人教A版高中数学必修二课件直线与方程
合集下载
高中数学 第三章 直线与方程 3.2.3 直线的一般式方程课件 新人教A版必修2
B
②若 B=0,则 x=- C ,表示与 x 轴垂直的一条直线. A
③若 C=0,则 Ax+By=0,表示过原点的一条直线.
2.在什么条件下,一般式方程可以转化为斜截式、点斜式或截距式方程?
提示:①若 B≠0,则直线的一般式方程可化为斜截式、点斜式,即
y=-
A B
x-
C B
与
y-
C B
即 x+3y+3=0.
题后反思 根据已知条件求直线方程的策略: 在求直线方程时,设一般式方程并不简单,常用的还是根据给定条件选用 四种特殊形式之一求方程再化为一般式方程,一般选用规律为: (1)已知直线的斜率和直线上点的坐标时,选用点斜式;(2)已知直线的斜 率和在y轴上的截距时,选用斜截式;(3)已知直线上两点坐标时,选用两 点式.(4)已知直线在x轴,y轴上的截距时,选用截距式.
解:(1)由直线方程的点斜式得 y-3= 3 (x-5),即 3 x-y-5 3 +3=0. (2)由斜截式得直线方程为 y=4x-2,即 4x-y-2=0.
(3)由两点式得 y 5 = x 1 ,即 2x+y-3=0. 1 5 2 1
(4)由截距式得直线方程为 x + y =1. 3 1
解:法一 (1)由 l1:2x+(m+1)y+4=0, l2:mx+3y-2=0 知: ①当 m=0 时,显然 l1 与 l2 不平行.
②当 m≠0 时,l1∥l2,需 2 = m 1 ≠ 4 . m 3 2
解得 m=2 或 m=-3,所以 m 的值为 2 或-3.
(2)由题意知,直线 l1⊥l2. ①若 1-a=0,即 a=1 时,直线 l1:3x-1=0 与直线 l2:5y+2=0 显然垂直.
②若 B=0,则 x=- C ,表示与 x 轴垂直的一条直线. A
③若 C=0,则 Ax+By=0,表示过原点的一条直线.
2.在什么条件下,一般式方程可以转化为斜截式、点斜式或截距式方程?
提示:①若 B≠0,则直线的一般式方程可化为斜截式、点斜式,即
y=-
A B
x-
C B
与
y-
C B
即 x+3y+3=0.
题后反思 根据已知条件求直线方程的策略: 在求直线方程时,设一般式方程并不简单,常用的还是根据给定条件选用 四种特殊形式之一求方程再化为一般式方程,一般选用规律为: (1)已知直线的斜率和直线上点的坐标时,选用点斜式;(2)已知直线的斜 率和在y轴上的截距时,选用斜截式;(3)已知直线上两点坐标时,选用两 点式.(4)已知直线在x轴,y轴上的截距时,选用截距式.
解:(1)由直线方程的点斜式得 y-3= 3 (x-5),即 3 x-y-5 3 +3=0. (2)由斜截式得直线方程为 y=4x-2,即 4x-y-2=0.
(3)由两点式得 y 5 = x 1 ,即 2x+y-3=0. 1 5 2 1
(4)由截距式得直线方程为 x + y =1. 3 1
解:法一 (1)由 l1:2x+(m+1)y+4=0, l2:mx+3y-2=0 知: ①当 m=0 时,显然 l1 与 l2 不平行.
②当 m≠0 时,l1∥l2,需 2 = m 1 ≠ 4 . m 3 2
解得 m=2 或 m=-3,所以 m 的值为 2 或-3.
(2)由题意知,直线 l1⊥l2. ①若 1-a=0,即 a=1 时,直线 l1:3x-1=0 与直线 l2:5y+2=0 显然垂直.
