测量误差的基本知识解析
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测量学 测量误差基本知识
B 观测者的误差
C 测量误差
D 外界条件的变化
难度系数 c
若观测量的真值为X，观测值为li(i=1,2,…,n)，其算术 平均值为L，则描述观测值的（真）误差的正确表达式是 （A ）
A 观测值的（真）误差为 i= li -X; B 观测值的（真）误差为 i = X-L; C 观测值的（真）误差为 i = L-X; D 观测值的（真）误差为 i= li -X;
难度系数 A
L1、L2、L3为一组等精度观测值，其误差分别为-7mm, -2mm, +7mm，则它们的精度为（ A ）
A L1、L2、L3的精度相同； B L1最高、L3最低； C L3最高、L1最低； D L2最高、L1与L3相同 。
难度系数 B
丈量了D1、D2两段距离，其观测值及中误差分别为： D1=105.53m±0.05m，D2=54.60m±0.05m，这说明 ( A B ).
A D1和D2的中误差相同， B D1的相对精度高于D2的相对精度 C D1和D2的中误差不相同 D D1的相对精度低于D2的相对精度 E D1的相对精度与D2的相对精度相同。
难度系数 B
难度系数 B
精度指标
衡量精度的指标有：（ A C D ）
A 中误差
B 对中误差
C 相对误差
D 容许误差
E 偶然误差
难度系数 C
若水平角测量的中误差为6，则其极限误差可以取 值为（ C E ）
A 3
B 6
C 12
D 15
E 18
难度系数 C
观测值L1、L2为同一组等精度观测值，其含义是（ C D E ） A L1、L2的真误差相等 B L1、L2的改正数相等 C L1、L2的中误差相等 D L1、L2的观测条件基本相同 E L1、L2服从同一种误差分布
第五章 测量误差的基本知识
容 = 3m 有时对精度要求较严，也可采用容 = 2m作为容许误 差。
在测量工作中，如某个误差超过了容许误差，则相应 观测值应舍去重测。
3.相对误差
绝对误差值与观测值之比，称为相对误差。在某 些测量工作中，有时用中误差还不能完全反映测量精度， 例如测量某两段距离，一段长200m，另一段长100m， 它们的测量中误差均为±0.2m，为此用观测值的中误差 与观测值之比，并将其分子化为1，即用1/K表示，称为 相对误差。
180°00ˊ00"
0
0
179°59ˊ57"
-3
9
180°00ˊ01"
+1
1
24
130
m2
2 3.6 10
两组观测值的误差绝对值相等 m1 < m2，第一组的观测成果的精度高于第二组观测成
果的精度
2.容许误差
容许误差又称极限误差。根据误差理论及实践证明， 在大量同精度观测的一组误差中，绝对值大于两倍中误差 的偶然误差，其出现的可能性约为5%；大于三倍中误差 的偶然误差，其出现的可能性仅有3‰，且认为是不大可 能出现的。因此一般取三倍中误差作为偶然误差的极限误 差。
全微分
dZ Kdx
得中误差式 mZ K 2mx2 Kmx
例：量得 1:1000 地形图上两点间长度l =168.5mm0.2mm,
计算该两点实地距离S及其中误差ms： 解：列函数式 S 1000 l
求全微分 dS 1000dl
mS 1000ml 1000 0.2 200mm 0.2m
测量误差＝观测值－真值
观测误差来源于仪器误差、人的感官能力和外界环境 （如温度、湿度、风力、大折光等）的影响，这三方面的 客观条件统称观测条件。
在测量工作中，如某个误差超过了容许误差，则相应 观测值应舍去重测。
3.相对误差
绝对误差值与观测值之比，称为相对误差。在某 些测量工作中，有时用中误差还不能完全反映测量精度， 例如测量某两段距离，一段长200m，另一段长100m， 它们的测量中误差均为±0.2m，为此用观测值的中误差 与观测值之比，并将其分子化为1，即用1/K表示，称为 相对误差。
180°00ˊ00"
0
0
179°59ˊ57"
-3
9
180°00ˊ01"
+1
1
24
130
m2
2 3.6 10
两组观测值的误差绝对值相等 m1 < m2，第一组的观测成果的精度高于第二组观测成
