必修二第三章直线与方程知识点总结及练习答案

必修二 第三章 直线与方程

（1）直线的倾斜角

定义：x 轴正向与直线向上方向

或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。因此，倾斜角的取值范围是（2）直线的斜率

①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用tan k α=。斜率反映直线与轴的倾斜程度。 当直线l 与x , α=0°, k = tan0°=0; 当直线l 与x 轴垂直时, α= 90°, k 不存在. 当[

)

ο

ο90,0∈α时，0≥k ； 当(

)ο

ο180,90∈α时，0

90=α时，k 不存

在。

②过两点的直线的斜率公式：)(211

21

2x x x x y y k ≠--=

（ P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2）

注意下面四点：(1)当21x x =时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°；

(2)k 与P

1、P 2的顺序无关；

(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得； (4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。

1

当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因l 上每一点的横坐标都等于x 1，所以它的方程是x =x 1。

12

（7）两条直线的交点

0:1111=++C y B x A l 0:2222=++C y B x A l 相交

交点坐标即方程组??

?=++=++0

222111C y B x A C y B x A 的一组解。 方程组无解21//l l ? ； 方程组有无数解?1l 与2l 重合 （8）两点间距离公式：设1122(,),A x y B x y ，（）

是平面直角坐标系中的两个点， 则222121||()()AB x x y y =-+-

（9）点到直线距离公式：一点()00,y x P 到直线0:1=++C By Ax l 的距离2

200B

A C By Ax d +++=

（10）两平行直线距离公式

已知两条平行线直线1l 和2l 的一般式方程为1l ：01=++C By Ax ，

2l ：02=++C By Ax ，则1l 与2l 的距离为2

2

21B

A C C d +-=

直线的方程

1.设a ，b ，c 是互不相等的三个实数，如果A （a ，a 3

）、B （b ，b 3

）、C （c ，c 3

）在同一直线上，求证：a +b +c =0.证明 ∵A 、B 、C 三点共线，∴k AB =k AC ， ∴c

a c a

b a b a --=--3333，化简得a 2+ab +b 2=a 2+a

c +c 2

，

∴b 2-c 2

+ab -ac =0，（b -c ）（a +b +c ）=0， ∵a 、b 、c 互不相等，∴b -c ≠0，∴a +b +c =0. 2.若实数x ,y 满足等式(x -2)2

+y 2

=3，那么

x

y

的最大值为 （ ）

A .2

1

B .

3

3 C .

2

3

D .3

答案D

3.求经过点A （-5，2）且在x 轴上的截距等于在y 轴上的截距的2倍的直线方程； 解 ①当直线l 在x 、y 轴上的截距都为零时，设所求的直线方程为y =kx , 将（-5，2）代入y =kx 中，得k =-52，此时，直线方程为y =-5

2

x , 即2x +5y =0. ②当横截距、纵截距都不是零时，设所求直线方程为

a y a x +2=1，将（-5，2）代入所设方程，解得a =-2

1

， 此时，直线方程为x +2y +1=0.综上所述，所求直线方程为x +2y +1=0或2x +5y =0.

4.直线l 经过点P （3，2）且与x ，y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点，△OAB 的面积为12，求直线l 的方程.

解 方法一 设直线l 的方程为1=+b

y

a x （a ＞0,

b ＞0）, ∴A (a ,0),B (0,b ), ∴??

?

??=+=.123,

24b

a a

b 解得???==.4,6b a

∴所求的直线方程为

4

6y

x +=1,即2x +3y -12=0. 方法二 设直线l 的方程为y -2=k (x -3), 令y =0,得直线l 在x 轴上的截距a =3-k

2

,令x =0,得直线l 在y 轴上的截距b =2-3k . ∴??? ?

?

-k 23(2-3k )=24.解得k =-32.∴所求直线方程为y -2=-32(x -3).即2x +3y -12=0.

9.已知线段PQ 两端点的坐标分别为（-1，1）、（2，2），若直线l ：x +my +m =0与线段PQ 有交点，求m 的取值范围.

解 方法一 直线x +my +m =0恒过A （0，-1）点. k AP =1011+--=-2，k AQ =2021---=2

3

， 则-m 1≥2

3

或-m 1≤-2， ∴-32≤m ≤2

1

且m ≠0.又∵m =0时直线x +my +m =0与线段PQ 有交点，∴所求m 的取

值范围是-

32≤m ≤2

1

. 方法二 过P 、Q 两点的直线方程为y -1=1212+-(x +1),即y =31x +3

4

,代入x+my +m =0, 整理，得x =-

37+m m . 由已知-1≤-37+m m ≤2, 解得-32≤m ≤2

1

.

