高等数学导数、微分、不定积分公式
微积分基本公式与计算
微积分基本公式与计算微积分是数学中的一个分支，研究的是函数的变化、变化率和积分运算。
微积分的基本公式是指在微积分的基础知识中常用的、基础性的公式和计算方法。
下面将介绍微积分中的基本公式与计算方法。
1.导数公式导数是函数在其中一点上的变化率，描述了函数沿着自变量的变化速率。
常用的导数公式如下：（1）常数函数的导数为0：d(c)/dx = 0，其中c为常数。
（2）幂函数的导数为幂次与系数的乘积：d(x^n)/dx = nx^(n-1)，其中n为实数。
（3）指数函数的导数为函数自身与底数的乘积：d(a^x)/dx = ln(a) * a^x，其中a为底数。
（4）对数函数的导数为导数值与函数自身的倒数的乘积：d(log_a(x))/dx = 1/(x * ln(a))，其中a为对数的底数。
2.求导法则求导法则是指求导数时常用的一些运算规则。
常用求导法则如下：（1）和差法则：d(u ± v)/dx = du/dx ± dv/dx，其中u和v是两个函数。
（2）乘积法则：d(uv)/dx = u * dv/dx + v * du/dx，其中u和v是两个函数。
（3）商法则：d(u/v)/dx = (v * du/dx - u * dv/dx) / v^2 ，其中u和v是两个函数，v≠0。
（4）链式法则：如果函数y = f(u)和u = g(x)有关系，那么y对x 的导数可以表示为：dy/dx = dy/du * du/dx。
3.积分公式积分是导数的逆运算，是计算函数在一个区间上面积的方法。
常用的积分公式如下：（1）不定积分的基本公式：∫f(x)dx = F(x) + C，其中F'(x) = f(x)，C为常数。
（2）定积分的基本公式：∫[a, b]f(x)dx = F(b) - F(a)，其中F'(x) = f(x)。
（3）换元积分法：根据函数的复合结构，选择适当的变量替换，使得被积函数简化，然后再进行积分。
大学数学微积分公式推导
大学数学微积分公式推导微积分是数学的重要分支，运用于各个科学领域和工程学中。
微积分公式的推导过程对于研究和理解微积分的基本概念和方法非常重要。
本文将从基本的微分和积分开始，推导一些常见的微积分公式。
1. 导数公式推导1.1 基本函数的导数1.1.1 常数函数的导数推导常数函数f(x) = C的导数为f'(x) = 0。
1.1.2 幂函数的导数推导幂函数f(x) = x^n的导数为f'(x) = n * x^(n-1)。
1.1.3 指数函数的导数推导指数函数f(x) = a^x的导数为f'(x) = a^x * ln(a)。
1.1.4 对数函数的导数推导对数函数f(x) = ln(x)的导数为f'(x) = 1 / x。
1.2 导数的基本性质1.2.1 和差法则若f(x)和g(x)都可导，则(f(x) ± g(x))' = f'(x) ± g'(x)。
1.2.2 数乘法则若f(x)可导，k是常数，则(k * f(x))' = k * f'(x)。
1.2.3 乘法法则若f(x)和g(x)都可导，则(f(x) * g(x))' = f'(x) * g(x) + f(x) * g'(x)。
1.2.4 商法则若f(x)和g(x)都可导且g(x) ≠ 0，则(f(x) / g(x))' = (f'(x) * g(x) -f(x) * g'(x)) / (g(x))^2。
2. 积分公式推导2.1 基本函数的不定积分2.1.1 幂函数的不定积分推导幂函数f(x) = x^n的不定积分为F(x) = (1 / (n + 1)) * x^(n + 1) + C。
2.1.2 正弦函数的不定积分推导正弦函数f(x) = sin(x)的不定积分为F(x) = -cos(x) + C。
高等数学微积分笔记
第一章 函数、极限和连续§ 函数一、 主要内容 ㈠ 函数的概念1. 函数的定义: y=f(x), x ∈D定义域: D(f), 值域: Z(f).2.分段函数: ⎩⎨⎧∈∈=21)()(D x x g D x x f y3.隐函数: F(x,y)= 04.反函数: y=f(x) → x=φ(y)=f -1(y)y=f -1(x)定理:如果函数: y=f(x), D(f)=X, Z(f)=Y 是严格单调增加(或减少)的； 则它必定存在反函数：y=f -1(x), D(f -1)=Y, Z(f -1)=X且也是严格单调增加(或减少)的。
