(推荐)高中数学直线与方程知识点总结

直线与方程

1、直线的倾斜角的概念：当直线l与x轴相交时, 取x轴作为基准, x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.特别地,当直线l与x 轴平行或重合时, 规定α= 0°.

2、倾斜角α的取值范围： 0°≤α＜180°. 当直线l与x轴垂直时, α= 90°.

3、直线的斜率:

一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,也就是 k = tanα

⑴当直线l与x轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0;

⑵当直线l与x轴垂直时, α= 90°, k 不存在.

由此可知, 一条直线l的倾斜角α一定存在,但是斜率k不一定存在.

4、直线的斜率公式:

给定两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率：

斜率公式: k=y2-y1/x2-x1

两条直线的平行与垂直

1、两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，那么它们平行，即

注意: 上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不成立．即如果k1=k2, 那么一定有L1∥L2

2、两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数；反之，

如果它们的斜率互为负倒数，那么它们互相垂直，即

直线的点斜式方程

1、 直线的点斜式方程：直线l 经过点),(000y x P ，且斜率为k

)(00x x k y y -=-

2、、直线的斜截式方程：已知直线l 的斜率为k ，且与y 轴的交点为),0(b

b kx y +=

3.2.2 直线的两点式方程

1、直线的两点式方程：已知两点),(),,(222211

y x P x x P 其中),(2121y y x x ≠≠ y-y1/y-y2=x-x1/x-x2

2、直线的截距式方程：已知直线l 与x 轴的交点为A )0,(a ，与y 轴的交点为B ),0(b ，其中0,0≠≠b a 3.2.3 直线的一般式方程

1、直线的一般式方程：关于y x ,的二元一次方程0=++C By Ax （A ，B 不同时为0）

2、各种直线方程之间的互化。 3.3直线的交点坐标与距离公式 3.3.1两直线的交点坐标 1、给出例题：两直线交点坐标

L1 ：3x+4y-2=0 L1：2x+y +2=0

解：解方程组 3420

2220x y x y +-=??++=?

得 x=-2，y=2

()()

22

122221PP x x y y =

-+-所以L1与L2的交点坐标为M （-2，2） 3.3.2 两点间距离 两点间的距离公式

3.3.3 点到直线的距离公式 1．点到直

线距离公式：

点),(00y x P 到直线0:=++C By Ax l 的距离为：2

2

00B

A C

By Ax d +++=

2、两平行线间的距离公式：

已知两条平行线直线1l 和2l 的一般式方程为1l ：01=++C By Ax ，

2l ：02=++C By Ax ，则1l 与2l 的距离为2

2

21B

A C C d +-=

直线与方程公式整理

（1）直线的倾斜角

定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180° （2）直线的斜率

①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用k 表示。即tan k α=。斜率反映直线与轴的倾斜程度。

当[

) 90,0∈α时，0≥k ； 当() 180,90∈α时，0

②过两点的直线的斜率公式：)(211

21

2x x x x y y k ≠--=

注意下面四点：(1)当21x x =时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°；

(2)k 与P 1、P 2的顺序无关；(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；

(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。 （3）直线方程

①点斜式：)(11x x k y y -=-直线斜率k ，且过点()11,y x 注意：当直线的斜率为0°时，k=0，直线的方程是y =y 1。

当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因l 上每一点的横坐标都等于x 1，所以它的方程是x =x 1。 ②斜截式：b kx y +=，直线斜率为k ，直线在y 轴上的截距为b

③两点式：

11

2121

y y x x y y x x --=--（1212,x x y y ≠≠）直线两点()11,y x ，()22,y x ④截矩式：1x y a b

+

= 其中直线l 与x 轴交于点(,0)a ,与y 轴交于点(0,)b ,即l 与x 轴、y 轴的截距分别为,a b 。

⑤一般式：0=++C By Ax （A ，B 不全为0）

注意：○1各式的适用范围 ○

2特殊的方程如：

平行于x 轴的直线：b y =（b 为常数）； 平行于y 轴的直线：a x =（a 为

常数）；

（4）直线系方程：即具有某一共同性质的直线 （一）平行直线系

平行于已知直线0000=++C y B x A （00,B A 是不全为0的常数）的直线系：

000=++C y B x A （C 为常数）

（二）过定点的直线系

（ⅰ）斜率为k 的直线系：()00x x k y y -=-，直线过定点()00,y x ；

（ⅱ）过两条直线0:1111=++C y B x A l ，0:2222=++C y B x A l 的交点的直线系方程为

()()0222111=+++++C y B x A C y B x A λ（λ为参数），其中直线2l 不在直线系中。 （5）两直线平行与垂直

当111:b x k y l +=，222:b x k y l +=时，

212121,//b b k k l l ≠=?；12121-=?⊥k k l l

注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。 （6）两条直线的交点

0:1111=++C y B x A l 0:2222=++C y B x A l 相交

交点坐标即方程组??

?=++=++0

0222111C y B x A C y B x A 的一组解。 方程组无解21//l l ? ； 方程组有无数解?1l 与2l 重合

（7）两点间距离公式：设1122(,),A x y B x y ，（）

是平面直角坐标系中的两个点， 则222121||()()AB x x y y =-+-

（8）点到直线距离公式：一点()00,y x P 到直线0:1=++C By Ax l 的距离

2

200B A C

By Ax d +++=

（9）两平行直线距离公式

在任一直线上任取一点，再转化为点到直线的距离进行求解。

例1、在△ABC 中，已知A (5，－2)、B (7,3)，且AC 边的中点M 在y 轴上，BC 边的中点N 在x 轴上，求：

(1)顶点C 的坐标； (2)直线MN 的方程．

解：(1)设点C 的坐标为(x ，y )，则有x ＋5

2＝0，3＋y

2＝0，

∴x ＝－5，y ＝－3.即点C 的坐标为(－5，－3)．

(2)由题意知，M (0，－52)，N (1,0)，∴直线MN 的方程为x －y

5

2＝1，

即5x －2y －5＝0.

例2、已知两点A (－1,2)，B (m,3)．

(1)求直线AB 的方程；

(2)已知实数m ∈[－

3

3

－1，3－1]，求直线AB 的倾斜角α的取值范围． 解：(1)当m ＝－1时，直线AB 的方程为x ＝－1，

当m≠－1时，直线AB的方程为y－2＝

1

m＋1

(x＋1)．

(2)①当m＝－1时，α＝π2

；

②当m≠－1时，m＋1∈[－

3

3

，0)∪(0，3]，

∴k＝

1

m＋1

∈(－∞，－3]∪[

3

3

，＋∞)，

∴α∈[π

6

，

π

2

)∪(

π

2

，

2π

3

]．

综合①②知，直线AB的倾斜角α的取值范围为[π

6

，

2

3

π]．

例3、为了绿化城市，拟在矩形区域ABCD内建一个矩形草坪(如图所示)，另外，△AEF内部有一文物保护区不能占用，经测量AB＝100 m，BC＝80 m，AE ＝30 m，AF＝20 m，应如何设计才能使草坪面积最大？

解：建立如图所示直角坐标系，则E(30,0)，F(0,20)，于是，

线段EF的方程是x

30

＋

y

20

＝1(0≤x≤30)，

在线段EF上取点P(m，n)，作PQ⊥BC于点Q，PR⊥CD于点R，设矩形PQCR的面积为S，则：

S＝|PQ|·|PR|＝(100－m)(80－n)，

因为m

30

＋

n

20

＝1，所以n＝20(1－

m

30

)，

所以S＝(100－m)(80－20＋2 3 m)

＝－2

3

(m－5)2＋

18 050

3

(0≤m≤30)，