高考数学基础教材(艺术生用)
艺术生高考数学专题讲义：考点24 基本不等式及其应用
称为
a，b
的几何平均数
.
因此基本不等式可叙述为两个非
负数的算术平均数不小于它们的几何平均数；也可以叙述为两个正数的等差中项不小于它们的等比中
项．
3．基本不等式的几个常见变形
(1) a + b ≥ 2 ab (a，b > 0)．
(2)
x+
1 x
≥ 2(x > 0)，ab
+
a b
≥ 2(a，b 同号 )．
．
【题型练2-4】若 0 < x <
3 2
，则 y = x(3 - 2x) 的最大值是
．
【题型练2-5】已知
f (x)
=
x+
1 x
- 2(x
<
0)，则
f (x)
有
．
【题型练2-6】若 2x + 2y = 1，则 x + y 的取值范围是
．
【题型练2-7】已知 a > 0，b > 0，ln(a + b) = 0，则 ab 的最大值为
(3) 把 “1” 的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积为定值的形式；
(4) 利用基本不等式求解最值．
【题型练3-1】已知
x > 0，y
>0
且x+y=
1，则
8 x
+
2 y
的最小值为
．
【题型练3-2】已知 a > 0，b > 0，a + b = 2，则 y =
1 a
+
4 b
的最小值是
．
艺体生文化课百日突围
考点二十四 基本不等式及其应用
山东高考数学艺术生复习第一课集合与复数
山东高考数学艺术生复习第一课集合与复数基础知识专题训练01集合一、考试要求内容集合及其表示子集集合交集、并集、补集等级要求A√√√BC二.基础知识1、理解集合中的有关概念（1）集合中元素的特征：、、（2）集合与元素的关系用符号，表示。
（3）常用数集的符号表示：自然数集；正整数集；整数集；有理数集、实数集（4）集合的表示法：、、注意：区分集合中元素的形式：如：A{某|y某22某1}；B{y|y某22某1}；C{(某,y)|y某22某1}；D{某|某某22某1}；（5）空集是指不含任何元素的集合。
（{0}、和{}的区别；0与三者间的关系）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。
(注意：AB，讨论时不要遗忘了A的情况。
)2、集合间的关系及其运算（1）符号“,”是表示元素与集合之间关系的，立体几何中的体现点与直线（面）的关系；符号“,”是表示集合与集合之间关系的，立体几何中的体现面与直线(面)的关系（2）AB{________________}；AB{________________}；CUA{_______________}（3）对于任意集合A,B，则：①AB___BA；AB___BA；AB___AB；②ABA；ABA；CUABU；CUAB；3、集合中元素的个数的计算：若集合A中有n个元素，则集合A的所有不同的子集个数为_________，所有真子集的个数是__________，所有非空真子集的个数是三．基础训练1．集合A某|某3或某3，B某|某1或某4，AB_________.2．设全集I1,2,3,4,5,A1,4，则CIA______，它的子集个数是(CUM)N__________3．若U={1，2，3，4}，M={1，2}，N={2，3}，则1,2,3,4,5,6,7,8}4．设U{5.,A{3,4,5},B{4,7,8}.则:(CUA)(CUB),(CUA)(CUB)已知全集UR,且A某|某12,B某|某26某80,则(CUA)B________四、拓展提高1．设集合P1,2,3,4,Q某某2,某R，则PQ等于（）A、{1，2}B、{3，4}C、{1}D、{-2，-1，0，1，2}2．已知全集U{1,2,3,4,5,6}，集合A{1,2,5}，CUB{4,5,6}，则集合AB()A．{1,2}B．{5}C．{1,2,3}D．{3,4,6}3.已知集合A{某|y2某1}，B{y|y某2某1}，则AB等于（）3A．{(0,1),(1,3)}B.RC.(0,)D.[,)44.设A(某,y)y4某6,B(某,y)y3某8，则AA.(2,B()1)B.(2,2)C.(3,1)D.(4,2).5.已知集合M满足M1,21,2,3,则集合M 的个数是（）A.1B.2C.3D.46.A=某某13某7，则A2Z的元素的个数．7.满足{a}M{a,b,c,d}的集合M有个8、集合A{某|a某(a6)某20}是单元素集合，则实数a=9.集合A{3,2},B{a,b},若Aa2B{2},则AB____________________．某10.已知集合M={某|ylg(1某)}，集合N{y|ye,某R}(e为自然对数的底数），则MN=11..已知集合M{0,1,2},N{某|某2a,aM},则集合MN等于12.设全集为U，用集合A、B、C的交、并、补集符号表图中的阴影部分。
艺术生高考数学总复习第六章不等式推理与证明第5节合情推理与演绎推理课件
A．只需要按开关 A，C 可以将四盏灯全部熄灭 B．只需要按开关 B，C 可以将四盏灯全部熄灭 C．按开关 A，B，C 可以将四盏灯全部熄灭 D．按开关 A，B，C 无法将四盏灯全部熄灭
[解析] D [根据题意，按开关 A ,2,3,4 号灯熄灭，1 号灯亮；按 开关 B ,1,2 号灯熄灭，3,4 号灯亮；按开关 C ，则 2,3,4 号灯熄灭，1
∴第五个不等式为 1＋212＋312＋412＋512＋612<161.
答案：1＋212＋312＋412＋512＋612<161
考点一 归纳推理(多维探究) [命题角度 1] 数式的归纳 1．(2016·山东卷)观察下列等式： sinπ3－2＋sin23π－2＝43×1×2； sinπ5－2＋sin25π－2＋sin35π－2＋sin45π－2 ＝43×2×3；
复习课件
艺术生高考数学总复习第六章不等式推理与证明第5节合情推理与演绎推 理课件
2021/4/17
艺术生高考数学总复习第六章不等式推理与证明第5节合情 推理与演绎推理课件
高考总复习 第六章 不等式、推理与证明
第5节 合情推理与演绎推理
理
类比推理
定义
由某类事物的部分对象具有 由两类对象具有某些类似特
D．没有出错
解析：A [要分析一个演绎推理是否正确，主要观察所给的大
前提、小前提和推理形式是否都正确，只有这几个方面都正确，才能
得到这个演绎推理正确．本题中大前提：任何实数的平方都大于 0，
是不正确的．]
2．观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cos x)′＝－sin x，由归纳推
理得：若定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(－x)＝f(x)，记 g(x)为 f(x)的导
艺术生高考数学专题讲义：考点14 导数与函数的极值、最值
考点十四导数与函数的极值、最值知识梳理1．函数的极值的定义一般地，设函数f(x)在点x0及附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)＜f(x0 )，就说f(x0)是函数的极大值，x0叫做函数的极大值点．如果对x0附近的所有的点，都有f(x)＞f(x0 )，就说f(x0)是函数的极小值，x0叫做函数的极小值点．极大值与极小值统称为函数的极值．极大值点与极小值点统称为极值点．注意：可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，即f′(x0)＝0是可导函数f(x)在x＝x0处取得极值的必要不充分条件．例如函数y＝x3在x＝0处有y′＝0，但x＝0不是极值点．2．判断f(x0 )是极大、极小值的方法当函数f(x)在点x0处连续时，若x0满足f′(x0 )＝0，且在x0的两侧f(x)的导数值异号，则x0是f(x)的极值点，f(x0 )是极值．如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值；如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值．3．求可导函数f(x)的极值的步骤(1)确定函数的定义域，求导数f′(x) ；(2)求方程f′(x) ＝0的根；(3)检查f′(x)在x0两侧的符号①若f′(x)在x0两侧的符号“左正右负”，则x0为极大值点；②若f′(x)在x0两侧的符号“左负右正”，则x0为极小值点；③若f′(x)在x0两侧的符号相同，则x0不是极值点．