㈡ 函数的几何特性1.函数的单调性: y=f(x),x ∈D,x 1、x 2∈D 当x 1＜x 2时,若f(x 1)≤f(x 2),则称f(x)在D 内单调增加( )；若f(x 1)≥f(x 2),则称f(x)在D 内单调减少( )；若f(x 1)＜f(x 2),则称f(x)在D 内严格单调增加( )；若f(x 1)＞f(x 2),则称f(x)在D 内严格单调减少( )。
2.函数的奇偶性：D(f)关于原点对称 偶函数：f(-x)=f(x) 奇函数：f(-x)=-f(x)3.函数的周期性：周期函数：f(x+T)=f(x), x ∈(-∞，+∞) 周期：T ——最小的正数4.函数的有界性： |f(x)|≤M , x ∈(a,b) ㈢ 基本初等函数1.常数函数： y=c ， (c 为常数)2.幂函数： y=x n, (n 为实数)3.指数函数： y=a x, (a ＞0、a ≠1) 4.对数函数： y=log a x ,(a ＞0、a ≠1) 5.三角函数： y=sin x , y=con xy=tan x , y=cot x y=sec x , y=csc x6.反三角函数：y=arcsin x, y=arccon x y=arctan x, y=arccot x ㈣ 复合函数和初等函数1.复合函数： y=f(u) , u=φ(x)y=f[φ(x)] , x ∈X2.初等函数:由基本初等函数经过有限次的四则运算（加、减、乘、除）和复合所构成的，并且能用一个数学式子表示的函数§ 极 限一、 主要内容 ㈠极限的概念1. 数列的极限: A y n n =∞→lim 称数列{}n y 以常数A 为极限;或称数列{}n y 收敛于A.定理: 若{}n y 的极限存在⇒{}n y 必定有界. 2.函数的极限：⑴当∞→x 时，)(x f 的极限：A x f A x f A x f x x x =⇔⎪⎪⎭⎫==∞→+∞→-∞→)(lim )(lim )(lim ⑵当0x x→时，)(x f 的极限：A x f xx =→)(lim 0左极限：A x f x x =-→)(lim 0右极限：A x f x x =+→)(lim 0⑶函数极限存的充要条件： 定理：A x f x f A x f x x x x x x ==⇔=+-→→→)(lim )(lim )(lim㈡无穷大量和无穷小量 1．无穷大量：+∞=)(limx f称在该变化过程中)(x f 为无穷大量。
高等数学笔记(含数一内容)
隐函数求导
参数方程确定的函数求导
分段函数求导
先讨论关键点是否连续，确定连续后再判断函数各个部分是否可导。
求函数高阶导
一般使用数学归纳法解决。
微分
可微
定义：设y=f(x) (x∈D)，x₀∈D。若∆y=A∆x+৹(∆x)，则称f(x)在x=x₀处可微。
性质
可微一定可导，可导一定可微（充要条件）
若∆y=A∆x+৹(∆x)，则A=f'(x₀)，即dy∣₍x=x₀₎=f'(x₀)dx
二阶线性微分方程解的结构 齐+齐=齐 齐 + 非齐 = 非齐 非齐 + 非齐 = 齐 （拆解性质）对于方程**，若f(x)=f1(x)+f2(x)（即可拆成两部分），则分别构造两个二阶非齐次线性微分方程，且φ1(x)，φ2(x)分别为它们的特解，则 有原方程特解为：
y=φ1(x)+φ2(x) （系数和的特点）设φ1(x)，φ2(x)，...，φn(x)，为方程**的解，则通解的组合形式为y=k1φ1(x)+k2φ2(x)+...+knφn(x) 若y为方程*的通解，则k1+k2+...+kn=0（系数和为0） 若y为方程**的通解，则k1+k2+...+kn=1（系数和为1） （二阶常系数线性微分方程通解形式推导定理）
函数f(x)∈ c【a，b】的性质（函数在区间内恒连续）
性质1：∃最大值 M 和最小值 m （最值）； 性质2：∃M₀>0，使得∣f(x)∣≤M₀（有界）；
性质3： ∀η ∈【m，M】，∃ξ∈【a，b】，使得f(ξ)=η（介值定理）；
性质4：若 f(a)*f(b)<0，则∃c∈(a，b)，使得f(c)=0（零点定理）。 连续函数的运算
积分、微分公式
