数学必修二第三章直线与方程知识点总结及测试题

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高中数学必修2(人教A版)第三章直线与方程3.3知识点总结含同步练习及答案

例题：直线 3x − 2y + m = 0 和 (m 2 + 1)x + 3y − 3m = 0 的位置关系是（ A．平行 B．重合 C．相交 D．不确定解：两直线的斜率分别为交．
3 3 m2 + 1 m2 + 1 和 − ，因为方程 − 无解，所以两直线相 = 2 3 3 2
已知直线 l 1 ：ax + 2y + 6 = 0，l 2 ：x + (a − 1)y + a2 − 1 = 0，求适合下列条件的 a 的取值范围．（1）l 1 与 l 2 相交；（2）l 1 与 l 2 平行；（3）l 1 与 l 2 重合；（4）l 1 与 l 2 垂直．解：（1）因为 l 1 与 l 2 相交，所以 A 1 B 2 − A 2 B 1 ≠ 0 ，即 a(a − 1) − 2 ≠ 0 ，所以 a ≠ −1 且 a ≠ 2，所以 a ∈ R 且 a ≠ −1 且 a ≠ 2 时，l 1 与 l 2 相交．（2）因为 l 1 与 l 2 平行，所以 A 1 B 2 − A 2 B 1 = 0 且 B 1 C2 − B 2 C1 ≠ 0，即
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例题：已知点 A(−1, 2) ，B(2, √7 ) ，在 x 轴上求一点 P ，使 |P A| = |P B|，并求 |P A| 的值．解：设所求点为 P (x, 0) ，于是有

(完整版)必修二第3章直线与方程题型总结

必修2 第3章直线与方程理论知识：1直线的倾斜角和斜率1、倾斜角：2、倾斜角α的取值范围： ..3、直线的斜率: k = 记住特殊角的正切值⑴当直线l 与x 轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0;⑵当直线l 与x 轴垂直时, α= 90°, k 不存在.4、直线的斜率公式:给定两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率：斜率公式: k =2两条直线的平行与垂直1，L1∥L2则注意:2、则注意：3.直线方程1、直线的点斜式方程：2、、直线的斜截式方程： 3 直线的一般式方程： 4.了解斜率和截距的性质4.两条直线的交点坐标求法：联立方程组。

5.距离1.两点间的距离公式：．2.点到直线距离公式：3、两平行线间的距离公式：6.对称问题1.中点坐标公式：已知两点P 1 (x 1，y 1)、P 1(x 1，y 1)，则线段的中点M 坐标为2.若点11(,)M x y 及(,)N x y 关于(,)P a b 对称；求解方法：3.点关于直线的对称：若111(,)P x y 与222(,)P x y 关于直线:0l Ax By C ++=对称，求解方法：直线与方程测试题题型一（倾斜角与斜率）1.直线053=-+y x 的倾斜角是( )A.120°B.150°C.60°D.30°2．若直线x ＝1的倾斜角为，则( )．A ．等于0B ．等于C ．等于2πD ．不存在3．图中的直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则( )． A ．k1＜k2＜k3 B ．k3＜k1＜k2 C ．k3＜k2＜k1 D ．k1＜k3＜k24.求直线3x ＋ay ＝1的斜率为题型二（直线位置关系）1．已知直线l1经过两点(－1，－2)、(－1，4)，直线l2经过两点(2，1)、(x ，6)，且l1∥l2，则x ＝()． A ．2 B ．－2 C ．4 D ．12．已知直线l 与过点M(－3，2)，N(2，－3)的直线垂直，则直线l 的倾斜角是( )．A ．3πB ．32πC ．4πD ．43π3.设直线 l1经过点A(m ，1)、B(—3，4)，直线 l2经过点C(1，m)、D(—1，m+1)，当(1) l1/ / l2 (2) l1⊥l1时分别求出m 的值4.已知两直线l1： x+(1+m) y =2—m 和l2：2mx+4y+16=0，m 为何值时l1与l2①相交②平行5.. 已知两直线l1：(3a+2) x+(1—4a) y +8=0和l2：(5a —2)x+(a+4)y —7=0垂直，求a 值。

高中数学必修2第三章知识点及练习题

第三章直线与方程1、直线倾斜角的观点：当直线 l 与 x 轴订交时 , 取 x 轴作为基准 , x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角α叫做直线 l 的倾斜角 .特别地 ,当直线 l 与 x 轴平行或重合时 , 规定α = 0 ° .2、倾斜角α的取值范围：0°≤ α＜180°.当直线l与x轴垂直时,α= 90°.3、直线的斜率 :⑴一条直线的倾斜角α (α ≠ 90°) 的正切值叫做这条直线的斜率,常用小写字母 k 表示 , 也就是 k = tan α 。

①当直线 l 与 x 轴平行或重合时 , α =0°, k = tan0 ° =0;②当直线 l 与 x 轴垂直时 , α = 90° , k 不存在 .当0, 90 时， k 0 ，k 跟着α的增大而增大；当90 ,180 时， k 0 ，k 跟着α的增大而增大；当90 时，k不存在。

由此可知 , 一条直线 l 的倾斜角α必定存在 ,可是斜率 k 不必定存在 .⑵过两点P1( x1, y1)、P2(x2, y2)的直线的斜率公式：k y2y1 (x1 x2 )x2 x1注意下边四点：(1)当x1x2 时，公式右侧无心义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°；(2)k 与P1、P2的次序没关；(3)此后求斜率可不经过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率，再求倾斜角。

