高考数学基础教材
人教部编版高中数学高考教材各章节必考知识详解
人教部编版高中数学高考教材各章节必考知识详解高中数学必修课本的学习顺序及内容学校学习必修课本的主流顺序是14523、12453。
同一城市不同学校的学习顺序并不一致，这取决于相应高中的教研组的安排。
（为给大家提供更精准的学习资料，可在留言区留言你所在学校数学教材的学习顺序）个别学校的顺序为13452，那可考虑秋季必修14的课程；个别学校的顺序为13245，那可考虑秋季必修1、2的课程。
必修3课本简单。
高中数学必修课本共有5本。
高一学完4本，高二前2个月再学1本。
必修1：集合、幂指对函数必修2：立体几何、平面解析几何（直线和圆）必修3：算法、统计、概率必修4：三角函数、平面向量、三角恒等变形必修5：解三角形、数列、不等式必修1课本是高中基础，学生需要适应高中更抽象、更复杂的学习方式。
必修2课本需要学生具有良好的空间想象能力和计算能力。
必修3课本知识点简单，学好必修3难度不大。
必修4课本和必修5课本，因三角函数而联系紧密。
必修4在高考中的考题难度一般，但竞赛自招对必修4要求高。
必修5课本很有难度，对解题技巧能力要求高。
1．集合（必修1）与简易逻辑，复数（选修）。
分值在10分左右（一两道选择题，有时达到三道），考查的重点是计算能力，集合多考察交并补运算，简易逻辑多为考查“充分与必要条件”及命题真伪的判别，复数一般考察模及分式运算。
2．函数（必修1指数函数、对数函数）与导数（选修），一般在高考中，至少三个小题一个大压轴题，分值在３０分左右。
以指数函数、对数函数、及扩展函数函数为载体结合图象的变换（平移、伸缩、对称变换）、四性问题（单调性、奇偶性、周期性、对称性）以选择题、填空题考查的主要内容，其中函数的单调性和奇偶性有向抽象函数发展的趋势。
压轴题，文科以三次函数为主，理科以含有ex ，lnx的复杂函数为主，以切线问题、极值最值问题、单调性问题、恒成立零点为设置条件，求解范围或证明结论为主。
3．立体几何（必修2）：分值在22分左右（两小一大），两小题以基本位置关系的判定与体积，内外截球，三视图计算为主，一大题以证明空间线面的位置关系和夹角计算为主，试题的命制载体可能趋向于不规则几何体，但仍以“方便建系”为原则。
浙江省高考高等数学教材
浙江省高考高等数学教材高等数学是浙江省高考的一门重要科目，也是学生备战高考的重点之一。
浙江省高考高等数学教材的编写是为了让学生掌握数学基础知识，培养解决实际问题的能力，提高数学思维和逻辑推理能力。
一、教材内容概述浙江省高考高等数学教材包括三个主要部分：必修部分、选修部分和实践部分。
1. 必修部分必修部分主要包括数列与数学归纳法、函数与极限、导数与微分、积分与定积分和常微分方程等知识点。
这些内容涵盖了高中数学基础，并深入了解了数学的各个领域，为学生打下坚实的数学基础。
2. 选修部分选修部分旨在拓展学生的数学知识面，为学生提供更加丰富的数学学习资源。
选修内容包括向量与立体几何、概率与统计、数理方程和数学模型等，这些内容与实际生活和科学研究密切相关，帮助学生更好地理解数学在各个领域的应用。
3. 实践部分实践部分的内容将数学与实际问题相结合，培养学生的实际动手能力和解决问题的能力。
实践内容包括数学建模与应用、计算机辅助数学学习、数学文化交流与探索等，帮助学生将数学理论与实践相结合，提高数学的实用性和应用能力。
二、教材特点和优势浙江省高考高等数学教材具有以下特点和优势：1. 凝练精简教材内容设计精练，突出了数学基本概念和重要定理，避免了内容的冗余和重复，提高学生学习的效率。
2. 举一反三教材注重培养学生的数学思维能力和解决问题的能力，通过大量的例题和习题训练，让学生能够灵活运用所学知识解决实际问题。
3. 应用导向教材内容紧密结合实际问题，让学生明确数学在实际生活中的应用价值，培养学生的数学建模和应用能力。
4. 综合素质培养教材内容不仅注重学生的数学学习，还注重培养学生的科学素养、创新思维和团队协作能力，以适应现代社会对人才的需求。
三、教材使用和评价浙江省高考高等数学教材应广泛应用于浙江省各高中的高等数学教学中。
学校应根据学生的实际情况，合理安排教材的使用进度和难度，确保教学效果。
教材的评价应综合考虑学生的学习效果和学生的反馈意见。
新高考数学教材有几本书,分别是什么
新高考数学教材有几本书,分别是什么新高考数学教材包括《集合与函数》《三角函数》《不等式》《数列》《复数》《排列、组合、二项式定理》《立体几何》《平面解析几何》、必修一到五、选修一到四。
新高考数学教材《集合与函数》《三角函数》《不等式》《数列》《复数》《排列、组合、二项式定理》《立体几何》《平面解析几何》、必修一到五、选修一到四。
1、《高中数学必修1》，即《普通高中课程标准实验教科书·数学必修1·A版》的简称）是2007年人民教育出版社出版的图书，是人民教育出版社课题材料研究所、中学数学课程教材研究开发中心。
该书是高中数学学习阶段顺序必修的第一本教学辅助资料。
2、《高中数学A版必修2》，是2007年9月由人民教育出版社出版的图书，是王申怀。
该书主要内容是认识空间图形，通过对空间几何体的整体把握，培养和发展空间想象能力。
3、《高中数学必修3》，是新课标高中数学必修系列的第3本书籍，分为A、B两版，由人民教育出版社出版发行。
本书主要内容是对算法，统计，概率知识的讲解与总结。
4、《高中数学必修4》，是2007年人民教育出版社出版图书，新课标教材，必修系列中第4本，普通高中课程标准实验教科书数学必修4A版。
5、《高中数学必修5》，是2006年人民教育出版社出版的图书。
本册教科书包括“解三角形”、“数列”、“不等式”等三章内容。