第三章导数与微分第二节求导法则及基本求导公式1．导数的四则运算若均为可导函数，则，，.2．复合函数求导法则设函数在某一点有导数，而函数在对应点有导数，则复合函数在该点也有导数，并且它等于导数的乘积，即3.反函数求导法则设函数在某一区间单调、连续，又在该区间内一点处导数存在且不为零，则反函数在对应点处存在导数，且有1．隐函数求导法则设函数在点的某一邻域内具有连续偏导数，，且，则存在着唯一一个函数，它在点的某一邻域内单值连续，恒能满足方程=0，即并且满足条件，在该领域内具有连续导数2．基本求导公式（1），；（2），；（3），；（4），；，；（5），；，；（6）,;（7），；（8），；（9），；（10），；（11），；（12），；（13），；（14），；（15），.第五章积分第一节不定积分1．定义已知定义在某一区间上的一个函数，如果有这样的函数，使得在已知区间上的任何一点都有或，具有这样性质的函数，称为函数的原函数.函数的所有原函数的全体叫做函数的不定积分，记作叫做被积函数，称为积分变量.2．不定积分的性质（1）；（2）；（3）（C为常数，）.3．常用不定积分表（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）；（11）；；（12）；（13）；（14）；（15）；（16）；（17）；（18）；（19）；4．基本积分方法（1）第一换元法若有中间变量，使，而关于变量具有原函数，则. （2）第二换元法直接引入自变量代换。
且可导，，则。
（3）分部积分法设函数具有连续导数，则.。
微分积分公式大全总汇
微分积分公式大全总汇一、微分公式1.导数的定义：若函数f（x）在点x0处可导，那么导数f’（x）在点x0处的定义是f’（x0）=lim（h→0）[f（x0+h）-f（x0）]/h可以用导数定义计算一些特殊函数的导数。
2.基本导数法则：（1）常数导数法则：d（c）/dx=0，其中c为常数。
（2）幂函数导数法则：d（x^n）/dx=nx^(n-1)，其中n为实数。
（3）指数函数导数法则：d(e^x)/dx=e^x。
（4）对数函数导数法则：d(lnx)/dx=1/x。
3.四则运算法则：（1）和差法则：[f(x)+g(x)]’=f’(x)+g’(x)，[f(x)-g(x)]’=f’(x)-g’(x)。
（2）乘积法则：[f(x)g(x)]’=f’(x)g(x)+f(x)g’(x)。
（3）商法则：[f(x)/g(x)]’=[f’(x)g(x)-f(x)g’(x)]/g(x)^2 4.链式法则：如果想对复合函数y=f[g(x)]求导数，可以使用链式法则来计算。
dy/dx=dy/du * du/dx，其中u=g(x)。
5.高阶导数：若函数f(x)的n阶导数f^(n)(x)存在，则(f^(n)(x))’=f^(n+1)(x)。
高阶导数可以用来描述曲线的曲率和弯曲程度。
二、积分公式1.不定积分的定义：若函数F’（x）=f（x），那么F（x）称为函数f（x）的一个原函数，记作F（x）=∫f（x）dx。
在求不定积分时，需要注意加上积分常数C。
2.基本积分法则：（1）幂函数积分法则：∫x^n dx=x^(n+1)/(n+1)+C，其中n≠-1（2）指数函数积分法则：∫e^x dx=e^x+C。
（3）对数函数积分法则：∫1/x dx=ln，x，+C。
（4）三角函数积分法则：∫sinx dx=-cosx+C，∫cosx dx=sinx+C。
3.分部积分法：若u=u（x），v=v（x）是可导函数，那么（uv）’=u’v+uv’对上述等式两边进行不定积分，可以得到分部积分公式：∫u d(v)=uv - ∫v d(u)4.替换积分法（换元积分法）：设u=g(x)是可导的，可逆函数，如果f(g(x))g’(x)能积出表达式，也就是∫f(g(x))g’(x)dx能由∫f(u)du表示，那么可进行替换积分，即∫f(g(x))g’(x)dx=∫f(u)d u。
导数微分不定积分公式
一、导数的概念及其计算1．导数的概念函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量x ∆，那么函数y 相应地有增量y ∆=f （x 0+x ∆）－f （x 0），比值xy∆∆叫做函数y=f （x ）在x 0到x 0+x ∆之间的平均变化率，即xy ∆∆=x x f x x f ∆-∆+)()(00。
如果当0→∆x 时，xy∆∆有极限，我们就说函数y=f(x)在点x 0处可导，并把这个极限叫做f （x ）在点x 0处的导数，记作f’（x 0）或y’|0x x =。
即f （x 0）=0lim→∆x x y∆∆=0lim →∆x x x f x x f ∆-∆+)()(00。
说明：（1）函数f （x ）在点x 0处可导，是指0→∆x 时，x y ∆∆有极限。
如果xy∆∆不存在极限，就说函数在点x 0处不可导，或说无导数（2）x ∆是自变量x 在x 0处的改变量，0≠∆x 时，而y ∆是函数值的改变量，可以是零。
由导数的定义可知，求函数y=f （x ）在点x 0处的导数的步骤： （1）求函数的增量y ∆=f （x 0+x ∆）－f （x 0）；（2）求平均变化率xy ∆∆=x x f x x f ∆-∆+)()(00；（3）取极限，得导数f’(x 0)=xyx ∆∆→∆0lim 。
