高中三角函数核心知识评价要求
高中数学教学课例《三角函数》课程思政核心素养教学设计及总结反思
教学过程 问题转化为数学问题，提高学生对数学的学习兴趣。问 题驱动、探索新知，在这一方面我通过旧知识来引导学 生学习新知识，了解新技能，从中发现问题并学会怎么 解决新问题，通过学生的实践来获得新知识使他们印象 深刻。并有我讲出本节课的重点“五点作图法”实战演 练、巩固新知，学习了新知识后我们得通过实际演练，
即活动式的教学法和任务型教学法相结合的方法，调动
全班学生的积极性，在师生互动、生生互动中实现教学
任务和目标。
教学策略选
本节课的教学以学生为中心，以问题为出发点，使
择与设计 课堂教学过程成为学生自主地进行信息加工、知识意义 构建、归纳能力发展的过程。教师在教学过程中则适时 介入，引导、启发、组织、帮助、促进。随堂进行小组 指导，一方面参与学生的讨论，更给学生以个别辅导， 以帮助学生解决学习过程中的难题。通过演示法把制作 的课件、学生的作文等显示给学生看，便于学生对知识 的把握，并从中获得启迪，从而解决问题。通过小组协 作法分析问题、解决问题，从而内化而形成学习成果， 并将其在全班学生中展示，使学生获得成功的喜悦，从 而激发学生的后续学习热情。 基于以上的种种，我决定设计以下的教学过程，将 教学分成以下几个层次:1，创设情境、提出问题，2， 问题驱动、探索新知，3，实战演练、巩固新知，4，总 结反思、提高认识，5，任务延后、自主探究。 在创设情境、提出问题中，我通过给同学展示一个 生活中见过的例子，让学生观察了解日常生活中的实际
高中数学教学课例《三角函数》教学设计及总结反思
学科
高中数学
教学课例名
《三角函数》
称
本节课的授课内容为函数中的一个重点也是难点
教材分析 的内容：对于该内容学生半知半解，加上三角函数容易
数学核心素养导向的三角函数单元教学研究
数学核心素养导向的三角函数单元教学研究篇一数学核心素养导向的三角函数单元教学研究一、引言随着教育改革的深入，数学核心素养的培养成为了高中数学教学的核心目标。
三角函数作为高中数学的重要内容，对于培养学生的数学核心素养具有重要意义。
本文将从数学核心素养的角度，对三角函数单元教学进行研究，以期为高中数学教学提供新的思路和方法。
二、数学核心素养与三角函数教学的关系数学核心素养的定义数学核心素养是指学生在数学学习过程中所形成的数学思维、数学能力、数学情感等方面的综合素养。
它包括数学基础知识、基本技能、基本思想方法、基本活动经验等方面。
三角函数在数学核心素养中的地位三角函数是高中数学的重要内容，它不仅涉及到基础数学知识，还涉及到数学思想、方法等方面的应用。
因此，三角函数教学对于培养学生的数学核心素养具有重要意义。
三、基于数学核心素养的三角函数单元教学设计教学目标设定基于数学核心素养的三角函数单元教学目标应该包括知识目标、能力目标和情感目标。
知识目标是指学生需要掌握的三角函数基础知识；能力目标是指学生需要具备的三角函数分析能力和解决问题的能力；情感目标是指学生需要培养的数学兴趣和情感态度。
教学内容设计基于数学核心素养的三角函数单元教学内容应该包括基础知识、基本技能、基本思想方法等方面的内容。
同时，教学内容应该具有层次性和递进性，能够引导学生逐步深入理解和掌握知识。
教学方法选择基于数学核心素养的三角函数单元教学方法应该包括案例分析、小组讨论、实验操作等。
这些方法可以激发学生的学习兴趣，提高学生的参与度和学习效果。
同时，教师还可以采用多媒体技术等辅助手段，提高教学效果。
教学评价设计基于数学核心素养的三角函数单元教学评价应该包括形成性评价和终结性评价。
形成性评价可以通过课堂观察、作业完成情况等方式进行；终结性评价可以通过考试、测验等方式进行。
同时，教学评价应该注重学生的主体地位和全面发展，鼓励学生自我评价和互评。
四、基于数学核心素养的三角函数单元教学实践案例分析案例一：正弦函数的图像和性质本单元以正弦函数的图像和性质为主题，通过讲解正弦函数的定义、图像和性质等方面的知识，引导学生认识正弦函数的周期性、单调性、奇偶性等性质。
核心素养理念下的高中数学教学设计---以《三角函数的概念》为例
核心素养理念下的高中数学教学设计---以《三角函数的概念》为例摘要：本文比较分析了新旧教材对《三角函数的概念》这节课的设计和编排，并基于数学核心素养的理念，与时俱进，以提升学生学科素养为目标，就如何运用新教材更好的设计和组织本节课的教学展开了研修。
关键词：三角函数的概念；核心素养；教学设计随着新课程改革的不断深入开展，基础教育数学课程的理念与教材内容的呈现方式也在不断与时俱进，以期实现“以学生发展为本，落实立德树人根本任务，培育科学精神和创新意识，提升数学学科核心素养”[1]等目标。
