测量误差的基本知识解析
概率为0； ➢ 单峰性：
绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的概率大； ➢ 对称性：
绝对值相等的正误差与负误差出现的概率相等； ➢ 抵偿性：
当观测次数无限增多时，偶然误差的算术平均值趋近于 零。
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5.2 评定精度的标准
所谓精度，是 指误差分布的集中 与离散程度。如误 差分布集中（曲线 a），则观测精度 高；若误差分布离 散（曲线b），则 观测精度就低。
e
其函数式为：
2
y f ()
1
e
2 2 2
2
即正态分布曲线上任一点 的纵坐标y均为横坐标Δ的函 数。标准差大小反映观测精 度的高低，定义为：
lim n
[ 2 ] n
上式可知，σ的大小决定于
一定条件下偶然误差出现的绝
对值的大小。
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偶然误差的统计特性
➢ 有限性： 在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值超过一定限度的
以上三方面统称为观测条件 观测成果的精确度称为“精度”
➢ 等精度观测 ➢ 不等精度观测
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2
5.1.2 测量误差的分类
系统误差：
在相同的观测条件下，对某量进行一系列的观测，如果误差 出现的符号和大小均相同或按一定的规律变化，这种误差 称为系统误差。
系统误差具有累积性。可以在观测前采取有效的预防措施、 观测时采用合理的方法，观测后对观测结果进行必要的计 算改正，来尽量消除或减小系统误差的影响。
则中误差为：
m
12
2 2
2 n
[]
n
n
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13
用真误差计算中误差：必须知道真值
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14
两组观测值中误差：
[] 47
m1
2.17"
n
10
[] 132
m2
3.63"
n
10
第一组观测值精度高于第二组 中误差能突出反映大误差的影响
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15
➢ 中误差和真误差都是绝对误差，误差的大小与观
测量的大小无关。
➢ 在有些情况下，中误差并不能全面反映观测精 度。
分别丈量两段不同距离，一段为100m，一段 为200m，中误差都是0.02m。此时是否能认 为两段距离观测结果的精度相同？
学习误差理论知识的目的： 根据一组带有偶然误差的观测值 ➢ 求出未知量的最可靠值 ➢ 评定观测成果的精度
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5
粗差： 也称错误，在严格意义上，粗差并不属于误差的范围。
任何观测值都会包含系统误差和偶然误差，有时还 包含粗差（错误）。
当观测值中的粗差被剔除，系统误差被消除或削弱 到最小限度，可以认为观测值中仅含偶然误差，从 而把观测值和偶然误差都当作随机变量，用概率统 计的方法来研究。
即，本章关注的内容是偶然误差
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6
5.1.3 测量误差的特性
从单个偶然误差来看，其出现的符号和大小没有一定的 规律性，但对大量的偶然误差进行大量统计分析，就能发 现规律性，并且误差个数越多，规律性越明显。
例如某一测区在相同观测条件下观测了358个三角形的全 部内角。由于观测值含有偶然误差，故平面三角形内角之 和不一定等于真值180°(表5-1)
0
0
181
0.505
正误差
个数 k 频率 k/n
46
0.128
41
0.115
33
0.092
21
0.059
16
0.045
13
0.036
5
0.014
2
0.006
0
0
177
0.495
合计
个数 k 频率 k/n
91
0.254
81
0.227
66
0.184
44
0.123
33
0..031
（3）检校仪器：将仪器的系统误差降低到最小限度或限制在 一个允许的范围内。
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4
偶然误差：
在相同的观测条件下，对某量进行一系列的观测，如果 单个误差出现的符号和数值大小均没有一定规律性，这 种误差称为偶然误差。
虽然单个的偶然误差没有规律 但大量的偶然误差具有统计规律。
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7
误差区间 dΔ
0″～3″ 3″～6″ 6″～9″ 9″～12″ 12″～15″ 18″～21″ 21″～24″
>24″
∑
负误差
个数 k 频率 k/n
45
0.126
40
0.112
33
0.092