2．导数的几何意义函数y=f （x ）在点x 0处的导数的几何意义是曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0）） 处的切线的斜率。
也就是说，曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率是f’（x 0）。
相应地，切线方程为y －y 0=f /（x 0）（x －x 0）。
3．常见函数的导出公式．（１）0)(='C （C 为常数） （２）1)(-⋅='n nxn x（３）x x cos )(sin =' （４）x x sin )(cos -='4．两个函数的和、差、积的求导法则法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)， 即： (.)'''v u v u ±=±法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即：.)('''uv v u uv +=若C 为常数,则'''''0)(Cu Cu Cu u C Cu =+=+=.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数：.)(''Cu Cu =法则3两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方：⎪⎭⎫⎝⎛v u ‘=2''v uv v u -（v ≠0）。
考研日历之高等数学的公式大全
高等数学的公式大汇总一元函数的极限与连续包括：一些初等函数公式极限连续公式如下：1、 一些初等函数公式：sin()sin cos cos sin cos()cos cos sin sin tan tan tan()1tan tan cot cot 1cot()cot cot ()()sh sh ch ch sh ch ch ch sh sh αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαββααβαβαβαβαβαβ±=±±=±±=⋅⋅±=±±=±±=±m m m 和差角公式：sin sin 2sincos22sin sin 2cos sin22cos cos 2cos cos22cos cos 2sin sin22αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ+-+=+--=+-+=+--=和差化积公式： 1sin cos [sin()sin()]21cos sin [sin()sin()]21cos cos [cos()cos()]21sin sin [cos()cos()]2αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ=++-=+--=++-=+--积化和差公式：2222222222sin 22sin cos cos 22cos 112sin cos sin 2tan tan 21tan cot 1cot 22cot 22212 21sh sh ch ch sh ch ch sh αααααααααααααααααααααα==-=-=-=--===+==-=+倍角公式：22222222sin cos 1;tan 1sec ;cot 1csc ;1sin 2cos 21cos sin tan 2sin 1cos 1cos sin cot2sin 1cos x x x x ch x sh x αααααααααααααα+=+=+=-===-===++===-半角公式： ::ln(2::ln(211::ln21x xx xx x x x e e shx arshx x e e chx archx x shx e e xthx arthx chx e e x-----==++==±+-+===+-双曲正弦；反双曲正弦双曲余弦；反双曲余弦双曲正切；反双曲正切3322()()()a b a b a ab b ±=±+m ，222(1)(21)126n n n n +++++=L22333(1)124n n n ++++=L2、极限➢ 常用极限：1,lim 0n n q q →∞<=;1n a >=;1n =➢ ln(1())limln(1())~()()lim[()()]1/()()0,(),lim[1()]f x f x f xg x f x g x g x f x g x f x