经济数学基础微积分
经济数学基础(微积分)讲义全
经济数学微积分学习讲义合川电大兰冬生知识点一：5个基本函数1，常数函数，c y = （c 是常数）例如：3=y ，1-=y ，这些函数可以看成是x 隐含，例如3=y 可看成30+=x y 。
2，幂函数，αx y =（α是一个数） 形如2x y =，3x y =，5x y =是幂函数，注意：仅仅是这种形式是幂函数，其他的任何一点形式变化都不是，2x y =是幂函数，22x y =就不是幂函数，只能是下面x ，上面（指数）是一个数！以下基本函数均如此3，指数函数，x a y =，（a 是一个数） 例如：x y 2=，x y 23⋅=不是指数函数。
4，对数函数x y a log =，这里要求x 必须大于零，我们的考试常常拿来考“求定义域”这里我们只认识两个特殊的对数函数，一个是x y ln =，他是x y e log =的简写，e 是一个数，718.2=e ，和我们知道的14.3=π一样，另一个是x y lg =，他是x y 10log =的简写。
5，三角函数x y sin =，x y cos =，特别注意的是x y sin 2=，x y 2sin =，都不是三角函数。
● 这5个基本函数是我们要学习的函数的主要构成细胞。
● 例如：12sin 232+++=x x e y x ，二次函数，由幂函数，常数函数构成632-+=x x y 。
知识点二：极限1，什么是数列？数列就是按照“一定规律排列的一组数”，我们常见的是无限数列。
数学符号记为：}{n a例如：数列：1,2,4,8,16,32，……，发展规律依n 2 变化，,4,3,2,1,0=n …… 1，21，41，81，……，发展规律依n 21变化，,4,3,2,1,0=n …… 2，极限学习极限，一个非常重要的认识就是“分母越大，分数越小” 数列的极限，就是指数列的一个趋近值，（即是指一串数的趋近值）例如：1，21，31，41，……，分母由1,2,3,4，……变化，当分母无限大时，1000001，1000000001，……，最后，这个无限数列趋近于0，这里，我们简单描述这个变化，∞→n01→n分母越大，分数越小 →是趋近，∞是无穷大的意思，无穷大是指非常非常大，无法计量。
经济数学基础微分学之第2章 极限、导数与微分
第一单元 极限的概念及其运算第一节 极限的概念一、学习目标极限是微积分学中的重要概念，微积分中的许多重要概念都是由极限定义的.学习了这一节课，要使我们了解极限、左、右极限和无穷小量的概念. 并且能够利用函数图形和极限定义去求简单函数的极限.二、内容讲解1.极限的概念1数列的极限：①数列：一般地，按一定规律排列的一串数1x ，2x ，…，n x ，…称为数列，简记为{}n x 。
其中的第n 项n x 称为该数列的通项。
②数列的极限：给定数列{}n x ，如果当n 无限增大时，n x 无限地趋近某个固定的常数A ，则称当n 趋于无穷时，数列{}n x 以A 为极限。
记为A x n n =∞→lim2.极限的概念2研究函数是利用极限的方法来进行；极限是一个变量在变化过程中的变化趋势。
例1 圆的周长的求法.早在公元263年，古代数学家刘徽用圆内接正四边形、正五边形、正八边形、正十六边形……等的边长近似圆的周长，显然随着边数的增加，正多边形的边长将无限趋近圆的周长.例2 讨论当+∞→x 时，x 1的变化趋势.例3 讨论一个定长的棒，每天截去一半，随着天数的增加，棒长的变化趋势.“一尺之棰，日截其半，万世不竭”——庄子•天下定义2.1——函数的极限设函数)(x f 在点0x 的邻域（点0x 可以除外）内有定义，如果当x 无限趋于0x（但0x x ≠）时，)(x f 无限趋近于某个常数A ，则称x 趋于0x 时，)(x f 以A 为极限，记为A x f x x =→)(lim 0或A x f →)()(0x x →；若自变量x 趋于0x 时，函数)(x f 没有一个固定的变化趋势，则称函数)(x f 在x 处没有极限.在理解极限定义时要注意两个细节：1.0x x →时（0x x ≠），2.⎩⎨⎧→<→>→00000)()(x x x x x x x x （包括这两种情况）考虑函数x y =，依照极限的定义，不能考虑0→x 的极限.因为x y =在0<x 处无定义.