《普通高中数学课程标准（2017年版）》指出，要培养学生的数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析等六大核心素养，也就是要让学生学会用数学的眼光观察世界，用数学思维分析世界，用数学语言表达世界。
以人教版教材为例，为了落实最新课程标准的要求，最新修订并于2019年秋季陆续投入使用的《普通高中教科书·数学（人教A版）》，相较于2004年秋季开始发行的《普通高中实验教科书·数学（人教A版）》（以下简称“旧教材”）,教材的编排与内容的呈现形式有了很大的变化。
如何基于数学核心素养的理念，运用新教材更好地设计和组织教学，以更好地发展学生的思维，增强发现问题与提出问题、分析问题与解决问题的能力？下面以“三角函数的概念”为例，对比新旧教材的处理方式形成有效的发展学生数学核心素养的教学设计。
一、教材比较分析1.基于课程标准要求的“三角函数的概念”新教材内容分析以《普通高中教科书·数学必修第一册（人教A版）》为例，三角函数的概念的分为2个课时，这里重点分析第一课时内容。
函数是刻画现实世界运动变化规律的重要函数模型。
作为基本函数之一的任意角的三角函数，是刻画周期性运动规律的重要函数模型。
其中圆周运动是周期性运动的典例，前面通过对任意角和弧度值的学习，建立了角的集合与实数集的一一对应，为学习任意角的三角函数做好了铺垫。
核心素养视角下新高考三角函数试题评价研究
核心素养视角下新高考三角函数试题评价研究近年来，我国教育改革持续推进，高中阶段教育也面临着新的挑战和变革。
新高考改革的实施，将核心素养的培养作为目标，要求学生具备扎实的基础知识和综合能力。
在数学科目中，三角函数是高中数学的重要内容之一，对于学生的数学素养和应用能力的培养具有重要意义。
因此，评价新高考三角函数试题的质量和效果，对于推动学生的数学学习和发展具有重要意义。
首先，新高考三角函数试题应该注重素养培养。
素养培养强调学生的综合能力和应用能力的培养，试题设计应该贴近实际生活和问题解决的需求。
例如，可以设计一些与实际应用相关的问题，让学生将三角函数知识应用于实际情境中进行分析和解决。
这样的试题设计有助于培养学生的数学思维能力和创新能力，提高他们解决实际问题的能力。
其次，新高考三角函数试题应该注重知识的扎实性。
数学是一门基础学科，学生必须掌握扎实的基础知识才能有效地解决问题。
试题设计应该注重基本概念的理解和运用，强调基本定理和公式的掌握和应用。
同时，试题的难度要适中，既不能过于简单，也不能过于复杂，要符合学生的认知水平和学习需求，让学生在解题过程中既能巩固基础知识，又能提高思维能力。
此外，新高考三角函数试题应该注重能力的培养和提高。
高中数学的目标之一是培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。
试题设计应该注重培养学生的分析和推理能力，引导学生从多个角度去解决问题，培养他们的创新思维和实践能力。
例如，可以设计一些开放性的问题，让学生自由发挥，思考不同的解题方法和思路。
这样的试题设计有助于拓宽学生的思维空间，提高他们解决问题的能力。
综上所述，核心素养视角下的新高考三角函数试题评价研究对于推动学生的数学学习和发展具有重要意义。
试题设计应该注重素养培养、知识扎实性和能力培养，既要注重学生的基础知识掌握和应用能力的培养，又要注重培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。
只有如此，才能更好地适应新高考改革的要求，促进学生的全面发展。
高考数学-三角函数核心知识点(全)
三角函数核心内容一、角的概念的推广、弧度制●1．任意角：角是由射线绕端点旋转而成的，它有正角、负角与特殊的零角。
●2．终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，称为终边相同的角，记为{360,}S k k Z ββα==+⋅∈o●3．象限角：把角置于直角坐标系中，使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x 轴的正半轴重合，那么角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限角。
例如：第二象限角的集合：{36090360180,}S k k k Z αα=⋅︒+︒<<⋅︒+︒∈●4．坐标轴上的角终边在x 轴上的角的集合：{180,}S k k Z αα==⋅︒∈ 终边在y 轴上的角的集合：{18090,}S k k Z αα==⋅︒+︒∈ 终边在坐标轴上的角的集合：{90,}S k k Z αα==⋅︒∈ ●5．角的度量：弧度制，角度制。
1rad 角：弧长与圆半径长相等的弧所对的圆心角的大小称为1rad 角。
