一元二次方程的概念和解法
x＋2；若三个连续整数，则设为x－1，x，
x＋1；若是一个三位数
，ab则c应表
示为
100a 10b 。c
引例2、 某商店四月份电扇的销售 量为500台，随着天气的变化，第二 季度电扇的销售量为1820台，问五 月份、六月份平均每月电扇销售量 的增长率是多少？
分析：第一个月（四月份）电扇销售 量为500台；设平均每月电扇销售量的 增长率为x，则第二个月（五月份）电 扇销售量增长了500x，即第二个月电 扇销售量为（500＋500x）台，就是 500（1＋x）台；第三个月（六月份） 电扇销售量为[500(1＋x)＋500(1＋x)·x]
可以很快地列出方程了。此外，我们还
可以推出每个月的电扇销售量：第四个
月为500(1 x)3台，第五个月为台50，0(1……x)，4
第n个月为
5台00。(1 x)n1
引例3、如图，在宽为20m，长为32m的 矩形田地中央修筑同样宽的两条互相垂 直的道路，把矩形田地分成四个相同面 积的小田地，作为良种试验田，要使每 小块试验田的面积为135m2 ，道路的宽 应为多少？
台，就是 500·(1 x)2 ，数量关系
见下表：
解：设五月份、六月份平均每月电扇销 售量的增长率为x。根据题意，得
500＋500(1＋x)＋ 500·(1 x)2 = 1820
变化：党的十六大提出全面建设小康社会，加快推
进社会主义现代化，力争国民生产总值到2020年比
2000年翻两番。本世纪的头二十年（2001年～2020
年），要实现这一目标，以十年为单位，设每个十
年的国民生产总值的增长率都是x，那么x满足的方
程为 （ ）
A、(1+x)2=2
B、(1+x)2=4
C、1+2x=2
D、（1+x）+2（1+x)=4
答案：B
关键是理解“翻两番”是原来的4倍，而不是原 来的2倍。
小结：通过列表把各种数量关系表示出
来，看起来很费时间，实际上有了表就
一元二次方程的概念和解法
主讲人：扬州市梅岭中学 余云中
分以下几个方面进行探讨：
一、第22章《一元二次方程》教材分析 二、重点、难点和关键 三、本章知识结构 四、几个实际问题 五、一元二次方程的有关概念 六、一元二次方程的解法
一、第22章《一元二次方程》教 材分析：
本章从实际问题引入基本概念，其主要 内容为两大部分。
其中a、b、c分别叫做二次项系数、一次项系数
和常数项； ax2、bx、c分别叫做二次项、一次项和常数项。
例1、下列各等式是否是关于的一元二次方程
为什么？
（1） x(x 1) 5x2 1
（2） 6x2 ax2 3y
（4） ax2 x 3 0
（5） 1 x2 0
二、重点、难点和关键：．
本章教材的重点是一元二次方程的解法、 列方程解应用题．
本章教材的难点是配方法和列方程解应 用题．
学好本章教材的关键是一元二次方程的 解法（特别是公式法）．一元二次方程的解 法，除其本身是学习重点外，它还是学习根 与系数的关系、可化为一元二次方程的方程 与简单的二元二次方程组的基础．
一部分是方程的基本解法——直接开平 方法、因式分解法、配方法与公式法，由最 为简单的方程开始，经过学生的自主探索， 让学生体会并掌握各种方法的使用。
另一部分是数学建模思想，最开始的从 实际问题引入基本概念，学习方程的基本解 法之后所提出的一些实际问题，以及最后一 节的实践与探索，都是为了这一目的。给教 师与学生都创造一些探索交流的机会，了解 数学知识的发生发展过程，学会解决一些简 单问题的方法，特别是从实际情景寻找所隐 含的数量关系，建立适当的数学模型。
三、本章知识结构：
四、几个实际问题
根据题意，列出方程（不必求解） 引例 1、两个正数的差为2，它们的平
方和为52，求这两个数。
解：设较小的数为x，则另一个为x＋2
根据题意，得 x2 (x 2)2 52
小结：关于数的问题，要正确的把数表
示出来。一般地，若大小两个数，则设
小数为x；若连续奇（偶）数，则设为x，
分析：从图中可以看出，四块小试验田的面 积与两条道路所占的面积的和等于整个矩形 田地的面积。这是本题的相等关系。关键是 如何把两条道路所占的面积表示出来。设道 路的宽为xm，则横向道路面积为32xm 2，纵 向道路面积为20xm 2，但两条道路的 面积和并不等于阴影 部分的面积，而是多 了一个宽为xm的小正 方形的面积。所以， 矩形田地面积： 32×20m 2；四块小实 验田的面积:135×4m 2； 两条道路所占的面积：(32x 20x x2 )m2
解：设道路的宽为xm，根据题意，得
135 4 32x 20x x2 32 20
五、一元二次方程的有关概念：
1、一元二次方程
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2， 这样的整式方程叫做一元二次方程 （quadric equation with one unknown）。
一般形式：ax2＋bx＋c＝0 (a、b、c是已知数，a≠0)
（6） (m2 1)x2 mx m 0
（1）是。因为两边整理后得 4x2 x 1 0
（2）是。a在方程中是一次项系数，并 不是未知数。
（3）不是。因为方程中有x,y两个未知数， 不是一元方程。
（4）当时 a 0，是。当时 a 0，不是。
教材联系前几册已经学习的方程知识， 进一步加强方程是反映现实世界数量关系 的一个有效的数学模型的体会，了解一元 二次方程的各种解法，着重体会相互之间 的关系及其转化的思想，增强学数学、用 数学的自觉性。 “判别式”的阅读材料， 可以为一些较好的学生提供一个有用的工 具。
一元二次方程是中学数学的主要内容， 在初中代数中占有重要的地位．在一元二次 方程的前面，学生学了实数与代数式的运算、 一元一次方程(包括可化为一元一次方程的分 式方程)和一次方程组，上述内容都是学习一 元二次方程的基础，通过一元二次方程的学 习，就可以对上述内容加以巩固．一元二次 方程也是以后学习(指数方程、对数方程、三 角方程以及不等式、函数、二次曲线等内容) 的基础．此外，学习一元二次方程对其他学 科也有重要意义．
一元二次方程的几种解法
x2 4x 4 5.
