第17章含参变量的积分
含参变量的积分例题详解
含参变量的积分例题详解一、引言在数学中，含参变量的积分是一个重要的概念，它涉及到函数的整体性质。
理解并掌握含参变量的积分对于解决各种实际问题具有深远的意义。
下面，我们将通过一个具体的例题来详解含参变量的积分。
二、例题详解假设我们要求解这样一个积分：∫(上限a，下限0)e^(-x)*x^2dx。
这是一个典型的含参变量的积分问题，其中参数为x，被积函数含有x^2。
我们需要根据这个问题的特点，灵活运用积分的各种方法，包括换元法、分部积分法等，来解决它。
首先，我们考虑换元法。
将x换元为t，令t=a-x，则原积分可以改写为：∫(上限a，下限0)e^(a-x)*x^2dx。
注意到e^(a-x)是一个常数，因此我们可以将积分区间变为[0,a]，这样原积分就变成了一个简单的定积分。
接下来，我们使用分部积分法对被积函数进行化简。
被积函数中的x^2可以分解为x的导数乘以x，即x*(x-1)。
因此，原积分的被积函数可以表示为e^(a-x)*(x-1)*x。
对这部分进行积分，我们可以得到∫(上限a，下限0)e^(a-x)*(x-1)*xdx=e^(a-x)*(x^2-x)|(上限a，下限0)=a^3/3-a^2/2。
最后，我们将两部分相加得到最终结果：∫(上限a，下限0)e^(-x)*x^2dx=a^3/3-a^2/2+C，其中C为常数。
三、总结通过这个例题，我们可以看到含参变量的积分需要我们灵活运用各种积分方法，包括换元法和分部积分法等。
同时，我们需要对被积函数进行适当的化简，以便更好地理解和求解含参变量的积分。
需要注意的是，当参数或者被积函数含有复杂的形式时，我们需要更深入地理解和分析问题，才能找到合适的解决方法。
总的来说，含参变量的积分是数学中的一个重要概念，它涉及到函数的整体性质和变化规律。
通过理解和掌握含参变量的积分，我们可以更好地解决各种实际问题，为我们的学习和工作提供有力的支持。
参变量积分
由复合函数的连续性
f (a( y ) t (b( y ) a( y )), y )(b( y ) a( y ))
在[0,1][c,d]上连续,由定理1,
F ( y)
在[c,d]上连续.
b( y )
a( y )
f ( x, y)dx
数学分析选讲
多媒体教学课件
定理4设f(x,y), fy(x,y)在矩形[a,b,c,d]上连续, a(y), b (y) 存在,且当y[c,d]时,
0
sin t dt 收敛,故对任意>0,存在M>0,使对任意 t
数学分析选讲
A >M>0,有
多媒体教学课件
sin t | dt | . A t 因此当Aa>M时,对任意x[a,+),有
Ax aA M ,
从而
|
Ax sin xy sin t dt || dy | . A t y
b( y )
a( y )
f ( x, y)dx
数学分析选讲
多媒体教学课件
证明：作积分变换 x a( y ) t (b( y ) a( y )), 则
F ( y)
b( y )
a( y )
1
f ( x, y)dx
f (a( y ) t (b( y ) a( y )), y )(b( y ) a( y ))dt ,
多媒体教学课件
定理5设函数f(x,y)在矩形[a,b,c,d]上连续,,是
d
c
dy f ( x, y )dx dx f ( x, y )dy
b b d a a c
含参变量的积分精编版共29页
谢谢！
51、 天 下 之 事 常成 于困约 ，而败 于奢靡 。——陆 游 52、 生 命 不 等 于是呼 吸，生 命是活 动。——卢 梭
53、 伟 大 的 事 业，需 要决心 ，能力 ，组织 和责任 感。 ——易 卜 生 54、 唯 书 籍 不 朽。——乔 特
55、 为 中 华 之 、人民应该为法律而战斗，就像为 了城墙 而战斗 一样。 ——赫 拉克利 特 17、人类对于不公正的行为加以指责 ，并非 因为他 们愿意 做出这 种行为 ，而是 惟恐自 己会成 为这种 行为的 牺牲者 。—— 柏拉图 18、制定法律法令，就是为了不让强 者做什 么事都 横行霸 道。— —奥维 德 19、法律是社会的习惯和思想的结晶 。—— 托·伍·威尔逊 20、人们嘴上挂着的法律，其真实含 义是财 富。— —爱献 生
含参变量的积分求导公式
含参变量的积分求导公式1.引言积分求导是微积分中非常重要的概念，它使我们能够在数学和物理问题中处理函数的变化率和曲线的斜率。
