人教版数学必修二第三章直线与方程
高中数学必修2(人教A版)第三章直线与方程3.3知识点总结含同步练习及答案
例题： 直线 3x − 2y + m = 0 和 (m 2 + 1)x + 3y − 3m = 0 的位置关系是（ A．平行 B．重合 C．相交 D．不确定 解：两直线的斜率分别为 交．
3 3 m2 + 1 m2 + 1 和 − ，因为方程 − 无解，所以两直线相 = 2 3 3 2
已知直线 l 1 ：ax + 2y + 6 = 0，l 2 ：x + (a − 1)y + a2 − 1 = 0，求适合下列条件的 a 的取值 范围． （1）l 1 与 l 2 相交； （2）l 1 与 l 2 平行； （3）l 1 与 l 2 重合； （4）l 1 与 l 2 垂直． 解：（1）因为 l 1 与 l 2 相交，所以 A 1 B 2 − A 2 B 1 ≠ 0 ，即 a(a − 1) − 2 ≠ 0 ，所以 a ≠ −1 且 a ≠ 2，所以 a ∈ R 且 a ≠ −1 且 a ≠ 2 时，l 1 与 l 2 相交． （2）因为 l 1 与 l 2 平行，所以 A 1 B 2 − A 2 B 1 = 0 且 B 1 C2 − B 2 C1 ≠ 0，即
− − − − − − − − − − − − − − −
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− −− − − − − − − − − − −− − − − − − − − − −− − − − − − − − − − − − y = √[x − (−1)] 2 + [0 − (−1)] 2 + √(x − 3)2 + (0 − 2)2 ,
例题： 已知点 A(−1, 2) ，B(2, √7 ) ，在 x 轴上求一点 P ，使 |P A| = |P B|，并求 |P A| 的值． 解：设所求点为 P (x, 0) ，于是有
(人教版)-高中数学必修2-第三章--直线与方程-直线系与对称问题(全)
(人教版)-高中数学必修2-第三章--直线与方程-直线系与对称问题(全)课题：直线系与对称问题教学目标：1.掌握过两直线交点的直线系方程；2.会求一个点关于一条直线的对称点的坐标的求法；3.会求一条直线关于一个点、一条直线的对称直线的求法. 教学重点：对称问题的基本解法（一） 主要知识及方法：1.点(),P a b 关于x 轴的对称点的坐标为(),a b -；关于y 轴的对称点的坐标为(),a b -；关于y x =的对称点的坐标为(),b a ；关于y x =-的对称点的坐标为(),b a --.2.点(),P a b 关于直线0ax by c ++=的对称点的坐标的求法：()1设所求的对称点'P 的坐标为()00,x y ，则'PP 的中点00,22a x b y ++⎛⎫⎪⎝⎭一定在直线0ax by c ++=上.()2直线'PP 与直线0ax by c ++=的斜率互为负倒数，即001y b ax a b-⎛⎫⋅-=- ⎪-⎝⎭结论：点()00,P x y 关于直线l ：0Ax By C ++=对称点为()002,2x AD y BD --， 其中0022Ax By CD A B++=+；曲线C ：(,)0f x y =关于直线l ：0Ax By C ++=的对称曲线方程为()2,20f x AD y BD --=特别地，当22A B =，即l 的斜率为1±时，点()00,P x y 关于直线l ：0Ax By C ++=对称点为00,By C Ax C A B ++⎛⎫-- ⎪⎝⎭，即()00,P x y 关于直线0x y c ±+=对称的点为：()(),y c x c -+m m ，曲线(,)0f x y =关于0x y c ±+=的对称曲线为()(),0f y c x c -+=m m 3.直线1110a x b y c ++=关于直线0ax by c ++=的对称直线方程的求法：①到角相等；②在已知直线上去两点（其中一点可以是交点，若相交）求这两点关于对称轴的对称点，再求过这两点的直线方程；③轨迹法(相关点法)；④待定系数法，利用对称轴所在直线上任一点到两对称直线的距离相等，…4.点(),x y 关于定点(),a b 的对称点为()2,2a x b y --，曲线C ：(),0f x y =关于定点(),a b 的对称曲线方程为()2,20f a x b y --=.5.直线系方程：()1直线y kx b =+（k 为常数，b 参数；k 为参数，b 位常数）. ()2过定点()00,M x y 的直线系方程为()00y y k x x -=-及0x x =()3与直线0Ax By C ++=平行的直线系方程为10Ax By C ++=（1C C ≠） ()4与直线0Ax By C ++=垂直的直线系方程为0Bx Ay m -+=()5过直线11110l a x b y c ++=：和22220l a x b y c ++=：的交点的直线系的方程为：()()1112220a x b y c a x b y c λ+++++=（不含2l ）（二）典例分析：问题1．（06湖北联考）一条光线经过点()2,3P ，射在直线l ：10x y ++=上， 反射后穿过点()1,1Q .()1求入射光线的方程；()2求这条光线从点P 到点Q 的长度.问题2．求直线1l ：23y x =+关于直线l ：1y x =+对称的直线2l 的方程.问题3．根据下列条件，求直线的直线方程()1求通过两条直线3100-=的交点，且到原点距离为1；x y+-=和30x y()2经过点()3,2A，且与直线420+-=平行；x y()3经过点()B，且与直线2503,0+-=垂直.x y问题4．()1已知方程1=+有一正根而没有负根，求实数k的范围x kx()2若直线1l ：2y kx k =++与2l ：24y x =-+的交点在第一象限，求k 的取值范围.()3 已知定点()2,1P --和直线l ：()()()1312250x y λλλ+++-+=()R λ∈求证：不论λ取何值，点P 到直线l（三）课后作业：1.方程()()()14232140k x k y k +--+-=表示的直线必经过点.A ()2,2 .B ()2,2- .C ()6,2- .D 3422,55⎛⎫⎪⎝⎭2.直线2360x y +-=关于点()1,1-对称的直线方程是.A 3220x y -+= .B 2370x y ++= .C 32120x y --= .D 2380x y ++=3.曲线24y x =关于直线20x y -+=对称的曲线方程是4.(){}.A x y y a x ==，(){},B x y y x a ==+，A B I仅有两个元素，则实数a 的范围是5.求经过直线3260x y ++=和2570x y +-=的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程6.已知ABC △的顶点为()1,4A --，,B C ∠∠的平分线所在直线的方程分别是1l ：10y +=与2l ：10x y ++=，求BC 边所在直线的方程.7.已知直线130kx y k -+-=，当k 变化时所得的直线都经过的定点为8.求证：不论m 取何实数，直线()()1215m x m y m -+-=-总通过一定点9.求点P ()1,1关于直线l ：20x y ++=的对称点Q 的坐标10.已知：(),P a b 与()1,1Q b a -+，()1a b ≠-是对称的两点，求对称轴的方程11.光线沿直线1l ：250x y -+=射入，遇到直线2l ：3270x y -+=反射，求反射光线所在的直线3l 的方程12.已知点()3,5A -，()2,15B ，试在直线l ：3440x y -+=上找一点P ，使PA PB + 最小，并求出最小值.（四）走向高考：1.(04安徽春)已知直线l ：10x y --=，1l ：220x y --=.若直线2l 与1l 关于l 对称，则2l 的方程为.A 210x y -+= .B 210x y --= .C 10x y +-= .D 210x y +-=2.（05上海）直线12y x =关于直线1x =对称的直线方程是3.（07上海文）圆01222=--+x y x 关于直线032=+-y x 对称的圆的方程是.A 21)2()3(22=-++y x .B 21)2()3(22=++-y x .C 2)2()3(22=-++y x .D 2)2()3(22=++-y x。