果的精度
2.容许误差
容许误差又称极限误差。根据误差理论及实践证明， 在大量同精度观测的一组误差中，绝对值大于两倍中误差 的偶然误差，其出现的可能性约为5%；大于三倍中误差 的偶然误差，其出现的可能性仅有3‰，且认为是不大可 能出现的。因此一般取三倍中误差作为偶然误差的极限误 差。
全微分
dZ Kdx
得中误差式 mZ K 2mx2 Kmx
例：量得 1:1000 地形图上两点间长度l =168.5mm0.2mm,
计算该两点实地距离S及其中误差ms： 解：列函数式 S 1000 l
求全微分 dS 1000dl
mS 1000ml 1000 0.2 200mm 0.2m
测量误差＝观测值－真值
观测误差来源于仪器误差、人的感官能力和外界环境 （如温度、湿度、风力、大折光等）的影响，这三方面的 客观条件统称观测条件。
测量误差基本知识
（1）仪器误差：仪器精度的局限、轴系残余误差等。 （2）人为误差：判断力和分辨率的限制、经验等。 （3）外界条件的影响：温度变化、风、大气折光等
◆ 测量误差的分类
（1）系统误差:在一定条件下对某量误差的符号和大小保持不 变后按照一定规律变化（累积性）
（2）偶然误差：在一定条件下进行一系列观测，误差大小和 符号都表现出随机性
n
n
n n
特性(1)、(2)、(3)决定了特性(4)，特性(4)具有实用意义。
偶然误差具有正态分布的特性
当观测次数n无限增多(n→∞)、误差区间d无限缩小 (d→0)时，各矩形的顶边就连成一条光滑的曲线， 这条曲线称为 “正态分布曲 线”，又称为 “高斯误差分 布曲线”。 所以偶然误差 具有正态分布 的特性。
•对于一组不同精度的观测值l i ，一
次观测的中误差为mi ，设某次观测
的中误差为m，其权为P0，选定λ= m2，则有：
P0
m2 m2
1
•数值等于1的权，称为单位权；权
等于1的中误差称为单位权中误差， 常用μ表示。对于中误差为mi的观 测值，其权为：
Pi
2
mi2
•相应中误差的另一表示方法为：
mi
(2) f1x1(2) f2x2(2) fnxn(2)
(d)
有k个式
(k) f1x1(k) f2x2(k) fnxn(k)
对(d)式中的一个式子取平方：（i，j=1~n且i≠j）
2
f12x12
f
2 2
x22
f
2 n
xn2
2 f1 f2x1x2
2 f1 f3x1x3 2 fi f jxix j
对(a)全微分：
dZ
F x1
◆ 测量误差的分类
（1）系统误差:在一定条件下对某量误差的符号和大小保持不 变后按照一定规律变化（累积性）
（2）偶然误差：在一定条件下进行一系列观测，误差大小和 符号都表现出随机性
n
n
n n
特性(1)、(2)、(3)决定了特性(4)，特性(4)具有实用意义。
偶然误差具有正态分布的特性
当观测次数n无限增多(n→∞)、误差区间d无限缩小 (d→0)时，各矩形的顶边就连成一条光滑的曲线， 这条曲线称为 “正态分布曲 线”，又称为 “高斯误差分 布曲线”。 所以偶然误差 具有正态分布 的特性。
•对于一组不同精度的观测值l i ，一
次观测的中误差为mi ，设某次观测
的中误差为m，其权为P0，选定λ= m2，则有：
P0
m2 m2
1
•数值等于1的权，称为单位权；权
等于1的中误差称为单位权中误差， 常用μ表示。对于中误差为mi的观 测值，其权为：
Pi
2
mi2
•相应中误差的另一表示方法为：
mi
(2) f1x1(2) f2x2(2) fnxn(2)
(d)
有k个式
(k) f1x1(k) f2x2(k) fnxn(k)
对(d)式中的一个式子取平方：（i，j=1~n且i≠j）
2
f12x12
f
2 2
x22
f
2 n
xn2
2 f1 f2x1x2
2 f1 f3x1x3 2 fi f jxix j
对(a)全微分：
dZ
F x1
第六章测量误差的基本知识
lim
[ ] =
n
0
n→ ∞
(抵偿性)
误差处理的原则:
1,粗差:舍弃含有粗差的观测值,并重新进行观测. 2,系统误差:按其产生的原因和规律加以改正,抵 消和削弱. 3,偶然误差:根据误差特性合理的处理观测数据 减少其影响.