4．函数的最值在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．(1)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．(2)设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下：①求f(x)在(a，b)内的极值；②将f(x)的各极值与f(a)，f(b)进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．5．函数的极值与最值的区别与联系极值是个“局部”概念，而函数最值是个“整体”概念．函数的极值表示函数在某一点附近的情况，是在局部对函数值的比较；函数的最值表示函数在一个区间上的情况，是对函数在整个区间上的函数值的比较．函数的极值不一定是最值，最值也不一定是极值．典例剖析题型一 利用导数求函数的极值例1 已知函数f (x )＝x 3－2x 2e x.求f (x )的极大值和极小值．解析 函数f (x )的定义域为R ，f ′(x )＝－x (x 2－5x ＋4)e x ＝－x (x －1)(x －4)e x ，当x 变化时，f (x )、f ′(x )的符号变化情况如下：∴f (x )的极大值为f (0)＝0和f (4)＝32e 4，f (x )的极小值为f (1)＝－1e.变式训练 设f (x )＝e x1＋ax 2，其中a 为正实数．(1)当a ＝43时，求f (x )的极值点；(2)若f (x )为R 上的单调函数，求a 的取值范围． 解析 对f (x )求导得f ′(x )＝e x·1＋ax 2－2ax(1＋ax 2)2.①(1)当a ＝43时，若f ′(x )＝0，则4x 2－8x ＋3＝0，解得x 1＝32，x 2＝12.结合①，可知所以x 1＝32是极小值点，x 2＝12是极大值点．(2)若f (x )为R 上的单调函数，则f ′(x )在R 上不变号，结合①与条件a >0，知ax 2－2ax ＋1≥0在R 上恒成立，即Δ＝4a 2－4a ＝4a (a －1)≤0，由此并结合a >0，知0<a ≤1.所以a 的取值范围为{a |0<a ≤1}．题型二 利用极值求参数例2 设f (x )＝ln(1＋x )－x －ax 2，若f (x )在x ＝1处取得极值，则a 的值为________． 答案 －14解析 由题意知，f (x )的定义域为(－1，＋∞)， 且f ′(x )＝11＋x －2ax －1＝－2ax 2－(2a ＋1)x 1＋x，由题意得：f ′(1)＝0，则－2a －2a －1＝0，得a ＝－14，又当a ＝－14时，f ′(x )＝12x 2－12x 1＋x ＝12x (x －1)1＋x ，当0<x <1时，f ′(x )<0；当x >1时，f ′(x )>0， 所以f (1)是函数f (x )的极小值，所以a ＝－14.变式训练 已知x ＝3是函数f (x )＝a ln x ＋x 2－10x 的一个极值点，则实数a ＝________． 答案 12解析 f ′(x )＝a x ＋2x －10，由f ′(3)＝a3＋6－10＝0，得a ＝12，经检验满足条件．题型三 利用导数求函数的最值例3 设函数f (x )＝x ＋ax 2＋b ln x ，曲线y ＝f (x )过P (1,0)，且在P 点处的切线斜率为2. (1)求a ，b 的值；(2)令g (x )＝f (x )－2x ＋2，求g (x )在定义域上的最值． 答案 (1)a ＝－1，b ＝3 (2)最大值为0，无最小值 解析 (1)f ′(x )＝1＋2ax ＋bx(x >0)，又f (x )过点P (1,0)，且在点P 处的切线斜率为2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)＝0，f ′(1)＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧1＋a ＝0，1＋2a ＋b ＝2.解得a ＝－1，b ＝3. (2)由(1)知，f (x )＝x －x 2＋3ln x ，其定义域为(0，＋∞)， ∴g (x )＝2－x －x 2＋3ln x ，x >0.则g ′(x )＝－1－2x ＋3x ＝－(x －1)(2x ＋3)x .当0<x <1时，g ′(x )>0；当x >1时，g ′(x )<0.所以g (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减． ∴g (x )的最大值为g (1)＝0，g (x )没有最小值． 变式训练 已知函数f (x )＝ln x －ax (a ∈R )． (1)求函数f (x )的单调区间；(2)当a >0时，求函数f (x )在[1,2]上的最小值． 解析 (1)f ′(x )＝1x－a (x >0)，①当a ≤0时，f ′(x )＝1x －a >0，即函数f (x )的单调增区间为(0，＋∞)．②当a >0时，令f ′(x )＝1x －a ＝0，可得x ＝1a ，当0<x <1a 时，f ′(x )＝1－ax x >0；当x >1a 时，f ′(x )＝1－ax x<0，故函数f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎦⎤0，1a ，单调递减区间为⎣⎡⎭⎫1a ，＋∞. (2)①当1a ≤1，即a ≥1时，函数f (x )在区间[1,2]上是减函数，所以f (x )的最小值是f (2)＝ln 2－2a .②当1a ≥2，即0<a ≤12时，函数f (x )在区间[1,2]上是增函数，所以f (x )的最小值是f (1)＝－a .③当1<1a <2，即12<a <1时，函数f (x )在⎣⎡⎦⎤1，1a 上是增函数，在⎣⎡⎦⎤1a ，2上是减函数．又f (2)－f (1)＝ln 2－a ，所以当12<a <ln 2时，最小值是f (1)＝－a ；当ln 2≤a <1时，最小值为f (2)＝ln 2－2a . 综上可知，当0<a <ln 2时，函数f (x )的最小值是－a ； 当a ≥ln 2时，函数f (x )的最小值是ln 2－2a .解题要点 求函数f (x )在[a ，b ]上的最大值和最小值的步骤： (1)求函数在(a ，b )内的极值；(2)求函数在区间端点处的函数值f (a )，f (b )；(3)将函数f (x )的各极值与f (a )，f (b )比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．当堂练习1．已知函数y ＝f (x )，其导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则y ＝f (x ) ________.①在(－∞，0)上为减函数② 在x ＝0处取极小值 ③ 在(4，＋∞)上为减函数 ④ 在x ＝2处取极大值答案 ③解析 由f ′(x )的图象可知，f (x )在(－∞，0)上单调递增，在(0,2)上单调递减，∴f (x )在x ＝0处取得极大值，同理f (x )在x ＝2处取得极小值，故①，②，④均不正确 ，由f ′(x )的图象可知f (x )在(4，＋∞)上单调递减．2．函数f (x )＝(x 2－1)2＋2的极值点是________.①x ＝1 ②x ＝－1 ③x ＝1或－1或0 ④x ＝0 答案 ③解析 ∵f (x )＝x 4－2x 2＋3，由f ′(x )＝4x 3－4x ＝4x (x ＋1)(x －1)＝0，得x ＝0或x ＝1或x ＝－1.又当x <－1时，f ′(x )<0，当－1<x <0时，f ′(x )>0，当0<x <1时，f ′(x )<0，当x >1时，f ′(x )>0， ∴x ＝0,1，－1都是f (x )的极值点．3. 若函数y ＝ax 3＋bx 2取得极大值和极小值时的x 的值分别为0和13，则a 与b 的关系是________. 答案 a ＋2b ＝0解析 y ′＝3ax 2＋2bx ，据题意，0，13是方程3ax 2＋2bx ＝0的两根，∴－2b 3a ＝13，∴a ＋2b ＝0.4．