弧度和角度的换算：180()rad π︒=10.01745180rad rad π︒=≈1801()()57.305718rad π'=︒≈︒=︒●6．弧长和扇形面积公式 l R α=⋅ 21122S l R R α=⋅=⋅二、任意角的三角函数●1．任意角的三角函数的定义：设点(,)P x y 是角α终边上一点，点O 是坐标原点，22||r OP x y ==+，那么角α的正弦、余弦、正切分别是sin ,cos ,tan (0)y yx x r r xααα===≠。
●2．三角函数值的符号：正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号是： ＋＋－－xy ＋－－ ＋xy ＋－＋ －xyOOO●3．三角函数线：正弦线sin MP α=，余弦线cos OM α=，正切线tan AT α=。
三、同角三角函数的基本关系式与诱导公式●1．同角三角函数的基本关系式，注意公式的变形使用。
（1）22sin cos 1αα+= （2）sin tan cos ααα= ●2．诱导公式：与角“32,,,,22k πππααπααα+-±±±”有关的诱导公式的记忆口诀是“奇变偶不变, 符号看象限”。
核心素养 单元设计 三角函数
核心素养单元设计三角函数一、学习对象初三年级数学基础较好的学生。
二、学习要求通过上完本单元学习后，学生能：1.理解三角函数并能使用它们准确表达不等式和不同问题中地理位置关系；2.理解正弦、余弦和正切函数的形状，用直角三角形的关系准确画出；3.认识从直角三角形的角度和边长导出的反三角函数；4.熟悉求角度和边长的方法；5.根据实际问题，能准确判断应该使用何种函数，从而运用它来求解问题。
三、学习重点1.理解和正确使用正弦、余弦和正切函数；2.掌握从直角三角形的角度和边长导出的反三角函数；3.熟悉求角度和边长的方法；4.能正确判断应该使用何种函数，从而运用它来求解问题。
四、学习内容1.正弦、余弦和正切的介绍立足于直角三角形的原理，教授正弦、余弦和正切函数的定义与基本性质；2.正弦、余弦和正切函数的概念与特性学习正弦、余弦和正切函数各自的特性，包括它们之间的关系；3.正弦、余弦和正切函数图像的绘制与性质让学生学会在相应的坐标图上画出正弦、余弦和正切函数，深入理解它们的性质；4.反正弦、反余弦和反正切函数的介绍学生需要掌握，从直角三角形的角度和边长导出的反三角函数的定义以及它们的性质；5.求角度和边长的方法教授学生熟悉求角度和边长的方法6.应用题的做题方法学生sidua、博掌握它们的应用，学会从实际问题中准确判断应该使用何种函数，从而运用它来求解问题。
五、学习方法1.说明性讲授首先，由教师做说明性讲授，将知识点全面讲解；2.讲授与探究其次，教师引导学生通过讲授和探究，加深理解三角函数的概念；3.基础练习为了检验学生的学习成果，让学生完成一些基础练习题；4.课后练习让学生完成老师制定的课后练习，。
人教A版高中数学必修4第一章 三角函数1.6 三角函数模型的简单应用教案(4)
1.6 三角形函数模型的简单应用一、教学目标 （一）核心素养通过这节课学习，了解并掌握三角函数模型应用基本步骤，会利用收集到的数据作出散点图，并根据散点图进行函数拟合，从而得到函数模型. （二）学习目标1．了解并掌握三角函数模型应用基本步骤．2．利用收集到的数据作出散点图，根据散点图进行函数拟合，建立三角函数模型，掌握利用三角函数模型解决实际问题的方法．3．感悟“数形结合”、“函数与方程”的数学思想，并能理解应用“数形结合”、“函数与方程”思想解决有关具有周期运动规律的实际问题． （三）学习重点1．运用三角函数模型，解决一些具有周期性变化规律的实际问题.2．从实际问题中发现周期变化的规律，并将所发现的规律抽象为恰当的三角函数模型． （四）学习难点分析、整理、提取和利用信息，将实际问题抽象转化成三角函数模型，并综合运用相关知识解决实际问题．二、教学设计 （一）课前设计 1．预习任务（1）三角函数可以作为描述现实世界中 周期 现象的一种数学模型. （2）y =|sin x |是以 π 为周期的波浪形曲线. 2．预习自测 （1）函数y =sin （2x -3π）的最小正周期为 π .（2）已知某地一天从4～16时的温度变化曲线近似满足函数y =10sin （8πx -45π）+20,x ∈[4，16]，则该地区这一段时间内的最大温差为 20℃.(二)课堂设计 1.知识回顾（1）参数A （A ﹥0），ω（ω﹥0），φ对函数图象的影响. （2）函数y =A sin （ωx +φ）的图象.（3）y =A sin （ωx +φ），x ∈[0，∞+）（A ﹥0，ω﹥0）中各量的物理意义. 2.问题探究例1 如图,某地一天从6—14时的温度变化曲线近似满足函数y =sin(ωx +φ)+b .(1)求这一天6—14时的最大温差;(2)写出这段曲线的函数解析式. 【知识点】正弦函数的图像与性质. 【数学思想】数形结合的数学思想. 