返回
精度:又称精密度,指在对某量进行多 次观测中,各观测值之间的离散 程度. 中误差 评定精度的标准 容许误差 相对误差
z = kx
函数的中误差
m z = ± km x
m
z
z = x1 ± x2 ±L± xn
= ±
2 2 m 12 + m 2 + L + m n
± 线性函数 z =k1x1 ±k2x2 ±L knxn
2 2 2 2 2 m z = ± k12 m1 + k 2 m2 + L + k n mn
一般函数
Z = f ( x1 , x2 , xn )
Vi + i = L x
两式相加,有 设
即
Lx =δ
则
i = vi + δ
将上列等式两端各自平方,并求其和,则
[] = [VV ] 2δ [V ] + nδ 2
代入上式, 将 [v ] = n L [l ] = 0 代入上式,则 又因 故
δ
δ = Lx =
2
[] = [vv] + nδ 2
[l ] x = [l x] = []
n n n
=
[ ]2
n2
=
1 n
[(2 + 2 + + 2 ) + 21 2 + 2 2 3 + 2 3 4 + ] 1 2 n 2
测量误差的基本知识
m乙 =
=
= 4.3
n
6
12
二、相对误差
l 绝对误差 :真误差、中误差 l 相对误差: 在某些测量工作中，绝对误差不能完全
反映出观测的质量。 相对误差K—— 等于误差的绝对值与相应观测值的
比值。常用分子为1的分式表示，即：
相对误差
=
误差的绝对值 观测值
=1 T
13
l 相对中误差：当误差的绝对值为中误差m 的绝对值时， K称为～，即 k=1/m 。
3
1．系统误差
l 系统误差：在相同的观测条件下，对某一未知量进行一系列 观测，若误差的大小和符号保持不变，或按照一定的规律变 化，这种误差称为～ 。
l 系统误差产生的原因 ： 仪器工具上的某些缺陷；观测者的 某些习惯的影响；外界环境的影响。
l 系统误差的特点： 具有累积性
4
系统误差消减方法 ❖1、在观测方法和观测程序上采取一定的措施;
中误差、相对误差、极限误差和容许误差
10
一、中误差
在测量实践中观测次数不可能无限多，实际应用中，以 有限次观测个数n计算出标准差的估值定义为中误差m，作 为衡量精度的一种标准：
m = ±sˆ = ± [ ]
n
在测量工作中，普遍采用中误差来评定测量成果的精度。
11
l 有甲、乙两组各自用相同的条件观测了六个三角 形的内角，得三角形的闭合差（即三角形内角和 的真误差）分别为：
例：经纬仪的LL不垂直于VV对测角的影响
5
2．偶然误差 l 偶然误差：在相同的观测条件下，对某一未知量 进行一系列观测，如果观测误差的大小和符号没有 明显的规律性，即从表面上看，误差的大小和符号 均呈现偶然性，这种误差称为 ～。 l 产生偶然误差的原因： 主要是由于仪器或人的感 觉器官能力的限制，如观测者的估读误差、照准误 差等，以及环境中不能控制的因素(如不断变化着的 温度、风力等外界环境)所造成。
测量误差的基本知识
§5.5误差传播定律的应用
一、水准测量的误差分析
每站的高差为：h = a - b ；m读≈ ±3mm
一站的高差中误差：m站 =
≈ ±4mm
线路n站，则总高差：
取3倍中误差为限差，则普通水准路线的容许误 差为 ：
二、水平角观测的误差分析
用DJ6经纬仪进行测回法观测水平角，那么用盘 左盘右观测同一方向的中误差为±6 ″，
1、倍数函数：Z=kx 中误差：mz=kmx
2、和差函数 ：Z=x1±x2±…±xn 中误差：mz m12 m22 ... mn2
3、线形函数 ： Z=k1x1±k2x2±…±knxn 中误差：mz (k1)2 m12 (k2 )2 m22 ... (k n)2 mn2
加权平均值的中误差： M0 = = ±3.2mm
一、一般函数的中误差
设Z=f(x1,x2,…,xn)，其中x1,x2,…,xn属于独立自 变量（如直接观测值），他们的中误差分别为 m1,m2,…,mn则函数Z的中误差为 ：
mz
(
f x1
)
2
m12
f (
x2
) 2 m22
f ... (
xn
) 2 mn2
二、特殊函数的中误差
小结
• 正确列出函数式； • 检查观测值是否独立； • 求偏微分并代入观测值确定系数； • 套用公式求出中误差。