写成（）2 的形式，得
x 22 5.
x2 4x 1 0.
x2 4x 1.
配方：左右两边同时加上一个常 x2 4x 4 1 4.
数，凑成完全平方，得
x2 4x 4 5.
写成（）2 的形式，得
x 22 5.
解：
x2 4x 1 0.
6x2 x 5 0.
答：a=6, b=1, c= -5.
例2、 已知：关于x的方程
(2m-1)x2-(m-1)x=5m
是一元二次方程, 求：m的取值范围. 解：∵ 原方程是一元二次方程， ∴ 2m-1≠0，
1 ∴ m≠ 2.
二、一元二次方程的解法
形如 ax2=0 (a≠0) 的一元二次方程的解法：
移项：将常数项移到等号一边，得 x2 4x 1.
配方：左右两边同时加上一个常 x2 4x 4 1 4.
数，凑成完全平方，得
x2 4x 4 5.
写成（）2 的形式，得
x 22 5.
解：
x2 4x 1 0.
移项：将常数项移到等号一边，得 x2 4x 1.
配方：左右两边同时加上一个常 x2 4x 4 1 4.
除以二次项系数，得
x2 4x 1 0.
移项：将常数项移到等号一边，得 x2 4x 1.
配方：左右两边同时加上一次项 x2 4x 4 1 4.
系数一半的平方，得
x2 4x 4 5.
写成（）2 的形式，得
x 22 5.
开平方，得
x 2 5.
x1 2 5, x2 2 5.
2xx 3 2x2 1 （不是二次方程）
一元二次方 程的一般形式
完全的一元二次方程
一元二次方程概念及其解法
对于一元二次方程，最多有两个解，也 可能有一个解或无解。
解的情况取决于判别式 $Delta = b^2 - 4ac$ 的值：当 $Delta > 0$ 时，方 程有两个不相等的实数根；当 $Delta = 0$ 时，方程有两个相等的实数根 （即一个重根）；当 $Delta < 0$ 时，
方程无实数根。
其他实际问题
增长率问题
已知某量的增长率和初始值，求经过一段时间后 的总量。
储蓄问题
已知本金、利率和存款期限，求到期后的本息和。
工程问题
已知工作效率和工作时间，求工作总量或剩余工 作量。
05 一元二次方程与函数关系 探讨
一元二次函数图像性质
开口方向
当a>0时，抛物线开口 向上；当a<0时，抛物
线开口向下。
对称性
顶点
抛物线关于对称轴对称， 对称轴为x=-b/2a。
抛物线的顶点坐标为(b/2a, c-b^2/4a)，是抛 物线的最高点或最低点。
与x轴交点
当Δ=b^2-4ac≥0时，抛 物线与x轴有交点，交点 坐标为(-b±√Δ/2a, 0)。
判别式与函数图像关系
判别式Δ=b^2-4ac 的值决定了抛物线与 x轴的交点个数
frac{n}{m}$，$x_2 = frac{q}{p}$
03 特殊类型一元二次方程求 解
完全平方型
概念
示例
完全平方型一元二次方程是指可以化 为 $(x+a)^2=b$ 或 $(x-a)^2=b$ 形式的一元二次方程。
方程 $(x+3)^2=16$ 可以化为 $x+3=pm4$，解得 $x=-3pm4$， 即 $x_1=1$，$x_2=-7$。
一元二次方程的解法及应用
一元二次方程的解法及应用一元二次方程是高中数学中的重要内容，它在现实生活中的应用领域十分广泛。
本文将介绍一元二次方程的基本概念、解法和应用，以帮助读者更好地理解和应用这一数学知识。
1. 一元二次方程的基本概念一元二次方程是指含有一个未知数的二次项的方程，其一般形式为ax^2+bx+c=0，其中a、b、c为已知常数，且a≠0。
方程中的x代表未知数，而a、b、c则分别表示二次项系数、一次项系数和常数项。
2. 一元二次方程的解法解一元二次方程的常用方法有因式分解法、配方法和求根公式法。
下面将逐一介绍这些方法。
2.1 因式分解法当一元二次方程可以因式分解时，可以利用因式分解法求解。
例如，对于方程x^2+5x+6=0，可以将其分解为(x+2)(x+3)=0，然后令括号中的两个因式分别等于0，解得x=-2和x=-3，即方程的解为x=-2和x=-3。
2.2 配方法对于一些无法直接因式分解的一元二次方程，可以使用配方法进行求解。
配方法的关键是通过添加或减少适当的常数，使方程转化为一个可以因式分解的形式。
以方程x^2+4x-5=0为例，我们可以通过加上9和减去9来完成配方，即(x^2+4x+9)-9-5=0，化简后得到(x+2)^2=14，然后对方程两边开方，得到x+2=±√14，再解得x=-2±√14。
因此，方程的解为x=-2+√14和x=-2-√14。
2.3 求根公式法如果一元二次方程无法通过因式分解或配方法求解，可以利用求根公式进行计算。
求根公式即一元二次方程的根的公式表示。
根据求根公式，一元二次方程ax^2+bx+c=0的根可由公式x=(-b±√(b^2-4ac))/2a给出。
例如，对于方程2x^2+5x-3=0，可以直接利用求根公式计算，得到x=(-5±√(5^2-4*2*(-3)))/(2*2)，进一步计算得到x=1/2和x=-3。
3. 一元二次方程的应用一元二次方程在各个领域有广泛的应用。
一元二次方程的解题步骤