2021_2022年高中数学第三章直线与方程1
2．两条直线垂直的条件也是在两条直线 的斜率都存在的条件下得出的，即在此条件 下有 l1⊥l2⇔k1·k2＝－1；若一条直线的斜率不 存在，而另一条直线的斜率等于 0，则两条直 线也垂直．
3．在两条直线平行或垂直关系的判断中 体会分类讨论的思想．
当堂双基达标
1．下列说法中正确的是( ) A．平行的两条直线的斜率一定存在且相等 B．平行的两条直线的倾斜角一定相等 C．垂直的两直线的斜率之积为－1 D．只有斜率相等的两条直线才一定平行
【解析】 A 不正确，平行的两条直线可能斜率都不存 在；B 正确；C 不正确，当一条直线斜率为零，另一条直线 斜率不存在时，它们也垂直；D 不正确，斜率都不存在的两 条直线也平行．
【答案】 B
2．已知直线 l1 的斜率 k1＝－85，直线 l2 的斜率 k2＝58，则 l1 与 l2 的位置关系为( )
A．(－1,0)
B．(0，－1)
C．(1,0)
D．(0,1)
【解析】 设 D(x，y)，则 kCD＝yx－ －03＝x－y 3，kAD＝yx＋－11， 又 kAB＝22＋ －11＝3，kCB＝22－ －03＝－2，CD⊥AB，CB∥AD，
∴
kCD·kAB＝x－y 3·3＝－
kCB＝kAD
，∴
3y＝3－x
【提示】 α1＝α2，因为两直线平行，同位角相等．反之 不成立，当 α1＝α2 时，直线 l1 与 l2 可能平行或重合．
2．若直线 l1∥l2，则其斜率 k1＝k2.这种说法对吗？
【提示】 不对，只有在直线 l1 与 l2 都存在斜率时，由 l1∥l2 可以得出 k1＝k2，如图当直线 l1 与 l2 都与 x 轴垂直时， 虽然 l1∥l2 但斜率都不存在．
最新人教版高中数学必修二第三章直线与方程第二节第2课时直线的两点式方程
3.2.2 直线的两点式方程1.直线的两点式方程(1)条件：P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，其中x 1≠x 2，y 1≠y 2. (2)图形：(3)方程：y －y 1y 2－y 1 ＝x －x 1x 2－x 1．(1)什么样的直线的方程不能用两点式表示？ 提示：与x 轴、y 轴平行的直线，x 轴，y 轴．(2)过点(1，3)和(1，5)的直线能用两点式表示吗？为什么？过点(2，3)，(5，3)的直线呢？ 提示：不能，因为1－1＝0，而0不能做分母．过点(2，3)，(5，3)的直线也不能用两点式表示．2．直线的截距式方程(1)条件：在x 轴，y 轴上的截距分别为a ，b 且a ≠0，b ≠0. (2)图形：(3)方程：x a ＋yb＝1．方程x 2 －y 3 ＝1和x 2 ＋y3＝－1都是直线的截距式方程吗？提示：都不是截距式方程．截距式方程的特点有两个，一是中间必须用“＋”连接，二是等号右边为1.3．两点的中点坐标公式点P(x ，y)是线段P 1P 2的中点，其中P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则x ＝x 1＋x 22 ，y ＝y 1＋y 22.如果已知点P(a ，b)是线段P 1P 2的中点，其中P 1(x 1，y 1)，那么点P 2的坐标是什么？ 提示：设点P 2(x 2，y 2)，由中点坐标公式：a ＝x 1＋x 22 ，b ＝y 1＋y 22，所以x 2＝2a －x 1，y 2＝2b －y 1，则点P 2(2a －x 1，2b －y 1).1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”) (1)过点P 1(x 1，y 1)和P 2(x 2，y 2)的直线都可以用方程y －y 1y 2－y 1 ＝x －x 1x 2－x 1表示．( × ) 提示：当x 1＝x 2或y 1＝y 2时，直线不能用方程y －y 1y 2－y 1 ＝x －x 1x 2－x 1表示． (2)在x 轴，y 轴上的截距分别为a ，b 的直线方程为x a ＋yb＝1.( × )提示：当a ＝0或b ＝0时，在x 轴，y 轴上的截距分别为a ，b 的直线不能用方程x a ＋yb ＝1表示．(3)任何一条直线都有在x 轴，y 轴上的截距．( × ) 提示：例如与x 轴平行的直线只有在y 轴上的截距．2．(教材习题改编)过点A(5，6)和点B(－1，2)的直线的两点式方程是( ) A ．y －5x －6 ＝y ＋1x －2B ．y －62－6 ＝x －5－1－5 C ．2－6y －6 ＝－1－5x －5D ．x －62－6 ＝y －5－1－5【解析】选B.根据直线的两点式方程得y －62－6 ＝x －5－1－5.3．已知M(－1，2)，N(3，－4)，线段MN 的中点坐标为(a ，b)，则a ＝__________，b ＝__________． 【解析】由中点坐标公式可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1＋32，b ＝2－42，即⎩⎨⎧a ＝1，b ＝－1. 答案：1 －1类型一 直线的两点式方程(数学抽象、数学运算)1．已知点P(3，m)在过点M(2，－1)和N(－3，4)的直线上，则m 的值是( ) A ．5 B ．2 C ．－2 D ．－6 【解析】选C.由两点式方程，得直线MN 的方程为y －（－1）4－（－1） ＝x －2－3－2 ，化简，得x ＋y －1＝0.又点P(3，m)在此直线上，代入得3＋m －1＝0， 解得m ＝－2.2．光线从A(－3，4)点射出，到x 轴上的B 点后，被x 轴反射，这时反射光线恰好过点C(1，6)，则BC 所在直线的方程为( ) A ．5x －2y ＋7＝0 B ．2x －5y ＋7＝0 C ．5x ＋2y －7＝0 D ．2x ＋5y －7＝0【解析】选A.点A(－3，4)关于x 轴的对称点A ′(－3，－4)在反射光线所在的直线上，所以所求直线为x －（－3）1－（－3） ＝y －（－4）6－（－4），即5x －2y ＋7＝0.3．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 经过点(－1，0)，(1，4)，则直线l 的两点式方程是________．【解析】根据两点式方程可得y －04－0 ＝x ＋11＋1. 答案：y －04－0 ＝x ＋11＋14．已知在△ABC 中，点A(－1，0)，B(0， 3 )，C(1，－2)，则AB 边中线所在直线的两点式方程为________．【解析】点A(－1，0)，B(0， 3 )，中点D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32 ，所以AB 边中线所在直线的方程为y ＋232＋2 ＝x －1－12－1 .答案：y ＋232＋2 ＝x －1－12－1求直线的两点式方程的策略以及注意点(1)适用条件：两点的连线不平行于坐标轴，若满足，则考虑用两点式求方程．(2)差的顺序性：常会将x ，y 或数字的顺序错位而导致错误．在记忆和使用两点式方程时，必须注意坐标的对应关系．提醒：已知两点坐标，求过这两点的直线方程也可以先求斜率，再代入点斜式得到直线的方程．【补偿训练】1.经过点A(2，5)，B(－3，6)的直线在x 轴上的截距为( ) A ．2 B ．－3 C ．－27 D ．27 【解析】选D.由两点式得直线方程为y －65－6 ＝x ＋32＋3，即x ＋5y －27＝0.令y ＝0，得x ＝27. 2．过两点(－1，1)和(3，9)的直线在x 轴上的截距为( ) A ．－32 B ．－23 C ．25D ．2【解析】选A.直线方程为y－91－9＝x－3－1－3，令y＝0，得x＝－32，则在x轴上的截距为－32.3．已知△ABC三顶点坐标为A(1，2)，B(3，6)，C(5，2)，M为AB的中点，N为AC的中点，则中位线MN所在直线的两点式方程为________．【解析】由中点坐标公式可得M(2，4)，N(3，2)，再由两点式可得直线MN的方程为y－42－4＝x－23－2.答案：y－42－4＝x－23－2类型二直线的截距式方程(数学抽象、数学运算)1．直线xa2－yb2＝1在y轴上的截距是( )A．|b| B．－b2 C．b2 D．±b【解析】选B.令x＝0，得y＝－b2.2．过点P(2，3)，并且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为( )A．x－y＋1＝0或3x－2y＝0B．x＋y－5＝0C．x－y＋1＝0D．x＋y－5＝0或3x－2y＝0【解析】选A.