人教版数学高一-人教A必修三 3.3几何概型的应用及其变式
人教A版高中数学必修三 3-3-1《几何概型》课件
题型三 与体积、角度有关的几何概型
【例3】已知正方体ABCD －A1B1C1D1的棱长为a，在正方体内 随机取一点M. (1)求点M落在三棱锥B1－A1BC1内的概率； (2)求点 M 与平面 ABCD 及平面 A1B1C1D1 的距离都大于a3的 概率；
(3)求使四棱锥 M －ABCD 的体积小于16a3 的概率． 审题指导 解决几何概型问题的关键是要寻找几何量之间 的度量关系，再利用相关公式求出其概率．
几何概型的概率计算与构成事件的区域形状有关吗？ 提示 几何概型的概率只与它的长度(面积或体积)有关， 而与构成事件的区域形状无关．
名师点睛
1．几何概型概率的适用情况和计算步骤 (1)适用情况： 几何概型用来计算事件发生的概率适用于有无限多个试验 结果的情况，每种结果的出现也要求必须是等可能的．而 且事件发生在一个有明确范围的区域中，其概率与构成该 事件区域的长度(面积或体积)成比例． (2)计算步骤： ①判断是否是几何概型，尤其是判断等可能性，比古典概 型更难于判断． ②计算基本事件空间与事件A所含的基本事件对应的区域 的几何度量(长度、面积或体积)．这是计算的难点． ③利用概率公式计算．
即海豚嘴尖离岸边不超过 2 m 的概率约为 0.31.
规律方法 此类几何概型题，关键是要构造出随机事件对 应的几何图形，利用图形的几何特征找出两个“面积”，套 用几何概型公式，从而求得随机事件的概率．
【变式2】已知|x|≤2，|y|≤2，点P的坐标为(x，y)，求当x，y∈R 时，P满足(x－2)2＋(y－2)2≤4的概率． 解 如图，点P所在的区域为正方形 ABCD的内部(含边界)，满足(x－2)2＋(y －2)2≤4的点的区域为以(2,2)为圆心，2为 半径的圆面(含边界)． ∴所求的概率 P1＝144π××422＝1π6.
高中数学(人教版A版必修三)配套课件：3.3.1几何概型
反思与感悟 解析答案
跟踪训练1 判断下列试验是否为几何概型，并说明理由： (1)某月某日，某个市区降雨的概率； 解 不是几何概型，因为它不具有等可能性；
解析答案
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达标检测
1.下列关于几何概型的说法错误的是( A ) A.几何概型也是古典概型中的一种 B.几何概型中事件发生的概率与位置、形状无关 C.几何概型中每一个结果的发生具有等可能性 D.几何概型在一次试验中出现的结果有无限个 解析 几何概型与古典概型是两种不同的概型.
1 2345
解析答案
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解析答案
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4.在区间[－1,1]上随机取一个数 x，则 sin π4x值介于－12与 22之间的概率
为( D )
1
1
1
5
A.3
B.2
C.4
D.6
答案
1 2345
5.在装有 5 升纯净水的容器中放入一个病毒，现从中随机取出 1 升水，那么
这 1 升水中含有病毒的概率是( D )
1
1
1
A.0
答案
几何概型的特点： (1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有 无限多个 . (2)每个基本事件出现的可能性 相等 .
