湖南省2019学年高一下学期期末考试数学试卷【含答案及解析】
湖南省2019学年高一下学期期末考试数学试卷【含答
案及解析】
姓名___________ 班级____________ 分数__________
一、选择题
1. 已知 a>b ，则下列不等式一定成立的是
A. a 2 >b 2
B. ac>bc
C. |a|>|b|
D. 2 a >2 b
2. 如图，给出的 3 个三角形图案中圆的个数依次构成一个数列的前 3 项，则这个数列的一个通项公式是
A. 2n＋1
B. 3n
C.
D.
3. 在△ ABC 中，内角 A ， B 所对的边分别为 a ， b ，若 a cos A＝b cos B ，则△ ABC 的形状一定是
A. 等腰三角形________
B. 直角三角形
C. 等腰直角三角形________
D. 等腰三角形或直角三角形
4. 设等差数列的前 n 项和为 S n ， a 2 ， a 5 是方程 2x 2 －3x－2＝0 的
两个根，则 S 6 ＝
A. B. 5 C. －________ D. －5
5. 满足 a＝4 ， b＝3 和 A＝45 °的△ ABC 的个数为
A. 0 个________
B. 1 个________
C. 2 个________
D. 不确定
6. 已知函数 f(x)＝ax 2 ＋bx＋c ，不等式 f(x)<0 的解集为，
则函数 y＝f(－x) 的图象可以为
A. B. C.
D.
7. 设集合 A＝，若 A＝∅，则实数 a 取值的集合是
A. (0,4)
B. [0,4]
C. (0,4)
D. [0,4]
8. 若数列满足 a 1 ＝1 ， log 2 a n ＋ 1 ＝ log 2 a n ＋1(n ∈ N * ) ，它的前 n 项和为 S n ，则 S n ＝
A. 2－2 1 － n
B. 2 n － 1 －1
C. 2 n －1
D. 2－2 n － 1
9. 已知钝角△ ABC 的面积是， AB ＝1 ， BC ＝，则 AC ＝
A. 1
B.
C. 1 或 ________
D. 5
10. 已知数列的前 n 项和为 S n ＝aq n ( aq ≠ 0 ，q ≠ 1) ，则为
A. 等差数列
B. 等比数列
C. 既不是等差数列，也不是等比数列
D. 既是等差数列，又是等比数列
11. 设 a ＞0 ， b ＞0, a ＋4 b ＝1 ，则使不等式t ≤ 恒成立的实数 t 的取值范围是
A. t ≤ 8
B. t ≥ 8
C. t ≤ 9
D. t ≥ 9
12. 已知点 P ( x ， y ) 的坐标 x ， y 满足，过点 P 的直线 l 与
圆 C ： x 2 ＋ y 2 ＝14 相交于 A 、 B 两点，则 |AB| 的最小值为
A. 2
B. 4
C. 4
D. 8
二、填空题
13. 已知集合 P＝， Q＝，则P ∩ Q＝ ______ ．
14. △ ABC 的内角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c ，已知三个内角成等
差数列，且 A 为等差中项，若 a＝3 ， b＝5 ，则 sin B＝ ________ ．
15. 某工厂生产甲、乙两种产品，其产量分别为 45 个与 55 个，所用原料为 A ，
B 两种规格金属板，每张面积分别为 2 m 2 与 3 m 2 . 用 A 种规格金属板可造甲
种产品 3 个，乙种产品 5 个；用 B 种规格金属板可造甲、乙两种产品各 6 个．设
A ，
B 两种金属板各取 x 张， y 张．当 x＝ ______ ， y＝ ________ 时，可使
总的用料面积最省．
16. 等比数列 {a n } 的公比为 q ，其前 n 项的积为 T n ，并且满足条件 a
1 >1 ， a 49 a 50 －1>0 ， (a 49 －1)(a 50 －1)<0. 给出下列结论：
① 0<q<1；② a 1 a 99 －1<0；③ T 49 的值是 T n 中最大的；④使 T n >1 成立
的最大自然数 n 等于 98.
其中所有正确结论的序号是 ____________ ．
三、解答题
17. 已知等差数列的前三项分别为λ ， 6 ，3λ ，前 n 项和为 S n ，且
S k ＝165.
(1) 求λ 及 k 的值；
(2) 设 b n ＝，且数列的前 n 项和 T n ，证明：≤ T n <1.
18. 某企业准备投入适当的广告费对产品进行促销，在一年内预计销售量 Q( 万件 ) 与广告费 x( 万元 ) 之间的函数关系为 Q＝ (x>1) ，已知生产该产品的年固定
投入为 3 万元，每生产 1 万件该产品另需再投入 32 万元，若每件销售价为“年平均每件生产成本 ( 生产成本不含广告费 ) 的150% ”与“年平均每件所占广告费的50% ”之和．
(1) 试将年利润 W( 万元 ) 表示为年广告费 x( 万元 ) 的函数； ( 年利润＝销售收入－成本 )
(2) 当年广告费为多少万元时，企业的年利润最大？最大年利润为多少万元？
19. 在中，设．
（Ⅰ ）求证：为等腰三角形；
（Ⅱ ）若且，求的取值范围．
四、选择题
20. 过点 (2 ， 0) 引直线 l 与曲线 y＝相交于 A ， B 两点， O 为坐标原点，当△ AOB 的面积取最大值时，直线 l 的斜率等于 ( )
A. B. －________ C. ± D. －
21. 已知定义在 R 上的函数 y ＝ f ( x ) 对于任意的 x 都满足 f ( x ＋1)＝－ f ( x ) ，当－ 1 ≤ x ＜1 时， f ( x )＝ x 3 ，若函数 g ( x )＝ f ( x )－log a | x | 至少有 6 个零点，则 a 的取值范围是 ( )
A. ∪ (5 ，＋∞ )
B. ∪
C. ∪ (5 ， 7)
D. ∪ [5 ， 7)
五、填空题
22. 已知某几何体的三视图如图所示，则它的外接球表面积为 ________ ．
六、解答题
23. 设 f(x)＝ si n －2 cos 2 ＋1.
(1) 求 f(x) 的最小正周期；
(2) 若函数 y＝f(x) 与 y＝g(x) 的图象关于直线 x＝1 对称，求当x ∈
时， y＝g(x) 的最大值．
24. 如图 1 ，在Rt △ ABC 中，∠ ABC＝60° ，∠ BAC＝90° ， AD 是 BC 边上的高，沿 AD 将△ ABC 折成60 °的二面角 B－AD－C ，如图 2.
(1) 证明：平面ABD ⊥平面 BCD；
(2) 设 E 为 BC 的中点， BD＝2 ，求异面直线 AE 与 BD 所成的角的大小．
25. 设函数 f(x)＝|ax－x 2 |＋2b(a ，b ∈ R)．
(1) 当 b ＝0 时，若不等式 f ( x ) ≤ 2 x 在x ∈ [0 ， 2] 上恒成立，求实数 a 的取值范围；
(2) 已知 a 为常数，且函数 f ( x ) 在区间 [0 ， 2] 上存在零点，求实数 b 的取值范围．
参考答案及解析第1题【答案】
第2题【答案】
第3题【答案】
第4题【答案】
第5题【答案】
第6题【答案】
第7题【答案】
第8题【答案】
第9题【答案】
第10题【答案】
第11题【答案】
第12题【答案】
第13题【答案】
第14题【答案】
第15题【答案】
第16题【答案】
第17题【答案】
第18题【答案】
第19题【答案】
第20题【答案】
第21题【答案】
第22题【答案】
第23题【答案】
第24题【答案】
第25题【答案】。
湖南省长沙市2023-2024学年高一下学期入学考试数学试卷含答案
湖南2023-2024学年度高一第二学期入学考试数学（答案在最后）命题：（考试范围：必修1）时量：120分钟满分：150分得分：______.一､选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意的.）1.已知全集()U {010},{1,3,5,7}U M N x x M N =⋃=∈≤≤⋂=N ∣ð，则集合N =（）A.{}010x x ≤≤∣ B.{}010x x ∈≤≤N∣C.{}0,2,4,6,8,9,10 D.{}0,2,4,6,8,10【答案】C 【解析】【分析】根据题意，结合集合的运算，即可得到结果.【详解】{}{010}0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10U M N x x =⋃=∈≤≤=N∣，且()U {1,3,5,7}M N ⋂=ð，则集合N 中不包含元素1,3,5,7，即{}0,2,4,6,8,9,10N =.故选：C2.已知R 上的函数()f x ，则“()00f =”是“函数()f x 为奇函数”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据题意，结合函数的奇偶性分别验证充分性以及必要性，即可得到结果.【详解】取()()1f x x x =-，x ∈R ，则()00f =，但()()10,12f f =-=，即()()11f f -≠-，所以函数()f x 不是奇函数，故充分性不满足；若函数()f x 为奇函数，则()()00f f =--，即()00f =，故必要性满足；所以“()00f =”是“函数()f x 为奇函数”的必要不充分条件.故选：B3.为了得到函数cos5xy =的图象，只需把余弦曲线cos y x =上所有的点（）A.横坐标伸长到原来的5倍，纵坐标不变B.横坐标缩短到原来的15，纵坐标不变C.纵坐标伸长到原来的5倍，横坐标不变 D.纵坐标缩短到原来的15，横坐标不变【答案】A 【解析】【分析】根据函数()cos y A x ωϕ=+的图象变换规律，横坐标伸缩变换，可得结论．【详解】将函数cos y x =图象上各点的横坐标伸长到原来的5倍，纵坐标不变，得到函数1cos 5y x =的图象．故选：A ．4.函数()()1ln f x x x =-的图象可能是（）A.B.C. D.【答案】C 【解析】【分析】通过函数的定义域排除D 选项；通过函数的零点、在1x <-，10x -<<，01x <<，1x >四段范围内函数值的正负可排除AB 选项，确定C 选项.【详解】函数()()1ln f x x x =-的定义域为{}0x x ≠，故排除D 选项；令()()1ln 0f x x x =-=，即1x =或=1x -，所以函数有两个零点1，1-，当1x <-时，1x ->，则10x -<，()ln ln 0x x =->，则()()1ln 0f x x x =-<，故排除AB 选项；当10x -<<时，1x -<，则10x -<，()ln ln 0x x =-<，则()()1ln 0=->f x x x ；当01x <<时，10x -<，ln ln 0x x =<，则()()1ln 0=->f x x x ；当1x >时，10x ->，ln ln 0x x =>，则()()1ln 0=->f x x x .所以函数()()1ln f x x x =-的图象可能是C 选项.故选：C.5.已知实数a ，b ，满足33(1)(1)2a b a b -+-≥--恒成立，则a b +的最小值为（）A.2B.0C.1D.4【答案】A 【解析】【分析】化简可得33(1)(1)(1)1a a b b -+-≥-+-，再根据函数3y x x =+单调递增判断即可.【详解】33(1)(1)2a b a b -+-≥--，所以33(1)(1)(1)1a a b b -+-≥-+-，因为函数3y x x =+单调递增，所以11a b -≥-，即2a b +≥.故选：A ．6.已知4cos 25πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，且2πα<，则sin21cos2αα=+（）A.43 B.34C.34-D.43-【答案】D 【解析】【分析】由已知利用诱导公式可求sin α的值，根据同角三角函数基本关系式可求cos α的值，进而根据二倍角公式化简所求即可得解.【详解】解：∵4cos sin 25παα⎛⎫+=-= ⎪⎝⎭且2πα<，所以4sin 5α=-，3cos 5α==所以2sin22sin cos sin 41cos22cos cos 3ααααααα===-+故选：D .7.已知函数())lg f x x =，正实数a ，b 满足()()220f a f b -+=，则2aba b +的最大值为（）A.49B.29C.15D.14【答案】B 【解析】【分析】先判定函数的奇偶性及单调性，可由条件得出22a b +=，再结合基本不等式计算即可.【详解】易知函数()f x 定义域为R，且)()lg ()lgf x x x⎤-=+-=-⎦)()lgx f x ==-=-，所以)()lgf x x =+为R 上的奇函数，有()()0f x f x -+=，由复合函数的单调性可知()f x 单调递增，由()()220f a f b -+=，得220a b -+=，即22a b +=，因为,a b 为正实数，则有1122ab a b b a=++，而()12222559a b a b b a b a ⎛⎫++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当a b =即23a b ==时等号成立，所以1292b a +≥，则2ab a b +的最大值为29.故选：B.8.已知495ln ,log 3log 17,72425bb c a a b -==++=，则以下关于,,a b c 的大小关系正确的是（）A.b c a >>B.a c b>> C.b a c>> D.a b c>>【答案】D 【解析】【分析】根据零点存在性定理可求解23b <<，进而根据指数对数的运算性质结合基本不等式求解c b <的范围，即可比较大小．【详解】由ln 50a a +-=，令()ln 5f a a a =+-，则()f a 在定义域内单调性递增，且()()33ln35ln320,44ln 45ln 410f f =+-=-<=+-=->，由零点存在性定理可得34a <<，49lg3lg17log 3log 1722lg22lg3b =+=+≥==>=，又494917log 3log lo 4813g log b =+<=+，因此23b <<，2272425724625b b c >+=+=，可得2>c ，72425bbc+=，72425252525b b cb b b +=，22724724()()()()125252525b b +<+=，∴25125cb <，2525c b <，c b ∴<，c b a ∴<<．故选：D【点睛】方法点睛：比较大小问题，常常根据：（1）结合函数性质进行比较；（2）利用特殊值进行估计，再进行间接比较；（3）根据结构特征构造函数，利用导数分析单调性，进而判断大小.二､多选题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.设a ，b ，c ，d 为实数，且0a b c d >>>>，则（）A.2c cd <B.a c b d -<-C.ac bd >D.c d a b>【答案】AD 【解析】【分析】利用不等式的性质判断A ，利用特殊值判断BC ，利用作差法，结合不等式的性质判断D .【详解】由0c d >>可得，2c cd <，A 正确；3,1,2,3a b c d ===-=-时，a c b d ->-，B 不正确；3,1,2,3a b c d ===-=-时，ac bd <，C 不正确；因为0a b c d >>>>，所以0,,0ab bc ac c d >>->，所以0,c d bc ad ac ad c d a b ab ab b----=>=>所以c da b>，D 正确；故选：AD.10.已知函数()23xf x a kx =---，给出下列四个结论，其中正确的有（）A.若1a =，则函数()f x 至少有一个零点B.存在实数,a k ，使得函数()f x 无零点C.若0a >，则不存在实数k ，使得函数()f x 有三个零点D.对任意实数a ，总存在实数k 使得函数()f x 有两个零点【答案】ABD 【解析】【分析】同一坐标系中，作出函数2,3xy a y kx =-=+的图象，结合图象，利用数形结合法求解.【详解】A 中，当1a =时，函数()213x f x kx =---，令()0f x =，可得213xkx -=+，在同一坐标系中作出21,3xy y kx =-=+的图象，如图所示，由图象及直线3y kx =+过定点(0,3)，可得函数()f x 至少一个零点，故A 正确；B 中，当4a =-，0k =时，作出函数24,3xy y =+=的图象，由图象知，函数()f x 没有零点，所以B 正确；C 中，当16,2==-a k 时，在同一坐标系中，作出函数126,32xy y x =-=-+的图象，如图所示，由图象可得，此时函数()f x 有3个零点，所以C 错误；D 中，分别作出当0,0,0a a a =><时，函数2,3xy a y kx =-=+的图象，由图象知，对于任意实数a ，总存在实数k 使得函数()f x 有两个零点，所以D 正确.故选：ABD.11.海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮．一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋．已知某港口水深()f t （单位：m ）与时间t （单位：h ）从0~24时的关系可近似地用函数π()sin()0,0,2f t A t b A ωϕωϕ⎛⎫=++>>< ⎪⎝⎭来表示，函数()f t 的图象如图所示，则（）A.π()3sin5(024)6f t t t =+≤≤B.函数()f t 的图象关于点(12,0)对称C.当5t =时，水深度达到6.5mD.已知函数()g t 的定义域为[0,6]，(2)(2)g t f t n =-有2个零点12,t t ，则12πtan 3t t =+【答案】ACD 【解析】【分析】根据图象的最值求出,A b ，再根据图象得到其周期则得到ω，代入最高点求出ϕ，则得到三角函数解析式，则判断A ，再结合其对称性即可判断B ，代入计算即可判断C ，利用整体法和其对称性即可判断D.【详解】对A ，由图知()max 8f t =，()min 2f t =，()()max min32f t f t A -∴==，()()max min52f t f t b +==，()f t 的最小正周期12T =，2ππ6T ω∴==，()π33sin 582f ϕ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭ ，()ππ2π22k k ϕ∴+=+∈Z ，解得：()2πk k ϕ=∈Z ，又π2ϕ<，0ϕ∴=，π()3sin 5(024)6f t t t ∴=+≤≤，故A 正确；对B ，令ππ6t k =，()k ∈Z ，解得6t k =，()k ∈Z ，当2k =时，12t =，则(12)3sin 2π55f =+=，则函数()f t 的图象关于点(12,5)对称，故B 错误；对C ，()π3sin55 6.565f ⨯+==，故C 正确；对D ，[]20,6t ∈，则[]0,3t ∈，令(2)(2)0g t f t n =-=，则(2)f t n =，令2t m =，则根据图象知两零点12,m m 关于直线3t =，则126m m +=，即12226t t +=，则123t t +=，则12ππtantan 3t t ==+，故D 正确.