 对称的直线的方程分为：A (2u -x )+By +C =0，Ax +B (2v -y )+C =0.(5)曲线f (x ,y )=0关于点P (u ,v )对称的直线的方程为：f (2u -x ,2v -y )=0.(6)点P (s ,t )关于直线Ax +By +C =0的对称点的坐标为：s -2A ∙As +Bt +C A 2+B 2,t -2B ∙As +Bt +CA 2+B2.特别地，当A =B ≠0时，点P (s ,t )关于直线Ax +By +C =0的对称点的坐标为：-Bt +C A,-As +CB .点P (s ,t )关于x 轴、y 轴，直线x =u ，直线y =v 的对称点的坐标分别为(s ,-t ),(-s ,t ),(2u -s ),(s ,2v -t ).题型一直线的倾斜角与斜率关系问题例1.直线x cos θ+y sin θ=0,θ∈0,5π6的斜率的取值范围为()A.-∞,3B.2,+∞C.-∞,0 ∪0,3D.-∞,2【答案】A【分析】求出直线的斜率的表达式，通过角的范围求解斜率的范围即可.【详解】由x cos θ+y sin θ=0,θ∈0,5π6 可得直线的斜率为：k =-cos θsin θ=-1tan θ.因为θ∈0,5π6 ，所以tan θ∈-∞,-33 ∪0,+∞ ,所以k =-1tan θ∈-∞,0 ∪0,3 当θ=π2时，易得k =0。

高中数学必修二直线与直线方程题型归纳总结

高中数学必修二直线与直线方程题型归纳总结知识点归纳概括：1.直线的倾斜角为0°≤α<180°，斜率为k=tanα（α≠90°）。

2.已知两点求斜率公式为k=(y2-y1)/(x2-x1)（x2≠x1）。

3.两直线平行时，它们的斜率相等；垂直时，它们的斜率之积为-1.4.直线的五种方程：点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式。

5.两直线的交点坐标可通过联立两直线方程求得，两点间距离可用距离公式计算。

题型归纳分析：1.直线的倾斜角与斜率的计算。

2.平行和垂直直线的判断及斜率之间的关系。

3.直线的方程及其应用。

4.两直线交点坐标和两点间距离的计算。

例1：过点M(-2,a)和N(a,4)的直线的斜率等于1，则a的值为（）。

A。

1B。

4C。

1或3D。

1或4解析：由题意可得，直线MN的斜率为1，即(k=(4-a)/(a+2)=1)，解得a=2，故选B。

变式1：已知点A(1,3)、B(-1,3)，则直线AB的倾斜角是（）。

A。

60°B。

30°C。

120°D。

150°解析：由斜率公式可得，k=(3-3)/(-1-1)=0，因为斜率为0，所以直线与x轴平行，倾斜角为0°，故选A。

变式2：已知两点A(3,2)、B(-4,1)，求过点C(-1.)的直线l与线段AB有公共点，求直线l的斜率k的取值范围。

解析：首先求出AB的斜率k1=(1-2)/(-4-3)=-1/7，然后求出点C到直线AB的距离d，d=|(-1-3)×(-1)+(?-2)×(-4+3)|/√((-4+3)²+(1-2)²)=|4-2×(?-1)|/√5，因为直线l与AB有公共点，所以点C到直线l的距离也为d，根据距离公式可得，|k1×(-1)+1×(?-1)-d|/√(k1²+1²)=d，化简得，|k1×(-1)+1×(?-1)|=2d√(k1²+1²)，即|k1+?(?-1)|=2d√(k1²+1²)，因为直线l过点C，所以直线l的斜率为k2=(?-1)/(-1-3)，代入得，|k1+k2|=2d√(k1²+1²)，整理得，|?-1+7k2|=2d√(50)，因为|?-1+7k2|≥0，所以d≥0，又因为√(50)>7，所以|?-1+7k2|≤2d×7，即|?-1+7k2|≤14d，代入得|?-1+7(?-1)/(-1-3)|≤14d，即|-2?-6/(-4)|≤14d，解得-1/2≤d≤1/2，因为d≥0，所以1/2≥d≥0，代入得-1/2≤?-1+7k2≤1/2，解得-3/14≤k2≤1/14，故k2的取值范围为[-3/14,1/14]。