又如函数⎩⎨⎧>≤=010)(x x x x f ，如果讨论0→x 是的极限，则函数分别在0<x 和0>x 时不是同一个表达式，必须分别考虑.由此引出左右极限的概念：定义2.2——左右极限设函数f x ()在点x 0的邻域（x 0点可以除外）内有定义，如果当x x <0且x 无限于x 0（即x 从x 0的左侧趋于x 0，记为x x →-0）时，函数f x ()无限地趋近于常数L ，则称当x 趋于x 0时，f x ()以L 为左极限，记作lim ()x x f x L→-=0 或f x -()0= L ；如果当x x >0且x 无限趋于x 0（即x 从x 0的右侧趋于x 0，记为x x →+0）时，函数f x ()无限地趋近于常数R ，则称当x 趋于x 0时，f x ()以R 为右极限，记作lim ()()x x f x R f x →++=00或=R 。
《经济数学基础》微积分
《经济数学基础》微积分第4章：多元函数微分学⒈了解空间直角坐标系的有关概念，知道几个简单的二次曲面，会求空间两点之间的距离。
会用不等式组表示平面区域。
空间两点P x y z 1111(,,)与P x y z 2222(,,)间的距离公式：d P P x x y y z z ==-+-+-12212212212()()()⒉会求二元函数的定义域。
⒊了解二元函数的偏导数与全微分概念，熟练掌握求偏导数与全微分的方法。
会求简单的二阶偏导数。
求偏导数与全微分的方法主要包括复合函数和隐函数两种类型。
复合函数 z f u v =(,)，其中u u x y v v x y ==(,),(,)，变量之间的关系可以用图形表示利用“连线相乘，分线相加”的原则，得到复求合函数偏导的公式∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂z x z u u x z v v x =+， ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂z y z u u y z v v y=+ 函数z f u v =(,)的全微分为d d d z z x x z yy =+∂∂∂∂例1 填空题（1）空间两点)2,1,5(-A 与)3,0,4(B 之间的距离是 。
（2）函数)1ln(1y x z --=的定义域是 。
（3）设函数22e ),(y xy x z +=，)1,1(-'x z = 。
（4）二元函数z x x y y =-+332445，∂∂∂2z x y = 。
解：（1）由空间两点间的距离公式222212212212)23()10()54()()()(-+++-=-+-+-=z z y y x x d =3 xu z y v正确答案：3（2）因为函数)1ln(1y x z --=的定义域要求对数的真数大于零，分母不等于零，即 ⎩⎨⎧≠-->--1101y x y x 故 1<+y x 且0≠+y x 。
正确答案：1<+y x 且0≠+y x（3）因为 22e 2y x x xz +=∂∂，所以 21)1(e 2e )1(2)1,1(22-=⋅-⋅=-'+-x z 。
经济数学基础--微积分第八章
(1
1 n
)n
,
因为
lim
n
un
lim
n
1
1
n
1
n
1 e
0, 所以级数发散.
例8.1.7 讨论级数 cos n 的敛散性.
n 1
2
解 因为数列{cos n }就是0, 1, 0,1, 0, 1,, 这个数列发散, 所以级数也发散.
2
第 12 页
经济应用数学基础——微积分
第八章 第二节 第 13 页
8 1
简记为 un , 称上式为数项无穷级数, 简称无穷级数.其中, 第n项un 称为级数的一般项, n 1
级数的前n项和
n
Sn uk u1 u2 un k 1
称为级数的前n项部分和, 简称部分和.
8 2
第4 页
经济应用数学基础——微积分
无
第八章 第一节
穷
级
数
的
定义8.1.2
若数项级数的部分和数列{Sn
lim
n
Sn
1
S.由于an
Sn
Sn1 ,
所以
lim
n
an
lnim(Sn
Sn1 )
S
S
0.
注意 本性质说明如果级数 an收敛, 则通项的极限等于0.反之不成立, 如调和级数
1, 虽然 lim 1 0, 但此级数发散.另外, 如果通项的极限不等于0, 级数一定是发散的, 这
n1 n
n n
就是下面的推论.