过点P(2，3)，且在两坐标轴上的截距互为相反数，当横截距a＝0时，纵截距b＝0，直线过点P(2，3)，(0，0)，所以直线方程为yx＝32，即3x－2y＝0.当横截距a≠0时，纵截距b＝－a，直线方程为xa＋y－a＝1，代入(2，3)解得a＝－1，所以直线方程为－x＋y＝1，即x－y＋1＝0.综上，所求直线方程为x－y＋1＝0或3x－2y＝0. 3．过点M(1，2)且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为________．【解析】①当所求的直线与两坐标轴的截距不为0时，设该直线的方程为x＋y＝a，把(1，2)代入所设的方程得：a＝3，则所求直线的方程为x＋y＝3即x＋y－3＝0；②当所求的直线与两坐标轴的截距为0时，设该直线的方程为y＝kx，把(1，2)代入所设的方程得：k＝2，则所求直线的方程为y＝2x即2x－y＝0.综上，所求直线的方程为：2x－y＝0或x＋y－3＝0.答案：x＋y－3＝0或2x－y＝04．直线l过点(1，2)和第一、二、四象限，若l的两截距之和为6，求直线l的方程．【解析】设直线l的横截距为a，则纵截距为6－a，l的方程为xa＋y6－a＝1，因为点(1，2)在直线l上，所以1a＋26－a＝1，即a2－5a＋6＝0.解得a1＝2，a2＝3.当a＝2时，直线的方程为x2＋y4＝1，当a＝3时，直线的方程为x3＋y3＝1，直线l都经过第一、二、四象限，符合题意，综上知，直线l的方程为x2＋y4＝1或x3＋y3＝1.直线的截距式方程在解题中的应用(1)在解决直线与坐标轴围成的三角形面积、周长的问题中，常设直线的截距式方程．(2)当直线与x轴、y轴平行，过原点时不能设截距式方程，可以利用点斜式等形式解题．【补偿训练】求过点P(6，－2)，且在x轴上的截距比在y轴上的截距大1的直线方程．【解析】设直线方程的截距式为xa＋1＋ya＝1.则6a＋1＋－2a＝1，解得a＝2或a＝1，则直线方程是x2＋1＋y2＝1或x1＋1＋y1＝1，即2x＋3y－6＝0或x＋2y－2＝0.类型三直线方程的简单应用(数学运算、逻辑推理) 角度1 图象辨析【典例】两条直线l1：xa－yb＝1和l2：xb－ya＝1(a≠b，且a＋b≠0)在同一直角坐标系中的图象可以是( )【思路导引】根据图形中l 1，l 2的位置，确定截距的关系、符号，判断是否符合． 【解析】选A.由截距式方程可得直线l 1的横、纵截距分别为a ，－b ，直线l 2的横、纵截距分别为b ，－a ，选项A ，由l 1的图象可得a ＜0，b ＞0，可得直线l 2的截距均为正数，故正确；选项B ，因为a ≠b ，且a ＋b ≠0，所以l 1与l 2不平行，故错误；选项C ，只有当a ＝b 时，才有直线的纵截距相等，故错误；选项D ，由l 1的图象可得a ＞0，b ＞0，可得直线l 2的横截距为正数，纵截距为负数，图象不对应，故错误．若将本例中的条件变为“直线x a ＋yb ＝1的图象如图所示”，则关于截距a ，b 的关系中一定正确的是________．①|a|＞|b|；②－a ＞ b ；③(b －a)(b ＋a)＜0；④1a ＞1b.【解析】由题图可知，a ＜0，b ＞0，且|a|＞|b|，①正确；－a ＞b ＞0，所以－a ＞ b ，②正确；b －a ＞0，b ＋a ＜0，所以(b －a)(b ＋a)＜0，③正确；1a ＜0＜1b ，④错误．答案：①②③角度2 在图形中的综合应用 【典例】已知直线l ：x m ＋y4－m ＝1.(1)若直线l 的斜率等于2，求实数m 的值．(2)若直线l分别与x轴、y轴的正半轴交于A，B两点，O是坐标原点，求△AOB面积的最大值及此时直线l的方程．【思路导引】(1)可在直线上取两个点，利用两点的坐标与直线的斜率求m的值；(2)△AOB 为直角三角形，该直线在两坐标轴上的截距即为OA，OB的长．【解析】(1)直线l过点(m，0)，(0，4－m)，则k＝4－m－m＝2，则m＝－4.(2)由m＞0，4－m＞0，得0＜m＜4，则S＝m（4－m）2＝－（m－2）2＋42，易知当m＝2时，S有最大值2，此时直线l的方程为x＋y－2＝0.求直线方程时方程形式的选择技巧(1)已知一点的坐标，求过该点的直线方程时，通常选用点斜式方程．(2)已知直线的斜率，通常选用点斜式或斜截式，再由其他条件确定一个定点的坐标或在y轴上的截距．(3)已知直线在两坐标轴上的截距时，通常选用截距式方程．(4)已知直线上两点时，通常选用两点式方程．1．如图所示，直线l的截距式方程是xa＋yb＝1，则有( )A．a＞0，b＞0 B．a＞0，b＜0C．a＜0，b＞0 D．a＜0，b＜0【解析】选B.很明显M(a，0)，N(0，b)，由图知M在x轴正半轴上，N在y轴负半轴上，则a＞0，b＜0.2．已知△ABC 的三个顶点A(－2，4)，B(－3，－1)，C(1，3). (1)求BC 边上高AD(D 为垂足)所在直线的方程；(2)求BC 边上的中线AE (E 为BC 的中点)所在直线方程． 【解析】(1)因为k BC ＝3－()－11－()－3 ＝1，直线BC 垂直于直线AD ，所以k AD ＝－1，所以AD 所在直线的方程为y －4＝－1()x ＋2 ，整理得x ＋y －2＝0， 所以BC 边上高AD(D 为垂足)所在直线的方程为x ＋y －2＝0； (2)由中点坐标公式得E ()－1，1 ，所以根据两点式方程得中线AE 的方程为：y －4x ＋2 ＝1－4－1－（－2） ，整理得3x ＋y ＋2＝0.所以BC 边上的中线AE (E 为BC 的中点)所在直线方程为3x ＋y ＋2＝0.【补偿训练】1.已知点M(1，－2)，N(m ，2)，若线段MN 的垂直平分线的方程是x2 ＋y ＝1，则实数m 的值是( )A ．－2B ．－7C ．3D ．1【解析】选C.由中点坐标公式，得线段MN 的中点是⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋m 2，0 . 又点⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋m 2，0 在线段MN 的垂直平分线上，所以1＋m 4 ＋0＝1，所以m ＝3.2．已知在△ABC 中，A(1，－4)，B(6，6)，C(－2，0).求：(1)在△ABC 中平行于BC 边的中位线所在直线的方程并化为截距式方程． (2)BC 边的中线所在直线的方程并化为截距式方程．【解析】(1)平行于BC 边的中位线就是AB ，AC 中点的连线．因为线段AB ，AC 中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫72，1 ，⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－2 ， 所以这条直线的方程为y ＋21＋2 ＝x ＋1272＋12，整理得，6x －8y －13＝0，化为截距式方程为x136＋y－138＝1.(2)因为BC边上的中点为(2，3)，所以BC边上的中线所在直线的方程为y＋43＋4＝x－12－1，即7x－y－11＝0，化为截距式方程为x117＋y－11＝1.3．已知△ABC的一个顶点是A(3，－1)，∠B，∠C的平分线方程分别为x＝0，y＝x.(1)求直线BC的方程．(2)求直线AB的方程．【解析】(1)因为∠B，∠C的平分线分别是x＝0，y＝x，所以AB与BC关于x＝0对称，AC 与BC关于y＝x对称．A(3，－1)关于x＝0的对称点A′(－3，－1)在直线BC上，A关于y ＝x的对称点A″(－1，3)也在直线BC上．由两点式，所求直线BC的方程：y＝2x＋5.(2)因为直线AB与直线BC关于x＝0对称，所以直线AB与BC的斜率互为相反数，由(1)知直线BC的斜率为2，所以直线AB的斜率为－2，又因为点A的坐标为(3，－1)，所以直线AB的方程为y－(－1)＝－2(x－3)，即2x＋y－5＝0.。
2021_2022年高中数学第三章直线与方程2
特别提醒 应用斜截式方程时，应注意斜率是否存在，当斜率
不存在时，不能表示成斜截式方程．
跟踪练习
写出满足下列条件的直线的方程． (1)斜率为 5，在 y 轴上截距为－1，________； (2)倾斜角 30°，在 y 轴上截距为 3，________. [答案] (1)5x－y－1＝0 (2)x－ 3y＋3＝0 [解析] (1)方程为 y＝5x－1，即 5x－y－1＝0. (2)方程为 y＝xtan30°＋ 3，即 x－ 3y＋3＝0.
