2017年春季学期新版湘教版八年级数学下册 1.2直角三角形性质和判定(3)试卷
数学湘教版八年级下册第1章直角三角形 教案
1.1.1 直角三角形的性质教学目标知识与技能：1.理解并掌握直角三角形的判定定理和斜边上的中线性质定理。
2.能运用直角三角形的判定与性质，解决有关的问题。
过程与方法：通过对几何问题的“操作—探究—讨论—交流—讲评”的学习过程，提高分析问题和解决问题的能力。
情感、态度与价值观：感受数学活动中的多向思维、合作交流的价值，主动参与数学思维与交流活动。
教学重点：直角三角形斜边上的中线性质定理的推导与运用。
教学难点：“操作—探究—讨论—交流—讲评”得出直角三角形斜边上的中线性质定理。
教学过程一、教学引入1、三角形的内角和是多少度。
学生回答。
2、什么是直角三角形？日常生活中有哪些物品与直角三角形有关？请举例说明。
3、 等腰三角形有哪些性质？ 二、探究新知1、探究直角三角形的判定定理：⑴ 观察小黑板上的三角形，由∠A +∠B 的度数，能说明什么？ ——两个锐角互余的三角形是直角三角形。
⑵ 讨论：直角三角形的性质和判定定理是什么关系？ 2、探究直角三角形的性质：⑴ 学生画出直角三角形ABC 斜边的中线CD 。
⑵ 测量并讨论斜边上的中线的长度与斜边长度之间的关系。
⑶ 学生猜想：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半。
3、 共同探究：例 已知：在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，CD 是斜边AB 上的中线。
求证：CD =12AB 。
[教师引导：数学方法——倒推法、辅助线]三、应用迁移 巩固提高练习：如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，求证：这个三角形是直角三角形。
即已知CD 是△ABC 的AB 边上的中线，且CD =12AB 。
求证：△ABC 是直角三角形。
提示：倒推法，要证明△ABC 是直角三角形，只有通过定义和判定定理，定义与判定定理都与角有关系。
现在我们只有边的关系，我们学过的边与角能联系起来的就是等腰三角形。
还要找到与90°有关的角，但是我们只知道三角形的内角和为180°。
湘教版八年级数学下册第一章《直角三角形》优课件
知识点回顾
直角三角形：有一个角是直角的三角形
一、直角三角形的性质：
1.直角三角形的两个锐角互余；
2.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；
3.直角三角形中,30O角所对直角边是斜边的一半；
4.直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方； (勾股定理)
熟记以下几组勾股数: 3、4、5； 5、12、13； 7、24、25；8、15、17
A
3
B
1
C
4
E
2
D
例4：如图：AD是△ABC中BC边上的高，E 为AC上一点，BE交AD于F，BF=AC， FD=CD，问BE，AC互相垂直么？请说明 理由
A
FE
B
DC
2．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形 都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm,则 正方形A，B，C，D的面积之和为______4_9____cm2。
3、在Rt△ABC中，∠C=90º，∠A=30º，BC=2ｃｍ， 则AB=_____ｃｍ。
4、在△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3，CD⊥AB于D，
AB=a，则DB等于（ ）
a
a
a
（A） （B） （C） （D）以上结果都不对
2
3
4
想一想
5、下图中的三角形是直角三角形,其余是 正方形,求下列图中字母所表示的正方形的 面积.
二、直角三角形的判定：
1.定义：有一个角是直角的三角形是直角三角形
2. 有两个角是互余的三角形是直角三角形 3. 若三角形中，较小两边的平方和等于较大边的平方，
则这个三角形是直角三角形（勾股定理的逆定理）
三、直角三角形全等的判定：
湘教版八年级数学XJ版下册精品教学课件 第1章 直角三角形 第1课时 勾股定理
知识回顾
三角形的面积计算公式是什么？
三角形的面积=底×高÷2
c a
b
1
S = ab
2
教学目标
【学习目标】 1．理解勾股定理及其推导过程． 2．会用“勾股定理”解决简单的几何问题． 【学习重点】 勾股定理及其应用． 【学习难点】 勾股定理的推导与证明．
积为 36 cm².
8 cm
10 cm
3.求斜边长17 cm、一条直角边长15 cm的直角三角形 的面积.