n
1
n 2 3 1 5 1 2
n3/2
n 1
n3/2
n n2
n6
n
1
2022年春经济数学基础微积分部分
08春经济数学基本微积分部分第一部 微分学第1章 函数1．理解函数概念。
理解函数概念时，要掌握函数旳两要素−−定义域和相应关系，这要解决下面四个方面旳问题：（1）掌握求函数定义域旳措施，会求初等函数旳定义域和函数值。
要掌握常用函数旳自变量旳变化范畴，如分式旳分母不为0，对数旳真数不小于0，偶次根式下体现式不小于0。
例1 求函数xx y --=2)1ln(旳定义域。
解 ： )1ln(-x 旳定义域是1>x ，x -2旳定义域是2≤x ，但由于x -2在分母上，因此2≠x 。
故函数xx y --=2)1ln(旳定义域就是上述函数定义域旳公共部分，即1<x <2。
（2）理解函数旳相应关系f 旳含义：f 表达当自变量取值为x 时，因变量y 旳取值为)(x f 。
例如，对于函数x x x x f y 2ln )(2++==，f 表达运算：)(22)ln()(++例2 设1)(+=x x f ，求)1)((+x f f 。
解： 由于1)(+=x x f ，阐明f 表达运算：1)(+，因此)1)((+x f f 1)1)((++=x f ＝2)(+x f再将1)(+=x x f 代入，得)1)((+x f f =32)1(+=++x x 2．掌握函数奇偶性旳鉴别，懂得它旳几何特点； 判断函数是奇函数或是偶函数，可以用定义去判断，即（1）若)()(x f x f =-，则)(x f 偶函数；（2）若)()(x f x f -=-，则)(x f 奇函数。
也可以根据某些已知旳函数旳奇偶性，再运用“奇函数±奇函数、奇函数×偶函数仍为奇函数；偶函数±偶函数、偶函数×偶函数、奇函数×奇函数仍为偶函数”旳性质来判断。
例3 下列函数中，（ ）是偶函数。
A. x x x f sin )(3= B. 1)(3+=x x f C. xxaa x f --=)(D. x x x f sin )(2=解： 根据偶函数旳定义以及奇函数×奇函数是偶函数旳原则，可以验证A 中3x 和x sin 都是奇函数，故它们旳乘积x x x f sin )(3=是偶函数，因此A 对旳。
电大经济数学基础微积分试题及答案（最新）
经济数学基础微积分试题（07.1-14.1）一、单项选择题：1、设xx f 1)(=，则=))((x f f （ C ）. （10.1）A.x 1B.21x C.x D.2x2、下列各函数对中，（ C ）中的两个函数相等. （08.7） A. x x g x x f ==)(,)(2 B. x x g x x f ==)(,)()(2C. x x g x y ln 3)(,ln 3==D. x x g x y ln 2)(,ln 2==3、下列各函数对中，（ D ）中的两个函数相等. （07.7,13.1，14.1）A.x x g x x f ==)(,)()(2B.1)(,11)(2+=--=x x g x x x fC.x x g x y ln 2)(,ln 2==D.1)(,cos sin )(22=+=x g x x x f4、下列函数在指定区间（-∞，＋∞﹚上单调增加的是（ B ）. （10.7,11.7） A.x sin B.x e C.2x D.x -35、下列函数在指定区间（-∞，＋∞﹚上单调下降的是（ B ）.（09.1） A.x sin B. x 3 C.2x D. 5-x6、下列函数在指定区间（-∞，＋∞﹚上单调增加的是（ C ）.（08.7）A.x sinB.x 21C.x 3D.21x -7、函数242--=x x y 的定义域是（ B ）. （07.1） A. [-2,+ ∞) B. [-2,2)),2(+∞⋃C. （-∞,-2)),2(+∞-⋃D. （-∞,2)),2(+∞⋃ 8、函数xx y -++=41)2ln(的定义域是（ A ）. （09.7）A.(-2,4)B. (-2,4)),4(+∞⋃C.)4,(-∞D.),2(+∞-9、函数)1lg(+=x xy 的定义域是（ D ）. （11.7）A.1->xB.0>xC.0≠xD. 1->x 且0≠x 10、下列函数中为奇函数的是（ C ）. （11.1，13.7） A.x x y -=2 B.x x e e y -+=C.11ln +-=x x y D.x x y sin =11、下列函数中为偶函数的是（ A ）. （08.1）A.x x y sin =B.x x y +=2C.x x y --=22D.x x y cos = 12、下列函数中为偶函数的是（ C ）. （12.1）A. x x y -=2B. 11ln +-=x x yC.2xx e e y -+= D.x x y sin 2=13、已知xxx f sin 1)(-=，当x （ A ）时，)(x f 为无穷小量. （09.1） A.0→ B.∞→ C.1→ D.+∞→14、已知1sin )(-=xxx f ，当（ A ）时，)(x f 为无穷小量. （07.7,10.1） A.0→x B.1→x C.-∞→x D.+∞→x 15、当0→x 时，变量（ D ）是无穷小量. （09.7）A.x 31 B.x x sin C.)2ln(+x D.x x 1sin16、函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,0sin )(x k x xxx f ，在)(x f 在x=0处连续，则k =（ C ）.（13.1）A.-2B.-1C.1D.217、若4cos )(π=x f ，则=∆-∆+∞→xx f x x f x )()(lim（ A ）. （07.1）A.0B.22C.4sin π-D. 4sin π18、曲线x y sin =在点（π,0）处的切线斜率为（ D ）. （08.1）A.1B.2C.21D.-1 19、曲线11+=x y 在点（0,1）处的切线斜率为（ A ）. （10.7）A.21-B.21C.2)1(21+xD.- 2)1(21+x20、曲线1sin +=x y 在点（0,1）处的切线方程为（ A ）.A.1+=x yB. 12+=x yC. 1-=x yD. 12-=x y 21、在切线斜率为2x 的积分曲线中，通过点（1,4）的曲线为（ A ）.（13.7） A.32+=x y B. 42+=x y C. 22+=x y D. x y 4= 22、设需求量q 对价格p 的函数为p p q 23)(-=，则需求弹性为=P E ( D )。
经济数学基础第1章
记为 lim f ( x) A , 或者 x x0
f ( x) A( x x0 ) .