※ 三点共线的条件：假如所给三点中随意两点的连线都有斜率且都相等，那么这三点共线；反之，三点共线，随意两点连线的斜率不必定相等。

解决此类问题要先考虑斜率能否存在。

4、直线方程（注意各样直线方程之间的转变）①直线的点斜式方程：y y0 k (x x0 ) ，k为直线的斜率，且过点 x0 , y0 ，合用条件是不垂直 x 轴。

注意：当直线的斜率为0°时， k=0，直线的方程是y y0。

必修二第三章直线与方程知识点总结及练习(答案)

必修二第三章直线与方程（1）直线的倾斜角定义： x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。

特别地，当直线与x 轴平行或重合时 , 我们规定它的倾斜角为0 度。

所以，倾斜角的取值范围是0°≤α＜ 180°（2）直线的斜率①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。

直线的斜率常用 k 表示。

即k tan。

斜率反应直线与轴的倾斜程度。

当直线 l与 x 轴平行或重合时 ,α =0° , k = tan0° =0;当直线 l与 x 轴垂直时 ,α = 90 ° , k不存在 .当0,90 时，k 0；当90 ,180时， k 0 ；当90时， k 不存在。

②过两点的直线的斜率公式： k y2y1 (x1x2 )（ P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠ x2 ）x2x1注意下边四点： (1)当 x1x2时，公式右侧无心义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°；(2)k 与 P1、 P2的次序没关；(3)此后求斜率可不经过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率获得。

（3）直线方程①点斜式：y y1k( x x1 ) 直线斜率k，且过点x1, y1注意：当直线的斜率为= 0°时， k=0，直线的方程是y y1。

当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不可以用点斜式表示．但因l 上每一点的横坐标都等于x ，所以它的方程是x=x 。

11②斜截式：y kx b ，直线斜率为k，直线在 y 轴上的截距为b③两点式：y y1x x1（ x1 x2 , y1y2）直线两点x1, y1，x2, y2y2y1x2x1④截矩式：xy 1 此中直线l与 x 轴交于点 (a,0) ,与y轴交于点 (0,b) ,即l与 x 轴、y轴a b的截距分别为 a,b 。

高中数学必修2第三章直线与方程知识点归纳及作业

第三章直线与方程3.1直线的倾斜角和斜率3.1倾斜角和斜率1、直线的倾斜角的概念：当直线l 与x 轴相交时, 取x 轴作为基准, x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角.特别地,当直线l 与x 轴平行或重合时, 规定α= 0°.2、倾斜角α的取值范围：0°≤α＜180°. 当直线l 与x 轴垂直时, α= 90°.3、直线的斜率:一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k 表示,也就是 k = tan α⑴当直线l 与x 轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0; ⑵当直线l 与x 轴垂直时, α= 90°, k 不存在. 由此可知, 一条直线l 的倾斜角α一定存在,但是斜率k 不一定存在.4、直线的斜率公式:给定两点P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2),x 1≠x 2,用两点的坐标来表示直线P 1P 2的斜率：斜率公式: k=y 2-y 1/x 2-x 1 3.1.2两条直线的平行与垂直1、两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，那么它们平行，即（充要条件）注意: 上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不成立．即如果k 1=k 2, 那么一定有l 1∥l 22、两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数，那么它们互相垂直，即12121k k l l =-⇔⊥（充要条件） 3.2.1 直线的点斜式方程1、直线的点斜式方程：直线l 经过点),(000y x P ，且斜率为k )(00x x k y y -=-2、、直线的斜截式方程：已知直线l 的斜率为k ，且与y 轴的交点为),0(b b kx y +=3.2.2 直线的两点式方程1、直线的两点式方程：已知两点),(),,(222211y x P x x P 其中),(2121y y x x ≠≠y-y 1/y-y 2=x-x 1/x-x 22、直线的截距式方程：已知直线l 与x 轴的交点为A )0,(a ，与y 轴的交点为B ),0(b ，其中0,0≠≠b a 3.2.3 直线的一般式方程1、直线的一般式方程：关于y x ,的二元一次方程0=++C By Ax （A ，B 不同时为0）2、各种直线方程之间的互化。