B．－1
C．3
D．－3
[答案] B
2．直线y＝－2x＋3的斜率是________，在y轴上的截距是
________，在x轴上的截距是________.
[答案]
－2
3
3 2
[解析] 斜率是－2；在 y 轴上的截距是 3；令 y＝0 得 x＝32， 即在 x 轴上的截距是32.
3．写出下列直线的点斜式方程并化成斜截式：
特别提醒 若已知含参数的两条直线平行或垂直，求参数的值
时，要注意讨论斜率是否存在，若是平行关系注意考虑b1≠b2
这个条件．
跟踪练习
(1)已知直线y＝ax－2和y＝(a＋2)x＋1互相垂直，则a＝______. (2)经过点(1,1)，且与直线y＝2x＋7平行的直线的方程为_____. [答案] (1)－1 (2)2x－y－1＝0 [解析] (1)由两直线垂直可得a(a＋2)＝－1，即a2＋2a＋1＝0 ，所以a＝－1； (2)由y＝2x＋7得k1＝2，由两直线平行知k2＝2.∴所求直线方程 为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0.
规律总结
①使用点斜式方程，必须注意前提条件是斜率存在． ②注意方程x＝1的含义：它表示一条垂直于x轴的直线，这条
《直线与方程》复习课件(17张ppt)
方程组：
A1x+B1y+C1=0
A2x+B2y+C2=0的解
一组 无数解
无解
两条直线L1,L2的公共点 一个 无数个 零个
直线L1,L2间的位置关系 相交 重合
平行
5、3种距离
（1).两点距离公式 | AB | (x1 x2)2 ( y1 y2)2
(2)点线距离公式 设点(x0,y0),直线Ax+By+C=0,
a=1或-3
求满足下列条件的直线方程： (1)经过点P(2，-1)且与直线2x+3y+12=0平行；
2x+3y-1=0
(2)经过点Q(-1，3)且与直线x+2y-1=0垂直； 2x-y+5=0
.
(3)经过点R(-2，3)且在两坐标轴上截距相等； x+y-1=0或3x+2y=0
直线的交点个数与直线位置的关系
6
D.
π
6
B
3、直线的5种方程
名 称 已知条件
标准方程 适用范围
点斜式 点P1(x1，y1)和斜率k y y1 k(x x1) 不垂直于x轴的直线
斜截式 斜率k和y轴上的截距 y kx b 不垂直于x轴的直线
两点式 点P1(x1，y1)和点P2(x2，y2) 截距式 在x轴上的截距a
在y轴上的截距b
d | Ax0 By0 C | A2 B2
（3）两平行线距离:l1:Ax+By+C1=0，l2:Ax+By+C2=0 d | C1 C2 | A2 B2
点（1,3）到直线3x 4 y 4 0的距离为
中点坐标公式
x0
y0
人教版必修二3.2.2直线的两点式方程课件
不能表示与坐标轴(x,y轴)垂直的直线.
（2）当 x1 x2 时，直线方程为：x x1 当 y1 y2 时，直线方程为： y y1
练习
1.求过两点的直线的两点式方程
（1）P1(2,1), P2 (0,3)
(2)C(5,1), D(3,4) (3)A(0,5), B(5,0)
第三章 直线与方程
3.2.2 直线的两点式方 程
一、复习回顾 1). 直线的点斜式方程：
y- y0 =k(x- x0 )
k为斜率， P0(x0 ,y0)为直线上的一定点 2). 直线的斜截式方程：
y=kx+b
k为斜率，b为截距
三、新课探究
已知两点 P1(x1, y1)，P2 (x2 , y2 )，求通过这两点的直
(2)由两点式方程得，过 A，B 两点的直线方程为4y－－－－11＝－x－3－22，即 x＋y －1＝0.又点 P(3，m)在直线 AB 上，所以 3＋m－1＝0，得 m＝－2.
【答案】 (1)x＝2 (2)－2
4．求过定点 P(2,3)且在两坐标轴上的截距相等的直线 l 的方程．
【解】 设直线的两截距都是 a，则有 ①当 a＝0 时，直线为 y＝kx，将 P(2,3)代入得 k＝32，∴l：3x－2y＝0； ②当 a≠0 时，直线设为ax＋ay＝1，即 x＋y＝a， 把 P(2,3)代入得 a＝5，∴l：x＋y＝5. ∴直线 l 的方程为 3x－2y＝0 或 x＋y－5＝0.
(a 0, b 0)
y B（0，b）
x O A( a ,0)
? 是不是任意一条直线都有其截距式方程呢?