一元二次方程的解题步骤摘要：一、一元二次方程基本概念1.一元二次方程定义2.一元二次方程一般形式二、解题步骤1.直接开平方法2.因式分解法3.配方法4.求根公式法三、各类方程解题示例1.直接开平方法示例2.因式分解法示例3.配方法示例4.求根公式法示例正文：一、一元二次方程基本概念一元二次方程是指只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2 的整式方程。
一元二次方程经过整理都可化成一般形式ax2+bx+c=0（a≠0）。
二、解题步骤1.直接开平方法当一元二次方程形如x2+px+q=0（p、q 均为常数，且p≠0）时，我们可以使用直接开平方法求解。
解法如下：a.求出p 的平方根，记作μ；b.将方程变形为(x+μ)(x+μ)=0；c.解得x=-μ。
2.因式分解法当一元二次方程的二次项系数a 为正数时，我们可以尝试因式分解法。
解法如下：a.将方程化为两个一次方程相乘的形式，即ax2+bx+c=0 可以分解为(x+m)(x+n)=0，其中m、n 为待求常数；b.求出m、n，使得它们的乘积等于c/a，且它们的和等于-b/a；c.解得x=-m 或x=-n。
3.配方法当一元二次方程形如ax2+bx+c=0（a≠0）时，我们可以使用配方法求解。
解法如下：a.将方程左边的二次项拆成一次项和二次项的和，即ax2+bx+c=ax2+bx+(c/2a)2- (c/2a)2+c；b.将方程化为完全平方的形式，即(x+(c/2a))2=((c/2a)2-c/2a)2；c.开方，解得x=(c/2a)±√((c/2a)2-c/2a)。
4.求根公式法对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），我们可以使用求根公式法求解。
求根公式为：x=[-b±√(b2-4ac)]/2a。
三、各类方程解题示例1.直接开平方法示例解方程x2-6x+8=0，可得x=2。
2.因式分解法示例解方程x2-5x-6=0，可得x=6 或x=-1。
一元二次方程的概念与性质
一元二次方程的概念与性质一元二次方程是数学中常见的一种类型的方程，它由一个变量的平方项、一个变量的一次项和一个常数项组成，具体形式为：ax^2 + bx + c = 0。
在这篇文章中，我们将介绍一元二次方程的概念、解的性质以及一些常见的解法。
一、一元二次方程的概念一元二次方程是指只含有一个变量的平方项、一次项和常数项的方程。
在一元二次方程中，变量通常用字母x表示，方程的一般形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为实数且a≠0。
二、一元二次方程的解法要解一元二次方程，我们可以通过以下几种方法来求解。
1. 因式分解法当一元二次方程可以被因式分解为两个一次因式的乘积时，我们可以通过将方程两边置零，并运用零乘积法则来解方程。
举例说明：解方程x^2 - 5x + 6 = 0首先将方程因式分解为(x - 2)(x - 3) = 0然后根据零乘积法则可得到x - 2 = 0 或 x - 3 = 0因此，方程的解为x = 2 或 x = 32. 完全平方公式法对于形如x^2 + 2ax + a^2 = b的一元二次方程，我们可以利用完全平方公式来求解。
完全平方公式为(x + a)^2 = b，从中我们可以得到方程的两个解。
举例说明：解方程x^2 + 6x + 9 = 25根据完全平方公式可得(x + 3)^2 = 25再对方程取平方根，得到x + 3 = ±5因此，方程的解为x = -3 + 5 或 x = -3 - 5，即x = 2 或 x = -83. 直接使用求根公式法对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，可以使用求根公式x = (-b ±√(b^2 - 4ac)) / 2a 来求解方程。
举例说明：解方程2x^2 + 5x - 3 = 0根据求根公式可得x = (-5 ± √(5^2 - 4*2*(-3))) / (2*2)化简得x = (-5 ± √(25 + 24)) / 4进一步化简得x = (-5 ± √49) / 4因此，方程的解为x = (-5 + 7) / 4 或 x = (-5 - 7) / 4，即x = 1 或 x = -3/2三、一元二次方程的性质一元二次方程具有以下性质：1. 一元二次方程的根一元二次方程的根可以是实数根或复数根。
一元二次方程概念与解法
一元二次方程概念与解法教学目标1•了解一元二次方程及其相关概念，会用配方法、公式法、分解因式法解简单的一元二次方程2•能够利用一元二次方程解决简单的实际问题。
教学重点一元二次方程的三种解法：配方法、公式法、分解因式法。
教学难点列一元二次方程解决实际问题。
知识点梳理：一元二次方程知识框图：1•一元二次方程：只含有一个未知数，并且含未知数的项的最高次数是2的整式方程，这样的方程叫做一元二次方程。
2. —元二次方程的一般形式：a2x+bx+c=0(a丰0)3•—元二次方程的解法直接开平方法：适用于(mx+n) 2=h (h > 0)的一元二次方程。
