计算思维与算法

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2 算法的概念、特性、表示等
算法的复杂性分析
渐进时间复杂性
大O记号
设函数T(n)和g(n)是定义在非负整数集合 上的正函数，如果存在一个自然数n0和正 常数c，使得当n≥n0时，有T(n)≤cg(n)， 则记为T(n)=O(g(n))，称为大O记号，称 O(g(n))是T(n)的上界。
高中数学3学过的：
➢ 顺序结构 ➢ 选择结构 ➢ 循环结构
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2 算法的概念、特性、表示等
要素
操作
控制结构
顺序结构
选择结构
循环结构
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2 算法的概念、特性、表示等
1 正确性 2 可读性
算法也是让人来阅读的，一个算法应当思路 清晰、层次分明、易读易懂。
可读性好的算法有助于调试程序、发现错误 和修改错误，以及有助于软件功能的维护和扩展。
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2 算法的概念、特性、表示等
算法的特性
1 有穷性
无限的操作步骤永远不能结束，这样的 算法是没有价值的。
2 确定性
例如,输出“成绩好的同学的姓名”,就是含 糊的、不确定的。“成绩好”的含义不明确。
3 可行性（有效性） 4 有零个或多个输入
算法中的每一个步骤都应当是可 行的、能够有效实现的。
T(n)=n+1+n(n+1)+n2+ n2(n+1)+n3=2n3+3n2+2n+1
在很多情况下，算法是比较复杂的，精确地计算T(n)是很困难的。
实际上，没有必要精确地计算T(n)，只要估计出一个算法的时间复杂 性（执行时间）的数量级，也就是阶，即可达到算法分析的目的。
用(Omicron)大O记号、小o记号、(Omega)Ω记号、(Theta))Θ记号来 表示算法的时间复杂性T(n)，称为算法的 “渐进时间复杂性” 。
例如，当y=0时，x/y是不可行的， 不能有效实现的。
5 有一个或多个输出
没有输出，无法知道算法执行的结果。 根据算法执行的操作毫无意义。
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2 算法的概念、特性、表示等
算法的表示
大家在高中“数学3”中学习了 算法的框图（流程图）表示法
例如：用流程图 表示的 求圆面积的算法。
还有其他的表示法
等式如： 一元二次方程的求根公式
图形如：欧拉对七桥问题 抽象出的图形
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2 算法的概念、特性、表示等
大家在高中“数学3”中学习了算法的概念
算法是求解问题的方法， 和为解决问题所使用的完整的 一步步的操作步骤或计算序列。
例如： 根据圆半径求解圆面积的算法是： 输入圆半径 → 由公式 s=πr2 计算圆面积 → 输出圆面积。
例如，两个变量a和b的值互换， 算法t=a;a=b;b=t;可读性好,容易理解； 算法a=a+b;b=a-b;a=a-b;可读性差,不易理解。
3 健壮性
健壮性是指算法对于非法的输入（即规范要 求以外的输入）的处理能力。
例如输入百分制成绩时，当输入的成绩<0或 >100时，能给出“输入错误！”的提示，并提示 重新输入的规模和 输入的数据的 状态
一个算法的时间复 杂性T(n)是问题规模 n的函数。 例如：
T(n)=n+1+n(n+1)+n2+ n2(n+1)+n3 =2n3+3n2+2n+1
空间复杂性
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2 算法的概念、特性、表示等
算法的复杂性分析
渐进时间复杂性
第3章 计算思维与算法
1 问题求解的计算思维过程 2 算法的概念和特性、表示、两个要素、评价、复杂性 3 算法设计及常用的算法设计策略 4 查找算法 5 排序算法
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0 算法导入
为了能用计算思维和计算机求解实际问题 我们需要学习算法
做事是讲究方法的 求解问题是讲究算法的 48 770 428 433 377 171→223 092 827
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1 问题求解的计算思维过程
需编写计算机程序求解问题的基本过程:
需要开发计算机软件求解问题的基本过程:
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1 问题求解的计算思维过程
什么是数学模型？
数学模型就是为了某种目的，用字母、数字及其他数学符 号建立起来的等式或不等式以及图形、图表、图像、框图 等描述客观事物特征及其内在联系的结构。
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优点： 1.形象直观，易于 理解； 2.可以很好地表达 计算机程序的顺序、 选择和循环三种基 本结构。 缺点：使用起来比 较费时。
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2 算法的概念、特性、表示等
算法的两个要素
要素
操作
控制结构
1.算术运算：加、减、乘、除等。 2.关系运算：大于、大于等于、小 于、小于等于、等于、不等于。 3.逻辑运算：与、或、非等。 4.数据传输：赋值、输入、输出等。
4 高效率和低存储量
人们总是希望一个算法既要执行时间 短，又要存储空间小。
有时候这是矛盾的。
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2 算法的概念、特性、表示等
算法的复杂性分析
时间复杂性 分析目的
影响因素 时间复杂性函数
算法的 复杂性
1.有多个算法时， 选择执行时间最少 的算法。 2.当有响应时间要 求时（例如地面遥 控人造卫星、空间 站等），分析算法 的执行时间，看是 否满足时间要求。
48 770 428 433 377 171→223 092 871
国王的婚姻：求大数的质因子 串行，并行 表明了算法的重要性、技巧性 时间复杂性 空间复杂性
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1 问题求解的计算思维过程
什么是问题求解？
问题求解就是寻找一种方法来实现目标。
例如国王的婚姻中求大数的质因子用试除法。
问题求解是一种艺术，没有一种通用的方法能够 求解所有问题。
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2 算法的概念、特性、表示等
算法的表示
1 自然语言法
求圆面积的算法。
（1）定义2个实型变量r、s。 （2）输入r的值。 （3）用公式s=3.141593*r*r 计算s的值。 （4）输出s的值。
优点： 通俗易懂。 缺点： 1.容易产生 “歧义性”； 2.难以描述 复杂的算法。
2 N-S图法 3 计算机语言表示法 4 伪代码法
有些问题有现成的求解方法， 而有些问题并不知道有没有现成的求解方法，
人们只能一次次地尝试可能的求解方法，直到找 到一种正确的求解途径。
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1 问题求解的计算思维过程
基于计算机的问题求解的关键之一是寻找一种问题 求解策略,得到问题求解的算法,从而得到问题的解。
问题解决的基本过程:
基于计算机的问题求解的基本过程(例如用Flash设计一段动画):