函数f (x )＝xe x ，x ∈[0,4]的最大值是________.答案 1e5．若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1在x ＝1处取极值，则a ＝________.答案 3解析 f ′(x )＝x 2＋2x －a(x ＋1)2，由f (x )在x ＝1处取得极值知f ′(1)＝0，∴a ＝3.课后作业一、 填空题1．函数f (x )＝x 33＋x 2－3x －4在[0，2]上的最小值是________．答案 －173解析 f ′(x )＝x 2＋2x －3，令f ′(x )＝0，得x ＝1(x ＝－3舍去)， 又f (0)＝－4，f (1)＝－173，f (2)＝－103，故f (x )在[0，2]上的最小值是f (1)＝－173.2．函数f (x )＝x 3－32x 2－6x 的极值点的个数是________．答案 2解析 f ′(x )＝3x 2－3x －6＝3(x 2－x －2)＝3(x －2)(x ＋1)．令f ′(x )＝0，得x ＝－1或x ＝2.易知x ＝－1为f (x )的极大值点，x ＝2为f (x )的极小值点．故f (x )的极值点有2个． 3．函数f (x )＝12x －x 3在区间[－3,3]上的最小值是________． 答案 －16解析 由f ′(x )＝12－3x 2＝0，得x ＝－2或x ＝2. 又f (－3)＝－9，f (－2)＝－16，f (2)＝16，f (3)＝9， ∴函数f (x )在[－3,3]上的最小值为－16.4．f (x )＝e x －x (e 为自然对数的底数)在区间[－1,1]上的最大值是________． 答案 e －1解析 f ′(x )＝e x －1，令f ′(x )＝0，得x ＝0.令f ′(x )>0，得x >0，令f ′(x )<0，得x <0，则函数f (x )在(－1,0)上单调递减，在(0,1)上单调递增，f (－1)＝e －1＋1，f (1)＝e －1，f (－1)－f (1)＝1e ＋2－e<12＋2－e<0，所以f (1)>f (－1).5．若商品的年利润y (万元)与年产量x (百万件)的函数关系式为y ＝－x 3＋27x ＋123(x >0)，则获得最大利润时的年产量为________． 答案 3百万件解析 依题意得，y ′＝－3x 2＋27＝－3(x －3)(x ＋3)，当0<x <3时，y ′>0；当x >3时，y ′<0.因此，当x ＝3时，该商品的年利润最大．6．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx －a 2－7a 在x ＝1处取得极大值10，则ab的值为________．答案 －23解析 由题意知，f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，f ′(1)＝0，f (1)＝10，即⎩⎪⎨⎪⎧3＋2a ＋b ＝01＋a ＋b －a 2－7a ＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6b ＝9，经检验⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6b ＝9满足题意，故a b ＝－23.7．设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数y ＝(1－x )f ′(x )的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是________．(填序号)①函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (1) ②函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (1) ③函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (－2) ④函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (2) 答案 ④解析 由题图可知，当x <－2时，f ′(x )>0；当－2<x <1时，f ′(x )<0；当1<x <2时，f ′(x )<0；当x >2时，f ′(x )>0.由此可以得到函数f (x )在x ＝－2处取得极大值，在x ＝2处取得极小值． 8．已知f (x )＝2x 3－6x 2＋m (m 为常数)在[－2,2]上有最大值3，那么此函数在[－2,2]上的最小值是________． 答案 －37解析 f ′(x )＝6x 2－12x ＝6x (x －2)，∴f (x )在(－2,0)上单调递增，在(0,2)上单调递减． ∴x ＝0为极大值点，也为最大值点． ∴f (0)＝m ＝3，∴m ＝3. ∴f (－2)＝－37，f (2)＝－5. ∴最小值是－37.9．函数f (x )＝x 3+ x 2－x +2在[0,2]上的最小值是________． 答案4927解析 f ′(x )＝3x 3+2x －1，f ′(x )＝0，x ∈[0,2]，得x ＝13.比较f (0)＝2，f (13)＝4927，f (2)＝12.可知最小值为4927.10．某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价为p 元，销量Q (单位：件)与零售价p (单位：元)有如下关系：Q ＝8 300－170p －p 2，则该商品零售价定为__________ 元时利润最大，利润的最大值为__________． 答案 30 23 000解析 设商场销售该商品所获利润为y 元，则y ＝(p －20)Q ＝(p －20)(8 300－170p －p 2)＝－p 3－150p 2＋11 700p －166 000(p ≥20)， ∴y ′＝－3p 2－300p ＋11 700. 令y ′＝0得p 2＋100p －3 900＝0，∴p ＝30或p ＝－130(舍去)，则p ，y ，y ′变化关系如下表：∴当p ＝30时，y 取极大值为23 000元．又y ＝－p 3＋150p 2＋11 700p －166 000在(20，＋∞)上只有一个极值，故也是最值． ∴该商品零售价定为每件30元，所获利润最大为23 000元．11．若y ＝a ln x ＋bx 2＋x 在x ＝1和x ＝2处有极值，则a ＝________，b ＝________. 答案 －23 －16解析 y ′＝ax＋2bx ＋1.由已知⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＋1＝0，a 2＋4b ＋1＝0，解得⎩⎨⎧a ＝－23，b ＝－16.二、解答题12． （2015北京文节选）设函数f (x )＝x 22－k ln x ，k >0.求f (x )的单调区间和极值解析 函数的定义域为(0，＋∞)．由f (x )＝x 22－k ln x (k >0)得f ′(x )＝x －k x ＝x 2－kx.由f ′(x )＝0解得x ＝k (负值舍去)．f (x )与f ′(x )在区间(0，＋∞)上的变化情况如下表：所以，f (x )f (x )在x ＝k 处取得极小值f (k )＝k (1－ln k )2. 13．设函数f (x )＝2x 3＋3ax 2＋3bx ＋8c 在x ＝1及x ＝2时取得极值． (1)求a 、b 的值；(2)若对于任意的x ∈[0,3]，都有f (x )<c 2成立，求c 的取值范围． 解析 (1)f ′(x )＝6x 2＋6ax ＋3b ，因为函数f (x )在x ＝1及x ＝2处取得极值，则有f ′(1)＝0，f ′(2)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧6＋6a ＋3b ＝0，24＋12a ＋3b ＝0.解得a ＝－3，b ＝4. (2)由(1)可知，f (x )＝2x 3－9x 2＋12x ＋8c ，f ′(x )＝6x 2－18x ＋12＝6(x －1)(x －2)． 当x ∈(0,1)时，f ′(x )>0；当x ∈(1,2)时，f ′(x )<0；当x ∈(2,3)时，f ′(x )>0. 所以，当x ＝1时，f (x )取得极大值f (1)＝5＋8c ，又f (0)＝8c ，f (3)＝9＋8c . 则当x ∈[0,3]时，f (x )的最大值为f (3)＝9＋8c . 因为对于任意的x ∈[0,3]，有f (x )<c 2恒成立， 所以9＋8c <c 2，解得c <－1或c >9， 因此c 的取值范围为(－∞，－1)∪(9，＋∞)．。