【解题过程】解:(1)由图可知,这段时间的最大温差是20 ℃.(2)从图中可以看出,从6—14时的图象是函数y =A sin(ωx +φ)+b 的半个周期的图象,∴A =21(30-10)=10,b =21(30+10)=20.∵21·ωπ2=14-6, ∴ω=8π.将x =6,y =10代入上式,解得φ=43π. 综上,所求解析式为y =10sin(8πx +43π)+20,x ∈[6,14]. 【思路点拨】本例是研究温度随时间呈周期性变化的问题，引导学生观察给出的模型函数并思考要解决的问题，让学生体会不同的函数模型在解决具体问题时的不同作用.提醒学生注意本题中所给出的一段图象实际上只取6—14即可,此段恰好为半个周期.本题所求出的函数模型只能近似刻画这天某个时段的温度变化情况,因此应当特别注意自变量的变化范围.同类训练 如下图表示的是电流I 与时间t 的函数关系()⎪⎭⎫ ⎝⎛<>+=2,0sin πϕωϕωt A I 在一个周期内的图象.(1)根据图象写出()ϕω+=t A I sin 的解析式; (2)为了使()ϕω+=t A I sin 中的t 在任意一段1001s 的时间内电流I 能同时取得最大值和最小值,那么正整数ω的最小值为多少? 【知识点】正弦函数的图像与性质. 【数学思想】数形结合.【解题过程】解:(1)由图知A =300,第一个零点为(－3001,0),第二个零点为(1501,0), ∴πϕωϕω=+⋅=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅1501,03001.解得3,100πϕπω==,∴⎪⎭⎫ ⎝⎛+=3100sin 300ππt I . (2)依题意有T ≤1001,即ωπ2≤1001,∴πω200≥.故629min =ω 【思路点拨】观察图像带入零点和最值点是求解解析式的常用办法.例2 如图,设地球表面某地正午太阳高度角为θ,δ为此时太阳直射纬度,φ为该地的纬度值,那么这三个量之间的关系是θ=90°-|φ-δ|.当地夏半年δ取正值,冬半年δ取负值.如果在北京地区(纬度数约为北纬40°)的一幢高为0h 的楼房北面盖一新楼,要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡,两楼的距离不应小于多少?【知识点】正切函数. 【数学思想】数形结合.【解题过程】太阳高度角的定义:设地球表面某地纬度值为φ,正午太阳高度角为θ,此时太阳直射纬度为δ,那么这三个量之间的关系是θ=90°-|φ-δ|.当地夏半年δ取正值,冬半年δ取负值.由地理知识可知,南、北回归线之间的地带可被太阳直射到,由画图易知太阳高度角θ、楼高h 0与此时楼房在地面的投影长h 之间有如下关系:h 0=h tanθ由地理知识可知,在北京地区,太阳直射北回归线时物体的影子最短,直射南回归线时物体的影子最长.因此,为了使新楼一层正午的太阳全年不被遮挡,应当考虑太阳直射南回归线时的情况.解:如图,A 、B 、C 分别为太阳直射北回归线、赤道、南回归线时楼顶在地面上的投影点.要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡,应取太阳直射南回归线的情况考虑,此时的太阳直射纬度－23°26′.依题意两楼的间距应不小于MC . 根据太阳高度角的定义,有∠C ＝90°－|40°－(－23°26′)|＝26°34′, 所以MC ＝tanC h 0=34'26 tan h 0≈2.000h 0. 即在盖楼时,为使后楼不被前楼遮挡,要留出相当于楼高两倍的间距.【思路点拨】引导学生思考楼高与楼在地面上投影长之间的关系,带领学生分析问题，提示学生从复杂的背景中抽取基本的数学关系，调动相关学科知识来帮助解决问题，最终将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型,再根据所得的函数模型解决问题.同类训练 某市的纬度是北纬23°,小王想在某住宅小区买房,该小区的楼高7层,每层3米,楼与楼之间相距15米.要使所买楼层在一年四季正午太阳不被前面的楼房遮挡,他应选择哪几层的房？【知识点】正切函数.【数学思想】数形结合.【解题过程】解:北楼被南楼遮挡的高度为h=15tan［90°-(23°+23°26′)］=15tan43°34′≈14.26,由于每层楼高为3米,根据以上数据,所以他应选3层以上.【思路点拨】结合图像恰当的选择三角函数解决实际问题.例 3 货船进出港时间问题:海水受日月的引力,在一定的时候发生涨落的现象叫潮.一般地,早潮叫潮,晚潮叫汐.在通常情况下,船在涨潮时驶进航道,靠近码头;卸货后,在落潮时返回海洋.下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表:深的近似数值(精确到0.001).