两直线方程

例1 已知直线l 1:ax +2y +6=0和直线l 2:x +(a -1)y +a 2

-1=0, （1）试判断l 1与l 2是否平行； （2）l 1⊥l 2时，求a 的值.

解 （1）方法一 当a =1时，l 1:x +2y +6=0,l 2:x =0,l 1不平行于l 2;

当a =0时，l 1:y =-3,l 2:x -y -1=0,l 1不平行于l 2;

当a ≠1且a ≠0时，两直线可化为 l 1:y =-x a 2-3,l 2:y =x a

-11-(a +1), l 1∥l 2???

???+-≠--=

-)1(3112a a a ，解得a =-1,

综上可知，a =-1时，l 1∥l 2，否则l 1与l 2不平行.

方法二 由A 1B 2-A 2B 1=0，得a （a -1）-1×2=0，由A 1C 2-A 2C 1≠0，得a (a 2

-1)-1×6≠0,

∴l 1∥l 2???

???≠?--=?--061)1(0

21)1(2a a a a

??????≠-=--6

)1(0

222a a a a ?a =-1,

故当a =-1时，l 1∥l 2，否则l 1与l 2不平行.

（2）方法一 当a =1时，l 1:x +2y +6=0,l 2:x =0,l 1与l 2不垂直，故a =1不成立.

当a ≠1时，l 1:y =-

2a x -3,l 2:y =x a -11-(a +1), 由??? ??-2a ·a

-11=-1?a =32.

方法二 由A 1A 2+B 1B 2=0，得a +2(a -1)=0?a =

3

2.

例3 已知直线l 过点P （3，1）且被两平行线l 1:x +y +1=0,l 2:x +y +6=0截得的线段长为5，求直线l 的方程. 解 方法一 若直线l 的斜率不存在，

则直线l 的方程为x =3,此时与l 1,l 2的交点分别是A （3，-4），B （3，-9）， 截得的线段长|AB |=|-4+9|=5,符合题意.

若直线l 的斜率存在时，则设直线l 的方程为y =k (x -3)+1,分别与直线l 1,l 2的方程联立，

由???=+++-=011)3(y x x k y ,解得A ??? ??+-+-141,123k k k k .

8分

由???=+++-=061)3(y x x k y ,解得B ??? ??+-+-191173k k ，k k ,

由两点间的距离公式，得

2

1731

23??? ??+--+-k k k k +2

191141???

??+--+-k k k k =25， 解得k =0,即所求直线方程为y =1. 综上可知，直线l 的方程为x =3或y =1.

方法二 设直线l 与l 1,l 2分别相交于A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 1+y 1+1=0,x 2+y 2+6=0,

两式相减，得(x 1-x 2)+(y 1-y 2)=5 ①

6分

又(x 1-x 2)2

+(y 1-y 2)2

=25

② 联立①②可得???=-=-052121y y x x 或???=-=-50

2121y y x x ,

10分

由上可知，直线l 的倾斜角分别为0°和90°， 故所求的直线方程为x =3或y =1.

例4 求直线l 1:y =2x +3关于直线l :y =x +1对称的直线l 2的方程.

解 方法一 由???+=+=13

2x y x y 知直线l 1与l 的交点坐标为（-2，-1），

∴设直线l 2的方程为y +1=k (x +2),即kx -y +2k -1=0.

在直线l 上任取一点（1，2），由题设知点（1，2）到直线l 1、l 2的距离相等， 由点到直线的距离公式得 2

2

1122k

k k +-+-=

2

2

)

1(2322-++-，

解得k =

2

1

(k =2舍去)，∴直线l 2的方程为x -2y =0. 方法二 设所求直线上一点P （x ,y ）,

则在直线l 1上必存在一点P 1（x 0,y 0）与点P 关于直线l 对称. 由题设：直线PP 1与直线l 垂直，且线段PP 1的中点

P 2???? ??++2,200y y x x 在直线l 上.∴???????++=+-=?--122

110

00

0x x y y x x y

y ，变形得???+=-=1100x y y x , 代入直线l 1:y =2x +3，得x +1=2×(y -1)+3,整理得x -2y =0.所以所求直线方程为x -2y =0.