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高中数学必修直线与方程知识点总结与练习 Document number【AA80KGB-AA98YT-AAT8CB-2A6UT-A18GG】第八章平面解析几何第一节直线的倾斜角与斜率、直线的方程[知识能否忆起]一、直线的倾斜角与斜率 1．直线的倾斜角(1)定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫做这条直线的倾斜角．当直线与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.(2)倾斜角的范围为[0，π)_． 2．直线的斜率(1)定义：一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k 表示，即k ＝tan_α，倾斜角是90°的直线没有斜率．(2)过两点的直线的斜率公式：经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式为k ＝y 2－y 1x 2－x 1＝y 1－y 2x 1－x 2. 二、直线方程的形式及适用条件名称几何条件方程局限性点斜式过点(x 0，y 0)，斜率为k y －y 0＝k (x －x 0)不含垂直于x 轴的直线斜截式斜率为k ，纵截距为b y ＝kx ＋b 不含垂直于x 轴的直线两点式过两点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，(x 1≠x 2，y 1≠y 2)y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1不包括垂直于坐标轴的直线截距式在x 轴、y 轴上的截距分别为a ，b (a ，b ≠0)x a ＋y b＝1 不包括垂直于坐标轴和过原点的直线一般式Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不全为0)[小题能否全取]1．(教材习题改编)直线x ＋3y ＋m ＝0(m ∈k )的倾斜角为( ) A ．30° B ．60° C ．150°D ．120°解析：选C 由k ＝tan α＝－33，α∈[0，π)得α＝150°. 2．(教材习题改编)已知直线l 过点P (－2,5)，且斜率为－34，则直线l 的方程为( )A ．3x ＋4y －14＝0B ．3x －4y ＋14＝0C ．4x ＋3y －14＝0D ．4x －3y ＋14＝0解析：选A 由y －5＝－34(x ＋2)，得3x ＋4y －14＝0.3．过点M (－2，m )，N (m,4)的直线的斜率等于1，则m 的值为( ) A ．1B ．4C ．1或3D ．1或4解析：选A 由1＝4－mm ＋2，得m ＋2＝4－m ，m ＝1.4．(2012·长春模拟)若点A (4,3)，B (5，a )，C (6,5)三点共线，则a 的值为________．解析：k AC ＝5－36－4＝1，k AB ＝a －35－4＝a －3.由于A ，B ，C 三点共线，所以a －3＝1，即a ＝4. 答案：45．若直线l 过点(－1,2)且与直线2x －3y ＋4＝0垂直，则直线l 的方程为________．解析：由已知得直线l 的斜率为k ＝－32.所以l 的方程为y －2＝－32(x ＋1)，即3x ＋2y －1＝0. 答案：3x ＋2y －1＝01.求直线方程时要注意判断直线斜率是否存在，每条直线都有倾斜角，但不一定每条直线都存在斜率．2．由斜率求倾斜角，一是要注意倾斜角的范围；二是要考虑正切函数的单调性． 3．用截距式写方程时，应先判断截距是否为0，若不确定，则需要分类讨论．直线的倾斜角与斜率典题导入[例1] (1)(2012·岳阳模拟)经过两点A (4,2y ＋1)，B (2，－3)的直线的倾斜角为3π4，则y ＝( ) A ．－1 B ．－3 C ．0D ．2(2)(2012·苏州模拟)直线x cos θ＋3y ＋2＝0的倾斜角的范围是________． [自主解答] (1)tan 3π4＝2y ＋1－?－3?4－2＝2y ＋42＝y ＋2，因此y ＋2＝－＝－3.(2)由题知k ＝－33cos θ，故k ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33，结合正切函数的图象，当k ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，33时，直线倾斜角α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6，当k ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－33，0时，直线倾斜角α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫5π6，π，故直线的倾斜角的范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫5π6，π.[答案] (1)B (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫5π6，π由题悟法1．求倾斜角的取值范围的一般步骤： (1)求出斜率k ＝tan α的取值范围；(2)利用三角函数的单调性，借助图象或单位圆数形结合，确定倾斜角α的取值范围．2．求倾斜角时要注意斜率是否存在．以题试法1．(2012·哈尔滨模拟)函数y ＝a sin x －b cos x 的一条对称轴为x ＝π4，则直线l ：ax －by ＋c ＝0的倾斜角为( )A ．45°B ．60°C ．120°D ．135°解析：选 D 由函数y ＝f (x )＝a sin x －b cos x 的一条对称轴为x ＝π4知，f (0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，即－b ＝a ，则直线l 的斜率为－1，故倾斜角为135°.2．(2012·金华模拟)已知点A (1,3)，B (－2，－1)．若直线l ：y ＝k (x －2)＋1与线段AB 相交，则k 的取值范围是( )B ．(－∞，－2]C ．(－∞，－2]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞解析：选D 由题意知直线l 恒过定点P (2,1)，如右图．若l 与线段AB 相交，则k PA ≤k ≤k PB .∵k PA ＝－2，k PB ＝12，∴－2≤k ≤12.直线方程典题导入[例2] (1)过点(1,0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是________________． (2)(2012·东城模拟)若点P (1,1)为圆(x －3)2＋y 2＝9的弦MN 的中点，则弦MN 所在直线的方程为______________．