新高考数学教材的变化1、整体变化新教材的知识点设置倾向于国考大纲。
从使用新教材后的各区统考和全市月考的难度来看，2023年高考数学试卷难度大概率会有所增加，更接近全国试卷。
2、必修一反函数部分在新教材中标记为星号，不再作为考察点。
3、必修二旧教材教三角函数和数列，新教材教三角函数、复数和向量。
三角函数变化不大，增加了和差和和差的乘积公式(原教材中没有涉及，但考试中会用到，影响不大)。
在复数部分，新教材增加了复数的三角表示和径向角的主值，这意味着在大题中可以直接使用复数的三角表示。
数学高考知识点书籍分类
数学高考知识点书籍分类在备战高考的过程中，选择合适的参考书籍是非常重要的一步。
而对于数学科目来说，掌握关键的知识点是取得高分的关键。
下面将为大家介绍数学高考知识点书籍分类，帮助大家更好地选择适合自己的参考书。
一、基础知识类书籍基础知识类书籍是数学学习的第一步，适合初学者入门。
这类书籍主要讲解数学的基本概念、公式和计算方法，帮助学生打下坚实的基础。
1.《高中数学基础知识》这本书是一本综合性的高中数学基础知识教材，包含了数学的各个方面，如代数、几何、概率等。
适合初学者进行系统的学习。
2.《高中数学常用公式与定理速查手册》这本手册是高中数学常用公式和定理的速查工具，适合复习和记忆。
学生可以通过查找相关公式和定理，加深对数学知识的理解。
二、提高类书籍提高类书籍适合已经掌握基本知识的学生，通过深入学习和练习，进一步提高自己的数学水平。
1.《高中数学思维拓展与能力训练》这本书主要针对数学思维能力的提高进行训练，包含了各种数学思维能力的培养方法和例题等。
学生可以通过这本书提高自己的解题能力。
2.《高中数学题海战术：习题精讲与归纳总结》这本书是一本习题集，包含了高考中常见的各种题型，提供了详细的解题思路和方法。
学生可以通过大量练习，掌握解题技巧，提高应试能力。
三、综合类书籍综合类书籍综合了各个知识点，并提供了例题和习题，适合复习和系统回顾。
1.《高中数学考点精讲》这本书按照高考数学各个知识点进行分类，每个知识点都提供了详细的讲解和例题，适合复习和查漏补缺。
2.《高中数学强化训练》这本书提供了大量的应试题，包括选择题、填空题和解答题等，内容丰富。
学生可以通过这本书进行综合复习，提高解题速度和水平。
总结：选择适合自己的数学高考知识点书籍是提高数学成绩的重要一环。
不同类型的书籍有不同的特点，学生可以根据自己的需要和基础情况选择适合自己的参考书。
在学习过程中，要注重理解和练习，并通过不断的积累和总结，提高自己的数学思维能力和解题能力。
高考数学 第二节 等差数列教材
第二节 等差数列考 点 串 串 讲1．等差数列的定义以及判定方法 (1)等差数列的定义如果数列{an}满足：从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数(用d 表示)，就称这个数列为等差数列．常数d 叫做这个等差数列的公差，即an ＋1－an ＝d. 对于等差数列定义需注意：①在等差数列的定义中，要强调“从第二项起”，因为第一项没有前一项；②要强调“同一个常数”，这五个字体现了等差数列的基本特征．如果某几项破坏了这一规律，尽管其他项都满足，那么这个数列也不是等差数列．③要强调公差d ＝an ＋1－an(n ∈N ＋)，防止把被减数与减数弄颠倒． ④由定义可知有了某一项和公差，则这个等差数列就被完全确定． (2)等差数列的判定方法①定义法：an ＋1－an ＝d(常数)⇔{an}是等差数列．②中项公式法：2an ＋1＝an ＋an ＋2(n ∈N*)⇔{an}是等差数列． ③通项公式法：an ＝pn ＋q(p ，q 为常数)⇔{an}是等差数列．④前n 项和公式法：Sn ＝An2＋Bn(A ，B 为常数)⇔{an}是等差数列． 2．等差数列的通项公式已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d ，则等差数列{an}的通项公式为 an ＝a1＋(n －1)d(n ∈N ＋)．①若已知等差数列{an}的第m 项为am ，公差为d ，则等差数列{an}的通项公式为 an ＝am ＋(n －m)d(n ，m ∈N ＋)．② 3．等差数列的前n 项和公式已知等差数列{an}的首项为a1，第n 项为an.则前n 项和Sn ＝a1＋a2＋…＋an ＝na1＋an2.① 若已知首项a1和公差d ，则 Sn ＝na1＋12n(n －1)d.②若已知末项an 和公差d ，则 Sn ＝nan －12n(n －1)d.③说明 ①等差数列的求和公式是通过倒序相加法求得的．②在等差数列的五个量：a1，an ，n ，d ，Sn 中，只要已知其中的三个量就可求出其余的两个量． 4．用函数的观点审视等差数列(1)等差数列的通项公式an ＝a1＋(n －1)d 可以化为an ＝dn ＋a1－d ，进一步可表示为an ＝dn ＋b(这里b ＝a1－d ，a1是首项，d 为公差)．①若d ＝0，则an ＝a1.等差数列{an}为常数列，图象为平行于x 轴的直线y ＝a1上的横坐标为正整数的一些孤立点，如图所示．②若d≠0，则等差数列{an}的图象为直线y ＝dx ＋b 上的横坐标为正整数的一些孤立点． 特别地，由通项公式得 d ＝an －am n －m ＝f n －f m n －m.这就是解析几何中的斜率公式，因此公差d 是直线y ＝dx ＋b 的斜率． 由斜率的意义可知：当d ＞0时，{an}为递增的等差数列；如图1所示，当d ＜0时，等差数列{an}单调递减．如图2所示．(2)由Sn ＝na1＋12n(n －1)d 得Sn ＝d 2n2－12(d －2a1)n.∴当d≠0时，等差数列的前n 项和Sn 是n 的二次函数．