艺术生高考数学专题讲义：考点59 推理与证明
考点五十九 推理与证明知识梳理1．推理(1)定义：是根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程．(2)分类：推理⎩⎪⎨⎪⎧合情推理演绎推理2．合情推理合情推理包括归纳推理和类比推理．(1)归纳推理：根据一类事物中部分事物具有某种属性，推断该类事物中每一个事物都有这种属性．我们将这种推理方式称为归纳推理(简称归纳)．简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理．(2)类比推理：由于两类不同对象具有某些类似的特征，在此基础上，根据一类对象的其他特征，推断另一类对象也具有类似的其他特征，我们把这种推理过程称为类比推理(简称类比)．简言之，类比推理是两类事物特征之间的推理．归纳推理和类比推理是最常见的合情推理，合情推理的结果不一定正确． 3．演绎推理(1)定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．(2)特点：演绎推理是由一般到特殊的推理． (3)模式：三段论⎩⎪⎨⎪⎧①大前提：已知的一般原理；②小前提：所研究的特殊情况；③结论：根据一般原理，对特殊情况做出的判断.4．归纳推理与类比推理的步骤 (1)归纳推理的一般步骤：①通过观察个别情况发现某些相同特征；②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题． (2)类比推理的一般步骤：①找出两类事物之间的相似性或一致性；②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)． 5．合情推理与演绎推理的区别：归纳和类比是常用的合情推理．从推理形式上看，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理，类比推理是由特殊到特殊的推理；而演绎推理是由一般到特殊的推理．从推理所得的结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待进一步证明；演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确．就数学而言，演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的重要思维过程，但数学结论、证明思路等的发现，主要靠合情推理．因此，我们不仅要学会证明，也要学会猜想．6．平面到空间中的常见类比7．直接证明有两种基本方法：综合法和分析法．(1) 综合法：从命题的条件出发，利用定义、公理、定理及运算法则，通过演绎推理，一步一步地接近要证明的结论，直到完成命题的证明．我们把这样的思维方法称为综合法．(2) 分析法：从求证的结论出发，一步一步地探索保证前一个结论成立的充分条件，直到归结为这个命题的条件，或者归结为定义、公理、定理等．我们把这样的思维方法称为分析法．8．间接证明间接证明的一种基本方法是反证法．(1)反证法：我们可以先假定命题结论的反面成立，在这个前提下，若推出的结果与定义、公理、定理相矛盾，或与命题中的已知条件相矛盾，或与假定相矛盾，从而说明命题结论的反面不可能成立，由此断定命题的结论成立．这种证明方法叫作反证法．(2)反证法的证题步骤是：①反设：假定所要证的结论不成立，而设结论的反面(否定命题)成立；(否定结论)②归谬：将“反设”作为条件，由此出发经过正确的推理，导出矛盾——与已知条件、已知的定义、公理、定理及明显的事实矛盾或自相矛盾；(推导矛盾)③立论：因为推理正确，所以产生矛盾的原因在于“反设”的谬误．既然原命题结论的反面不成立，从而肯定了原命题成立．(命题成立)典例剖析题型一 归纳推理 例1 观察下列等式1＝1 2＋3＋4＝9 3＋4＋5＋6＋7＝25 4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49…照此规律，第五个等式应为_________________________________． 答案 5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝81 解析 由于1＝12， 2＋3＋4＝9＝32， 3＋4＋5＋6＋7＝25＝52， 4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49＝72，所以第五个等式为5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝92＝81. 变式训练 （2015陕西文）观察下列等式： 1－12＝12， 1－12＋13－14＝13＋14， 1－12＋13－14＋15－16＝14＋15＋16， …，据此规律，第n 个等式可为_______________________________． 答案 1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n解析 等式左边的特征：第1个等式有2项，第2个有4项，第3个有6项，且正负交错，故第n 个等式左边有2n 项且正负交错，应为1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ；等式右边的特征：第1个有1项，第2个有2项，第3个有3项，故第n 个有n 项，且由前几个的规律不难发现第n 个等式右边应为1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n .解题要点 (1)归纳是依据特殊现象推断出一般现象，因而由归纳所得的结论超越了前提所包含的范围；(2)归纳的前提是特殊的情况，所以归纳是立足于观察、经验或试验的基础之上的； (3)归纳推理所得结论未必正确，有待进一步证明，但对数学结论和科学的发现很有用． 题型二 类比推理例2 在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________． 答案 1∶8解析 V 1V 2＝13S 1h 113S 2h 2＝⎝⎛⎭⎫S 1S 2·h 1h 2＝14×12＝18. 变式训练 在平面上，设h a ，h b ，h c 是三角形ABC 三条边上的高，P 为三角形内任一点，P 到相应三边的距离分别为P a ，P b ，P c ，我们可以得到结论：P a h a ＋P b h b ＋P ch c ＝1.把它类比到空间，则三棱锥中的类似结论为______________________． 答案P a h a ＋P b h b ＋P c h c ＋P dh d＝1 解析 设h a ，h b ，h c ，h d 分别是三棱锥A －BCD 四个面上的高，P 为三棱锥A －BCD 内任一点，P 到相应四个面的距离分别为P a ，P b ，P c ，P d ， 于是可以得出结论：P a h a ＋P b h b ＋P c h c ＋P dh d＝1.解题要点 (1)进行类比推理，应从具体问题出发，通过观察、分析、联想进行类比，提出猜想．其中找到合适的类比对象是解题的关键．(2)类比推理常见的情形有平面与空间类比；低维的与高维的类比；等差数列与等比数列类比；数的运算与向量的运算类比；圆锥曲线间的类比等． 题型三 演绎推理例3 如果函数f (x )在区间D 上是凸函数，那么对于区间D 内的任意x 1，x 2，…，x n ，都有f (x 1)＋f (x 2)＋…＋f (x n )n ≤f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 2＋…＋x n n .若y ＝sin x 在区间(0，π)上是凸函数，那么在△ABC中，sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值是________． 