[自主解答] (1)设所求直线方程为x －2y ＋m ＝0，由直线经过点(1, 0)，得1＋m ＝0，m ＝－1.则所求直线方程为x －2y －1＝0.(2)由题意得，1－01－3×k MN ＝－1，所以k MN ＝2，故弦MN 所在直线的方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0.[答案] (1)x －2y －1＝0 (2)2x －y －1＝0由题悟法求直线方程的方法主要有以下两种：(1)直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程； (2)待定系数法：先设出直线方程，再根据已知条件求出待定系数，最后代入求出直线方程．以题试法3．(2012·龙岩调研)已知△ABC 中，A (1，－4)，B (6,6)，C (－2,0)．求： (1)△ABC 中平行于BC 边的中位线所在直线的一般式方程和截距式方程； (2)BC 边的中线所在直线的一般式方程，并化为截距式方程．解：(1)平行于BC 边的中位线就是AB ，AC 中点的连线．因为线段AB ，AC 中点坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫72，1，⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－2，所以这条直线的方程为y ＋21＋2＝x ＋1272＋12，整理一般式方程为得6x －8y －13＝0，截距式方程为x 136－y138＝1.(2)因为BC 边上的中点为(2,3)，所以BC 边上的中线所在直线的方程为y ＋43＋4＝x －12－1，即一般式方程为7x －y －11＝0，截距式方程为x 117－y11＝1.直线方程的综合应用典题导入[例3] (2012·开封模拟)过点P (3,0)作一直线，使它夹在两直线l 1：2x －y －2＝0与l 2：x ＋y ＋3＝0之间的线段AB 恰被点P 平分，求此直线的方程．[自主解答] 法一：设点A (x ，y )在l 1上，点B (x B ，y B )在l 2上．由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x ＋x B 2＝3，y ＋yB2＝0，则点B (6－x ，－y )，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2＝0，?6－x ?＋?－y ?＋3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝113，y ＝163，则k ＝163－0113－3＝8.故所求的直线方程为y ＝8(x －3)，即8x －y －24＝0. 法二：设所求的直线方程为y ＝k (x －3)，点A ，B 的坐标分别为(x A ，y A )，(x B ，y B )，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k ?x －3?，2x －y －2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x A ＝3k －2k －2，y A＝4kk －2.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k ?x －3?，x ＋y ＋3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x B ＝3k －3k ＋1，y B＝－6kk ＋1.∵P (3,0)是线段AB 的中点， ∴y A ＋y B ＝0，即4k k －2＋－6k k ＋1＝0， ∴k 2－8k ＝0，解得k ＝0或k ＝8. 若k ＝0，则x A ＝1，x B ＝－3，此时x A ＋x B 2＝1－32≠3，∴k ＝0舍去，故所求的直线方程为y ＝8(x －3)，即8x －y －24＝0.由题悟法解决直线方程的综合问题时，除灵活选择方程的形式外，还要注意题目中的隐含条件，若与最值或范围相关的问题可考虑构建目标函数进行转化求最值．以题试法4．(2012·东北三校联考)已知直线l 过点M (2,1)，且分别与x 轴，y 轴的正半轴交于A ，B 两点，O 为原点．(1)当△AOB 面积最小时，求直线l 的方程； (2)当|MA |·|MB |取得最小值时，求直线l 的方程．解：(1)设直线l 的方程为y －1＝k (x －2)(k <0)，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－1k ，0，B (0，1－2k )， △AOB 的面积S ＝12(1－2k )⎝ ⎛⎭⎪⎫2－1k ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤4＋?－4k ?＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k ≥12(4＋4)＝4. 当且仅当－4k ＝－1k ，即k ＝－12时，等号成立．故直线l 的方程为y －1＝－12(x －2)，即x ＋2y －4＝0.(2)∵|MA |＝ 1k2＋1，|MB |＝4＋4k 2， ∴|MA |·|MB |＝1k2＋1·4＋4k 2＝2k 2＋1k2＋2≥2×2＝4，当且仅当k 2＝1k2，即k ＝－1时取等号，故直线方程为x ＋y －3＝0.[典例] (2012·西安模拟)设直线l 的方程为 (a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0(a ∈R )．(1)若l 在两坐标轴上的截距相等，求l 的方程； (2)若l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围．[尝试解题] (1)当直线过原点时，该直线在x 轴和y 轴上的截距为零，此时截距相等．故a ＝2，方程即为3x ＋y ＝0.当直线不过原点时，由截距存在且均不为0，得a －2a ＋1＝a －2，即a ＋1＝1，故a ＝0，方程即为x ＋y ＋2＝0.综上，l 的方程为3x ＋y ＝0或x ＋y ＋2＝0. (2)将l 的方程化为y ＝－(a ＋1)x ＋a －2，则⎩⎪⎨⎪⎧－?a ＋1?＞0，a －2≤0，或⎩⎪⎨⎪⎧－?a ＋1?＝0，a －2≤0.∴a ≤－1.综上可知，a 的取值范围是(－∞，－1]．——————[易错提醒]———————————————————————————1.与截距有关的直线方程求解时易忽视截距为零的情形.如本例中的截距相等，当直线在x 轴与y 轴上的截距为零时也满足.2.常见的与截距问题有关的易误点有：“截距互为相反数”；“一截距是另一截距的几倍”等，解决此类问题时，要先考虑零截距情形.注意分类讨论思想的运用.——————————————————————————————————————针对训练过点M (3，－4)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为________________．