注意： ①局限性：(更大)
不能表示过原点或与坐标轴垂直的直线
人教版高一数学必修二第三章 直线与方程教案
教学课题 人教版必修二第三章直线与方程一、知识框架3.1 直线的倾斜角与斜率1. 倾斜角与斜率（1）倾斜角（2）斜率定义 当直线l 与x 轴相交时，取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角．规定当直线l 与x 轴平行或重合时，规定直线的倾斜角为︒0 记法 α图示范围0°≤α<180° 作用(1)用倾斜角表示平面直角坐标系内一条直线的倾斜程度。
(2)确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是：直线上的一个定点以及它的倾斜角，二者缺一不可。
定义α≠90°一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率 α＝90° 斜率不存在③当直线l 1∥直线l 2时，可能它们的斜率都存在且相等，也可能斜率都不存在．④对于不重合的直线l 1，l 2，其倾斜角分别为α，β，有l 1∥l 2⇔α＝β.（2）垂直如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于-1；如果它们的斜率之积等于－1，那么它们互相垂直．有12121-=⋅⇔⊥k k l l①当直线l 1⊥直线l 2时，可能它们的斜率都存在且乘积为定值－1，也可能一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0；②较大的倾斜角总是等于较小倾斜角与直角的和．3.2 直线的方程1. 直线的点斜式方程（1）直线的点斜式方程①定义：如下图所示，直线l 过定点P (x 0，y 0)，斜率为k ，则把方程)(00x x k y y -=-叫做直线l 的点斜式方程，简称点斜式．特别地，当倾斜角为︒0时，有0=k ，此时直线与x 轴平行或重合，方程为00=-y y 或者0y y =。
②说明：如下图所示，过定点P (x 0，y 0)，倾斜角是90°的直线没有点斜式，其方程为x －x 0＝0，或0x x =（2）直线的斜截式方程 ①定义：如下图所示，直线l 的斜率为k ，且与y 轴的交点为(0，b )，则方程b kx y +=叫做直线l 的斜截式方程，简称斜截式．②说明：左端y 的系数恒为1，一条直线与y 轴的交点(0，b )的纵坐标b 叫做直线在y 轴上的截距．倾斜角是︒90的直线没有斜截式方程．2. 直线的两点式方程（1）直线的两点式方程①定义：如图所示，直线l 经过点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(其中x 1≠x 2，y 1≠y 2)，则方程y －y 1y 2－y 1＝121x x x x --叫做直线l 的两点式方程，简称两点式．②说明：与坐标轴垂直的直线没有两点式方程，当x 1＝x 2时，直线方程为x ＝x 1；当y 1＝y 2时，直线方程为y ＝y 1.（2）直线的截距式方程①定义：如图所示，直线l 与两坐标轴的交点分别是P 1(a,0)，P 2(0，b )(其中a ≠0，b ≠0)，则方程为1=+by a x 叫做直线l 的截距式方程，简称截距式．2. 利用三种直线方程求直线方程时，要注意这三种直线方程都有适用范围，利用它们都不能求出垂直于x 轴的直线方程。
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第三章 直线与方程3.1 直线的倾斜角与斜率 3．1.1 倾斜角与斜率１．已知点A (1,-3)，B （-1，３),则直线AB 的斜率是（ ）A ．13B.-错误!C.3 Ｄ．－３2.经过Ａ(-2,0），B (－５,3)两点的直线的倾斜角是( ） A.4５° B.135° C.90° D.60°ﻩ3.过点Ｐ(-２,m )和Q （m,4)的直线的斜率等于1，则m 的值为( ) Ａ．1 Ｂ.4Ｃ.1或3 Ｄ．1或４４．已知直线l 的倾斜角为α-15°,则下列结论正确的是( ) A.0°≤α<１80° Ｂ．１5°<α<18０° C.1５°≤α<19５° D.１5°≤α<180° 5．下列说法错误的是（ )A.在平面坐标系中每一条直线都有倾斜角 B ．没有斜率的直线是存在的C.每一条不垂直于ｘ轴的直线的斜率都存在 D ．斜率为ta ｎθ的直线的倾斜角一定是θ 6．若直线y =x 的倾斜角为α,则α=( ) A.0° Ｂ．45° Ｃ.９0°D.不存在 7.在图K3-1-1中的直线l 1，l 2，l ３的斜率分别为k 1,k ２,ｋ3,则（ )图K3-1-１A ．k 1＜k ２＜k 3B ．k 3<k 1<ｋ2C ．k ３<k 2＜ｋ1D ．k 1＜ｋ3<ｋ2８．已知直线的斜率k ＝２，点Ａ（３,5),B (ｘ,7）,C (－１,ｙ)是这条直线上的三个点,ｘ=＿___＿＿，y ＝＿_＿＿__.9.已知直线l 经过点A （-m,6),B (1,３m ）,当实数ｍ为何值时, （1)直线l 的斜率为2； （2)直线l 的倾斜角为135°.10.已知点M(2，2）和N（５，-2），点Ｐ在x轴上，且∠MPＮ为直角,求点P的坐标.3.1．2 两条直线平行与垂直的判定1．直线l１过点A(2，1)和点B(-1,2），直线ｌ2过点C(3,2)和点D（２,-１)，则直线l1与l2的位置关系是( )Ａ．重合Ｂ．平行C.垂直D.无法确定2．若经过点P(－3，ｍ-２)和Ｑ(m－1，2）的直线l与x轴平行，则m＝（)A.4B.0C．１或３D．0或43．直线l１的倾斜角为30°,ｌ2经过点M(1,3),Ｎ(2,０），则l１与l2的位置关系为( ）A.平行B．垂直C．相交Ｄ．不确定4．若经过点P(1,m-2)和Q(m-1,1）的直线ｌ与x轴垂直,则m＝( )Ａ.1B．2 Ｃ.-1 Ｄ.05.已知直线l1经过两点(－1，2)，(－1,4),直线l2经过两点（0,1)，(ｘ-2，6),且l１∥l２,则x＝( )A.2B.－２C．4D．16.已知四点Ａ(-４,２）,B（６，-4),C（１２，6)，D(2，１2),则下面四个结论中:①AB∥CD；②AB⊥ＣＤ；③AC∥BD;④AC⊥BＤ.正确结论的个数是（)A.0个B．1个 C.2个D．3个7．已知直线l1过(ｍ,２）,(3,1)两点，直线l2过(1,m2),(2,9)两点，且ｌ１⊥l2，则m=___＿____．8.已知直线l1过点Ａ(1，0)，B(3,a-1)，直线ｌ2过点M（１,2),Ｎ（ａ+2,４)．(1)若l１∥l2，求ａ的值;(2)若l１⊥l2，求a的值．９．已知点Ａ(1,1)，B(2,２)，C（3,-3)，求点D的坐标使得直线CD⊥ＡB，且BC∥ＡD.１0．△ABC的顶点Ａ(5，－1)，Ｂ(1,1),C(2，ｍ)，若△AＢC为直角三角形，求ｍ的值.