在一元微积分中，我们通常处理不包含参量的函数，而不受外界因素的影响。
然而，在某些情况下，我们需要考虑参量对函数的影响。
本文档将介绍含参变量的积分求导公式，并提供一些具体例子来帮助读者理解和应用这些公式。
2.含参变量的积分求导公式在含参变量的函数中，函数的形式可以写为$f(x;a)$，其中$x$表示自变量，$a$表示参数。
求导的目标是找到函数在某一点$x$的斜率或变化率。
在求导过程中，我们将参数$a$视为常数，只对变量$x$进行求导。
根据链式法则，含参变量的积分求导公式可以写为：$$\f ra c{d}{d x}\in t{f(x;a)d x}=\int{\f ra c{\p ar ti al}{\p ar ti a lx}f(x;a)d x}$$其中，$\f ra c{\p ar t ia l}{\pa rt ia lx}f(x;a)$表示对函数$f(x;a)$关于$x$的偏导数。
注意，求导结果仍然包含变量$x$。
3.示例为了更好地理解含参变量的积分求导公式，我们来看几个具体的例子。
3.1.例子1考虑一个含参变量的函数$f(x;a)=x^2+a x$，我们的目标是求它在某一点$x_0$的斜率。
首先，我们对函数$f(x;a)$关于$x$进行偏导数运算，得到：$$\f ra c{\p ar ti al}{\p ar ti al x}f(x;a)=2x+a$$然后，我们可以根据公式计算出在点$x_0$处的斜率：$$\f ra c{d}{d x}\in t{f(x;a)d x}=\int{\f ra c{\p ar ti al}{\p ar t i a lx}f(x;a)d x}=\i n t{(2x+a)dx}=x^2+ax+C$$其中，$C$为常数。
3.2.例子2现在考虑一个含参变量的函数$f(x;a)=e^{ax}$。
高等数学 含参变量的积分
4
因此得
I ln 2
8
2020/8/2
重积分
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二、积分限含参变量的积分
在实际问题中, 常遇到积分限含参变量的情形, 例如,
设 f (x, y) 为定义在区域
(x) y (x)
D: axb
上的连续函数, 则
(x)
(x) f (x, y) d y ( x)
y y (x)
D
y (x)
oa
bx
也是参变量 x 的函数 , 其定义域为 [ a , b ] .
利用前面的定理可推出这种含参积分的性质.
2020/8/2
重积分
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定理4.(连续性) 若 f (x, y) 在区域
D :{(x, y) (x) y (x), a x b}
时, 求导与求积运算是可以交换顺序的 .
2020/8/2
重积分
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例1. 求 I 1 xb xa d x (0 a b). 0 ln x
解: 由被积函数的特点想到积分:
b a
xy d
y
xy ln x
b a
xb xa ln x
I
1
dx
b xy d y
a
D f (x, y) d x d y
推论: 在定理2 的条件下, 累次积分可交换求积顺序,
即
2020/8/2
重积分
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定理3. (可微性) 若 f (x, y) 及其偏导数 fx (x, y) 都在
矩形域
R
[a,b][, ]上连续, 则(x)
含参变量的常义积分
f ( x, c( x) t(d( x) c( x)))(d( x) c( x))
在矩形区域 [ a ,b][0 ,1]上连续, 由定理1 得函数
F(x) 在[a, b]连续.
b
I( y) a f ( x, y)dx
在[ c , d ]上连续. 证 设 y [ c, d], 对充分小的 y , 有y y [c, d ](若 y 为区间的端点, 则仅考虑 y 0 或 y 0 ), 于是
*例3 计算积分
I
1 ln(1 x) 0 1 x2 dx
dy
y A dy B dy
b( y)
a( y) f y ( x, y)dx f (b( y), y)b( y)
f (a( y), y)a( y) .