答案332解析 由题意知，凸函数满足f (x 1)＋f (x 2)＋…＋f (x n )n ≤f⎝⎛⎭⎫x 1＋x 2＋…＋x n n ，又y ＝sin x 在区间(0，π)上是凸函数，则sin A ＋sin B ＋sin C ≤3sin A ＋B ＋C 3＝3sin π3＝332.题型四 综合法和分析法的应用例4 在锐角三角形ABC 中，求证：sin A ＋sin B ＋sin C ＞cos A ＋cos B ＋cos C . 证明：∵△ABC 为锐角三角形， ∴A ＋B ＞π2，∴A ＞π2－B ，∵y ＝sin x 在⎝⎛⎭⎫0，π2上是增函数， ∴sin A ＞sin ⎝⎛⎭⎫π2－B ＝cos B ， 同理可得sin B ＞cos C ，sin C ＞cos A ， ∴sin A ＋sin B ＋sin C ＞cos A ＋cos B ＋cos C .变式训练 设a 、b 、c 均为大于1的正数，且ab ＝10，求证：log a c ＋log b c ≥4lgc.证明：(分析法)由于a>1，b>1，c>1，故要证明log a c ＋log b c ≥4lgc ，只要证明lgc lga ＋lgclgb ≥4lgc ，即lga ＋lgb lga ·lgb≥4，因为ab ＝10，故lga ＋lgb ＝1.只要证明1lgalgb ≥4，由于a>1，b>1，故lga>0，lgb>0，所以0<lgalgb ≤⎝⎛⎭⎫lga ＋lgb 22＝⎝⎛⎭⎫122＝14，即1lgalgb ≥4成立．所以原不等式成立．解题要点 1.综合法是“由因导果”，它是从已知条件出发，顺着推证，经过一系列的中间推理，最后导出所证结论的真实性．分析法是“由果执因”，先从结论入手，由此逐步推出保证此结论成立的充分条件，而当这些判断恰恰都是已证的命题(定义、公理、定理、法则、公式等)或要证命题的已知条件时命题得证。
艺术生高考数学专题讲义考点43双曲线
考点四十三双曲线知识梳理1．双曲线的观点把平面内到两定点 F1， F 2的距离之差的绝对值等于常数 (大于零且小于 |F1F2|)的点的会合叫作双曲线．定点 F1，F 2叫作双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫作双曲线的焦距．用会合语言表示为：P＝ { M|||MF 1 |－ |MF 2||＝ 2a} ， |F1F 2|＝ 2c，此中 a， c为常数且 a>0 ，c>0.说明：定义中，到两定点的距离之差的绝对值小于两定点间距离特别重要．令平面内一点到两定点 F 1，F 2的距离的差的绝对值为2a(a 为常数 )，则只有当 2a<|F1F2|且 2a≠ 0 时，点的轨迹才是双曲线；若2a＝ |F 1F2|，则点的轨迹是以 F 1，F 2为端点的两条射线；若2a>|F1F2|，则点的轨迹不存在．2．双曲线的标准方程和几何性质x2y2y2x2标准方程a 2－b2＝1a2－b2＝1(a>0， b>0)(a>0， b>0)图形性范围对称性极点渐近线x≥ a 或 x≤－ a， y∈R x∈R， y≤－ a 或 y≥ a对称轴：坐标轴对称中心：原点A1(－ a,0)， A2(a,0)A1(0 ，－ a)， A2(0， a)b ay＝± x y＝± xa b质离心率实虚轴c22e＝a， e∈ (1，＋∞ )，此中 c＝ a ＋ b线段 A1A2叫作双曲线的实轴，它的长 |A1A2|＝ 2a；线段 B1B2叫作双曲线的虚轴，它的长 |B1B2|＝ 2b；a 叫作双曲线的实半轴长，b叫作双曲线的虚半轴长a、 b、 cc2＝ a2＋ b2(c>a>0， c>b>0)的关系说明：在双曲线的标准方程中，决定焦点地点的要素是x2或 y2的系数．若 x2系数为正，则焦点在 x 轴上，若 y2的系数为正，则焦点在y 轴上．3．双曲线与椭圆的差别(1) 定义表达式不一样：在椭圆中|PF 1|＋ |PF 2|＝ 2a，而在双曲线中 ||PF 1|－ |PF2 ||＝ 2a；(2) 离心率范围不一样：椭圆的离心率e ∈ (0， 1)，而双曲线的离心率 e ∈ (1，＋∞ )； (3) a ， b ， c 的关系不一样：在椭圆中 a 2＝b 2＋c 2，a ＞ c ；而在双曲线中 c 2＝ a 2＋ b 2， c ＞a ．典例分析题型一 双曲线的定义和标准方程例 1 设双曲线 C 的两个焦点为 (－ 2，0)，( 2，0)，一个极点是 (1,0)，则 C 的方程为 ________． 答案 x 2－ y 2＝ 1分析由题意可知，双曲线的焦点在x 轴上，且 c ＝2， a ＝ 1，则 b 2＝ c 2－ a 2＝ 1，所以双曲线 C 的方程为 x 2－ y 2＝ 1.y 2 x 2 变式训练 与椭圆 C ： 16＋12＝1 共焦点且过点 (1， 3)的双曲线的标准方程为 ________．答案y 2 － x 2＝ 12 2分析椭圆 y 2＋ x 2＝ 1 的焦点坐标为 (0，－ 2)， (0，2)，16 12223 －1＝ 1设双曲线的标准方程为y－ x＝ 1(m>0， n>0)，则 mn ，解得 m ＝ n ＝ 2.m nm ＋ n ＝ 422yx∴双曲线的标准方程为－ ＝1.解题重点 求双曲线的标准方程的基本方法是定义法和待定系数法．在求解时， 注意巧设方程，能够减少议论以及计算的难度，一般来说：2222(1)x 2 y 2x 2 y 2与双曲线 a － b ＝ 1 (a>0， b>0) 有共同渐近线的方程可表示为a －b ＝ t (t ≠ 0) ．2 2(2) 过已知两个点的双曲线方程可设为 x－y＝ 1 (mn>0)，也可设为 Ax 2＋ By 2＝ 1 (AB<0) ，这 m n 种形式在解题时更简易． 题型二双曲线的离心率22例 2 已知双曲线 x a 2－ y3 ＝ 1(a>0)的离心率为 2，则 a ＝________．答案 1分析由题， c ＝ 2a. ∴ c 2＝ 4a 2，又 c 2＝ a 2＋ 3，∴ 4a 2＝ a 2＋ 3， a 2＝ 1，∵a>0，∴ a ＝ 1．变式训练若双曲线 x 2 y 2＝1 (a>0， b>0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲2－ 2a b线的离心率为 ________．答案5分析22222由题意得 b ＝2a ，又 a ＋ b ＝ c ，∴ 5a ＝ c .22 c∴e ＝ a 2＝ 5，∴ e ＝ 5. 解题重点1.注意双曲线中 a ， b ， c 的关系，在双曲线中c 2＝ a 2＋ b 2， c ＞a ．c 2 222ca ＋ bb2. 注意离心率公式及其变式运用，e ＝aa 2 ＝a 2＝1＋a 2，e ＝ c 2 2 ＝ 1 2 .2bc － b1－ c 2题型三双曲线的渐近线y 22例 3 设双曲线 C 经过点 (2， 2)，且与 4 － x ＝ 1 拥有同样渐近线，则 C 的方程为 ________； 渐近线方程为 ________．22答案x－ y＝1y ＝ ±2x3 12分析设双曲线 C 的方程为y 2－x2＝λ，将点 (2， 2)代入上式，得 λ＝－ 3，422∴C 的方程为 x － y＝1，其渐近线方程为 y ＝ ±2x.3 12已知双曲线 C ：x22变式训练－ y ＝ 1 的离心率为 3，则 C 的渐近线方程为 ________．n 4－ n答案y ＝ ± 2x22＝1x 轴上，∴n ＋ 4－ n＝ 3，分析由双曲线的方程 x － y知，双曲线的焦点在＝( 3)2n4－ nn∴n ＝ 4，∴ a 2＝4， b 2＝ 4－4＝ 8，进而双曲线的渐近线方程是 y ＝± 2x.3 3 3 32 222解题重点 1.已知双曲线方程 x2 y 2x2y 2a －b ＝ 1，求渐近线时可直接将 1 换为 0，解方程 a － b ＝ 0求出渐近线．2.双曲线的离心率与渐近线方程之间有着亲密的联系，两者之间能够互求．已知渐近线方程bc22 2 b 22a ＋ b时，可得 a 的值，于是 e ＝ a 2＝a 2 ＝ 1＋ a ，所以可求出离心率e 的值；而已知离心率的值，也可求出渐近线的方程，即b＝ e 2－ 1.但要注意，当双曲线的焦点所在的坐标轴不确a准时，上述两类问题都有两个解.当堂练习1．（ 2015 广东理）已知双曲线x2y25，且其右焦点为 F 2(5,0)，则双曲C：2－ 2＝1的离心率e＝a b4线 C 的方程为 ________．