３.2 直线的方程3．2.1 直线的点斜式方程１．已知直线l 的方程为ｙ=－x ＋1，则该直线l 的倾斜角为( ) A ．３0° B.45° C.60° D.135°2.过点（4，－2),倾斜角为１20°的直线方程是( )A.＼ｒ（3)ｘ＋y ＋2-4 3=0 B ．错误!ｘ+３y +6＋4 错误!=０ C ．x ＋错误!y -2 错误!-4=0 D.x ＋错误!y +2 错误!-4＝０３.已知直线的方程是y +2＝－ｘ－1，则（ ). A ．直线经过点(2，－1）,斜率为－1 B ．直线经过点(－2，-１)，斜率为1 Ｃ.直线经过点(－1，-2),斜率为－1 D.直线经过点(1,-2），斜率为－１4.直线ｌ过点(1,－2)且与直线２ｘ-3y -1=0垂直,则l 的方程是( ) A ．3x +2y +1=０ B.3x ＋2y +7＝0 C.2x －3y ＋5=０ D.2x －3y +8=05．直线ｋx -y ＋１－３ｋ＝0,当ｋ变化时，所有直线恒过定点（ ). A ．（0,0) B ．(3，1） C ．（1，3) Ｄ.（-1,－３)6.如果直线ｌ沿x 轴负方向平移3个单位长度，再沿y 轴正方向平移1个单位长度后,又回到原来的位置，则直线l 的斜率是＿__＿_＿__．7．已知直线经过点Ａ(3,－2),斜率为－43,求该直线方程．8.已知直线l :m ｘ＋ny ＋1＝０平行于直线m ：4ｘ+3ｙ+5=0，且l 在y 轴上的截距为错误!，则m ，n 的值分别为( )A ．4,3 Ｂ．－４,3 C.-４,－3 D ．4，－３9．已知△ABC 的顶点坐标分别为A (1,3)，Ｂ（５,7)，C (10,１２）,求B Ｃ边上的高所在的直线的方程．10．已知直线ｌ在y轴上的截距为－3且它与两坐标轴围成的三角形的面积为6,求直线l的方程.3．2.2 直线的两点式方程1．在x轴上的截距是-2，在y轴的截距是2的直线的方程是()A.x-y＝2Ｂ.x－y＝-2C．x+y=2 D．x＋ｙ=－2２.直线3x－２y＝4的截距式方程为（)A.错误!－错误!＝1 Ｂ.错误!-错误!＝１C.错误!-错误!=1D.错误!+错误!=13．过两点错误!，错误!的直线方程为()A.x＝错误!B．ｘ=2C.x+y＝2 Ｄ．y＝0４．过点Ａ（３，2)且在两坐标轴上的截距相等的直线方程是（)A.x+ｙ=5Ｂ．x－y=1C．x＋y=5或２x－３y=0D.x－y＝1或２x+３y=０5．点P(1,-２）关于点M(3，0)的对称点Q的坐标是( )A．（3,-1) B．(1，２）C.（5，2) Ｄ.（2，-1)6.若三点A错误!,B（a,0)，C(0，b)(aｂ≠0)共线，则错误!+错误!的值为__＿_____.７．过点Ｐ(－1，-1)的直线l与x轴和y轴分别交于A，B两点，若P恰为线段ＡB的中点，求直线l的斜率和倾斜角．8.如果直线ｌ过（－１，－1)，(2,5）两点，点(1006，b)在l上,那么b的值为( )A．2011 B．2012C.2013D.20１49.已知直线l在x轴上的截距比在y轴上的截距大1，且过定点P（6,-2），求直线l的方程．10.已知直线l:错误!＋错误!＝１.（1)若直线l的斜率是2，求ｍ的值；(２）当直线l与两坐标轴的正半轴围成三角形的面积最大时,求此直线的方程．3．2.３直线的一般式方程1．若mx＋nｙ＋15＝0在x轴和y轴上的截距分别是－3和５,则ｍ，ｎ的值分别是(）A.5,3 B．－5,3Ｃ．5，－3 D.-５,－3２.直线3ｘ+错误!y+1＝0的倾斜角大小是( )A．30° B.6０°C．12０°Ｄ.１35°３．(20１４年陕西宝鸡一模)已知过点A(－2,m）和点B(0，－4)的直线与直线2ｘ＋y －1=０平行，则实数ｍ的值为( )A.-8B.0 C．２D．1０4.若直线ａx+by+c=0在第一、二、三象限，则(）Ａ．ａb＞0，bｃ＞0 Ｂ.ab>0，bc＜0Ｃ.ａb＜０,ｂc＞0Ｄ．ａb＜０，bc<０5．斜率为-2，在x轴上截距为2的直线的一般式方程是（)A.2x＋y＋4=0B.2x－y+2=0Ｃ．2x+y-4＝0 D.2x－y－２＝06.方程y-ａｘ－错误!＝0表示的直线可能是图中的()A B C D7.直线的截距式错误!＋错误!=1化为斜截式为y＝-２ｘ＋ｂ,化为一般式为bx+ay－8=0，求a，b的值.８．过点(1，3)作直线l,若l经过点(ａ,0）,(０，b）,且a，b∈Ｎ*，则可作出这样的直线l的条数为()A.1条Ｂ.2条C．3条D．多于3条9.设直线l的方程为(ｍ2－２m－3)x+(２m２＋ｍ－１)y-2m＋6=0，根据下列条件求m的值．（1)直线l的斜率为1；(2)直线l经过定点Ｐ(-1，－1）．10.已知直线（a＋2)x+(a2-2a-3）y-2a=0在x轴上的截距为3，求直线在y轴上的截距.3.3 直线的交点坐标与距离公式3.3.1 两条直线的交点坐标1.直线2x-３ｙ＋10＝0与2x＋3y－２=０的交点是(）Ａ．(-2,１) B.(-2,2)C ．(2，－1)D ．(2,－2）2．已知集合Ｍ={(ｘ,ｙ)|4ｘ＋y ＝６｝,P ＝{(x ，y )|３x +2y =7｝，则Ｍ∩Ｐ＝（ ) A.（1,2) Ｂ.｛1}∪｛2} C ．{1,2｝ Ｄ.{(1,2）}3.直线ｌ1:ｘ+ay ＋4＝０和直线l 2:（a -2)x +3y ＋ａ=０互相平行,则a 的值为( ) Ａ．-1或3 B ．-3或1 C.－1 D ．－34.若直线5ｘ+4y ＝2m ＋１与直线2x ＋３y ＝m 的交点在第四象限,则m 的取值范围是( ）Ａ.m <2 Ｂ．m >错误!C ．ｍ<-32D.-错误!＜ｍ<２5.三条直线a ｘ+２y ＋８＝0,4ｘ+3y =7,２x -y =1相交于一点，则a 的值是( ） A ．-２ B.－10 C.10 Ｄ.26．过两直线3ｘ＋y -1＝０与x ＋２ｙ－7＝0的交点,并且与第一条直线垂直的直线方程是( )A ．x －3y +７＝０ B.x -3y ＋1３=０ C ．２x -y ＋７＝0 D ．３x -y -5＝07.直线ax ＋b ｙ+16=0与x -２y =0平行,且过直线４x ＋３y -10=0和２x -ｙ-10=0的交点，则ａ＝＿_______，b ＝＿_＿__＿__.８．已知直线方程为(2+λ)x +(1－2λ)y ＋4-３λ=0. 求证：不论λ取何实数值,此直线必过定点.9.已知三条直线l 1:4ｘ+7y －4=０,l 2:mx +y =０，l 3:2x ＋3ｍy -4=0，当m 为何值时,三条直线不能围成三角形.3．3．2 两点间的距离1．两点A(1，４),Ｂ（4，6)之间的距离为(）A．2错误!Ｂ.错误!C．错误!D．32．以点A(-3,０)，B(3,－2)，Ｃ(-1,2)为顶点的三角形是( )Ａ．等腰三角形 B.等边三角形C．直角三角形Ｄ．以上都不是３．点Ｐ在ｘ轴上,点Q在y轴上，线段PQ的中点R的坐标是(3,4),则|PQ|的长为（）A.