答案
知识点二 几何概型的概率公式 思考 既然几何概型的基本事件有无限多个，难以像古典概型那样计算 概率，那么如何度量事件A所包含的基本事件数与总的基本事件数之比？
答案
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题型探究
重点难点 个个击破
类型一 几何概型的概念
人教版数学高一-人教A必修三 3.3帮你解读几何概型
帮你解读几何概型 山东 刘乃东１．几何概型如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．２．几何概型的特点（１）试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个；（２）每个基本事件出现的可能性相等；注：基本事件的“等可能性”的判断是很容易被忽略的．３．几何概型的计算公式在几何概型中，事件Ａ的概率的计算公式如下：()A P A =构成事件的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)4．古典概型与几何概型的区别古典概型与几何概型中基本事件发生的可能性都是相等的，但古典概型要求基本事件有有限个，几何概型要求基本事件有无限多个．例１ 在长为12cm 的线段AB 上任取一点M ，并以线段AM 为边作正方形．试求这个正方形的面积介于36cm 2与81cm 2之间的概率．解析：正方形的面积只由边长AM 确定，此题可以转化为在12cm 长的线段上取一点M ，使AM 的长度介于6cm 与9cm 之间的概率．记A =｛在AB 上取一点，使AM 的长介于6cm 与9cm 之间｝，则()P A 即为使以AM 为边的正方形面积介于36cm 2与81cm 2之间的概率．在AB 上取点C D ，，使6cm 9cm AC AD ==，，则3cm CD =，31()124P A ==∴． 例2 现向如右图所示的正方形随机地投掷镖，求飞镖落在阴影部分的概率．解析：由63401x y y --=⎧⎨=-⎩，116A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，， 又(11)B -，∵，15166AB =-=∴． 同理，由16340x x y =⎧⎨--=⎩，得23y =．213C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴．25(1)33BC =--=∴． 1552526336ABC S =⨯⨯=△∴． 而正方形的面积为224⨯=． 故所求的概率为2525364144=． 评注：几何概型为新增内容，预测今后高考考查的主要对象是几何概型的概率公式的应用，题目应以中，低档题为主，题型主要以选择题、解答题形式出现．。
人教版数学高一-人教A必修三 3.3六种常见的“几何概型.
六种常见的“几何概型” 一般地，就基本事件的空间的几何度量（长度、面积、体积等）而言，我们可以把几何概型分为：区间长度型、线段长度型、角度型、周长（弧长）型，面积型和体积型，举例说明如下： 一、区间长度型 例1.设m 在[0,5]上随机地取值，求方程02142=+++m mx x 有实数根的概率． 分析：由于m 在［0,5］上随机地取值，样本点是连续无限的，所以属于几何概型的问题，只要求出使方程02142=+++m mx x 有两数根的m 的取值范围则问题便 可迎刃而解．解：方程有实数根10)214(42-≤⇒≥+-=∆⇒m m m 或m ≥2. ∵m ∈[0,5]，方程02142=+++m mx x 有实数根时m 的取值范围为[2,5]. ∴方程02142=+++m mx x 有实根的概率为53]5,0[]5,2[==的长度区间的长度区间P ． 点评: 本题把方程与几何概型巧妙地结合起来,背景新颖且韵味无穷.二、线段长度型例2.有一根长4m 的木料，现随机地把它截成两截，求截得的两段长度都不小于1.2 m 的概率.解：如图所示，设线段AB 的长为4 m ，在线段AB 内取点C 和D ，使AC=BD=1.2 m ，则CD=4-1.2-1.2=1.6(m)．要使“把一根长4m 的木料随机地锯成两截，得到两段长度都小于1.2 m ”，则分点（锯点）必须在线段CD 上(包括端点C 、D 在内)，所以所求的概率为5246.1==P . 三、角度型例3.如图所示，在直角坐标系中，射线OA 落在800角的终边上，任意作射线OB,求射线OB 落在∠xOA 外的概率．分析：由于以O 为起点作射线OB 是随机的，而射线OB 落在直角坐标平面上任何位置上是等可能的，所以射线OB 落在∠xOA 外只与∠xOA 的大小有关.解：设事件A=｛射线OB 落在∠xOA 外｝，事件B={射线OB 落在∠xOA 内}，显然，事件A 与事件B 是对立事件．∵∠xOA=800, 9236080)(00==B P ,∴97921)(1)(=-=-=B P A P .