x2y2答案16－9＝1分析由于所求双曲线的右焦点为 F 2(5,0)且离心率为 e＝c＝5，所以 c＝ 5，a＝ 4， b2＝ c2－a4a2＝ 9，所以所求双曲线方程为x2－ y2＝1.1692．（ 2015 安徽文）以下双曲线中，渐近线方程为y＝±2x 的是 ________．①x2－y2222＝1 ②x－ y2＝ 1③ x2－y＝ 1 ④x－ y2＝ 1 4422答案①2由双曲线渐近线方程的求法知；双曲线x2－y＝1的渐近线方程为y＝±2x，应选① .4x2y23. （ 2015 福建理）若双曲线 E：9－16＝1 的左、右焦点分别为F1， F2，点 P 在双曲线 E 上，且 |PF1 |＝ 3，则 |PF 2|等于 ________．答案9分析由双曲线定义 ||PF 2|－ |PF 1||＝ 2a，∵ |PF1|＝3，∴ P 在左支上，∵ a＝ 3，∴ |PF 2|－ |PF1|＝6，∴ |PF2|＝ 9.x2y24．（ 2015 山东文）过双曲线C：a2－b2＝ 1(a>0， b>0) 的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交 C 于点 P.若点 P 的横坐标为2a，则 C 的离心率为 ________．答案2＋ 3分析把 x＝2a 代入x2y2＝ 1；得 y＝± 3b. 2－ 2a b不如取 P(2a，－ 3b)．又∵双曲线右焦点F2的坐标为 (c,0)，3b3b b∴kF 2P＝.由题意，得＝ .c－ 2a c－2a ac∴(2＋3)a＝c.∴双曲线 C 的离心率为 e＝a＝ 2＋ 3.2y25．（ 2015 北京文）已知(2,0)是双曲线x －b2＝1(b＞0)的一个焦点，则b＝ ________.答案3分析由题意： c ＝ 2， a ＝ 1，由 c 2＝ a 2＋ b 2.得 b 2＝ 4－ 1＝ 3，所以 b ＝ 3.课后作业一、 填空题2 21． （ 2015 天津文）已知双曲线 x y＝ 1(a ＞ 0， b ＞ 0 )的一个焦点为 F(2,0)，且双曲线的 a 2－ b 2 渐近线与圆 (x －2) 2＋ y 2＝ 3 相切，则双曲线的方程为 ________．22y答案x －＝ 1x 2 y 22．（ 2015 湖南文）若双曲线 a 2－b 2＝ 1的一条渐近线经过点 (3，－ 4)，则此双曲线的离心率为________．答案53分析由条件知 y ＝－ b x 过点 (3，－ 4) ，∴3b＝ 4，aa即 3b ＝ 4a ，∴ 9b222 22225 ＝ 16a，∴ 9c － 9a＝ 16a ，∴ 25a＝ 9c，∴ e ＝ .33．（ 2015 新课标 II 理）已知 A ，B 为双曲线 E 的左，右极点，点 M 在 E 上，△ ABM 为等腰三角形，且顶角为 120°，则 E 的离心率为 ________．答案 2分析如图，设双曲线 E 的方程为x 2 y 2 2－ 2 ＝ 1(a ＞ 0，b ＞0)，则 |AB|＝ 2a ，由双曲线的对称性，ab可设点 M(x 1， y 1)在第一象限内，过M 作 MN ⊥ x 轴于点 N(x 1,0)，∵△ ABM 为等腰三角形，且∠ ABM ＝ 120°，∴ |BM|＝ |AB|＝ 2a ，∠ MBN ＝ 60°，∴ y 1＝|MN|＝ |BM |sin ∠ MBN ＝2asin 60 ＝° 3a ，x 1＝ |OB|＋ |BN|＝ a ＋ 2acos 60 °＝ 2a.将点 M (x 1，222＝ b 2，∴ e ＝ c＝2＋b 2x 2 y 2a 2y 1)的坐标代入 a － b ＝ 1，可得 a aa ＝ 2.4．已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为 F(3,0)，离心率等于 3，则 C 的方程是 ________．2答案x 2 － y 2＝ 14 5分析由曲线 C 的右焦点为F(3,0)，知 c ＝ 3.由离心率 e ＝ 3，知 c ＝ 3，则 a ＝ 2，2a 22 2故 b 2＝ c 2－ a 2＝ 9－ 4＝5，所以双曲线C 的方程为x－ y＝ 1.4 5x 2 y 255．已知双曲线 C ：a 2－ b 2＝ 1(a ＞ 0， b ＞ 0)的离心率为2 ，则 C 的渐近线方程为 ________．答案 1y ＝ ± x2分析c5 2c 2 a 2＋ b 2 522b 1 b 1 ∵ e ＝ ＝2，∴ e ＝ 2＝2 ＝.∴ a ＝4b ，a ＝ .∴渐近线方程为y ＝ ± x ＝ ± x.aaa42a2x 226．（ 2015 新课标Ⅰ理）已知 M( x 0，y 0 )是双曲线 C ： 2 － y ＝ 1 上的一点， F 1，F 2 是 C 的两个 → →焦点，若 MF 1·MF 2<0 ，则 y 0 的取值范围是 ________．答案－3，333分析 由双曲线方程可求出 F 1，F 2 的坐标，再求出向量→→MF 1，MF 2，而后利用向量的数目积公式求解．由题意知 a ＝ 2， b ＝ 1， c ＝ 3，∴ F 1(－ 3， 0)， F 2( 3， 0)，→→∴MF 1＝ (－ 3－ x 0 ，－ y 0) ，MF 2＝ ( 3－ x 0，－ y 0) ．→ → 2∵MF 1·MF 2<0，∴ (－ 3－ x 0)( 3－ x 0)＋ y 0<0，即 x 20－ 3＋ y 20<0.2x 0222∵点 M(x 0，y 0)在双曲线上，∴－ y 0＝ 1，即 x 0 ＝2＋ 2y 0，2 23 3∴2＋ 2y 0－ 3＋ y 0<0 ，∴－ 3 <y 0< 3 .2 2x yA 1，7．（ 2015 重庆文）设双曲线 a 2－b 2＝ 1(a ＞ 0， b ＞0) 的右焦点是 F ，左、右极点分别是A 2，过 F 作 A 1A 2 的垂线与双曲线交于B ，C 两点，若 A 1B ⊥A 2C ，则该双曲线的渐近线的斜率为 ________．答案±1x 2 y 2b 2分析双曲线 a 2－ b 2＝ 1 的右焦点 F(c,0)，左、右极点分别为 A 1(－ a,0)，A 2( a,0) ，易求 B c ， a ，22c ，－ b 2b bC ，则 kA 2a ， kA 1a，又 A 12aC ＝B ＝B 与 AC 垂直，a － ca ＋ cb 2 b 2则有 kA 1B ·kA 2C ＝－ 1，即 a · a＝－ 1，a ＋ c a － cb 4∴ a 2 2 2b＝ 1，∴ a ＝ b ，即 a ＝ b ，∴渐近线斜率 k ＝ ± ＝ ±1.c 2－ a 2a1 8．（ 2015 新课标 II 文）已知双曲线过点(4 ， 3)，且渐近线方程为 y ＝ ± x ，则该双曲线的标2准方程为 ________．x 22答案4 － y ＝ 112分析由双曲线渐近线方程为x2y ＝ ± x ，可设该双曲线的标准方程为4 － y ＝ λ(λ≠0)，已知该2422x 22双曲线过点 (4， 3)，所以 4 － ( 3) ＝ λ，即 λ＝ 1，故所求双曲线的标准方程为 4 － y ＝ 1.29． （ 2015 天津文）双曲线x－ y 2＝ 1 的焦距是 ______，渐近线方程是 ________________ ．2答案2 3y ＝ ± 2x2分析2222 3，渐近线方程为2由双曲线方程得 a ＝ 2， b ＝ 1，∴ c＝ 3，∴焦距为y ＝±x.2x 2 y 210．（ 2015 湖南理）设 F 是双曲线 C ：a 2－ b 2＝ 1 的一个焦点，若 C 上存在点 P ，使线段 PF的中点恰为其虚轴的一个端点，则 C 的离心率为 ________．答案5222分析不如设 F(c,0)，则由条件知P(－ c ， ±2b) ，代入 x2－ y 2＝ 1 得 c2＝ 5，∴ e ＝ 5.abaF 是双曲线 C ： x 2－y211．（2015 新课标Ⅰ文）已知 ＝ 1 的右焦点， P 是 C 的左支上一点，8A(0,6 6) ．当△ APF 周长最小时，该三角形的面积为 ________．答案 12 6分析设左焦点为 F 1， |PF|－ |PF 1|＝ 2a ＝2，∴ |PF|＝2＋ |PF 1|，△ APF 的周长为 |AF|＋ |AP|＋ |PF|＝ |AF|＋ |AP|＋ 2＋ |PF 1|，△ APF 周长最小即为 |AP|＋ |PF 1|最小，当 A 、 P 、 F 1 在一条直线时最小，过AF 1 的直线方程为x ＋ y ＝ 1.