解：设另一条直角边长是x cm. 由勾股定理得152+ x2 =172， 即x2=172-152=289–225=64， 所以 x=±8（负值舍去）， 所以另一直角边长为8 cm，
直角三角形的面积是
C A
B
C A
B
左图：
SC
4
1 2
2
3
11 13
右图：
SC
4
1 2
4
3
11
25
C A
B
C A
B
A的面积 B的面积 C的面积
左图 4
9
13
右图 16
9
25
S正方形A S正方形B S正方形C
问题4 正方形A、B、C 所围成的直角三角形三条边 之间有怎样的特殊关系？
C A
B
C A
B
一直角边2 + 另一直角边2 = 斜边2
(cm2).
4.如图，在△ABC中，AD⊥BC，∠B=45°，∠C=30°， AD=1，求△ABC的周长．
解：∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=90°． 在Rt△ADB中，∵∠B+∠BAD=90°，∠B=45°， ∴∠B=∠BAD=45°， ∴BD=AD=1，∴AB= 2 ． 在Rt△ADC中，∵∠C=30°， ∴AC=2AD=2， ∴CD= 3 ，∴BC=BD+CD=1+ 3 ， ∴AB+AC+BC= 2 3 3 ．
湘教版数学八年级下册课件12直角三角形的性质和判定3共18张PPT
勾股定理
互逆命题
直角三角形两条直角边的平方和，等于斜边的 平方。
勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a、b、c满足 a2 + b2 = c2
那么这个三角形是直角三角形。
勾股定理
互逆命题
如果直角三角形两直角边分别为 a，b，斜边为c，那么有 a2 + b2 = c2
A
AB 5
A′
4
C′ 3
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
B′
ABC≌ ABC C C 90
例3 判断由线段a、b、c组成的三角形是不是直角三角 形。
(1) a＝6, b ＝8 , c＝10
分析：由勾股定理的逆定理，判断三角形是不是直 角三角形，只要看两条较小边的平方和是否等于最大 边的平方。
解：（1）∵62＋82＝36＋64＝100
1.直角三角形有哪些性质? 2.如何判断三角形是直角三角形? 3.勾股定理。
古埃及人是怎样得到直角？ 下面我们一起探究……
用13个等距的结,把一根绳子 分成等长的12段,然后以3个结， 4个结，5个结的长度为边长， 用木桩钉成一个三角形，其中 一个角便是直角。
按照这种做法真能得到一个直角三角形吗？
古埃及人的做法：
△ABC中， BC=3、 AC=4、AB=5 5 4
C
A′
3
B
我们作RT △ABC，使 B ′C′=3、A′C′=4
4
这两个三角形有什么关系？
C′ 3 B′
A
5 4
C3
B
在 RTABC
中根据勾股定理有 AB2 AC2 BC2 BC 3, AC 4
AB2 32 42 52
5 3
2017年春季新版湘教版八年级数学下学期1.2、直角三角形的性质与判定(Ⅱ)课件33
a
3
5
7
9
11
b
c
4
5
12
13
24
25
40
41
60
61
… … …
2n+1
2n(n＋1)
2n(n＋1)＋1
①从前2个表中你能发现什么规律？
设n为正整数，那么，2n+1，2n(n+1)，2n(n+1)+1 是一组勾股数。
②你能根据发现的规律写出更多的勾股数吗？ 试试看 ．
数学海螺图： 在数学中也有这样一幅美丽的 “海螺型”图案
BC= 3√ 3
CE=3
B
60° 45°
D
C
E
A
9、如图，有一块地，已知AD=4 m， C 12 CD=3 m，∠ADC=90°，AB=13 m， 3 D B 4 BC=12 m。求这块地的面积。 13 A 提示：连接AC，在Rt △ACD中 由勾股定理求得AC，再证明△ABC是直角三角形， 用S△ABC-S △ACD即可求得面积。 24 m2. 10、如图：四边形ABCD中， ∠ABC=∠ADC=90°，∠A=60°， A AB=2，CD=1，求四边形ABCD的周 2 60° D 1 长和面积。
满足a2＋b2＝c2的三个正整数，称为勾股数．
像（3，4，5）、（6，8，10）、（5，12，13） 等满足a2＋b2＝c2的一组正整数，通常称为勾股数， 请你填表并探索规律． a b c 3 4 5 6 8 10 9 12 15 12 16 20 … … … 3n 4n 5n
三角形的三边分别是3，4，5的整数倍，这样 的三个数是一组勾股数。
7、判断由线段a、b、c 组成的三角形是不是直角三 角形？如果是，指出哪一条边所对的角是直角： (1)a=12，b=16，c=20 (2) a=8，b=12，c=15 ∵a2+b2=c2 ，∴是 ∵a2+b2≠c2 ，∴不是 ∠C=90° (3) a=5，b=6，c=8 (4) a:b:c=5:12:13 设a=5x，b=12x，c=13x ∵a2+b2≠c2 ，∴不是 ∵a2+b2=c2 ，∴是 ∠C=90°
湘教版八年级数学下教案 直角三角形的性质和判定
教学目标
知识与技能：1.理解并掌握直角三角形的判定定理和斜边上的中线性质定理
2.能应用直角三角形的判定与性质，解决有关问题。
过程与方法：通过对几何问题的“操作—探究—讨论—交流—讲评”的学习过程，提高分析问题和解决问题的能力。
情感、态度与价值观：感受数学活动中的多向思维、合作交流的价值，主动参与数学思维与交流活动。
证明：∵DE⊥AC于E，∴∠DEC=90°(垂直定义)
∵△ABC为等边三角形，∴AC=BC∠C=60°
∵在Rt△EDC中，∠C=60°，∴∠EDC=90°-60°=30°
∴
∵D为BC中点，
∴ ∴
∴ .