故选：ACD.【点睛】关键点睛：本题的关键是利用三角函数模型结合图象求出其解析式.三､填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分）12.已知半径为120mm 的圆上，有一条弧的长是144mm ，则该弧所对的圆心角（正角）的弧度数为______.【答案】65【解析】【分析】根据弧长公式即可得解.【详解】设圆心角的弧度数为α，则120144α=，解得65α=.故答案为：65.13.若π10,,tan 22⎛⎫∈= ⎪⎝⎭θθ，则sin cos θθ-=________．【答案】5-【解析】【分析】根据同角三角关系求sin θ，进而可得结果.【详解】因为π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin 0,cos 0θθ>>，又因为sin 1tan cos 2θθθ==，则cos 2sin θθ=，且22222cos sin 4sin sin 5sin 1+=+==θθθθθ，解得5sin 5θ=或5sin 5θ=-（舍去），所以sin cos sin 2sin sin 5-=-=-=-θθθθθ.故答案为：5-.14.如图，正方形ABCD 的边长为1,,P Q 分别为边,AB DA 上的点.当APQ △的周长为2时，则PCQ ∠的大小为______.【答案】π4【解析】【分析】设出角,PCB QCD αβ∠=∠=，然后求得,AP AQ ，再根据APQ △的周长求得αβ+，即可得解.【详解】设,PCB QCD αβ∠=∠=，则tan ,tan PB DQ αβ==，则1tan ,1tan AP AQ αβ=-=-，PQ =，21tan 1tan αβ∴=-+-即tan tan αβ+=，将上式两边平方，整理得tan 1ta an an t n t αβαβ+=-⋅，即tan()1αβ+=，因为π0,2αβ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以π4αβ+=，所以π4PCQ ∠=.故答案为：π4.【点睛】关键点点睛：解决该试题的关键是能根据边表示出,PCB QCD αβ∠=∠=，的正切值，借助于两角差的正切公式得到结论．四､解答题（本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）15.已知集合2{|1327},{|log 1}xA xB x x =≤≤=>.（1）求()R B A ⋃ð；（2）已知集合{|11}C x a x a =-<<+，若C A ⊆，求实数a 的取值范围.【答案】（1）{}3x x ≤；（2）1a ≤.【解析】【分析】（1）由指数函数、对数函数的性质确定集合,A B ，然后由集合的运算法则计算．（2）由集合的包含关系得不等关系，求得参数范围．【详解】解：（1）{}03A x x =≤≤，{}2B x x =>，{}2R B x x =≤ð，(){}3RB A x x ⋃=≤ð.（2）当C =∅时，11a a -≥+，即0a ≤成立；当C ≠∅时，11100113a aa a a -<+⎧⎪-≥⇔<≤⎨⎪+≤⎩成立.综上所述，1a ≤．【点睛】易错点睛：本题考查集合的运算，考查由集合的包含关系示参数范围．在A B ⊆中，要注意A =∅的情形，空集是任何集合的子集．这是易错点．16.已知函数()πsin cos 44f x x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.（1）求()f x 的最小正周期；（2）若5π122414f θ⎛⎫-=-⎪⎝⎭，π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求cos θ的值.【答案】（1）π（2）1314【解析】【分析】（1）利用恒等变换得到()1πsin 224f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再利用正弦函数的性质求解；（2）由5π1π1sin 2242614f θθ⎛⎫⎛⎫-=-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得到π1sin 67θ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，再由ππcos cos 66θθ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎝⎭⎣⎦，利用两角和的余弦公式求解.【小问1详解】解：()π2222sin cos sin cos sin 44224f x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=++=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2222221πsin cos sin2cos2sin 22244424x x x x x x ⎛⎫=-+=+=+ ⎪⎝⎭，所以最小正周期2π2T π==；【小问2详解】由5π1π1sin 2242614f θθ⎛⎫⎛⎫-=-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得π1sin 67θ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，因为π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，πππ,663θ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，所以πcos 67θ⎛⎫-== ⎪⎝⎭，所以ππππππcos cos cos cos sin sin 666666θθθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=--- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，1113727214⎛⎫=--⨯=⎪⎝⎭.17.如图，一个半径为4米的筒车按逆时针方向每π分钟转1圈，筒车的轴心O 距水面的高度为2米.设筒车上的某个盛水筒W 到水面的距离为d (单位：米)(在水面下则d 为负数).若以盛水筒W 刚浮出水面时开始计算时间，则d 与时间t (单位：分钟)之间的关系为sin()0,0,22d A t K A ππωϕωϕ⎛⎫=++>>-<< ⎪⎝⎭.（1）求,,,A K ωϕ的值；（2）求盛水筒W 出水后至少经过多少时间就可到达最高点？（3）某时刻0t (单位：分钟)时，盛水筒W 在过O 点的竖直直线的左侧，到水面的距离为5米，再经过6π分钟后，盛水筒W 是否在水中？【答案】（1）4,2,,26A K πωϕ===-=；（2）3π分钟；（3）再经过6π分钟后盛水筒不在水中.【解析】【分析】（1）先结合题设条件得到T π=，4,2A K ==，求得2ω=，再利用初始值计算初相ϕ即可；（2）根据盛水筒达到最高点时6d =，代入计算t 值，再根据0t >，得到最少时间即可；（3）先计算0t 时03sin 264t π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，根据题意，利用同角三角函数的平方关系求0cos 26t π⎛⎫- ⎪⎝⎭，再由6π分钟后00sin()=sin 2sin 26663t t t ππππωϕ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫++-=-+ ⎪ ⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦，进而计算d 值并判断正负，即得结果.【详解】解：（1）由题意知，T π=，即2ππω=，所以2ω=，由题意半径为4米，筒车的轴心O 距水面的高度为2米，可得：4,2A K ==，当0=t 时，0d =，代入4sin(2)2d t ϕ=++得，1sin 2ϕ=-，因为22ππϕ-<<，所以6πϕ=-；（2）由（1）知：4sin 226d t π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，盛水筒达到最高点时，6d =，当6d =时，64sin 226t π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，所以sin 216t π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以22,Z 62t k k πππ-=+∈，解得,Z 3t k k ππ=+∈，因为0t >，所以，当0k =时，min 3t π=，所以盛水筒出水后至少经过3π分钟就可达到最高点；（3）由题知：04sin 2256t π⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，即03sin 264t π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，由题意，盛水筒W 在过O 点的竖直直线的左侧，知0cos 206t π⎛⎫-< ⎪⎝⎭，所以0cos 264t π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，所以00313sin 2sin 2666342428t t ππππ⎛⎫-⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫+-=-+=⨯+-⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎝⎭，所以，再经过6π分钟后32172142082d --=⨯+=>，所以再经过6π分钟后盛水筒不在水中.【点睛】本题的解题关键在于准确求解出三角函数模型的解析式，才能利用三角函数性质解决实际问题，突破难点.18.若函数()y f x =对定义域内的每一个值1x ，在其定义域内都存在唯一的2x ，使()()121f x f x =成立，则称该函数为“依赖函数”.（1）判断函数()sin g x x =是否为“依赖函数”，并说明理由；（2）已知函数()24()3h x x a a ⎛⎫=-≥⎪⎝⎭在定义域4,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为“依赖函数”，若存在实数4,43x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得对任意的t ∈R ，不等式()()24h x t s t x ≥-+-+都成立，求实数s 的最大值.【答案】18.不是“依赖函数”，理由见解析；19.4112.【解析】【分析】（1）由“依赖函数”的定义举例子判断即可；（2）分类讨论解决函数不等式()()24h x t s t x ≥-+-+恒成立的问题，分离参数265324339s x x⎛⎫+≤+ ⎪⎝⎭，转化为求函数53239y x x =+在4,43x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的最小值问题即可.【小问1详解】对于函数()sin g x x =的定义域R 内存在1π6x =，而()22g x =无解，故()sin g x x =不是“依赖函数”.【小问2详解】①若443a ≤≤，故()2()h x x a =-’在4,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦上最小值为0，此时不存在2x ，舍去；②若4a >，故()2()h x x a =-’在4,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，从而()4413h h ⎛⎫=⎪⎝⎭，解得1a =（舍）或133a =.从而存在4,43x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦使得对任意的t ∈R ，有不等式()221343x t s t x ⎛⎫-≥-+-+ ⎪⎝⎭都成立，即2226133039t xt x s x ⎛⎫++-++≥ ⎪⎝⎭对R t ∈恒成立，则2226133Δ4039x x s x ⎡⎤⎛⎫=--++≤ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，得2265324339s x x ⎛⎫+≤+ ⎪⎝⎭，由存在4,43x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使265324339s x x ⎛⎫+≤+⎪⎝⎭能成立，又53239y x x =+在4,43x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦单调递减，故当43x =时，max 532145393x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，从而26145433s ⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭，解得4112s ≤，综上，故实数s 的最大值为4112.19.已知e 是自然对数的底数，()e e1xx f x =+．（1）判断函数()f x 在[)0+∞，上的单调性并证明你的判断是正确的；（2）记()(){}ln 3()e1ln 32xg x a f x a x -⎡⎤=--+--⎣⎦，若()0g x ≤对任意的[)0,x ∈+∞恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）函数()f x 在[)0+∞，上单调递增，证明见解析（2）[1,3]【解析】【分析】（1）根据函数单调性的定义，任取12,[0,)x x ∈+∞，且12x x <，可证()()()1212121e e 10e ex x x x f x f x ⎛⎫-=--< ⎪⎝⎭，即()()12f x f x <，则可判断函数单调性；（2）将()0g x ≤对任意的[)0,x ∈+∞恒成立，转化为ln (3)e 1ln 32xa a x ⎡⎤-+≤+⎣⎦恒成立，即可求出a 的取值范围.【小问1详解】解：函数()f x 在[)0+∞，上单调递增，证明如下：任取12,[0,)x x ∈+∞，且12x x <，则()()12121211e e e e xx x x f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()12121212111e e e e 1e e e e x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为12,[0,)x x ∈+∞，且12x x <，所以21e e 1x x >≥，所以12e e 0x x -<，12e e 1x x >，12110e e x x ->，故()()120f x f x -<，即()()12f x f x <，所以()f x 在[0,)+∞上单调递增.【小问2详解】()ln (3)e 1ln 32xg x a a x ⎡⎤=-+--⎣⎦，问题即为ln (3)e 1ln 32xa a x ⎡⎤-+≤+⎣⎦恒成立，显然0a >，首先(3)e 10x a -+>对任意[0,)x ∈+∞成立，即13,e 0,xa a ⎧<+⎪⎨⎪>⎩因为[0,)x ∈+∞，则1334ex <+≤，所以03a <≤.其次，ln (3)e 1ln 32xa a x ⎡⎤-+≤+⎣⎦，即为2(3)e 13e x xa a -+≤,即23e (3)e 10x x a a +--≥成立，亦即()()3e 1e 10xxa +-≥成立,因为3e 10x +>，所以e 10x a -≥对于任意[0,)x ∈+∞成立，即max1e x a ⎛⎫≥⎪⎝⎭，所以1a ≥.。
【期末冲刺】2019—2020学年高一年级下学期期末冲刺满分训练卷——第十一章 立体几何初步(解析版)
2019—2020学年高一年级下学期期末冲刺满分训练卷第十章 立体几何初步 期末单元测试卷（范围：新教材人教B 版 必修四 考试时间：90分钟 满分：150分）一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）1.以下命题（其中a 、b 表示直线，α表示平面）中，正确的命题是( )A. 若//a b ，b α⊂，则//a αB. 若//a α，//b α，则//a bC. 若//a b ，b α⊥，则a α⊥D. 若//a α，b α⊂，则//a b答案及解析：1.C【分析】根据线线、线面有关定理对选项逐一分析，由此确定正确选项.【详解】对于A 选项，直线a 可能含于平面α，所以A 选项错误.对于B 选项，,a b 可能异面，所以B 选项错误.对于C 选项，由于//a b ，b α⊥，所以a α⊥，所以C 选项正确.对于D 选项，,a b 可能异面，所以D 选项错误.故选：C【点睛】本小题主要考查空间线线、线面位置关系的判断，属于基础题.2.下列命题正确的是（ ）A. 有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱。
B. 有两个面平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱。
C. 绕直角三角形的一边旋转所形成的几何体叫圆锥。
D. 用一个面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台。