其图象是抛物线y ＝d 2x2－12(d －2a1)x 上横坐标为正整数的一些孤立点．特别地当d ＞0时，这些点都分布在开口向上、对称轴为x ＝d －2a12d的抛物线上，如图3所示．当d ＜0时，这些点都分布在开口向下，对称轴为x ＝d －2a12d的抛物线上，如图4所示．由此可知，当d ＞0时Sn 存在最小值，当d ＜0时，Sn 存在最大值．5．等差中项的定义和性质(1)定义：三个数a 、b 、c 成等差数列，则b 为a 和c 的等差中项． (2)性质：a 、b 、c 成等差数列的充要条件是b ＝a ＋c2.说明：这一性质不仅描述了成等差数列的三个数之间的一种数量关系，而且指明了等差中项就是另外两个数的算术平均数．根据这一性质还可以作出以下两个推论．推论1：在等差数列{an}中，有an －1＋an ＋1＝2an(n≥2)．推论2：在等差数列{an}中，若m ，n ，p 成等差数列，则am ＋ap ＝2an.说明：推论1指的是等差数列中的连续三项an －1，an ，an ＋1，根据性质显然an 是an －1与an ＋1的等差中项．在推论2中，m ，n ，p 成等差数列．根据等差数列的等距性，am ，an ，ap 也成等差数列．所以由性质可知am ＋ap ＝2an.(3)三个数成等差数列一般设为：a －d ，a ，a ＋d ；四个数成等比数列一般设为a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d. 6．等差数列的性质(1)若公差d ＞0，则此数列为递增数列；若d ＜0，则此数列为递减数列；若d ＝0，则此数列为常数列．(2)有穷等差数列中，与首末两项距离相等的两项和相等．并且等于首末两项之和；特别地，若项数为奇数，还等于中间项的2倍，即a1＋an ＝a2＋an －1＝a3＋an －2＝…＝2a 中．(3)若m ，n ，p ，k ∈N*，且m ＋n ＝p ＋k ，则am ＋an ＝ap ＋ak ，其中am ，an ，ap ，ak 是数列中的项．特别地，当m ＋n ＝2p 时，有am ＋an ＝2ap.这条性质，还可以推广到有三项、四项……的情形．使用该性质时，一要注意等式两边下标和相等，二要注意等式两边和的项数应是一样多的．(4)在等差数列中，每隔相同的项抽出来的项按照原来顺序排列，构成的新数列仍然是等差数列．但剩下的项按原顺序构成的数列不一定是等差数列．(5)等差数列中连续几项之和构成的新数列仍然是等差数列．(6)若数列{an}与{bn}均为等差数列，则{man ＋kbn}仍为等差数列．其中m ，k 均为常数．(7)若{an}成等差数列，且Sn 为其前n 项的和，则Sm ，S2m －Sm ，S3m －S2m ，…成等差数列． (8)项数为偶数2n 的等差数列{an}，有S2n ＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an ＋an ＋1)(an 与an ＋1为中间的两项)； S 偶－S 奇＝nd ；S 奇S 偶＝anan ＋1.项数为奇数(2n －1)的等差数列{an}，有 S2n －1＝(2n －1)an(an 为中间项)； S 奇－S 偶＝an ；S 奇S 偶＝nn －1.S 奇、S 偶分别为数列中所有奇数项的和与所有偶数项的和．(9)在等差数列中，若ap ＝q ，aq ＝p ，则ap ＋q ＝0；若Sm ＝n ，Sn ＝m ，则Sm ＋n ＝－(m ＋n).典 例 对 对 碰题型一 求等差数列的基本量 例1在等差数列{an}中，(1)已知a15＝33，a45＝153，求a61； (2)已知S8＝48，S12＝168，求a1和d ； (3)已知a6＝10，S5＝5，求a8和S8.解析 (1)解法一：设首项为a1，公差为d ，依条件，得⎩⎪⎨⎪⎧ 33＝a1＋14d ，153＝a1＋44d ，解方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧a1＝－23，d ＝4，∴a61＝－23＋(61－1)×4＝217. 解法二：由d ＝an －am n －m ，得d ＝a45－a1545－15＝153－3330＝4，由an ＝am ＋(n －m)d ，得a61＝a45＋16d ＝153＋16×4＝217. (2)∵Sn ＝na1＋12n(n －1)d ，∴⎩⎪⎨⎪⎧8a1＋28d ＝48，12a1＋66d ＝168， 解方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧ a1＝－8，d ＝4.(3)∵a6＝10，S5＝5，∴⎩⎪⎨⎪⎧a1＋5d ＝10，5a1＋10d ＝5，解方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧a1＝－5，d ＝3，∴a8＝a6＋2d ＝10＋2×3＝16，S8＝8a1＋a82＝44.变式迁移1在等差数列{an}中，S10＝120，那么a1＋a10的值是( ) A ．12 B ．24 C ．36 D ．48 答案 B解析 根据已知条件10a1＋10×92d ＝120， 即2a1＋9d ＝24，∴a1＋a10＝2a1＋9d ＝24.题型二 等差数列的判定例2两个数列{an}和{bn}满足bn ＝a1＋2a2＋…＋nan1＋2＋…＋n求证：(1)若{bn}为等差数列，数列{an}也是等差数列； (2)(1)的逆命题也成立．证明 (1)由已知得a1＋2a2＋…＋nan ＝12n(n ＋1)bn ，a1＋2a2＋…＋(n ＋1)an ＋1＝12(n ＋1)(n ＋2)·bn ＋1，∴an ＋1＝12(n ＋2)bn ＋1－12n·b.