y
当x在x0的去心邻
域时,函数y f ( x) 图形完全落在以直
A
A
A
线y A为中心线,
宽为2的带形区域内. o
y f (x)
x0 x0 x0
x
显然,找到一个后,越小越好.
y
单侧极限:
y1 x
x0 x
2
lim(1 1 )x e
x
x
1
或lim(1) e. 0
1.6 函数的连续性
1.6.1 函数连续的概念 1.6.2 初等函数的连续性 1.6.3 闭区间上连续函数的性质
1.6.1 函数连续的概念
定义 设函数 f ( x) 在U( x0, ) 内有定义,如果
函数 f ( x) 当 x x0 时的极限存在,且等于它在
lim
n
xn
a,
或 xn a (n ).
1.2.2 函数的极限
问题:函数 y f ( x) 在 x x0 的过程中, 对应函数
值 f (x) 无限趋近于确定值A .
x x0 时 f (x) 的极限 定义 若对任意给定的正数 > 0, 总存 在正数 >0,只要 f 的定义域中的点 x 满 足0<|x x0|< 时，恒有 |f(x)A|< 成 立，则称常数A 是函数 f(x) 当 x x0时 的极限,简称 A 是 f (x)在 x0 处的极限.
点 x0处的函数值
那末就称函数 f (
f( x)
x ) ,即 lim f
0
在点
x0
连x续x0 .
(
x
经济数学基础微积分第一篇第一章--函数
(2)自变量可以取一， 个还 数可 值以取 一个表达式。
例 31： . 给定 fx 函 x2数 x2,试计 f0,f(x2),f1x.
解： f(0)02022
f(x 2 ) (x 2 )2 (x 2 ) 2 x 4 x 2 2
给定 r2, 就有 S4;
给定 r3, 就有 S9;
例 y 如 fx x 2 ： x 1
给定 x1, 就y有 f11;
给定 x1, 就y 有 f1 3 ;
【注y 意 f】 x
二. 求定义域
函数的定义域：是使函数有意义的 自变量x取值的全体。 也就是自变 量x允 许取值的范围。
确定函数定义域的三条基本要求： (1) 分式的分母不能为零。即若 y 1
【公 ln x式 kkln 】 x， lo ： ax g kkloax g
【解】 1 fx lx n 2 2 lx n(x 0 ) g x 2 ln x(x 0 )
表达式不同，定义域不同 所以它们是不同的函数。
2 fx lx n 3 3 lx n ( x 0 )
g x 3 ln x(x 0 )
－3 －2
2
x
【练习1】
求函 f(x数 )lo2g (x1)
1 的定.义 x21
【解】 要使f(x) 有意义，必须有
x 1 0
x
2
1
0
xx11x10
xx
1 1
或
x
1
即： x1
公共部分
写成区间 (1, ： )
【练习2】
求函f(x数 ) 1 3x的定.义 lnx(3)
【解】 要使f(x) 有意义，必须有
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
3 gx x2 1 x 1 x 1
x 1
f x x 1 x R 即D f Dg, f x gx.
的定义域。
x3
【解】 要使得表达式有意义,必须
x 3 0
x
2
4
0
解这组不等式，得
x 3 (x 2)( x 2) 0
所以，所求函数的定义域为：
x 3
x
2
或
x
2
写成区间的形式，得到定义域：
D (,3) (3,2] [2,)
【练习2】
求函数 f (x) 1 3 x 的定义域. ln(x 3)
【解】 要使 f ( x) 有意义，必须有
(因为ln 1 0)
x 3 0 ln(x 3) 0 3 x 0
x 3 x 3 1 x 3
x 3
x
即，相应的用0, x2, 1 x 去替换f x
中的x.