配方法：适用于化为一般形式的一元二次方程。
关键：方程两边都加上一次项系数一半的平方。
公式法：-b b2 4acx=(b2-4ac> 0)2a关键：b2-4ac>0时，方程才有解。
因式分解法：适用于方程右边是0,左边是易于分解成两个一次因式乘积的一元二次方程。
4 .一元二次方程ax2+bx+c=0 (a丰0)的根的判别式是_____________________ ，当 _______ 时，它有两个不相等的实数根；当_____________ 时，它有两个相等的实数根；当 ____________ 时，？它没有实数根.5.根的判别式及应用(△ =b2-4ac)(1) 判定一元二次方程根的情况.△ >0 有两个不相等的实数根 △ =0 有两个相等的实数根 △ <0 没有实数根； △ > 0有实数根•6.根与系数的关系(韦达定理)的应用bc 韦达定理：如果一元二次方程 ax 2+bx+c=0(a 工的两根为X 1、X 2，则X 1+X 2=-,X 1 X 2=.aa(1) 已知一根求另一根及未知系数； (2) 求与方程的根有关的代数式的值 ； (3) 已知两根求作方程；(4) 已知两数的和与积，求这两个数； (5) 确定根的符号：(X i ,X 2是方程两根).0,一元二次方程的应用解应用题的关键是把握题意 是否符合实际意义• 例题讲解1： 一元二次方程基本概念(1) mf-3x+x 2=0是关于X 的一元二次方程的条件是 A m=1 B m 丰-1 C m 丰0 D m为任意实数(2) (k-1 ) x 2-kx+仁0是关于x 的一元二次方程的条件是 Js 丰1_.有两正根X ,x 2x ,x 2 00,有两负根有一正根一负根0,X 1 x 2 x 1x 20,0, X 1X 2 0有一正根一零根0,X 1 X 2 0 X 1X 2 0 有一负根一零根0, X 1 x 2 0X 1=X 2=00, X i X 2，找准等量关系，列出方程•？最后还要注意求出的未知数的值(3) _____________________________________ 已知方程mX+mx+3m-X+x+2=0,当m 时，为一元二次方程；当m ___________________________ 时，为兀一次方程1. 关于x 的方程(k — 3)X 2+ 2x — 1 = 0,当k _______ 时，是一元二次方程。
一元二次方程概念及解法
一元二次方程一、一元二次方程的概念：1、定义：通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程． 补充关于初中常见代数式：2、一元二次方程的一般式：例1．已知（m －1）x |m|+1+3x －2＝0是关于x 的一元二次方程，求m 的值.举一反三：【变式】若方程2(2)310m m x mx --=是关于x 的一元二次方程，求m 的值．3、一元二次方程的解：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.的两根求，，的两根分别为为常数方程已知关于0)2(1-2)0,,,(0)(22=+++≠=++b m x a a m b a b m x a xb a b b ax x x --=++求有一个非零根的一元二次方程关于,,02二、一元二次方程的解法1、基本思想：一元二次方程−−−→降次一元一次方程 2、常见解法：直接开平方法：模型)0(2≥=p p x因式分解理论基础：（1）提公因式法解方程： (1)3x+15＝-2x 2-10x ； (2)x 2-3x ＝(2-x)(x-3)．（2）运用公式完全平方公式：222()2a b a ab b ±=±+ 平方差公式：22()()a b a b a b +-=-三数和平方公式：2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++224(3)25(2)0x x ---= 22)25(96x x x -=+- 01442=++x x（3）十字相乘：化成标准形式之后“看两端，凑中间”模型一： （1）=0 （2）21016x x -+=0； （3）2310x x --=0模型二：(1) 21252x x --=0 (2) 22568x xy y +-=0配方法：0362=+-x x 01242=+-x x公式法：步骤：0322=+-x x 0962=+-x x 0242=+-x x关于四种方法比较3、思想补充：换元思想0913424=+-x x 2(21)4(21)40x x ++++=的值。
一元二次方程及其解法
第2课时 一元二次方程及其解法一·基本概念理解1 一元二次方程的定义:含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。
一元二次方程的一般形式：)0(02≠=++a c bx ax ,它的特征是：等式左边加一个关于未知数x 的二次多项式,等式右边是零，其中2ax 叫做二次项，a叫做二次项系数;bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项。