人教A版高中数学必修二课件：第三章 3.2 3.2.3直线的方程(共60张PPT)
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/9/102021/9/102021/9/102021/9/109/10/2021 •14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年9月10日星期五2021/9/102021/9/102021/9/10 •15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年9月2021/9/102021/9/102021/9/109/10/2021 •16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021/9/102021/9/10September 10, 2021 •17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/9/102021/9/102021/9/102021/9/10
•9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。2021/9/102021/9/10Friday, September 10, 2021 •10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/9/102021/9/1 •11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。2021/9/102021/9/102021/9/10Sep-2110-Sep-21 •12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/9/102021/9/102021/9/10Friday, September 10, 2021
• You have to believe in yourself. That's the secret of success. 人必须相信自己，这是成功的秘诀。
•9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。2021/9/102021/9/10Friday, September 10, 2021 •10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/9/102021/9/1 •11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。2021/9/102021/9/102021/9/10Sep-2110-Sep-21 •12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/9/102021/9/102021/9/10Friday, September 10, 2021
• You have to believe in yourself. That's the secret of success. 人必须相信自己，这是成功的秘诀。
高一数学人教A版必修二 课件 第三章 直线与方程 3.1.2
则顶点 D 的坐标为________．
解析： 设 D(a，b)，由题设得 AB∥CD，AD∥BC，
则 kAB＝kDC，kAD＝kCD，
即
解得ba＝＝43，，
所以顶点 D 的坐标为(3,4)．
谢谢观看！
设 AB、AC 边上的高所在直线的斜率分别为 k1、k2， 由 k1kAB＝－1，k2kAC＝－1，即 k1·54＝－1，k2·5＝－1，
解得 k1＝－45，k2＝－15.
综上可知 BC 边上的高所在直线的斜率不存在；
AB
边上的高所在直线的斜率为－4； 5
AC 边上的高所在直线的斜率为－15.
[归纳升华] 使用斜率公式解决两直线垂直问题的步骤
2.对两直线垂直与斜率的关系要注意以下几点 (1)l1⊥l2⇔k1·k2＝－1 成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；② k1≠0 且 k2≠0. (2)两条直线中，一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零， 则两条直线垂直． (3)判定两条直线垂直的一般结论为： l1⊥l2⇔k1·k2＝－1 或一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于 零.
解析： (1)由题意知，k1＝－5－3－12＝－45，k2＝－8－7＋33＝－45，所以直线 l1 与直线 l2 平行或重合，
又 kBC＝5－－3－ －33＝－43≠－45，故 l1∥l2. (2)由题意知，k1＝－ －12－ －10＝1，k2＝32－ －43＝1，所以直线 l1 与直线 l2 平行或 重合，kFG＝43－ －－ －12＝1，故直线 l1 与直线 l2 重合．
1．首先查看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在， 若不相等，则将点的坐标代入斜率公式．
2．求值：计算斜率的值，进行判断．尤其是点的坐标中含有参数时，应 用斜率公式要对参数进行讨论．
高一数学人教A版必修2课件：第三章 直线与方程
核心归纳
高考体验
一般式直线方程平行、垂直的条件
已知两条直线的方程为 l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,则 l1 ∥l2 的条件是 A1B2-A2B1=0,且 B1C2-C1B2≠0 或 条件是 A1A2+B1B2=0.
������1 ������2
=
������1 ������2
本章整合
明目标、知重点
-1-
知识网络
核心归纳
高考体验
倾斜角:直线向上方向与������轴的正向所成 的角 几何要素 概念: 斜率 ① ②
斜率公式:
定点:常取与坐标轴的交点 相交—特例:垂直—斜率都存在时, 位置关系 平行:斜率都存在时, 重合:斜率都存在时, 点斜式: 斜截式: 方程 两点式: 截距式:
明目标、知重点 一般式:
③
④ ⑤
⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩
知识网络
核心归纳
高考体验
两条直线的交点坐标:解方程组 两点间的距离: 计算 点到直线的距离: ⑪ ⑫ ⑬
两条平行线间的距离: 的量 坐标法——步骤
第一步:建立坐标系,用坐标表示有关 第二步:进行有关代数运算 第三步:把代数运算结果“翻译”成几 何关系
知识网络
专题一 专题二 专题三
核心归纳
高考体验
例2已知点A(1,2)和直线l:2x-3y+5=0,求经过点A且平行于直线l的 直线方程. 思路分析:利用平行直线系设出方程,代入点A的坐标即可. 解:设所求直线方程为2x-3y+m=0, ∵直线过点A(1,2),故2×1-3×2+m=0, ∴m=4. ∴所求直线方、知重点
知识网络
高一数学人教A版必修二 课件 第三章 直线与方程 3.1.2
是_垂__直___
[化解疑难] 1.对两直线平行与斜率的关系要注意以下几点
(1)l1∥l2⇔k1＝k2 成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②l1 与 l2 不重合．
(2)当两条直线不重合且斜率都不存在时，l1 与 l2 的倾斜角都是 90°，则 l1 ∥l2.