解析：①当过原点时，直线方程为y ＝－43x ；②当不过原点时，设直线方程为x a ＋y－a ＝1，即x －y ＝a .代入点(3，－4)，得a ＝7. 即直线方程为x －y －7＝0. 答案：y ＝－43x 或x －y －7＝01．若k ，－1，b 三个数成等差数列，则直线y ＝kx ＋b 必经过定点( ) A ．(1，－2) B ．(1,2) C ．(－1,2)D ．(－1，－2)解析：选A 因为k ，－1，b 三个数成等差数列，所以k ＋b ＝－2，即b ＝－2－k ，于是直线方程化为y ＝kx －k －2，即y ＋2＝k (x －1)，故直线必过定点(1，－2)．2．直线2x ＋11y ＋16＝0关于点P (0,1)对称的直线方程是( ) A ．2x ＋11y ＋38＝0 B ．2x ＋11y －38＝0 C ．2x －11y －38＝0D ．2x －11y ＋16＝0解析：选 B 因为中心对称的两直线互相平行，并且对称中心到两直线的距离相等，故可设所求直线的方程为2x ＋11y ＋C ＝0，由点到直线的距离公式可得|0＋11＋16|22＋112＝|0＋11＋C |22＋112，解得C ＝16(舍去)或C ＝－38.3．(2012·衡水模拟)直线l 1的斜率为2，l 1∥l 2，直线l 2过点(－1,1)且与y 轴交于点P ，则P 点坐标为( )A ．(3,0)B ．(－3,0)C ．(0，－3)D ．(0,3)解析：选D ∵l 1∥l 2，且l 1斜率为2，∴l 2的斜率为2. 又l 2过(－1,1)，∴l 2的方程为y －1＝2(x ＋1)，整理即得y ＝2x ＋3.令x ＝0，得P (0,3)．4．(2013·佛山模拟)直线ax ＋by ＋c ＝0同时要经过第一、第二、第四象限，则a ，b ，c 应满足( )A ．ab ＞0，bc ＜0B ．ab ＞0，bc ＞0C ．ab ＜0，bc ＞0D ．ab ＜0，bc ＜0解析：选A 由于直线ax ＋by ＋c ＝0经过第一、二、四象限，所以直线存在斜率，将方程变形为y ＝－a b x －c b ，易知－a b ＜0且－c b＞0，故ab ＞0，bc ＜0.5．将直线y ＝3x 绕原点逆时针旋转90°，再向右平移1个单位，所得到的直线为( )A ．y ＝－13x ＋13B ．y ＝－13x ＋1C ．y ＝3x －3D ．y ＝13x ＋1解析：选A 将直线y ＝3x 绕原点逆时针旋转90°得到直线y ＝－13x ，再向右平移1个单位，所得直线的方程为y ＝－13(x －1)，即y ＝－13x ＋13.6．已知点A (1，－2)，B (m,2)，且线段AB 的垂直平分线的方程是x ＋2y －2＝0，则实数m 的值是( )A ．－2B ．－7C ．3D ．1解析：选C 线段AB 的中点⎝⎛⎭⎪⎫1＋m 2，0代入直线x ＋2y －2＝0中，得m ＝3.7．(2013·贵阳模拟)直线l 经过点A (1,2)，在x 轴上的截距的取值范围是(－3,3)，则其斜率的取值范围是________．解析：设直线l 的斜率为k ，则方程为y －2＝k (x －1)，在x 轴上的截距为1－2k，令－3＜1－2k ＜3，解得k ＜－1或k ＞12.答案：(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ 8．(2012·常州模拟)过点P (－2,3)且在两坐标轴上的截距相等的直线l 的方程为________．解析：直线l 过原点时，l 的斜率为－32，直线方程为y ＝－32x ；l 不过原点时，设方程为x a ＋y a＝1，将点(－2,3)代入，得a ＝1，直线方程为x ＋y ＝1.综上，l 的方程为x ＋y －1＝0或2y ＋3x ＝0. 答案：x ＋y －1＝0或3x ＋2y ＝09．(2012·天津四校联考)不论m 取何值，直线(m －1)x －y ＋2m ＋1＝0恒过定点________．解析：把直线方程(m －1)x －y ＋2m ＋1＝0整理得 (x ＋2)m －(x ＋y －1)＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2＝0，x ＋y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝3.答案：(－2,3)10．求经过点(－2,2)，且与两坐标轴所围成的三角形面积为1的直线l 的方程．解：设所求直线方程为x a ＋yb＝1，由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＋2b＝1，12|a ||b |＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1.故直线l 的方程为2x ＋y ＋2＝0或x ＋2y －2＝0. 11．(2012·莆田月考)已知两点A (－1,2)，B (m,3)． (1)求直线AB 的方程； (2)已知实数m ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33－1，3－1，求直线AB 的倾斜角α的取值范围．解：(1)当m ＝－1时，直线AB 的方程为x ＝－1；当m ≠－1时，直线AB 的方程为y －2＝1m ＋1(x ＋1)． (2)①当m ＝－1时，α＝π2；②当m ≠－1时，m ＋1∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－33，0∪(0， 3 ]，∴k ＝1m ＋1∈(－∞，－ 3 ]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫33，＋∞， ∴α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，π2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，2π3.综合①②知，直线AB 的倾斜角α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3.12.如图，射线OA 、OB 分别与x 轴正半轴成45°和30°角，过点P (1,0)作直线AB 分别交OA 、OB 于A 、B 两点，当AB 的中点C 恰好落在直线y ＝12x 上时，求直线AB 的方程．解：由题意可得k OA ＝tan 45°＝1，k OB ＝tan(180°－30°)＝－33，所以直线l OA ：y ＝x ，l OB ：y ＝－33x . 设A (m ，m )，B (－3n ，n )，所以AB 的中点C ⎝⎛⎭⎪⎫m －3n 2，m ＋n 2，由点C 在y ＝12x 上，且A 、P 、B 三点共线得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n 2＝12·m －3n2，m －0m －1＝n －0－3n －1，解得m ＝3，所以A (3， 3)．