23
0.064
17
0.047
13
0.036
6
0.017
4
0.011
5.1 测量误差概述
5.1.1 测量误差的概念与来源
误差：对于某一个客观存在的量，观测值与观测值之间， 或观测值与理论值（真值）之间总是存在差异，这种不可 避免的差异叫做误差。
△=L-X
△— 测量误差 X— 真值 L— 观测值
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1
观测误差产生的三个原因
仪器误差：仪器设计、制作，或经检验校正还存在 残余误差 观测者：人的感觉器官鉴别能力的限制 外界条件的影响：测量时外界自然条件如温度、湿 度、风力等的变化。
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12
5.2.1 中误差
中误差的定义：在相同观测条件下，对同一未知量进
行n次观测，所得各个真误差平方的平均值，再取平方根， 称为中误差。用m表示。
设在相同的观测条件下，对未知量进行重复独立观 测 ， 观 测 值 为 ： l1 ， l2 ， … ， ln ， 其 真 误 差 为 ： ⊿ 1 ， ⊿2，…，⊿n
6
0.017
0
0
358
1.00
第8页/共38页
用图示法可以直观地表示偶然误差的分布情况。用表5-1的数据， 以误差大小为横坐标，以频率k/n与区间dΔ的比值为纵坐标，如图 5-1所示。这种图称为频率直方图。
第9页/共38页
可以设想，当误差个数n→∞，同时又无限缩小误差区间dΔ，图
5曲-1线中称各为矩误形差的分顶布边曲折线线。就成为一条光滑的曲线，如图5-2所 示。1 该
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3
系统误差的消除：
（1）采用观测方法消除：如水准仪置于距前后水准尺等距的 地方可以消除i角误差和地球曲率的影响。
通过盘左盘右观测水平角和竖直角可以消除经纬仪的横 轴误差、视准轴误差、照准部偏心差和竖盘指标差的影响。
（2）加改正数：如精密钢尺量距中的尺长改正、温度改正和 高差改正。 光电测距仪的加常数和乘常数的改正。
绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的概率大； ➢ 对称性：
绝对值相等的正误差与负误差出现的概率相等； ➢ 抵偿性：
当观测次数无限增多时，偶然误差的算术平均值趋近于 零。
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5.2 评定精度的标准
所谓精度，是 指误差分布的集中 与离散程度。如误 差分布集中（曲线 a），则观测精度 高；若误差分布离 散（曲线b），则 观测精度就低。
e
其函数式为：
2
y f ()
1
e
2 2 2
2
即正态分布曲线上任一点 的纵坐标y均为横坐标Δ的函 数。标准差大小反映观测精 度的高低，定义为：
lim n
[ 2 ] n
上式可知，σ的大小决定于
一定条件下偶然误差出现的绝
对值的大小。
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偶然误差的统计特性
➢ 有限性： 在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值超过一定限度的
以上三方面统称为观测条件 观测成果的精确度称为“精度”
➢ 等精度观测 ➢ 不等精度观测
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2
5.1.2 测量误差的分类
系统误差：
在相同的观测条件下，对某量进行一系列的观测，如果误差 出现的符号和大小均相同或按一定的规律变化，这种误差 称为系统误差。
系统误差具有累积性。可以在观测前采取有效的预防措施、 观测时采用合理的方法，观测后对观测结果进行必要的计 算改正，来尽量消除或减小系统误差的影响。
则中误差为：
m
12
2 2
2 n
[]
n
n
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13
用真误差计算中误差：必须知道真值
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14
两组观测值中误差：
[] 47
m1
2.17"
n
10
[] 132
m2
3.63"
n
10
第一组观测值精度高于第二组 中误差能突出反映大误差的影响
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15
➢ 中误差和真误差都是绝对误差，误差的大小与观
测量的大小无关。
➢ 在有些情况下，中误差并不能全面反映观测精 度。
分别丈量两段不同距离，一段为100m，一段 为200m，中误差都是0.02m。此时是否能认 为两段距离观测结果的精度相同？
学习误差理论知识的目的： 根据一组带有偶然误差的观测值 ➢ 求出未知量的最可靠值 ➢ 评定观测成果的精度
第52页02/1共年338月页29日星期一
5
粗差： 也称错误，在严格意义上，粗差并不属于误差的范围。