例1 设 F ( y) y2 sin yx dx, 求 F( y). yx 解 由定理4，得
F( y)
y2
sin y3 sin y2
b f ( x, y)dx.
a y
证 对于 [c, d ] 内任意一点 y, 设 y y [c, d ] (若y 为
区间的端点, 则讨论单侧函数), 则
I( y y) I( y)
b
I( y) liym0afy( x, yy)dx
b
a
lim
y0
f y ( x,
y
y)dx
b
a f y ( x, y)dx
定理4 (F ( y) 的可微性) 设 f ( x, y), fx ( x, y) 在
一、含参量正常积分的定义
设 f ( x, y)是定义在矩形区域 R [ a, b][ c, d]上的
含参变量积分的性质
目录1引言 ................................................... 1 2含参变量积分 . (1)2.1一元含参变量的有限积分函数()()⎰=badx u x f u ,ϕ的定义及其分析性质 (1)2.2含参变量的有限()2≥n n 重积分函数的定义及其分析性质 ............................................ 4 2．2.1含参变量的有限二重积分函数定义及其分析性质 .. (4)2.2.2含参变量的有限n 重积分函数的分析性质 (10)3例题 .................................................. 11 4结束语 ................................................ 14 参考文献 ............................................... 15 致谢 (16)含参变量积分的性质数学系0803班 陈璐指导教师 王芳摘 要：含参变量积分是一类比较特殊的积分，由于它是函数但又是以积分形式给出的,所以它在积分计算中起着桥梁作用，本文通过对一元含参变量的有限积分函数:A ()()⎰=ba dx u x f u ,ϕ的定义及其在区间[]b a ,上的分析性质(连续性、可微性与可积性)出发，阐述了含参变量的有限()2≥n n 重积分函数的定义及其分析性质，分别推导出含参变量的有限二重积分函数及含参变量的有限n 重积分函数的连续性、可微性与可积性定理与公式，最后给出了一些应用实例。
关键词：含参变量，积分函数，分析性质。
Including the nature of the integral depending on a parameterChen LuClass 0803, Mathematics DepartmentTutor: Wang FangAbstract : Contain integral depending on a parameter is a kind of a special points, because it is an integral form and function are given, so it plays in the integral calculation bridge. This paper, with a yuan of parameter of the integral function limited definition A and in the analysis of the interval nature (continuity, the differentiability and integrality) article, expatiates the heavy integral depending on a parameter with limited definition and nature of the function analysis, were deduced with the double integral depending on a parameter, function and the parameter with limited heavy continuity of integral function, can the sex and integrable theorems and formula. Finally gives some practical examples.Key words: including parameter, integral function, analysis of the interval nature.1引言目前，许多学者对含参变量积分的性质的研究已经达到了一定的深度，主要研究了许多运用含参变量积分的性质解决实际问题的方法。
含参变量的积分