答案及解析：2.B【分析】根据课本中的相关概念依次判断选项即可.【详解】对于A 选项，几何体可以是棱台，满足有两个面平行，其余各面都是四边形，故选项不正确；对于B ，根据课本中棱柱的概念得到是正确的；对于C ，当绕直角三角形的斜边旋转时构成的几何体不是圆锥，故不正确；对于D ，用平行于底面的平面截圆锥得到的剩余的几何体是棱台，故不正确.故答案为：B.【点睛】这个题目考查了几何体的基本概念，属于基础题.3.在正方体ABCD - A 1B 1C 1D 1中，动点E 在棱BB 1上，动点F 在线段A 1C 1上，O 为底面ABCD 的中心，若1,BE x A F y ==，则四面体O-AEF 的体积( )A. 与x ，y 都有关B. 与x ，y 都无关C. 与x 有关，与y 无关D. 与y 有关，与x 无关答案及解析：3.B【分析】 根据等体积法以及锥体体积公式判断选择.【详解】因为V O －AEF ＝V E －OAF ，所以，考察△AOF 的面积和点E 到平面AOF 的距离的值，因为BB 1∥平面ACC 1A 1，所以，点E 到平面AOE 的距离为定值，又AO ∥A 1C 1，所以，OA 为定值，点F 到直线AO 的距离也为定值，即△AOF 的面积是定值，所以，四面体O-AEF 的体积与x ，y 都无关，选B 。
2019-2020学年湖南省长沙一中高一(下)期中数学试卷(含答案解析)
2019-2020学年湖南省长沙一中高一(下)期中数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知角的终边上有一点，则的值是()A. B. C. D.2.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)的图象与x轴的两个相邻交点的横坐标分别为π6、2π3，下面四个有关函数f(x)的叙述中，正确结论的个数为()①函数y=f(x+π3)的图象关于原点对称；②在区间[−π6,π3]上，函数f(x)的最大值为√3；③直线x=56π是函数f(x)图象的一条对称轴；④将函数f(x)的图象向左平移π4个单位，得到g(x)的图象，若A、B、C为这两个函数图象的交点，则△ABC面积的最小值为√2π．A. 1B. 2C. 3D. 43.有一张矩形纸片ABCD，其中AD=8cm，上面有一个以AD为直径的半圆，正好与对边BC相切．如图(甲).将它沿DE折叠，使A点落在BC上，如图(乙)，这时，半圆还露在外面的部分(阴影部分)的面积是【】A. (π−)cm2B. (π−)C. (π+)D. (π+)4.二进制数101110(2)转化为八进制数为()A. 45(8)B. 56(8)C. 67(8)D. 78(8)5. 已知向量a ⃗ =(0,sinx)，b ⃗ =(1,2cosx)，函数f(x)=32a⃗ ⋅b ⃗ ，g(x)=a ⃗ 2+b ⃗ 2−72，则f(x)的图象可由g(x)的图象经过怎样的变换得到( )A. 向左平移π4个单位长度 B. 向右平移π4个单位长度 C. 向左平移π2个单位长度D. 向右平移π2个单位长度6. 执行如程序框图所示的程序，若输入的x 的值为2，则输出的x 的值为( )A. 3B. 5C. 7D. 97. 设OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2)，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(a,3)，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−b,4)，a >0，b >0，O 为坐标原点，若A ，B ，C 三点共线，则1a +2b 的最小值是( )A. 2B. 4C. 4√2D. 88. 某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如表：广告费用x(万元) 4 2 3 5 销售额y(万元)49263954根据上表可得回归方程y ̂=b ̂x +a ̂中的b ^为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为( ) A. 63.6万元 B. 67.7万元 C. 65.5万元 D. 72.0万元9. 如图，设区域D ={(x,y)|0≤x ≤2，−1≤y ≤3}，向区域D 内任投一点，记此点落在阴影区域M ={(x,y)|0≤x ≤2，−1≤y ≤x 2−1}的概率为p ，则a =p 是函数y =ax 2+2x +1有两个零点的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 非充分非必要条件10. 已知函数f(x)=cos(2x −π3)+2cos 2x ，将函数y =f(x)的图象向右平移π6个单位，得到函数y =g(x)的图象，则函数y =g(x)图象的一个对称中心是( )A. (−π2,1)B. (−π12,1)C. (π6,1)D. (π4,0)11. 函数f(x)=√1−log 2(x +2)的定义域为( )A. [−2,0]B. (−2,0)C. (−2,0]D. (−2,+∞)12. 已知向量OA⃗⃗⃗⃗⃗ =(k,12)，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,5)，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−k,10)，且A 、B 、C 三点共线，则k =( ) A. −43B. 43C. −23D. 23二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 用数字2，3组成四位数字，则数字2，3至少都出现一次的概率为______ ． 14. 在等比数列中，，，其前项和为，若对恒成立，则的最小值为__________． 15. 函数在区间上至少有一个零点，则实数的取值范围是 ． 16. 已知为不共线的向量，设条件M ：；条件N ：对一切，不等式恒成立．则M 是N 的 条件．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. “幸福感指数”是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度时，给出的区间内的一个数，该数越接近10表示越满意，为了解某大城市市民的幸福感，随机对该城市的男、女各500人市民进行了调查，调查数据如下表所示： 幸福感指数 [0,2) [2,4) [4,6) [6,8) [8,10) 男市民人数 10 20 220 125 125 女市民人数1010180175125根据表格，解答下面的问题：(Ⅰ)完成频率分布直方图，并根据频率分布直方图估算该城市市民幸福感指数的平均值；(参考数据：2×1+3×3+40×5+30×7+25×9=646)(Ⅱ)如果市民幸福感指数达到6，则认为他幸福．据此，在该市随机调查5对夫妇，求他们之中恰好有3对夫妇二人都幸福的概率．(以样本的频率作为总体的概率)18.已知向量a⃗=(2cos(π4−x),1)，b⃗ =(cos(π4−x),0)，函数f(x)=a⃗⋅b⃗ ．(1)求f(x)图象的对称中心；(2)若动直线x=t(t∈[π4,π2])与函数f(x)和函数g(x)=√3cos2x+1的图象分别交于M，N两点，求线段MN的长度的取值范围．19.已知函数f(x)=sin(ωx+ϕ),其中ω>0,|φ|<π2|,若a=(1,1),b=(cosϕ,−sinφ)，且a⃗⊥b⃗ ，又知函数f(x)的周期为π．(1)求f(x)的解析式；(2)若将f(x)的图象向右平移π6个单位得到g(x)的图象，求g(x)的单调递增区间．20.为了贯彻落实党中央对新冠肺炎疫情防控工作的部署和要求，坚决防范疫情向校园蔓延，切实保障广大师生身体健康和生命的安全，教育主管部门决定通过电视频道、网络平台等多种方式实施线上教育教学工作.某教育机构为了了解人们对线上授课方式的满意度，从A城市和B城市分别随机调查了20个学校，得到了这些学校学生平均满意度评分的样本，并绘制出茎叶图如图：根据学校满意度评分，从低到高，分为三个等级．满意度评分低于70分70分到89分不低于90分满意度等级不满意满意非常满意(1)请估计哪个城市学校满意度等级为不满意的概率大，并说明理由；(2)从满意度为“非常满意”的6所学校中随机抽取3所学校进行先进经验交流，求B城市中至少有2所学校被抽中的概率．21. 已知两定点A(−13,0),B(13,0)，点M 是平面内的动点，且|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+|BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=4，记M的轨迹是C(1)求曲线C 的方程；(2)过点F 1(1,0)引直线l 交曲线C 于Q ，N 两点，设QF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λFN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (λ>0且λ≠1)，点Q 关于x 轴的对称点为R ，证明直线NR 过定点．22. 已知函数f(x)对一切实数x ，y 都有f(x +y)−f(y)=x(x +2y +1)成立，且f(1)=0．(1)求f(0)的值，并求f(x)的解析式；(2)若函数g(x)=f(x)−ax 在区间[−2,2]上是单调函数，求实数a 的取值范围．【答案与解析】1.答案：D解析：试题分析：由三角函数的定义可知，故选D．考点：三角函数的定义．2.答案：B解析：解：函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)的图象与x轴的两个相邻交点的横坐标分别为π6、2π3，所以T2=2π3−π6=π2，解得T=π，所以ω=2，当x=π6时，f(π6)=2sin(2×π6+φ)=0，整理得π3+φ=kπ(k∈Z)，解得φ=kπ−π3，当k=0时，φ=−π3，所以f(x)=2sin(2x−π3)，对于①，f(x+π3)=2sin(2x+π3)，故函数的图象不关于原点对称，故①错误；对于②，由于x∈[−π6,π3 ]，所以2x−π3∈[−2π3,π3]，当x=π3时，f(x)max=f(π3)=√3，故②正确；对于③，当x=5π6时，f(5π6)=2sin(5π3−π3)=2sin4π3≠2，故③错误；对于④，函数g(x)=f(x+π4)=2sin(2x+π2−π3)=2cos(2x−π3)，由2sin(2x−π3)=2cos(2x−π3)，所以2x−π3=kπ+π4，(k∈Z)，解得x=kπ2+7π24(k∈Z)，相邻两个交点的横标之差为π2，将x=kπ2+7π24(k∈Z)，代入f(x)=2sin(2x−π3)，得到交点的纵坐标为±√2，所以S△ABC=12×π×2√2=√2π，即最小值，故④正确．故选：B．首先利用已知条件求出函数的关系式，进一步利用正弦型函数的性质的应用判定①②③④的结论．本题考查的知识要点：三角函数关系式的确定，正弦型函数的性质的应用，函数的图象的平移变换，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．3.答案：B解析：试题分析：由图可得，∠DAC=30°，∠KOD=120°，可得S阴影=S扇形−S△OKD，过O作OM⊥DK，因为OK=2，OM=1，DK=，求得S扇形，S△OKD即可得到为(π−)，故选B．考点：扇形面积和三角形面积点评：利用已知图形的折叠来分析阴影部分的面积与杀那个行和4.答案：B解析：解：101110(2)=1×25+0×24+1×23+1×22+1×21+0×20=46(10)．再利用“除8取余法”可得：46(10)=56(8)．故选：B．5.答案：B解析：解：由题意可得函数f(x)=32a ⃗ ⋅b ⃗ =32(2sinxcosx)=32sin2x ， g(x)=a ⃗ 2+b ⃗ 2−72=sin 2x +1+4cos 2x −72=3cos 2x −32=32cos2x =32sin(2x +π2)=32sin2(x +π4)，故把g(x)的图象向右平移π4个单位长度，可得f(x)的图象， 故选：B ．由题意利用两个向量的数量积公式、诱导公式可得函数f(x)=32sin2x ，g(x)=32sin2(x +π4)，再根据函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，可得结论．本题主要考查诱导公式的应用，函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，统一这两个三角函数的名称，是解题的关键，属于基础题．6.答案：D解析：本题主要考查含有循环结构的程序框图，属于基础题． 按照程序框图执行即可求值． 由输入的x 为2，执行可得 x =2，i =1; x =3，i =2; x =5，i =3; x =9，i =4． 输出x =9． 故选D ．7.答案：D解析：解：AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(a −1,1)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−b −1,2)． ∵A ，B ，C 三点共线， ∴−b −1−2(a −1)=0，化为2a +b =1． 又a >0，b >0，∴1a +2b =(2a +b)(1a +2b )=4+ba +4a b≥4+2√b a ⋅4a b=8，当且仅当b =2a =12时取等号．∴1a +2b 的最小值是8． 故选：D ．利用向量共线定理、基本不等式的性质即可得出．本题考查了向量共线定理、基本不等式的性质，属于基础题．8.答案：C解析：解：由表中数据得：4+2+3+54=3.5，y −=49+26+39+544=42，又回归方程y ̂=b ̂x +a ̂中的b ^为9.4， 故a ̂=42−9.4×3.5=9.1， ∴y ̂=9.4x +9.1．将x =6代入回归直线方程，得y =9.4×6+9.1=65.5(万元)． ∴此模型预报广告费用为6万元时销售额为65.5(万元)． 故选：C ．根据表中所给的数据，广告费用x 与销售额y(万元)的平均数，得到样本中心点，代入样本中心点求出a ^的值，写出线性回归方程．将x =6代入回归直线方程，得y ，可以预报广告费用为6万元时销售额．本题考查线性回归方程的求法和应用，解题的关键是正确应用最小二乘法求出线性回归方程的系数的运算，是一个中档题目．9.答案：A解析：解：阴影部分面积S 阴影=S 矩形−S =(3+1)×2−∫√y+13−1dy =8−23(y +1)32| −13=8−163=83，矩形部分面积S 矩形=(3+1)×2=8，∴所投的点落在阴影部分的概率P=838=13∵函数y=ax2+2x+1有两个零点，∴△=4+4a>0，解得a>−1，∴a=p是函数y=ax2+2x+1有两个零点的充分不必要条件故选：A先根据几何概型的意义，关键是要找出阴影部分的面积，及矩形的面积，再将它们代入几何概型计算公式计算出概率，再根据函数零点的定义求出a的范围，继而得到答案本题考查了几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关以及充分条件的判断，属于中档题10.答案：A解析：解：∵f(x)=cos(2x−π3)+2cos2x=32cos2x+√32sin2x+1=√3sin(2x+π3)+1，∴将函数y=f(x)的图象向右平移π6个单位，得到函数y=g(x)的图象，可得：g(x)=√3sin[2(x−π6)+π3]+1=√3sin2x+1，∴令2x=kπ，k∈z，可得x=kπ2，k∈z，∴当k=−1时，可得函数的图象的对称中心为(−π2,1)，故选：A．由条件利用三角函数恒等变换的应用，函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，求得所得函数图象的一个对称中心．本题主要考查三角函数恒等变换的应用，函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题．11.答案：C解析：解：要使函数有意义，则1−log2(x+2)≥0得log2(x+2)≤1，即0<x+2≤2，得−2<x≤0，即函数的定义域为(−2,0]，故选：C．根据函数成立的条件建立不等式关系进行求解即可．本题主要考查函数定义域的求解，结合根式成立的条件进行转化是解决本题的关键，是基础题．解析：本题考查了向量的坐标运算、向量共线定理，属于基础题． 利用向量的坐标运算、向量共线定理即可得出． 解：∵AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4−k,−7)， BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−k −4,5)． 又A 、B 、C 三点共线， ∴−7(−k −4)−5(4−k)=0， 解得k =−23． 故选：C ．13.答案：78解析：首先确定数字中2和3的个数，当数字中有1个2，3个3时，当数字中有2个2，2个3时，当数字中有3个2，1个3时，写出每种情况的结果数，最后相加．然后求出基本事件总数，然后求解概率． 本题考查分类计数原理，古典概型的概率问题，这种问题一般容易出错，注意分类时要做到不重不漏，本题是一个中档题，也是一个易错题，易错点在数字中重复出现的数字不好处理． 解：首先确定数字中2和3的个数，当数字中有1个2，3个3时，共有2333、3233、3323、3332这4种结果，当数字中有2个2，2个3时，共有2233、2323、2332、3223、3232、3322这6种结果， 当数字中有3个2，1个3时，共有3222、2322、2232、2223这4种结果， 根据分类加法原理知共有4+6+4=14种结果， 全是2，或全是3，各有一个，基本事件总数为16，用数字2，3组成四位数字，则数字2，3至少都出现一次的概率为：1416=78． 故答案为：78．14.答案：试题分析：易得而在上单调递增，所以因此的最小值为本题难点在于将不等式对恒成立转化为函数的值域为的一个子集．考点：函数值域，不等式恒成立，等比数列前n项和．15.答案：解析：试题分析：当时，；当时，对称轴，函数在区间上至少有一个零点，只须，即；当时，对称轴，函数在区间上至少有一个零点，则只须.综上，．考点：1.二次函数的图像；2.函数的零点16.答案：充要解析：试题分析：因为，所以不等式恒成立等价于，因此M是N 的充要条件．考点：向量垂直，不等式恒成立17.答案：解：(Ⅰ)幸福感指数在[4,6)，[6,8)内的频数分别为220+180=400和125+175=300，因为总人数为1000，所以，相应的频率÷组距为：400÷1000÷2=0.2，300÷1000÷2=0.15，据此可补全频率分布直方图如右图．所求的平均值为0.01×2×1+0.015×2×3+0.2×2×5+0.15×2×7+0.125×2×9=6.46；(Ⅱ)男市民幸福的概率是125+125500=0.5，女市民幸福的概率是175+125500=0.6，一对夫妇都幸福的概率是0.5×0.6=0.3，故所求的概率为C53⋅0．