∴an ＋1－an ＝32(bn ＋1－bn)为常数，∴{an}为等差数列．(2)逆命题：两个数列{an}和{bn}满足bn ＝a1＋2a2＋…＋nan1＋2＋…＋n ，若{an}为等差数列，则{bn}也为等差数列．由已知得an ＝12(n ＋1)bn －12(n －1)·bn －1，an ＋1＝12(n ＋2) ·bn ＋1－12n·bn ，∴an ＋1－an ＝32(bn ＋1－bn)为常数，∴bn ＋1－bn ＝23(an ＋1－an)为常数，∴数列{bn}也为等差数列．点评 本例是数列与四种命题的综合题，本题的关键有二：一是用定义证明等差数列，二是逆命题与原命题的关系.变式迁移2在数列{an}中，a1＝1，且an ＝2S2n 2Sn －1(n≥2)．证明数列{1Sn }是等差数列，并求Sn.解析 由已知得Sn －Sn －1＝2S2n2Sn －1.去分母得(2Sn －1)(Sn －Sn －1)＝2S2n ，Sn －1－Sn ＝2SnSn －1，两边同除以SnSn －1， 得1Sn －1Sn －1＝2. ∴{1Sn }是以1S1＝1a1＝1为首项、2为公差的等差数列，故 1Sn ＝1S1＋(n －1)·2＝2n －1(n≥2)． 经验证n ＝1时也成立，所以Sn ＝12n －1 (n ∈N*).题型三 等差数列的性质及应用例3已知两个等差数列{an}，{bn}的前n 项和分别为An ，Bn ，且An Bn ＝7n ＋45n ＋3，则使得anbn 为整数的正整数n的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析 ∵A2n －1B2n －1＝2n －1a1＋a2n －122n －1b1＋b2n －12＝2an 2bn ＝anbn ， ∴an bn ＝A2n －1B2n －1＝72n －1＋452n －1＋3＝7n ＋19n ＋1＝7＋12n ＋1，∴当n ＝1,2,3,5,11时，anbn为整数，故选D.答案 D点评 对等差数列性质的考查是高考的重点，解题的关键是要敏锐地观察出题中各项的脚标间的数量关系，本题只有深入理解Sn 公式中隐含的性质，才能灵活地利用S2n －1公式中的a1＋a2n －1与an 的关系.变式迁移3已知方程(x2－2x ＋m)(x2－2x ＋n)＝0的四个根组成一个首项为14的等差数列，则|m －n|等于( )A ．1 B.34C.12D.38 答案 C解析 设a1＝14，a2＝14＋d ，a3＝14＋2d ，a4＝14＋3d ，而方程x2－2x ＋m ＝0的两根之和为2，x2－2x ＋n ＝0的两根之和也是2.∴a1＋a2＋a3＋a4＝1＋6d ＝4，∴d ＝12.即|m －n|＝|14×74－34×54|＝12.题型四 等差数列的前n 项和的性质例4已知{an}为等差数列，Sn ＝m ，Sm ＝n ，其中m≠n ，m ，n ∈N*，求Sm ＋n.分析 分析1：由已知，可设等差数列的基本量a1，d ，据Sn ＝m 与Sm ＝n ，列方程组求出a1，d ，再代入前n 项和公式求Sm ＋n.分析2：根据等差数列前n 项和公式为不含常数项的二次函数关系式，因此可设Sn ＝An2＋Bn ，据Sm 与Sn 列方程组建立A 与B 的关系，再求Sm ＋n.分析3：从前n 项和的定义Sn ＝a1＋a2＋…＋an 入手，结合等差数列的性质：当m ＋n ＝p ＋q 时，有am ＋an ＝ap ＋aq(m ，n ，p ，q 均为正整数)来求解． 解析 解法一：设首项为a1，公差为d ，则⎩⎨⎧m ＝na1＋n n －12d ，n ＝ma1＋mm －12d ，解得⎩⎨⎧a1＝n2＋m2＋mn －m －nmn，d ＝－2m ＋nmn .∴Sm ＋n ＝(m ＋n)a1＋m ＋nm ＋n －12d＝－(m ＋n)．解法二：设Sx ＝Ax2＋Bx ，则⎩⎪⎨⎪⎧Am2＋Bm ＝n ， ①An2＋Bn ＝m ， ② ①－②得A(m2－n2)＋B(m －n)＝n －m ， ∵m≠n ，∴A(m ＋n)＋B ＝－1，∴Sm ＋n ＝A(m ＋n)2＋B(m ＋n)＝－(m ＋n)． 解法三：Sm －Sn ＝n －m ＝an ＋1＋an ＋2＋…＋am ＝m －n2·(an ＋1＋am)． ∴an ＋1＋am ＝a1＋an ＋m ＝－2， ∴Sm ＋n ＝－(m ＋n)．点评 涉及等差数列的前n 项和的问题，一般思路是从前n 项和公式入手，设基本量，列方程组解基本量，若考虑数列的函数特征，也可以设Sn ＝An2＋Bn ，而解法三是利用了等差数列的基本性质.变式迁移4等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项和与奇数项和之比为32:27，求公差d. 解析 ⎩⎪⎨⎪⎧S 奇＋S 偶＝354，S 偶S 奇＝3227.∴⎩⎪⎨⎪⎧S 奇＝162，S 偶＝192. 又S 偶－S 奇＝30＝6d ，∴d ＝5.题型五 等差数列前n 项和的最值问题例5等差数列{an}中，a1＝25，S17＝S9，问数列前多少项的和最大，并求此最大值．解析 解法一：⎩⎪⎨⎪⎧a1＝25，S17＝S9.则17a1＋17×162d ＝9a1＋9×82d ，d ＝－2.从而Sn ＝25n ＋nn －12(－2)＝－(n －13)2＋169. 故前13项的和最大，最大值是169. 解法二：Sn ＝d 2n2＋(a1－d2)n (d ＜0)．Sn 的图象是开口向下的抛物线上一群离散的点，最高点的纵坐标为9＋172，即S13最大(如图)．由解法一知，a1＝25，d ＝－2. ∴S13＝169.点评 数列是特殊的函数．以上两种解题思路均是转化为函数中求最值的方法，即利用单调性、配方转化为二次函数以及数形结合等．