(3)两条不重合直线平行的判定的一般结论是： l1∥l2⇔k1＝k2 或 l1，l2 斜率都不存在．
则顶点 D 的坐标为________．
解析： 设 D(a，b)，由题设得 AB∥CD，AD∥BC，
则 kAB＝kDC，kAD＝kCD，
即a1b0－－ －－0011＝＝3434－－－ －01ba，，
解得ba＝＝43，，
所以顶点 D 的坐标为(3,4)．
谢谢观看！
1．首先查看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在， 若不相等，则将点的坐标代入斜率公式．
2．求值：计算斜率的值，进行判断．尤其是点的坐标中含有参数时，应 用斜率公式要对参数进行讨论．
总之，l1 与 l2 一个斜率为 0，另一个斜率不存在时，l1⊥l2；l1 与 l2 斜率都 存在时，满足 k1·k2＝－1.
解得xy＝＝32，， 或xy＝＝10.，
其中xy＝＝10， 不合题意，舍去． 所以第四个顶点 D 的坐标为(2,3)．
[归纳升华] 利用平行、垂直关系式的关键在于正确求解斜率，特别是含参数的问题， 必须要分类讨论；其次要注意的是斜率不存在并不意味着问题无解.
3．已知平行四边形 ABCD 的三个顶点的坐标分别为 A(0,1)，B(1,0)，C(4,3)，
解析： (1)由题意知，k1＝－5－3－12＝－45，k2＝－8－7＋33＝－45，所以直线 l1 与直线 l2 平行或重合，
[化解疑难] 1.对两直线平行与斜率的关系要注意以下几点
(1)l1∥l2⇔k1＝k2 成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②l1 与 l2 不重合．
(2)当两条直线不重合且斜率都不存在时，l1 与 l2 的倾斜角都是 90°，则 l1 ∥l2.
(3)两条不重合直线平行的判定的一般结论是： l1∥l2⇔k1＝k2 或 l1，l2 斜率都不存在．
则顶点 D 的坐标为________．
解析： 设 D(a，b)，由题设得 AB∥CD，AD∥BC，
则 kAB＝kDC，kAD＝kCD，
即a1b0－－ －－0011＝＝3434－－－ －01ba，，
解得ba＝＝43，，
所以顶点 D 的坐标为(3,4)．
谢谢观看！
1．首先查看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在， 若不相等，则将点的坐标代入斜率公式．
2．求值：计算斜率的值，进行判断．尤其是点的坐标中含有参数时，应 用斜率公式要对参数进行讨论．
总之，l1 与 l2 一个斜率为 0，另一个斜率不存在时，l1⊥l2；l1 与 l2 斜率都 存在时，满足 k1·k2＝－1.
解得xy＝＝32，， 或xy＝＝10.，
其中xy＝＝10， 不合题意，舍去． 所以第四个顶点 D 的坐标为(2,3)．
[归纳升华] 利用平行、垂直关系式的关键在于正确求解斜率，特别是含参数的问题， 必须要分类讨论；其次要注意的是斜率不存在并不意味着问题无解.
3．已知平行四边形 ABCD 的三个顶点的坐标分别为 A(0,1)，B(1,0)，C(4,3)，
解析： (1)由题意知，k1＝－5－3－12＝－45，k2＝－8－7＋33＝－45，所以直线 l1 与直线 l2 平行或重合，
人教A版必修二高二数学教学课件：3.2.3直线的一般式方程.pptx
不垂直于x、 y轴的直线
截距式 在x轴上的截距a, 在y轴上的截距b
x y 1
不垂直于x、y 轴的直线，不
ab
过原点的直线
（二）填空 1．过点(2,1)，斜率为2的直线的方程是__y-1_=2(_x-2)________
23． ．过过点点((22,,11))，，斜斜率率为不存0的在直的线直方线程的是方__程y=1__是_____x=__2 _________
0
(x6)A≠0，B≠0;
例题分析
例1、已知直线经过点A（6，- 4），斜率为 求直线的点斜式和一般式方程.