高中数学必修2__第三章《直线与方程》知识点总结与练习

第八章平面解析几何第一节直线的倾斜角与斜率、直线的方程1(1)(2)2(1)90°(2)[小题能否全取]1．(教材习题改编)直线x＋3y＋m＝0(m∈k)的倾斜角为()A．30°B．60°C．150°D．120°解析：选C由k＝tan α＝－33，α∈[0，π)得α＝150°.2．(教材习题改编)已知直线l过点P(－2,5)，且斜率为－34，则直线l的方程为()A．3x＋4y－14＝0 B．3x－4y＋14＝0 C．4x＋3y－14＝0 D．4x－3y＋14＝0解析：选A由y－5＝－34(x＋2)，得3x＋4y－14＝0.3．过点M(－2，m)，N(m,4)的直线的斜率等于1，则m的值为() A．1 B．4C．14．由于5所以l即3x1.23典题导入[例1](1)(2012·岳阳模拟)经过两点A(4,2y＋1)，B(2，－3)的直线的倾斜角为3π4，则y＝()A．－1B．－3C．0 D．2(2)(2012·苏州模拟)直线x cos θ＋3y＋2＝0的倾斜角的范围是________．[自主解答] (1)tan 3π4＝2y ＋1－(－3)4－2＝2y ＋42＝y ＋2，因此y ＋2＝－1.y ＝－3.(2)由题知k ＝－33cos θ，故k ∈⎣⎡⎦⎤－33，33，结合正切函数的图象，当k ∈⎣⎡⎦⎤0，33时，直线倾斜角α∈⎣⎡⎦⎤0，π6，当k ∈⎣⎡⎭⎫－33，0时，直线倾斜角α∈⎣⎡⎭⎫5π6，π，故直线的倾斜角的范围是⎣⎡⎦⎤0，π6∪⎣⎡⎭⎫5π6，π. [答案] (1)B (2)⎣⎡⎦⎤0，π6∪⎣⎡⎭⎫5π6，π由题悟法1(1)(2)21．( )A ．C ．的斜率为－12．( ) A.⎣⎡12，＋∞C ．(PA ≤k ≤k PB .∵k PA ∴－2程典题导入[例2] (1)过点(1,0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是________________．(2)(2012·东城模拟)若点P (1,1)为圆(x －3)2＋y 2＝9的弦MN 的中点，则弦MN 所在直线的方程为______________． [自主解答] (1)设所求直线方程为x －2y ＋m ＝0，由直线经过点(1, 0)，得1＋m ＝0，m ＝－1. 则所求直线方程为x －2y －1＝0.(2)由题意得，1－01－3×k MN ＝－1，所以k MN ＝2，故弦MN 所在直线的方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0. [答案] (1)x －2y －1＝0 (2)2x －y －1＝0由题悟法求直线方程的方法主要有以下两种：(1)直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程；(2)待定系数法：先设出直线方程，再根据已知条件求出待定系数，最后代入求出直线方程．以题试法3．(1)△(2)BC 解：(2)x －y －11＝[例3]12AB 恰被点P 平分，求此直线的方程．[自主解答] 法一：设点A (x ，y )在l 1上，点B (x B ，y B )在l 2上．由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x ＋xB 2＝3，y ＋y B2＝0，则点B (6－x ，－y )，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2＝0，(6－x )＋(－y )＋3＝0，得⎩⎨⎧x ＝113，y ＝163，则k ＝163－0113－3＝8.故所求的直线方程为y ＝8(x －3)，即8x －y －24＝0. 法二：设所求的直线方程为y ＝k (x －3)，点由⎩⎪⎨⎪⎧由⎩⎪⎨⎪⎧∵P ∴y A ∴k 2若k 即8x －y －24＝0.由题悟法解决直线方程的综合问题时，除灵活选择方程的形式外，还要注意题目中的隐含条件，若与最值或范围相关的问题可考虑构建目标函数进行转化求最值．以题试法4．(2012·东北三校联考)已知直线l 过点M (2,1)，且分别与x 轴，y 轴的正半轴交于A ，B 两点，O 为原点． (1)当△AOB 面积最小时，求直线l 的方程； (2)当|MA |·|MB |取得最小值时，求直线l 的方程．解：(1)设直线l 的方程为y －1＝k (x －2)(k <0)， A ⎝⎛⎭⎫2－1k ，0，B (0，1－2k )， △AOB 的面积S ＝12(1－2k )⎝⎛⎭⎫2－1k ＝12⎣⎡⎦⎤4＋(－4k )＋⎝⎛⎭⎫－1k ≥12(4＋4)＝4. 当且仅当－4k ＝－1k ，即k ＝－12时，等号成立．故直线l 的方程为y －1＝－1(x －2)，即x ＋2y －4＝0.(2)∵|∴|MA[典例] (2012·西安模拟)设直线l 的方程为 (a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0(a ∈R )．(1)若l 在两坐标轴上的截距相等，求l 的方程； (2)若l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围．[尝试解题] (1)当直线过原点时，该直线在x 轴和y 轴上的截距为零，此时截距相等．故a ＝2，方程即为3x ＋y ＝0.当直线不过原点时，由截距存在且均不为0，得a －2a ＋1＝a －2，即a ＋1＝1，故a ＝0，方程即为x ＋y ＋2＝0.综上，l 的方程为3x ＋y ＝0或x ＋y ＋2＝0. (2)将l 的方程化为y ＝－(a ＋1)x ＋a －2，则⎩⎪⎨⎪⎧ －(a ＋1)＞0，a －2≤0，或⎩⎪⎨⎪⎧－(a ＋1)＝0，a －2≤0.