思考题：一个边长为l的正方形，若测量一 边中误差为ml＝±1cm，求周长的中误差？ 若四边都测量，且测量精度相同，均为ml， 则周长中误差是多少？
§5.4等精度直接观测值
1.算术平均值原理 假设对某量X 进行了n次等精度的独立观测，得
5.偶然误差的特性
第6章 测量误差基本知识
水准仪：
经纬仪：
⑵采用对称观测的方法 大小相等、符号相反的系统误差，相互抵消 水准测量：前、后视距大致相等 角度测量：盘左、盘右取平均值
⑶测定系统误差的大小，对观测值加以改正 钢尺量距：尺长改正、温度改正、倾斜改正
3）偶然误差 偶然误差：在一定观测条件下的一系列观测值中，其误差大小、 正负号不定，但符合一定统计规律的测量误差。 也称随机误差 偶然误差反映观测结果的精密度。 精密度：在一定观测条件下，一组观测值与其数学期望值接近 或离散的程度，也称内部符合精度。 如：对中误差、瞄准误差、估读误差等
设Z为独立变量 x1，x2， … ，xn的函数，即
Z=f x1，x2， xn
2
2
mZ =
f
x1
m12
f x2
m22
f xn
2
mn2
例1：
在1:500的地形图上量得A、B两点间的距离d=234.5mm，中误差 md=±0.2mm。求A、B两点间的实地水平距离D及其中误差mD。
h值越小，曲线两侧坡度越缓， 小误差出现的概率小，精度越低
2.中误差
与精度指数成反比
m n
式中：[△△]——偶然误差平方和 n——偶然误差个数
3.极限误差 由偶然误差的特性“误差绝对值不会超过一定限值”（有界性）
这个限值就是极限误差。
P m 0.683 68.3%
31.7%
P 2m 0.954 95.4% 4.6%
K
D往 D返
D
=
=
1
=1
1
2
D往 +D返
D平均
D平均 D
M
5.相对中误差
观测值中误差与相应观测值之比。
工程测量测量误差的基本知识课件
偶然误差的特点
01
偶然误差具有随机性， 即误差的大小和符号都 是随机的，无法预测。
02
偶然误差具有独立性， 即每个误差都是独立的， 与其他误差无关。
03
偶然误差具有对称性， 即正负误差出现的概率 是相等的。
04
偶然误差具有抵偿性， 即随着测量次数的增加， 偶然误差的平均值趋近 于零。
偶然误差的消除方法
工程测量测量误差的 基本知识课件
目录
• 偶然误差 • 粗大误差 • 测量误差的表示与处理
测量误差概述
测量误差的定义
测量误差
在测量过程中，由于各种因素的影响，使得测量结果与被测量的 真实值之间存在一定的差异。这个差异即为测量误差。
真实值
被测量的实际值，是客观存在的理想值。
测量结果
通过测量得到的数值。
任心，减少人为失误。
测量误差的表示与处理
测量误差的表示方法
绝对误差
相对误差
表示测量值与真实值之间的差值，其计算 公式为 Δ=X-X0，其中 Δ 为绝对误差，X 为测量值，X0 为真实值。
表示测量误差相对于真实值的比例，其计 算公式为 ε=Δ/X0×100%，其中 ε 为相对 误差，Δ 为绝对误差，X0 为真实值。
影响。
测量误差的分类
01
02
03
系统误差
具有规律性和可预测性的 误差，通常由固定的因素 引起，可以通过校准和修 正来减小。
随机误差
具有随机性和无规律性的 误差，通常由一些不确定 的因素引起，无法通过校 准和修正来减小。
粗大误差
明显超出正常范围的误差， 通常由测量人员的失误、 外界干扰等因素引起，需 要识别和剔除。
将测量数据舍入到最接近的整数，若 舍入后数值小于原数则向下取整。
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概率为0； ➢ 单峰性：
绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的概率大； ➢ 对称性：
绝对值相等的正误差与负误差出现的概率相等； ➢ 抵偿性：
当观测次数无限增多时，偶然误差的算术平均值趋近于 零。
第11页/共38页
5.2 评定精度的标准
所谓精度，是 指误差分布的集中 与离散程度。如误 差分布集中（曲线 a），则观测精度 高；若误差分布离 散（曲线b），则 观测精度就低。
e
其函数式为：
2
y f ()
1
e
2 2 2
2
即正态分布曲线上任一点 的纵坐标y均为横坐标Δ的函 数。标准差大小反映观测精 度的高低，定义为：
lim n
[ 2 ] n
上式可知，σ的大小决定于
