2020年艺术生高考讲义第十六讲 等差数列学生

第十六讲 数列和等差数列

[玩前必备]

1．数列的定义

按一定次序排列的一列数叫作数列，数列中的每一个数叫作这个数列的项． 2．数列的通项公式

如果数列{a n }的第n 项与序号n 之间的函数关系可以用一个式子表示成a n ＝f (n )，那么这个式子叫作这个数列的通项公式． 3．已知数列{a n }的前n 项和S n ，

则a n ＝⎩

⎪⎨⎪⎧

S 1 (n ＝1)

S n －S n －1 (n ≥2).

4．等差数列的定义

如果一个数列从第2项起，每一项与前一项的差是同一个常数，我们称这样的数列为等差数列，这个常数叫作等差数列的公差，通常用字母d 表示． 5．等差数列的通项公式

如果等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，那么它的通项公式是a n ＝a 1＋(n －1)d .

说明：等差数列{a n }的通项公式可以化为a n ＝pn ＋q (其中p ，q 为常数)的形式，即等差数列的通项公式是关于n 的一次表达式，反之，若某数列的通项公式为关于n 的一次表达式，则该数列为等差数列.

6．等差数列的前n 项和公式

设等差数列{a n }的公差为d ，其前n 项和S n ，则S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)

2

d .

说明：数列{a n }是等差数列⇔S n ＝An 2＋Bn (A 、B 为常数)．这表明d ≠1时，等差数列的前n 项和公式是关于n 的二次表达式，并且没有常数项. 7．等差中项

如果A ＝a ＋b

2，那么A 叫作a 与b 的等差中项．

8．等差数列的常用性质

(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N ＋)．

(2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N ＋)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n .

[玩转典例]

题型一 数列的概念

例1 根据下面数列{a n }的通项公式，写出它的前5项： (1)a n ＝n 2－1

2n －1；(2)a n =n(n+2).

[玩转跟踪]

1.已知数列{a n }的通项公式为a n ＝1＋(－1)n ＋

1

2，则该数列的前4项依次为( )

A ．1,0,1,0

B ．0,1,0,1 C.12，0，1

2

，0 D ．2,0,2,0

2.已知数列{a n }的通项公式为a n ＝1n (n ＋2)(n ∈N ＋)，那么1120是这个数列的第______项．

3．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－n －50，则－8是该数列的( ) A ．第5项 B ．第6项 C ．第7项

D ．非任何一项

题型二 已知S n ，求a n ＝⎩

⎪⎨⎪⎧

S 1 (n ＝1)

S n －S n －1 (n ≥2).

例2 (2014·江西，17)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2－n

2，n ∈N *.

(1)求数列{a n }的通项公式；

[玩转跟踪]

1.(2014·湖南，16)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋n

2，n ∈N *.

(1)求数列{a n }的通项公式；

2.已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2－2n ＋1，则其通项公式为________________． 题型三 等差数列基本量的计算

例3 (1)(2018北京)设{}n a 是等差数列，且13a =，2536a a +=，则{}n a 的通项公式为___． (2)(2018上海)记等差数列{}n a 的前几项和为n S ，若30a =，6714a a +=，则7S = ．

例4 (2016·新课标全国Ⅱ，17)等差数列{a n }中，a 3＋a 4＝4，a 5＋a 7＝6. (1)求{a n }的通项公式；

(2)设b n ＝[a n ]，求数列{b n }的前10项和，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[0.9]＝0， [2.6]＝2.

[玩转跟踪]

1.(2014·重庆，2)在等差数列{a n }中，a 1＝2，a 3＋a 5＝10，则a 7＝( ) A.5 B.8 C.10 D.14

2.(2015·安徽，13)已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝a n －1＋12(n ≥2)，则数列{a n }的前9项和等于________.

3.(2015·新课标全国Ⅰ，7)已知{a n }是公差为1的等差数列，S n 为{a n }的前n 项和.若S 8＝4S 4，则a 10＝( )

A.172

B.19

2 C.10 D.12

题型四 等差数列的性质

例5 (1)(2013·上海，1)在等差数列{a n }中，若a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝30，则a 2＋a 3＝

________.

(2)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36，则a 7＋a 8＋a 9等于( ) A ．63 B ．45 C ．36 D ．27

(3)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S 33－S 2

2＝1，则数列{a n }的公差是( )

A.1

2

B ．1

C ．2

D ．3 [玩转跟踪]

1..(2015·新课标全国Ⅱ，5)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＋a 3＋a 5＝3，则S 5＝( )

A.5

B.7

C.9

D.11

2.已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝－2 014，S 2 0142 014－S 2 0082 008＝6，则S 2 016＝________.