∴a ≤－1.综上可知，a 的取值范围是(－∞，－1]．1.时也满足.2.针对训练过点即x1．若k ，－1，b 三个数成等差数列，则直线y ＝kx ＋b 必经过定点( ) A ．(1，－2) B ．(1,2) C ．(－1,2)D ．(－1，－2)解析：选A 因为k ，－1，b 三个数成等差数列，所以k ＋b ＝－2，即b ＝－2－k ，于是直线方程化为y ＝kx －k －2，即y ＋2＝k (x －1)，故直线必过定点(1，－2)．2．直线2x ＋11y ＋16＝0关于点P (0,1)对称的直线方程是( ) A ．2x ＋11y ＋38＝0B ．2x ＋11y －38＝0C ．2x －11y －38＝0D ．2x －11y ＋16＝0解析：选B因为中心对称的两直线互相平行，并且对称中心到两直线的距离相等，故可设所求直线的方程为2x＋11y＋C＝0，由点到直线的距离公式可得|0＋11＋16|22＋112＝|0＋11＋C|22＋112，解得C＝16(舍去)或C＝－38.3．(2012·衡水模拟)直线l1的斜率为2，l1∥l2，直线l2过点(－1,1)且与y轴交于点P，则P点坐标为() A．(3,0) B．(－3,0)C．(0，－3) D．(0,3)解析：选D∵l1∥l2，且l1斜率为2，∴l2的斜率为2.又l2过(－1,1)，∴l2的方程为y－1＝2(x＋1)，整理即得y＝2x＋3.令x＝0，得P(0,3)．4．A．C．ab＝－ab x－cb，易知－ab＜05A．yC．yy＝－13(x－6)AC．37．________．解析：设直线l的斜率为k，则方程为y－2＝k(x－1)，在x轴上的截距为1－2k，令－3＜1－2k＜3，解得k＜－1或k＞12.答案：(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞8．(2012·常州模拟)过点P(－2,3)且在两坐标轴上的截距相等的直线l的方程为________．解析：直线l过原点时，l的斜率为－32，直线方程为y＝－32x；l不过原点时，设方程为xa＋ya＝1，将点(－2,3)代入，得a ＝1，直线方程为x ＋y ＝1.综上，l 的方程为x ＋y －1＝0或2y ＋3x ＝0. 答案：x ＋y －1＝0或3x ＋2y ＝09．(2012·天津四校联考)不论m 取何值，直线(m －1)x －y ＋2m ＋1＝0恒过定点________．解析：把直线方程(m －1)x －y ＋2m ＋1＝0整理得 (x ＋2)m －(x ＋y －1)＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2＝0，x 得⎨⎪⎧x ＝－2，10解：11．(1)(2)解：当m (2)②当∴k ＝1m ＋1∈(－∞，－ 3 ]∪⎣⎡⎭⎫33，＋∞，∴α∈⎣⎡⎭⎫π6，π2∪⎝⎛⎦⎤π2，2π3.综合①②知，直线AB 的倾斜角α∈⎣⎡⎦⎤π6，2π3.12.如图，射线OA 、OB 分别与x 轴正半轴成45°和30°角，过点P (1,0)作直线AB 分别交OA 、OB 于A 、B 两点，当AB 的中点C 恰好落在直线y ＝12x 上时，求直线AB 的方程．解：由题意可得k OA ＝tan 45°＝1， k OB ＝tan(180°－30°)＝－33，所以直线l OA ：y ＝x ，l OB ：y ＝－33x . 设A (m ，m )，B (－3n ，n )，所以AB 的中点C ⎝⎛⎭⎪⎫m －3n 2，m ＋n 2，由点解得又P 所以l10的交点位于第一象限，则直线 ) A.⎣⎡π6，C.⎝⎛π3，∵两直线交点在第一象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，y ＞0，解得k ＞33.∴直线l 的倾斜角的范围是⎝⎛⎭⎫π6，π2.2．(2012·洛阳模拟)当过点P (1,2)的直线l 被圆C ：(x －2)2＋(y －1)2＝5截得的弦最短时，直线l 的方程为________________．解析：易知圆心C 的坐标为(2,1)，由圆的几何性质可知，当圆心C 与点P 的连线与直线l 垂直时，直线l 被圆C截得的弦最短．由C(2,1)，P(1,2)可知直线PC的斜率为2－11－2＝－1，设直线l的斜率为k，则k×(－1)＝－1，得k＝1，又直线l过点P，所以直线l的方程为x－y＋1＝0.答案：x－y＋1＝03．已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．(1)证明：直线l过定点；(2)若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；(3)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l∴x0(2)(3))．故＝1 2⎝⎛当且仅当4k＝1k，即k＝12时，取等号．故S的最小值为4，此时直线l的方程为x－2y＋4＝0.1．(2012·郑州模拟)已知直线l1的方向向量为a＝(1,3)，直线l2的方向向量为b＝(－1，k)．若直线l2经过点(0,5)且l1⊥l2，则直线l2的方程为()A．x＋3y－5＝0 B．x＋3y－15＝0C．x－3y＋5＝0 D．x－3y＋15＝0 解析：选B∵kl1＝3，kl2＝－k，l1⊥l2，∴k＝13，l2的方程为y＝－13x＋5，即x＋3y－15＝0.2．(2012·吴忠调研)若过点P(1－a,1＋a)与Q(3,2a)的直线的倾斜角为钝角，则实数a的取值范围是________．解析：k＝tan α＝2a－(1＋a)3－(1－a)＝a－1a＋2.