任何观测值都会包含系统误差和偶然误差，有时还 包含粗差（错误）。
当观测值中的粗差被剔除，系统误差被消除或削弱 到最小限度，可以认为观测值中仅含偶然误差，从 而把观测值和偶然误差都当作随机变量，用概率统 计的方法来研究。
即，本章关注的内容是偶然误差
第62页02/1共年338月页29日星期一
6
5.1.3 测量误差的特性
从单个偶然误差来看，其出现的符号和大小没有一定的 规律性，但对大量的偶然误差进行大量统计分析，就能发 现规律性，并且误差个数越多，规律性越明显。
例如某一测区在相同观测条件下观测了358个三角形的全 部内角。由于观测值含有偶然误差，故平面三角形内角之 和不一定等于真值180°(表5-1)
0
0
181
0.505
正误差
个数 k 频率 k/n
46
0.128
41
0.115
33
0.092
21
0.059
16
0.045
13
0.036
5
0.014
2
0.006
0
0
177
0.495
合计
个数 k 频率 k/n
91
0.254
81
0.227
66
0.184
44
0.123
33
0..031
（3）检校仪器：将仪器的系统误差降低到最小限度或限制在 一个允许的范围内。
第42页02/1共年338月页29日星期一
4
偶然误差：
在相同的观测条件下，对某量进行一系列的观测，如果 单个误差出现的符号和数值大小均没有一定规律性，这 种误差称为偶然误差。
虽然单个的偶然误差没有规律 但大量的偶然误差具有统计规律。
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误差区间 dΔ
0″～3″ 3″～6″ 6″～9″ 9″～12″ 12″～15″ 18″～21″ 21″～24″
>24″
∑
负误差
个数 k 频率 k/n
45
0.126
40
0.112
33
0.092
23
0.064
17
0.047
13
0.036
6
0.017
4
0.011
5.1 测量误差概述
5.1.1 测量误差的概念与来源
误差：对于某一个客观存在的量，观测值与观测值之间， 或观测值与理论值（真值）之间总是存在差异，这种不可 避免的差异叫做误差。
△=L-X
△— 测量误差 X— 真值 L— 观测值
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1
观测误差产生的三个原因
仪器误差：仪器设计、制作，或经检验校正还存在 残余误差 观测者：人的感觉器官鉴别能力的限制 外界条件的影响：测量时外界自然条件如温度、湿 度、风力等的变化。
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12
5.2.1 中误差
中误差的定义：在相同观测条件下，对同一未知量进
行n次观测，所得各个真误差平方的平均值，再取平方根， 称为中误差。用m表示。
设在相同的观测条件下，对未知量进行重复独立观 测 ， 观 测 值 为 ： l1 ， l2 ， … ， ln ， 其 真 误 差 为 ： ⊿ 1 ， ⊿2，…，⊿n
6
0.017
0
0
358
1.00
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用图示法可以直观地表示偶然误差的分布情况。用表5-1的数据， 以误差大小为横坐标，以频率k/n与区间dΔ的比值为纵坐标，如图 5-1所示。这种图称为频率直方图。
第9页/共38页
可以设想，当误差个数n→∞，同时又无限缩小误差区间dΔ，图
5曲-1线中称各为矩误形差的分顶布边曲折线线。就成为一条光滑的曲线，如图5-2所 示。1 该
第32页02/1共年338月页29日星期一
3
系统误差的消除：
（1）采用观测方法消除：如水准仪置于距前后水准尺等距的 地方可以消除i角误差和地球曲率的影响。
通过盘左盘右观测水平角和竖直角可以消除经纬仪的横 轴误差、视准轴误差、照准部偏心差和竖盘指标差的影响。
（2）加改正数：如精密钢尺量距中的尺长改正、温度改正和 高差改正。 光电测距仪的加常数和乘常数的改正。
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测量学 测量误差基本知识
B 观测者的误差
C 测量误差
D 外界条件的变化
难度系数 c
若观测量的真值为X，观测值为li(i=1,2,…,n)，其算术 平均值为L，则描述观测值的（真）误差的正确表达式是 （A ）
A 观测值的（真）误差为 i= li -X; B 观测值的（真）误差为 i = X-L; C 观测值的（真）误差为 i = L-X; D 观测值的（真）误差为 i= li -X;
难度系数 A
L1、L2、L3为一组等精度观测值，其误差分别为-7mm, -2mm, +7mm，则它们的精度为（ A ）
A L1、L2、L3的精度相同； B L1最高、L3最低； C L3最高、L1最低； D L2最高、L1与L3相同 。
难度系数 B
丈量了D1、D2两段距离，其观测值及中误差分别为： D1=105.53m±0.05m，D2=54.60m±0.05m，这说明 ( A B ).
