计数原理复习课习题课共36页
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数学：第一章《计数原理》复习课件(人教A版2-3)
门，一位同学从中共选3门．若要求两类课程中各至少选一门，则 不同的选法共有( A．30种 C．42种 ) B．35种 D．48种
[解析]
分两类：①选A类选修课2门，B类选修课1门，有
C32·C41＝12(种)； ② 选 A类 选修 课 1 门 ，B类 选 修 课2 门 ， 有 C31·C42 ＝ 3×6 ＝ 18(种)， 共有12＋18＝30(种)． [答案] A
题中的应用．这里应该注意两点：一是集合M中的每个元素可作为 同一点的横、纵坐标；二是第(3)问用逆向求解的间接法．
[课堂记录]
(1)确定平面上的点P(a，b)可分两步完成：
第一步确定a的值，共有6种确定方法；
第二步确定b的值，也有6种确定方法．
根据分步乘法计数原理，得到平面上的点数是6×6＝36. (2)确定第二象限的点，可分两步完成： 第一步确定a，由于a<0，所以有3种确定方法；
答案：8
热点之一
分类加法计数原理
分类加法计数原理是人们在大量实践经验的基础上归纳出来 的基本规律．从思想方法的角度看，运用分类加法计数原理解决 问题就是将一个复杂问题分解为若干“类别”，先分类解决，各 个击破，再将其整合，得出原问题的答案．运用该原理解决问题 的突破口是明确什么是“完成一件事”．
[例1] 多少个？
第一节 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
1.理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理． 2．会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理 分析和解决一些简单的实际问题.
1．分类加法计数原理、分步乘法计数原理 (1)完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方 法，在第2类办法中有m2 种不同的方法，…，在第n类办法中有mn 种不同的方法，那么完成这件事共有N＝ (m1＋m2＋…＋mn) 种 不 同的方法．
计数原理课件-2025届高三数学一轮复习
式共有A22 A33 C21 ＝24种，故选B.
答案 （1）B
目录
பைடு நூலகம்
｜解题技法｜
解排列、组合问题要遵循的2个原则
（1）按元素（位置）的性质进行分类；
（2）按事情发生的过程进行分步.
具体地说，解排列、组合问题常以元素（位置）为主体，即先满足特殊元素
（位置），再考虑其他元素（位置）.
目录
学习评测1
1.将3名教师，3名学生分成3个小组，分别安排到甲、乙、丙三地参加社会实践
目录
学习评测2
2022年4月22日是第53个世界地球日，某学校开展了主题为“珍爱地球，人与自
然和谐共生”的活动.该校5名学生到A，B，C三个社区做宣传，每个社区至少
分配一人，每人只能去一个社区宣传，则不同的安排方案共有 （
A.60种
B.90种
C.150种
D.300种
）
解析 （2）先将5名学生分为三组，分组情况为2，2，1或3，1，1，不同的分
m
（n－
n ＝n（n－1）·
公式
性质
!
2）…（n－m＋1）＝
(−)!
nn ＝n！，0！＝1
(−1)(−2)…(−+1)
m
n ＝ ＝
m!