∵α为钝角，∴a－1a＋2＜0，即(a－1)(a＋2)＜0，故－23.ABO的解：∵l∴1＝3 a＋∴S△△ABO即2x第二节两直线的位置关系[知识能否忆起]一、两条直线的位置关系{ A 1B 2－A 2B 1＝0，B 2C 1－B 1C 2≠0或{ A 1B 2－A 2B 1＝0，A 1C 2－A 2C 1≠0⎝⎛⎭⎫当A 2B 2C 2≠0时，记为A 1A 2＝B 1B 2≠C 1C 2 A ＝λA ，B ＝λB ，C ＝λC (λ≠0)设方程组{A 1x ＋B A 2x 的解，若方程组有唯一解，则两条直线相交，此解就是交点坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；反之，亦成立．1．两点间的距离d (A 2．点3．[小题能否全取]1．(教材习题改编)已知l 1的倾斜角为45°，l 2经过点P (－2，－1)，Q (3，m )．若l 1⊥l 2，则实数m 为( ) A ．6 B ．－6 C ．5D ．－5解析：选B 由已知得k 1＝1，k 2＝m ＋15.∵l 1⊥l 2，∴k 1k 2＝－1，∴1×m ＋15＝－1，即m ＝－6.2．(教材习题改编)点(0，－1)到直线x ＋2y ＝3的距离为( ) A.55B. 5 C ．5D.15解析：选B d ＝|0＋2×(－1)－3|5＝ 5.3．点(a ，b )关于直线x ＋y ＋1＝0的对称点是( ) x ′＋′＝－2x －3y x －8.典题导入[例1] (2012·浙江高考)设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件[自主解答]由a＝1，可得l1∥l2；反之，由l1∥l2，可得a＝1或a＝－2. [答案] A在本例中若l1⊥l2，试求a.解：∵l1⊥l2，∴a×1＋2×(a＋1)＝0，∴a＝－2 3.1，l1∥l2⇔k1＝k2，l2 1.以题试法1y sin B＋sin C＝0ACk1·k2＝－sin Aa·[C1：y＝x2＋a到直线l：y＝x的距离等于曲线C2：x2＋(y＋4)2＝2到直线l：y＝x的距离，则实数a＝________.[自主解答]因曲线C2：x2＋(y＋4)2＝2到直线l：y＝x的距离为0－(－4)2－2＝22－2＝2，所以曲线C1与直线l不能相交，故x2＋a＞x，即x2＋a－x＞0.设C1：y＝x2＋a上一点为(x0，y0)，则点(x0，y0)到直线l的距离d＝|x0－y0|2＝－x0＋x20＋a2＝⎝⎛⎭⎫x0－122＋a－142≥4a－142＝2，所以a＝9 4.[答案]94由题悟法1．点到直线的距离问题可直接代入距离公式去求．注意直线方程为一般式．2．点到与坐标轴垂直的直线的距离，可用距离公式求解．也可用如下方法去求解：(1)点P(x0，y0)到与y轴垂直的直线y＝a的距离d＝|y0－a|.(2)点P(x0，y0)到与x轴垂直的直线x＝b的距离d＝|x0－b|.以题试法2．(2012·通化模拟)若两平行直线3x－2y－1＝0,6x＋ay＋c＝0之间的距离为213，则c的值是________．[线OBAC[，C(－2,0)|MN|＋|NC|＝|CD|＝40＝210即为光线所经过的路程．[答案] A由题悟法对称问题主要包括中心对称和轴对称(1)中心对称①点P(x，y)关于O(a，b)的对称点P′(x′，y′)满足{x′＝2a－x，y′＝2b－y.②直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决．①点A (a ，b )关于直线Ax ＋By ＋C ＝0(B ≠0)的对称点A ′(m ，n )，则有⎩⎨⎧n －b m －a ×⎝⎛⎭⎫－A B ＝－1，A ·a ＋m 2＋B ·b ＋n 2＋C ＝0.②直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决．以题试法3．(2012·南京调研)与直线3x －4y ＋5＝0关于x 轴对称的直线方程为( ) A ．3x ＋4y ＋5＝0 B ．3x ＋4y －5＝0 C ．－3x ＋4y －5＝0 D ．－3x ＋4y ＋5＝0[典例] (2012·银川一中月考)求经过直线l 1： 3x ＋2y －1＝0和l 2：5x ＋2y ＋1＝0的交点，且垂直于直线l 3：3x －5y ＋6＝0的直线l 的方程．[常规解法] 解方程组{3x ＋2y －1＝0，x ＋2y ＋1＝0，得l 1由l 3(1)与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线系方程是Ax ＋By ＋m ＝0(m ∈R 且m ≠C )； (2)与直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线系方程是Bx －Ay ＋m ＝0(m ∈R )；(3)过直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点的直线系方程为A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(λ∈R )，但不包括l 2.——————————————————————————————————————[巧思妙解] 由于l 过l 1，l 2的交点，故可设l 的方程为3x ＋2y －1＋λ(5x ＋2y ＋1)＝0将其整理，得(3＋5λ)x ＋(2＋2λ)y ＋(－1＋λ)＝0，其斜率－3＋5λ2＋2λ＝－53，得λ＝15.代入直线系方程得l 方程5x ＋3y －1＝0.求与直线2x ＋6y －11＝0平行，且与坐标轴围成的三角形面积为6的直线方程．