点评:在本题中事件的“测度”是角度.本题根据射线OB 落在直角平面上任何位置是等可能的,这时与试验有关的问题,即可利用几何概型来解决.四、周长（弧长）型例4.设有一个均匀的陀螺，在其圆周的一半上均匀地刻上区间[0,1]上的诸数字，另一半上均匀地刻上区间[1,3]的诸数字（所有的数字均按大小排列，且0与3重合）．旋转陀螺，求它停下时，其圆周上触及桌面的刻度位于[0.5,1.5]上的概率．解：圆周上触及桌面的刻度位于[0.5,1]上的概率为P 1，圆周上触及桌面的刻度位于[1,1.5]上的概率为P 2.∵位于区间[0.5,1]的长度只占半个圆周的21，∴[0．5，1]的长度占了整个圆周的41，∴411=P ，同理，在另一个半圆周上，由于该半圆上均匀地刻上区间[1,3]的诸数字，而在该区间上的子区间[1,l.5]只占该半圆的41，所以，它的长度占了整个圆周的81. ∴812=P ,故圆周上触及桌面的刻度位于[0.5,1.5]上的概率为83814121=+=+=P P P . 点评:解决问题的关键是构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何度量来求随机事件的概率． 五、面积型 例5.在区间[-2,2]上任意取两数a,b,求二次方程x 2-ax+b=0有实数根的概率.解：若原方程有实数根，则△=(-a)2-4×1×b 2≥0,即(a-2b)·(a+2b)≥0．则有⎩⎨⎧≥+≥-,02,02b a b a ,或⎩⎨⎧≤+≤-.02,02b a b a ,又a,b ∈[-2,2]，即-2≤a ≤2, -2≤b ≤2，所以基本事件的空间为{ (a, b)|-2≤a ≤2, -2≤b ≤2}，反映在直角坐标系上，就是上图所示的正方形ABCD 区域．而事件A={二次方程x 2-ax+b 2=0有实根}={(a, b)|a-2b ≤0,且a+2b ≤0}∪{(a,b)|a-2b ≥0, 且 a+2b ≥0}，反映在直角坐标系上，就是图中阴影部分的区域.故所求事件的概率为4144)1221(4=⨯⨯⨯⨯=P . 点评：本题根据二次方程x 2-ax+b=0有实数根的条件，列出不等式，画出图象利用公式求解。
人教A版高中数学必修3第三章 概率3.3 几何概型课件
特点
(1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个； (2)每个基本事件出现的可能性相等
概率公式 P(A)＝试验的构全成部事结件果A所的构区成域的长区度域面长积度或面体积积或 体积
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[化解疑难] (1)几何概型的概率公式的理解 ①公式中“长度”的理解：公式中的“长度”并不是实际意义 的长度．有些书上也叫测度，测度的意义依试验的全部结果构成的 区域而定，若区域分别是线段、平面图形和立体图形时，相应的测 度分别是长度、面积和体积． ②等可能性：当试验全部结果所构成的区域长度一定时，A 的 概率只与构成事件 A 的区域长度有关，而与 A 的位置形式无关．
答案：D
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|素养提升| 1．利用几何概型的概率公式，可以解决求概率、面积、参数
值等一系列问题，体现了数学知识的应用价值． 2．如果一个随机试验可能出现的结果有无限多个，并且每个
结果发生的可能性相等，那么该试验可以看作是几何概型． 3．几何概型是不同于古典概型的又一个最基本、最常见的概
率模型，对应随机事件及试验结果的几何度量可以是长度、面积或 体积．
【答案】 C
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方法归纳 此类几何概型问题，关键是要构造出随机事件对应的几何图 形，利用图形的几何特征找出两个“面积”，套用几何概型公式， 从而求得随机事件的概率.
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跟踪训练 3 如图，EFGH 是以 O 为圆心，半径为 1 的圆的内
接正方形．将一颗豆子随机地扔到该圆内，用 A 表示事件“豆子落
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方法归纳 在求解与长度有关的几何概型时，首先找到几何区域 D，这时 区域 D 可能是一条线段或几条线段或曲线段，然后找到事件 A 发生 对应的区域 d，在找 d 的过程中，确定边界点是问题的关键，但边 界点是否取到却不影响事件 A 的概率.
人教A版高中数学必修3课件：3.3.1几何概型(共15张PPT)
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4.假设车站每隔 10 分钟发一班车，随机到达车站，问等车时 间不超过 3 分钟的概率 .