2、一元二次方程的解法(1）、直接开平方法:利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。
直接开平方法适用于解形如b a x =+2)(的一元二次方程。
根据平方根的定义可知，a x +是b 的平方根,当0≥b 时，b a x ±=+,b a x ±-=，当b 〈0时,方程没有实数根.（2）、配方法:配方法的理论根据是完全平方公式222)(2b a b ab a +=+±,把公式中的a 看做未知数x ，并用x 代替，则有222)(2b x b bx x ±=+±。
配方法的步骤：先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为1，再同时加上1次项的系数的一半的平方，最后配成完全平方公式（3）、公式法公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。
一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式：)04(2422≥--±-=ac b a ac b b x公式法的步骤：就把一元二次方程的各系数分别代入，这里二次项的系数为a ，一次项的系数为b ，常数项的系数为c（4)、因式分解法因式分解法就是利用因式分解的手段,求出方程的解的方法,这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。
分解因式法的步骤：把方程右边化为0，然后看看是否能用提取公因式，公式法（这里指的是分解因式中的公式法）或十字相乘，如果可以，就可以化为乘积的形式（5）、韦达定理若1x ，2x 是一元二次方程的一般形式:)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根，则a b x x -=+21，ac x x =21。
(完整版)一元二次方程的概念及解法(学生版)
一元二次方程的概念及解法知识图谱1、一元二次方程知识精讲一．一元二次方程的概念只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．一元二次方程的一般形式：ax 2c为常数项．bxc0(a0)，a为二次项系数，b为一次项系数，判断是一元二次方程的标准：①整式方程②一元方程③二次方程二．一元二次方程的解一元二次方程的解：使方程左、右两边相等的未知数的值叫做方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根．三点剖析一．考点：一元二次方程的概念，一元二次方程的解．1二．重难点：一元二次方程的一般形式，一元二次方程的解．1.三．易错点：确定方程是否为一元二次方程只需要检验最高次项—--二次项的系数是否为零即可；2.注意对于关于x的方程ax 2，当a0时，方程是一元二次方程；当a0且b0 bxc0时，方程是一元一次方程；一元二次方程的系数一定要化为一般式之后再看．题模精讲题模一：概念例以下方程中是关于x的一元二次方程的是〔〕A．x210B．ax 2x2bxcC．3x22x53x2D．x1x21例方程(m2)x m3mx10是关于x的一元二次方程，那么m______例假设方程m1x2m x1是关于x的一元二次方程，那么m的取值范围是__________．例方程x422x13的二次项系数是______，一次项系数是_______，常数项是_______题模二：解例关于x的一元二次方程 a 1x2x a2 1 0的一个根是0，那么a的值为_________________．例x1是关于x的方程x2mx n 0的一个根，那么m22mn n2的值为_______．随堂练习2随练假设(m2)x m2x 3 0是关于x的一元二次方程，那么m的值为_________。
2随练关于x的方程(m1)x2 (m 1)x 3m 2 0，当m__________时是一元一次方程；当m__________时是一元二次方程随练假设一元二次方程(m2)x23(m215)xm240的常数项为零，那么m的值为_________随练假设关于x的一元二次方程〔a+1〕x2+x﹣a2+1=0有一个根为0，那么a的值等于〔〕A．﹣1B．0C．1D．1或者﹣1随练方程x2m2xn30的两根分别是2、3，那么mn__________随练假设x=1是关于x的一元二次方程x2+3mx+n=0的解，那么6m+2n=____．随练假设关于x的一元二次方程为ax2+bx+5=0〔a≠0〕的解是x=1，那么2021-a-b的值是〔〕A．2021B．2021C．2021D．20212、直接开平方法知识精讲一．直接开平方法假设x2aa0，那么x叫做a的平方根，表示为x a，这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法．二．直接开平方法的根本类型1．x2a(a0)解为：x a2．(x a)2b(b0)解为：x a b3．(ax2c(c0)解为：ax b c b)4．