(2)一条货船的吃水深度(船底与水面的距离)为4米,安全条例规定至少要有1.5米的安全间隙(船底与洋底的距离),该船何时能进入港口?在港口能呆多久?(3)若某船的吃水深度为4米,安全间隙为1.5米,该船在2:00开始卸货,吃水深度以每小时0.3米的速度减少,那么该船在什么时间必须停止卸货,将船驶向较深的水域?活动1：引导学生观察上述问题表格中的数据，发现规律并进一步引导学生作出散点图.引导学生根据散点的位置排列,思考并建立相应的函数模型刻画其中的规律.活动2：根据学生所求得的函数模型,指导学生利用计算器进行计算求解.根据题意,一天中有两个时间段可以进港.问题1：你所求出的进港时间是否符合时间情况？如果不符合,应怎样修改？ 问题2：第3问中,应保持港口的水深不小于船的安全水深,那么如何刻画船的安全水深呢？问题3：根据问题的实际意义,货船的安全水深正好等于港口的水深时停止卸货行吗？为什么？正确结论是什么？ 【知识点】正弦函数的图像与性质. 【数学思想】数形结合. 【解题过程】解:(1)以时间为横坐标,水深为纵坐标,在直角坐标系中画出散点图.根据图象,可以考虑用函数y =Asin (ωx +φ)+h 刻画水深与时间之间的对应关系.从数据和图象可以得出: A ＝2.5,h ＝5,T ＝12,φ＝0, 由T ＝ωπ2＝12,得ω＝6π.所以这个港口的水深与时间的关系可用y ＝2.5sin 6πx +5近似描述.由上述关系式易得港口在整点时水深的近似值:令2.5sin6πx +5=5.5,sin6πx =0.2.由计算器可得 20.20.201 357 92≈0.201 4.如图,在区间[0,12]内,函数y ＝2.5sin 6πx +5的图象与直线y ＝5.5有两个交点A 、B ,因此6πx ≈0.201 4,或π－6πx ≈0.201 4.解得A x ≈0.384 8,B x ≈5.615 2.由函数的周期性易得:C x ≈12+0.384 8＝12.384 8,D x ≈12+5.615 2＝17.615 2.因此,货船可以在0时30分左右进港,早晨5时30分左右出港;或在中午12时30分左右进港,下午17时30分左右出港.每次可以在港口停留5小时左右. (3)设在时刻x 货船的安全水深为y ,那么y =5.5-0.3(x -2)(x ≥2).在同一坐标系内作出这两个函数的图象,可以看到在6—7时之间两个函数图象有一个交点.通过计算也可以得到这个结果.在6时的水深约为5米,此时货船的安全水深约为4.3米;6.5时的水深约为4.2米,此时货船的安全水深约为4.1米;7时的水深约为3.8米,而货船的安全水深约为4米.因此为了安全,货船最好在6.5时之前停止卸货,将船驶向较深的水域.【思路点拨】引导学生思考,怎样把此问题翻译成函数模型.引导学生将实际问题的意义转化为数学解释,同时提醒学生注意题目需留意的定量与变量，如：货船的安全水深、港口的水深同时在变,停止卸货的时间应当在安全水深接近于港口水深的时候.让学生进一步体验“数形结合”思想和“函数与方程”思想在解决数学问题中的作用.结论:在货船的安全水深正好等于港口的水深时停止卸货将船驶向较深水域是不行的,因为这样不能保证货船有足够的时间发动螺旋桨.同类训练 设()y f t =是某港口水的深度关于时间t (时)的函数，其中024t ≤≤,下表是该港口某一天从0至24时记录的时间t 与水深y 的关系.经长期观察，函数()y f t =的图象可以近似地看成函数sin()y k A t ωϕ=++的图象. 根据上述数据，函数()y f t =的解析式为（ ） A ．123sin,[0,24]6ty t π=+∈ B ．123sin(),[0,24]6ty t ππ=++∈C ．123sin ,[0,24]12t y t π=+∈D ．123sin(),[0,24]122t y t ππ=++∈【知识点】三角函数的图像与性质. 【数学思想】数形结合.【解题过程】由表可得，最大值为15，相邻两个最大值之间间隔12，故周期T =12，故6122ππ=，故6πω=，答案选A. 【思路点拨】观察表格，求出相邻两个波峰之间的横向距离，即周期. 【答案】A. 3. 课堂总结 知识梳理三角函数模型应用的基本方法及一般步骤：①审题：观察收集到的数据，寻找规律，发现数据间的数量关系；②建模：根据已知数据绘制散点图，建立三角函数式、三角不等式或三角方程等； ③求解：根据题意求出某点的三角函数值；④检验：检验所求解是否符合实际意义，通过比较，选择恰当的函数模型拟合数据；⑤还原：将所得结论转译回实际问题. 重难点归纳建立数学模型的关键，先根据题意设出代表函数，再利用数据求出待定系数，然后写出具体的三角函数式． （三）课后作业基础型 自主突破1.