还可根据an≥0且an ＋1≤0求出n 值.变式迁移5设等差数列{an}的前n 项和为Sn ，已知a3＝12，S12＞0，S13＜0. (1)求公差d 的取值范围；(2)指出S1、S2、…、S12中哪一个值最大，说明理由．解析 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧a3＝a1＋2d ＝12，S12＝12a1＋12×112d ＞0，S13＝13a1＋13×122d ＜0，得－247＜d ＜－3.(2)∵S12＝6(a1＋a12)＝6(a6＋a7)＞0， S13＝13a1＋a132＝13a7＜0，∴a6＞0且a7＜0，故S6最大．【教师备课资源】题型六 两等差数列中的公共项问题例6两个等差数列{an}：5,8,11，…和{bm}：3,7,11，…都有100项，问它们有多少个共同的项． 解析 解法一：∵an ＝5＋(n －1)×3＝3n ＋2， bm ＝3＋(m －1)×4＝4m －1，∴两数列共同的项需3n ＋2＝4m －1， ∴n ＝43m －1，而n ∈N*，m ∈N*∴设m ＝3r(r ∈N*)，得n ＝4r －1.⎩⎪⎨⎪⎧1≤3r≤100，1≤4r －1≤100. ∴1≤r≤25，∴共有25个共同的项．解法二：设两数列共同项组成新数列{Cn}，则C1＝11， 又an ＝3n ＋2，bm ＝4m －1，由题意知{Cn}为等差数列，且公差d ＝12， ∴Cn ＝11＋(n －1)×12＝12n －1. 又∵a100＝302，b100＝399，∴Cn ＝12n －1≤302，由n ∈N*得n≤25， ∴两数列有25个共同的项．点评 可以看出，新数列的公差应是原来两数列的公差的最小公倍数.变式迁移6在[1000,2000]内能被3整除且被4除余1的整数共有多少个？解析 设{an}为[1000,2000]内能被3整除且被4除余1的整数由小到大组成的数列， 由题意知{an}为等差数列，且首项a1＝1005，公差d ＝12， ∴an ＝1005＋(n －1)×12＝12n ＋993. ∵an≤2000，即12n ＋993≤2000， 解得n≤831112，由n ∈N*得n≤83，∴数列项数为83，即符合题意的整数共有83个.题型七 数据表中的等差数列 例7在下表所示的5×5正方形的25个空格中填入正整数，使得每一行，每一列都成等差数列，则标有*号的空格中的数是________.*742y 186 y 103 0x2x解析 记aij 为从上到下第i 行，从左到右第j 列的空格中所填的数，则a52＝x ，a41＝y.由第3行得a33＝2y ＋1862，由第3列得a33＝2×103－2x ，所以2x ＋y ＝113. ① 由第2行得a23＝2×74－3y ，由第3列得a23＝2a33－103＝3×103－4x ，所以148－3y ＝3×103－4x ， 整理得4x －3y ＝161. ② 联立①②解得x ＝50，y ＝13. 所以a15＝2×186－a55＝2×186－4x ＝172， a13＝2a33－a53＝112，故a14＝a13＋a152＝142.答案 142点评 数据表数列问题均有一 定的规律，破解数据表数列问题的关键就是要能够敏锐地捕捉数据表数列分组信息中的规则，合理巧妙地运用由特殊到一般及由一般到特殊的思想解决问题.变式迁移7下表给出一个“ 4 7 () () () … a1j … 7 12 () () () … a2j … () () () () () … a3j … () () () () () … a4j … … … … … … … … … ai1 ai2 ai3 ai4 ai5 … aij … …………………(1)写出a45的值；(2)写出aij 的计算公式；(3)证明：正整数N 在该等差数阵中的充要条件是2N ＋1可以分解成两个不是1的正整数之积． 解析 (1)该等差数阵的第一列是首项为4，公差为3的等差数列，∴a41＝4＋3×(4－1)＝13，第二列是首项为7，公差为5的等差数列，∴a42＝7＋5×(4－1)＝22，故第四行是首项为13，公差为9的等差数列，∴a45＝13＋9×(5－1)＝49.(2)该等差数阵的第一行是首项为4，公差为3的等差数列，∴a1j ＝4＋3(j －1)，第二行是首项为7，公差为5的等差数列，∴a2j ＝7＋5(j －1)，…，第i 行是首项为4＋3(i －1)，公差为2i ＋1的等差数列，因此aij ＝4＋3(i －1)＋(2i ＋1)(j －1)＝2ij ＋i ＋j ＝i(2j ＋1)＋j.(3)证明：必要性：若N 在该等差数阵中，则存在正整数i ，j 使得N ＝i(2j ＋1)＋j ，从而2N ＋1＝2i(2j ＋1)＋2j ＋1＝(2i ＋1)(2j ＋1)，即正整数2N ＋1可以分解成两个不是1的正整数之积． 充分性：若2N ＋1可以分解成两个不是1的正整数之积，由于2N ＋1是奇数，则它必为两个不是1的奇数之积，即存在正整数k ，l ，使得2N ＋1＝(2k ＋1)(2l ＋1)，从而N ＝k(2l ＋1)＋l ＝akl ，可见N 在该等差数阵中．综上所述，正整数N 在该等差数阵中的充要条件是2N ＋1可以分解成两个不是1的正整数之积.方 法 路 路 通1．通项公式与前n 项和公式联系着五个基本量a1、d(或q)、n 、an 、Sn.“知三求二”是一类最基本的运算题．方程观点是解决这类问题的基本数学思想和方法．2．判断一个数列是等差数列或等比数列，常用的方法是这两类数列的定义．特别地，当判断三个实数a ，b ，c 成等差数列时，常用a ＋c ＝2b.3．在求等差数列前n 项和的最大(小)值时，常利用函数的思想和方法加以解决． 