，
4 3
注意 对于直线方程的一般式，一般作如下约定：x的系数
为正，x,y的系数及常数项一般不出现分数，一般按含x项，
含y项、常数项顺序排列.
例2、把直线l 的方程x –2y+6= 0化成斜截式，求出直
y
(1) A=0 , B≠0 ,C≠0;
0
x
2.二元一次方程的系数和常数项对 直线的位置的影响
在方程Ax+By+C=0中，A，B，C为何值时，方程表 示的直线：
（1）平行于x轴;（2）平行于y轴;（3）与x轴重合;
（4）与y轴重合; （5）过原点;（6）与x轴和y轴相交;
y
(1) A=0 , B≠0 ,C≠0;
在方程Ax+By+C=0中，A，B，C为何值时，方程表 示的直线：
（1）平行于x轴;（2）平行于y轴;（3）与x轴重合;
（4）与y轴重合; （5）过原点;（6）与x轴和y轴相交;
y
(1) A=0 , B≠0 ,C≠0;
(2) B=0 , A≠0 , C≠0;
(3) A=0 , B≠0 ,C=0;
高中数学第三章直线与方程3.3.3_3.3.4点到直线的距离两条平行直线间的距离课件新人教A版必修2
1.(点到直线的距离)原点到直线 x+2y-5=0 的距离为( D )
(A)1
(B) 3 (C)2
(D) 5
2.(两平行线间的距离)到直线3x-4y-11=0的距离为2的直线方程为( B ) (A)3x-4y-1=0 (B)3x-4y-1=0或3x-4y-21=0 (C)3x-4y+1=0 (D)3x-4y-21=0
新知探求·素养养成
点击进入 情境导学
知识探究
1.点到直线的距离
| Ax0 By0 C |
(1)点到直线的距离公式:点 P0(x0,y0)到直线 l:Ax+By+C=0 的距离为 d= A2 B2 (当
A=0 或 B=0 时,也成立).
(2)几种特殊情况下的点到直线距离:①点P0(x0,y0)到x轴的距离d=|y0|; ②点P0(x0,y0)到y轴的距离d=|x0|; ③点P0(x0,y0)到与x轴平行的直线y=a(a≠0)的距离d=|y0-a|; ④点P0(x0,y0)到与y轴平行的直线x=b(b≠0)的距离d=|x0-b|.
的最小值是( )
(A)2
(B)2 2 (C)4
(D)2 3
解 析 : 因 为 (m,n) 在 4x+3y-10=0 上 , 所 以 m2+n2 的 最 小 值 表 示 原 点 到 直 线 4x+3y-10=0 的距离的平方,即( 10 )2=4.故选 C.
42 32
【备用例3】 过点P(1,2)引直线,使A(2,3),B(4,-5)到它的距离相等,求这 条直线的方程.
数m=
.
解析:(1)由题意,得 | 9 16 7 | = |18 4m 7 | ,
5
5
高一数学人教A版必修二 课件 第三章 直线与方程 3.3.2
数学 必修2
第三章 直线与方程
学案·新知自解
教案·课堂探究
练案·学业达标
教案·课堂探究
数学 必修2
第三章 直线与方程
学案·新知自解
教案·课堂探究
练案·学业达标
两条直线的交点问题 自主练透型 判断下列各组直线的位置关系，如果相交，求出交点的坐标： (1)l1：5x＋4y－2＝0，l2：2x＋y＋2＝0； (2)l1：2x－6y＋3＝0，l2：y＝13x＋12； (3)l1：2x－6y＝0，l2：y＝13x＋12.