例3：已知：如图AD∥BC，且BD⊥CD，BD=CD，AC=BC.
求证：AB=BO.
分析：证AB=BD只需证明∠BAO=∠BOA
由已知中等腰直角三角形的性质，可知 。由此，建立起AE与AC之间的关系，故可求题目中的角度，利用角度相等得证.
证明：作DF⊥BC于F，AE⊥BC于E
∵△BDC中，∠BDC=90°，BD=CD
∴
∵BC=AC∴
∵DF=AE∴
∴∠ACB=30°
∵∠CAB=∠ABC，∴∠CAB=∠ABC=75°
∴∠OBA=30°
解：在Rt△ABC中
∵∠ACB=90∠A=30°∴
∵AB=8∴BC=4
∵D为AB中点，CD为中线
∴
∵DE⊥AC，∴∠AED=90°
在Rt△ADE中， ，
∴
例2：已知：△ABC中，AB=AC=BC（△ABC为等边三角形）D为BC边上的中点，
DE⊥AC于E.求证： .
分析：CE在Rt△DEC中，可知是CD的一半，又D为中点，故CD为BC上的一半，因此可证.
湘教版数学八年级下册 直角三角形全等的判定
“斜边、 直角边”
前 提 在直角三角形中 条件
A' ∴Rt△ABC ≌ Rt△A'B'C'.
知识要点 “斜边、直角边”定理
文字语言：
斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等
(简写成“斜边、直角边”或“HL”).
B
几何“语S言SA：”可以判定两个直
在 Rt△角A三BC角和形全Rt△等A，′B但′C是′ 中“，边 A
C
AB=边A”′B′指，的是斜边和一直角
则 △ADB 与 △ADC 全等 (填“全等”或
“不全等”)，根据 HL (用简写法).
┑
4. 如图，在 △ABC 中，已知 BD ⊥ AC，CE ⊥AB，
BD = CE. 求证：△EBC ≌ △DCB.
A
证明：∵ BD ⊥ AC，CE ⊥ AB，
∴∠BEC = ∠BDC = 90°.
在 Rt△EBC 和Rt△DCB 中，
为什么？
B
C B′
C′
2. 两个直角三角形中，有一条直角边和一锐角对应相
等，这两个直角三角形全等吗？为什么？
3. 两个直角三角形中，两直角边对应相等，这两个直 角三角形全等吗？为什么？
动脑想一想
B
A E
我们知道，证明三角形全等不存 在 SSA 定理.
C
D
F
动脑想一想
C
B C'
B'
如果这两个三角形都是直角三 角形，即∠C = ∠C' = 90°， 且 AB = A'B'，AC = A'C'，现在能
CE = BD，
E
D
∴ Rt△EBBCC=≌CRBt，△DCB (HL).