５B．10 C.17 D.25４.已知A,Ｂ的坐标分别为（1，1)，（4,3)，点Ｐ在x轴上，则|PＡ|＋|PB|的最小值为（) Ａ．２0 B.12 C．5 D.45．已知A（１,5），Ｂ（５,－2），在x轴上存在一点M，使|MA|＝|MB｜,则点M的坐标为()A.错误!B.错误!C．错误! D.错误!6.点P在直角坐标系第一、三象限的角平分线上,它到原点的距离等于它到点Ｑ（4错误!,0)的距离,则点P的坐标是_＿＿_＿_____．７．已知点A（3，6)，在x轴上的点Ｐ与点Ａ的距离等于1０,求点P的坐标.８．在坐标轴上，与两点A(1,５)，Ｂ（2,4)等距离的点的坐标是_＿____＿___＿＿___＿．９.在直线２x-y=0上求一点P,使它到点M（5,8）的距离为５.10．已知点M(1,０),N(-1，0），点Ｐ为直线2x-y-1=0上的动点.求PM2+PN2的最小值及取最小值时点P的坐标．3．３.３点到直线的距离、两条平行直线间的距离1．原点到直线3x＋4y-10＝０的距离为( )Ａ.1 B.错误!C.2D．错误!2.点P(－３,２)到ｙ轴的距离是(）Ａ．3 B.13C.2 D．13.点P在直线3x+y－5＝0上,且到直线x-y－1＝0的距离等于错误!，则点P的坐标为（）A．(1,2） B.(2,1）C.（1,2)或(2,－１)D.(２，１)或(-１，2)４．在以A(2，1）,Ｂ(４,2)，C（８，5)为顶点的三角形中，BC边上的高等于（)A.2５B.＼f(４，5)C.错误!D．25.倾斜角是45°,并且与原点的距离是５错误!的直线的方程为( )A.ｘ-ｙ－１０＝0B．ｘ-y－10=０或x-y+10＝0C．x－ｙ＋５错误!＝0D.x-y+5 ＼r(2)＝0或x－y-５错误!＝0６．动点P在直线错误!ｘ＋y－4＝０上，O为原点,则|ＯＰ|的最小值为()Ａ.错误!B．2错误!C．６D．２7．两平行线3ｘ+４y+5＝0与6x＋ａy＋３0=0间的距离为d，则a＋d＝____＿___.8．已知x＋y＋１＝0,那么＼r（(ｘ＋2)2+(ｙ＋3)2)的最小值为_＿_＿_＿_＿_＿．9．(2０14年四川成都模拟)已知圆C的方程为x2＋y2+２x-2y＋1＝0，当圆心C到直线ｋx＋ｙ+４=0的距离最大时，求k的值.10．在△AＢＣ中,已知顶点A（1，1)，Ｂ(3,6)且△ABC的面积等于3,求顶点C的轨迹方程．第三章 直线与方程３．1 直线的倾斜角与斜率３．1.１ 倾斜角与斜率１．D 2.B 3．A 4.C 5．D ６.B 7.D8.4 －39．解：(１)直线l 的斜率为2，即ｋ=6－3m －m －1=2，解得ｍ＝8. （２)直线ｌ的倾斜角为135°,即ｋ=tan １3５°＝错误!=-１，解得m =错误!.1０.解：设点P (x ，0),因为∠ＭPN 为直角，所以MP ⊥N Ｐ,k MP ＝＼ｆ(0-2,x -２)，ｋＮP ＝＼f(0－(-2),ｘ－５)，因为M Ｐ⊥ＮP ，所以k MP ·k NP ＝-１，解得x =１或x =６.所以点P 的坐标为(１，0)或(6,0)．3．1.２ 两条直线平行与垂直的判定1.Ｃ2.Ａ３．B 解析:1l k =错误!,2l k =错误!＝－错误!，1l k ·2l k =－１． 4.B 5.Ａ６.C 解析:只有①④是正确的.7．３或-２ 解析:若直线l 1和直线l ２斜率都存在，此时m ≠3，故k 1·ｋ2=-１,∴1-２3－m ·9-m 2２－１＝－1，∴m ＝－2;若直线l 1和直线l 2有一条斜率不存在,则另一条直线斜率为0，此时m ＝３.8．解:(１）∵k １=＼f(ａ-1,3-1)=错误!，∴ｋ2存在,且k 2=2a +1, 由于ｌ1∥l 2,∴k 1＝k 2，即＼f （a -１，2)＝2ａ+１,解得ａ＝±＼r(５)， 又当a ＝±错误!时,k AM ≠k ＢM ,即点A ,Ｂ,Ｍ不共线.∴ａ=±５符合题意.(2）当直线l 2斜率不存在时,即ａ=－1时显然不符合题意，∵ｌ１⊥ｌ2,∴ｋ１·k ２=-1，即错误!·错误!＝-１，解得a =０.９．解：设Ｄ(x ,ｙ)，则ｋCD ·k AB ＝－1，k BC =k A Ｄ.∴错误!解得错误!∴D 错误!.10．解：若∠A 为直角,则ＡC ⊥AB ,于是有ｋＡC ·k AB =-1，即m ＋１2－5·1+１1-5＝-１，解得ｍ＝－7; 若∠B 为直角,则AB ⊥BC ，于是有k A Ｂ·ｋB Ｃ＝－1,即1＋1１-5·m -1２-1＝-１,解得m =3; 若∠Ｃ为直角，则A Ｃ⊥BC ，于是有k AC ·k BC ＝-1，即m +12－5·＼ｆ(m －1，２－１）＝-１,解得m =±２. ∴m =－7或m ＝3或ｍ＝±2.3.2 直线的方程３.２．1 直线的点斜式方程１.Ｄ2.A 解析：ｋ＝ta ｎ１20°，故直线的点斜式方程为y +2=-错误!(x -4),化简得错误!x +y +２-４ 错误!=0.3．C ４.A ５.B6．－错误! 解析：设直线ｌ的方程为ｙ=ｋx ＋b ，由题意，得y ＝k (x ＋３）＋b ＋1与y =kx ＋ｂ相同,∴3ｋ+1=0,k ＝－错误!．7．解：经过点A (3，-２)，并且斜率为-错误!的直线方程的点斜式是y ＋2＝－错误!(x －3),即4x +3ｙ-6＝0.8．C 解析:直线mx ＋ｎｙ＋１=0可化为y =－错误!x -错误!,4x ＋3y ＋5=0可化为y ＝－＼f （4,3)ｘ－错误!,由于ｌ∥m ,ｌ在ｙ轴上的截距为错误!，所以错误!即错误!９.解：k BC =错误!=１，因此BC 边上的高所在的直线的斜率为-1，直线方程为y -3=－(x －１),即x ＋y －4=0．10．解:由已知得直线ｌ的斜率存在，且不等于零．设直线l 的方程：ｙ=kx －3.当y ＝0时，x ＝３k. 所以错误!·错误!·3＝6,解得ｋ=±错误!.故所求直线方程为y =±错误!x -3.3.2.２ 直线的两点式方程1.B ２.D ３.A 4．Ｃ 5．C ６．2７．解:设A ，B 两点的坐标分别为(a,0)和(0,b )．∵AB 的中点坐标为(－1，-1），∴错误!解得错误!∴k AB ＝错误!=-1为直线l 的斜率，直线l 的倾斜角为１35°.８.C 解析:由题意,可得直线l 的方程为错误!=错误!,整理，得y ＝2ｘ+1,把x =1０06代入，得ｂ=2013.9．解：方法一：设直线方程为y ＋2＝k (x －6），即y =kx －６k -2,故直线在y 轴上的截距为-6k -２,令y ＝0,直线在x 轴上的截距为x ＝错误!．则有＼f(6k ＋2,k )－错误!＝１，解得k ＝-错误!或k ＝-错误!．故直线ｌ的方程为ｙ＋２＝－＼f(２,3)(x -6)或y +2=－错误!(ｘ-6)．方法二：设直线方程为ｙ＝k ｘ+b ,即直线在y 轴上的截距为b ，因为直线过定点P （６， －2),故有－2＝b +6ｋ，令y =0,直线在x 轴上的截距为x =－错误!