已知A ,B ,C 是△ABC 的三个内角,且sin A >sin B >sin C ,则( ) A.A >B >C B.A <B <C C.A +B >2πD.B +C >2π【知识点】根据三角函数判断三角形各角大小. 【数学思想】三角函数图象的应用.【解题过程】∵sin A >sin B >sin C ,又 三角形内角和为180°,∴由函数y ＝sin x ,x ），（π0∈图象可得A >B >C . 【思路点拨】由于三角形内角和为180°，所以讨论函数为y ＝sin x ,x ），（π0∈. 【答案】A2．2002年8月，在北京召开国际数学家大会，大会会标如图所示，它是由四个相同的直角三角形、与中间的小正方形拼成的大正方形．若直角三角形中较小的锐角为θ，大正方形的面积为1，小正方形的面积为251，则sin θ+cos θ= ．【知识点】在实际问题中建立三角函数模型．【数学思想】主要考查求解三角函数，关键是理解题意并正确利用勾股定理【解题过程】解：由题意，大正方形的边长为1，小正方形的边长为51设θ所对的直角边为x ，则由勾股定理得：15122=⎪⎭⎫ ⎝⎛++x x∴x =53，∴sin θ=53,cos θ=54∴sin θ+cos θ=57 【思路点拨】根据正方形的面积=边长2，可知大正方形及小正方形的边长，根据图形，大正方形的边长即是直角三角形的斜边，小正方形的边长即是直角三角形两个直角边的差，从而可求相应三角函数的值．【答案】57能力型 师生共研3.如图表示的是电流I 与时间t 的函数关系，I =A sin(ωx +φ)(ω>0,|φ|<2π)在一个周期内的图象.(1)根据图象写出I =A sin(ωx +φ)的解析式； (2)为了使I =A sin(ωx +φ)中的t 在任意一段1001s 的时间内电流I 能同时取得最大值和最小值,那么正整数ω的最小值为多少?【知识点】在实际问题中建立三角函数模型． 【数学思想】三角函数模型的构建.【解题过程】(1)由图知A =300,第一个零点为(－3001,0),第二个零点为(1501,0), ∴ω·(－3001)+φ=0,ω·1501+φ=π.解得ω=100π,φ=3π∴I =300sin(100πt +3π). (2)依题意有T ≤1001,即ωπ2≤1001,∴ω≥200π.故ωmin =629. 【思路点拨】根据图象可求得相应三角函数，根据题意利用所得三角函数求出电流I 及ω.【答案】(1)I =300sin(100πt +3π)；(2)629. 探究型 多维突破4.某港口水深y （米）是时间t （0≤t ≤24，单位：小时）的函数，下表是水深数据：根据上述数据描成的曲线如图所示，经拟合，该曲线可近似地看成正弦函数y =A sin ωt +b 的图象．（1）试根据数据表和曲线，求出y =A sin ωt +b 的表达式；（2）一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于4.5米是安全的，如果某船的吃水度（船底与水面的距离）为7米，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间？（忽略离港所用的时间）【知识点】在实际问题中建立三角函数模型． 【数学思想】三角函数模型的构建，解三角不等式. 【解题过程】解：（1）根据数据可得，A +h =13，-A +h =7， ∴A =3，h =10， T =15﹣3=12，∴ω=T π2=6π， ∴y =3sin （6πx +φ）+10将点（3，13）代入可得π=0 ∴函数的表达式为y =3sin6πt +10（0≤t ≤24） （2）由题意，水深y ≥4.5+7，即3sin6πt +10≥11.5（0≤t ≤24）， ∴3sin 6πt ≥，∴6πt ∈[2kπ+6π，2kπ+65π]，k =0，1， ∴t ∈[1，5]或t ∈[13，17]；所以，该船在1：00至5：00或13：00至17：00能安全进港． 若欲于当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过16小时．【思路点拨】（1）根据数据，A +h =13，-A +h =7，可得A =3，h =10，由T =15﹣3=12，可求ω=6π，将点（3，13）代入可得φ=0，从而可求函数的表达式；（2）由题意，水深y ≥4.5+7，即3sin 6πt +10≥11.5（0≤t ≤24），从而可求t ∈[1，5]或t ∈[13，17] 【答案】（1）y =3sin6πt +10（0≤t ≤24）；（2）1：00至5：00或13：00至17：00；在港内停留的时间最多不能超过16小时. 自助餐1.甲、乙两人从直径为2r 的圆形水池的一条直径的两端同时按逆时针方向沿池做圆周运动,已知甲速是乙速的两倍,乙绕池一周为止,若以θ表示乙在某时刻旋转角的弧度数, l 表示甲、乙两人的直线距离，则l =f (θ)的图象大致是( )A.B.C.D.