直线与方程

1.设直线l 与x 轴的交点是P ，且倾斜角为α,若将此直线绕点P 按逆时针方向旋转45°，得到直线的倾斜角为α+45°，则 （ ）

A .0°≤α＜180°

B .0°≤α＜135°

C . 0°＜α≤135°

D . 0°＜α＜135° 答案 D

2.曲线y =x 3

-2x +4在点（1，3）处的切线的倾斜角为

（ ）

A .30°

B .45°

C .60°

D .120°

答案 B

3.过点M （-2，m ），N （m ，4）的直线的斜率等于1，则m 的值为

( )

A .1

B .4

C .1或3

D .1或4

答案 A

4.过点P （-1，2）且方向向量为a =（-1，2）的直线方程为

（ ）

A .2x +y =0

B .x -2y +5=0

C .x -2y =0

D .x +2y -5=0

答案 A

5.一条直线经过点A （-2，2），并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，则此直线的方程为 . 答案 x +2y -2=0或2x +y +2=0

例1 已知三点A （1，-1），B （3，3），C （4，5）. 求证：A 、B 、C 三点在同一条直线上.

证明∵A （1，-1），B （3，3），C （4，5）， ∴k AB =

1313-+=2,k BC =3

43

5--=2，∴k AB =k BC ， ∴A 、B 、C 三点共线.

例2已知实数x ,y 满足y =x 2

-2x +2 (-1≤x ≤1). 试求：2

3

++x y 的最大值与最小值. 解 由

2

3

++x y 的几何意义可知，它表示经过定点P （-2，-3）与曲线段AB 上任一点（x ,y )的直线的斜率k ,如图可知：k PA ≤k ≤k PB ,由已知可得：A （1，1），B （-1，5）， ∴

34≤k ≤8，故23++x y 的最大值为8，最小值为3

4

.

例3 求适合下列条件的直线方程：

（1）经过点P （3，2），且在两坐标轴上的截距相等；

（2）经过点A （-1，-3），倾斜角等于直线y =3x 的倾斜角的2倍. 解 （1）方法一 设直线l 在x ,y 轴上的截距均为a ,

若a =0，即l 过点（0，0）和（3，2），∴l 的方程为y =3

2

x ，即2x -3y =0. 若a ≠0，则设l 的方程为

1=+b y

a x ，∵l 过点（3，2），∴123=+a

a ，∴a =5，∴l 的方程为x +y -5=0, 综上可知，直线l 的方程为2x -3y =0或x +y -5=0. 方法二 由题意知，所求直线的斜率k 存在且k ≠0,

设直线方程为y -2=k (x -3),令y =0，得x =3-k

2

,令x =0,得y =2-3k , 由已知3-

k 2=2-3k ，解得k =-1或k =32,∴直线l 的方程为：y -2=-（x -3）或y

-2=3

2

(x -3), 即x +y -5=0或2x -3y =0.

（2）由已知：设直线y =3x 的倾斜角为α，则所求直线的倾斜角为2α. ∵tan α=3,∴tan2α=

α

α2tan 1tan 2-=-

4

3

.又直线经过点A （-1，-3），、 因此所求直线方程为y +3=-

4

3

(x +1),即3x +4y +15=0. 例4 （12分）过点P （2，1）的直线l 交x 轴、y 轴正半轴于A 、B 两点，求使： （1）△AOB 面积最小时l 的方程； （2）|PA |·|PB |最小时l 的方程. 解 方法一 设直线的方程为

1=+b

y

a x (a ＞2,

b ＞1), 由已知可得112=+b a （1）∵2b

a 12?≤

b a 12+=1，∴ab ≥8.

∴S △AOB =21ab ≥4.

当且仅当a 2=b 1=21,即a =4,b =2时，S △AOB 取最小值4，此时直线l 的方程为2

4y

x +=1,即x +2y -4=0. 6分 （2）由

a 2+b

1

=1,得ab -a -2b =0, 变形得(a -2)(b -1)=2, |PA |·|PB |=22)01()2(-+-a ·22)1()02(b -+-=]4)1[(]1)2[(22+-?+-b a ≥)1(4)2(2-?-b a .

当且仅当a -2=1,b -1=2,即a =3,b =3时，|PA |·|PB |取最小值4.此时直线l 的方程为x +y -3=0.

方法二 设直线l 的方程为y -1=k (x -2) (k ＜0),

则l 与x 轴、y 轴正半轴分别交于A ??? ??

-0,12k 、B （0，1-2k ）.

（1）S △AOB =

21??? ??-k 12（1-2k ）=21×?????

?

-+-+)1()4(4k k ≥21（4+4）=4. 当且仅当-4k =-

k 1,即k =-21时取最小值，此时直线l 的方程为y -1=-2

1

(x -2),即x +2y -4=0. 6分

（2）|PA |·|PB |=22441)1

(k k ++=84422

++k k ≥4, 当且仅当

2

4k =4k 2

,即k =-1时取得最小值，此时直线l 的方程为y -1=-(x -2),即x +y -3=0.