一定条件下偶然误差出现的绝
对值的大小。
第10页/共38页
偶然误差的统计特性
➢ 有限性： 在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值超过一定限度的
以上三方面统称为观测条件 观测成果的精确度称为“精度”
➢ 等精度观测 ➢ 不等精度观测
第22页02/1共年338月页29日星期一
2
5.1.2 测量误差的分类
系统误差：
在相同的观测条件下，对某量进行一系列的观测，如果误差 出现的符号和大小均相同或按一定的规律变化，这种误差 称为系统误差。
系统误差具有累积性。可以在观测前采取有效的预防措施、 观测时采用合理的方法，观测后对观测结果进行必要的计 算改正，来尽量消除或减小系统误差的影响。
则中误差为：
m
12
2 2
2 n
[]
n
n
第1320页21/共年338月页29日星期一
13
用真误差计算中误差：必须知道真值
第1420页21/共年338月页29日星期一
14
两组观测值中误差：
[] 47
m1
2.17"
n
10
[] 132
m2
3.63"
n
10
第一组观测值精度高于第二组 中误差能突出反映大误差的影响
第1520页21/共年338月页29日星期一
15
➢ 中误差和真误差都是绝对误差，误差的大小与观
测量的大小无关。
➢ 在有些情况下，中误差并不能全面反映观测精 度。
分别丈量两段不同距离，一段为100m，一段 为200m，中误差都是0.02m。此时是否能认 为两段距离观测结果的精度相同？
学习误差理论知识的目的： 根据一组带有偶然误差的观测值 ➢ 求出未知量的最可靠值 ➢ 评定观测成果的精度
第52页02/1共年338月页29日星期一
5
粗差： 也称错误，在严格意义上，粗差并不属于误差的范围。
任何观测值都会包含系统误差和偶然误差，有时还 包含粗差（错误）。
当观测值中的粗差被剔除，系统误差被消除或削弱 到最小限度，可以认为观测值中仅含偶然误差，从 而把观测值和偶然误差都当作随机变量，用概率统 计的方法来研究。
即，本章关注的内容是偶然误差
第62页02/1共年338月页29日星期一
6
5.1.3 测量误差的特性
从单个偶然误差来看，其出现的符号和大小没有一定的 规律性，但对大量的偶然误差进行大量统计分析，就能发 现规律性，并且误差个数越多，规律性越明显。
例如某一测区在相同观测条件下观测了358个三角形的全 部内角。由于观测值含有偶然误差，故平面三角形内角之 和不一定等于真值180°(表5-1)
0
0
181
0.505
正误差
个数 k 频率 k/n
46
0.128
41
0.115
33
0.092
21
0.059
16
0.045
13
0.036
5
0.014
2
0.006
0
0
177
0.495
合计
个数 k 频率 k/n
91
0.254
81
0.227
66
0.184
44
0.123
33
0..031
（3）检校仪器：将仪器的系统误差降低到最小限度或限制在 一个允许的范围内。
第42页02/1共年338月页29日星期一
4
偶然误差：
在相同的观测条件下，对某量进行一系列的观测，如果 单个误差出现的符号和数值大小均没有一定规律性，这 种误差称为偶然误差。
虽然单个的偶然误差没有规律 但大量的偶然误差具有统计规律。
第72页02/1共年338月页29日星期一
7
误差区间 dΔ
0″～3″ 3″～6″ 6″～9″ 9″～12″ 12″～15″ 18″～21″ 21″～24″
>24″
∑
负误差
个数 k 频率 k/n
45
0.126
40
0.112
33
0.092
23
0.064
17
0.047
13
0.036
6
0.017
4
0.011
5.1 测量误差概述
5.1.1 测量误差的概念与来源
误差：对于某一个客观存在的量，观测值与观测值之间， 或观测值与理论值（真值）之间总是存在差异，这种不可 避免的差异叫做误差。
△=L-X
△— 测量误差 X— 真值 L— 观测值
第12页02/1共年338月页29日星期一
1
观测误差产生的三个原因
仪器误差：仪器设计、制作，或经检验校正还存在 残余误差 观测者：人的感觉器官鉴别能力的限制 外界条件的影响：测量时外界自然条件如温度、湿 度、风力等的变化。
第1220页21/共年338月页29日星期一
12
5.2.1 中误差