m
n0 ＝1，nm ＝nn−m ，nm ＋nm−1 ＝n+1
目录
｜解题技法｜
1.利用两个计数原理解决问题的一般步骤
同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝ m＋
n 种不同的方法；
（2）分步乘法计数原理：完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的
计数原理复习课习题课共38页文档
31、只有永远躺在泥坑里的人，才不会再掉进坑里。——黑格尔 32、希望的灯一旦熄灭，生活刹那间变成了一片黑暗。——普列姆昌德 33、希望是人生的乳母。——科策布 34、形成天才的决定因素应该是勤奋。——郭沫若 35、学到很多东西的诀窍，就是一下子不要学很多。——洛克
计数原理复习课习题课
1、纪律是管理关系的形式。——阿法 纳西耶 夫 2、改革如果不讲纪律，就难以成功。
3、道德行为训练，不是通过语言影响 ，而是 让儿童 练习良 好道德 行为， 克服懒 惰、轻 率、不 守纪律 、颓废 等不良 行为。 4、学校没有纪律便如磨房里没有水。 ——夸 美纽斯
5、教导儿童服从真理、服从集体，养 成童 自觉的 纪律性 ，这是 儿童道 德教育 最重要 的部分 。—— 陈鹤琴
复习课(一) 计数原理
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[类题通法] 求二项式展开式有关问题的常见类型及解题策略
(1)求展开式中的特定项．可依据条件写出第 r＋1 项，再由特 定项的特点求出 r 值即可．
(2)已知展开式的某项，求特定项的系数．可由某项得出参数 项，再由通项公式写出第 r＋1 项，由特定项得出 r 值，最后求出 其参数．
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2．从集合{1，2，3，…，10}中任意选出 3 个不同的数，使这 3 个数
成等比数列，这样的等比数列的个数为( )
A．3
B．4
C．6
D．8
解析：以 1 为首项的等比数列为 1，2，4；1，3，9.
以 2 为首项的等比数列为 2，4，8.
以 4 为首项的等比数列为 4，6，9.
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2．(2019·浙江高考)在二项式( 2＋x)9 的展开式中，常数项是________， 系数为有理数的项的个数是________． 解析：由二项展开式的通项公式可知 Tr＋1＝Cr9·( 2)9－r·xr，r ∈N,0≤r≤9， 当为常数项时，r＝0，T1＝C09·( 2)9·x0＝( 2)9＝16 2. 当项的系数为有理数时，9－r 为偶数， 可得 r＝1,3,5,7,9，即系数为有理数的项的个数是 5. 答案：16 2 5
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[考点精要] 计数原理 (1)分类加法计数原理：N＝n1＋n2＋n3＋…＋nm； (2)分步乘法计数原理：N＝n1·n2·n3·…·nm．
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[典例] 如图所示，花坛内有五个花
10.1 计数原理复习课
[探究]:
如果完成一件事情有n类不同的办法，在每
一类中都有若干种不同方法，那么应当如何计 数呢？
分类计数原理
有n 类办法
共有多少种不同的方法
第 1 类办法中
有 k1 种不同的方法
完
成
第 2 类办法中
一 件
有 k2 种不同的方法
事
……
N＝k1＋k2＋…＋kn
第 n 类办法中 有 kn 种不同的方法
动脑思考 探索新知
课堂练习
2.书架的第一层有6本不同的数学书，第二层有7本不 同的英语书，第三层有10本不同的语文书，现从书架 第一层、第二层、第三层各取一本书，共有多少种不 同的方法？
解：从书架１,２,３层各取一本,可以分成三个步骤完成： 第一步从第1层取1本数学书，有6种方法， 第二步从第2层取1本英语书，有7种方法， 第三步从第3层取1本语文书，有10种方法， 根据分步计数原理，得不同的取法有：
分析: 从重庆到西昌有2类方法,
火车1 火车2
Ⅰ.乘火车，3种方法;
火车 3
Ⅱ.乘汽车，2种方法; 重庆
汽车1
西昌
汽车2
所以 从重庆到西昌共有 3 + 2 = 5 种不同方法。
［延伸］：
如果重庆到西昌，除了３班火车２班汽车外还有 ２班飞机，那么王先生有多少种不同的走法呢？
共有： 3+2+2=7 种
解：首字符共有7+6＝13种不同的选法， 中间字符和末位字符各有9种不同的选法 根据分步计数原理，最多可以有
授课教师：游彦
问题1: 重庆的王先生 想到西昌现场观看嫦 娥一号卫星的发射， 从重庆到西昌可以乘 坐火车或者汽车，一 天中，火车有３班， 汽车有２班，问从重 庆到西昌共有多少种 不同的走法?