33⋅0．72=0.1323．解析：本题考查频率直方图的应用，考查概率的计算，是中档题，解题时要认真审题．(Ⅰ)由调查数据能作出频率分布直方图，并能求出该地区居民幸福感指数的平均值．(Ⅱ)先求出男、女市民幸福的概率，可得一对夫妇都幸福的概率，从而可求他们之中恰好有3对夫妇二人都幸福的概率．18.答案：解：(1)f(x)=2cos2(π4−x)2=1+cos(π2−2x)=sin2x+1，令2x=kπ(k∈Z)，则x=kπ2(k∈Z)，∴f(x)的对称中心为(kπ2,1)(k∈Z)；(2)根据题意，|MN|=|f(t)−g(t)|=|sin2t+1−√3cos2t−1|=|sin2t−√3cos2t|=|2sin(2t−π3)|，∵t∈[π4,π2]，∴2t−π3∈[π6,2π3]，∴|MN|∈[1,2]，即线段MN的长度的取值范围为[1,2]．解析：(1)进行向量坐标的数量积运算，并根据二倍角的余弦公式，得出f(x)=sin2x+1，然后得出f(x)的对称中心；(2)根据题意及两角差的正弦公式，即可得出|MN|=|2sin(2t−π3)|，然后根据t的范围，得出线段MN的取值范围．本题考查了二倍角的余弦公式，两角差的正弦公式，正弦函数的对称中心，考查了计算能力，属于基础题．19.答案：解：(1)∵a⃗⊥b⃗ ，∴a⃗⋅b⃗ =0…(1分)∴a⃗⋅b⃗ =cosφ−sinφ=√2(√22cosφ−√22sinφ)=√2cos(φ+π4)=0…(3分)∴φ+π4=kπ+π2,k∈Z，即φ=kπ+π4,k∈Z．又∵|φ|<π2，∴φ=π4.…(5分)∵函数f(x)的周期T=π，即2πω=π，ω=2．∴解析式为f(x)=sin(2x+π4)…(6分)(2)由题意知，函数f(x)的图象向右平移π6个单位得到g(x)的图象∴g(x)=sin[2(x−π6)+π4]=sin(2x−π12)…(8分)∴g(x)的单调递增区间为2kπ−π2≤2x−π12≤2kπ+π2,k∈Z解得kπ−5π24≤x≤kπ+7π24,k∈Z，…(10分)∴g(x)的单调递增区间为[kπ−5π24,kπ+7π24](k∈Z)…(12分)解析：(1)根据所给的两个向量垂直，得出它们的数量积为0，求出φ值，再根据周期公式求出ω，最后写出函数的解析式．(2)根据函数的图象的平移的原则，写出新的函数的解析式，根据正弦曲线的单调区间写出函数的单调递增区间．本题主要考查了数量积判断两个平面向量的垂直关系、正弦函数的单调性和函数的图象的平移，本题解题的关键是正确写出函数的解析式，这是后面解题的依据，本题是一个中档题目．20.答案：解：(1)A城市学校满意度等级为不满意的概率为1020=12，B城市学校满意度等级为不满意的概率为420=15，∴A城市学校满意度等级为不满意的概率大．(2)A城市满意度等级为“非常满意”的学校有2所，记为M，N，B城市满意度等级为“非常满意”的学校有4所，记为a，b，c，d，则抽出的3所学校的所有可能有20种，分别为：MNa ，MNb ，MNc ，MNd ，Mab ，Mac ，Mad ，Mbc ，Mbd ，Mcd ，Nab ，Nac ，Nad ，Nbc ，Nbd ，Ncd ，abc ，abd ，acd ，bcd ，设事件E 为“B 城市至少有2所学校被抽中”， 则事件E 包含的基本事件有16种，分别为：Mab ，Mac ，Mad ，Mbc ，Mbd ，Mcd ，Nab ，Nac ，Nad ，Nbc ，Nbd ，Ncd ，abc ，abd ，acd ，bcd ， ∴B 城市中至少有2所学校被抽中的概率P(E)=1620=45．解析：(1)分别求出A 城市学校满意度等级为不满意的概率和B 城市学校满意度等级为不满意的概率，从而能求出A 城市学校满意度等级为不满意的概率大．(2)A 城市满意度等级为“非常满意”的学校有2所，记为M ，N ，B 城市满意度等级为“非常满意”的学校有4所，记为a ，b ，c ，d ，利用列举法能求出抽出的3所学校中B 城市中至少有2所学校被抽中的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力、应用意识等核心素养，是基础题．21.答案：解：(1)两定点A(−13,0),B(13,0)，点M 是平面内的动点，且|AB⃗⃗⃗⃗⃗ +AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+|BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=4， 设M(x,y)，可得√(x +1)2+y 2+√(x −1)2+y 2=4， 上式表示M 到两点(−1,0)，(1,0)的距离之和为4，由4>2， 可得M 的轨迹为以(−1,0)，(1,0)为焦点的椭圆， 方程为x 24+y 23=1；(2)证明：当Q 为椭圆的上顶点(0,√3)，直线l 的方程为y =−√3(x −1)，联立椭圆方程3x 2+4y 2=12， 解得N(85,−3√35)，R(0,−√3)，即有k RN =√34，直线RN 的方程为y =√34x −√3，可令y =0，可得x =4，直线RN 过定点(4,0)，下面证明一般情况，设直线l ：x =my +1，Q(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，则R(x 1,−y 1)， 联立方程3x 2+4y 2=12，可得(3m 2+4)y 2+6my −9=0，△=144(m 2+1)>0，解得y 1=−3m−6√4+m 24+3m 2，y 2=−3m+6√4+m24+3m 2，y 1y 2=−94+3m 2， (y 1+y 2=−6m4+3m 2，注意到2my 1y 2=3(y 1+y 2)，即−3y 1+2my 1y 2=3y 2)，设F 1R ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =αF 1N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +βF 1P⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，可得(x 1−1,−y 1)=α(x 2−1,y 2)+β(3,0)，于是 x 1−1=α(x 2−1)+3β，−y 1=αy 2，又QF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λF 1N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则−y 1=λy 2，my 1=αmy 2+3β，解得α=λ=−y1y 2，β=2m 3y 1，所以α+β=−3y 1+2my 1y 23y 2=9m+18√1+m 2−18m −9m+18√1+m 2=1，则R ，N ，P 三点共线，因此直线PN 经过定点P(4,0)．解析：(1)运用向量的坐标表示和椭圆的定义可得所求轨迹方程；(2)先考虑特殊情况求得NR 经过点(4,0)，再讨论一般情况，结合联立直线方程和椭圆方程，以及三点共线的条件，即可得到所求结论．本题考查轨迹方程的求法，注意运用椭圆的定义，考查直线恒过定点问题，注意先探路，再证明一般情况，考查化简运算能力，属于难题．22.答案：解：(1)令x =1，y =0，则由题意得，f(1)−f(0)=1×2，∴f(0)=f(1)−2=−2；令y =0，则f(x)−f(0)=x(x +1)， ∴f(x)=x 2+x −2．(2)g(x)=f(x)−ax =x 2+(1−a)x −2， 由于g(x)在区间[−2,2]上单调函数，若是单调增函数，则区间在对称轴的右边，即−1−a 2≤−2，解得a ≤−3， 若是单调减函数，则区间在对称轴的左边，即即−1−a 2≥2，解得a ≥5．故实数a 的取值范围是(−∞,−3]∪[5,+∞)．解析：(1)令x =1，y =0，求出f(0)，x 不变，令y =0，求出f(x)；(2)化简g(x)，讨论g(x)是单调增函数，则区间在对称轴的右边；若是单调减函数，则区间在对称轴的左边，列出不等式，解出，最后求并集．本题考查抽象函数值和函数解析式的求法，考查函数的单调性及运用，属于基础题．。
重庆市2023-2024学年高一下学期7月期末考试数学试题含答案
高2026届高一（下）期末考试数学试卷（答案在最后）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、班级、学校在答题卡上填写清楚．2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试卷上作答无效．3．考试结束后，请将答题卡交回，试卷自行保存．满分150分，考试用时120分钟．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c，若π1,3a b A ===，则B =（）A.π3B.π2C.π6 D.π4【答案】C 【解析】【分析】利用正弦定理结合b a <进行求解即可.【详解】由正弦定理得：31sin sin A B=，则1sin 2B ==，由b a <得B A <，所以π6B =，故选：C ．2.某校高一年级有四个班共有学生200人，其中1班60人，2班50人，3班50人，4班40人．该校要了解高一学生对食堂菜品的看法，准备从高一年级学生中随机抽取40人进行访谈，若采取按比例分配的分层抽样，且按班级来分层，则高一2班应抽取的人数是（）A.12B.10C.8D.20【答案】B 【解析】【分析】由分层抽样的概念求解．【详解】解：依题意高一2班应抽取的人数为504010200⨯=人，故选：B ．3.已知平面四边形OABC 用斜二测画法画出的直观图是边长为1的正方形O A B C ''''，则原图形OABC 中的AB =（）A.B. C.3 D.2【答案】C 【解析】【分析】根据斜二测画法规则结合勾股定理即可求解.【详解】根据斜二测画法规则， 1,2OA O A OB O B ''''====OA OB ⊥，则3AB ==，故选：C ．4.已知m ，n 是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，则下列结论正确的是（）A.若αβ∥，m β∥，则m α∥B.若,m n αα⊥⊥，则m n ∥C.若m α∥，m β∥，则αβ∥D.若,m n m α⊥⊂，则n α⊥【答案】B 【解析】【分析】根据线线，线面，面面的平行关系，垂直关系，判断选项.【详解】A 中m 可能在α内，错误；B 中由线面垂直的性质显然正确；C 中α与β可能相交，错误；D 中n 可能在α内，可能平行于α，可能与α斜交，错误.故选：B5.甲、乙、丙3人独立参加一项挑战，已知甲、乙、丙能完成挑战的概率分别为13、13、14，则甲、乙、丙中有人完成挑战的概率为（）A.15B.13C.25D.23【答案】D 【解析】【分析】由独立乘法公式以及对立事件概率公式即可求解.【详解】由题意，甲、乙、丙三人都没完成挑战的概率11111113343P ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯-⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，再由对立事件关系，则甲、乙、丙中有人完成挑战的概率12133P =-=，故选：D ．6.平行六面体1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为正方形，11π3A AD A AB ∠=∠=，11AA AB ==，E 为11CD 的中点，则异面直线BE 和DC 所成角的余弦值为（）A.0B.2C.12D.4【答案】A 【解析】【分析】由11·2BE DC AA AD AB AB ⎛⎫⋅=+- ⎪⎝⎭求解即可．【详解】解：由题意，11π111cos 32AA AB AA AD ==⨯⨯= ，·0AB AD =，又D C A B =，1111112BE AE AB AA A D D E AB AA AD AB =-=++-=+- ，所以1111·00222BE DC AA AD AB AB ⎛⎫⋅=+-=+-= ⎪⎝⎭，即有BE DC ⊥u u r u u u r ，故选：A ．7.甲在A 处收到乙在航行中发出的求救信号后，立即测出乙在方位角（是从某点的正北方向线起，依顺时针方向到目标方向线之间的水平夹角）为45°、距离A 处为10n mile 的C 处，并测得乙正沿方位角为105°的方向，以6n mile/h 的速度航行，甲立即以14n mile/h 的速度前去营救，甲最少需要（）小时才能靠近乙．A.1B.2C.1.5D.1.2【答案】A 【解析】【分析】设甲乙相遇在点B 处，需要的时间为t 小时，则6,14BC t AB t ==，在△ABC 中，由余弦定理求解．【详解】解：设甲乙相遇在点B 处，需要的时间为t 小时，则6,14BC t AB t ==，又4575120,10ACB AC ∠=︒+︒=︒=，在△ABC 中，由余弦定理得：222(14)10(6)210(6)cos120t t t =+-⨯⨯⨯︒，则28350t t --=，即()()8510t t +-=，解得1t =或58t =-（舍去），故选：A ．8.已知向量,OA OB 满足1,2==OA OB uu r uu u r ，且向量OB 在OA 方向上的投影向量为OA．若动点C 满足12OC = ，则CA CB的最小值为（）A.12-B.4263- C.172D.574-【答案】D 【解析】【分析】应用数形结合及极化恒等式，化221·4CB CA CM AB =- ，求解即可．【详解】解：如图，根据投影向量，OA AB ⊥，则60AOB ∠=︒，且3AB =，因为12OC = ，所以点C 在以O 为圆心，半径12r =的圆上运动．设M 是AB 的中点，由极化恒等式得：22213·44CB CA CM AB CM =-=- ，因为min712CMOM r -=-=，此时2382735274444CM ---=-= ，即CA CB 的最小值为5274-，故选：D ．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.设复数z 的共轭复数为z ，i 为虚数单位，若()2i 1i z +=+，则（）A.复数z 的虚部为1- B.2z =C.z 在复平面内对应的点在第一象限 D.816z =【答案】AD 【解析】【分析】由题意，1i21i iz +=-=--，再依次判断．【详解】解：由题意，1i21i iz +=-=--，则虚部为1-，()()22112z =-+-=，则A 正确，B 错误；1i z =-+在复平面内对应的点()1,1-在第二象限，C 错误；()221i 2i z =--=，()()22422i 4z z ===-，()()2284416z z ==-=，D 正确，故选：AD ．10.一个袋子中有大小相同，标号分别为1，2，3，4的4个小球．采用不放回方式从中任意摸球两次，一次摸一个小球．设事件A =“第一次摸出球的标号小于3”，事件B =“第二次摸出球的标号小于3”，事件C =“两次摸出球的标号都是偶数”，则（）A.()()P A P B =B.()16P AB =C.()23P A B ⋃= D.()112P AC =【答案】ABD 【解析】【分析】写出样本空间以及各个事件所包含的基本事件，再结合古典概型概率计算公式逐一验算即可求解.【详解】由题意，摸球两次的样本空间()()()()()()()()()()()(){}1,2,1,3,1,4,2,1,2,3,2,4,3,1,3,2,3,4,4,1,4,2,4,3Ω=，事件()()()()()(){}1,2,1,3,1,4,2,1,2,3,2,4A =，事件()()()()()(){}1,2,2,1,3,1,3,2,4,1,4,2B =，事件()(){}2,4,4,2C =，所以()(){}1,2,2,1AB =，(){}2,4AC =，()()()()()()()()()(){}1,2,1,3,1,4,2,1,2,3,2,4,3,1,3,2,4,1,4,2A B = ，利用古典概型计算公式，()()61122P A P B ===，()21126P AB ==，()105126P A B == ，()112P AC =，故选：ABD ．11.如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 为线段1CC 上的动点，O 为正方体内一点，则以下命题正确的是（）A.1B M DM +取得最小值B.当M 为线段1CC 中点时，平面1BMD 截正方体所得的截面为平行四边形C.四面体ABMD 的外接球的表面积为5π时，1CM =D.若1,2AO CO A O ==，则点O 【答案】ABD 【解析】【分析】对于A ，将平面11BB C C 沿1C C 翻折到与平面11DD C C 为同一平面，结合勾股定理以及三角形三边关系即可判断；对于B ，设N 是1A A 的中点，得出四边形1NBMD 是菱形即可判断；对于C ，当1CM =时，验算四面体ABMD 的外接球的表面积即可判断；对于D ，找出点O 的轨迹即可验算求解.【详解】选项A 中，将平面11BB C C 沿1C C 翻折到与平面11DD C C 为同一平面，则11B M DM B D +≥==，当D ，M ，1B 三点共线时，等号成立，故A 正确；选项B 中，设N 是1A A 的中点，连接1D N ，NB ，而正方体的棱长为2，且,M N 分别为11,CC AA 的中点，所以11NB BM MD D N ====所以四边形1NBMD 是菱形，所以平面1BMD 就是平面1BMD N ，此截面是平行四边形，故B 正确；选项C 中，当1CM =时，因为CM ，AD ，AB 两两垂直，所以四面体ABMD 的外接球的直径23R ==，则32R =，此时外接球表面积24π9πR =，故C 错误；选项D 中，由AO CO =，所以点O 在AC 的中垂面11D DBB 上，设11B D 的中点为H ，则1A H =，因为1DD ⊥平面1111D C B A ，1A H ⊂平面1111D C B A ，所以11A H DD ⊥，又因为111A H B D ⊥，1111B D DD D = ，11B D ⊂平面1111D C B A ，1DD ⊂平面1111D C B A ，所以1A H ⊥平面11D DBB ，则HO ==所以点O 在以H 为圆心，r =的半圆上运动，点O ，故D 正确．故选：ABD ．【点睛】关键点点睛：判断D 选项的关键的得出点O 首先在面11D DBB 上，进一步得出HO ==O 的轨迹，由此即可顺利得解.