ξ12.3 含参变量的积分一、含参变量的有限积分设二元函数f （x,u)在矩形域R （βα≤≤≤≤u b x a ,）有定义，],,[βα∈∀u 一元函数f(x,u)在[a,b]可积，即积分dxu x f a b),(⎰存在 ],[βα∈∀u 都对应唯一一个确定的积分（值)),(u x f a b⎰dx .于是，积分dx u x f a b),(⎰是定义在区间],[βα的函数，记为],[,),()(βαϕ∈=⎰u dx u x f ab u ,称为含参变量的有限积分，u 称为参变量。
下面讨论函数)(u ϕ在区间 ],[βα的分析性质，即连续性、可微性与可积性定理 1 若函数),(u x f 在矩形域R ),(βα≤≤≤≤u b x a 连续，则函数dx u x f abu ),()(⎰=ϕ在区间也连续。
证明有，使取],,[u ],,[βαβα∈∆+∆∈∀u u u.),(),()()(.)],(),([)()dx u x f u u x f abu u u dx u x f u u x f abu u u -∆+≤-∆+-∆+=-∆+⎰⎰ϕϕϕϕ（根据ξ10.2定理8，函数),(u x f 在闭矩形域R 一致连续，即,,:),(),(,0,02121221,1δδδε<-<-∈∀>∃>∀y y x x R y x y x 有ε<-),(),(2211y x f y x f .特别地，.:),(),,(δ<∆∈∆+∀u R u u x u x 有 .),(),(ε<-∆+u x f u u x f 于是，,δ<∆u 有)(),(),()()(a b dx u x f u u x f ab u u u -<-∆+≤-∆+⎰εϕϕ 即函数在区间连续.设[]βα,0∈u ，由连续定义，有)()(lim ),(limu u dx u x f a bu u u u ϕϕ==→→⎰=dx u x f a b dx u x f a b u u ),(lim ),(00→⎰⎰=. 由此可见，当函数),(u x f 满足定理1的条件时，积分与极限可以交换次序. 定理2 若函数),(u x f 与uf∂∂在矩形域R(βα≤≤≤≤u b x a ,)连续，则函数在区间[βα,]可导，且[]βα,∈∀u ，有dxu u x f a b u du d∂∂=⎰),()(ϕ 或dx u u x f a b dx u x f abdu d ∂∂=⎰⎰),(),(. 简称积分号下可微分.证明 [][],,u,,,βαβα∈∆+∆∈∀u u u 使取有[].),(),()()(dx u x f u u x f abu u u -∆+=-∆+⎰ϕϕ （1） 已知uf∂∂在R 存在，根据微分中值定理，有 .10,),(),(),('<<∆∆+=-∆+θθu u u x f u x f u u x f u 将它代入（1）式，等号两端除以u ∆，有.10,),()()('<<∆+=∆-∆+⎰θθϕϕdx u u x f ab u u u u u 在上面等式等号两端减去dx u x f abu ),('⎰，有d x u x f abu u u u u ),()()('⎰-∆-∆+ϕϕ dx u x f u u x f ab u u ),(),(''-∆+≤⎰θ. 根据 ξ10.2定理8，函数),('u x f u 在闭矩形域R 一致连续，即,0,0>∃>∀δε,:),(),,(δ<∆∈∆+∀u R u u x u x 有.),(),(''εθ<-∆+u x f u u x f u u 从而，有),(),()()('a b dx u x f abu u u u u -≤-∆-∆+⎰εϕϕ即 dx u x f abuu u u u u ),()()(lim '0⎰=∆-∆+→∆ϕϕ 或.),()(dx u u x f a b u dud∂∂=⎰ϕ 定理2指出，当函数),(u x f 满足定理2的条件时，导数与积分可以交换次序. 定理 3 若函数),(u x f 在矩形域R （βα≤≤≤≤u b x a ,）连续，则函数dx u x f abu ),()(⎰=ϕ在区间[]βα,可积，且.).(),(dx du u x f a b du dx u x f a b ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰⎰⎰⎰αβαβ （2） 简称积分号下可积分.证明 根据定理1，函数)(u ϕ在[]βα,连续，则函数)(u ϕ在区间[]βα,可积.下面证明等式（2）成立.