又P (1,0)，所以k AB ＝k AP ＝33－1＝3＋32，所以l AB ：y ＝3＋32(x －1)，即直线AB 的方程为(3＋3)x －2y －3－3＝0.1．若直线l ：y ＝kx －3与直线2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是( )解析：选B 由⎩⎨⎧y ＝kx －3，2x ＋3y －6＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3?2＋3?2＋3k ，y ＝6k －232＋3k .∵两直线交点在第一象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，y ＞0，解得k ＞33. ∴直线l 的倾斜角的范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2. 2．(2012·洛阳模拟)当过点P (1,2)的直线l 被圆C ：(x －2)2＋(y －1)2＝5截得的弦最短时，直线l 的方程为________________．解析：易知圆心C 的坐标为(2,1)，由圆的几何性质可知，当圆心C 与点P 的连线与直线l 垂直时，直线l 被圆C 截得的弦最短．由C (2,1)，P (1,2)可知直线PC 的斜率为2－11－2＝－1，设直线l 的斜率为k ，则k ×(－1)＝－1，得k ＝1，又直线l 过点P ，所以直线l 的方程为x －y ＋1＝0.答案：x －y ＋1＝03．已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R )． (1)证明：直线l 过定点；(2)若直线l 不经过第四象限，求k 的取值范围；(3)若直线l 交x 轴负半轴于点A ，交y 轴正半轴于点B ，O 为坐标原点，设△AOB 的面积为S ，求S 的最小值及此时直线l 的方程．解：(1)证明：法一：直线l 的方程可化为y ＝k (x ＋2)＋1，故无论k 取何值，直线l 总过定点(－2,1)．法二：设直线过定点(x 0，y 0)，则kx 0－y 0＋1＋2k ＝0对任意k ∈R 恒成立，即(x 0＋2)k －y 0＋1＝0恒成立，∴x 0＋2＝0，－y 0＋1＝0，解得x 0＝－2，y 0＝1，故直线l 总过定点(－2,1)．(2)直线l 的方程为y ＝kx ＋2k ＋1，则直线l 在y 轴上的截距为2k ＋1，要使直线l 不经过第四象限，则⎩⎪⎨⎪⎧k ≥0，1＋2k ≥0，解得k 的取值范围是[0，＋∞)．(3)依题意，直线l 在x 轴上的截距为－1＋2kk，在y 轴上的截距为1＋2k ，∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋2k k ，0，B (0,1＋2k )．又－1＋2k k<0且1＋2k >0，∴k >0.故S ＝12|OA ||OB |＝12×1＋2k k (1＋2k )＝12⎝⎛⎭⎪⎫4k ＋1k ＋4≥12(4＋4)＝4，当且仅当4k ＝1k ，即k ＝12时，取等号．故S 的最小值为4，此时直线l 的方程为x －2y ＋4＝0.1．(2012·郑州模拟)已知直线l 1的方向向量为a ＝(1,3)，直线l 2的方向向量为b ＝(－1，k )．若直线l 2经过点(0,5)且l 1⊥l 2，则直线l 2的方程为( )A ．x ＋3y －5＝0B ．x ＋3y －15＝0C ．x －3y ＋5＝0D ．x －3y ＋15＝0解析：选B ∵kl 1＝3，kl 2＝－k ，l 1⊥l 2，∴k ＝13，l 2的方程为y ＝－13x ＋5，即x ＋3y －15＝0.2．(2012·吴忠调研)若过点P (1－a,1＋a )与Q (3,2a )的直线的倾斜角为钝角，则实数a 的取值范围是________．解析：k ＝tan α＝2a －?1＋a ?3－?1－a ?＝a －1a ＋2.∵α为钝角，∴a －1a ＋2＜0，即(a －1)(a ＋2)＜0，故－2＜a ＜1. 答案：(－2,1)3.已知直线l 过点P (3,2)，且与x 轴，y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点如图，求△ABO 的面积的最小值及此时直线l 的方程．解：设A (a,0)，B (0，b )，(a ＞0，b ＞0)，则直线l 的方程为x a ＋y b＝1，∵l 过点P (3,2)，∴3a ＋2b＝1.∴1＝3a ＋2b ≥26ab，即ab ≥24.∴S △ABO ＝12ab ≥12.当且仅当3a ＝2b ，即a ＝6，b ＝4时，△ABO 的面积最小，最小值为12. 此时直线l 的方程为x 6＋y4＝1.即2x ＋3y －12＝0.第二节两直线的位置关系[知识能否忆起]一、两条直线的位置关系斜截式一般式方程 y ＝k 1x ＋b 1 y ＝k 2x ＋b 2 A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0(A 21＋B 21≠0) A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(A 22＋B 22≠0)相交 k 1≠k 2A 1B 2－A 2B 1≠0⎝ ⎛⎭⎪⎫当A 2B 2≠0时，记为A 1A 2≠B 1B 2 垂直k 1＝－1k 2或k 1k 2＝－1A 1A 2＋B 1B 2＝0⎝ ⎛⎭⎪⎫当B 1B 2≠0时，记为A 1B 1·A 2B 2＝－1 平行k 1＝k 2且b 1≠b 2{ A 1B 2－A 2B 1＝0，B 2C 1－B 1C 2≠0或{ A 1B 2－A 2B 1＝0，A 1C 2－A 2C 1≠0⎝ ⎛⎭⎪⎫当A 2B 2C 2≠0时，记为A 1A 2＝B 1B 2≠C 1C 2 重合 k 1＝k 2且b 1＝b 2A 1＝λA 2，B 1＝λB 2，C 1＝λC 2(λ≠0)⎝ ⎛⎭⎪⎫当A 2B 2C 2≠0时，记为A 1A 2＝B 1B 2＝C 1C 2 二、两条直线的交点设两条直线的方程是l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，两条直线的交点坐标就是方程组{ A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解，若方程组有唯一解，则两条直线相交，此解就是交点坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；反之，亦成立．三、几种距离 1．两点间的距离平面上的两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)间的距离公式：d (A ，B )＝|AB |＝?x 1－x 2?2＋?y 1－y 2?2.2．点到直线的距离点P (x 1，y 1)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 1＋By 1＋C |A 2＋B 2.3．