－ 3 6 6与 x 2－y 2＝ 1 联立，解得 P 点坐标为 (－2,26)，此时 S ＝ S AF FS FPF ＝12 6.811二、解答题x 2y 22212．已知椭圆 D ：50＋ 25＝1 与圆 M ： x ＋ (y － 5) ＝ 9，双曲线 G 与椭圆 D 有同样焦点，它 的两条渐进线恰巧与圆M 相切，求双曲线G 的方程．分析 椭圆 D 的两个焦点为 F 1(－ 5,0)， F 2 (5,0)，∴双曲线中心在原点，焦点在x 轴上，且 c＝5.22设双曲线 G 的方程为x2y2a －b ＝ 1(a ＞ 0， b ＞ 0)，∴渐近线方程为 bx ±ay ＝ 0 且 a 2 ＋ b 2＝ 25， 又圆心 M(0,5)到两条渐近线的距离为r ＝3.|5a|∴b 2＋ a2＝3，得a ＝3，b ＝4，22∴双曲线 G 的方程为 x－ y＝1.9 1613．已知双曲线对于两坐标轴对称，且与圆x 2＋ y 2＝ 10 订交于点 P(3，－ 1)，若此圆过点 P的切线与双曲线的一条渐近线平行，求此双曲线的方程．分析 切点为 P(3，－ 1) 的圆 x 2＋ y 2＝ 10 的切线方程是 3x － y ＝ 10. ∵双曲线的一条渐近线与此切线平行，且双曲线对于两坐标轴对称， ∴两渐近线方程为 3x ±y ＝ 0.设所求双曲线方程为 9x 2－ y 2＝ λ(λ≠ 0)．∵点 P(3，－ 1)在双曲线上，代入上式可得λ＝ 80，x 2 y 2∴所求的双曲线方程为80－80＝1.9。
艺术生高考数学专题讲义：考点22 一元二次不等式与简单的分式不等式的解法
A. ( -∞，32 ) ∪ (2，+∞)
B. R
C.
(
3 2
，2)
D. ∅
【题型练1-2】(2015 江苏 ) 不等式 2x2 - x < 4 的解集为 ________．
【题型练1-3】不等式 -3 < 4x - 4x2 ≤ 0 的解集为 ________．
（
）
【题型练1-4】(2015 广东文 ) 不等式 -x2 - 3x + 4 > 0 的解集为 ________( 用区间表示 )．
【题型练3-6】若不等式 ax2 + bx + c > 0 的解集是 ( -4,1)，则不等式 b(x2 - 1) + a(x + 3) + c > 0 的解集为 ．
题型四 一元二次不等式恒成立问题 角度 1 形如 f(x) ≥ 0( f(x) ≤ 0)，x ∈ R 确定参数的范围 例4. 若不等式 mx2 - 2x - 1 < 0 恒成立，则 m 的取值范围是 ________．
题型三 一元二次不等式与一元二次方程根之间关系问题 例3. 关于 x 的不等式 x2 + (a + 1)x + ab > 0 的解集是 {x|x <-1 或 x > 4}，则 a + b = ________．
方法总结 解决这类习题关键是理解三个二次之间的关系，一元二次函数与 x 轴交点的横坐标即为对应一 元二次方程的根，利用一元二次方程的根，结合函数图象就可以求出对应一元二次不等式．因此反过
f (x) g(x)
≥
0⇔
fg((xx))·≠g(x0)，≥ 0，，
f (x) g(x)
高考艺术生数学知识点资料
高考艺术生数学知识点资料数学作为一门科学，不仅仅在于解决实际问题，它还涵盖了丰富的艺术性和美感。
对于高考艺术生来说，数学知识点的掌握是备战高考的必备技能之一。
本文将分享一些重要的数学知识点，旨在帮助艺术生们提高数学成绩。
一、平面几何平面几何是数学的重要组成部分，艺术生需要熟悉平面几何中的基本概念和定理。
例如，平面几何的基本元素包括点、线和面；平行线的性质，如平行线的定义、平行线的判定以及平行线的性质等。
二、三角函数三角函数是高考数学中的重点内容之一。
对于艺术生来说，熟练掌握三角函数的定义、性质以及应用是非常重要的。
例如，艺术生需要掌握正弦函数、余弦函数和正切函数的定义及其主要性质；熟练掌握三角函数的图像变换，如周期性、对称性等。
三、立体几何立体几何是另一个需要艺术生掌握的数学知识点。
立体几何涉及到平面、直线和空间的相互关系，艺术生需要了解立体几何的基本概念和定理。
例如，了解圆柱体、圆锥体、球体的定义以及它们的性质；了解立体的体积和表面积的计算方法。
四、数列与数学归纳法数列与数学归纳法是数学中的基本概念和重要工具。
艺术生需要了解数列的定义、数列的通项公式以及递推关系。
同时，数学归纳法是解决数学问题的重要工具，艺术生需要理解数学归纳法的原理和基本步骤。
五、概率与统计概率与统计是数学的实际应用领域，对于艺术生来说，了解概率与统计的基本概念和技巧是必要的。
例如，艺术生需要了解事件的概率定义、事件的互斥性和独立性；掌握统计图表的制作和解读，如直方图、折线图等。
六、函数与方程函数与方程是高中阶段数学的核心内容。
艺术生需要熟练掌握函数与方程的基本概念和运算法则。
例如，艺术生需要了解函数的定义和性质，如函数的奇偶性、单调性等；掌握方程的解的求解方法，如一元一次方程、一元二次方程等。
七、数学建模数学建模是高考数学中的重要内容，也是艺术生在数学学科中发挥艺术才能的重要阶段。
艺术生需要了解数学建模的基本概念和步骤，掌握数学建模的解题思路和方法。
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第1节 常见不等式及其解法1．一元一次不等式的解法不等式ax ＞b (a ≠0)的解集为：当a ＞0时，解集为{x |x ＞b a }．当a ＜0时，解集为{x |x ＜b a}．Δ>0 Δ＝0 Δ<0x 的情形，以便确定解集的形式．解集是解的集合，故一元二次不等式的解集一定要写成集合或区间的形式！！解不等式（高中我们能遇到的所有不等式）的通用步骤：①解方程②画图像③写解集 例1．解下列不等式：(1)2x 2＋7x ＋3＞0； (2)x 2－4x －5≤0； (3)－4x 2＋18x －814≥0；(4)－12x 2＋3x －5＞0；(5)－2x 2＋3x －2＜0；(6)已知关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ＜0的解集为{x |1＜x ＜2}，求关于x 的不等式bx 2＋ax ＋1＞0的解集．例2．解下列不等式： (1)x ＋23－x ≥0； (2)2x －13－4x>11．已知集合P ＝{x |x 2－x －2≤0}，Q ＝{x |log 2(x －1)≤1}，则(∁R P )∩Q ＝( )A ．[2,3]B ．(－∞，1]∪[3，＋∞)C ．(2,3]D ．(－∞，－1]∪(3，＋∞)2．设a >0，不等式－c <ax ＋b <c 的解集是{x |－2<x <1}，则a ∶b ∶c ＝( )A ．1∶2∶3B ．2∶1∶3C ．3∶1∶2D ．3∶2∶1 3．(2013·高考卷)下列选项中，使不等式x ＜1x＜x 2成立的x 的取值围是( )A ．(－∞，－1)B ．(－1,0)C ．(0,1)D ．(1，＋∞)4．若不等式mx 2＋2mx －4＜2x 2＋4x 对任意x 均成立，则实数m 的取值围是( )A ．(－2,2]B ．(－2,2)C ．(－∞，－2)∪[2，＋∞)D ．(－∞，2] 5．解下列不等式214x +≥1213x <-<6．解下列方程组213211x y x y +=⎧⎨-=⎩2214x y x y +=⎧⎨+=⎩22112y x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩第2节 高考数学中的运算——对数运算对数的概念 (1)对数的定义：如果a x＝N (a >0且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数（真数必为正数）．当a ＝10时叫常用对数，记作x ＝lg N ；当a ＝e 时叫自然对数，记作x ＝ln N ．(2)对数的常用关系式(a ，b ，c ，d 均大于0且不等于1)： ①log a 1＝0．②log a a ＝1，m a ma =log③对数恒等式：alog aN＝N ．④换底公式：log a b ＝log c b log c a ， 推广log a b ＝1log b alog a b ·log b c ·log c d ＝log a d ．