艺术生高考数学专题讲义：考点16 同角三角函数的关系式及诱导公式

考点十六 同角三角函数的关系式及诱导公式知识梳理1．同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1. (2)商数关系：sin αcos α＝tan α.2.诱导公式对于角“k π2±α”(k ∈Z )的三角函数记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，“奇变偶不变”是指“当k 为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k 为偶数时，函数名不变”．“符号看象限”是指“在α的三角函数值前面加上当α为锐角时，原函数值的符号”．典例剖析题型一 同角三角函数关系应用例1 已知α是第二象限角，tan α＝－815，则sin α＝________．答案817解析 由⎩⎪⎨⎪⎧sin 2α＋cos 2α＝1，sinαcosα＝－815，解得sin α＝±817.∵ α为第二象限角，∴ sin α>0，∴ sin α＝817. 变式训练 已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＝45，则tan α＝________. 答案 －43解析 ∵α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴cos α ＝－1－sin 2α＝－35， ∴tan α＝sin αcos α＝－43.例2 (1)已知tan θ＝2，则sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ＝________. (2)已知tan θ＝2，则sin θcos θ＝ . 答案 (1)45 (2)25解析 (1)sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ ＝sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ1＝sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝tan 2θ＋tan θ－2tan 2θ＋1＝4＋2－24＋1＝45.(2)sin θcos θ＝sin θ·cos θsin 2θ＋cos 2θ＝tan θtan 2θ＋1＝222＋1＝25. 解题要点 (1)利用sin 2α＋cos 2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用sin αcos α＝tan α可以实现角α的弦切互化．(2)注意公式逆用及变形应用：1＝sin 2α＋cos 2α，sin 2α＝1－cos 2α，cos 2α＝1－sin 2α. (3)应熟练掌握齐次式问题求值，通过代数式变形，把所求值化为关于tan θ的齐次式，从而使问题得解.题型二 sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α “三姊妹”问题 例3 已知sin α＋cos α＝15，且α∈()0，π；求(1)sin α·cos α； (2)sin α－cos α； (3)tan α.解析 (1)因为sin α＋cos α＝15，所以(sin α＋cos α)2＝1＋2sin α·cos α＝(15)2，即2sin α·cos α＝－2425，所以sin α·cos α＝－1225.(2) 由sin α·cos α＝－1225可得(sin α－cos α)2＝1－2sin α·cos α＝1＋2425＝4925，又2sin α·cos α＝－2425<0,0<α<π，所以sin α>0，cos α<0，即sin α－cos α>0，故sin α－cos α＝4925＝75， (3)由⎩⎨⎧sin α＋cos α＝15，sin α－cos α＝75，得⎩⎨⎧sin α＝45，cos α＝－35，所以tan α＝－43.变式训练 已知sin θ＋cos θ＝23(0＜θ＜π)，求tan θ的值．解析 将已知等式两边平方，得sin θcos θ＝－718，∴π2＜θ＜π，∴sin θ－cos θ＝(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝43.解方程组⎩⎨⎧sin θ＋cos θ＝23，sin θ－cos θ＝43，得⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝2＋46，cos θ＝2－46，∴tan θ＝sin θcos θ＝－9－427.解题要点 对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，基本解题策略是借助方程思想，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二． 题型三 三角函数诱导公式的应用 例4 (1) cos ⎝⎛⎭⎫－523π＝________． (2) 已知cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝33，求cos ⎝⎛⎭⎫5π6－α＝________． 答案 (1)－12 (2) －33解析 (1) cos ⎝⎛⎭⎫－52π3＝cos 52π3＝cos(17π＋π3)＝－cos π3＝－12. (2) ∵⎝⎛⎭⎫π6＋α＋⎝⎛⎭⎫5π6－α＝π， ∴5π6－α＝π－⎝⎛⎭⎫π6＋α. ∴cos ⎝⎛⎭⎫5π6－α＝cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π6＋α＝－cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝－33，即cos ⎝⎛⎭⎫5π6－α＝－33. 变式训练 化简：tan (π－α)cos (2π－α)sin ⎝⎛⎭⎫－α＋3π2cos (－α－π)sin (－π－α).解析 原式＝－tan α·cos α·(－cos α)cos (π＋α)·(－sin (π＋α))＝tan α·cos α·cos α－cos α·sin α＝sin αcos α·cos α－sin α＝－1.解题要点 (1) 应熟练应用诱导公式．诱导公式的应用原则是：负化正、大化小、化到锐角为终了．诱导公式的应用是求任意角的三角函数值，其一般步骤：① 负角变正角，再写成2k π＋α(k ∈Z )，0≤α＜2π；② 转化为锐角．