中山大学研究生入学考试数学分析试题解答

中山大学研究生入学考试数学分析试题解答

中山大学研究生入学考试数学分析试题解答.

科目代码：670

摘 要：本文给出了中山大学 研究生入学考试数学分析试题的一个参考答案. 关键词：中山大学；研究生 数学分析

白 建 超 5月30日

1.(每小题15分，共60分)计算下列各题:

(1) 0()sin x

d x t tdt dx -⎰

(2) 20sin 1cos x x dx x

π+⎰.

(3) 23123

lim n n n a a a a →∞⎛⎫++++ ⎪⎝

⎭L .

(4) 22()S

x y dS +⎰⎰,其中S 为立体221x y z +≤≤的边界曲面.

解(1) ()

00sin sin x x d

x tdt t tdt dx =

-⎰⎰原式 0

sin sin sin (cos )1cos x

x tdt x x x x

t x

=+-=-=-⎰

(2)首先做一下说明：对积分0

()a

f x dx ⎰做变换t x a =-，则

00

()()()a

a

a

f x dx f a t dt f a t dt =--=-⎰

⎰⎰，

因此

()

1

()()()2

a

a

a

f x dx f x dx f a x dx =

+-⎰

⎰

⎰.

故

2

220

00sin 1sin ()sin()21cos 1cos 1cos ()x x

x x x x dx dx dx x x x π

πππππ⎛⎫--=+ ⎪+++-⎝⎭

⎰

⎰⎰ 22001sin ()sin 21cos 1cos x x x x dx dx x x πππ-⎛⎫=+ ⎪++⎝⎭

⎰⎰ 0

2

sin arctan cos 221cos x dx x x

π

ππ

π=

=-+⎰

24

π=

(3)首先级数1

n

n n

x ∞

=∑

在1x >时收敛，因为由比值判别法的极限形式有 1111

lim lim 1n n n n

a n a n x x +→∞→∞+==<，即1x >，因此对1k k k a ∞

=∑，

当1a ≤时收敛，极限不存在，即发散；

当1a >时收敛，极限存在，记当1n

n k k k S a ==∑则1

21n n k k k

S a a

+==∑,两式相减解得

1111n n k n k a n S a a a +=⎛⎫=- ⎪-⎝⎭

∑. 又1111

lim

lim lim 0ln n x x n x x n x a a a a

+++→∞→∞→∞===,因此

2311123

1lim lim 1n n k n n n k n a n a a a a a a a +→∞→∞=⎛⎫⎛⎫++++=- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭

∑L

2

1

11(1)1a a a a a a

=

=--- (4)记上顶面为，221:1,1S z x y =+≤

锥面：22222:,1S z x y x y =++≤.

当1z =时，2211x

y z z ++=； 当22z x y =+，22

12x

y z z ++=.则 1

2

2

22222()()()S

S S x

y dS x y dS x y dS +=+++⎰⎰⎰⎰⎰⎰.

222222221

1

21

30

()2()(12)(12)

2

x y x y x y dxdy x y dxdy

d r dr

π

θπ

+≤+≤=

++

+=+=

+⎰⎰

⎰⎰

⎰⎰

2.(15分)考察函数2222(,)0

x y f x y x y ⎧-⎪=+⎨⎪⎩

2

2

22

,0,0x y x y +≠+=在点(0,0)的可微性.

解 本人感觉此题有问题，应该是