[]βα,∈∀t ，设.),()(,),()(21dx du u x f t a b t L du dx u x f a b t t L ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎰⎰⎰⎰αα根据4.8ξ定理1，有.),()('1dx t x f abt L ⎰=已知du u x f t ),(⎰α与du u x f tt ),(⎰∂∂α都在R 连续，根据定理2，有dx du u x f ta b dt d t L ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎰⎰),()('2α =dx du u x f t t a b ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂⎰⎰),(α =dx t x f ab),(⎰.于是，[]βα,∈∀t ，有()().'2'1t L t L =.由1.6ξ例1，()(),21C t L t L =-其中C 是常数.特别地,当α=t 时，()(),021==ααL L 则C=0,即()()β==t t L t L 当.21时，有()(),21ββL L =即.),(),(dx du u x f a b du dx u x f a b ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰⎰⎰⎰αβαβ定理3指出，当函数),(u x f 满足定理3的条件时，关于不同变量的积分可以交换次序。
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级数与积分是构造函数的两个重要分 析工具。我们已经介绍了一种利用定积分 构造的函数──积分上限的函数。 本章和 下章介绍另一种利用 Riemann 积分与广义 积分构造的函数──含参变量的正常积分与 含参变量的广义积分，并研究它们的分析 性质：连续性、可微性、可积性。
2015年9月8日星期二
J ( y ) 在 [c, d ] 上可积。记为
b
a
I ( x ) dx J ( y)
d
c
f ( x, y) dy dx dy f ( x, y ) dx dy
b d a c d b c a
b
a d
dx dy
d
c b
f ( x, y ) dy f ( x, y ) dx
b ( y y )
b( y )
当 y 0 时，上式右端的三个积分都趋于零，于是
y 0
lim [ F ( y y ) F ( y )] 0
2015年9月8日星期二
16
§17 含参变量的正常积分
定理4可微性 :
若 f ( x, y), f x ( x, y) 在 R [a, b] [c, d ] 上连续, c( x), d ( x) 为定义在
I1 (u) I 2 (u) k , (k为常数).
取u b,即得所证结论 .
当u a时，I 1 (a) I 2 (a) 0, 于是k 0时， 即得
I1 (u) I 2 (u),u [a, b].
2015年9月8日星期二
12
§17 含参变量的正常积分
3. 含参变量正常积分的一般形式
结合复合函数及可变上限积分的求导法则即可证明 .
2015年9月8日星期二 17
§17 含参变量的正常积分 对于参变量的积分： F ( y)
b( y ) a( y )
f ( x, y) dx
它的分析性质也有类似的结果.
同理也有 设 f ( x, y) 和 f y ( x, y) 都在矩形
(教材p247)
dx
a
u
u
d
c
f ( x, y)dy, I2 (u) dy f ( x, y)dx
c a
d
u
令H (u, y) f ( x, y)dx, 则
a
I 2 (u ) H (u, y)dy.
c
d
因为H (u, y)与Hu (u, y) f (u, y)都在R上连续， 由可微性
[ a , b ] 上,
c( x)及d ( x)都存在，则
d ( x)
F(x) F (x)
'
c( x)
f ( x, y )dy
在 [a, b]上可微, 且
' '
d ( x)
c( x)
f x ( x, y )dy f ( x, d ( x)) d ( x) f ( x, c( x))c ( x).
c
a
要研究这两个积分是否相等？ 2015年9月8日星期二 9
§17 含参变量的正常积分
定理5 可积性 :
若二元函数 f ( x, y) 在矩形域R(a x b, c y d ) 上连续, 则 I ( x) 和 J ( y) 在 [a, b] 和 [c, d ] 可积, 且
dx
1
§17 含参变量的正常积分
1. 含参量正常积分的定义 2. 含参量正常积分的性质 3. 含参量正常积分的一般形式
2015年9月8日星期二
2
§17 含参变量的正常积分 1. 含参量正常积分的定义
(先固定x)
f ( x, y) 则是定义在 [c, d ]
设 f ( x, y) 是定义在矩形域 R(a x b, c y d ) 上的连续 函数, 当
d d d d I (u ) H (u, y )dy H u (u, y )dy f (u, y )dy I (u ). c c du c ' 2
(u) I 2 (u). 即I1
2015年9月8日星期二
11
§17 含参变量的正常积分