4．数列{an}为等差数列，前n 项和为Sn ，数列{|an|}的前n 项和为Tn. ①若ak ＞0，ak ＋1＜0，即先正后负，则Tn ＝⎩⎪⎨⎪⎧Sn n≤k2Sk －Sn ， n≥k ＋1.②若ak ＜0，ak ＋1＞0，即先负后正，则Tn ＝⎩⎪⎨⎪⎧－Sn n≤kSn －2Sk ， n≥k ＋1.5．两等差数列间的关系若{an}，{bn}分别是公差为d1和d2的等差数列，则 ①设它们的前n 项和分别是Sn 和Tn ， 则有an bn ＝S2n －1T2n －1②数列{k1an ＋k2bn}(其中k1、k2为常数)是公差为k1d1＋k2d2的等差数列.正 误 题 题 辨例已知数列{an}的通项公式是an ＝4n －25，求数列{|an|}的前n 项和． 错解 错解一：∵an ＝4n －25 an ＋1＝4(n ＋1)－25 an ＋1－an ＝4 a1＝4×1－25＝－21所以，数列{an}是以－21为首项，以4为公差的等差数列．从而可得数列{|an|}是以21为首项，以－4为公差的等差数列，其前n 项和Sn ＝21n ＋n n －12×(－4)＝－2n2＋23n错解二：an ＝4n －25；an ＋1＝4(n ＋1)－25；an ＋1－an ＝4；a1＝4×1－25＝－21. 所以数列{an}是以－21为首项，以4为公差的递增等差数列．令⎩⎪⎨⎪⎧an ＝4n －25＜0 ①an ＋1＝4n ＋1－25≥0 ② 由①得n ＜614由②得n≥514所以n ＝6即数列{an}的前6项为负值，从第7项起以后各项均为非负值． 所以数列{|an|}的前6项是首项为21，公差为－4的等差数列，从第7项起以后各项构成公差为4的等差数列． |a7|＝a7＝4×7－25＝3所以数列{|an|}的前n 项和为 ⎩⎨⎧21n ＋n n －12－4 n≤63n ＋n n －12×4 n≥7＝⎩⎪⎨⎪⎧－2n2＋23n n≤62n2＋n n≥7点击 错解一中把数列{an}各项的符号都看成了负号，事实上是不可能的，因为首项为负，而公差为正．错解二对数列前n 项和Sn 的含义认识不深刻，得出数列{|an|}前n 项和的表达式，当n≥7时的情况，忽略了数列的前6项，因而导致错误． 正解 an ＝4n －25 an ＋1＝4(n ＋1)－25 an ＋1－an ＝4 a1＝4×1－25＝－21.所以数列{an}是以－21为首项，以4为公差的递增等差数列．令⎩⎪⎨⎪⎧an ＝4n －25＜0 ①an ＋1＝4n ＋1－25≥0 ② 由①得n ＜614；由②得n≥514所以n ＝6即数列{|an|}的前6项是以21为首项，公差为－4的等差数列，从第7项起以后各项构成公差为4的等差数列． 而|a7|＝a7＝4×7－25＝3设{an}和{|an|}的前n 项和分别为Sn 、Tn 则Tn ＝⎩⎨⎧21n ＋n n －12×－4 n≤6－S6＋3n －6＋n －6n －72×4n≥7＝⎩⎪⎨⎪⎧－2n2＋23n n≤62n2－23n ＋132 n≥7。
2023高考数学基础知识综合复习第18讲简单几何体的表面积与体积 课件(共24张PPT)
(2)旋转体的形成
几何体
旋转图形
圆柱
矩形
旋转轴
矩形一边所在的直线
圆锥
直角三角形
一直角边所在的直线
圆台
直角梯形或等腰梯形
球
半圆或圆
直角腰所在的直线或等腰梯形
上下底中点连线所在的直线
直径所在的直线
2.空间几何体的直观图
空间几何体的直观图常用斜二测画法来画,其画法步骤为:
①画轴:在平面图形上取互相垂直的x轴和y轴,作出与之对应的x'轴
3
4
3 = .故选 D.
考点一
考点二
考点三
本题考查四面体的体积的最大值的求法,涉及空间中线线、线面、
面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,属于难题.处理
此类问题时,往往先去找到不变的量,再根据题中的所给条件的变
化规律找到最值,从而得到体积的最值.
和y'轴,使得它们正方向的夹角为45°(或135°);
②画线(取长度):平面图形中与x轴平行(或重合)的线段画出与x'轴
平行(或重合)的线段,且长度不变,平面图形中与y轴平行(或重合)的
线段画出与y'轴平行(或重合)的线段,且长度为原来长度的一半;
③连线(去辅助线):连接有关线段,擦去作图过程中的辅助线.
径,从而进一步求解.
考点一
考点二
考点三
◆角度3.体积最值问题
例5(1)(2019年1月浙江学考)如图,线段AB是圆的直径,圆内一条动
弦CD与AB交于点M,且MB=2AM=2,现将半圆沿直径AB翻折,则三
棱锥C-ABD体积的最大值是(
)
2
3
1
3
A.
2024版高考数学一轮复习教材基础练第四章三角函数与解三角形第五节解三角形教学课件
三角形中的常见结论
+
π
（1）在 <
△ <
>
m
>中，
/m
<
> + + = π<
m
>.变形: <
/m
>2 = 2 − 2<
m
>.
/m
（2）在 <
△ <
>
m
>中，
/m
<
> > ⇔ > ⇔ sin > sin ⇔ cos < cos <
m
>.
m
>.
/m
（7）在 <
△ <
>
> = cos + cos <
m
>； <
/m
= cos + cos <
>
m
>； <
/m
= cos + cos <
>
m
>（射影定理）.
/m
教材素材变式
多维变式，夯基础
教材素材变式
1. 在△ABC中,内角A,B,C对应的边分别为a,b,c,根据下列条件解三角形,其中有两解的是
第五节
解三角形
知识点44：利用正弦定理、余弦定理解三角形
教材知识萃取
在△ABC中,设角A,B,C所对的边分别是a,b,c,R为△ABC的外接圆半径.