两条平行线间的距离两条平行线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B2.[小题能否全取]1．(教材习题改编)已知l 1的倾斜角为45°，l 2经过点P (－2，－1)，Q (3，m )．若l 1⊥l 2，则实数m 为( )A ．6B ．－6C ．5D ．－5 解析：选B 由已知得k 1＝1，k 2＝m ＋15.∵l 1⊥l 2，∴k 1k 2＝－1， ∴1×m ＋15＝－1，即m ＝－6.2．(教材习题改编)点(0，－1)到直线x ＋2y ＝3的距离为( ) C ．5解析：选B d ＝|0＋2×?－1?－3|5＝ 5.3．点(a ，b )关于直线x ＋y ＋1＝0的对称点是( ) A ．(－a －1，－b －1) B ．(－b －1，－a －1) C ．(－a ，－b )D ．(－b ，－a )解析：选B 设对称点为(x ′，y ′)，则⎩⎨⎧y ′－b x ′－a×?－1?＝－1，x ′＋a 2＋y ′＋b2＋1＝0，解得x ′＝－b －1，y ′＝－a －1.4．l 1：x －y ＝0与l 2：2x －3y ＋1＝0的交点在直线mx ＋3y ＋5＝0上，则m 的值为( )A ．3B ．5C ．－5D ．－8解析：选D 由{ x －y ＝0，2x －3y ＋1＝0，得l 1与l 2的交点坐标为(1,1)．所以m ＋3＋5＝0，m ＝－8.5．与直线4x ＋3y －5＝0平行，并且到它的距离等于3的直线方程是______________________．解析：设所求直线方程为4x ＋3y ＋m ＝0，由3＝|m ＋5|42＋32，得m ＝10或－20.答案：4x ＋3y ＋10＝0或4x ＋3y －20＝01.在判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在，两条直线都有斜率时，可根据斜率的关系作出判断，无斜率时，要单独考虑．2．在使用点到直线的距离公式或两平行线间的距离公式时，直线方程必须先化为Ax ＋By ＋C ＝0的形式，否则会出错．两直线的平行与垂直典题导入[例1] (2012·浙江高考)设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件[自主解答] 由a ＝1，可得l 1∥l 2；反之，由l 1∥l 2，可得a ＝1或a ＝－2. [答案] A在本例中若l 1⊥l 2，试求a .解：∵l 1⊥l 2，∴a ×1＋2×(a ＋1)＝0， ∴a ＝－23.由题悟法1．充分掌握两直线平行与垂直的条件是解决本题的关键，对于斜率都存在且不重合的两条直线l 1和l 2，l 1∥l 2?k 1＝k 2，l 1⊥l 2?k 1·k 2＝－1.若有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率是多少一定要特别注意．2．(1)若直线l 1和l 2有斜截式方程l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2，则直线l 1⊥l 2的充要条件是k 1·k 2＝－1.(2)设l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0.则l 1⊥l 2?A 1A 2＋B 1B 2＝0.以题试法1．(2012·大同模拟)设a ，b ，c 分别是△ABC 中角A ，B ，C 所对的边，则直线x sin A ＋ay ＋c ＝0与bx －y sin B ＋sin C ＝0的位置关系是( )A ．平行B ．重合C ．垂直D ．相交但不垂直解析：选C 由已知得a ≠0，sin B ≠0，所以两直线的斜率分别为k 1＝－sin Aa，k 2＝bsin B，由正弦定理得k 1·k 2＝－sin A a ·bsin B＝－1，所以两条直线垂直．两直线的交点与距离问题典题导入[例2] (2012·浙江高考)定义：曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值称为曲线C 到直线l 的距离．已知曲线C 1：y ＝x 2＋a 到直线l ：y ＝x 的距离等于曲线C 2：x 2＋(y ＋4)2＝2到直线l ：y ＝x 的距离，则实数a ＝________.[自主解答] 因曲线C 2：x 2＋(y ＋4)2＝2到直线l ：y ＝x 的距离为0－?－4?2－2＝22－2＝2，所以曲线C 1与直线l 不能相交，故x 2＋a ＞x ，即x 2＋a －x ＞0.设C 1：y ＝x 2＋a 上一点为(x 0，y 0)，则点(x 0，y 0)到直线l 的距离d ＝|x 0－y 0|2＝－x 0＋x 20＋a 2＝⎝⎛⎭⎪⎫x 0－122＋a －142≥4a －142＝2，所以a ＝94.[答案] 94由题悟法1．点到直线的距离问题可直接代入距离公式去求．注意直线方程为一般式． 2．点到与坐标轴垂直的直线的距离，可用距离公式求解．也可用如下方法去求解：(1)点P (x 0，y 0)到与y 轴垂直的直线y ＝a 的距离d ＝|y 0－a |. (2)点P (x 0，y 0)到与x 轴垂直的直线x ＝b 的距离d ＝|x 0－b |.以题试法2．(2012·通化模拟)若两平行直线3x －2y －1＝0,6x ＋ay ＋c ＝0之间的距离为21313，则c 的值是________．解析：由题意得63＝a －2≠c－1，得a ＝－4，c ≠－2，则6x ＋ay ＋c ＝0可化为3x －2y ＋c2＝0，则⎪⎪⎪⎪⎪⎪c 2＋113＝21313，解得c ＝2或－6.答案：2或－6对称问题典题导入[例3] (2012·成都模拟)在直角坐标系中，A (4,0)，B (0，4)，从点P (2,0)射出的光线经直线AB 反射后，再射到直线OB 上，最后经直线OB 反射后又回到P 点，则光线所经过的路程是( )A ．210B ．6C ．3 3D ．25[自主解答] 如图，设点P 关于直线AB ，y 轴的对称点分别为D ，C ，易求得D (4,2)，C (－2,0)，由对称性知，D ，M ，N ，C 共线，则△PMN的周长＝|PM |＋|MN |＋|PN |＝|DM |＋|MN |＋|NC |＝|CD |＝40＝210即为光线所经过的路程．[答案] A由题悟法对称问题主要包括中心对称和轴对称 (1)中心对称①点P (x ，y )关于O (a ，b )的对称点P ′(x ′，y ′)满足{ x ′＝2a －x ，y ′＝2b －y .②直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决．(2)轴对称①点A (a ，b )关于直线Ax ＋By ＋C ＝0(B ≠0)的对称点A ′(m ，n )，则有⎩⎨⎧n －b m －a ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－A B ＝－1，A ·a ＋m 2＋B ·b ＋n2＋C ＝0.②直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决．以题试法3．