(2)要善于观察角度间的关系，注意“整体思想”的运用，适当将角变形，如化32π＋α为π＋⎝⎛⎭⎫π2＋α或2π－⎝⎛⎭⎫π2－α． (3)注意确定相应三角函数值的符号，另外切化弦是常用的规律技巧．当堂练习1．已知α是第二象限角，sin α＝513，则cos α＝________． 答案 －1213解析 ∵α是第二象限角，∴cos α＝－1－sin 2α＝－1－⎝⎛⎭⎫5132＝－1213. 2．若cos α＝13，α∈(－π2，0)，则tan α等于________．答案24解析 由已知得sin α＝－1－cos 2α＝－1－19＝－223， ∴tan α＝sin αcos α＝－2 2.3. 已知α是第四象限角，tan(π－α)＝512，则sin α等于________．答案 －513解析 由诱导公式可得：tan(π－α)＝－tan α，∴tan α＝－512，∴sin αcos α＝－512，又∵sin 2＋cos 2α＝1，α是第四象限角，∴sin α＝－513.4．若tan α＝3，则sin2αcos 2α的值等于________．答案 6 解析sin2αcos 2α＝2sin αcos αcos 2α＝2sin αcos α＝2tan α＝6. 5．已知sin 2α＝－2425，α∈⎝⎛⎭⎫－π4，0，则sin α＋cos α等于________． 答案 15解析 (sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝1＋sin2α＝125，又α∈⎝⎛⎭⎫－π4，0，sin α＋cos α>0， 所以sin α＋cos α＝15.课后作业一、 填空题1． tan150°的值为________． 答案 －33解析 tan150°＝tan(180°－30°)＝－tan30°＝－33. 2．已知α∈(π2，π)，tan α＝－34，则sin(α＋π)＝________．答案 －35解析 由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧sin αcos α＝－34sin 2α＋cos 2α＝1，由此解得sin 2α＝925，又α∈(π2，π)，因此有sin α＝35，sin(α＋π)＝－sin α＝－35.3．已知cos α＝－513，角α是第二象限角，则tan(2π－α)等于________．答案125解析 ∵cos α＝－513，α是第二象限角，∴sin α＝1－cos 2α＝1213，∴tan(2π－α)＝tan(－α)＝－tan α＝－sin αcos α＝125.4．α是第一象限角，tan α＝34，则sin α＝________．答案 35解析 tan α＝sin αcos α＝34，sin 2α＋cos 2α＝1，且α是第一象限角，所以sin α＝35.5．若cos α＝13，α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，则tan α等于________． 答案 －2 2解析 由已知得sin α＝－1－cos 2α＝－1－19＝－223，∴tan α＝sin αcos α＝－2 2. 6．若sin α＋cos αsin α－cos α＝12，则tan2α等于________．答案 34解析 ∵sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1＝12，∴tan α＝－3.∴tan2α＝2tan α1－tan 2α＝34. 7．已知sin θ＋cos θ＝43⎝⎛⎭⎫0<θ<π4，则sin θ－cos θ的值为________． 答案 －23解析 ∵sin θ＋cos θ＝43，∴(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin2θ＝169，∴sin2θ＝79，又0<θ<π4，∴sin θ<cos θ，∴sin θ－cos θ＝－(sin θ－cos θ)2＝－1－sin2θ＝－23. 8．已知tan θ＝2，则sin (π2＋θ)－cos (π－θ)sin (π2－θ)－sin (π－θ)＝________．答案 －2解析 sin (π2＋θ)－cos (π－θ)sin (π2－θ)－sin (π－θ)＝cos θ＋cos θcos θ－sin θ＝2cos θcos θ－sin θ＝21－tan θ＝21－2＝－2.9．如果sin(π＋A )＝12，那么cos(32π－A )的值是________．答案 12解析 ∵sin(π＋A )＝12，∴－sin A ＝12.∴cos(32π－A )＝－sin A ＝12.10．若sin θ＝－45，tan θ>0，则cos θ＝__________.答案 －35解析 ∵sin θ<0，tan θ>0，∴θ为第三象限角，∴cos θ＝－1－⎝⎛⎭⎫－452＝－35. 11．设θ为第二象限角，若tan(θ＋π4)＝12，则sin θ＋cos θ＝________.答案 －105解析 tan(θ＋π4)＝1＋tan θ1－tan θ＝12，解得tan θ＝－13，又θ位于第二象限得sin θ＝1010，cos θ＝－31010，所以sin θ＋cos θ＝－105. 二、解答题12． 若tan α＋1tan α＝3，计算下列各式的值：(1) sin αcos α; (2) tan 2α＋1tan 2α.解析 (1)∵tan α＋1tan α＝3，∴sin αcos α＋cos αsin α＝3，即sin 2α＋cos 2αsin αcos α＝3.∴sin αcos α＝13.(2) tan 2α＋1tan 2α＝⎝⎛⎭⎫tan α＋1tan α2－2tan α·1tan α＝9－2＝7.13．已知θ∈(0，π)，sin θ＋cos θ＝3－12，求tan θ的值． 解析 由sin θ＋cos θ＝3－12， 两边平方得sin θ·cos θ＝－34， ∴(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θ·cos θ＝1＋32＝4＋234＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋122. ∵θ∈(0，π)，sin θ＋cos θ＝12(3－1)<1，∴θ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴sin θ－cos θ>0，∴sin θ－cos θ＝3＋12.由⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＋cos θ＝3－12，sin θ－cos θ＝3＋12，得sin θ＝32，cos θ＝－12. ∴tan θ＝－ 3.。