0.3
当一个人用工作去迎接光明，光明很快就会来照耀着他。人在身处逆境时，适应环境的能力实在惊人。人可以忍受不幸，也可以战胜不幸，因为人有着惊人的 挥它，就一定能渡过难关。倘若你想达成目标，便得在心中描绘出目标达成后的景象；那么，梦想必会成真。心等待,就可以每一个人都具有特殊能力的电路， 知道，所以无法充分利用，就好像怀重宝而不知其在；只要能发掘出这项秘藏的能力，人类的能力将会完全大改观，也能展现出超乎常人的能力我这一生不曾 和伟大的著作都来自于求助潜意识心智无穷尽的宝藏。那些最能干的人，往往是那些即使在最绝望的环境里，仍不断传送成功意念的人。他们不但鼓舞自己， 成功，誓不休止。灵感并不是在逻辑思考的延长线上产生，而是在破除逻辑或常识的地方才有灵感。真正的强者，善于从顺境中找到阴影，从逆境中找到光亮 进的目标。每一种挫折或不利的突变，是带着同样或较大的有利的种子。什么叫做失败？失败是到达较佳境地的第一步。失败是坚忍的最后考验。对于不屈不 失败这回事。一次失败，只是证明我们成功的决心还够坚强。失败也是我需要的，它和成功对我一样有价值。我们关心的，不是你是否失败了，而是你对失败 失败？失败是到达较佳境地的第一步。没有人事先了解自己到底有多大的力量，直到他试过以后才知道。对于不屈不挠的人来说，没有失败这回事。要成功不 能，只要把你能做的小事做得好就行了。成功的唯一秘诀——坚持最后一分钟。只有胜利才能生存，只有成功才有代价，只有耕耘才有收获。只有把抱怨环境 的力量，才是成功的保证。不要为已消尽之年华叹息，必须正视匆匆溜走的时光。 当许多人在一条路上徘徊不前时，他们不得不让开一条大路，让那珍惜时间 面去。 敢于浪费哪怕一个钟头时间的人，说明他还不懂得珍惜生命的全部价值。成功＝艰苦劳动＋正确的方法＋少说空话。合理安排时间，就等于节约时间。
人教版数学高一-人教A必修三 3.3几何概型归纳
精校版几何概型题型归纳山东 曹贤波几何概型适用于有无限多结果而又有某种等可能的试验．其中事件A 的概率定义为： ()A P A =构成事件的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)． 对于几何概型，关键是要构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何度量来求随机事件的概率．下面分类例说几何概型的实际应用．一、与长度有关的几何概型例１ 某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台报时，求他等待时间不多于12分钟的概率（假设电台每隔一小时报时一次）．分析：假设他在0到60分钟之间任一时刻打开收音机是等可能的，但0到60之间有无穷多个时刻，不能用古典概型的公式计算随机事件的概率，因为电台每隔1小时报时1次，他在0到60之间任何一个时刻打开收音机是等可能的，所以他在哪个时间段打开收音机的概率只与该时间段的长度有关，而与该时间段的位置无关，这符合几何概型的条件．解：设A =｛等待的时间不多于12分钟｝，我们所关心的事件A 恰好是打开收音机的时刻位于[]4860，时间段内，因此由几何概型的概率公式，得121()605P A ==．即等待时间不多于12分钟的概率是15．二、与面积有关的几何概型例2 街道旁边有一游戏：在铺满边长为9cm 的正方形塑料板的宽广地面上，掷一枚半径为1cm 的小圆板，规则如下：每掷一次交5角钱，若小圆板压在边上，可重掷一次；若掷在正方形内可再交5角再掷一次；若压在塑料板的顶点上，可获得一元钱．试问： （１）小圆板压在塑料板的边上的概率是多少？（２）小圆板压在塑料板顶点上的概率是多少？解析：小圆板中心用Ｏ表示，考察Ｏ落在ABCD 的哪个范围时，能使小圆板与塑料板ABCD 的边相交接，及Ｏ落在哪个范围时能使小圆板与塑料板ABCD 的顶点相交接．（1）如图1所示，因为Ｏ落在正方形ABCD 内任何位置是等可能的，小圆板与正方形塑料板ABCD 的边相交接是在圆板的中心Ｏ到与它靠近的边的距离不超过1cm 时，所以Ｏ落在图1阴影部分时，小圆板就能与塑料板ABCD 的精校版 边相交．