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知向量()()1,1,,2a b m ==-，若()//a a b + ，则m =______．【答案】2-【解析】【分析】首先求出a b +的坐标，再由向量共线的坐标表示计算可得.【详解】因为()()1,1,,2a b m ==- ，所以()()()1,1,21,1a b m m +=+-=+-，又因为()//a a b +，所以()()1111m ⨯+=⨯-，所以2m =-.故答案为：2-．13.已知圆锥的轴截面是一个边长为2的等边三角形，则该圆锥的侧面积为______.【答案】2π【解析】【分析】由轴截面得到圆锥的底面半径和母线，利用侧面积公式求出答案.【详解】由题意得，圆锥的底面半径为1r =，母线长为2l =，故圆锥的侧面积为ππ122πrl =⨯⨯=.故答案为：2π14.记△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sin sin cos cos a A c C a C c A +=+，若△ABC 的面积()20S tb t =>，则t 的最大值为______．【答案】14##0.25【解析】【分析】利用正弦定理将已知式子统一成角的形式，化简得22sin sin sin A C B +=，然后由已知得221sin 2ab C S t b b==，化简后利用正弦定理统一成角的形式，再利用基本不等式可求得结果.【详解】因为sin sin cos cos a A c C a C c A +=+所以由正弦定理得()22sin sin sin sin A C A C B +=+=，由()20S tb t =>得：22221sin sin sin sin sin 122sin 4sin 4ab C S A C A C t b b B B +===≤=，当且仅当sin sin A C =，即45A C ==︒，90B =︒时等号成立，故答案为：14．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.为调查外地游客对洪崖洞景区的满意程度，某调查部门随机抽取了100位游客，现统计参与调查的游客年龄层次，将这100人按年龄（岁）（年龄最大不超过65岁，最小不低于15岁的整数）分为5组，依次为[)[)[)[)[]15,25,25,35,35,45,45,55,55,65，并得到频率分布直方图如下：（1）求实数a 的值；（2）估计这100人年龄的样本平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）；（3）估计这100人年龄的第80百分位数．（结果保留一位有效数字，四舍五入）【答案】（1）0.035a =；（2）41.5（3）51.7【解析】【分析】（1）根据频率之和为1得到方程，求出实数a 的值；（2）利用平均数的定义进行求解；（3）先确定年龄的第80百分位在[)45,55之内，设第80百分位数为x ，得到方程，求出答案.【小问1详解】由题知，()100.010.0150.030.011a ⨯++++=，则0.035a =；【小问2详解】由图样本平均数200.1300.15400.35500.3600.141.5x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=；【小问3详解】由题知，年龄在[)15,55的频率为0.9，年龄在[)15,45的频率为0.6，则年龄的第80百分位在[)45,55之内，设第80百分位数为x ，则()0.6450.030.8x +-⨯=，解得51.7x ≈．16.如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，四边形ABCD 是一个菱形，60,DAB ∠=︒，点P 为1BC 上的动点．（1）证明：DP ∥平面11AB D ；（2）试确定点P 的位置，使得BC DP ⊥．【答案】（1）证明见解析（2）点P 为1BC 中点【解析】【分析】（1）由11BD B D ∥得到BD ∥平面11AB D ，同理得到1BC ∥面11AB D ，得到面面平行，进而得到线面平行；（2）作出辅助线，得到DE BC ⊥，结合BC EP ⊥，得到线面垂直，故BC EP ⊥，结合1BC CC ⊥，EP ⊂平面1BCC ，所以1EP CC ∥，证明出结论.【小问1详解】由题知，由1111,BB DD BB DD =∥，则四边形11BB D D 为平行四边形，所以11BD B D ∥，因为11B D ⊂平面11AB D ，BD ⊄平面11AB D ，所以BD ∥平面11AB D ，同理可证1BC ∥面11AB D ，由BD ⊂面1BDC ，1BC ⊂面1BDC ，1BD BC B = ，所以平面1BDC ∥平面11AB D ，又PD ⊂面1BDC ，所以DP ∥面11AB D ；【小问2详解】取BC 中点E ，连接DE ，PE ．在△BDC 中，π,3BC DC BCD =∠=，则△BDC 为正三角形，所以DE BC ⊥，又BC DP ⊥，DE BC E ⋂=，,DE BC ⊂平面EDP ，所以BC ⊥面EDP ，因为EP ⊂平面EDP ，所以BC EP ⊥．在面1BCC 中，1BC CC ⊥，EP ⊂平面1BCC ，所以1EP CC ∥，在1BCC 中，E 为BC 中点，所以EP 为中位线，则点P 为1BC 中点．17.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，cos cos 2sin sin A B c a A B b ⎫=+=⎪⎭．（1）求A 的大小；（2）已知233AB AC AD =+ ，若A 为钝角，求ABD △面积的取值范围．【答案】（1）π3或2π3；（2）0,9⎛ ⎝⎦【解析】【分析】（1）由正弦定理和正弦和角公式得到3sin 2A =，求出π3A =或2π3；（2）由233AB AC AD =+ 得到2BD DC = ，故36ABD S bc =△，以由（1）知，2π3A =，且2a =，由余弦定理224b c bc ++=，由基本不等式得43bc ≤，求出403bc <≤，得到ABD △面积的取值范围.【小问1详解】cos cos 2sin cos cos sin 2sin sin sin sin sin sin A B c B A B A C A B bA B B +⎫+=⇒=⎪⎭，()sin 2sin sin 2sin sin sin sin sin sin sin B A C C C A B B A B B+=⇒=，因为在△ABC 中，()sin sin 0,sin 0B A C B +=>>，所以化简得：sin 2A =，又0πA <<，解得：π3A =或2π3；【小问2详解】由233AB AC AD =+ 得：()322AD AB AC AD DB AD DC =+=+++ ，则2BD DC = ，从而2213sin 3326ABD ABC S S bc A bc ==⨯=△△，因为A 为钝角，所以由（1）知，2π3A =，且2a =，由余弦定理2222cos a b c bc A =+-可得：224b c bc ++=，因为222b c bc +≥，所以42bc bc ≥+，所以43bc ≤，当且仅当3b c ==时等号成立，又b ，c 可以无限接近0，所以403bc <≤，从而0,69ABD S bc ⎛=∈ ⎝⎦△，故△ABD 面积的取值范围为0,9⎛ ⎝⎦．18.已知三棱台111ABC A B C -中，△ABC 为正三角形，1111112A B AA BB AB ====，点E 为线段AB 的中点．（1）证明：1A E ∥平面11B BCC ；（2）延长111,,AA BB CC 交于点P ，求三棱锥P -ABC 的体积最大值；（3）若二面角1A CC B --的余弦值为13，求直线1BB 与平面11ACC A 所成线面角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）1（3）33【解析】【分析】（1）设F 是BC 的中点，连接EF ，1C F ，则利用三角形中位线定理结合已知可证得四边形11A EFC 是平行四边形，则11A E C F ∥，再由线面平行的判定定理可证得结论；（2）由题意可得当平面PAB ⊥平面ABC 时，该三棱锥的体积最大，由已知可得△PAB 是边长2的正三角形，从而可求出三棱锥的体积；（3）由题意可得二面角1A CC B --的平面角是1AC B ∠，利用余弦定可求出其余弦值，作1BO AC ⊥于点O ，连接PO ，则可得∠BPO 为直线1BB 与平面11ACC A 所成角，然后在BPO △中可求得结果.【小问1详解】证明：如图，设F 是BC 的中点，连接EF ，1C F ，在三棱台111ABC A B C -中，因为1112A B AB =，所以1112A C AC =，且11A C AC ∥，因为E ，F 分别是AB ，BC 的中点，所以EF AC ∥，12EF AC =，所以11A C ∥EF ，11A C EF =，所以四边形11A EFC 是平行四边形，所以11A E C F ∥，又1A E ⊄平面11B BCC ，1C F ⊂平面11B BCC ，所以1A E ∥平面11B BCC ；【小问2详解】因为2AB =，又122sin 602ABC S =⨯⨯⨯︒=△为定值，所以当平面PAB ⊥平面ABC 时，该三棱锥的体积最大．因为11A B ∥AB ，1112A B AB =，所以11,A B 分别是PA ，PB 的中点，所以2PA PB AB ===，因此△PAB 是边长2的正三角形，因为PE AB ⊥，因为平面PAB ⊥平面ABC ，平面PAB ⋂平面ABC AB =，PE ⊂平面PAB ，所以PE ⊥平面ABC ，又PE =，则1133P ABC ABC V PE S -== △；则三棱锥P -ABC 的体积最大值为1．【小问3详解】如图，2PA AC PB BC ====，1C 是PC 的中点，则11,AC PC BC PC ⊥⊥，所以二面角1A CC B --的平面角是1AC B ∠，又11AC BC =，由余弦定理得：222111111cos 23AC BC AB AC B AC BC +-∠== ，解得113AC BC ==作1BO AC ⊥于点O ，连接PO ，因为PC ⊥平面1AC B ，所以PC BO ⊥，又11AC PC C = ，1,AC PC ⊂平面11ACC A ，所以BO ⊥平面11ACC A ，则∠BPO 为直线1BB 与平面11ACC A 所成角，由262,33PB BO ==，则22233PO PB BO =-，从而3cos 3PO BPO PB ∠==，所以直线1BB 与平面11ACC A 所成线面角的余弦值为33．19.球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科．如图，球O 的半径为R ．A 、B 、C 为球面上三点，劣弧BC 的弧长记为a ，设0O 表示以O 为圆心，且过B 、C 的圆，同理，圆32,O O 的劣弧AC 、AB 的弧长分别记为b ，c ，曲面ABC （阴影部分）叫做球面三角形．若设二面角,,C OA B A OB C B OC A ------分别为α，β，γ，则球面三角形的面积为()2πABC S R αβγ=++- 球面．（1）若平面OAB 、平面OAC 、平面OBC 两两垂直，求球面三角形ABC 的面积；（2）若平面三角形ABC 为直角三角形，ACBC ⊥，设123,,AOC BOC AOB θθθ∠=∠=∠=．则：①求证：123cos cos cos 1θθθ+-=；②延长AO 与球O 交于点D ，若直线DA ，DC 与平面ABC 所成的角分别为ππ,43，(],0,1BE BD λλ=∈ ，S 为AC 中点，T 为BC 中点，设平面OBC 与平面EST 的夹角为θ，求sin θ的最小值，及此时平面AEC 截球O 的面积．【答案】（1）2π2R （2）①证明见解析；②sin 5θ=，253π78R 【解析】【分析】（1）根据题意结合相应公式分析求解即可；（2）①根据题意结合余弦定理分析证明；②建系，利用空间向量求线面夹角，利用基本不等式分析可知点E ，再利用空间向量求球心O 到平面AEC 距离，结合球的性质分析求解.【小问1详解】若平面OAB ，OAC ，OBC 两两垂直，有π2αβγ===，所以球面三角形ABC 面积为()22ππ2ABC S R R αβγ=++-=球面.【小问2详解】①证明：由余弦定理有：222212222222223222AC R R R cos BC R R R cos AB R R R cos θθθ⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+-⎩，且222AC BC AB +=，消掉2R ，可得123cos cos cos 1θθθ+-=；②由AD 是球的直径，则,AB BD AC CD ⊥⊥，且AC BC ⊥，CD BC C ⋂=，,CD BC ⊂平面BCD ，所以AC ⊥平面BCD ，且BD ⊂平面BCD ，则AC BD ⊥，且AB AC A ⋂=，,AB AC ⊂平面ABC ，可得BD ⊥平面ABC ，由直线DA ，DC 与平面ABC 所成的角分别为ππ,43，所以ππ,43DAB DCB ∠=∠=，不妨先令R =2AD AB BD BC AC =====，由AC BC ⊥，AC BD ⊥，BC BD ⊥，以C 为坐标原点，以CB ，CA 所在直线为x ，y 轴，过点C 作BD 的平行线为z 轴，建立如图空间直角坐标系，设(,BE t t =∈，则())()0,2,0,,0,0,0,A BC D ，可得()0,1,0,,0,02S T ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，),,1,22E t O ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，则),22CB CO ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭，,1,0,22ST TE t ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭设平面OBC 法向量()111,,m x y z =，则11110022m CB m CO x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=++=⎪⎩，取12z =-，则110y x ==，可得()2m =- ，设平面EST 法向量()222,,n x y z =，则22220202n ST x y n TE x tz ⎧⋅=-=⎪⎪⎨⎪⋅=+=⎪⎩，取2x =，则22,1y t z ==-，可得),,1n t =- ，要使sin θ取最小值时，则cos θ取最大值，因为cos cos,m nm nm nθ⋅======，令(]1,1,13m m=+∈，则()2218mt t-==，可得()2221888293129621218m mt m mm mm+===≤=+-+--+-+，当且仅当3,m t==取等．则cosθ10sin5θ==为最小值，此时点E，可得CE=，()0,2,0CA=，设平面AEC中的法向量(),,k x y z=，则20k CE zk CA y⎧⋅==⎪⎨⎪⋅==⎩，取1x=，则0,y z==-，可得(1,0,k=-，可得球心O到平面AEC距离为AO kdk⋅==设平面AEC截球O圆半径为r，则2225326r R d=-=，所以截面圆面积为225353πππ2678r R==.【点睛】方法点睛：1.利用空间向量求线面角的思路直线与平面所成的角θ主要通过直线的方向向量与平面的法向量的夹角ϕ求得，即sin cosθϕ=；2.利用空间向量求点到平面距离的方法设A为平面α内的一点，B为平面α外的一点，n为平面α的法向量，则B到平面α的距离AB ndn⋅=.。
人教A版2019-2020学年湖南省张家界市高一上学期期末数学试卷 含解析