中误差的定义：在相同观测条件下，对同一未知量进
行n次观测，所得各个真误差平方的平均值，再取平方根， 称为中误差。用m表示。
设在相同的观测条件下，对未知量进行重复独立观 测 ， 观 测 值 为 ： l1 ， l2 ， … ， ln ， 其 真 误 差 为 ： ⊿ 1 ， ⊿2，…，⊿n
6
0.017
0
0
358
1.00
第8页/共38页
用图示法可以直观地表示偶然误差的分布情况。用表5-1的数据， 以误差大小为横坐标，以频率k/n与区间dΔ的比值为纵坐标，如图 5-1所示。这种图称为频率直方图。
第9页/共38页
可以设想，当误差个数n→∞，同时又无限缩小误差区间dΔ，图
5曲-1线中称各为矩误形差的分顶布边曲折线线。就成为一条光滑的曲线，如图5-2所 示。1 该
第32页02/1共年338月页29日星期一
3
系统误差的消除：
（1）采用观测方法消除：如水准仪置于距前后水准尺等距的 地方可以消除i角误差和地球曲率的影响。
通过盘左盘右观测水平角和竖直角可以消除经纬仪的横 轴误差、视准轴误差、照准部偏心差和竖盘指标差的影响。
（2）加改正数：如精密钢尺量距中的尺长改正、温度改正和 高差改正。 光电测距仪的加常数和乘常数的改正。
绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的概率大； ➢ 对称性：
绝对值相等的正误差与负误差出现的概率相等； ➢ 抵偿性：
当观测次数无限增多时，偶然误差的算术平均值趋近于 零。
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5.2 评定精度的标准
所谓精度，是 指误差分布的集中 与离散程度。如误 差分布集中（曲线 a），则观测精度 高；若误差分布离 散（曲线b），则 观测精度就低。
e
其函数式为：
2
y f ()
1
e
2 2 2
2
即正态分布曲线上任一点 的纵坐标y均为横坐标Δ的函 数。标准差大小反映观测精 度的高低，定义为：
lim n
[ 2 ] n
上式可知，σ的大小决定于
一定条件下偶然误差出现的绝
对值的大小。
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偶然误差的统计特性
➢ 有限性： 在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值超过一定限度的
以上三方面统称为观测条件 观测成果的精确度称为“精度”
➢ 等精度观测 ➢ 不等精度观测
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2
5.1.2 测量误差的分类
系统误差：
在相同的观测条件下，对某量进行一系列的观测，如果误差 出现的符号和大小均相同或按一定的规律变化，这种误差 称为系统误差。
系统误差具有累积性。可以在观测前采取有效的预防措施、 观测时采用合理的方法，观测后对观测结果进行必要的计 算改正，来尽量消除或减小系统误差的影响。
则中误差为：
m
12
2 2
2 n
[]
n
n
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13
用真误差计算中误差：必须知道真值
第1420页21/共年338月页29日星期一
14
两组观测值中误差：
[] 47
m1
2.17"
n
10
[] 132
m2
3.63"
n
10
第一组观测值精度高于第二组 中误差能突出反映大误差的影响
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15
➢ 中误差和真误差都是绝对误差，误差的大小与观
测量的大小无关。
➢ 在有些情况下，中误差并不能全面反映观测精 度。
分别丈量两段不同距离，一段为100m，一段 为200m，中误差都是0.02m。此时是否能认 为两段距离观测结果的精度相同？
学习误差理论知识的目的： 根据一组带有偶然误差的观测值 ➢ 求出未知量的最可靠值 ➢ 评定观测成果的精度
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5
粗差： 也称错误，在严格意义上，粗差并不属于误差的范围。
任何观测值都会包含系统误差和偶然误差，有时还 包含粗差（错误）。