因此，试验全部结果构成的区域是边长为9cm 的正方形，图中阴影部分表示事件Ａ：“小圆板压在塑料析边上”．于是29981(cm )S =⨯=正方形，2997732(cm )S =⨯-⨯=阴影．故所求概率32()81P A =． （2）小圆板与正方形的顶点相交接是在中心O 到正方形的顶点的距离不超过圆板的半径1cm 时，如图2所示的阴影部分．图2中阴影部分表示事件B ：“小圆板压在塑料板顶点上”．于是29981(cm )S =⨯=正方形，22π1π(cm )S =⨯=阴影故所求的概率π()81P B =． 三、与体积有关的几何概型例3 一个球型容器的半径为3cm ，里面装有纯净水，因为实验人员不小心混入了一个SARS 病毒，从中任取1ml 水，含有SARS 病毒的概率是多少？分析：病毒在水中的分布可以看作是随机的，从中取得1ml 水可看作构成事件的区域，所有水可看作试验的所有结果构成的区域，可用体积比公式计算其概率．解：水的体积为33344ππ336π(cm )36π(ml)33R =⨯⨯==． 故含有病毒的概率为10.0088436πP =≈．。
人教版数学高一-人教A必修三 3.3几何概型的应用
精校版 几何概型的应用 山东 尹承利几何概型，以其形象直观的特点，倍受人们青睐．下面举例说明几何概型在几方面的应用，以使同学们感受数学美的思维之花．一、与数有关的几何概型例１ 在区间(01)，上随机取两个数m n ，，求关于x 的一元二次方程20x nx m -+=有实根的概率．解析：在平面直角坐标系中，以x 轴和y 轴分别表示m n ，的值，因为m n ，是(01)，与图1中正方形内的点一一对应，即正方形内的所有点构成全部试验结果的区域．设事件A 表示方程20x nx m -+=有实根，则事件40()|0101n m A m n m n ⎧-⎫⎧⎪⎪⎪=<<⎨⎨⎬⎪⎪⎪<<⎩⎩⎭，，所对应的区域为图1中的阴影部分，且阴影部分的面积为18．故由几何概型公式得1()8S P A S ==阴影正方形，即关于x 的一元二次方程20x nx m -+=有实根的概率为18． 二、与形有关的几何概型例2 在等腰ABC Rt △中，在斜边AB 上任取一点M ，求AM 的长小于AC 的长的概率．解析：点M 随机地落在线段AB 上，故线段AB 为试验所有结果构成的区域．在AB 上截取AC AC '=，则当点M 位于图2中线段AC '上时，AM AC <，故线段AC 即为构成事件AM AC <的区域． 于是2()()AC AC P AM AC P AM AC AB AB ''<=<===，即AM 的长小于AC 的长的概率为22． 例3 如图3，在平面直角坐标系内，射线OT 落在60°角的终边上，任作一条射线OA ，求射线OA 落在xOT ∠内的概率．解析：以O 为起点作射线OA 是随机的，因而射线OA 落在任精校版 何位置都是等可能的．落在xOT ∠内的概率只与xOT ∠的大小有关，符合几何概型的条件． 记{}B OA xOT =∠射线落在内．60xOT ∠=∵°，601()3606P B ==°∴°，即射线OA 落在xOT ∠内的概率为16． 三、与时间有关的几何概型例4 从甲地到乙地有一班车在9:30到10:00到达，若某人从甲地坐该班车到乙地转乘9:45到10:15出发的汽车到丙地去，问他能赶上车的概率是多少？解析：到达乙地的时间是9:30到10:00之间的任一时刻，某人从乙地转乘的时间是9:45到10:15之间的任一时刻，如果在平面直角坐标系中用x 轴表示班车到达乙地的时间，y 轴表示从乙地出发的时间，因为到达乙地时间和从乙地出发的时间是随机的，则试验的全部结果可看作是边长为0．5的正方形．设“他能赶上车”为事件A ，则事件A 的条件是x y ≤，构成事件A 的区域为图4的阴影部分．由几何概型公式，得22210.50.252()0.8750.5P A -⨯==，即他能赶上车的概率为0．875． 例5 国家安全机关监听录音机记录了两个间谍的谈话，发现30min 长的磁带上，从开始30s 处起，有10s 长的一段内容包含间谍犯罪的信息．后来发现，这段谈话的一部分被某工作人员擦掉了，该工作人员声称他完全是无意中按错了键，使从此处起往后的所有内容都被擦掉了．