因此u [a, b], 有
18
2015年9月8日星期二
§17 含参变量的正常积分
证明
y0 [c, d ]
b ( y0 ) a ( y0 )
F ( y)
f ( x, y) dx
b( y )
b ( y0 )
f ( x, y) dx
a( y)
2015年9月8日星期二 4
§17 含参变量的正常积分 2. 含参量正常积分的性质
定理1 连续性 :
若函数 f ( x, y)在矩形域 R(a x b, c y d ) 上连续, d 则函数 I(x) f ( x, y)dy 在 [a, b] 上连续
c
x, 有x x [a, b],于是 证: 设x [a, b], 对充分小的
14
2015年9月8日星期二
§17 含参变量的正常积分 对于参变量的积分： F ( y)
b( y )
a( y )
f ( x, y) dx
它的分析性质也有类似的结果。 (教材p245)
同理也有 设f ( x, y) 在矩形 [a, b; c, d ] 上连续， a( y ), b( y ) 都在 [c, d ]上连续，并且
d d f ( x x, y ) f ( x, y ) I f x ( x, y )dy f x ( x, y ) dy (d c). c c x x
即x [a, b], 有
d d d f ( x, y )dy f ( x, y )dБайду номын сангаас c x dx c
(证毕)
2015年9月8日星期二 8
§17 含参变量的正常积分
下面讨论可积性. 设 f ( x, y) 在矩形 [a, b; c, d ]上连续，那末由定理1 ，函数
I ( x ) f ( x, y ) dy
c
d
J ( y ) f ( x, y ) dx
a
b
分别在 [ a, b] 及 [c, d ] 上连续。因此 I ( x )在 [ a, b] 上可积，
d d d f ( x, y )dy f ( x, y )dy c x dx c 即求导和积分可以交换顺序.
证 : 设x [a, b], 对充分小的 x, 有x x [a, b],则
d f ( x x, y ) f ( x, y ) I(x x) - I(x) dy. c x x 由Lagrange 中值定理及 f x ( x, y)在有界闭域 R上连续知
a a( y) b,
则
a b( y) b
(c y d )
在 [c, d ] 上连续。
F ( y)
b( y )
a( y )
f ( x, y) dx
2015年9月8日星期二
15
§17 含参变量的正常积分
证明
F ( y y ) F ( y )
b ( y y )
I=I(x x)-I(x) [ f ( x x, y) f ( x, y)]dy.
c
d
由于f ( x, y)在R上连续从而一致连续知 0, 0, ( x1 , y1 ), ( x2 , y2 ) R,当 x1 x2 ,
y1 y2 ,
a
b
d
c
f ( x, y)dy dy f ( x, y)dx
c a
d
b
即累次积分顺序可以交换.或与积分顺序无关.
2015年9月8日星期二
10
§17 含参变量的正常积分
证 : 记I1 (u)
其中u [a, b]， 先证I1 (u) I 2 (u). d d u ' I1 (u ) I ( x) dx I (u ) （ f u，y）dy. c dx a
5
有 f ( x1, y1 ) f ( x2 , y2 ) .
2015年9月8日星期二
§17 含参变量的正常积分
故当x 时有
I(x x)-I(x) f ( x x, y) f ( x, y) dy.
c
d
从而I ( x)在[a, b]上连续.
b
dx (d c).
上可积,则其积分值是 x 在 [a, b] 上取值的函数,表为
F(x)
d ( x)
c( x)
f ( x, y)dy, x [a, b].
13
称为含参量 x 的正常积分,或简称含参量积分.
2015年9月8日星期二
§17 含参变量的正常积分
y Y=d(x)
G Y=c(x)
定理3连续性 :
o
a
[a, b; c, d ] 上连续，
(c y d )
a( y), b( y) 在 [c, d ]可导，并且
a a( y) b, a b( y) b
d b( y ) 则 F ( y) f ( x, y) dx a ( y ) dy
b( y ) a( y)
f y ( x, y) dx f (b( y), y) b( y) f (a( y), y) a( y)
c x x0
d
即其极限运算与积分运算的顺序是可交换的.
2015年9月8日星期二 6
§17 含参变量的正常积分
定理2 可微性 : 若函数 f ( x, y) 与其偏导数 f ( x, y) 都在矩形域 x Rd (a x b, c y d ) 上连续,则 I(x) f ( x, y)dy 在 [a, b] 上可微, 且 c