(2012·南京调研)与直线3x －4y ＋5＝0关于x 轴对称的直线方程为( ) A ．3x ＋4y ＋5＝0 B ．3x ＋4y －5＝0 C ．－3x ＋4y －5＝0 D ．－3x ＋4y ＋5＝0解析：选A 与直线3x －4y ＋5＝0关于x 轴对称的直线方程是3x －4(－y )＋5＝0，即3x ＋4y ＋5＝0.[典例] (2012·银川一中月考)求经过直线l 1： 3x ＋2y －1＝0和l 2：5x ＋2y ＋1＝0的交点，且垂直于直线l 3：3x －5y ＋6＝0的直线l 的方程．[常规解法] 解方程组{ 3x ＋2y －1＝0，5x ＋2y ＋1＝0，得l 1，l 2的交点坐标为(－1,2)．由l 3的斜率35得l 的斜率为－53.则由点斜式方程可得l 的方程为y －2＝－53(x ＋1)即5x ＋3y －1＝0.——————[高手支招]———————————————————————————运用直线系方程，有时会给解题带来方便，常见的直线系方程有：(1)与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线系方程是Ax ＋By ＋m ＝0(m ∈R 且m ≠C )； (2)与直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线系方程是Bx －Ay ＋m ＝0(m ∈R )；(3)过直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点的直线系方程为A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(λ∈R )，但不包括l 2.——————————————————————————————————————[巧思妙解] 由于l 过l 1，l 2的交点，故可设l 的方程为3x ＋2y －1＋λ(5x ＋2y ＋1)＝0将其整理，得(3＋5λ)x ＋(2＋2λ)y ＋(－1＋λ)＝0，其斜率－3＋5λ2＋2λ＝－53，得λ＝15. 代入直线系方程得l 方程5x ＋3y －1＝0. 针对训练求与直线2x ＋6y －11＝0平行，且与坐标轴围成的三角形面积为6的直线方程．解：由题意，设所求直线方程为2x ＋6y ＋b ＝0.令x ＝0，得y ＝－b6；令y ＝0，得x ＝－b2，则直线2x ＋6y ＋b ＝0与坐标轴的交点坐标分别为⎝⎛⎭⎪⎫0，－b 6，⎝ ⎛⎭⎪⎫－b2，0.又所围成的三角形面积S ＝12·⎪⎪⎪⎪⎪⎪－b 6·⎪⎪⎪⎪⎪⎪－b 2＝12·b 212＝6，所以b 2＝144，所以b ＝±12.故所求直线方程为2x ＋6y ＋12＝0或2x ＋6y －12＝0. 即为x ＋3y ＋6＝0或x ＋3y －6＝0.1．(2012·海淀区期末)已知直线l 1：k 1x ＋y ＋1＝0与直线l 2：k 2x ＋y －1＝0，那么“k 1＝k 2”是“l 1∥l 2”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C 由k 1＝k 2,1≠－1，得l 1∥l 2；由l 1∥l 2知k 1×1－k 2×1＝0，所以k 1＝k 2.故“k 1＝k 2”是“l 1∥l 2”的充要条件．2．当0＜k ＜12时，直线l 1：kx －y ＝k －1与直线l 2：ky －x ＝2k 的交点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选B 解方程组{ kx －y ＝k －1，ky －x ＝2k ，得两直线的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫k k －1，2k －1k －1，因为0＜k ＜12，所以k k －1＜0，2k －1k －1＞0，故交点在第二象限．3．(2012·长沙检测)已知直线l 1的方程为3x ＋4y －7＝0，直线l 2的方程为6x ＋8y ＋1＝0，则直线l 1与l 2的距离为( )C ．4D ．8解析：选B ∵直线l 1的方程为3x ＋4y －7＝0，直线l 2的方程为6x ＋8y ＋1＝0，即为3x ＋4y ＋12＝0，∴直线l 1与直线l 2的距离为⎪⎪⎪⎪⎪⎪12＋732＋42＝32. 4．若直线l 1：y ＝k (x －4)与直线l 2关于点(2,1)对称，则直线l 2恒过定点( ) A ．(0,4) B ．(0,2) C ．(－2,4)D ．(4，－2)解析：选 B 由于直线l 1：y ＝k (x －4)恒过定点(4,0)，其关于点(2,1)对称的点为(0,2)．又由于直线l 1：y ＝k (x －4)与直线l 2关于点(2,1)对称，故直线l 2恒过定点(0,2)．5．已知直线l 1：y ＝2x ＋3，若直线l 2与l 1关于直线x ＋y ＝0对称，又直线l 3⊥l 2，则l 3的斜率为( )A ．－2B ．－12D ．2解析：选A 依题意得，直线l 2的方程是－x ＝2(－y )＋3，即y ＝12x ＋32，其斜率是12，由l 3⊥l 2，得l 3的斜率等于－2.6．(2012·岳阳模拟)直线l 经过两直线7x ＋5y －24＝0和x －y ＝0的交点，且过点(5,1)．则l 的方程是( )A ．3x ＋y ＋4＝0B ．3x －y ＋4＝0C ．x ＋3y －8＝0D ．x －3y －4＝0解析：选C 设l 的方程为7x ＋5y －24＋λ(x －y )＝0，即(7＋λ)x ＋(5－λ)y －24＝0，则(7＋λ)×5＋5－λ－24＝0.解得λ＝－的方程为x ＋3y －8＝0.7．(2012·郑州模拟)若直线l 1：ax ＋2y ＝0和直线l 2：2x ＋(a ＋1)y ＋1＝0垂直，则实数a 的值为________．解析：由2a ＋2(a ＋1)＝0得a ＝－12.答案：－128．已知平面上三条直线x ＋2y －1＝0，x ＋1＝0，x ＋ky ＝0，如果这三条直线将平面划分为六部分，则实数k 的所有取值为________．解析：若三条直线有两条平行，另外一条与这两条直线相交，则符合要求，此时k ＝0或2；若三条直线交于一点，也符合要求，此时k ＝1，故实数k 的所有取值为0,1,2.答案：0,1,29．(2013·临沂模拟)已知点P (4，a )到直线4x －3y －1＝0的距离不大于3，则a 的取值范围是________．解析：由题意得，点到直线的距离为|4×4－3×a －1|5＝|15－3a |5.又|15－3a |5≤3，即|15－3a |≤15，解得，0≤a ≤10，所以a ∈[0,10]．答案：[0,10]10．(2013·舟山模拟)已知1a ＋1b＝1(a ＞0，b ＞0)，求点(0，b )到直线x －2y －a ＝0的距离的最小值．解：点(0，b )到直线x －2y －a ＝0的距离为d ＝a ＋2b5＝15(a ＋2b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝15⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋2b a ＋a b ≥15(3＋22)＝35＋2105，当且仅当a 2＝2b 2，a ＋b ＝ab ，即a ＝1＋2，b＝2＋22时取等号．