(ax b)2(cx d)2(ac)解为：ax b(cxd)三点剖析一．考点：直接开平方法．二．重难点：直接开平方法．三．易错点：直接开平方法解一元二次方程时注意一般都有两个解，不要漏解，如果是两个相等的解，也要写成x1x2a的形式．3题模精讲题模一：直接开平方法例求下面各式中x的值：〔1〕4x 2；9〔2〕x225．1例求x的值：1(5x1)2303随堂练习随练解以下方程：〔1〕2x280〔2〕2516x202〔3〕1x90随练解关于x的方程：x26x 9 (5 2x)22随练假设方程x 2 a 4有实数根，那么a的取值范围是________.随练解关于x的方程：2(3x1)2853、配方法知识精讲一．配方法4配方法：把方程化成左边是一个含有未知数的完全平方式，右边是一个非负常数，再利用直接开平方法求解的这样一种方法就叫做配方法．二．配方法的一般步骤：2 运用配方法解形如 ax bx c 0(a 0)的一元二次方程的一般步骤是：1．二次项系数化 1；2．常数项右移；3．配方〔两边同时加上一次项系数一半的平方〕；4．化成(x m) 2n的形式；5．假设n 0 ，选用直接开平方法得出方程的解．2 2b x)c0 b 2b2axbxc0(a0) a(x a a(x)a()c0b2b22a2ab2b24aca(x 2a ) 4a c (x 2a )4a 2 ．三点剖析一．考点：配方法．二．重难点：配方法解一元二次方程，配方法求解最值或取值范围．三．易错点：在化成直接开平方法求解的时候需要检验方程右边是否是非负的，如果是那么利用直接开平方法求解即可，如果不是，原方程就没有实数解．题模精讲题模一：配方法2例用配方法解方程： x 6x 4例 用配方法解以下方程：〔1〕2x 21 0 8x 〔2〕x 24x2 0〔3〕x 21 x 1 034〕3y 2123y例 用配方法解方程 x 22x10 时，配方后得到的方程为〔〕A ．〔x 22221)0 B ．〔x1)0 C ．〔x1)2 D ．〔x1)2例用配方法解关于 x 的方程x 2pxq0〔p ，q 为常数〕5例22，x、y为实数，求x y的值x y4x6y130题模二：最值问题2例试用配方法说明x2x 3的值恒大于0例x、y为实数，求代数式x2y22x 4y 7的最小值例a，b，c是整数，且 a 2b 4，ab c2 1 0，求a b c的值随堂练习随练用配方法解方程：2x23x 10随练假设把代数式x25x 7化为x m2k的形式，其中m、k为常数，那么k m．随练a，b，c均为实数，且ab4，2c2ab43c10，求ab的值．随练用配方法说明2的值恒小于0 10x7x4622随练x ，y为实数，求代数式5x4y8xy2x4的最小值．4、公式法知识精讲一．公式法2 公式法：一元二次方程 ax bx c 0(a 0)，用配方法将其变形为： 根的判别式 b 2 4ac ，x 1,x 2是方程的两根，假设 b 2 4ac 0，那么x 1,2二．公式法解一元二次方程的一般步骤1．把方程化为一般形式；2．确定a 、b 、c 的值； 3．计算b 2 4ac 的值；4．假设b 2 4ac 0，那么代入公式求方程的根； 5．假设b 2 4ac 0，那么方程无解．三．判别式与根的关系1． 0 时，原方程有两个不相等的实数解； 2． 0 时，原方程有两个相等的实数解； 3． 0 时，原方程没有实数解．b2b 2 4ac(x 2a )4a 224ac ．bb2a三点剖析一．考点：公式法．二．重难点：利用公式法求解一元二次方程，利用判别式判断根的情况．三．易错点：在用公式法求解方程的解时，一定要判断“ 〞的取值范围，只有当0时，一元二次方程才有实数解．题模精讲7题模一：公式法例用公式法解关于x的一元二次方程m 1x22m 1x m 3 0．例解方程：x2+4x﹣1=0．例1解方程x(6x1)4x32(2x)2例用公式法解关于x的一元二次方程m1x22m1x m30．例解方程：xx 3x 20题模二：判别式与根的关系例以下一元二次方程中，有两个不相等实数根的方程是〔〕A．x2+1=0B．x2﹣3x+1=0C．x2﹣2x+1=0D．x2﹣x+1=0例关于x的一元二次方程mx22x10有两个不相等的实数根，那么m的取值范围是〔〕A．m1B．m1C．m1且m0D．m1且m0例关于x的方程〔a-6〕x2-8x+6=0有实数根，那么整数a的最大值是〔〕8A．6B．7C．8D．9随堂练习2随练用公式法解一元二次方程2x3x 10．随练解方程(x5)(x 7)12随练解关于x的方程：xpxq0．随练解关于x的方程x2x10．随练以下一元二次方程中无实数解的方程是〔〕A．x2+2x+1=0B．x2+1=0C．2D．2x=2x-1x-4x-5=0随练假设关于x的一元二次方程kx22x10有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是〔〕A．k1B．k1C．k1且k1且k0k0D．随练关于x的一元二次方程〔m-1〕x2+x+1=0有实数根，那么m的取值范围是〔〕A．m≥-5且m≠1B．m≤5且m≠1 44C．m≥5D．m≤-5且m≠0 4495、因式分解法知识精讲一．