定理
内容
常见变形
正弦定理
余弦定理
a2=b2+c2-2bccos A;b2=a2+c2-2accos B;c2=a2+b2-2abcos C.
数学知识点教辅推荐高三
数学知识点教辅推荐高三数学是一门抽象而又实用的学科，在高三阶段，数学的学习显得尤为重要。
掌握扎实的数学基础和一些解题技巧，对于高考的取得好成绩至关重要。
为了帮助高三学生更好地备考，下面给出一些数学知识点教辅推荐。
一、高中数学教材高中数学教材是学习数学的基本资料，建议选择国家教育部编写的正式教材，如人民教育出版社或人民邮电出版社出版的《高中数学必修一至三》。
这些教材内容系统、严谨，有助于学生理解和巩固数学知识。
二、习题集习题是巩固和应用数学知识的重要方式，因此，选择适合高三学生的习题集也非常重要。
以下推荐几本优秀的习题集供参考：1. 人教版高中数学习题集这套习题集由人民教育出版社编写，包括各个知识点的典型例题和习题。
习题难度适中，有助于复习和巩固知识。
2. 高考数学一轮复习全程冲刺题集这本习题集编写针对高考，专门针对高考的题型和难度进行设计，覆盖了高考数学的各个知识点。
适合高三学生练习和模拟考试。
3. 顶级名师教你搞定高中数学这本习题集由知名数学培训机构编写，题目难度较大，涵盖了高中数学各个知识点的重点和难点。
对于有一定数学基础的学生，可以挑战一下。
三、教辅资料除了教材和习题集，一些优秀的教辅资料也能帮助高三学生更好地理解数学知识和解题技巧。
以下是一些值得推荐的教辅资料：1. 《高中数学解题技巧与方法》这本教辅资料由数学教育专家编写，以解题技巧和方法为重点，详细介绍了各种常见数学问题的解题思路和方法。
对于提高解题能力有很大帮助。
2. 《高中数学备考指南》这本教辅资料总结了历年高考数学试题的重点和难点，对于高三学生备考有很大帮助。
书中还包含了解题思路、解题技巧以及一些常见错误的避免方法，是一本很实用的备考指南。
3. 《高中数学常识手册》这本手册罗列了高中数学各个知识点的公式、定理和定义，对于学生查漏补缺非常有帮助。
在备考阶段，可以随时翻阅，加深对数学知识的记忆和理解。
总结：数学是需要勤加练习和巩固的学科，通过选择适合的教辅材料，掌握数学的基础知识和解题技巧，相信高三学生能够在高考中取得优异的成绩。
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第1节 常见不等式及其解法1．一元一次不等式的解法不等式ax ＞b (a ≠0)的解集为：当a ＞0时，解集为{x |x ＞b a }．当a ＜0时，解集为{x |x ＜ba}．的情形，以便确定解集的形式．解集是解的集合，故一元二次不等式的解集一定要写成集合或区间的形式！！解不等式（高中我们能遇到的所有不等式）的通用步骤：①解方程②画图像③写解集 例1．解下列不等式：(1)2x 2＋7x ＋3＞0； (2)x 2－4x －5≤0； (3)－4x 2＋18x －814≥0；(4)－12x 2＋3x －5＞0；(5)－2x 2＋3x －2＜0；(6)已知关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ＜0的解集为{x |1＜x ＜2}，求关于x 的不等式bx 2＋ax ＋1＞0的解集．例2．解下列不等式： (1)x ＋23－x ≥0； (2)2x －13－4x>11．已知集合P ＝{x |x 2－x －2≤0}，Q ＝{x |log 2(x －1)≤1}，则(?R P )∩Q ＝( )A ．[2,3]B ．(－∞，1]∪[3，＋∞)C ．(2,3]D ．(－∞，－1]∪(3，＋∞)2．设a >0，不等式－c <ax ＋b <c 的解集是{x |－2<x <1}，则a ∶b ∶c ＝( )A ．1∶2∶3B ．2∶1∶3C ．3∶1∶2D ．3∶2∶1 3．(2013·高考江西卷)下列选项中，使不等式x ＜1x＜x 2成立的x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(－1,0)C ．(0,1)D ．(1，＋∞)4．若不等式mx 2＋2mx －4＜2x 2＋4x 对任意x 均成立，则实数m 的取值范围是( )A ．(－2,2]B ．(－2,2)C ．(－∞，－2)∪[2，＋∞)D ．(－∞，2]5．解下列不等式214x +≥1213x <-<6．解下列方程组213211x y x y +=⎧⎨-=⎩2214x y x y +=⎧⎨+=⎩22112y x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩第2节 高考数学中的运算——对数运算对数的概念 (1)对数的定义：如果a x ＝N (a >0且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数（真数必为正数）．当a ＝10时叫常用对数，记作x ＝lg N ；当a ＝e 时叫自然对数，记作x ＝ln N ．(2)对数的常用关系式(a ，b ，c ，d 均大于0且不等于1)： ①log a 1＝0．②log a a ＝1，m a ma =log③对数恒等式：a log aN ＝N ．④换底公式：log a b ＝log c blog c a ，推广log a b ＝1log b alog a b ·log b c ·log c d ＝log a d ．(3)对数的运算法则：如果a >0，且a ≠1，M >0，N >0，那么： ①log a (M ·N )＝log a M ＋log a N ； ②log a MN＝log a M －log a N ；③log a M n ＝n log a M (n ∈R)；④log a m M n ＝nmlog a M=1．化简下列各式： (1)14lg 23lg5lg 5+-(2)3lglg 70lg 37+-(3) 2lg 2lg5lg 201+⋅- (4)25941log log 27log 123235-+2（15．浙江）计算：2log =________，24log 3log 32+=________．若4log 3a =，则22a a -+=________．3．方程log 2 (1－2x )＝1的解x ＝_________． 计算log 6[log 4(log 381)]＝_________． 4．有下列五个等式，其中a>0且a≠1，x>0 , y>0，其中正确的是 ． ①log ()log log a a a x y x y +=⋅， ②22log ()2(log log )a a a x y x y -=-③1log log log 2aa a x y y =-， ④log log log ()a a a x y x y ⋅=⋅第3节 高考数学中的运算——三角计算一．任意角 1．角的概念角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．2．角的表示顶点：用O 表示；始边：用OA 表示，用语言可表示为起始位置； 终边：用OB 表示，用语言可表示为终止位置．3．角的分类（1）正角：按 方向旋转形成的角；加一个角按 方向旋转． （2）负角：按 方向旋转形成的角；减一个角按 方向旋转． （3）零角：射线没有作任何旋转，称为形成一个零角．