解：由题意，设所求直线方程为2x ＋6y ＋b ＝0.令x ＝0，得y ＝－b 6；令y ＝0，得x ＝－b2，则直线2x ＋6y ＋b ＝0与坐标轴的交点坐标分别为⎝⎛⎭⎫0，－b 6，⎝⎛⎭⎫－b2，0. 又所围成的三角形面积S ＝12·⎪⎪⎪⎪－b 6·⎪⎪⎪⎪－b 2＝12·b 212＝6，所以b 2＝144，所以b ＝±12. 故所求直线方程为2x ＋6y ＋12＝0或2x ＋6y －12＝0. 即为1．1＝0与直线l 2：k 2x ＋y －( ) A C 1∥l 2”的充要条件．2A C ，ky －k ＜12，所以kk －1＜03．( ) A.85C ．4D ．8解析：选B ∵直线l 1的方程为3x ＋4y －7＝0，直线l 2的方程为6x ＋8y ＋1＝0，即为3x ＋4y ＋12＝0，∴直线l 1与直线l 2的距离为⎪⎪⎪⎪12＋732＋42＝32. 4．若直线l 1：y ＝k (x －4)与直线l 2关于点(2,1)对称，则直线l 2恒过定点( ) A ．(0,4)B ．(0,2)C ．(－2,4)D ．(4，－2)解析：选B由于直线l1：y＝k(x－4)恒过定点(4,0)，其关于点(2,1)对称的点为(0,2)．又由于直线l1：y＝k(x－4)与直线l2关于点(2,1)对称，故直线l2恒过定点(0,2)．5．已知直线l1：y＝2x＋3，若直线l2与l1关于直线x＋y＝0对称，又直线l3⊥l2，则l3的斜率为()A．－2 B．－1 2C.12D．2解析：选A依题意得，直线l2的方程是－x＝2(－y)＋3，即y＝12x＋32，其斜率是12，由l36．) A．3xC．x－24＝0.解得λ＝－4.7．．8k的所有取值为9．．0≤a≤10，所以a∈[0,10]．答案：[0,10]10．(2013·舟山模拟)已知1a＋1b＝1(a＞0，b＞0)，求点(0，b)到直线x－2y－a＝0的距离的最小值．解：点(0，b)到直线x－2y－a＝0的距离为d＝a＋2b5＝15(a＋2b)⎝⎛⎭⎫1a＋1b＝15⎝⎛⎭⎫3＋2ba＋ab≥15(3＋22)＝35＋2105，当且仅当a 2＝2b2，a＋b＝ab，即a＝1＋2，b＝2＋22时取等号．所以点(0，b)到直线x－2y－a＝0的距离的最小值为35＋2105.11．(2012·荆州二检)过点P (1,2)的直线l 被两平行线l 1：4x ＋3y ＋1＝0与l 2：4x ＋3y ＋6＝0截得的线段长|AB |＝2，求直线l 的方程．解：设直线l 的方程为y －2＝k (x －1)，由{y ＝kx ＋2－k ，x ＋3y ＋1＝0，解得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3k －73k ＋4，－5k ＋83k ＋4；∵|∴∵∴由①②得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝－4x ＋3y －95， ③ y ′＝3x ＋4y ＋35. ④(1)把x ＝4，y ＝5代入③④得x ′＝－2，y ′＝7， ∴P (4,5)关于直线l 的对称点P ′的坐标为(－2,7)．(2)用③④分别代换x －y －2＝0中的x ，y ，得关于l 的对称直线方程为－4x ＋3y －95－3x ＋4y ＋35－2＝0，化简得7x ＋y ＋22＝0.1．点P 到点A (1,0)和直线x ＝－1的距离相等，且点P 到直线y ＝x 的距离为22，这样的点P 的个数是( ) A ．1B ．2C ．3D ．4 解析：选C ∵点P 到点A 和定直线距离相等，∴P 设2．A ．C ．到直线43P 满足|PA |－|即则a ＋3b －12＝0.① 又由于线段BB ′的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，b ＋42，且在直线l 上，则3×a 2－b ＋42－1＝0，即3a －b －6＝0.② 解①②，得a ＝3，b ＝3，即B ′(3,3)．于是AB ′的方程为y －13－1＝x －43－4，即2x ＋y －9＝0. 解{ 3x －y －1＝0，x ＋y －9＝0，得{x ＝2，y ＝5，即l 与AB ′的交点坐标为P (2,5)．1．点(1，cos θ)(其中0≤θ≤π)到直线x sin θ＋y cos θ－1＝0的距离是14，那么θ等于( ) A.5π6 B.π6或5π6 C.π6即|sin ∴4sin ∴sin ∵0≤∴sin 2A ．x C ．x (0，－2)为l 1y ＋x y ＝－1.即(1,0)，(－1，－1)30后反射，求反射光线所在的直线方程．解：得{x ＝－1，y ＝2. 即反射点M 的坐标为(－1,2)．又取直线x －2y ＋5＝0上一点P (－5,0)，设P 关于直线l 的对称点P ′(x 0，y 0)，由PP ′⊥l 可知，k PP ′＝－23＝y 0x 0＋5. 而PP ′的中点Q 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－52，y 02，Q 点在l 上，即3·x 0－52－2·y 02＋7＝0. 由⎩⎪⎨⎪⎧ y 0x 0＋5＝－23，32(x 0－5)－y 0＋7＝0.得⎩⎨⎧x 0＝－1713，y 0＝－3213. 根据直线的两点式方程可得所求反射光线所在直线的方程为29x －2y ＋33＝0.法二：设直线x －2y ＋5＝0上任意一点P (x 0，y 0)关于直线l 的对称点为P ′(x ，y )，则y 0－y x 0－x＝－23，又PP ′的中点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋x 0，y ＋y 0在l 上，即由点的坐标为 x 0。