【练习3】
设 f x 1 , 则 f f x (
).
x
A 1
B 1 Cx Dx2
x
x2
解：
f f x
f 1 x
1 1
x.
x
所以选择C.
更复杂一点，可以根据函数在某个表达 式上的值，反过来求该函数的计算公式。
2
x;
3 f x x 1, gx x2 1.
x 1
解：1gx x2 x, f x gx.
2gx x 2 xx 0; f x xx R
即D f Dg, f x gx.
(3) 对数函数中的真数表达式大于零。
即若： y log a (x)
则要求 (x) 0.
【例 2.1】
求函数 f (x) log2 (x 1) 的定义域.
【解】 要使 f (x) 有意义，必须有
真数部分： x 1 0
x 1
于是所求的函数的定义域为 1,
【例 2.2】 求函数 f (x) 1 x2 4
－3 －2
2
x
【练习1】
求函数 f (x) log 2 (x 1)
Байду номын сангаас
1 的定义域. x2 1
【解】 要使 f ( x) 有意义，必须有
x 1 0
x
2
1
0
x 1
x 1x 1 0
x x
1 1
或
x
1
即：x 1
公共部分
写成区间：(1, )
函数的定义域：是使函数有意义的 自变量x取值的全体。 也就是自变 量x允 许取值的范围。
确定函数定义域的三条基本要求：
(1) 分式的分母不能为零。即若 y 1 (x)
则要求 (x) 0.
(2) 偶次方根下的表达式非负。
即若： y n (x) （n为偶数）
则要求 (x) 0.
例 3.2 已知 f (x 1) x2 2, 求f x.
解：取x 1 u，则x u 1
代入已知表达式得到：
f (u) (u 1)2 2 u2 2u 1
再将变量 u 替换成 x ,就得到所求函数
计算公式： f (x) x2 2x 1.
注：这也叫做“换元法”。
(2)自变量可以取一个数值，还可以取 一个表达式。
例3.1：给定函数f x x2 x 2,试计算 f 0, f (x2), f 1 x.
解： f (0) 02 0 2 2
f (x2) (x2)2 (x2) 2 x4 x2 2
f (1 x) 1 x2 1 x 2 x2 3x
圆的面积 S πr2, 一般用x,y,z,s,t等表示变量。
2.在某过程中始终同一数值的量称为常量,
【例如】 圆周率
中山到广州的直线距离S 一般用a,b,c,k等表示常量。 3.变量的取值范围称为该变量的变域。 注：变域可用区间、不等式表示：
如：x 3,6 或：3 x 6
一般用大写字母X,D,L等表示变域。
4、函数的定义（P--5）
函数y＝f (x) 是两个变量之间的关系， 其中x是自变量，y是因变量，f 是对应规则。
记作：y＝f (x) ，并称 y 是 x 的函数， 其中x是自变量，y是因变量，f是对应规则。
定 义 域xx10
f
对应法则
y0 值
y1 域
y f x
y0 f x0 y1 f x1
2
x 3
x 3 接下来将： x 2 写成区间的形式
x 3
x
－3 －2
3
得到定义域： D (3,2) (2,3]
三. 计算函数的值
就是将自变量的值代入函数的表达式 中，计算出因变量(函数)的值来。
关键是对函数记号f x的理解: (1) f x0 表示函数f x在x x0处的值;
例如：S r2, r 0
给定r 2, 就有S 4 ; 给定r 3, 就有S 9 ;
例如：y f x x2 x 1
给定x 1, 就有y f 1 1;
给定x 1, 就有y f 1 3;
【注意】 y f x
二. 求定义域
第一篇第一章－－函 数
本章重点
•1、函数概念 •2、函数的定义域 •3、函数值的计算 •4、函数奇偶性的判别
本章难点
•复合函数的分解
一. 函数概念
函数是微积分学的关键概念，没有 函数，就没有微积分学。
1.在某一变化过程中可以取不同数值的量称 为变量。
【例如】 复利问题 at k0 1 2%t , t 1, 2, 3,
四. 判断两函数相同 函数的两个要素:
定义域 D( f ) 和对应法则f .
函数 f 的表达式为
y f ( x) , x D( f )
判断两个函数相同的方法： 定义域和对应法则都相等．
例 4.1 判断下列函数是否相同：
1 f x x, gx x2 ;
2f x x, gx