ee ++±→→∞±=−−−−−−→若则➢ 两个重要极限100sin sin 1lim 1,lim 0;lim(1)lim(1)x x x x x x x x e x x x x→→∞→∞→==+==+ ➢:常用等价无穷小2111cos ~; ~sin ~arcsin ~arctan 1~;2 1~ln ; ~1;(1)~1; ln(1)~x x a x x x x x x x n a x a e x x ax x x--++++3、连续：定义：000lim 0;lim ()() x x x y f x f x ∆→→∆==00lim ()lim ()()()x x x x f x f x f x f x -+-+→→⇔==极限存在或 导数与微分1、 基本导数公式：00000000()()()()()limlim lim tan x x x x f x x f x f x f x yf x x x x x α∆→∆→→+∆--∆'====∆∆-_0+0()()f x f x -+''⇔=导数存在1220; (); (sin )cos ; (cos )sin ; (tan )sec ; (cot )csc ;(sec )sec tan ; (csc )csc ; ()ln ;();11(log ); (ln ); (arcsin ) (arccos )ln a a x x x x a C x ax x x x x x x x x x x x x x ctgx a a a e e x x x x x a x -''''''======-''''=⋅=-⋅==''''====222211(arctan ); (cot ); ();();1111(); () ())1x arc x shx hx chx shx x x thx arshx archx arthx ch x x ''''==-==++''''====-2、高阶导数：()()()()!()()!; ()ln ()()!n k n k n n x n x n x n x n x x x n a a a e e n k -=⇒==⇒=-()()()1111(1)!1(1)!1!(); (); ()()()n n n n n n n n n n n x x x a x a a x a x +++--===++-- ()()(sin )sin(); (cos )cos();22n n n n kx k kx n kx k kx n ππ=⋅+⋅=⋅+⋅()1()(1)1(1)!1(1)[ln()]()(1)()n n n n n n nn n a x x a x x x-----+=-⇒==-+ 牛顿-莱布尼兹公式：()()()0()(1)(2)()()()()(1)(1)(1)2!!nn k n k k n k n n n n k k n uv C u v n n n n n k u v nu v u v u v uv k -=---=---+'''=++++++∑L L L3、微分：0()()(); =()();y f x x f x dy o x dy f x x f x dx ''∆=+∆-=+∆∆=⇒⇔⇒连续极限存在收敛有界;=⇔⇔⇒可微可导左导右导连续；⇒不连续不可导微分中值定理与微分的应用1、基本定理()()()(),(,)()()(),(,)()()()F()f b f a f b a a b f b f a f a b F b F a F x x ξξξξξ'-=-∈'-=∈'-=拉格朗日中值定理：柯西中值定理：当时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。
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一、基本导数公式：
()()()()()()()()()()()()(
)(
)()'
'1
'
'
'
'
'
'
'2
'
2
'
'
''
'
2
1.2.3.ln 4.1
5.log ln 1
6.ln
7.sin cos
8.cos sin
9.tan sec 10.cot csc 11.sec sec tan 12.csc csc cot 1
13.arcsin 114.arccos 115.arctan 11n n x x
x x
a kx k
x
nx a a a e e
x x a x x
x x x x x x
x
x x x x x x x x x x -=====
=
==-==-==-=
=-
=
+()'
2
16.a cot 1rc x =-