A D1和D2的中误差相同， B D1的相对精度高于D2的相对精度 C D1和D2的中误差不相同 D D1的相对精度低于D2的相对精度 E D1的相对精度与D2的相对精度相同。
难度系数 B
难度系数 B
精度指标
衡量精度的指标有：（ A C D ）
A 中误差
B 对中误差
C 相对误差
D 容许误差
E 偶然误差
难度系数 C
若水平角测量的中误差为6，则其极限误差可以取 值为（ C E ）
A 3
B 6
C 12
D 15
E 18
难度系数 C
观测值L1、L2为同一组等精度观测值，其含义是（ C D E ） A L1、L2的真误差相等 B L1、L2的改正数相等 C L1、L2的中误差相等 D L1、L2的观测条件基本相同 E L1、L2服从同一种误差分布
第五章 测量误差的基本知识
容 = 3m 有时对精度要求较严，也可采用容 = 2m作为容许误 差。
在测量工作中，如某个误差超过了容许误差，则相应 观测值应舍去重测。
3.相对误差
绝对误差值与观测值之比，称为相对误差。在某 些测量工作中，有时用中误差还不能完全反映测量精度， 例如测量某两段距离，一段长200m，另一段长100m， 它们的测量中误差均为±0.2m，为此用观测值的中误差 与观测值之比，并将其分子化为1，即用1/K表示，称为 相对误差。
180°00ˊ00"
0
0
179°59ˊ57"
-3
9
180°00ˊ01"
+1
1
24
130
m2
2 3.6 10
两组观测值的误差绝对值相等 m1 < m2，第一组的观测成果的精度高于第二组观测成
果的精度
2.容许误差
容许误差又称极限误差。根据误差理论及实践证明， 在大量同精度观测的一组误差中，绝对值大于两倍中误差 的偶然误差，其出现的可能性约为5%；大于三倍中误差 的偶然误差，其出现的可能性仅有3‰，且认为是不大可 能出现的。因此一般取三倍中误差作为偶然误差的极限误 差。
全微分
dZ Kdx
得中误差式 mZ K 2mx2 Kmx
例：量得 1:1000 地形图上两点间长度l =168.5mm0.2mm,
计算该两点实地距离S及其中误差ms： 解：列函数式 S 1000 l
求全微分 dS 1000dl
mS 1000ml 1000 0.2 200mm 0.2m
测量误差＝观测值－真值
观测误差来源于仪器误差、人的感官能力和外界环境 （如温度、湿度、风力、大折光等）的影响，这三方面的 客观条件统称观测条件。
在测量工作中，如某个误差超过了容许误差，则相应 观测值应舍去重测。
3.相对误差
绝对误差值与观测值之比，称为相对误差。在某 些测量工作中，有时用中误差还不能完全反映测量精度， 例如测量某两段距离，一段长200m，另一段长100m， 它们的测量中误差均为±0.2m，为此用观测值的中误差 与观测值之比，并将其分子化为1，即用1/K表示，称为 相对误差。
180°00ˊ00"
0
0
179°59ˊ57"
-3
9
180°00ˊ01"
+1
1
24
130
m2
2 3.6 10
两组观测值的误差绝对值相等 m1 < m2，第一组的观测成果的精度高于第二组观测成
果的精度
2.容许误差
容许误差又称极限误差。根据误差理论及实践证明， 在大量同精度观测的一组误差中，绝对值大于两倍中误差 的偶然误差，其出现的可能性约为5%；大于三倍中误差 的偶然误差，其出现的可能性仅有3‰，且认为是不大可 能出现的。因此一般取三倍中误差作为偶然误差的极限误 差。
全微分
dZ Kdx
得中误差式 mZ K 2mx2 Kmx
例：量得 1:1000 地形图上两点间长度l =168.5mm0.2mm,