新湘教版八年级数学下册第直角三角形的性质和判定名师公开课获奖课件百校联赛一等奖课件
BD
=
AD
∴ △ABC是直角三角形
A D
(三角形一边上旳中线等于这条边
旳二分之一旳三角形是直角三角形)
C
B
练习
1.在Rt△ABC中，斜边上旳中线CD=2.5cm，则斜边AB旳长是多少？
解：AB=2CD=5cm
2.如图，AB//CD，∠CAB和∠ACD旳平分线相交于H点，E为AC旳中
点，EH=2.那么△AHC是直角三角形吗？为何？若是，求出AC旳长。
即∠A+∠B+∠1+∠2=180°
∴ 2(∠A+∠B)=180° ∴ ∠A+∠B =90°
∴△ABC是直角三角形
( 有两个角互余旳三角形是直角三角形 )
结论 直角三角形旳鉴定定理3：
在一种三角形中，假如一边上旳中线等于这 条边旳二分之一，那么这个三角形是直角三角形.
几何语言表达：
∵
CD
1 2
AB
=
如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，D是斜边AB旳中
点，连结CD, 求证：CD 1 AB
C
2 ∴△ACD≌ △BED（SAS）
∴AC=EB，
∴∠ACD=∠DEB， ∴AC//EB，
A D
∵∠ACB=900， ∴∠CBE=900， 在△ACB和 △EBC中:
B BC=BC，
把原直角三角形提成 面积相等旳两个等腰三角形.
例1：如图，已知：CD是△ABC旳AB边上旳中线，
且CD=
1 2
AB，求证：△ABC是直角三角形.
证明：∵
CD
1 2
AB
=
BD
=
AD
∴ ∠1=∠A
∠2=∠B （ 等边对等角 ）
湘教版数学八年级下册_《直角三角形的性质和判定》要点及典例分析
直角三角形的性质和判定
一、知识要点解析:
1.直角三角形的判定:
(1)定义:有一个角是直角的三角形是直角三角形.
(2)定理:有两个角互余的三角形是直角三角形.当然后面学了勾股定理后还可以运用勾股定理的逆定理进行判定.
注意:判定直角三角形要灵活运用定义和定理,根据具体题目具体分析.
2.直角三角形的性质:
(1)直角三角形的两个锐角互余。
（2）在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半.
二.典例分析
例1、在Rt△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,O为BC中点. 如果M、N分别在线段AB、AC上移动,在移动过程中保持AN=BM,请证明△OMN是直角三角形.
分析:要证明△OMN是直角三角形,只要证明∠MON=900即可.
证明：连接OA。
AN=BM，OA=OB，∠OAC=∠B=45°
△OAN≌△OBM,得ON=OM，∠AON=∠BOM
又∠AOM+∠BOM=90°
所以∠AON+∠AOM=90°,即∠MON=90°.
所以△OMN是直角三角形.
专项练习：
1、若一个三角形三内角之比为1:2:3,则该三角形一定是( )
A、锐角三角形
B、直角三角形
C、钝角三角形
D、不能确定
2、已知直角三角形中30°角所对的直角边长是2cm，则斜边上的中线的长是（）
A. 2 cm
B. 4 cm
C. 6 cm
D. 8 cm
参考答案:
1.B
2.A。
湘教版数学八年级下册 直角三角形的性质和判定教案与反思
第1章直角三角形路漫漫其修远兮，吾将上下而求索。
屈原《离骚》原创不容易，【关注】店铺，不迷路！1.1直角三角形的性质和判定（Ⅰ）第1课时直角三角形的性质和判定【知识与技能】1.体验直角三角形应用的广泛性，理解直角三角形的定义，进一步认识直角三角形.2.学会用符号和字母表示直角三角形.3.经历“直角三角形两个锐角互余”的探讨，掌握直角三角形两个锐角互余的性质.4.会用“两个锐角互余的三角形是直角三角形”这个判定方法判定直角三角形.5.理解和掌握直角三角形性质“斜边上的中线等于斜边的一半”.【过程与方法】通过动手，猜想发现直角三角形的性质，引导逆向思维，探索性质的推导方法——同一法.【情感态度】体会从“一般到特殊”的思维方法和“逆向思维”方法，培养逆向思维能力.【教学重点】直角三角形性质和判定的探索及应用.【教学难点】直角三角形性质“斜边上的中线等于斜边的一半”的判定探索过程.一、创设情境，导入新课问题什么叫直角三角形？从定义可以知道直角三角形具有一个角是直角的性质，要判断一个三角形是直角三角形需要判断这个三角形中有一个角是直角.直角三角形除了有一个角是直角这条性质外还有没有别的性质呢？判断一个三角形是直角三角形除了判断一个角是直角还有没有别的方法呢？这节课我们来探究这些问题.