如果完成一件事情有n类不同的办法，在每
一类中都有若干种不同方法，那么应当如何计 数呢？
分类计数原理
有n 类办法
共有多少种不同的方法
第 1 类办法中
有 k1 种不同的方法
完
成
第 2 类办法中
一 件
有 k2 种不同的方法
事
……
N＝k1＋k2＋…＋kn
第 n 类办法中 有 kn 种不同的方法
动脑思考 探索新知
课堂练习
2.书架的第一层有6本不同的数学书，第二层有7本不 同的英语书，第三层有10本不同的语文书，现从书架 第一层、第二层、第三层各取一本书，共有多少种不 同的方法？
解：从书架１,２,３层各取一本,可以分成三个步骤完成： 第一步从第1层取1本数学书，有6种方法， 第二步从第2层取1本英语书，有7种方法， 第三步从第3层取1本语文书，有10种方法， 根据分步计数原理，得不同的取法有：
分析: 从重庆到西昌有2类方法,
火车1 火车2
Ⅰ.乘火车，3种方法;
火车 3
Ⅱ.乘汽车，2种方法; 重庆
汽车1
西昌
汽车2
所以 从重庆到西昌共有 3 + 2 = 5 种不同方法。
［延伸］：
如果重庆到西昌，除了３班火车２班汽车外还有 ２班飞机，那么王先生有多少种不同的走法呢？
共有： 3+2+2=7 种
解：首字符共有7+6＝13种不同的选法， 中间字符和末位字符各有9种不同的选法 根据分步计数原理，最多可以有
授课教师：游彦
问题1: 重庆的王先生 想到西昌现场观看嫦 娥一号卫星的发射， 从重庆到西昌可以乘 坐火车或者汽车，一 天中，火车有３班， 汽车有２班，问从重 庆到西昌共有多少种 不同的走法?
第一章计数原理复习课(复习课)
种数
符号 计算 公式 关系
所有排列的的个数
An
m
所有组合的个数
Cn
Cn
m
m
m
An n(n 1) (n m 1)
An
m
n( n 1) ( n m 1)
n! ( n m)!
An n !
m
n
0! 1
m
Cn
m
n!
m!
性质
区别
An
m
Cn Am
m
m!( n m )! m
m
Cn 1
0
A n n A n 1
先选后排
m 1
Cn Cn
n m
C n1 C n C n
m
m 1
只选不排
解排列组合问题遵循的一般原则: 1.有序---- 排列; 无序--- 组合 2. 分类--- 加法 ; 分步--- 乘法 3. 既有分类又有分步: 先分类再分步 4. 既有排列又有组合: 先选后排 5. 先 特殊后一般 6. 正难则反 7.分类 要不重不漏
练习题 6颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈
60
要考虑“钻石圈”可以翻转的特点
设六颗颜色不同的钻石为a,b,c d,e,f.与围桌 而坐情形不同点是a,b,c,d,e,f与f,e,d,c,b,a在 围桌而坐中是两种排法，即在钻石圈中只 是一种排法,即把钻石圈翻到一边,所求数 为：[(6－1)!]/2＝60
排列组合、二项式定理 复习课
一、两个原理的区别与联系：
名称 内容
分类原理
做一件事，完成它可以有n类办法， 第一类办法中有m1种不同的方法， 第二类办法中有m2种不同的方法…， 第n类办法中有mn种不同的方法， 那么完成这件事共有 N=m1+m2+m3+…mn 种不同的方法
计数原理阶段复习课课件
【解析】(1)分两类：第一类，a，b均不为零，a，b的取值 共有4×3=12种方法． 第二类：a,b中有一个为0，则不同的直线仅有两条x＝0和y ＝0. 所以共有不同直线12+2=14条． 答案：14
(2)第一步选英语角所用彩色粉笔，有6种不同的选法；第二 步选语文学苑所用彩色粉笔，不能与英语角所用颜色相同， 有5种不同的选法； 第三步选理综世界所用彩色粉笔，与英语角和语文学苑所用 颜色都不能相同，有4种不同的选法； 第四步选数学天地所用彩色粉笔，只需与理综世界的颜色不 同即可，有5种不同的选法. 共有6×5×4×5=600种不同的书写方案.