高中数学必修二第三章知识点总结

高中数学必修二第三章知识点总结一、直线与方程１．直线的倾斜角定义： x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。

特别地，当直线与 x 轴平行或重合时 ,我们规定它的倾斜角为 0 度。

因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜ 180°２．直线的斜率①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。

直线的斜率常用 k 表示。

即 k tan 。

斜率反映直线与轴的倾斜程度。

当0 ,90 时， k 0；当90 ,180 时， k 0 ；当90 时， k 不存在。

②过两点的直线的斜率公式：ky 2 y 1(x 1 x 2 )x 2x 1注意下面四点： (1) 当 x 1 x 2 时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为 90°；(2) k 与 P 1、P 2 的顺序无关； (3) 以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；(4) 求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。

３．直线方程①点斜式： yy 1k (x x 1 ) 直线斜率 k ，且过点 x , y11注意：当直线的斜率为 0°时， k=0，直线的方程是 y=y 1。

l当直线的斜率为 90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因上每一点的横坐标都等于 x 1，所以它的方程是 x x= 1。

②斜截式： y kx b ，直线斜率为 k ，直线在 y 轴上的截距为 b③两点式：y y 1 x x 1 （ x 1x 2 , y 1 y 2 ）直线两点x , y ， x 2 , y 2y 2 y 1x 2 x 111④截矩式：xy 1 a b其中直线 l 与 x 轴交于点 ( a,0) ,与 y 轴交于点 (0, b) ,即 l 与 x 轴、 y 轴的截距分别为 a,b 。

⑤一般式： AxByC 0 （A ， B 不全为 0）12注意： ○ 各式的适用范围○特殊的方程如：平行于 x 轴的直线： y b （ b 为常数）；平行于 y 轴的直线： x a （ a 为常数）；４．直线系方程：即具有某一共同性质的直线（１）平行直线系平行于已知直线A 0 xB 0 yC 00（ A 0,B 0 是不全为0 的常数）的直线系：A 0 xB 0 yC 0 （C 为常数）（２）垂直直线系垂直于已知直线 A 0 x B 0 y C 0 0 （ A 0 , B 0 是不全为 0 的常数）的直线系：B 0 x-A 0 y+m=0 （ｍ为常数）（３）过定点的直线系（ⅰ）斜率为k 的直线系： yy 0k xx 0 ，直线过定点 x 0 , y 0 ；（ⅱ）过两条直线 l 1 : A 1x B 1 y C 1 0 ，l 2 : A 2 x B 2 y C 2 0 的交点的直线系方程为A 1xB 1 yC 1A 2 xB 2 yC 20（为参数），其中直线 l 2 不在直线系中。