【知识点】三角函数模型的应用.【数学思想】根据题目要求选择恰当的三角函数模型.【解题过程】根据题意可知θ=π时，两人相遇，排除B ，D ；两人的直线距离不可为负，排除A ．【思路点拨】由题意知θ=π时，两人相遇，两人的直线距离不可为负. 【答案】C2.电流强度I (安培)随时间t(秒)变化的函数I =Asin (ωt +φ)的图象如图所示，则当t =1207秒时的电流强度( )A.0B.10C.-10D.5 【知识点】三角函数模型的应用.【数学思想】函数y =A sin （ωx +φ），x ∈[0，∞+）（A ﹥0，ω﹥0）中各量的物理意义.【解题过程】根据题意可知A =10，1001300130042=-=T ，可知501=T ，从而得π100=ω；当3001=t 时，10=I ，从而可得φ=6π；于是可得I =10sin （10πx +6π）.故当t =1207时，I =0.【思路点拨】由题意知θ=π时，两人相遇，两人的直线距离不可为负. 【答案】A3.一个大风车的半径为8米，12分钟旋转一周，它的最低点离地面2米，求风车翼片的一个端点离地面距离h (米)与时间t (分钟)之间的函数关系式.【知识点】三角函数模型的应用.【数学思想】根据题目要求建立恰当的三角函数模型.【解题过程】以最低点的切线为x 轴，最低点为原点，建立直角坐标系.设P (x (t ), y (t ))则h(t )= y (t )+2,又设P 的初始位置在最低点，即y (0)=0， 在Rt △O 1PQ 中，∠OO 1P =θ,cos θ=8()8y t -,∴y (t )= -8cos θ+8,而212π=t θ，∴θ=6t π，∴y (t )= -8cos 6t π+8, ∴h (t )= -8cos 6t π+10.【思路点拨】根据题意建立合适的直角坐标系，利用给定的几何关系和三角函数构建角度和长度的关系，列出函数表达式，化简即可得出结果.【答案】h (t)=-8cos6t+10。
听课记录：新2024秋季高一必修数学第一册人教A版第五章三角函数《三角函数的概念》
听课记录：新2024秋季高一必修数学第一册人教A版第五章三角函数《三角函数的概念》教学目标（核心素养）1.知识与技能：学生能够理解并掌握三角函数（正弦、余弦、正切）的基本定义，以及它们与任意角、单位圆之间的关系。
2.数学思维：培养学生的抽象思维能力，通过角度与边长之间的转换，理解三角函数作为函数概念的特殊性。
3.数学应用：初步了解三角函数在实际问题中的应用，增强数学与生活的联系。
导入教师行为：•通过多媒体展示一幅包含不同角度的直角三角形图片，提问：“在直角三角形中，除了直角边和斜边，我们还能通过什么方式来表示角度的大小？”•引导学生回顾初中学习的锐角三角函数概念，并指出其局限性（仅适用于锐角）。
•引入新课：“今天，我们将学习一个更广泛、更深刻的三角函数概念，它能表示任意角度的大小。
”学生活动：•观察图片，思考教师提出的问题，回顾旧知。
•对教师引入的新概念产生好奇，期待进一步学习。
过程点评：•导入环节紧密联系生活实际和学生已有知识，有效激发了学生的学习兴趣。
•通过提问和回顾，为学生搭建了新旧知识之间的桥梁，为后续学习做了良好铺垫。
教学过程教师行为：•定义讲解：详细讲解三角函数（正弦、余弦、正切）在任意角情况下的定义，强调它们与单位圆的关系。
•图形演示：利用多媒体展示单位圆上不同角度对应的三角函数值，帮助学生直观理解。
•例题分析：选取典型例题，引导学生分析题目中的角度与三角函数值之间的关系，并示范解题过程。
•学生练习：布置相关练习题，让学生分组讨论并尝试解答，教师巡回指导。
学生活动：•认真听讲，记录三角函数的基本定义和单位圆上的表示方法。
•观察图形演示，加深对三角函数直观理解。
•积极参与例题分析，尝试独立解题或小组讨论。
•完成练习题，巩固所学知识。
过程点评：•教师讲解条理清晰，注重理论与实践相结合，有助于学生理解和掌握。
•通过图形演示和例题分析，增强了学生对三角函数概念的直观认识和理解。
•学生练习环节设计合理，既保证了学生的参与度，又便于教师及时发现问题并进行指导。
高中数学“三角函数”教学中培养核心素养的有效策略
周刊
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求解决问题的方法和途径.我在实际 的 数 学 教 学 活 动 中,充 分利用每节课给学生讲解例题的机会,改 变 以 往 讲 解 例 题 为 主的传统教学方式,以 深 入 问 题 进 行 详 细 分 析 的 传 授 方 式, 来逐渐提升学生的数学逻辑推理能力. 三 、利 用 图 像 与 数 的 关 系 培 养 学 生 的 直 观 想 象 能 力