又直线 l 与直线 3x＋y－1＝0 平行， 所以－λλ＋ －23＝－3 且λ＋3 2≠2－λ－13，解得 λ＝121. 将 λ＝121代入①，整理，得 15x＋5y＋16＝0，即为所求.
数学 必修2
第三章 直线与方程
学案·新知自解
教案·课堂探究
练案·学业达标
数学 必修2
第三章 直线与方程
学案·新知自解
学案·新知自解
教案·课堂探究
练案·学业达标
直线恒过定点问题 多维探究型
求证：不论 m 为何实数，直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5 都过某一 定点．
证明： 法一：取 m＝1 时，直线方程为 y＝－4.取 m＝12时，直线方程为 x＝9.
两直线的交点为 P(9，－4)，将点 P 的坐标代入原方程左边＝(m－1)×9＋ (2m－1)×(－4)＝m－5.
学案·新知自解
方程组的解的组数与两条直线的位置关系
教案·课堂探究
练案·学业达标
数学 必修2
第三章 直线与方程
学案·新知自解
教案·课堂探究
练案·学业达标
[化解疑难] 对两点间距离公式的理解 (1) 公 式 与 两 点 的 先 后 顺 序 无 关 ， 也 就 是 说 公 式 也 可 以 写 成 |P1P2|＝ x1－x22＋y1－y22，利用此公式可以将几何问题代数化． (2)当直线 P1P2 平行于坐标轴时距离公式仍然可以使用，但一般我们用下 列方法：①直线 P1P2 平行于 x 轴时|P1P2|＝|x2－x1|；②直线 P1P2 平行于 y 轴时 |P1P2|＝|y2－y1|.
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
另外，要特别注意斜率不存在时的 特殊情况.
•
6. 两条直线的交点坐标： 将两条直线的方程联立，得方程组
A1 x B1 y C1 0, A2 x B2 y C2 0.
若方程组有惟一解，则两条直线相交， 此解即是交点的坐标；若方程组无解， 则两条直线无公共点，此时两条直线平行.
•
解：直线 l : y kx 3 恒过定点 C(0, 3) . 直线 2 x 3 y 6 0 与 x 轴和 y 轴的交点设为 A, B ， 则 A, B 两点的坐标分别为 (3, 0) ， (0, 2) .
直线 CA 的斜率为 kCA
0 ( 3) 3 ，对应的倾斜角为 ， 6 30 3
直线与方程
•
知识点梳理
1. 直线的倾斜角：在平面直角坐标系中， 对于一条与 x 轴相交的直线，如果把 x 轴绕着 交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的 最小正角记为 ，那么 就叫做直线的倾斜角. 当直线和 x 轴平行或重合时，我们规定直线的 倾斜角为 0 .可见，直线倾斜角的取值范围是
8
C.
2
D. 10
•
例 4 （2009 安徽卷） 直线 l 过点 (1, 2) 且与直线 2 x 3 y 4 0 垂直， 则 l 的方程是（ ） B. 3x 2 y 7 0 D. 2 x 3 y 8 0
A． 3x 2 y 1 0 C. 2 x 3 y 5 0
则 l1 与 l2 的距离为
d
C1 C2 A2 B 2
.
•
典型问题选讲：
例1 经过 A(2, 0) ， B(5,3) 两点的直线的斜率
是____________，倾斜角是_______.
解：经过 A(2, 0) ， B(5,3) 两点的直线
30 1 ，故倾斜角为135 . 的斜率 k 5 (2)
•
例 6.已知点 A(1,3), B(3,1), C (1, 0) ， 求△ ABC 的面积.
故其斜率为 2 .
∵过点 A(2, m) 和点 B(m, 4) 的直线与直线
2 x y 1 0 平行，
4m 2 . 解得 ∴ m2
m 8 .
•
例 3 已知过点 A(2, m) 和点 B(m, 4) 的直线 与直线 2 x y 1 0 平行，则 m 的值为（B ） A. 0 B.
•
2 解：直线 2 x 3 y 4 0 的斜率为 . 3
因为所求直线与直线 2 x 3 y 4 0 垂直，
3 所以，所求直线的斜率为 . 2
直线过点 1, 2 ，由点斜式得直线方程为
3 y 2 x (1)) ， 2
即
3x 2 y 1 0 .