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第三章：直线与方程的知识点及测试题
一、倾斜角与斜率
1. 当直线l 与x 轴相交时，我们把x 轴正方向与直线l 向上方向之间所成的角叫做直线l 的 .当直线l 与x 轴平行或重合时, 我们规定它的倾斜角为 . 则直线l 的倾斜角α的范围是 .
2. 倾斜角不是90°的直线的斜率，等于直线的倾斜角的正切值，即 . 如果知道直线上两点111222(,),(,)P x y P x y ，则有斜率公式 . 特别地是，当12x x =，12y y ≠时，直线与x 轴垂直，斜率k ；当12x x ≠，12y y =时，直线与y 轴垂直，斜率k .
★二、两条直线平行与垂直的判定
1.斜截式下：已知直线111:l y k x b =+、直线222:l y k x b =+，有：
（1）12//l l ⇔ ；（2）12l l ⊥⇔ .
（注意：斜率不存在时单独讨论）
2.一般式下：已知直线1111:0l A x B y C ++=（11,A B 不同时为0），2222:0l A x B y C ++=（22,A B 不同时为0），
则有：
（1）12l l ⊥⇔；；（2）12//l l ⇔ ；（3）1l 与2l 重合122112210,0A B A B AC A C ⇔-=-=；（4）1l 与2l 相交12210A B A B ⇔-≠.
3.三点共线的判断：A ，B,C 三点共线⇔BC AB k k =(或) 三、直线的点斜式方程
1. 点斜式：直线l 过点000(,)P x y ,且斜率为k ，其方程为；.
2. 斜截式：直线l 的斜率为k ，在y 轴上截距为b ，其方程为；.
3. 点斜式和斜截式不能表示垂直x 轴直线. 若直线l 过点000(,)P x y 且与x 轴垂直,此时它的倾斜角为90°，斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示，这时的直线方程为00x x -=，或0x x =.
4.0
y y k x x -=-与00()y y k x x -=-是不同的方程，前者表示的直线上缺少一点000(,)P x y ，后者才是整条直线.
四、直线的两点式方程
1. 两点式：直线l 经过两点111222(,),(,)P x y P x y ，其方程为；
， 2. 截距式：直线l 在x 、y 轴上的截距分别为a 、b ，其方程为；. 3. 两点式不能表示垂直x 、y 轴直线；截距式不能表示垂直x 、y 轴及过原点的直线. 4.中点坐标公式：已知两点111222(,),(,)P x y P x y 线段12P P 中点坐标为 . 五、直线的一般式方程
1. 一般式：0Ax By C ++=，注意A 、B 不同时为0. 直线一般式方程0(0)Ax By C B ++=≠化为斜截式方程，表示斜率为，纵截距为，0A ≠时横截距为 . ★
2. 与直线:0l Ax By C ++=平行的直线方程可设为；与直线:0l Ax By C ++=垂直的直线方程可设为 . 六、两条直线的交点坐标
1. 方程111222()()0A x B y C A x B y C λ+++++=为直线系，所有的直线恒过一个定点，其定点就是1110A x B y C ++=与2220A x B y C ++=的交点.
2.过直线1111:0l A x B y C ++=与直线2222:0l A x B y C ++=交点的直线方程为111222()()0A x B y C A x B y C λ+++++= 七、两点间的距离 1. 平面内两点111(,)P x y ，222(,)P x y ，则两点间的距离为： . 特别地，当12,P P 所在直线与x 轴平行时，；当12,P P 所在直线与y 轴平行时，；
八、点到直线的距离及两平行线距离
★1. 点00(,)P x y 到直线:0l Ax By C ++=的距离公式为 .
2. 利用点到直线的距离公式，可以推导出两条平行直线11:0l Ax By C ++=，22:0l Ax By C ++=之间的距离公式，推导过程为：在直线2l 上任取一点00(,)P x y ，则0020Ax By C ++=，即
002Ax By C +=-. 这时点00(,)P x y 到直线11:0l Ax By C ++=的距离为d =
=
一、选择题
1．设直线0ax by c ++=的倾斜角为α，且sin cos 0αα+=，则,a b 满足（） A ．1=+b a
B ．1=-b a
C ．0=+b a
D ．0=-b a
2．原点关于x - 2y + 1 = 0的对称点的坐标为( )
A ． ⎪⎭⎫ ⎝⎛52 ，
5
4- B ． ⎪⎭⎫ ⎝⎛54 ，52- C ． ⎪⎭⎫ ⎝⎛52 ，54 D ． ⎪⎭⎫ ⎝⎛54 ，52- 3．已知过点(2,)A m -和(,4)B m 的直线与直线012=-+y x 平行，则m 的值为（）
A ．0
B ．8-
C ．2
D ．10 4．已知0,0ab bc <<，则直线ax by c +=通过（）
A ．第一、二、三象限
B ．第一、二、四象限
C ．第一、三、四象限
D ．第二、三、四象限
5．已知点(1,2),(3,1)A B ，则线段AB 的垂直平分线的方程是（）
A ．524=+y x
B ．524=-y x
C ．52=+y x
D ．52=-y x 6．若1(2,3),(3,2),(,)2
A B C m --三点共线则m 的值为（）
A ．
21 B ．2
1
- C ．2- D ．2 7．直线13kx y k -+=，当k 变动时，所有直线都通过定点（）
A ．(0,0)
B ．(0,1)
C ．(3,1)
D ．(2,1)
8．直线cos sin 0x y a θθ++=与sin cos 0x y b θθ-+=的位置关系是（） A ．平行 B ．垂直 C ．斜交 D ．与,,a b θ的值有关 9．两直线330x y +-=与610x my ++=平行，则它们之间的距离为（）
A ．4
B C D 10．已知点(2,3),(3,2)A B --，若直线l 过点(1,1)P 与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是（）
A ．34
k ≥
B ．
3
24
k ≤≤ C ．3
24
k k ≥≤
或 D ．2k ≤ 11．下列说法的正确的是（） A ．经过定点
的直线都可以用方程
表示
B ．经过定点()b A ，0的直线都可以用方程表示
C ．不经过原点的直线都可以用方程
表示
D ．经过任意两个不同的点()
()222111y x P y x P ，、，的直线都可以用方程
12．直线l 与两直线1y =和70x y --=分别交于,A B 两点，若线段AB 的中点为(1,1)M -，则直线l 的斜率为（） A ．
2
3
B ．
3
2 C ．3
2
-
D ． 23
-
二、填空题
1．经过两直线11x+3y －7=0和12x+y －19=0的交点，且与A （3，－2），B （－1，6）等距离的直线的方程是 . 2．已知直线,32:1+=x y l 若2l 与1l 关于y 轴对称，则2l 的方程为；若3l 与1l 关于x 轴对称，则3l 的方程为；若4l 与1l 关于x y =对称，则4l 的方程为 . 3．点(,)P x y 在直线40x y +-=上，则2
2
x y +的最小值是________________.
4．直线l 过原点且平分ABCD 的面积，若平行四边形的两个顶点为(1,4),(5,0)B D ，则直线l 的方程为___________. 5．方程1=+y x 所表示的图形的面积为_________.
6．将一张坐标纸折叠一次，使点(0,2)与点(4,0)重合，且点(7,3)与点(,)m n 重合，则n m +的值是_______。

7．已知直线,32:1+=x y l 2l 与1l 关于直线x y -=对称，直线3l ⊥2l ，则3l 的斜率是______. 8．一直线过点(3,4)M -，并且横截距是纵截距的三倍，这条直线方程是． 9．已知点(1,1)A ，(2,2)B ，点P 在直线x y 2
1=
上，求2
2PB PA +取得最小值时P 点的坐标为___________. 10.（全国Ⅰ文16）若直线m 被两平行线12:10:30l x y l x y -+=-+=与所截得的线段的长为22，则m 的倾斜角可以是 ①15 ②30 ③45 ④60 ⑤75 其中正确答案的序号是 .（写出所有正确答案的序号）三、解答题
1．求经过点(2,2)A -并且和两个坐标轴围成的三角形的面积是1的直线方程。

2.求经过点(1,2)A 并且在两个坐标轴上的截距的绝对值相等的直线方程。

3.已知两条直线)(
12:12,:2416l x m y m l mx y ++=-+=-. m 为何值时, 12:l l 与（1）相交（2）平行（3）垂直
4. 求经过直线0323:,0532:21=--=-+y x l y x l 的交点且平行于直线032=-+y x 的直线方程.
5.已知直线073)1()1(2=+--++m y m x m （R m ∈）
（1）求证：直线过定点；
（2）当直线与两坐标围成三角形面积最小时，求三角形面积的最小值并求此时直线方程.。