，则有-错误!-ｂ＝1，解得错误!或错误!故直线l 的方程为ｙ＝-２3x +２或y =-12x ＋1; 方法三:设直线方程为x b +1＋y b＝1， 因为直线过定点P (6,－2)，故有＼ｆ(６,b +１)+＼f(－2,b )＝1，解得b ＝1或b =2,即直线l 方程为错误!+错误!=1或错误!＋ｙ=1.１0．解:（1)直线l 过点(m,0）,(０,4-m ),则错误!＝２，即ｍ=－４.(2)由m ＞0,4-m >0，得０＜m <４,则Ｓ=m (４-ｍ)２＝-(m －２)2＋４2.当m ＝2时，S 有最大值，故直线l 的方程为x ＋y -２＝０．3.2.3 直线的一般式方程1.Ｃ2.C ３.B 4．D 5.C６．B 解析:斜率为a ，y 轴截距为错误!中都含同一个字母ａ，且a ≠0.将方程变形为y ＝ax +＼ｆ(1,a ）,则ａ为直线的斜率,＼f(1,a )为直线在y 轴上的截距．因为ａ≠0，所以a ＞0或a ＜0.当a >0时,四个图形都不可能是方程的直线；当a <０时,图形Ｂ是方程的直线.7．解：由错误!+错误!＝1，化得y =-错误!x ＋b ＝－２x ＋b ，又可化得bx +ay －ab ＝bx ＋ａy -8＝0，则＼f(b,ａ）=2且ab =８,解得a ＝2,ｂ＝4或a ＝－2,b ＝－4.8．Ｂ 解析：根据题意设直线方程为错误!+错误!＝1.∴错误!＋错误!=1.∴b ＝错误!=3(a －1)a －１+＼f(３,ａ-1）(a ≥２,且a ∈Ｎ＊)=3＋错误!，∴a -1必为３的正约数．当a -1＝1时,b =6；若a -１＝３时,ｂ＝４．所以这样的直线有2条．9.解：(1）直线l 的斜率为－＼ｆ(m ２-2m -３,2m 2＋m -1)=1，整理得错误!＝０，即错误!=０,解得m ＝错误!.（2)由题意，得(m 2-2m -3)·（-1）＋(2m 2+m -1）·(-1)-2ｍ+6＝0，即３m ２＋m －10=0,解得m ＝－２或m ＝＼f(5，3).10.解:∵直线在x 轴上的截距为3，∴直线过点(3，0)．把ｘ=３,y =0代入直线的方程，得3(a ＋2）－2a =０,解得a =-6．∴直线的方程为－4ｘ+4５y ＋1２＝0.令x ＝0,得y ＝-＼f(１２,45),∴直线在ｙ轴上的截距为－415. ３.３ 直线的交点坐标与距离公式３．3．1 两条直线的交点坐标1．B 2.Ｄ 3.A4．D 解析:解方程组错误!得错误!由题意,得错误!>0且错误!＜0,∴－错误!＜m <２.5.B ６．Ｂ７．－2 ４ 解析：ax ＋by +１6=0与x －2ｙ=0平行，则b ＝-2a ①.又直线过4x +3y -10＝0与２x －ｙ-1０＝0的交点(4,－2),代入ax +by ＋1６=0得4a －２ｂ＋１６=0 ②．联立①②，得ａ=-2,b ＝4.8.证明:把直线方程整理为2ｘ＋y +4＋λ（x －2y -3)＝0.解方程组错误!得错误!即点(-1，-2)适合方程2ｘ＋y +4＋λ(ｘ－２ｙ－3)=0，也就是适合方程(２＋λ)x +(１-2λ)y +4－３λ＝0．所以不论λ取何实数值,直线(2+λ)x +（1-2λ)y ＋４－3λ＝０必过定点（－1,－2)．9.解：当三条直线共点或至少有两条直线平行时,不能构成三角形.三条直线共点时， 由错误!得错误!错误!,即l 2与l 3的交点为错误!,代入l １的方程,得到4×42－3m 2＋7×错误!-4＝0， 解得m =＼f(1，3)或ｍ＝2.至少有两条直线平行时，①当l １∥l 2时，4=７m ,∴m =４7. ②当l 1∥l 3时，4×3ｍ＝7×2，∴m ＝错误!.③当l ２∥ｌ3时，3m 2=2，即m ＝±错误!.∴ｍ取集合错误!中的元素时,三条直线不能构成三角形．３．3.２ 两点间的距离１．Ｂ 2.C 3.Ｂ4.C 解析:点A 关于ｘ轴的对称点为A ′（1,－1)．∵|ＰA |+|PB |的最小值为B Ａ′的长,∴错误!=5，即|P A |＋|PB |的最小值为5．5.B 解析:设M (x,０），根据题意,得(x －１)２+5２＝(x －5）２＋[0-(-2)]2,解得ｘ＝＼f(3,8）.故点M 的坐标为错误!.６.(2 ＼r(3)，2 错误!) 解析：设P (x ,x ),∵|P Ｏ|＝|PQ |，∴＼r （x 2+ｘ2）＝错误!.故x ＝２ 错误!,即点P 的坐标是(2 错误!,２ 错误!)． 7．解：设点P 的坐标为(x,０)，由|ＰＡ｜＝10,得(ｘ-３)２+(0-6)2=10，解得ｘ＝1１或x =-5．所以点P 的坐标为(-5，0)或(11,0).8．(－3,0),(0,3）9．解：∵点P 在直线2x －y =0上，∴可设Ｐ(a ，２a )，根据两点的距离公式，得|PM |2＝(a -5)２+（2a -8）2＝52,即5a ２-４2a ＋6４＝０，解得a ＝2或a ＝错误!.∴点Ｐ的坐标为(2,4)或错误!.１0．解:点Ｐ为直线２ｘ－y －1=0上的点,∴设P 的坐标为(m,2m -１),由两点的距离公式，得PM 2＋ＰＮ２＝（ｍ-1)2+(２m -１）2＋（m +1)2+（２m －1)２=10m 2－８ｍ＋４,m ∈Ｒ.又∵10m 2-8m ＋4＝１0错误!2+错误!≥错误!，∴当m ＝25时，PM 2＋PN 2有最小值为＼f(12,５). ∴点P 的坐标为错误!．3.3．3 点到直线的距离、两条平行直线间的距离１．C 2.A3．Ｃ 解析：设点Ｐ（ａ,5-３ａ）,d =＼f(|a －(5－3a )-1|,12+(－1)2)＝ 2.故|4ａ-6｜＝２⇒4a －６=±2⇒a ＝2或ａ=1.4.A5.Ｂ6.D7.１０ 解析：由两直线平行知a ＝8,由两平行线距离公式得d ＝２，∴a +d ＝１0.8．2 2 解析:式子(x ＋2)2＋(y ＋3)２的最小值的几何意义为直线x ＋ｙ+1=０上的点到点（－2,-3）的最短距离，由点到直线的距离公式为错误!=2 错误!.9．解：因为圆C 的方程为ｘ2＋y ２+2x －２y ＋1＝０，配方可得（x +１)2＋(y －1）2＝1,所以圆的圆心为C （－1,1),半径ｒ=１，直线k ｘ+y ＋4＝０可化为y =-kx -4，恒过定点B （0,-４)， 当直线与BC 垂直时，圆心C 到直线kx ＋y ＋4=0的距离最大,由斜率公式,可得BC 的斜率为-4-10－(－１)=－5, 由垂直关系可得:－k ×(－5)=-1，解得k ＝－＼ｆ(１，5）.10.解:设顶点C 的坐标为(x ，ｙ),作CH ⊥A Ｂ于点H ，∵k ＡB =6-１3-1＝＼f(5,２), ∴直线AB 的方程是y -１＝错误!(x -1)，即5x －2y -3=0.∴|CH |＝错误!＝错误!.∵|AB|＝错误!＝错误!,∴错误!×错误!×错误!＝3．化简，得｜5ｘ-2y－3|=6,即５x-2y－９＝0或５ｘ－2y+3=0,即为所求顶点C的轨迹方程．。