计算该两点实地距离S及其中误差ms： 解：列函数式 S 1000 l
求全微分 dS 1000dl
mS 1000ml 1000 0.2 200mm 0.2m
测量误差＝观测值－真值
观测误差来源于仪器误差、人的感官能力和外界环境 （如温度、湿度、风力、大折光等）的影响，这三方面的 客观条件统称观测条件。
测量误差基本知识
（1）仪器误差：仪器精度的局限、轴系残余误差等。 （2）人为误差：判断力和分辨率的限制、经验等。 （3）外界条件的影响：温度变化、风、大气折光等
◆ 测量误差的分类
（1）系统误差:在一定条件下对某量误差的符号和大小保持不 变后按照一定规律变化（累积性）
（2）偶然误差：在一定条件下进行一系列观测，误差大小和 符号都表现出随机性
n
n
n n
特性(1)、(2)、(3)决定了特性(4)，特性(4)具有实用意义。
偶然误差具有正态分布的特性
当观测次数n无限增多(n→∞)、误差区间d无限缩小 (d→0)时，各矩形的顶边就连成一条光滑的曲线， 这条曲线称为 “正态分布曲 线”，又称为 “高斯误差分 布曲线”。 所以偶然误差 具有正态分布 的特性。
•对于一组不同精度的观测值l i ，一
次观测的中误差为mi ，设某次观测
的中误差为m，其权为P0，选定λ= m2，则有：
P0
m2 m2
1
•数值等于1的权，称为单位权；权
等于1的中误差称为单位权中误差， 常用μ表示。对于中误差为mi的观 测值，其权为：
Pi
2
mi2
•相应中误差的另一表示方法为：
mi
(2) f1x1(2) f2x2(2) fnxn(2)
(d)
有k个式
(k) f1x1(k) f2x2(k) fnxn(k)
对(d)式中的一个式子取平方：（i，j=1~n且i≠j）
2
f12x12
f
2 2
x22
f
2 n
xn2
2 f1 f2x1x2
2 f1 f3x1x3 2 fi f jxix j
对(a)全微分：
dZ
F x1
◆ 测量误差的分类
（1）系统误差:在一定条件下对某量误差的符号和大小保持不 变后按照一定规律变化（累积性）
（2）偶然误差：在一定条件下进行一系列观测，误差大小和 符号都表现出随机性
n
n
n n
特性(1)、(2)、(3)决定了特性(4)，特性(4)具有实用意义。
偶然误差具有正态分布的特性
当观测次数n无限增多(n→∞)、误差区间d无限缩小 (d→0)时，各矩形的顶边就连成一条光滑的曲线， 这条曲线称为 “正态分布曲 线”，又称为 “高斯误差分 布曲线”。 所以偶然误差 具有正态分布 的特性。
•对于一组不同精度的观测值l i ，一
次观测的中误差为mi ，设某次观测
的中误差为m，其权为P0，选定λ= m2，则有：
P0
m2 m2
1
•数值等于1的权，称为单位权；权
等于1的中误差称为单位权中误差， 常用μ表示。对于中误差为mi的观 测值，其权为：
Pi
2
mi2
•相应中误差的另一表示方法为：
mi
(2) f1x1(2) f2x2(2) fnxn(2)
(d)
有k个式
(k) f1x1(k) f2x2(k) fnxn(k)
对(d)式中的一个式子取平方：（i，j=1~n且i≠j）
2
f12x12
f
2 2
x22
f
2 n
xn2
2 f1 f2x1x2
2 f1 f3x1x3 2 fi f jxix j
对(a)全微分：
dZ
F x1
第六章测量误差的基本知识
lim
[ ] =
n
0
n→ ∞
(抵偿性)
误差处理的原则:
1,粗差:舍弃含有粗差的观测值,并重新进行观测. 2,系统误差:按其产生的原因和规律加以改正,抵 消和削弱. 3,偶然误差:根据误差特性合理的处理观测数据 减少其影响.
