第一章计数原理复习课(复习课)

m
m!( n m )! m
m
Cn 1
0
A n n A n 1
先选后排
m 1
Cn Cn
n m
C n1 C n C n
m
m 1
只选不排
解排列组合问题遵循的一般原则: 1.有序---- 排列; 无序--- 组合 2. 分类--- 加法 ; 分步--- 乘法 3. 既有分类又有分步: 先分类再分步 4. 既有排列又有组合: 先选后排 5. 先 特殊后一般 6. 正难则反 7.分类 要不重不漏
C 6C 5 C 3 6 0
1 2 3
种方法．
（4）在（3）的基础上再进行全排列，所以一共有
C 6 C 5 C 3 A3 3 6 0
1 2 3 3
种方法．
多个分给少个时，采用先分组 例题解读： 再分配的策略 例1．6本不同的书，按下列要求各有多少种不同 的选法： （5）分给甲、乙、丙三人，每人至少1本 解：（5）可以分为三类情况： ①“2、2、2型” 的分配情况，有 种方法； ②“1、2、3型” 的分配情况，有C 61 C 52 C 33 A 33 种方法； 4 3 ③“1、1、4型”，有 C 6 A 3 种方法， 90
一般地,元素分成多排的排列问题, 可归结为一排考虑 , 再分段研究 . 前排 后排
二、注意区别“恰好”与“至少”
例：从6双不同颜色的手套中任取4只，其中恰好有 一双同色的手套的不同取法共有（ ） (A) 480种（B）240种 （C）180种 （D）120种
解：C 61 C 52 C 21 C 21
1
2
6
由乘法原理可知 2×2×2×2×2×2-1=63
基 础 练习
（1）5名同学报名参加4项活动（每人限报 1项），共有 4 5 种不同的报名方法 （2）5名同学争夺4项竞赛冠军，冠 4 军获得者共有 5 种可能
二、排列和组合的区别和联系：
名称 定义 排 列 组 合
从n个不同元素中取出m个元 素，按一定的顺序排成一列 从n个不同元素中取出m个元 素，把它并成一组
丙三名同学有 A 3 种方法．根据分步计数原理所以．
3
可得： C 6 C 4 C 2 x A3
2
2
2
3
x 所以．
C6C4C2 A3
3
2
2
2
15
因此，分为三份，每份两本一共有15种方法
例题解读：
例1．6本不同的书，按下列要求各有多少种不同 的选法： （3）分为三份，一份1本，一份2本，一份3本； （4）分给甲、乙、丙三人，一人1本，一人2本， 一人3本； 解：（3）这是“不均匀分组”问题，一共有
240
练习： 从6双不同颜色的手套中任取4只， 其中至少有一双同色手套的不同取法共有 ____种
解：
C 12 C 6 (C 2 ) 2 5 5
4
4
1
4
分配问题
例题解读： 例1．6本不同的书，按下列要求各有多少种 不同的选法： （1）分给甲、乙、丙三人，每人2本；
解：（1）根据分步计数原理得到：
1．排成前后两排，前3人后4人：
5 0 4 0 A7 A4 A7 __________________________
解： （多排问题单排法处理）. 与无任何限制的排列 0 4 0 种．
根据分步计数原理： 7×6×5×4×3×2×1＝7！＝5040．
位置 7 2 0 分析 A6 2．甲站在正中间： ___________ 法
7 6 5 7 6 5
5．甲、乙必须相邻： _____________ A 6 A 2 1440
相邻问题捆绑法 要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用 捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并
6
2
为一个元素,再与其它元素一起作排列,同时
要注意合并元素内部也必须排列.
变．甲、乙、丙三人都相邻：
多排问题直排策略 8人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在 前排,丁在后排,共有多少排法 解:8人排前后两排,相当于8人坐8把椅子,可以 把椅子排成一排.2 先在前4个位置排甲乙两 A 4 种,再排后4个位置上的 个特殊元素有____ 1 特殊元素有_____ A 4 种,其余的5人在5个位置 2 5 1 5 A 4 A A5 上任意排列有____ 种. A 5 种,则共有_________ 4
种数
符号 计算 公式 关系
所有排列的的个数
An
m
所有组合的个数
Cn
Cn
m
m
m
An n(n 1) (n m 1)
An
m
n( n 1) ( n m 1)
n! ( n m)!
An n !
m
n
0! 1
m
Cn
m
n!
m!