那么由于按错了键使含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉的概率有多大？ 解析：包含两个间谍谈话录音的部分在30s 到40s 之间，当按错键的时刻在这段时间之内时，部分被擦掉，当按错键的时刻在０到30s 之间时全部被擦掉，即在0到40s 之间的时间段内容按错键时，含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉，而0到30min 之间的时间段内任一时刻按错键的可能性是相等的，所以按错键使含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉的概率只与从开始到谈话内容结束的时间段长度有关．记Ａ＝｛按错键使含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉了｝，Ａ发生就是在0到23min 时间段内按错键． 213()3045P A ==∴．。
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几何概型的应用及其变式
山东枣庄市第二中学（277400） 张同军
例.在一所小学的门口有人设一游戏（如图）吸引许多小学生参加．小学生每转动指针一次交5角钱，若指针与阴影重合，奖5角钱；若连续重合2次奖文具盒一个；若连续重合3次，奖书包一个；若连续重合4次，奖电子游戏机一台.不少学生被高额奖品所诱惑，纷纷参与此游戏，却很少有人得到奖品，这是为什么呢？
解析: 利用几何概率可以解释这个问题．由于指针位于圆周上阴影部分才能得奖，设圆周周长为100cm ，阴影部分位于圆周上的每一弧长为2cm ，由几何概型及指针的对称性知，指针落于阴影上的概率为P(A)=2
2 圆周长CD 即参加一次游戏不用花钱的概率为0.08.由于每次转动可看成相互独立的随机事件（即若A ·B 表示事件A 与B 同时发生，则P(A ·B)=P(A )·P(B)，设A i ＝{指针与阴影连续重合i 次}，则
P(A 1)=0.08
P(A 2)=0.082=0.0064
P(A 3)=0.083=0.000512
P(A 4)=0.084=0.00004096
可见，参加游戏者得奖的概率很小，得到一个文具盒的可能性仅有0.0064，那么要想得到游戏机，则几乎是天方夜谭．由小概率原理可知，只参加一次游戏，几乎不可能中奖．所以，这是一个骗人的把戏．
变式1．如图，设有一个正方形网格，其中每个小正三角形的边长都是a ，现有一直径等于3
a 的硬币落在此网格上，求硬币落下后与网格有公共点的概率？
分析: 因为圆的位置由圆心确定，所以要与网格线有公共点只要圆心到网格线的距离小于等于半径．
解：如图，正三角形ABC 内有一正三角形A 1B 1C 1，其中AB=a ，A 1D=B 1E=A 1F=6
1a ，
当圆心落在三角形A 1B 1C 1之外时，硬币与网格有公共点．
答：硬币落下后与网格有公共点的概率为0.82．
变式2.平面上画了彼此相距2a 的平行线，把一枚半径r<a 的硬币，任意地抛在这个平面上，求硬币不与任何一条平行线相碰的概率？
解：设事件A 为“硬币不与任何一条平行线相碰”．为了确定硬币的位置，由硬币的中心向距离最近的平行线作垂线OM ，垂足为M,线段OM 的长度的取值范围为[0,a],其长度就是几何概型所有的可能性构成的区域D 的几何测度．当0<OM ≤a 时，要使硬币不与平行线相碰，区间(r,a]的长度a-r 就是满足事件A 的区域d 的几何测度，所以
答：硬币不与任何一条平行线相碰的概率为a
r a -． 点评: 该题是几何概型的典型题目，要求我们正确确认区域D 和区域d ，理解它们的关系以及它们的测度如何来刻画．
练习:
1.在地上画一正方形线框，其边长等于一枚硬币的直径的2倍，向方框中投掷硬币，硬币完全落在正方形外的不计，求硬币完全落在正方形内的概率？
解：P(A)=ππ+=⨯+⨯⨯+=3241
41442222测度测度
D d 2．如图，已知矩形ABCD 中，AB=5，BC=7，在正方形内任取一点P ，求∠APB>900
的概率？。