一、选择题

1.过点（1，3）作直线l ，若经过点（a ，0）和（0，b ），且a ∈N *

，b ∈N *

，则可作出的l 的条数为（ ）A .1

B .2

C .3

D .4

答案

B

2.经过点P （1，4）的直线在两坐标轴上的截距都是正的，且截距之和最小，则直线的方程为（ ）

·

A .x +2y -6=0

B .2x +y -6=0

C .x -2y +7=0

D .x -2y -7=0

答案

B

3.若点A （2，-3）是直线a 1x +b 1y +1=0和a 2x +b 2y +1=0的公共点，则相异两点（a 1，b 1）和（a 2，b 2）所确定的直线方程是 （ ）

A .2x -3y +1=0

B .3x -2y +1=0

C .2x -3y -1=0

D .3x -2y -1=0

答案

A

二、填空题

4.已知a ＞0,若平面内三点A （1，-a ），B （2，a 2

），C （3，a 3

）共线，则a = . 答案 1+2

5.已知两点A （-1，-5），B （3，-2），若直线l 的倾斜角是直线AB 倾斜角的一半，则l 的斜率是 . 答案

3

1

三、解答题

6.已知线段PQ 两端点的坐标分别为（-1，1）、（2，2），若直线l ：x +my +m =0与线段PQ 有交点，求m 的取值范围.

解 方法一 直线x +my +m =0恒过A （0，-1）点. k AP =

1011+--=-2，k AQ =2021---=23，则-m 1≥23或-m 1≤-2，∴-32≤m ≤2

1

且m ≠0. 又∵m =0时直线x +my +m =0与线段PQ 有交点，∴所求m 的取值范围是-32≤m ≤2

1

. 方法二 过P 、Q 两点的直线方程为 y -1=

1212+-(x +1),即y =31x +3

4

,代入x+my +m =0,整理，得x =-37+m m .

由已知-1≤-

37+m m ≤2, 解得-32≤m ≤2

1

. 7.已知直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l 的方程： （1）过定点A （-3，4）；（2）斜率为

6

1

. 解 （1）设直线l 的方程是y =k (x +3)+4,它在x 轴，y 轴上的截距分别是-k

4

-3，3k +4， 由已知，得（3k +4）（k

4

+3）=±6， 解得k 1=-32或k 2=-3

8. 直线l 的方程为2x +3y -6=0或8x +3y +12=0.

（2）设直线l 在y 轴上的截距为b ,则直线l 的方程是y =

6

1

x +b ,它在x 轴上的截距是-6b ,

由已知，得|-6b ·b |=6，∴b =±1. ∴直线l 的方程为x -6y +6=0或x -6y -6=0. 8.已知两点A （-1，2），B （m ，3）. （1）求直线AB 的方程；

（2）已知实数m ∈???

?????---13,133

，求直线AB 的倾斜角α的取值范围. 解 （1）当m =-1时，直线AB 的方程为x =-1,

当m ≠-1时，直线AB 的方程为y -2=1

1

+m (x +1). （2）①当m =-1时，α=0

90;

②当m ≠-1时，m +1∈(]

3,00,33Y ???

?

????-，∴k =11+m ∈（-∞，-3］∪??????

??+∞,33， ∴α∈

[)(]0

120,9090,30Y .综合①②知，直线AB 的倾斜角α∈[]0

120,30.

9.过点P （3，0）作一直线，使它夹在两直线l 1：2x -y -2=0与l 2:x +y +3=0之间的线段AB 恰被点P 平分，求此直线的方程.

解 方法一 设点A （x ，y ）在l 1上，

由题意知???????=+=+0232B B y y x x ，∴点B （6-x ，-y ），解方程组???=+-+-=--03)()6(022y x y x ，得??????

?==316

311y x ，∴k =833

110316

=--. ∴所求的直线方程为y =8(x -3),即8x -y -24=0. 方法二 设所求的直线方程为y =k (x -3),

则???=---=022)3(y x x k y ,解得??????

?

-=--=24223k k

y k k x A A , 由???=++-=03)3(y x x k y ,解得??????

?

+-=+-=16133k k

y k k x B B . ∵P (3,0)是线段AB 的中点，∴y A +y B =0，即24-k k +1

6+-k k =0，∴k 2

-8k =0，解得k =0或k =8. 又∵当k =0时，x A =1,x B =-3,此时32

3

12≠-=+B A x x ,∴k =0舍去， ∴所求的直线方程为y =8(x -3), 即8x -y -24=0.