返回
精度:又称精密度,指在对某量进行多 次观测中,各观测值之间的离散 程度. 中误差 评定精度的标准 容许误差 相对误差
z = kx
函数的中误差
m z = ± km x
m
z
z = x1 ± x2 ±L± xn
= ±
2 2 m 12 + m 2 + L + m n
± 线性函数 z =k1x1 ±k2x2 ±L knxn
2 2 2 2 2 m z = ± k12 m1 + k 2 m2 + L + k n mn
一般函数
Z = f ( x1 , x2 , xn )
Vi + i = L x
两式相加,有 设
即
Lx =δ
则
i = vi + δ
将上列等式两端各自平方,并求其和,则
[] = [VV ] 2δ [V ] + nδ 2
代入上式, 将 [v ] = n L [l ] = 0 代入上式,则 又因 故
δ
δ = Lx =
2
[] = [vv] + nδ 2
[l ] x = [l x] = []
n n n
=
[ ]2
n2
=
1 n
[(2 + 2 + + 2 ) + 21 2 + 2 2 3 + 2 3 4 + ] 1 2 n 2
测量误差的基本知识
m乙 =
=
= 4.3
n
6
12
二、相对误差
l 绝对误差 :真误差、中误差 l 相对误差: 在某些测量工作中，绝对误差不能完全
反映出观测的质量。 相对误差K—— 等于误差的绝对值与相应观测值的
比值。常用分子为1的分式表示，即：
相对误差
=
误差的绝对值 观测值
=1 T
13
l 相对中误差：当误差的绝对值为中误差m 的绝对值时， K称为～，即 k=1/m 。
3
1．系统误差
l 系统误差：在相同的观测条件下，对某一未知量进行一系列 观测，若误差的大小和符号保持不变，或按照一定的规律变 化，这种误差称为～ 。
l 系统误差产生的原因 ： 仪器工具上的某些缺陷；观测者的 某些习惯的影响；外界环境的影响。
l 系统误差的特点： 具有累积性
4
系统误差消减方法 ❖1、在观测方法和观测程序上采取一定的措施;
中误差、相对误差、极限误差和容许误差
10
一、中误差
在测量实践中观测次数不可能无限多，实际应用中，以 有限次观测个数n计算出标准差的估值定义为中误差m，作 为衡量精度的一种标准：
m = ±sˆ = ± [ ]
n
在测量工作中，普遍采用中误差来评定测量成果的精度。
11
l 有甲、乙两组各自用相同的条件观测了六个三角 形的内角，得三角形的闭合差（即三角形内角和 的真误差）分别为：
例：经纬仪的LL不垂直于VV对测角的影响
5
2．偶然误差 l 偶然误差：在相同的观测条件下，对某一未知量 进行一系列观测，如果观测误差的大小和符号没有 明显的规律性，即从表面上看，误差的大小和符号 均呈现偶然性，这种误差称为 ～。 l 产生偶然误差的原因： 主要是由于仪器或人的感 觉器官能力的限制，如观测者的估读误差、照准误 差等，以及环境中不能控制的因素(如不断变化着的 温度、风力等外界环境)所造成。
测量误差的基本知识
§5.5误差传播定律的应用
一、水准测量的误差分析
每站的高差为：h = a - b ；m读≈ ±3mm
一站的高差中误差：m站 =
≈ ±4mm
线路n站，则总高差：
取3倍中误差为限差，则普通水准路线的容许误 差为 ：
二、水平角观测的误差分析
用DJ6经纬仪进行测回法观测水平角，那么用盘 左盘右观测同一方向的中误差为±6 ″，
1、倍数函数：Z=kx 中误差：mz=kmx
2、和差函数 ：Z=x1±x2±…±xn 中误差：mz m12 m22 ... mn2
3、线形函数 ： Z=k1x1±k2x2±…±knxn 中误差：mz (k1)2 m12 (k2 )2 m22 ... (k n)2 mn2