•
例1
经过 A(2, 0) ， B(5,3) 两点的直线的斜率
1 135 是____________，倾斜角是_______.
归纳小结：本题考查过已知两点的斜率和倾斜角.
y2 y1 解题关键是准确应用过两点的斜率计算公式 k ， x2 x1
并理解斜率和倾斜角之间的内在关系 k tan .
0 180 .
•
2. 直线的斜率： 倾斜角 不是 90 的直线，它的倾斜角的正切叫做
这条直线的斜率，常用 k 表示，即 k tan ( 90 ) .
倾斜角是 90 的直线没有斜率； 倾斜角不是 90 的直线都有斜率， 其取值范围是 (, ) .
•
•
例 4 （2009 安徽卷） 直线 l 过点 (1, 2) 且与直线 2 x 3 y 4 0 垂直， 则 l 的方程是（
A
） B. 3x 2 y 7 0 D. 2 x 3 y 8 0
A． 3 x 2 y 1 0 C. 2 x 3 y 5 0
3. 直线方程的五种形式 点斜式： y y0 k ( x x0 ) ，斜截式： y kx b ，
x y y y1 x x1 两点式： ， 截距式： 1 ， a b y2 y1 x2 x1
一般式： Ax By C 0 （其中 A, B 不同时为 0）.
直线 CB 与 x 轴垂直，对应的倾斜角为 . 2
•
•
例 3 已知过点 A(2, m) 和点 B(m, 4) 的直线 与直线 2 x y 1 0 平行，则 m 的值为（ A. 0 B. ）
8
C.
2
D. 10
•
解：过点 A(2, m) 和点 B(m, 4) 的直线的斜率为
4m 4m k AB . m (2) m 2 直线 2 x y 1 0 可变形为 y 2 x 1 ，
•
7. 点到直线距离公式： 点 P( x0 , y0 ) 到直线 l : Ax By C 0 的距离为
d
Ax0 By0 C A B
2 2
.
•
8. 两平行线间的距离公式： 已知两条平行线直线 l1 和 l2 的一般式方程为
l1 ： Ax By C1 0 ， l2 ： Ax By C2 0 ，
•
例 2 若直线 l : y kx 3 与直线
2 x 3 y 6 0 的交点位于第一象限，则
直线 l 的倾斜角的取值范围是（ ）
A. , 6 3 C. , 3 2
B. , 6 2 D. , 6 2
•
4. 两条直线平行： 对于两条不重合的直线 l1 , l2 ， 其斜率分别为 k1 , k2 ，有
l1 ∥ l2 k1 k2 .
•
5.两条直线垂直： 如果两条直线都有斜率，且它们 互相垂直，那么它们的斜率之积等于 1 ； 反之，如果它们的斜率之积等于 1 ， 那么它们互相垂直.即
l1 l2 k1 k2 1 .
•
6. 两条直线的交点坐标： 将两条直线的方程联立，得方程组
A1 x B1 y C1 0, A2 x B2 y C2 0.
若方程组有惟一解，则两条直线相交， 此解即是交点的坐标；若方程组无解， 则两条直线无公共点，此时两条直线平行.
•
解：直线 l : y kx 3 恒过定点 C(0, 3) . 直线 2 x 3 y 6 0 与 x 轴和 y 轴的交点设为 A, B ， 则 A, B 两点的坐标分别为 (3, 0) ， (0, 2) .
直线 CA 的斜率为 kCA
0 ( 3) 3 ，对应的倾斜角为 ， 6 30 3
直线与方程
•
知识点梳理
1. 直线的倾斜角：在平面直角坐标系中， 对于一条与 x 轴相交的直线，如果把 x 轴绕着 交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的 最小正角记为 ，那么 就叫做直线的倾斜角. 当直线和 x 轴平行或重合时，我们规定直线的 倾斜角为 0 .可见，直线倾斜角的取值范围是
8
C.