因式分解法因式分解法：当一元二次方程的一边是0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时，我们就可以用分解因式的方法求解，这种用分解因式解一元二次方程的方法叫做因式分解法．因式分解法解一元二次方程的依据：如果两个因式的积等于0，那么这两个因式至少有一个为0，即：假设ab0，那么a0或b0．三点剖析一．考点：因式分解法解一元二次方程．二．重难点：利用提公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等方法解一元二次方程．三．易错点：没有化成ab0的形式，例如由2x121从而导致漏解或x1直接得到2x1者直接得到2x10从而导致错解．题模精讲题模一：因式分解法例用因式分解法解方程：2x34xx30例2用因式分解法解方程：3x4x40．22例用因式分解法解方程：9x216x10．10例用因式分解法解方程：x23mx 2m2mn n20，〔m、n为常数〕随堂练习2随练用因式分解法解方程：2x136x．随练用因式分解法解方程：5x210x 5 31 x22随练用因式分解法解方程：6x x 350．222随练x的一元二次方程m1x63m1x7201〕．用因式分解法解关于〔m6、根与系数的关系知识精讲一．韦达定理11如果ax2bx c0(a0)的两根是x1，x2，那么x x b，x1x2c．〔隐含的条件：12a a0〕特别地，当一元二次方程的二次项系数为1时，设x1，x2是方程x2px q0的两个根，那么x1x2p12q．，xx二．韦达定理与根的符号关系在24ac0的条件下，假设x1，x2是ax2bx c0(a0)的两根〔其中x1x2〕我们有b如下结论：1．c0x1x20，假设b0，那么x1x2；假设b0，那么x1x2．a a a2．c0xx20．假设b0，那么x1x20；假设b0，那么x2x10．a1a a更一般的结论是：假设x1，x2是ax2bx c0(a0)的两根〔其中x1x2〕，且m为实数，当0时，一般地：〔1〕(x1m)(x2m)0x1m，x2m〔2〕(x1m)(x2m)0且(x1m)(x2m)0x1m，x2m〔3〕(x1m)(x2m)0且(x1m)(x2m)0x1m，x2m特殊地：当m0时，上述就转化为ax2bxc0(a0)有两异根、两正根、两负根的条件．三点剖析一．考点：韦达定理二．重难点：韦达定理的应用1．方程的一个根，求另一个根以及确定方程参数的值；2．方程，求关于方程的两根的代数式的值；3．方程的两根，求作方程；4．结合根的判别式，讨论根的符号特征；．逆用构造一元二次方程辅助解题：当等式具有相同的结构时，就可以把某两个变元看作某个一元二次方程的两根，以便利用韦达定理．三．易错点：在使用韦达定理的时候没有提前检验0是否成立题模精讲题模一：韦达定理例假设方程x24x c 0的一个根为23，那么方程的另一个根为______，c______．12例设x1、x2是方程x22k1xk220的两个不同的实根，且x11x218，那么k的值是．例如果a，b都是质数，且a213am0，b213bm0，求b a的值．a b随堂练习随练m，n是有理数，并且方程x2mxn0有一个根是52，那么mn_______．随练关于22有两个实数根，并且这两个根的平方和比这x的方程x2(m2)xm50两个根的积大16，求m的值．随练关于x的方程x24x2m80的一个根大于1，另一个根小于1，求m的取值范围．随练如果实数a,b分别满足a22a2，b22b2，求11的值a b13作业1假设|b1|a20，那么以下方程一定是一元二次方程的是〔〕A．ax25xb0B．b21x2a3x50C．a1x2b1x70D．b1x2ax10作业2关于x的方程(xa)2(ax2)2是一元二次方程，求a的取值范围．作业3a b2a、b的值？方程2x xx40是关于x的一元二次方程，求作业4假设n〔n≠0〕是关于x方程x2+mx+2n=0的根，那么 n+m+4的值为〔〕A．1B．2C．-1D．-2作业5关于x的一元二次方程m 2x2x m2 4 0有一根为0，那么m的值为_______.作业62解方程：31x6作业7解关于x的方程：3(x 1)22714作业8 用直接开平方法解以下一元二次方程〔1〕9x 216〔2〕x 2 16 05 〔3〕x23x 251〔4〕42x52293x1作业9解方程：2x 28x 3 0．作业10将方程x 2 4x10化为xm2n 的形式，其中m ，n 是常数，那么mn_____________作业 11 方程 2 6xq0可以配方成xp226xq2可以配成以下x 7的形式，那么 x 的〔 〕A ．x 2B ．29p5xp29D ．xp22C ．xp2 5m 2n 21 1作业12mnmn10，那么m n 的值为__________．作业13ab23，bc 23，那么a 2 b 2 c 2 ab bc ac 的值为__________．15作业14实数a ，b ，c 满足a 26b17，b 28c23，c 22a14，那么abc 的值为__________．y 1 z 2作业15 x12322 2设，求代数式xyz的最小值．