所以点(0，b )到直线x －2y －a ＝0的距离的最小值为35＋2105.11．(2012·荆州二检)过点P (1,2)的直线l 被两平行线l 1：4x ＋3y ＋1＝0与l 2：4x ＋3y ＋6＝0截得的线段长|AB |＝2，求直线l 的方程．解：设直线l 的方程为y －2＝k (x －1)，由{ y ＝kx ＋2－k ，4x ＋3y ＋1＝0，解得A ⎝⎛⎭⎪⎫3k －73k ＋4，－5k ＋83k ＋4；由{ y ＝kx ＋2－k ，4x ＋3y ＋6＝0，解得B ⎝⎛⎭⎪⎫3k －123k ＋4，8－10k 3k ＋4.∵|AB |＝2， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫53k ＋42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫5k 3k ＋42＝2，整理，得7k 2－48k －7＝0，解得k 1＝7或k 2＝－17.因此，所求直线l 的方程为x ＋7y －15＝0或7x －y －5＝0. 12．已知直线l ：3x －y ＋3＝0，求： (1)点P (4,5)关于l 的对称点；(2)直线x －y －2＝0关于直线l 对称的直线方程．解：设P (x ，y )关于直线l ：3x －y ＋3＝0的对称点为P ′(x ′，y ′)． ∵k PP ′·k l ＝－1，即y ′－yx ′－x×3＝－1.① 又PP ′的中点在直线3x －y ＋3＝0上， ∴3×x ′＋x 2－y ′＋y2＋3＝0.②由①②得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝－4x ＋3y －95， ③ y ′＝3x ＋4y ＋35. ④(1)把x ＝4，y ＝5代入③④得x ′＝－2，y ′＝7， ∴P (4,5)关于直线l 的对称点P ′的坐标为(－2,7)．(2)用③④分别代换x －y －2＝0中的x ，y ，得关于l 的对称直线方程为－4x ＋3y －95－3x ＋4y ＋35－2＝0，化简得7x ＋y ＋22＝0.1．点P 到点A (1,0)和直线x ＝－1的距离相等，且点P 到直线y ＝x 的距离为22，这样的点P 的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C ∵点P 到点A 和定直线距离相等， ∴P 点轨迹为抛物线，方程为y 2＝4x .设P (t 2,2t )，则22＝|t 2－2t |2，解得t 1＝1，t 2＝1＋2，t 3＝1－2，故P 点有三个．2．(2012·福建模拟)若点(m ，n )在直线4x ＋3y －10＝0上，则m 2＋n 2的最小值是( )A ．2B ．22C ．4D ．23解析：选C 设原点到点(m ，n )的距离为d ，所以d 2＝m 2＋n 2，又因为(m ，n )在直线4x ＋3y －10＝0上，所以原点到直线4x ＋3y －10＝0的距离为d 的最小值，此时d ＝|－10|42＋32＝2，所以m 2＋n 2的最小值为4.3．在直线l ：3x －y －1＝0上求一点P ，使得P 到A (4,1)和B (0，4)的距离之差最大．解：如图所示，设点B 关于l 的对称点为B ′，连接AB ′并延长交l 于P ，此时的P 满足|PA |－|PB |的值最大．设B ′的坐标为(a ，b )，则k BB ′·k l ＝－1，即3·b －4a＝－1. 则a ＋3b －12＝0.①又由于线段BB ′的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，b ＋42，且在直线l 上，则3×a 2－b ＋42－1＝0，即3a －b －6＝0.②解①②，得a ＝3，b ＝3，即B ′(3,3)．于是AB ′的方程为y －13－1＝x －43－4，即2x ＋y －9＝0.解{ 3x －y －1＝0，2x ＋y －9＝0，得{ x ＝2，y ＝5，即l 与AB ′的交点坐标为P (2,5)．1．点(1，cos θ)(其中0≤θ≤π)到直线x sin θ＋y cos θ－1＝0的距离是14，那么θ等于( )或5π6或7π6解析：选B 由已知得|sin θ＋cos 2θ－1|sin 2θ＋cos 2θ＝14，即|sin θ－sin 2θ|＝14，∴4sin 2θ－4sin θ－1＝0或4sin 2θ－4sin θ＋1＝0，∴sin θ＝1±22或sin θ＝12.∵0≤θ≤π，∴0≤sin θ≤1， ∴sin θ＝12，即θ＝π6或5π6.2．已知直线l ：x －y －1＝0，l 1：2x －y －2＝0.若直线l 2与l 1关于l 对称，则l 2的方程是( )A ．x －2y ＋1＝0B ．x －2y －1＝0C ．x ＋y －1＝0D ．x ＋2y －1＝0解析：选B l 1与l 2关于l 对称，则l 1上任一点关于l 的对称点都在l 2上，故l 与l 1的交点(1,0)在l 2上．又易知(0，－2)为l 1上一点，设其关于l 的对称点(x ，y )，则⎩⎨⎧x ＋02－y －22－1＝0，y ＋2x×1＝－1，得{ x ＝－1，y ＝－1.即(1,0)，(－1，－1)为l 2上两点，可得l 2方程为x －2y －1＝0.3．光线沿直线l 1：x －2y ＋5＝0射入，遇直线l ：3x －2y ＋7＝0后反射，求反射光线所在的直线方程．解：法一：由{ x －2y ＋5＝0，3x －2y ＋7＝0，得{ x ＝－1，y ＝2. 即反射点M 的坐标为(－1,2)．又取直线x －2y ＋5＝0上一点P (－5,0)，设P 关于直线l 的对称点P ′(x 0，y 0)，由PP ′⊥l 可知，k PP ′＝－23＝y 0x 0＋5.而PP ′的中点Q 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－52，y 02，Q 点在l 上，即3·x 0－52－2·y 02＋7＝0.由⎩⎨⎧y 0x 0＋5＝－23，32?x 0－5?－y 0＋7＝0.得⎩⎨⎧x 0＝－1713，y 0＝－3213.根据直线的两点式方程可得所求反射光线所在直线的方程为29x －2y ＋33＝0. 法二：设直线x －2y ＋5＝0上任意一点P (x 0，y 0)关于直线l 的对称点为P ′(x ，y )，则y 0－y x 0－x ＝－23，又PP ′的中点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋x 02，y ＋y 02在l 上，即3×x ＋x 02－2×y ＋y 02＋7＝0，由⎩⎨⎧y 0－yx 0－x＝－23，3×x ＋x 02－?y ＋y 0?＋7＝0.可得P 点的坐标为x 0＝－5x ＋12y －4213，y 0＝12x ＋5y ＋2813，代入方程x －2y ＋5＝0中，化简得29x －2y ＋33＝0，故所求反射光线所在的直线方程为29x －2y ＋33＝0.。