【教学说明】引导学生回忆，并巩固所学知识.从实际问题入手，激发学生的兴趣，注意新知识的连贯性.二、思考探究，获取新知问题1直角三角形两锐角互余思考如图，在Rt△ABC中，两锐角的和∠A+∠B=______.为什么？【教学说明】通过学生思考，总结归纳得出结果，培养学生分析问题和理解问题的能力.试试看：（1）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，若∠A=40°，则∠BCD=______..（2）在△ABC中，∠B=50°，高AD、CE交于H，则∠AHC=______..【教学说明】巩固所学内容，加强对直角三角形两角之间互余的理解.问题2利用两锐角互余判断三角形是直角三角形思考如图，在△ABC中，如果∠A+∠B=90°，那么△ABC是直角三角形吗？为什么？【教学说明】让学生明白两锐角互余的三角形是直角三角形，从而得到直角三角形一种判定方法.结论有两个锐角互余的三角形是直角三角形.试试看：如图，AB∥CD，∠A和∠C的平分线相交于H点，那么△AHC是直角三角形吗？为什么？【教学说明】让学生利用所学知识解决数学问题，逐步掌握解题技巧，培养学生的应用意识和能力.问题3直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的探索过程思考（1）按要求作图：画一个直角三角形，并作出斜边上的中线.（2）量一量各线段的长度.（3）猜想：你能猜想出什么结论？【教学说明】经历上面的探索过程，学生很容易得出结论，并能对所学知识行提炼和归纳.问题4教材第4页例题【教学说明】让学生明确直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半这一定理的题设及结论可以相互变换，加深它们之间的区别与联系.三、运用新知，深化理解1.如果三角形的三个内角的比是4∶5∶9，那么这个三角形是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.锐角三角形或钝角三角形2.在△ABC中，若∠A=∠B+∠C，则△ABC是_______.3.图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的中线，将△ACD沿AC边折叠，使点D落在点E处.求证：E∥AB.【教学说明】由学生独立完成，加深对所学知识的理解和运用以及检查学生掌握情况，有困难的学生教师要及时指导，并及时纠正错误，给予矫正深化.答案：1.B2.直角三角形3.证明：∵△ACD沿AC边折叠，∴△ADC≌AEC，∴∠ACE=∠ACD，∵CDAB边上的中线，∠AB=90°，∴CD=AD，∴∠CAD=∠ACD，∴∠CAD=∠ACE，∴EC∥AB.四、师生互动，课堂小结通过今天的学习，你掌握了直角三角形的哪些性质和判定方法？还有什么值得与大家共同分享的？【教学说明】梳理学习内容、方法、思路，养成系统整理知识的习惯，形成知识体系，同学之间互相取长补短，达到共同提高.1.布置作业：习题1.1中的第1、2题2.完成练习册中本课时的练习.通过练习反馈的情况来看，学生对于利用已知条件判定一个三角形是否为直角三角形这一考点比较容易上手一些，而往往忽略在直角三角形中告诉斜边上的中点利用中线这一性质解决问题.在今后的教学中让学生不断强化提高这一点.【素材积累】阿达尔切夫说过：“生活如同一根燃烧的火柴，当你四处巡视以确定自己的位置时，它已经燃完了。
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1.2直角三角形的性质和判定（Ⅱ） （3）
1） 在△ABC 中，若a 2=b 2－c 2，则△ABC 是 三角形， 是直角；
2、一根24米绳子，折成三边为三个连续偶数的三角形，则三边长分别
为 ，此三角形的形状为 。
3.若三角形的三边是 ⑴1、3、2； ⑵5
1,41,31； ⑶32，42，52 ⑷9，40，41；（5）a=5k ，b=12k ，c=13k （k ＞0）则构成的是直角三角形的有（ ）
A ．2个
B ．３个 Ｃ．４个 Ｄ．５个
4. 如图，小明的爸爸在鱼池边开了一块四边形土地种了一些蔬菜，爸爸让小明计算一下土地的面积，以便计算一下产量。
小明找了一
卷米尺，测得AB=4米，BC=3米，CD=13米，DA=12米，又已知
∠B=90°，求四边形的面积。
5.在△ABC 中，三条边的长分别为a ，b ，c ，a ＝n 2－1，b ＝2n ，c ＝
n 2+1(n ＞1，且n 为整数)，这个三角形是直角三角形吗？若是，哪个角是直角？
A。