作业16解方程3x 2 52x 1作业17用公式法解方程：ax 2 bx c0〔a 、b 、c 为常数且a0〕．作业18设方程x 2 2x1 4 0．求满足该方程的所有根之和作业19 一元二次方程 x 2+2x+1=0的根的情况〔〕A ．有一个实数根B ． 有两个相等的实数根C ． 有两个不相等的实数根D ． 没有实数根作业20关于x 的一元二次方程 2 2m 的取值范mx+〔2m-1〕x+1=0有两个不相等的实数根，那么围是〔 〕A ．k ＞-1B ．m ＞1且m ≠144 C ．m ＜1且m ≠0 D ．m ≥-1且m ≠04416作业21假设关于x 的方程kx 22k1xk10有实数根，求k 的取值范围．作业222xx35x3 的解是〔〕x5B ．x32A ．x 1522，x23D ．xC ．5作业23 用因式分解法解方程x 26x 94x 28x 4．作业24解关于x 的方程x 2p 2 q 2x pqpqpq．作业 25方程2x 2mx 2m 4 0的一个解为1，那么另一个解为__________，__________．作业26方程2x 2 mx 30的两根的平方和为 5，那么m=__________．作业27 实数k 为何值时，关于 x 的一元二次方程 x 2(2k 3)x (2k 4)0．1〕有两个正根？2〕两根异号，且正根的绝对值较大？3〕一根大于3，一根小于3？17作业28阅读材料：设一元二次方程ax2bx c0(a 0)的两根是x1、x2，那么根与系数关系为：x1x2b c pq1x1x22p10，1q20，且pq1，求q的值．a，a．pq作业29方程2〔m+1〕x2+4mx+3m=2，根据以下条件之一求m的值．1〕方程有两个相等的实数根；2〕方程有两个相反的实数根；3〕方程的一个根为0．作业30阅读下面的例题，解方程x2﹣|x|﹣2=0解：原方程化为 |x|2﹣|x|﹣2=0．令y=|x|，原方程化成y2﹣y﹣2=0解得：y1=2，y2=﹣1当|x|=2，x=±2；当|x|=﹣1时〔不合题意，舍去〕∴原方程的解是x1=2x2=﹣2请模仿上面的方法解方程：〔x﹣1〕2﹣5|x﹣1|﹣6=0．作业31x2y22x4y0解方程组：y4．2x0作业32观察下表，答复以下问题，第____个图形中“△〞的个数是“○〞的个数的5倍．18作33 察以下方程及其解的特征：1〕x+1=2的解x 1=x 2=1；x 2〕x+1=5的解x 1=2，x 2=1；x 2 2 （ 3〕x+1=10的解x 1=3，x 2=1；x 3 3⋯解答以下：x1〕猜想：方程x+1=26的解____；5（ 2〕猜想：关于x 的方程x+1=____的解x 1=a ，x 2=1〔a ≠0〕；x a〔3〕下面以解方程x+1=26例，〔1〕中猜想的正确性．x52解：原方程可化 5x-26x=-5．〔下面大家用配方法写出解此方程的程〕作34三个关于 x 2 2 cxa0，cx2的一元二次方程axbxc 0，bx axb0恰有一个公共数根，a 2b 2c 2的__________bc ca ab19。
一元二次方程的基本概念和解法
一元二次方程的基本概念和解法一元二次方程是代数学中的重要概念，由一次项、二次项和常数项构成，其一般形式为 ax² + bx + c = 0，其中a、b、c为实数且a ≠ 0。
本文将介绍一元二次方程的基本概念及其解法。
一、基本概念一元二次方程是一种含有未知数的方程，其最高次项为二次项。
方程中的未知数通常用x表示，而系数a、b、c则为已知的实数。
二、求解一元二次方程的步骤要求解一元二次方程，首先需要将方程化为标准形式，即将方程中的项按幂次降序排列，然后按照下列步骤进行求解：1. 将一元二次方程化为标准形式：ax² + bx + c = 0；2. 计算判别式Δ = b² - 4ac；3. 若Δ > 0，方程有两个不相等的实数解，可以通过求根公式 x = (-b ± √Δ) / (2a)来求解；4. 若Δ = 0，方程有且仅有一个实数解，解为 x = -b / (2a)；5. 若Δ < 0，方程无实数解。
三、示例演示以一元二次方程 x² - 5x + 6 = 0 为例，演示求解过程：1. 将方程化为标准形式：x² - 5x + 6 = 0；2. 计算判别式Δ = (-5)² - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1；3. 由于Δ > 0，方程有两个不相等的实数解，应用求根公式计算：x₁ = (-(-5) + √1) / (2(1)) = (5 + 1) / 2 = 3；x₂ = (-(-5) - √1) / (2(1)) = (5 - 1) / 2 = 2；因此，方程的解为 x₁ = 3，x₂ = 2。
四、一元二次方程的图像一元二次方程的图像是一个抛物线，其开口方向取决于二次项系数a的正负。
1. 若a > 0，抛物线开口向上。
以方程 y = x² - 2x + 1 为例：判别式Δ = (-2)² - 4(1)(1) = 0，方程有且仅有一个实数解 x = 1；图像经过点(1, 0)，开口向上。