加权平均值的中误差： M0 = = ±3.2mm
一、一般函数的中误差
设Z=f(x1,x2,…,xn)，其中x1,x2,…,xn属于独立自 变量（如直接观测值），他们的中误差分别为 m1,m2,…,mn则函数Z的中误差为 ：
mz
(
f x1
)
2
m12
f (
x2
) 2 m22
f ... (
xn
) 2 mn2
二、特殊函数的中误差
小结
• 正确列出函数式； • 检查观测值是否独立； • 求偏微分并代入观测值确定系数； • 套用公式求出中误差。
思考题：一个边长为l的正方形，若测量一 边中误差为ml＝±1cm，求周长的中误差？ 若四边都测量，且测量精度相同，均为ml， 则周长中误差是多少？
§5.4等精度直接观测值
1.算术平均值原理 假设对某量X 进行了n次等精度的独立观测，得
5.偶然误差的特性
第6章 测量误差基本知识
水准仪：
经纬仪：
⑵采用对称观测的方法 大小相等、符号相反的系统误差，相互抵消 水准测量：前、后视距大致相等 角度测量：盘左、盘右取平均值
⑶测定系统误差的大小，对观测值加以改正 钢尺量距：尺长改正、温度改正、倾斜改正
3）偶然误差 偶然误差：在一定观测条件下的一系列观测值中，其误差大小、 正负号不定，但符合一定统计规律的测量误差。 也称随机误差 偶然误差反映观测结果的精密度。 精密度：在一定观测条件下，一组观测值与其数学期望值接近 或离散的程度，也称内部符合精度。 如：对中误差、瞄准误差、估读误差等
设Z为独立变量 x1，x2， … ，xn的函数，即
Z=f x1，x2， xn
2
2
mZ =
f
x1
m12
f x2
m22
f xn
2
mn2
例1：
在1:500的地形图上量得A、B两点间的距离d=234.5mm，中误差 md=±0.2mm。求A、B两点间的实地水平距离D及其中误差mD。
h值越小，曲线两侧坡度越缓， 小误差出现的概率小，精度越低
2.中误差
与精度指数成反比
m n
式中：[△△]——偶然误差平方和 n——偶然误差个数
3.极限误差 由偶然误差的特性“误差绝对值不会超过一定限值”（有界性）
这个限值就是极限误差。
P m 0.683 68.3%
31.7%
P 2m 0.954 95.4% 4.6%
K
D往 D返
D
=
=
1
=1
1
2
D往 +D返
D平均
D平均 D
M
5.相对中误差
观测值中误差与相应观测值之比。
工程测量测量误差的基本知识课件
偶然误差的特点
01
偶然误差具有随机性， 即误差的大小和符号都 是随机的，无法预测。
02
偶然误差具有独立性， 即每个误差都是独立的， 与其他误差无关。
03
偶然误差具有对称性， 即正负误差出现的概率 是相等的。
04
偶然误差具有抵偿性， 即随着测量次数的增加， 偶然误差的平均值趋近 于零。
偶然误差的消除方法
工程测量测量误差的 基本知识课件
目录
• 偶然误差 • 粗大误差 • 测量误差的表示与处理
测量误差概述
测量误差的定义
测量误差
在测量过程中，由于各种因素的影响，使得测量结果与被测量的 真实值之间存在一定的差异。这个差异即为测量误差。
真实值
被测量的实际值，是客观存在的理想值。
测量结果
通过测量得到的数值。
任心，减少人为失误。
测量误差的表示与处理
测量误差的表示方法
绝对误差
相对误差
表示测量值与真实值之间的差值，其计算 公式为 Δ=X-X0，其中 Δ 为绝对误差，X 为测量值，X0 为真实值。
表示测量误差相对于真实值的比例，其计 算公式为 ε=Δ/X0×100%，其中 ε 为相对 误差，Δ 为绝对误差，X0 为真实值。
影响。
测量误差的分类
01
02
03
系统误差