关 键 词 在高中 数 学 的 教 学 内 容 中,三 角 函 数 是 重 要 的 学 习 内 容,它涉及很多的数 学 理 论 知 识 和 逻 辑 思 维,对 提 高 学 生 的 数学素养有着极其 重 要 的 作 用,不 断 深 入 的 数 学 教 学 改 革, 让数学教师越来越重视学生核心素养的 培 养,教 学 中 心 也 不 再以提升学生考试成绩为主,而是向培养 学 生 核 心 素 养 方 面 转变.在高中数学的教学过程中,教师 要 把 握 核 心 素 养 的 要 求和内涵,结合学生的学习情况,改变 以 往 的 教 学 方 式,深 入 挖掘教材中那些能够培养学生核心素养 的 内 容,用 贴 近 学 生 的生活实例来为学生创设生活情境,让抽 象 的 数 学 概 念 变 得 具体可感,并通过让 学 生 观 察 思 考 来 总 结 出 规 律,培 养 他 们 的抽象概括能力,利 用 课 堂 教 学 中 的 例 题 的 讲 析,循 序 渐 进 的引导学生推理出问题的逻辑性,让学生 在 思 考 和 推 理 中 锻 炼他们的逻辑思维的能力.本文就笔者自身的高中数学的 教学实践经验,以“三 角 函 数 ”为 例,浅 谈 了 几 点 如 何 通 过 改 变教学方式和丰富教学内容来培养学生的核心素养的方法. 一 、利 用 实 际 例 子 培 养 学 生 抽 象 概 括 能 力
新课标高中数学教材解读(三角函数)
新课标高中数学教材解读（三角函数）一 、教学内容分析课程标准内容：1.了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化.2. 借助单位圆理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义.3. 借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式(2πα±, πα±)的正弦、余弦、正切，能画出y =sin x , y =cos x ,y =tan x 的图象，了解三角函数的周期性.4. 借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]，正切函数在（-2π，2π ）上的性质（如单调性、最大和最小值、图象与x 轴交点等）.5. 理解同角三角函数的基本关系式：22sin x+cos x=1，sin tan cos ααα= . 6. 结合具体实例，了解y =Asin （ωx +ϕ）的实际意义；能借助计算器或计算机画出y =Asin （ωx + ϕ）的图象，观察A ，ω，ϕ对函数图象变化的影响.7. 会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.二、知识结构：1．1任意角和弧度制课时安排：第1课时：任意角概念，象限角、终边相同的角第2课时：弧度的概念及角度与弧度换算教学要求 ：基本要求。
①认识角扩充的必要性，了解任意角的概念；②能用集合和数学符号表示终边相同的角；③能用集合和数学符号表示象限角；④了解弧度制，能进行弧度与角度的换算；⑤ 认识弧长公式，能进行简单应用。
发展要求。
能用集合和数学符号表示终边满足一定条件的角。
说明。
对弧长公式只要求了解，会进行简单应用，不必在应用方面加深。
重点难点：重点：将0︒至360︒范围的角推广到任意角，了解弧度制，并能进行弧度与角度的换算。
难点：弧度的概念，用集合来表示终边相同的角和象限角。
教学建议：教学中要注意在学生已有生活经验的基础上，通过较丰富的实例展示角扩充的必要性。
在直角坐标系中，引入象限角概念，为用代数方法研究角提供了基础. 要认识象限角的分类，通过比较、发现，导出同终边角的集合表示。
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高中三角函数核心知识评价要求
高中三角函数核心知识评价要求主要包括以下几个方面：
1. 理解基本概念：包括角度、弧度、正弦、余弦、正切等基本概念的理解与解释。
2. 掌握基本性质：了解三角函数的周期性、奇偶性、单调性等基本性质，并能应用于具体问题的求解中。
3. 计算题能力：能够灵活运用三角函数的计算公式，解决与角度、边长等相关的实际问题，如三角函数的基本运算、相互转化等。
4. 图像与图形问题：能够绘制三角函数图像，了解图像与函数性质之间的关系，如振幅、周期、相位差等，并能应用于实际问题的分析与解决中。
5. 解三角形问题：能够运用三角函数的理论与定理，解决实际生活中的三角形相关问题，如角的大小、边长的计算等。
6. 制定与解决模型问题：能够将实际问题进行数学建模，利用三角函数的知识解决模型问题，如测量高度、角度、距离等。
评价要求可以根据以上内容进行综合考察，包括选择题、计算题、解答题等不同形式的题目，以测验学生对三角函数的掌握程度和运用能力。