2019-2020学年高一上学期期末数学试卷一、选择题1．已知集合A＝{0，1，2，3，4}，B＝{2，3，5}，则A∩B＝（）A．{0，2，4} B．{2，3}C．{1，3，5} D．{0，1，2，3，4，5}2．函数y＝sin（2x﹣）的最小正周期是（）A．B．πC．2πD．4π3．函数的定义域为（）A．[4，+∞）B．（5，+∞）C．[4，5）D．[4，5）∪（5，+∞）4．在四边形ABCD中，若，则四边形ABCD是（）A．矩形B．菱形C．正方形D．平行四边形5．设a＝logπ3，b＝20.3，c＝cos，则（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．b＞a＞c D．b＞c＞a6．要得到函数y＝cos（2x+）的图象，只需将函数y＝cos2x的图象（）A．向左平行移动个单位长度B．向右平行移动个单位长度C．向左平行移动个单位长度D．向右平行移动个单位长度7．已知，且与的夹角为，则＝（）A．12 B．6 C．﹣12 D．﹣68．中国传统折扇文化有着极其深厚的底蕴，一般情况下，折扇可看作是由从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形的面积为S1，圆面中剩余部分的面积为S2，当S1与S2的比值为≈0.618（黄金分割比）时，扇面看上去形状较为美观，那么此时扇形的圆心角的度数约为（）A．127.50°B．137.50°C．147.50°D．150.50°9．函数f（x）＝ln（x+1）﹣的零点所在的区间是（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，e）D．（3，4）10．已知函数f（x）是奇函数，且当x＜0时，f（x）＝x2+3x+2，若当x∈[1，3]时，n≤f （x）≤m恒成立，则m﹣n的最小值为（）A．B．2 C．D．11．函数y＝A sin（ωx+φ），（A＞0，|φ|＜π，ω＞0）的部分图象如图所示，则（）A．B．C．D．12．设函数若关于x的方程f（x）＝a有四个不同的解x1，x2，x3，x4，且x1＜x2＜x3＜x4，则的取值范围是（）A．B．C．（﹣1，+∞）D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13．求值：cos＝．14．已知tanα＝3，则＝．15．国家规定个人稿费纳税办法是：不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4000元的按超过800元部分的14%纳税；超过4000元的按全部稿酬的11%纳税．已知某人出版一本书，共纳税420元时，这个人应得稿费（扣税前）为元．16．函数f（x）的定义域为D，若对任意的x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）≤f（x2），则称f（x）在D上为非减函数．设f（x）在[0，1]上为非减函数，且满足：①f（0）＝0；②；③f（x）+f（1﹣x）＝1．则：（ⅰ）＝；（ⅱ）＝．三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知集合A＝{x|x2﹣5x+6＝0}，B＝{a，2，a2﹣3a+5}．（1）用列举法表示集合A；（2）若A∪B＝B，求实数a的值．18．已知向量，向量．（1）求向量的坐标；（2）若，求实数k的值．19．已知函数（1）求f（f（﹣2））的值；（2）求不等式f（x）＞3的解集．20．已知向量，，向量．（1）若，求角θ的值；（2）求|的取值范围．21．已知函数f（x）＝sin2x+sin x cos x．（1）求函数f（x）的最大值及单调递增区间；（2）若为函数y＝f（x）﹣的一个零点，求cos2x0的值．22．已知函数f（x）＝|x2﹣4|+x2+ax，a∈R．（1）若f（x）为偶函数，求实数a的值；（2）当a＝4时，求函数f（x）的零点；（3）若方程f（x）＝0在（0，4）上有两个不同的实数根x1，x2（x1＜x2），求实数a 的取值范围．参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A＝{0，1，2，3，4}，B＝{2，3，5}，则A∩B＝（）A．{0，2，4} B．{2，3}C．{1，3，5} D．{0，1，2，3，4，5}解：A＝{0，1，2，3，4}，B＝{2，3，5}，∴A∩B＝{2，3}．故选：B．2．函数y＝sin（2x﹣）的最小正周期是（）A．B．πC．2πD．4π解：函数y＝sin（2x﹣）的最小正周期是T＝＝π，故选：B．3．函数的定义域为（）A．[4，+∞）B．（5，+∞）C．[4，5）D．[4，5）∪（5，+∞）解：依题意，，解得x≥4且x≠5．故函数的定义域为[4，5）∪（5，+∞）．故选：D．4．在四边形ABCD中，若，则四边形ABCD是（）A．矩形B．菱形C．正方形D．平行四边形解：∵在四边形ABCD中，若，且共起点∴由向量加法加法的平行四边形法则知，线段AC是以AB、AD为邻边的平行四边形的对角线∴四边形ABCD是平行四边形故选：D．5．设a＝logπ3，b＝20.3，c＝cos，则（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．b＞a＞c D．b＞c＞a解：a＝logπ3∈（0，1），b＝20.3＞1，c＝cos＜0，则b＞a＞c．故选：C．6．要得到函数y＝cos（2x+）的图象，只需将函数y＝cos2x的图象（）A．向左平行移动个单位长度B．向右平行移动个单位长度C．向左平行移动个单位长度D．向右平行移动个单位长度解：∵y＝cos（2x+）＝cos[2（x+）]，∴将函数y＝cos2x的图象向左平移个单位，即可得到y＝cos（2x+）的图象．故选：C．7．已知，且与的夹角为，则＝（）A．12 B．6 C．﹣12 D．﹣6解：∵，∴．故选：D．8．中国传统折扇文化有着极其深厚的底蕴，一般情况下，折扇可看作是由从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形的面积为S1，圆面中剩余部分的面积为S2，当S1与S2的比值为≈0.618（黄金分割比）时，扇面看上去形状较为美观，那么此时扇形的圆心角的度数约为（）A．127.50°B．137.50°C．147.50°D．150.50°解：由题意知，S1与S2所在扇形圆心角的比即为它们的面积比，设S1与S2所在扇形圆心角分别为α，β，则＝≈0.618，又α+β＝360°，∴≈360°，解得α≈137.50°．故选：B．9．函数f（x）＝ln（x+1）﹣的零点所在的区间是（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，e）D．（3，4）解：∵f（1）＝ln2﹣2＜0，f（2）＝ln3﹣1＞lne﹣1＝0，即f（e﹣1）•f（2）＜0，∴函数f（x）＝ln（x+1）﹣的零点所在区间是（1，2），故选：B．10．已知函数f（x）是奇函数，且当x＜0时，f（x）＝x2+3x+2，若当x∈[1，3]时，n≤f （x）≤m恒成立，则m﹣n的最小值为（）A．B．2 C．D．解：根据题意，当x＜0时，f（x）＝x2+3x+2＝（x+）2﹣，在区间[﹣3，﹣]上，f（x）为减函数，在区间[﹣，﹣1]上，f（x）为增函数，则在区间[﹣3，﹣1]上，f（x）min＝f（﹣）＝﹣，f（﹣3）＝2，f（﹣1）＝0，则f（x）max＝f（﹣3）＝2，又由f（x）为奇函数，则当x∈[1，3]时，f（x）max＝，f（x）min＝﹣2；若当x∈[1，3]时，n≤f（x）≤m恒成立，则m﹣n的最小值﹣（﹣2）＝；故选：A．11．函数y＝A sin（ωx+φ），（A＞0，|φ|＜π，ω＞0）的部分图象如图所示，则（）A．B．C．D．解：由图象知函数的最大值为2，即A＝2，周期T＝2[﹣（）]＝2×＝π，即＝π，得ω＝2，则y＝2sin（2x+φ），由五点对应法得2×+φ＝，得φ＝﹣，即y＝2sin（2x﹣），故选：A．12．设函数若关于x的方程f（x）＝a有四个不同的解x1，x2，x3，x4，且x1＜x2＜x3＜x4，则的取值范围是（）A．B．C．（﹣1，+∞）D．解：作函数函数的图象如下，结合图象，A，B，C，D的横坐标分别为x1，x2，x3，x4，故x1+x2＝﹣2，x3x4＝1，故＝，∵0＜﹣log4x3≤1，∴≤x3＜1，∴﹣1＜≤，故选：A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13．求值：cos＝．解：cos＝．故答案为：14．已知tanα＝3，则＝ 2 ．解：∵tanα＝3，∴＝＝＝2．故答案为：2．15．国家规定个人稿费纳税办法是：不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4000元的按超过800元部分的14%纳税；超过4000元的按全部稿酬的11%纳税．已知某人出版一本书，共纳税420元时，这个人应得稿费（扣税前）为3800 元．解：由题意，纳税额与稿费函数关系为由于此人纳税420元，令（x﹣800）×0.14＝420，解得x＝3800元令0.11x＝420，得x＝3818.2，舍故可得这个人应得稿费（扣税前）为 3800元．故答案为：380016．函数f（x）的定义域为D，若对任意的x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）≤f（x2），则称f（x）在D上为非减函数．设f（x）在[0，1]上为非减函数，且满足：①f（0）＝0；②；③f（x）+f（1﹣x）＝1．则：（ⅰ）＝；（ⅱ）＝．解：根据题意，f（0）＝0且f（x）+f（1﹣x）＝1，令x＝0可得：f（0）+f（1）＝1，即f（1）＝1，又由，令x＝1可得：f（）＝f（1）＝，又由f（x）+f（1﹣x）＝1，则f（）+f（）＝1，则f（）＝，又由f（）＝，则f（）＝f（）＝，又由f（）＝，则f（）＝f（）＝，又由f（x）在[0，1]上为非减函数，且＜＜，则有f（）≤f（）≤f（）；故f（）＝，故答案为：（ⅰ）（ⅱ）．三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知集合A＝{x|x2﹣5x+6＝0}，B＝{a，2，a2﹣3a+5}．（1）用列举法表示集合A；（2）若A∪B＝B，求实数a的值．解：（1）解方程x2﹣5x+6＝0，得x1＝2，x2＝3，∴集合A＝{x|x2﹣5x+6＝0}＝{2，3}．（2）∵集合A＝{2，3}，B＝{a，2，a2﹣3a+5}．A∪B＝B，∴A⊆B，∴a＝3或a2﹣3a+5＝3，解得a＝3或a＝1或a＝2，检验得a＝2不合题意，∴a＝3或a＝1．18．已知向量，向量．（1）求向量的坐标；（2）若，求实数k的值．解：（1）∵向量，∴＝k+＝（k﹣3，2k+1），＝﹣3＝（10，﹣1）．（2）由，∴．19．已知函数（1）求f（f（﹣2））的值；（2）求不等式f（x）＞3的解集．解：（1），（2）当x≤0，由2x+2＞3得x＞0（不合，舍去），当，故不等式f（x）＞3的解集为（9，+∞）．20．已知向量，，向量．（1）若，求角θ的值；（2）求|的取值范围．解：（1）向量，，所以4﹣＝（4sinθ，1）；又，所以4sinθcosθ﹣1＝0，所以sin2θ＝；又θ∈（﹣，），所以2θ∈（﹣π，π），所以2θ＝或，所以θ＝或；（2）由+＝（1+sinθ，1+cosθ），所以＝（1+sinθ）2+（1+cosθ）2＝2+2sinθ+2cosθ+sin2θ+cos2θ＝3+2sin （θ+），又θ∈（﹣，），所以θ+∈（﹣，），所以sin（θ+）∈（﹣，1]，所以3+2sin（θ+）∈（1，3+2]，所以|+|的取值范围是（1，1+]．21．已知函数f（x）＝sin2x+sin x cos x．（1）求函数f（x）的最大值及单调递增区间；（2）若为函数y＝f（x）﹣的一个零点，求cos2x0的值．解：（1），∴，由，得，f（x）的单调递增区间为，k∈Z（2）由（1）及题意得，又，∴故．22．已知函数f（x）＝|x2﹣4|+x2+ax，a∈R．（1）若f（x）为偶函数，求实数a的值；（2）当a＝4时，求函数f（x）的零点；（3）若方程f（x）＝0在（0，4）上有两个不同的实数根x1，x2（x1＜x2），求实数a 的取值范围．解：（1）因为f（x）为偶函数，所以f（﹣x）＝|（﹣x）2﹣4|+（﹣x）2+a（﹣x）＝|x2﹣4|+x2﹣ax＝f（x）＝|x2﹣4|+x2+ax，所以2ax＝0，解得a＝0；（2）a＝4时，f（x）＝|x2﹣4|+x2+4x＝，当x∈[﹣2，2]时f（x）＝4+4x＝0，解得x＝﹣1；当，综上：函数f（x）的零点为；（3）当|x|≤2时f（x）＝ax+4，方程ax+4＝0最多有一个实根；当|x|＞2时f（x）＝2x2+ax﹣4，方程2x2+ax﹣4＝0，若x1，x2均在（2，4），则x1•x2＝﹣2不合．故x1∈（0，2]，x2∈（2，4），由，∴a≤﹣2，由，∴﹣7＜a＜﹣2，综上述知，a的取值范围为﹣7＜a＜﹣2．。
2018-2019学年第二学期期末考试高一年级数学试卷(含答案)
2018-2019学年第二学期期末考试高一年级数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．某电视台在因特网上就观众对其某一节目的喜爱程度进行调查，参加调查的人数为20000人，其中持各种态度的人数如表所示：电视台为了了解观众的具体想法和意见，打算从中抽选出100人进行更为详细的调查，为此要进行分层抽样，那么在分层抽样时，每类人中各应抽选出的人数为（）A．25，25，25，25 B．48，72，64，16 C．20，40，30，10 D．24，36，32，82．某校为了解学生学习的情况，采用分层抽样的方法从高一1000人、高二1200人、高三n人中，抽取81人进行问卷调查．已知高二被抽取的人数为30，那么n=（）A．860 B．720 C．1020 D．10403. 在中，，，则等于（）A. 3B.C. 1D. 24．（1+tan20°）（1+tan25°）=（）A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣25．在△ABC中，若sin2A+sin2B＜sin2C，则△ABC的形状是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定6．如图，给出的是的值的一个程序框图，判断框内应填入的条件是（）A．i＜99 B．i≤99 C．i＞99 D．i≥997. 已知直线平面，直线平面，则下列命题正确的是（）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则8．已知过点P（0，2）的直线l与圆（x﹣1）2+y2=5相切，且与直线ax﹣2y+1=0垂直，则a=（）A．2 B．4 C．﹣4 D．19．《数学九章》中对已知三角形三边长求三角形的面积的求法填补了我国传统数学的一个空白，与著名的海伦公式完全等价，由此可以看出我国古代已具有很高的数学水平，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上．以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隔，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即S=．现有周长为2+的△ABC满足sinA：sinB：sinC=（﹣1）：：（ +1），试用以上给出的公式求得△ABC的面积为（）A． B． C． D．10．天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为40%．现采用随机模拟试验的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率：先利用计算器产生0到9之间取整数值的随机数，用1，2，3，4表示下雨，用5，6，7，8，9，0表示不下雨；再以每三个随机数作为一组，代表这三天的下雨情况．经随机模拟试验产生了如下20组随机数：907 966 191 925 271 932 812 458 569 683431 257 393 027 556 488 730 113 537 989据此估计，这三天中恰有两天下雨的概率近似为（）A．0.35 B．0.25 C．0.20 D．0.1511．在区间（0，3]上随机取一个数x，则事件“0≤log2x≤1”发生的概率为（）A．B．C．D．12．已知函数f（x）=sin2x向左平移个单位后，得到函数y=g（x），下列关于y=g（x）的说法正确的是（）A．图象关于点（﹣，0）中心对称B．图象关于x=﹣轴对称C．在区间[﹣，﹣]单调递增D．在[﹣，]单调递减二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．函数f（x）=Asin（ωx+φ）+b的图象如图所示，则f（x）的解析式为．14．在△ABC中，内角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，若bsinA﹣acosB=0，则A+C= ．15. 已知直线的倾斜角为，则直线的斜率为__________．16．已知正实数x，y满足x+2y﹣xy=0，则x+2y的最小值为8y的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共70分．第17题10分，其它均12分）17．某同学用“五点法”画函数f （x ）=Asin （ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：（1）请将上表数据补充完整，填写在相应位置，并直接写出函数f （x ）的解析式；（2）将y=f （x ）图象上所有点向左平行移动θ（θ＞0）个单位长度，得到y=g （x ）的图象．若y=g （x ）图象的一个对称中心为（，0），求θ的最小值．18. 在中，内角所对的边分别为，且.（1）求；（2）若，且的面积为，求的值.19．设函数f （x ）=mx 2﹣mx ﹣1．若对一切实数x ，f （x ）＜0恒成立，求实数m 的取值范围．20．已知函数f （x ）=cosx （sinx+cosx ）﹣． （1）若0＜α＜，且sin α=，求f （α）的值；（2）求函数f （x ）的最小正周期及单调递增区间．21．根据国家环保部新修订的《环境空气质量标准》规定：居民区PM2.5的年平均浓度不得超过35微克/立方米，PM2.5的24小时平均浓度不得超过75微克/立方米．我市环保局随机抽取了一居民区2016年20天PM2.5的24小时平均浓度（单位：微克/立方米）的监测数据，数据统计如表（1）从样本中PM2.5的24小时平均浓度超过50微克/立方米的天数中，随机抽取2天，求恰好有一天PM2.5的24小时平均浓度超过75微克/立方米的概率；（2）将这20天的测量结果按上表中分组方法绘制成的样本频率分布直方图如图．①求图中a的值；②求样本平均数，并根据样本估计总体的思想，从PM2.5的年平均浓度考虑，判断该居民区的环境质量是否需要改善？并说明理由．22．（12分）（2016秋•德化县校级期末）已知f（x）=sin2（2x﹣）﹣2t•sin（2x﹣）+t2﹣6t+1（x∈[，]）其最小值为g（t）．（1）求g（t）的表达式；（2）当﹣≤t≤1时，要使关于t的方程g（t）=kt有一个实根，求实数k的取值范围．参考答案：一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.D2．D3.D4．A5．C6．B7. B8．C9．A10．B11．C12.C二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．．14．120°． 15. 16． 8；（1，+∞）．三、解答题（本大题共6小题，共70分．第17题10分，其它均12分）17．（1）根据表中已知数据，解得A=5，ω=2，φ=﹣．数据补全如下表：且函数表达式为f（x）=5sin（2x﹣）．（2）由（Ⅰ）知f（x）=5sin（2x﹣），得g（x）=5sin（2x+2θ﹣）．因为y=sinx的对称中心为（kπ，0），k∈Z．令2x+2θ﹣=kπ，解得x=，k∈Z．由于函数y=g（x）的图象关于点（，0）成中心对称，令=，解得θ=，k∈Z．由θ＞0可知，当K=1时，θ取得最小值．18. (1) ；（2）. 19．（﹣4，0]．20．（1）∵0＜α＜，且sinα=，∴cosα=，∴f（α）=cosα（sinα+cosα）﹣=×（+）﹣=；（2）∵函数f（x）=cosx（sinx+cosx）﹣=sinxcosx+cos2x﹣=sin2x+﹣=（sin2x+cos2x）=sin（2x+），∴f（x）的最小正周期为T==π；令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z，解得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z；∴f（x）的单调增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．．21．1） P==．（2）a=0.00422．（1）∵x∈[，]，∴sin（2x﹣）∈[﹣，1]，∴f（x）=[sin（2x﹣﹣t]2﹣6t+1，当t＜﹣时，则当sinx=﹣时，f（x）min=；当﹣≤t≤1时，当sinx=t时，f（x）min=﹣6t+1；当t＞1时，当sinx=1时，f（x）min=t2﹣8t+2；∴g（t）=（2）k≤﹣8或k≥﹣5．。