任意角大小比较： ，因此小于90°的角不一定是锐角…………4．象限角在直角坐标系中研究角时，当角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合时，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角．如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．5．终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{}β|β＝α＋k ·360°，k ∈Z ，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．二．弧度制1．角度制和弧度制角度制用度作为度量单位来度量角的单位制叫做角度制，规定1度的角等于周角的1360弧度制长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad 表示，读作弧度以弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制2．任意角的弧度数与实数的对应关系正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0． 3．角的弧度数的计算如果半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，那么，角α的弧度数的绝对值是|α|＝lr．扇形的面积公式：4．角度制与弧度制的换算 (1)角度制与弧度制的互化：角度化弧度 弧度化角度 360°＝2π rad 2π rad ＝360° 180°＝π rad π rad ＝180° 1°＝π180rad ≈0．01745 rad 1 rad ＝(180π)°≈57．30°(2)一些特殊角与弧度数的对应关系：度 0° 1° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360°弧度 0 π180 π6 π4 π3 π2 2π3 3π4 5π6 π 3π22π三．任意角的三角函数1．任意角三角函数的定义将角的顶点与原点O 重合，始边与直角坐标系x 轴非负半轴重合，角的终边上任意取一点P (x ，y )，则对应角的正弦值sin α＝22y x y +，余弦值cos α＝22y x x + ，正切值tan α＝xy，常记22y x r +=． 由此定义，求任意角的三角函数值可按以下步骤完成：常见特殊角三角函数值（利用两特殊直角三角形计算并记忆！）α0 π6 π4 π3 π2 2π3 3π4 5π6 正弦 余弦 正切2．三角函数值的符号例1．根据下列条件求sin α，cos α，tan α．(1)α＝－π3； (2)已知角α的终边经过点P (－3,4)．(3)角α的终边经过点P (－4a,3a )(a ≠0)，则sin α＝________；(4)已知角α的终边过点P (5，a )，且tan α＝－125，求sin α＋cos α的值．1．已知角α的终边经过点P (－1,2)，则cos α的值为( )A ．－55B ．－5C ．255D ．522．α是第二象限角，P (x ，5)是其终边上一点，且cos α＝24x ，则x 的值为( ) A ． 3B ．±3C ．－ 3D ．－ 23．如果点P (sin θ＋cos θ，sin θcos θ)位于第二象限，那么角θ所在的象限是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．若角α是第二象限角，则点P (sin α，cos α)在第________象限．5．(2011·江西高考)已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，若P (4，y )是角θ终边上一点，且sin θ＝－255，则y ＝________． 四．同角三角函数的基本关系子成立，如sin 22α＋cos 22α＝1，tan 3α＝sin 3αcos 3α都是成立的．2．两个公式常见变形（解题时可“知一求二”： ） sin 2α＋cos 2α＝1?sin 2α＝1－cos 2α?cos 2α＝1－sin 2α；tan α＝sin αcos α?sin α＝tan α·cos α．例1．已知tan α＝43，且α是第三象限角(1)求sin α，cos α的值；(2)求6sin α－2cos α3sin α＋5cos α的值．例2．(1)已知sin α－cos α＝12，求sin αcos α的值．(2)已知0＜α＜π，sin α＋cos α＝15，求tan α的值．(3)已知α∈R ，sin α＋2cos α＝102求tan 2α．(4)已知3tan sin 2=⋅αα，求αα44cos sin +的值．五．三角函数的诱导公式诱导公式填空(1)公式一：sin(α＋2k π)＝ ，cos(α＋2k π)＝ ， tan(α＋2k π)＝ [k ∈Z]． (2)公式二：sin(π＋α)＝ ， cos(π＋α)＝ ， tan(π＋α)＝ ． (3)公式三：sin(－α)＝ ， cos(－α)＝ ， tan(－α)＝ ． (4)公式四：sin(π－α)＝ ，cos(π－α)＝ ，tan(π－α)＝ ．(5)公式五：sin(π2－α)＝ ， cos(π2－α)＝ ， tan(π2－α)＝ ．(6)公式六：sin(π2＋α)＝ ， cos(π2＋α)＝ ， t an(π2－α)＝ ．口诀记法：“奇变偶不变，符号看象限”例．已知f (α)＝cos ?π2＋α?·cos ?2π－α?·sin ?－α＋3π2?sin ?－π－α?·sin ?3π2＋α?．(1)化简f (α)；(2)若α是第三象限角，且cos(α－3π2)＝15，求f (α)的值．1．已知sin(α－π4)＝13，则cos(π4＋α)的值等于( )A ．223B ．－233C ．13D ．－132．填正负号：)32sin(__)23sin(ππ-=-x x ，)32cos(__)23cos(ππ-=-x x ，)3tan(__)3tan(ππ-=-x x第4节 正余弦定理解三角形：一般地，三角形的三个角A,B,C 和它们的三条对边a ，b ，c 叫做三角形的元素．已知三角形的几个元素求其它元素的过程叫作解三角形．2．三角形面积公式设△ABC 的三边分别为a 、b 、c ，所对的三个角分别为A 、B 、C ，其面积为S ．(1)S ＝12ah (h 为BC 边上的高)；(2)S ＝12absin C ＝12bcsin A ＝12acsinB （一般根据角选公式）重点考法：判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式．若转化为边边关系，一般通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；若转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状。