概率论知识点总结

概率论总结

目录

一、前五章总结

第一章随机事件和概率 (1)

第二章随机变量及其分布 (5)

第三章多维随机变量及其分布 (10)

第四章随机变量的数字特征 (13)

第五章极限定理 (18)

二、学习概率论这门课的心得体会 (20)

一、前五章总结

第一章随机事件和概率

第一节：1.、将一切具有下面三个特点：（1）可重复性（2）多结果性（3）不确定性的试验或观察称为随机试验，简称为试验，常用E表示。

在一次试验中，可能出现也可能不出现的事情（结果）称为随机事件，简称为事件。

不可能事件：在试验中不可能出现的事情，记为Ф。

必然事件：在试验中必然出现的事情，记为S或Ω。

2、我们把随机试验的每个基本结果称为样本点，记作e 或ω. 全体样本点的集合称为样本空间. 样本空间用S或Ω表示.

一个随机事件就是样本空间的一个子集。

基本事件—单点集，复合事件—多点集

一个随机事件发生，当且仅当该事件所包含的一个样本点出现。

事件间的关系及运算，就是集合间的关系和运算。

3、定义：事件的包含与相等

若事件A发生必然导致事件B发生，则称B包含A，记为BA或AB。

若AB且AB则称事件A与事件B相等，记为A＝B。

定义：和事件

“事件A 与事件B 至少有一个发生”是一事件，称此事件为事件A 与事件B 的和事件。记为A ∪B 。 用集合表示为: A ∪B={e|e ∈A ，或e ∈B}。 定义：积事件

称事件“事件A 与事件B 都发生”为A 与B 的积事件，记为A ∩B 或AB ，用集合表示为AB={e|e ∈A 且e ∈B}。 定义：差事件

称“事件A 发生而事件B 不发生,这一事件为事件A 与事件B 的差事件,记为A －B,用集合表示为 A-B={e|e ∈A ，eB} 。 定义：互不相容事件或互斥事件

如果A ，B 两事件不能同时发生，即AB ＝Φ ，则称事件A 与事件B 是互不相容事件或互斥事件。 定义6：逆事件/对立事件

称事件“A 不发生”为事件A 的逆事件，记为ā 。A 与ā满足：A ∪ā= S,且A ā=Φ。 运算律：

设A ，B ，C 为事件，则有

（1）交换律：A ∪B=B ∪A ，AB=BA （2）结合律：A ∪(B ∪C)=(A ∪B)∪C=A ∪B ∪C A(BC)=(AB)C=ABC

（3）分配律：A ∪(B ∩C)＝(A ∪B)∩(A ∪C) A(B ∪C)＝(A ∩B)∪(A ∩C)= AB ∪AC （4）德摩根律： 小结：

事件的关系、运算和运算法则可概括为

四种关系：包含、相等、对立、互不相容； 四种运算：和、积、差、逆；

四个运算法则：交换律、结合律、分配律、对偶律。

B A B A =B

A B A =

第二节：

1、 设试验E 是古典概型, 其样本空间S 由n 个样本点组成 , 事件A 由k 个样

本点组成 . 则定义事件A 的概率为：P(A)＝k/n ＝A 包含的样本点数/S 中的样本点数。 2、 几何概率：设事件A 是S 的某个区域，它的面积为 μ(A )，则向区域S 上

随机投掷一点，该点落在区域A 的概率为：

P （A ）=μ（A ）/μ（S ） 假如样本空间S 可用一线段，

或空间中某个区域表示，并且向S 上随机投掷一点的含义如前述，则事件A 的概率仍可用（*）式确定，只不过把 理解为长度或体积即可.

概率的性质： （1）P()=0, （2）

（3） （4） 若AB ，则P(B-A)=P(B)-P(A), P(B) ≥ P(A).

第四节：条件概率：在事件B 发生的条件下，事件A 发生的概率称为A 对B 的条

件概率，记作P (A |B ).

而条件概率P (A |B )是在原条件下又添加“B 发生”这个条件时A 发生的可能性大小，即P (A |B )仍是概率.

乘法公式： 若P (B )>0,则P (AB )=P (B )P (A |B ) P(A)>0,则P(AB)=P(A)P(B|A)

全概率公式：设A 1,A 2,…,A n 是试验E 的样本空间Ω的一个划分，且P (A i )>0，i =1,2,…,n , B 是任一事件, 则 贝叶斯公式：设A 1,A 2,…,A n 是试验E 的样本空间Ω的一个划分，且P (A i )>0，i =1,2,…,n , B 是任一事件且P (B )>0, 则

第五节 ：若两事件A 、B 满足

P (AB )= P (A ) P (B ) 则称A 、B 独立，或称A 、B 相互独立.

将两事件独立的定义推广到三个事件： 对于三个事件A 、B 、C ，若

()∑∞=∞==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1

1m m P P ΦΦ ();,,,,2,1,,,1

1∑===⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≠=n

k k n k k j i A P A P j i n j i A A 则两两互不相容，

),(1)(A P A P -=∑==n

i i i A B P A P B P 1)

()()(｜∑==n

j j

j i i i A B P A P A B P A P B A P 1)

()()

()()|(｜｜

P (AC )= P (A )P (C ) P (AB )= P (A )P (B )

P (ABC )= P (A )P (B )P (C ) P (BC )= P (B )P (C ) 四个等式同时 成立,则称事件 A 、B 、C 相互独立.

第六节：定理 对于n 重贝努利试验，事件A 在n 次试验中出现k 次的概率为 总结：

1. 条件概率是概率论中的重要概念，其与独立性有密切的关系，在不具有独

立性的场合，它将扮演主要的角色。 2. 乘法公式、全概公式、贝叶斯公式在概率论的计算中经常使用，请牢固掌握。 3. 独立性是概率论中的最重要概念之一，亦是概率论特有的概念，应正确理解并应用于概率的计算。 4. 贝努利概型是概率论中的最重要的概型之一，在应用上相当广泛。

第二章：随机变量及其分布

1 、随机变量：分为离散型随机变量和连续型随机变量。

分布函数：设 X 是一个 ，x 为一个任意实数，称函数

F(X)=P （X ≤x ）为 X 的分布函数。X 的分布函数是F(x)记作 X ～ F(x) 或 F X (x).

如果将 X 看作数轴上随机点的坐标，那么分布函数 F(x) 的值就表示 X 落在

区间 （x ≤X ）。

3、 离散型随机变量及其分布

定义1 ：设x k (k =1,2, …)是离散型随机变量X 所取的一切可能值，称等式P(X=x k )=P K , 为离散型随机变量X 的概率函数或分布律，也称概率分布. 其中P K,≥0；ΣP k =1

p

q n k q

p C k P k

n k k n n -===-1,,,1,0)(