+
二、基本微分公式：
()()()()()()()()()()()()(
)()1221.2.3.ln 4.1
5.ln 1
6.log ln
7.sin cos
8.cos sin
9.tan sec 10.cot csc 11.sec sec tan 12.csc csc cot 1
13.arcsin 14.arccos n n x x x x a d kx k
d x nx dx d a a adx d
e e dx d x dx
x d x dx
x a
d x xdx d x xdx d x xdx d x xdx d x x xdx d x x xdx d x dx
d x -========-==-==-=
()()2
2
1
1
15.arctan 11
16.cot 1dx
d x dx x
d arc x dx x
=-=+=-+
三、不定积分基本公式：
11.2.1
3.1
4.ln 1
5.ln ||
6.sin cos
7.cos sin
8.tan ln |cos |
9.cot ln |sin |10.csc ln |csc cot |11.sec ln |sec tan |n n x x x
x
kdx kx c
x
x dx c
n e dx e c a dx a c
a
dx x c x
xdx x c xdx x c xdx x c
xdx x c
xdx x x c
xdx x x c
+=+=++=+=+=+=-+=+=-+=+=-+=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰
⎰⎰⎰⎰⎰
2
2
32121311xdx x c
x dx x c
dx c
x x =+=+=-+⎰⎰⎰
222
22
22
22
1
12.c cot sin 1
13.sec tan cos
114.arctan 11
15.arcsin
16.sec tan
sec 17.csc cot csc 118.arctan 119.ln ||220.dx cs xdx x c
x dx xdx x c x
dx x c x dx x c
x xdx x c x xdx x c
dx x c x a a a dx x a c x a a x a dx ==-+==+=++=+=+=-+=++-=+-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰arcsin 21.ln ||22.ln ||x c
a dx
x c
x c =+=++=++⎰⎰⎰
(
)2
21ln 112x dx x c x =+++⎰ 21
arctan 1dx x c x =++⎰
四、特殊的三角函数值：
五、三角函数的和差化积公式：
sin sin 2sin
cos
22
sin sin 2cos .sin
22cos cos 2cos .cos
22cos cos 2sin .sin
22
αβ
αβ
αβαβαβ
αβαβαβαβαβαβ
αβ+-+=⋅+--=+-+=+--=
六、三角函数的积化和差公式：
()()1sin cos sin sin 2αβαβαβ⋅=++-⎡⎤⎣⎦ ()()1cos sin sin sin 2αβαβαβ⋅=+--⎡⎤⎣⎦ ()()1cos cos cos cos 2αβαβαβ⋅=++-⎡⎤⎣⎦ (
)()1sin sin cos cos 2αβαβαβ⋅=+--⎡⎤⎣⎦ 幂的公式:
21cos 2sin 2
a
α-=
21cos 2cos 2
α
α+=
七、万能公式：
令 tan 2
x t = 则x=2arctant 2
2
1dx dt t =
+ 2
2222sin cos 2tan
2222sin 2sin cos 221sin cos 1tan 222
x x x x x t x x x t α====+++ 2
2222222
cos sin 1tan 1222cos 1cos sin 1tan 222
x x
x
t x x x x t ---=
==+++ 2
22tan
22tan 11tan 2
x t x x t ==-- 八、平方关系：
222
2
22sin cos 11tan sec 1cot csc αβαααα
+=+=+=
九、导数关系：
tan .cot 1sin .csc 1cos .sec 1
αααααα===
十、商的关系：
sin sec tan cos csc αα
ααα==
csc csc cot sin sec αα
ααα
==。