性质
区别
An
m
Cn Am
排列组合、二项式定理 复习课
一、两个原理的区别与联系：
名称 内容
分类原理
做一件事，完成它可以有n类办法， 第一类办法中有m1种不同的方法， 第二类办法中有m2种不同的方法…， 第n类办法中有mn种不同的方法， 那么完成这件事共有 N=m1+m2+m3+…mn 种不同的方法
分步原理
做一件事，完成它可以有n个步骤， 做第一步中有m1种不同的方法， 做第二步中有m2种不同的方法……， 做第n步中有mn种不同的方法， 那么完成这件事共有 N=m1· m2· m3·…·mn 种不同的方法.
排列组合应用题的常用方法
1、基本原理法 3、捆绑法 5、间接法 2、特殊优先法 4、插空法 6、穷举法
1．对有约束条件的排列问题，应注意如下类型： ⑴某些元素不能在或必须排列在某一位置；⑵某些元素要求连 排（即必须相邻）；⑶某些元素要求分离（即不能相邻）； 2．基本的解题方法： （１）有特殊元素或特殊位置的排列问题，通常是先排特殊元 素或特殊位置，称为优先处理特殊元素（位置）法（优先法）； 特殊元素,特殊位置优先安排策略
D 例2 如图，某电子器件是由三个电 C A B 阻组成的回路,其中有6个焊接 点A，B，C，D，E，F，如果某个焊接点脱 落，整个电路就会不通。现发现电路不通 了, 那么焊接点脱落的可能性共有（ ） 63种 （B）64种 （C）6种 （D）36种
F
E
分析:由加法原理可知
C 6 C 6 C 6 63
（２）某些元素要求必须相邻时，可以先将这些元素看作一个元 素，与其他元素排列后，再考虑相邻元素的内部排列，这种方法 称为“捆绑法”；相邻问题捆绑处理的策略 （３）某些元素不相邻排列时，可以先排其他元素，再将这些 不相邻元素插入空挡，这种方法称为“插空法”；不相邻问题 插空处理的策略
例题：（排队问题） 有3名男生和4名女生，若分别满足下 列条件， 则共有多少种不同的排法？
插空法．先排好男生，然后将女生插入其中的四个空位，
共有
A A
3
3
4 4
1 4 4种排法.
1
2 11．甲在乙的右边： ________________
A
7 7
2520
定序问题比例法
12．从左到右，4名女生按甲、乙、丙、丁 的顺序不变(即只排男生)：
A A 210 A _____________________
练习题 6颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈
60
要考虑“钻石圈”可以翻转的特点
设六颗颜色不同的钻石为a,b,c d,e,f.与围桌 而坐情形不同点是a,b,c,d,e,f与f,e,d,c,b,a在 围桌而坐中是两种排法，即在钻石圈中只 是一种排法,即把钻石圈翻到一边,所求数 为：[(6－1)!]/2＝60
C C A
4 2 2 2 2 6
A2
2
90
环排问题线排策略 例6. 5人围桌而坐,共有多少种坐法? 解：围桌而坐与坐成一排的不同点在于，坐成 圆形没有首尾之分，所以固定一人A并从 A 此位置把圆形展成直线其余4人共有____ 种排法即（5-1)！
4 4
一般地 B ,n个不同元素作圆形排 A A B C D E C ,共有(n-1)! 列 种排法.如果 A 从 n 个不同元素中取出 m 个元素 D m E 1 A 作圆形排列共有 n m
1440 A A ____________________________
4 5 4 3
解：先将其余四个同学排好有A44种方法，此时他们 留下五个“空”，再将甲、乙和丙三个同学分别插入 这五个“空”有A53种方法，所以一共有A44 A53 ＝1440 种．
小结：对于不相邻问题，常用“插空法”（特殊元素后考虑）．
C 6 C 4C 2 90
360
2 2 2
所以，一共有90+360+90＝540种方法．
1 将13个球队分成3组,一组5个队,其它两组4 C C C 个队, 有多少分法？
5 4 4 13 8 4
A
2 2
2.某校高二年级共有六个班级，现从外地转 入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每 班安排2名，则不同的安排方案种数为______
7．男女生各站在一起：
288 A A A ______________________
3 4 2 3 4 2
解：将甲、乙、丙三个男同学“捆绑”在一起看成一个 元素，另外四个女同学“捆绑”在一起看成一个元 素，一共有2个元素，先捆后松 ∴一共有排法种数：
A 3 A 4 A 2 2 8 8 （种）.
7 3 4 4 7
7
方法1：(比例法)
N
A7
7 4
A4
A7 2 1 0
3