具有规律性和可预测性的 误差，通常由固定的因素 引起，可以通过校准和修 正来减小。
随机误差
具有随机性和无规律性的 误差，通常由一些不确定 的因素引起，无法通过校 准和修正来减小。
粗大误差
明显超出正常范围的误差， 通常由测量人员的失误、 外界干扰等因素引起，需 要识别和剔除。
将测量数据舍入到最接近的整数，若 舍入后数值小于原数则向下取整。
《测量学》第五章测量误差基本知识
系统误差的来源与消除方法
总结词
系统误差的来源主要包括测量设备误差、环境因素误差和测量方法误差。消除系统误差的方法包括校准设备、改 进测量方法和采用适当的修正公式。
详细描述
系统误差的来源多种多样，其中最常见的是测量设备误差，如仪器的刻度不准确、零点漂移等。此外，环境因素 如温度、湿度和气压的变化也可能导致系统误差。为了消除这些误差，可以采用定期校准设备、选择适当的测量 方法和采用修正公式等方法。
相对测量法
通过比较被测量与标准量之间 的差异来得到被测量的值，并 评估误差。
组合测量法
将被测量与其他已知量进行组 合，通过测量组合量来得到被
测量的值，并评估误差。
测量结果的表示与处理
测量结果的表示
测量结果应包括被测量的值、单位、 测量不确定度以及置信区间等。
异常值的处理
在数据处理过程中，如果发现异常值， 应进行识别、判断和处理，以确保测 量结果的准确性和可靠性。
测量学第五章 测量误差 基本知识
contents
目录
• 测量误差概述 • 系统误差 • 随机误差 • 粗大误差 • 测量误差的估计与处理
测量误差概述
01
测量误差的定义
测量误差
在测量过程中，由于受到测量仪器、 环境条件、操作者技能等因素的影响 ，使得测量结果与被测量的真实值之 间存在一定的差异。
不确定度的评定方法
不确定度的传递
不确定度的评定方法包括A类评定和B类评 定，其中A类评定基于统计分析，B类评定 基于经验和信息。
在多个量之间存在函数关系时，需要将各 个量的不确定度传递到最终的测量结果中 ，以确保最终结果的准确性和可靠性。
THANKS.
数据修约
根据测量不确定度对数据进行修约， 以确保数据的完整性和一致性。
第六章 测量误差基本知识
i
偶然误差的特性：
1、有界性 2、趋向性 3、抵偿性
§6-2 评定精度的标准
一、精度 所谓精度，是指误差分布的集中与离散 程度，表示观测成果的精确程度。 二、中误差 真误差的平方的算术平均值的方根
m [] n
三、相对误差
k D D
K m L
四、极限误差
在实际观测中，大于2m出现的概率，大于3m 误差出现的概率‰，有限次观测，小概率出现的 机会很小，因而以2m或3m为极限误差。
2 2
, m2 , mn
2
得到和差函数的中误差： m
Z
m1 mz mn
例3：分段丈量一直线AC上的两段距离AB、BC，丈量结 果 AB=150.15m ， BC=210.24m ， 其 中 误 差 分 别 为 m AB 0.12m mCD 0.16m ，求AC全长及其中误差
设每个角度的测角中误差为 m ，则角度闭合差的中误 差为 m m n
如果以2倍的中误差为极限误差，则允许的n边多边形 的角度闭合差为：
2m n
例1：设水平角的测角中误差 m 18" ，则三角形的角 度闭合差的限差应为： 2m n 2 18" 3 60"
三、水准测量的精度
（一）水准仪两次测定高差的限差
假设我们用DS3水准仪进行了一段普通水准测量，求一 次测定的高差中误差和两次测定高差之差的中误差。 （1）设用DS3级水准仪前视或后视在水准尺上的读数中误 差： m 1mm 则一次测定高差的中误差为： h m 2 1.4mm m （2）两次测定高差之差的计算式为 h h 差的中误差为： m m 2 2mm
2 2 2 2