2019年-2020学年高一上学期数学期末模拟考试试题(含答案解析)
2019年-2020 学年高一数学期末模拟考试试题一．选择题（共10小题）1．已知集合A＝{x|0＜log4x＜1}，B＝{x|e x﹣2≤1}，则A∪B＝（）A．（﹣∞，4）B．（1，4）C．（1，2）D．（1，2]2．某同学用二分法求方程3x+3x﹣8＝0在x∈（1，2）内近似解的过程中，设f（x）＝3x+3x ﹣8，且计算f（1）＜0，f（2）＞0，f（1.5）＞0，则该同学在第二次应计算的函数值为（）A．f（0.5）B．f（1.125）C．f（1.25）D．f（1.75）3．函数的图象大致是（）A．B．C．D．4．函数的零点所在的区间是（）A．B．C．D．5．已知a，b是非零实数，则“a＞b”是“ln|a|＞ln|b|”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．函数的值域为（）A．B．C．（0，] D．（0，2]7．若a＞b＞c＞1且ac＜b2，则（）A．log a b＞log b c＞log c a B．log c b＞log b a＞log a cC．log b c＞log a b＞log c a D．log b a＞log c b＞log a c8．已知函数f（x）＝lg（ax2﹣2x+a）的值域为R，则实数a的取值范围为（）A．[﹣1，1] B．[0，1]C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D．（1，+∞）9．若x1是方程xe x＝4的解，x2是方程xlnx＝4的解，则x1•x2等于（）A．4 B．2 C．e D．110．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有蒲生一日，长三尺莞生一日，长一尺蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长倍？”意思是：“今有蒲草第1天长高3尺，芜草第1天长高1尺以后，蒲草每天长高前一天的一半，芜草每天长高前一天的2倍．问第几天莞草是蒲草的二倍？”你认为莞草是蒲草的二倍长所需要的天数是（）（结果采取“只入不舍”的原则取整数，相关数据：lg3≈0.4771，lg2≈0.3010）A．2 B．3 C．4 D．5二．填空题（共5小题）11．已知x＞0，y＞0，且+＝1，则3x+4y的最小值是2512．函数（a＞0且a≠1）的图象恒过定点P，则点P的坐标为（4，），若点P在幂函数g（x）的图象上，则g（9）＝．13．函数的递减区间是（3，+∞）．14．已知函数f（x）＝有3个零点，则实数a的取值范围是（，1）．15．对于函数f（x），若在定义域内存在实数x0满足f（﹣x0）＝﹣f（x0），则称函数f（x）为“倒戈函数”．设f（x）＝3x+2m﹣1（m∈R，且m≠0是定义在[﹣1，1]上的“倒戈函数”，则实数m的取值范围是．三．解答题（共4小题）16．已知函数的定义域为集合A，集合B＝{x|1＜x＜8}，C＝{x|a ＜x＜2a+1}，（1）求集合（∁R A）∪B；（2）若A∪C＝A，求a的取值范围17．（1）已知5a＝3，5b＝4，用a，b表示log2536．（2）求值．18．已知函数f（x）＝log a（1﹣x），g（x）＝log a（x+3），其中0＜a＜1．（1）解关于x的不等式：f（x）＜g（x）；（2）若函数F（x）＝f（x）+g（x）的最小值为﹣4，求实数a的值．19．某工厂今年初用128万元购进一台新的设备，并立即投入使用，计划第一年维修、保养费用8万元，从第二年开始，每年的维修、保养修费用比上一年增加4万元，该设备使用后，每年的总收入为54万元，设使用x年后设备的盈利总额y万元．（1）写出y与x之间的函数关系式；（2）从第几年开始，该设备开始盈利？（3）使用若干年后，对设备的处理有两种方案：①年平均盈利额达到最大值时，以42万元价格卖掉该设备；②盈利额达到最大值时，以10万元价格卖掉该设备．问哪种方案处理较为合理？请说明理由．2019年-2020 学年高一期末模拟考试试题一．选择题（共10小题）1．已知集合A＝{x|0＜log4x＜1}，B＝{x|e x﹣2≤1}，则A∪B＝（）A．（﹣∞，4）B．（1，4）C．（1，2）D．（1，2]【答案】A【解答】解：A＝{x|1＜x＜4}，B＝{x|x≤2}，∴A∪B＝（﹣∞，4）．故选：A．2．某同学用二分法求方程3x+3x﹣8＝0在x∈（1，2）内近似解的过程中，设f（x）＝3x+3x ﹣8，且计算f（1）＜0，f（2）＞0，f（1.5）＞0，则该同学在第二次应计算的函数值为（）A．f（0.5）B．f（1.125）C．f（1.25）D．f（1.75）【答案】C【解答】解：∵f（1）＜0，f（2）＞0，f（1.5）＞0，∴在区间（1，1.5）内函数f（x）＝3x+3x﹣8存在一个零点该同学在第二次应计算的函数值＝1.25，故选：C．3．函数的图象大致是（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：由，可知当x→﹣∞时，f（x）→﹣∞，排除A，C；当x→+∞时，由指数爆炸可知e x＞x3，则→0，排除B．故选：D．4．函数的零点所在的区间是（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：由于连续函数满足f（）＝﹣2＜0，f（）＝＞0，且函数在区间（，）上单调递增，故函数函数的零点所在的区间为（，）．故选：C．5．已知a，b是非零实数，则“a＞b”是“ln|a|＞ln|b|”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】D【解答】解：由于ln|a|＞ln|b|⇔|a|＞|b|＞0，由a＞b推不出ln|a|＞ln|b|，比如a＝1，b＝﹣2，有a＞b，但ln|a|＜ln|b|；反之，由ln|a|＞ln|b|推不出a＞b，比如a＝﹣2，b＝1，有ln|a|＞ln|b|，但a＜b；∴“a＞b”是“ln（a﹣b）＞0”的既不充分也不必要条件．故选：D．6．函数的值域为（）A．B．C．（0，] D．（0，2]【答案】A【解答】解：令t（x）＝2x﹣x2＝﹣（x﹣1）2+1≤1∵单调递减∴即y≥故选：A．7．若a＞b＞c＞1且ac＜b2，则（）A．log a b＞log b c＞log c a B．log c b＞log b a＞log a cC．log b c＞log a b＞log c a D．log b a＞log c b＞log a c【答案】B【解答】解：因为a＞b＞c＞1，令a＝16，b＝8，c＝2，则log c a＞1＞log a b所以A，C错，则故D错，B对．故选：B．8．已知函数f（x）＝lg（ax2﹣2x+a）的值域为R，则实数a的取值范围为（）A．[﹣1，1] B．[0，1]C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D．（1，+∞）【答案】B【解答】解：函数f（x）＝lg（ax2﹣2x+a）的值域为R，设g（x）＝ax2﹣2x+a，则g（x）能取边所有的正数，即（0，+∞）是g（x）值域的子集，当a＝0时，g（x）＝﹣2x的值域为R，满足条件．当a≠0时，要使（0，+∞）是g（x）值域的子集，则满足得，此时0＜a≤1，综上所述，0≤a≤1，故选：B．9．若x1是方程xe x＝4的解，x2是方程xlnx＝4的解，则x1•x2等于（）A．4 B．2 C．e D．1【答案】A【解答】解：由于x1和x2是函数y＝e x和函数y＝lnx与函数y＝的图象的公共点A和B的横坐标，而A（），B（）两点关于y＝x对称，可得，因此x1x2＝4，故选：A．10．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有蒲生一日，长三尺莞生一日，长一尺蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长倍？”意思是：“今有蒲草第1天长高3尺，芜草第1天长高1尺以后，蒲草每天长高前一天的一半，芜草每天长高前一天的2倍．问第几天莞草是蒲草的二倍？”你认为莞草是蒲草的二倍长所需要的天数是（）（结果采取“只入不舍”的原则取整数，相关数据：lg3≈0.4771，lg2≈0.3010）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【解答】设蒲草每天长的高度为数列{a n}，莞草每天长的高度为数列{b n}，由题意得：{a n}为等比数列，求首项为3，公比为，所以通项公式a n＝3•（）n﹣1，前n项和S n＝6[1﹣（）n]，{b n}为等比数列，首项为1，公比为2，所以通项公式b n＝2n﹣1，前n项和T n＝2n﹣1；由题意得设n天莞草是蒲草的二倍，即2n﹣1＝2•6[1﹣（）n]⇒（2n）2﹣13•2n+12＝0⇒2n＝12或1（舍）两边取以10为底的对数，n＝＝＝2+由相关数据可得，n＝4，故选：C．二．填空题（共5小题）11．已知x＞0，y＞0，且+＝1，则3x+4y的最小值是25【答案】25【解答】解：因为x＞0，y＞0，+＝1，所以3x+4y＝（3x+4y）（+）＝13++≥13+2＝25（当且仅当x＝2y 时取等号），所以（3x+4y）min＝25．故答案为：25．12．函数（a＞0且a≠1）的图象恒过定点P，则点P的坐标为（4，），若点P在幂函数g（x）的图象上，则g（9）＝．【答案】（4，）；．【解答】解：对于函数（a＞0且a≠1），令2x﹣7＝1，求得x＝4，y＝，可得它的图象恒过定点P（4，）．点P在幂函数g（x）＝xα的图象上，则4α＝，即22α＝2﹣1，∴α＝﹣，g（x）＝＝，故g（9）＝＝，故答案为：（4，）；．13．函数的递减区间是（3，+∞）．【答案】（3，+∞）【解答】解：由2x2﹣5x﹣3＞0得x＞3或x＜﹣，设t＝2x2﹣5x﹣3，则当x＞3时，函数t为增函数，当x＜﹣时，函数t为减函数，∵y＝log0.1t为减函数，∴要求y＝log0.1（2x2﹣5x﹣3）的递减区间，即求函数t＝2x2﹣5x﹣3的递增区间，即（3，+∞），即函数f（x）的单调递减区间为为（3，+∞）．故答案为：（3，+∞）．14．已知函数f（x）＝有3个零点，则实数a的取值范围是（，1）．【答案】（，1）．【解答】解：∵函数f（x）＝有3个零点，∴a＞0 且y＝ax2+2x+1在（﹣2，0）上有2个零点，∴，解得＜a＜1，故答案为：（，1）．15．对于函数f（x），若在定义域内存在实数x0满足f（﹣x0）＝﹣f（x0），则称函数f（x）为“倒戈函数”．设f（x）＝3x+2m﹣1（m∈R，且m≠0是定义在[﹣1，1]上的“倒戈函数”，则实数m的取值范围是．【解答】解：∵f（x）＝3x+2m﹣1是定义在[﹣1，1]上的“倒戈函数，∴存在x0∈[﹣1，1]满足f（﹣x0）＝﹣f（x0），∴3+2m﹣1＝﹣3﹣2m+1，∴4m＝﹣3﹣3+2，构造函数y＝﹣3﹣3+2，x0∈[﹣1，1]，令t＝3，t∈[，3]，y＝﹣﹣t+2，y∈[﹣，0]，∴﹣＜0，∴﹣，故答案为：[﹣，0）．三．解答题（共4小题）16．已知函数的定义域为集合A，集合B＝{x|1＜x＜8}，C＝{x|a ＜x＜2a+1}，（1）求集合（∁R A）∪B；（2）若A∪C＝A，求a的取值范围【解答】解：（1）∵函数的定义域为集合A，∴A＝{x|}＝{x|﹣1＜x＜2}，∴∁R A＝{x|x≤﹣1或x≥2}，∵集合B＝{x|1＜x＜8}，∴集合（∁R A）∪B＝{x|x≤﹣1或x＞1}．（2）∵A＝{x|}＝{x|﹣1＜x＜2}，C＝{x|a＜x＜2a+1}，A∪C＝A，∴C⊆A，当C＝∅时，a≥2a+1，解得a≤﹣1，当C≠∅时，，解得﹣1＜x．综上，a的取值范围是（﹣∞，]．17．（1）已知5a＝3，5b＝4，用a，b表示log2536．（2）求值．【解答】解：（1）5a＝3，5b＝4，得a＝log53，b＝log54，log2536＝，（2）原式＝﹣1+2＝﹣1﹣2+2＝2.5﹣1＝1.5．18．已知函数f（x）＝log a（1﹣x），g（x）＝log a（x+3），其中0＜a＜1．（1）解关于x的不等式：f（x）＜g（x）；（2）若函数F（x）＝f（x）+g（x）的最小值为﹣4，求实数a的值．【解答】解：（1）不等式即为log a（1﹣x）＜log a（x+3），∵0＜a＜1，∴1﹣x＞x+3＞0，得解为﹣3＜x＜﹣1，（2），由﹣x2﹣2x+3＞0解得其定义域为（﹣3，1），∵h（x）＝﹣x2﹣2x+3z在（﹣3，﹣1）上单调递增，在（﹣1，1）上单调递减，∴h（x）max＝h（﹣1）＝4．∵0＜a＜1，且F（x）的最小值为﹣4，∴log a4＝﹣4．得a﹣4＝4，所以a＝＝．19．某工厂今年初用128万元购进一台新的设备，并立即投入使用，计划第一年维修、保养费用8万元，从第二年开始，每年的维修、保养修费用比上一年增加4万元，该设备使用后，每年的总收入为54万元，设使用x年后设备的盈利总额y万元．（1）写出y与x之间的函数关系式；（2）从第几年开始，该设备开始盈利？（3）使用若干年后，对设备的处理有两种方案：①年平均盈利额达到最大值时，以42万元价格卖掉该设备；②盈利额达到最大值时，以10万元价格卖掉该设备．问哪种方案处理较为合理？请说明理由．（1）由题意可知x年的维修，使用x年后的总保养、维修费用为8x+【解答】解：＝2x2+6x．所以盈利总额y关于x的函数为：y＝54x﹣（2x2+6x）﹣128＝﹣2x2+48x﹣128（x∈N×）．（2）由y＞0，得﹣2x2+48x﹣128＞0，即x2﹣24x+64＜0，解得，由x∈N*，得4≤x≤20．答：第4年该设备开始盈利．（3）方案①年平均盈利，当且仅当，即x＝8时取等号，．所以方案①总利润为16×8+42＝170（万元），方案②y＝﹣2（x﹣12）2+160，x＝12时y取得最大值160，所以方案②总利润为160+10＝170（万元），答：选择方案①处理较为合理．。
湖南省怀化市2019-2020学年高一下学期期末考试数学试题含答案
湖南省怀化市2019-2020学年高一下学期期末考试数学试题含答案注意事项:1。
答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号写在答题卡上。
2。
考生作答时，选择题和综合题均须做在答题卡上,在本试卷上答题无效。
考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题。
3。
考试结束后，将答题卡收回.4.本试题卷共4页，如有缺页,考生须声明，否则后果自负.怀化市中小学课程改革教育质量监测试卷2020年上期期末考试高一数学一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.为了了解某地参加计算机水平测试的5000名学生的成绩，从中抽取了200名学生的成绩进行统计分析.在这个问题中,5000 名学生成绩的全体是A.总体B。
个体 C.从总体中抽取的一个样本D.样本的容量2.设α是第三象限角，且tan1α=，则cosα=A。
-12B. 22C. 22- D. 12-3。
同时掷3枚硬币，那么互为对立事件的是A.至少有1枚正面和最多有1枚正面B.最多1枚正面和恰有2枚正面C 。
至多1枚正面和至少有2枚正面 D.至少有2枚正面和恰有1枚正面4。
某中学高三从甲、乙两个班中各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100 分）的茎叶图如图，其中甲班学生成绩的众数是85，乙班学生成绩的中位数是83，则x+ y 的值为A.7 B 。
8 C.9 D 。
10 5.若4sin cos 3θθ-=则sin()cos()πθπθ--=A 。
16B 。
16- C 。
718-D. 7186.如图所示，用两种方案将块顶角为120°， 腰长为2的等腰三角形钢板OAB 裁剪成扇形,设方案一、二的扇形的面积分别为S 1，S 2，周长分别为l 1，l 2，则A.S 1=S 2，l 1>l 2B.S 1=S 2， l 1<l 2 C 。
S 1〉S 2,l 1=l 2 D.S 1〈S 2， l 1=l 2 7。
湖南省雅礼教育集团2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷
湖南省雅礼教育集团2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷一、单选题1．已知集合{}2340M x x x =∈--≤Z ，{}03N x x =<≤，则M N ⋂=（ ）A ．{}1,0,1,2,3-B ．{}1,2,3C ．(]0,3D ．[]1,4-2．设i 为虚数单位，复数z 满足()1i 12i z +=-+，则z z ⋅为（ ）．A B ．5 C ．2D ．523．设α，β为两个不同的平面，则α∥β的一个充分条件是（ ） A ．α内有无数条直线与β平行 B ．α，β垂直于同一个平面 C ．α，β平行于同一条直线D ．α，β垂直于同一条直线4．定义在R 上的函数()f x 满足()()23f x f x ++=，且()10f =，则()2023f =（ ） A ．3-B ．0C ．1D ．35．已知向量a r ，b r满足1b =r ，a b ⊥r r ，则2a b -r r 在b r 方向上的投影向量为（ ）A ．2B ．2a rC ．2b -rD ．2-6．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ） A ．243a πB ．273a πC ．283a πD ．2163a π 7．某数学兴趣小组要测量一个球体建筑物的高度，已知点A 是球体建筑物与水平地面的接触点（切点），地面上B ，C 两点与点A 在同一条直线上，且在点A 的同侧．若小明同学在B ，C 处分别测得球体建筑物的最大仰角为60︒和20︒，且BC a =米，则该球体建筑物的高度为（ ）米．A ．4cos10a︒B ．2cos10a︒C ．sin102sin 40a ︒︒D ．sin10sin 40a ︒︒8．已知正四棱锥S ABCD -的底面边长为1，SC 的中点为E ，过点E 作与SC垂直的平面α，则平面α截正四棱锥S ABCD -所得的截面面积为（ ）．A B C 3D ．23二、多选题9．学校“未来杯”足球比赛中，甲班每场比赛平均失球数是1.9，失球个数的标准差为0.3；乙班每场比赛平均失球数是1.3，失球个数的标准差为1.2，你认为下列说法中正确的是（ ） A ．平均来说乙班比甲班防守技术好 B ．乙班比甲班防守技术更稳定C ．乙班在防守中有时表现非常好，有时表现比较差D ．甲班很少不失球10．伯努利试验是在同样的条件下重复地、相互独立地进行的一种随机试验，其特点是每次试验只有两种可能结果．若连续抛掷一枚质地均匀的硬币n 次，记录这n 次实验的结果，设事件M ＝“n 次实验结果中，既出现正面又出现反面”，事件N ＝“n 次实验结果中，最多只出现一次反面”，则下列结论正确的是（ ）．A ．若2n =，则M 与N 不互斥B ．若2n =，则M 与N 相互独立C ．若3n =，则M 与N 互斥D ．若3n =，则M 与N 相互独立11．如图，在四边形ABCD 中，ACD V 和ABC V 是全等三角形，AB AD =，90ABC ∠=︒，60BAC ∠=︒，1AB =．下面有两种折叠方法将四边形ABCD 折成三棱锥．折法①；将ACDV 沿着AC 折起，得到三棱锥1D ABC -，如图1．折法②：将ABD △沿着BD 折起，得到三棱锥1A BCD -，如图2．下列说法正确的是（ ）．A ．按照折法①，三棱锥1D ABC -的外接球表面积恒为4πB ．按照折法①，存在1D 满足1AB CD ⊥C ．按照折法②﹐三棱锥1A BCD -D ．按照折法②，存在1A 满足1AC ⊥平面1A BD ，且此时BC 与平面1A BD 所成线面角正三、填空题12．当0a >且1a ≠时，函数24x y a -=+的图象一定经过定点13．如图所示，已知PA ⊥平面,120,6ABC ABC PA AB BC ∠====o，则PC =u u u r．14．已知向量a r ，b r满足()0a b b +⋅=r r r ，44a b +=r r ，则a b b ++r r r 的最大值为．四、解答题15．已知函数1()cos212f x x x =++． (1)求()f x 的最小正周期T ；(2)求()f x 的最小值以及取得最小值时x 的集合．16．记ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，满足22cos 0+-=c b a B . (1)求角A ；(2)若a =32BA AC ⋅=u u u r u u u r ，AD 是ABC V 中线，求AD 的长.17．我校在2021年的自主招生考试成绩中随机抽取40名学生的笔试成绩，按成绩共分成五组：第1组[75，80)，第2组[80，85)，第3组[85，90)，第4组[90，95)，第5组[95，100]，得到的频率分布直方图如图所示，同时规定成绩在85分以上的学生为“优秀”，成绩小于85分的学生为“良好”，且只有成绩为“优秀”的学生才能获得面试资格．（1）根据样本频率分布直方图估计样本的中位数与平均数；（2）如果用分层抽样的方法从“优秀”和“良好”的学生中共选出5人，再从这5人中选2人，那么至少有一人是“优秀”的概率是多少？18．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，14AA =，2AB AD ==，点M 和点N 在棱1CC 上，且22CM CN ==.(1)求证：//AM 平面BDN ； (2)求证：1AC DN ⊥. 19．已知平面四边形ABCD ，2AB AD ==，60BAD ∠=︒，30BCD ∠=︒，现将ABD △沿BD 边折起，使得平面ABD ⊥平面BCD ，此时AD CD ⊥，点P 为线段AD 的中点．(1)求证：BP ⊥平面ACD ；(2)若M 为CD 的中点，求MP 与平面BPC 所成角的正弦值； (3)在（2）的条件下，求二面角P BM D --的平面角的余弦值．。
湖南省浏阳市2023-2024学年高一下学期期末质量监测数学试卷(含答案)
浏阳市2023-2024学年高一下学期期末质量监测数学一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.已知向量()()1,2,3,a b m == ，若()a ab ⊥+ ，则m 的值为（ ）A.-6 B.-4 C.4 D.62.复数2i 1iz -=+在复平面内对应的点在（ ）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限3.边长为2的正三角形的直观图的面积是（）4.已知圆锥的底面圆周在球O 的球面上，顶点为球心O ，圆锥的高为3，且圆锥的侧面展开图是一个半圆，则球O 的表面积为（ ）A.24πB.36πC.48πD.64π5.下列说法正确的是（）①已知,,a b c 为三条直线，若,a b 异面，,b c 异面，则,a c 异面；②若a 不平行于平面α，且a α⊄，则α内的所有直线与a 异面；③两两相交且不公点的三条直线确定一个平面；④若ABC 在平面α外，它的三条边所在的直线分别交α于P Q R ､､，则P Q R ､､，三点共线.A.①②B.③④C.①③D.②④6.已知某样本的容量为50，平均数为70，方差为75.现发现在收集这些数据时，其中的两个数据记录有误，一个错将80记录为60，另一个错将70记录为90.在对错误的数据进行更正后，重新求得样本的平均数为x ，方差为2s ，则（）A.270,75s x =< B.270,75s x =>C.270,75s x == D.270,75s x <>7.如图所示，已知点G 是ABC 的重心，过点G 作直线分别交,AB AC 两边于,M N 两点，且,AM xAB AN y AC == ，则2x y +的最小值为（ ）A.2B.4 D.38.某工业园区有A B C ､､共3个厂区，其中10km,90AB BC ABC ∠=== ，现计划在工业园区内选择P 处建一仓库，若120APB ∠= ，则CP 的最小值为（ ）A.6kmB.8kmC.D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.9.给定一组数5,5,4,3,3,3,2,2,2,1，则（）A.平均数为3B.标准差为85C.众数为2D.85%分位数为510.有6个相同的小球，分别标有数字1,2,3,4,5,6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球.用x 表示第一次取到的小球的标号，用y 表示第二次取到的小球的标号，记事件A ：x y +为偶数，:B xy 为偶数，:2C x >，则（ ）A.()34P B = B.A 与B 相互独立C.A 与C 相互独立 D.B 与C 相互独立11.正多面体也称柏拉图立体（被誉为最有规律的立体结构），是所有面都只由一种正多边形构成的多面体（各面都是全等的正多边形）.数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体､正六面体､正八面体､正十二面体､正二十面体.已知一个正八面体ABCDEF 的棱长都是2（如图），则（ ）A.BE ∥平面ADFB.直线BC 与平面BEDF 所成的角为60C.若点P 为棱EB 上的动点，则AP CP +的最小值为D.若点P 为棱EB 上的动点，则三棱锥F ADP -的体积为定值43三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.如图，某学校共有教师200人，按老年教师､中年教师､青年教师的比例用分层随机抽样的方法从中抽取一个60人的样本，则被抽到的青年教师的人数为__________.13.拋两枚质地均匀的骰子，向上的点数分别为,x y ，则,,3x y 能够构成三角形三边长的概率为__________.14.在ABC 中，点,D E 分别在边BC 和边AB 上，且22,2,DC BD BE AE AD ===交CE 于点P ，设,BC a BA b == .用,a b 表示BP 为__________；若M 为CE 上一动点且__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（本小题13分）一条东西方向的河流两岸平行，河宽250m ，河水的速度为向东/h .一艘小货船准备从河的这一边的码头A 处出发，航行到位于河对岸B （AB 与河的方向垂直）的正西方向并且与B相距的码头C 处卸货.若水流的速度与小货船航行的速度的合速度的大小为6km /h ，则当小货船的航程最短时，求合速度的方向，并求此时小货船航行速度的大小.16.（本小题15分）在某电视节目中，有5位歌手（1到5号）依次登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手.各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名.观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中选3名歌手.（1）求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率；（2）X 表示3号歌手得到观众甲､乙､丙的票数之和，求“2X ≥”的事件概率.17.（本小题15分）为了落实习主席提出“绿水青山就是金山银山”的环境治理要求，某市政府积极鼓励居民节约用水.计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x （吨），一位居民的月用水量不超过x 的部分按平价收费，超出x 的部分按议价收费.为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年200位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[)[)[)0,1,1,2,,8,9 分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图，其中0.4a b =.（1）求直方图中,a b 的值，并由频率分布直方图估计该市居民用水的平均数（每组数据用该组区间中点值作为代表）；（2）设该市有40万居民，估计全市居民中月均用水量不低于2吨的人数，并说明理由；（3）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x （吨），估计x 的值，并说明理由.18.（本小题17分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，4,2PA AD AB ===，PA ⊥平面ABCD ，且M 是PD 的中点.（1）求证：AM ⊥平面PCD ；（2）求异面直线CD 与BM 所成角的正切值；（3）求直线CD 与平面ACM 所成角的正弦值.19.（本小题17分）任意一个复数z 的代数形式都可写成复数三角形式，即()i cos isin z a b r θθ=+=+，其中i 为虚数单位，[)0,0,2πr z θ==≥∈.棣莫弗定理由法国数学家棣莫弗（1667~1754）创立.设两个复数用三角函数形式表示为：()()11112222cos isin ,cos isin z r z r θθθθ=+=+，则：()()12121212cos isin z z r r θθθθ⎡⎤=+++⎣⎦.如果令12n z z z z ==== ，则能导出复数乘方公式：()cos isin n n z rn n θθ=+.请用以上知识解决以下问题.（1）试将3z =-写成三角形式；（2）试应用复数乘方公式推导三倍角公式：33sin33sin 4sin;cos34cos 3cos θθθθθθ=-=-；（3）计算：()()444cos cos 120cos 120θθθ+++- 的值.浏阳市2023-2024学年高一下学期期末质量监测参考答案（高一数学）一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.B2.D3.A4.C5.B6.A7.C8.B二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.9.AD 10.ACD 11.AC三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.18 13.712 14.1477BP a b =+ ；2116四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.解：如图2500.250km,AB m BC ====，tan BC CAB AB ∠===，60,9060150CAB CAD ∠∠∴=∴=+= ，∴合速度的方向与水流的方向成150 的角设小货船的速度为1v ，水流速度为2v ，合速度为v ，则12v v v =- ，1/h mv ∴===⋯ ∴小船航行速度的大小为.16.解：（1）设A 表示事件“观众甲选中3号歌手”，B 表示事件“观众乙选中3号歌手”，则()()12242335C C 23A ,C 3C 5P P B ====. 事件A 与B 相互独立，A 与B 相互独立，则AB 表示事件“甲选中3号歌手，且乙没选中3号歌手”.224()()()()[1()]3515P AB P A P B P A P B ∴=⋅=⋅-=⨯=.即观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率是415.（2）设C 表示事件“观众丙选中3号歌手”，则()2435C 3C 5P C ==，依题意，,,A B C 相互独立，,,A B C 相互独立，且,,ABC ABC ABC ABC 彼此互斥.又(2)(()()P X P ABC P ABC P ABC ==++.2322231333335535535575=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，()()23318335575P X P ABC ===⨯⨯=，()()()331817223757525P X P X P X ∴==+==+=….17.解：（1）由频率分布直方图可得0.040.080.200.260.040.021a a b ++++++++=，又0.4a b =，则0.15,0.06a b ==，该市居民用水的平均数估计为：0.50.04 1.50.08 2.50.15 3.50.20 4.50.26x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯5.50.15 6.50.067.50.048.50.02 4.07+⨯+⨯+⨯+⨯=；（2）由频率分布直方图可得，月均用水量不超过2吨的频率为：0.040.080.12+=，则月均用水量不低于2吨的频率为：10.120.88-=，所以全市40万居民中月均用水量不低于2吨的人数为：400.8835.2⨯=（万）；（3）由频率分布直方图知月均用水量不超过6吨的频率为：0.88，月均用水量不超过5吨的频率为0.73，则85%的居民每月的用水量不超过的标准x （吨），56x <<，()0.730.1550.85x ∴+-=，解得 5.8x =，即标准为5.8吨.18.解：PA ⊥ 平面,ABCD CD ⊂平面,ABCD PA CD ∴⊥，又四边形ABCD 是矩形，CD DA ∴⊥，,DA PA A CD ⋂=∴⊥ 平面PAD ，AM ⊂ 平面,PAD CD AM ∴⊥，又M 是PD 的中点，4,PA AD AM PD ==∴⊥，CD PD D ⋂= ，所以AM ⊥平面PCD（2）解： 底面ABCD 是矩形，CD ∴∥,BA ∴异面直线CD 与BM 所成角即为直线BA 与直线BM 所成的角，由（1）得CD ⊥平面,PAD BA ∴⊥平面PAD ，AM ⊂ 平面,,PAD BA AM BAM ∴⊥∴ 为直角三角形，又M 是PD 的中点，4,PA AD AM ==∴=∴在Rt BAM 中，ABM ∠即为异面直线CD 与BM 所成角，故tan AM ABM AB ∠==，∴异面直线CD 与BM .（3）解：取AD 中点为N ，连接,MN AC ，在PAD 中，,M N 分别为线段,PD AD 的中点，故MN ∥1,22PA MN PA ==，PA ⊥ 平面,ABCD MN ∴⊥平面ABCD ，118323M ACD V MN AD CD -∴=⨯⨯⨯⨯=，由（1）得AM ⊥平面,PCD MC ⊂ 平面,PCD AM MC ∴⊥，4,PA AD PD MD ==∴== ，又2,AB CD MC ==∴=，12AMC S AM MC ∴=⨯⨯= 设点D 到平面AMC 的距离为h ，直线CD 与平面ACM 所成角为θ，则1833D AMC AMC M ACD V h S V --=⨯⨯== ，解得：h =，故sin h CD θ==，所以直线CD 与平面ACM19.解：（1）由于3z =，故r z ===则111π11πi cos sin 266z ⎫⎫=-=+⎪⎪⎪⎭⎭；（2）设模为1的复数为cos isin z θθ=+，则()()()333223(cos isin )cos 3cos isin 3cos (isin )(isin )z θθθθθθθθ=+=+⋅+⋅+()3223cos i 3cos sin 3cos sin isin θθθθθθ=+⋅--()()3223cos 3cos sin i 3cos sin sin θθθθθθ=-+⋅-()()3223cos 3cos 1cos i 31sin sin sin θθθθθθ⎡⎤⎡⎤=--+--⎣⎦⎣⎦()()334cos 3cos i 3sin 4sin θθθθ=-+-由复数乘方公式可得3cos3isin3,z θθ=+故33sin33sin 4sin,cos34cos 3cos θθθθθθ=-=-；（3）首先证明：()()11cos cos 120cos 120cos cos cos 0;22θθθθθθθθ+++-=---= 由于3cos34cos 3cos θθθ=-，则34cos cos33cos θθθ=+，则()()4213134cos cos3cos 3cos cos4cos21cos2cos42cos22222θθθθθθθθθ=+=+++=++，故()41cos cos44cos238θθθ=++，则可得()()()41cos 120cos 44804cos 224038θθθ⎡⎤+=++++⎣⎦ ()()1cos 41204cos 212038θθ⎡⎤=++-+⎣⎦ ，()()()41cos 120cos 44804cos 224038θθθ⎡⎤-=-+-+⎣⎦ ()()1cos 41204cos 212038θθ⎡⎤=-+++⎣⎦ ，所以()()444cos cos 120cos 120θθθ+++- ()()()11cos44cos23cos 41204cos 2120388θθθθ⎡⎤=+++++-+⎣⎦ ()()1cos 41204cos 212038θθ⎡⎤+-+++⎣⎦ ()()()119cos4cos 4120cos 4120cos2cos 2120cos{120]828θθθθθθθ⎡⎡⎤=+++-++-++⎢⎣⎦⎣119900=⨯+⨯+= 8288。