当观测值中的粗差被剔除，系统误差被消除或削弱 到最小限度，可以认为观测值中仅含偶然误差，从 而把观测值和偶然误差都当作随机变量，用概率统 计的方法来研究。
即，本章关注的内容是偶然误差
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6
5.1.3 测量误差的特性
从单个偶然误差来看，其出现的符号和大小没有一定的 规律性，但对大量的偶然误差进行大量统计分析，就能发 现规律性，并且误差个数越多，规律性越明显。
例如某一测区在相同观测条件下观测了358个三角形的全 部内角。由于观测值含有偶然误差，故平面三角形内角之 和不一定等于真值180°(表5-1)
0
0
181
0.505
正误差
个数 k 频率 k/n
46
0.128
41
0.115
33
0.092
21
0.059
16
0.045
13
0.036
5
0.014
2
0.006
0
0
177
0.495
合计
个数 k 频率 k/n
91
0.254
81
0.227
66
0.184
44
0.123
33
0..031
（3）检校仪器：将仪器的系统误差降低到最小限度或限制在 一个允许的范围内。
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4
偶然误差：
在相同的观测条件下，对某量进行一系列的观测，如果 单个误差出现的符号和数值大小均没有一定规律性，这 种误差称为偶然误差。
虽然单个的偶然误差没有规律 但大量的偶然误差具有统计规律。
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7
误差区间 dΔ
0″～3″ 3″～6″ 6″～9″ 9″～12″ 12″～15″ 18″～21″ 21″～24″
>24″
∑
负误差
个数 k 频率 k/n
45
0.126
40
0.112
33
0.092
23
0.064
17
0.047
13
0.036
6
0.017
4
0.011
5.1 测量误差概述
5.1.1 测量误差的概念与来源
误差：对于某一个客观存在的量，观测值与观测值之间， 或观测值与理论值（真值）之间总是存在差异，这种不可 避免的差异叫做误差。
△=L-X
△— 测量误差 X— 真值 L— 观测值
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1
观测误差产生的三个原因
仪器误差：仪器设计、制作，或经检验校正还存在 残余误差 观测者：人的感觉器官鉴别能力的限制 外界条件的影响：测量时外界自然条件如温度、湿 度、风力等的变化。
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12
5.2.1 中误差
中误差的定义：在相同观测条件下，对同一未知量进
行n次观测，所得各个真误差平方的平均值，再取平方根， 称为中误差。用m表示。
设在相同的观测条件下，对未知量进行重复独立观 测 ， 观 测 值 为 ： l1 ， l2 ， … ， ln ， 其 真 误 差 为 ： ⊿ 1 ， ⊿2，…，⊿n
6
0.017
0
0
358
1.00
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用图示法可以直观地表示偶然误差的分布情况。用表5-1的数据， 以误差大小为横坐标，以频率k/n与区间dΔ的比值为纵坐标，如图 5-1所示。这种图称为频率直方图。
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可以设想，当误差个数n→∞，同时又无限缩小误差区间dΔ，图
5曲-1线中称各为矩误形差的分顶布边曲折线线。就成为一条光滑的曲线，如图5-2所 示。1 该
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系统误差的消除：
（1）采用观测方法消除：如水准仪置于距前后水准尺等距的 地方可以消除i角误差和地球曲率的影响。
通过盘左盘右观测水平角和竖直角可以消除经纬仪的横 轴误差、视准轴误差、照准部偏心差和竖盘指标差的影响。
（2）加改正数：如精密钢尺量距中的尺长改正、温度改正和 高差改正。 光电测距仪的加常数和乘常数的改正。