(2)分步要做到“步骤完整”，完成了所有步骤，恰好完成任 务．步与步之间要相互独立．必须并且只需连续完成这些步 骤后，这件事才算最终完成．
【典例1】(1)若直线方程ax＋by＝0中的a,b可以从0,1,2,3,5 这五个数字中任取两个不同的数字，则方程所表示的不同直 线一共有______条． (2)用6种不同的彩色粉笔写黑板报， 黑板报设计如图所示，要求相邻区 域不能用同一种颜色的彩色粉笔， 该板报有多少种书写方案？
【解析】(1)选C.甲、乙相邻的所有方案有 A22A66＝(1种44)0； 其中丙排在10月1日的和丁排在10月7日的一样多，各有 A22A55＝(2种40)，其中丙排在10月1日且丁排在10月7日的有 A22A44＝(种48)，故符合题设要求的不同安排方案有1 440－ 2×240＋48＝1 008(种)，故选C.
5
x
Tr＋1＝C5r
(16 5
x
2
)5－r
(
1 x
) r＝(16 )5－r 5
C5r
x
205r 2
.
令Tr＋1为常数项，则20－5r＝0，
北师版高中数学选择性必修第一册精品课件 第5章 计数原理 习题课——计数原理的综合应用
是“分类”问题
“分步”问题
区别二
各种方法相互独立
各个步骤中的方法互相依存
区别三
任何一种方法都可以完成 只有各个步骤都完成才算完成这
这件事
件事
2.从0,2中选一个数字,从1,3,5中选两个数字,组成无重复数字的三位数.其 中奇数的个数为( ).
A.24 B.18 C.12 D.6 解析:由题意知,分为两类:“奇偶奇”和“偶奇奇”. 第1类是“奇偶奇”时,个位有3种选择,十位有2种选择,百位有2种选择,有 3×2×2=12个奇数; 第2类是“偶奇奇”时,个位有3种选择,十位有2种选择,百位不能选0,有1种选 择,有3×2×1=6个奇数. 由分类加法计数原理,得共有12+6=18个奇数. 答案:B
项冠军归属结果有4种可能,3项冠军则有4×4×4=43种可能结果.故选A.
答案:A
“mn”或“nm”型问题的求解策略:关键在于搞清楚要以谁为主来研究问题,弄 清楚哪类元素必须用完,就以它为主进行分析,再用分步乘法计数原理求解.
【变式训练1】 5名同学去参加同时进行的4个课外知识讲座,每名同学可 自由选择,则不同的选择种数是( ). A.54 B.5×4×3×2 C.45 D.5×4 解析:每名同学有4种选择,由分步乘法计数原理可得5名同学就有 4×4×4×4×4=45种选择,故不同的选择种数是45. 答案:C
1.处理计数原理的综合问题,一般先分类,再分步.即先确定分类标准和类数, 再逐类分步计算,最后利用分类加法计数原理求得结果. 2.注意题目中的隐含条件——“多面手”的归类.
【变式训练】 在7名学生中,有3名会下象棋但不会下围棋,有2名会下围棋 但不会下象棋,另2名既会下象棋又会下围棋.现在从这7人中选2人分别同 时参加象棋比赛和围棋比赛,共有多少种不同的选法? 解:分为两类:第1类,从3名只会下象棋的学生中选1名参加象棋比赛,这时7 人中还有4人会下围棋,从中选1名参加围棋比赛,有3×4=12种选法; 第2类,从2名既会下象棋又会下围棋的学生中选1名参加象棋比赛,这时7人 中还有3人会下围棋,从中选1名参加围棋比赛,有2×3=6种选法. 由分类加法计数原理,知不同的选法共有N=12+6=18种.