(3)对数的运算法则：如果a >0，且a ≠1，M >0，N >0，那么： ①log a (M ·N )＝log a M ＋log a N ； ②log a MN＝log a M －log a N ； ③log a M n＝n log a M (n ∈R)；④log a m M n＝n mlog a M=1．化简下列各式： (1)14lg 23lg5lg 5+-(2)3lglg 70lg 37+-(3) 2lg 2lg5lg 201+⋅-(4) 25941log log 27log 123235-+2（15．）计算：22log 2=________，24log 3log 32+=________．若，则________．3．方程log (1－2x )＝1的解x ＝_________． 计算log [log (log 81)]＝_________．4．有下列五个等式，其中a>0且a≠1，x>0 , y>0，其中正确的是 ． ①log ()log log a a a x y x y +=⋅， ②22log ()2(log log )a a a x y x y -=-③1log log log 2aa a x x y =-， ④log log log ()a a a x y x y ⋅=⋅第3节 高考数学中的运算——三角计算一．任意角 1．角的概念角可以看成平面一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．2．角的表示顶点：用O 表示；始边：用OA 表示，用语言可表示为起始位置； 终边：用OB 表示，用语言可表示为终止位置．3．角的分类（1）正角：按 方向旋转形成的角；加一个角按 方向旋转． （2）负角：按 方向旋转形成的角；减一个角按 方向旋转． （3）零角：射线没有作任何旋转，称为形成一个零角．任意角大小比较： ，因此小于90°的角不一定是锐角…………4．象限角在直角坐标系中研究角时，当角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合时，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角．如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．5．终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在，可构成一个集合S ＝{}β|β＝α＋k ·360°，k ∈Z ，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．二．弧度制角度制用度作为度量单位来度量角的单位制叫做角度制，规定1度的角等于周角的1360弧度制 长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad 表示，读作弧度以弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制2．任意角的弧度数与实数的对应关系正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0． 3．角的弧度数的计算如果半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，那么，角α的弧度数的绝对值是|α|＝lr． 扇形的面积公式：4．角度制与弧度制的换算 (1)角度化弧度 弧度化角度 360°＝2π rad 2π rad＝360° 180°＝π rad π rad＝180° 1°＝πrad≈0．01745 rad 1 rad ＝(180)°≈57．30°三．任意角的三角函数1．任意角三角函数的定义将角的顶点与原点O 重合，始边与直角坐标系x 轴非负半轴重合，角的终边上任意取一点P (x ，y )，则对应角的正弦值sin α＝22y x y +，余弦值cos α＝22y x x + ，正切值tan α＝xy，常记22y x r +=． 由此定义，求任意角的三角函数值可按以下步骤完成：常见特殊角三角函数值（利用两特殊直角三角形计算并记忆！）2．三角函数值的符号例1．根据下列条件求sin α，cos α，tan α．(1)α＝－π3； (2)已知角α的终边经过点P (－3,4)．(3)角α的终边经过点P (－4a,3a )(a ≠0)，则sin α＝________；(4)已知角α的终边过点P (5，a )，且tan α＝－125，求sin α＋cos α的值．2．α是第二象限角，P (x ，5)是其终边上一点，且cos α＝24x ，则x 的值为( ) A ． 3B ．± 3C ．－ 3D ．－ 23．如果点P (sin θ＋cos θ，sin θcos θ)位于第二象限，那么角θ所在的象限是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．若角α是第二象限角，则点P (sin α，cos α)在第________象限．5．(2011·高考)已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，若P (4，y )是角θ终边上一点，且sin θ＝－255，则y ＝________． 四．同角三角函数的基本关系式子成立，如sin 22α＋cos 22α＝1，tan 3α＝sin 3αcos 3α都是成立的．2．两个公式常见变形（解题时可“知一求二”： ） sin 2α＋cos 2α＝1⇔sin 2α＝1－cos 2α⇔cos 2α＝1－sin 2α；tan α＝sin αcos α⇔sin α＝tanα·cos α．例1．已知tan α＝43，且α是第三象限角(1)求sin α，cos α的值；(2)求6sin α－2cos α3sin α＋5cos α的值．例2．(1)已知sin α－cos α＝12，求sin αcos α的值．(2)已知0＜α＜π，sin α＋cos α＝15，求tan α的值．(3)已知α∈R ，sin α＋2cos α＝102求tan 2α．(4)已知3tan sin 2=⋅αα，求αα44cos sin +的值．五．三角函数的诱导公式诱导公式填空(1)公式一：sin(α＋2k π)＝ ， cos(α＋2k π)＝ ， tan(α＋2k π)＝[k ∈Z]．(2)公式二：sin(π＋α)＝ ， cos(π＋α)＝ ， tan(π＋α)＝ ．(3)公式三：sin(－α)＝ ， cos(－α)＝ ， tan(－α)＝ ．(4)公式四：sin(π－α)＝ ， cos(π－α)＝ ，tan(π－α)＝ ．(5)公式五：sin(π2－α)＝ ， cos(π2－α)＝ ， tan(π2－α)＝ ．(6)公式六：sin(π2＋α)＝ ， cos(π2＋α)＝ ， t an(π2－α)＝ ． 口诀记法：“奇变偶不变，符号看象限”例．已知f (α)＝cos π2＋α·cos 2π－α·sin －α＋3π2sin －π－α·sin 3π2＋α．(1)化简f (α)；(2)若α是第三象限角，且cos(α－3π2)＝15，求f (α)的值．1．已知sin(α－π4)＝13，则cos(π4＋α)的值等于( )A ．223B ．－233C ．13D ．－132．填正负号：)32sin(__)23sin(ππ-=-x x ，)32cos(__)23cos(ππ-=-x x ，)3tan(__)3tan(ππ-=-x x 第4节 正余弦定理解三角形：一般地，三角形的三个角A,B,C 和它们的三条对边a ，b ，c 叫做三角形的元素．已知三角形的几个元素求其它元素的过程叫作解三角形．2．三角形面积公式设△ABC 的三边分别为a 、b 、c ，所对的三个角分别为A 、B 、C ，其面积为S ．(1)S ＝12ah (h 为BC 边上的高)；(2)S ＝12absin C ＝12bcsin A ＝12acsinB （一般根据角选公式）重点考法：判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式．若转化为边边关系，一般通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；若转化为角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出角的关系，从而判断出三角形的形状。