2
D. 10
•
例 4 （2009 安徽卷） 直线 l 过点 (1, 2) 且与直线 2 x 3 y 4 0 垂直， 则 l 的方程是（ ） B. 3x 2 y 7 0 D. 2 x 3 y 8 0
A． 3x 2 y 1 0 C. 2 x 3 y 5 0
则 l1 与 l2 的距离为
d
C1 C2 A2 B 2
.
•
典型问题选讲：
例1 经过 A(2, 0) ， B(5,3) 两点的直线的斜率
是____________，倾斜角是_______.
解：经过 A(2, 0) ， B(5,3) 两点的直线
30 1 ，故倾斜角为135 . 的斜率 k 5 (2)
•
例 6.已知点 A(1,3), B(3,1), C (1, 0) ， 求△ ABC 的面积.
故其斜率为 2 .
∵过点 A(2, m) 和点 B(m, 4) 的直线与直线
2 x y 1 0 平行，
4m 2 . 解得 ∴ m2
m 8 .
•
例 3 已知过点 A(2, m) 和点 B(m, 4) 的直线 与直线 2 x y 1 0 平行，则 m 的值为（B ） A. 0 B.
•
2 解：直线 2 x 3 y 4 0 的斜率为 . 3
因为所求直线与直线 2 x 3 y 4 0 垂直，
3 所以，所求直线的斜率为 . 2
直线过点 1, 2 ，由点斜式得直线方程为
3 y 2 x (1)) ， 2
即
3x 2 y 1 0 .
•
例1
经过 A(2, 0) ， B(5,3) 两点的直线的斜率
1 135 是____________，倾斜角是_______.
归纳小结：本题考查过已知两点的斜率和倾斜角.
y2 y1 解题关键是准确应用过两点的斜率计算公式 k ， x2 x1
并理解斜率和倾斜角之间的内在关系 k tan .
0 180 .
•
2. 直线的斜率： 倾斜角 不是 90 的直线，它的倾斜角的正切叫做
这条直线的斜率，常用 k 表示，即 k tan ( 90 ) .
倾斜角是 90 的直线没有斜率； 倾斜角不是 90 的直线都有斜率， 其取值范围是 (, ) .
•
•
例 4 （2009 安徽卷） 直线 l 过点 (1, 2) 且与直线 2 x 3 y 4 0 垂直， 则 l 的方程是（
A
） B. 3x 2 y 7 0 D. 2 x 3 y 8 0
A． 3 x 2 y 1 0 C. 2 x 3 y 5 0
3. 直线方程的五种形式 点斜式： y y0 k ( x x0 ) ，斜截式： y kx b ，
x y y y1 x x1 两点式： ， 截距式： 1 ， a b y2 y1 x2 x1
一般式： Ax By C 0 （其中 A, B 不同时为 0）.
直线 CB 与 x 轴垂直，对应的倾斜角为 . 2
•
•
例 3 已知过点 A(2, m) 和点 B(m, 4) 的直线 与直线 2 x y 1 0 平行，则 m 的值为（ A. 0 B. ）
8
C.
2
D. 10
•
解：过点 A(2, m) 和点 B(m, 4) 的直线的斜率为
4m 4m k AB . m (2) m 2 直线 2 x y 1 0 可变形为 y 2 x 1 ，
•
7. 点到直线距离公式： 点 P( x0 , y0 ) 到直线 l : Ax By C 0 的距离为
d
Ax0 By0 C A B
2 2
.
•
8. 两平行线间的距离公式： 已知两条平行线直线 l1 和 l2 的一般式方程为
l1 ： Ax By C1 0 ， l2 ： Ax By C2 0 ，
•
例 2 若直线 l : y kx 3 与直线
2 x 3 y 6 0 的交点位于第一象限，则
直线 l 的倾斜角的取值范围是（ ）
A. , 6 3 C. , 3 2
B. , 6 2 D. , 6 2
•
4. 两条直线平行： 对于两条不重合的直线 l1 , l2 ， 其斜率分别为 k1 , k2 ，有
l1 ∥ l2 k1 k2 .
•
5.两条直线垂直： 如果两条直线都有斜率，且它们 互相垂直，那么它们的斜率之积等于 1 ； 反之，如果它们的斜率之积等于 1 ， 那么它们互相垂直.即
l1 l2 k1 k2 1 .