7.等腰梯形的性质与判定
等腰梯形的概念
等腰梯形的概念什么是等腰梯形等腰梯形是一种特殊的梯形，它的两边是等长的并平行，而梯形的两条非平行的边则不相等。
等腰梯形具有一些特殊的性质和几何关系，它在数学和几何学中有着重要的应用和意义。
等腰梯形的性质和特点1.等腰梯形的两条斜边（非平行边）相等，记作AB = CD。
2.等腰梯形的两个底角（底边和斜边之间的角）相等，记作∠BAD = ∠CDA。
3.等腰梯形的对角线（连接两条非平行边的线段）相等，记作AC = BD。
4.等腰梯形的对角线平分底角，即∠DAC = ∠DCA，并且∠CAB = ∠BCD。
5.等腰梯形的顶角（两个斜边之间的角）是锐角或直角。
6.等腰梯形的面积可以通过底边的长度、顶边的长度和高的长度来计算，公式为S = (a + b) * h / 2，其中a和b分别表示底边和顶边的长度，h表示高的长度。
等腰梯形的应用1.建筑设计中，等腰梯形的结构可以用于楼梯的设计和斜坡的设计，在满足安全要求的前提下，使楼梯或斜坡的结构更加稳定。
2.生活中，等腰梯形的概念和性质也可以应用于各种日常事物的设计和制作，比如等腰梯形的砧板、等腰梯形的餐桌等等。
如何构造等腰梯形构造一个等腰梯形的过程如下： 1. 首先，画出一个矩形，并标出矩形的两个对角线。
2. 然后，以矩形的两个对角线为边，画出两个边长相等的直角三角形。
3. 最后，将两个直角三角形的一个顶点相连接，即可构造出一个等腰梯形。
等腰梯形的例题分析例题1：已知等腰梯形中，顶角的度数是60°，底边长度为6cm，求顶边长度和面积。
解：根据等腰梯形的性质，底角的度数也是60°。
设等腰梯形的顶边长度为x，则根据三角形的内角和为180°，可得底角的度数为180° - 60° - 60° = 60°。
根据三角形的正弦定理，可得xsin60°=6sin60°。
化简得x=√32=√3=4√3。
初中数学 什么是等腰梯形和等边梯形的性质
初中数学什么是等腰梯形和等边梯形的性质等腰梯形和等边梯形是初中数学中的重要概念。
它们是特殊的梯形，具有一些独特的性质。
在本文中，我们将详细讨论等腰梯形和等边梯形的定义、性质以及它们之间的关系。
一、等腰梯形的定义和性质：1. 等腰梯形的定义：等腰梯形是指具有两条腰相等的梯形。
在等腰梯形中，两边平行的边叫做底边和顶边，两边不平行的边叫做腰。
2. 等腰梯形的性质：- 等腰梯形的两个底角相等，两个顶角相等。
- 等腰梯形的对角线长度相等。
- 等腰梯形的中线平行于底边，且中线长度等于底边长度的一半。
二、等边梯形的定义和性质：1. 等边梯形的定义：等边梯形是指具有四条边都相等的梯形。
在等边梯形中，两边平行的边叫做底边和顶边，两边不平行的边叫做腰。
2. 等边梯形的性质：- 等边梯形的两个底角相等，两个顶角相等。
- 等边梯形的对角线长度相等。
- 等边梯形的中线平行于底边，且中线长度等于底边长度的一半。
三、等腰梯形和等边梯形的关系：等腰梯形和等边梯形都是特殊的梯形，它们具有一些共同的性质。
事实上，等边梯形是等腰梯形的一种特殊情况，即两个腰的长度相等。
通过等腰梯形和等边梯形的性质，我们可以解决一些与其相关的问题，例如计算等腰梯形或等边梯形的周长和面积。
对于等腰梯形，我们可以通过以下公式来计算其周长和面积：- 周长= 底边长度+ 两个腰的长度之和+ 顶边长度；- 面积= (底边长度+ 顶边长度) × 高的一半。
对于等边梯形，我们可以通过以下公式来计算其周长和面积：- 周长= 底边长度× 2 + 两个腰的长度之和；- 面积= (底边长度+ 顶边长度) × 高的一半。
通过以上的讨论，我们可以看到等腰梯形和等边梯形具有一些独特的性质，它们的定义和性质对于我们理解和解决与梯形相关的问题具有重要的意义。
在数学学习中，我们可以通过举一些具体的例题来加深对等腰梯形和等边梯形的理解和应用。
初二第7讲 梯形
第七讲 梯形、多边形、中心对称图形一、知识梳理1．梯形的定义：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形． 2．特殊梯形的定义：（1）等腰梯形：两腰相等的梯形． （2）直角梯形：一腰垂直于底的梯形． 3．等腰梯形的性质：（1）从角看：等腰梯形同一底上的两个内角相等； （2）从边看：等腰梯形两腰相等；（3）从对角线看：等腰梯形两条对角线相等． 4．等腰梯形的判定：（1）两条腰相等的梯形是等腰梯形．（2）在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形． （3）对角线相等的梯形是等腰梯形． 5、梯形的中位线定理：梯形的中位线平行于两底且等于两底和的一半。
逆定理：经过梯形一腰的中点平行于两底的直线平分另一腰。
6、梯形辅助线的添加方法：7、多边形：(1)．多边形的定义：在平面内，由一些不在同一条直线上的线段首尾顺次相接组成的封 闭图形叫多边形．(2)．多边形内角和定理：n 边形的内角和等于(n-2)·180°． (3)．多边形外角和定理：多边形的外角和等于360°． 8．多边形的对角线(1) 从n 边形的一个顶点出发，可以引(n-3)条对角线，将多边形分成(n-2)个三角形． (2) n 边形共有2)3(-n n 条对角线. 四、中心对称图形：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合．那么这个图形叫作中心对称图形，这个点就是它的对称中心．中心对称图形上的每一对对应点所连成的线段都被对称中心平分。
二、精典题例巧解与点拨 （一）等腰梯形性质的运用 例1．（1）某多边形的内角和与外角和共1080°，则多边形的边数是___________. （2）．________边形的内角和是外角和的2倍； _______边形的内角和与外角和相等． （3）．n 边形的每一个内角都相等，它的一个外角与一个内角的比是1∶3，n 边形的对角线有_____条．例1：如图，梯形ABCD 中，//AB CD ，90ACB ∠=°，且AC 平分BAD ∠，120D ∠=°，CD ＝3cm ，则梯形的周长为________cm ；变式：如图，等腰梯形ABCD 中，CD AB //，BC AD DC ==，且对角线AC 垂直于腰BC ，求梯形的各个内角．（二）考查等腰梯形的判定条件例1：在梯形ABCD 中，AD//BC, E 为BC 中点，EF ⊥A B ，EG ⊥CD ，EF=EG. 求证：梯形ABCD 为等腰梯形.变式：在梯形ABCD 中，AD//BC ，∠ACB=∠DBC.求证:梯形ABCD 是等腰梯形.（三）考查等腰梯形的常见辅助线的作法 【法一：平移对角线】例2：已知等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AC ⊥BD ，DE ∥AC ，AD=3㎝，BC=7㎝，求BD 的长.和梯形的面积【法二：连接底边顶点与腰中点，构造全等三角形】——【连中点】例3：如图，但E 是梯形ABCD 的腰AD 的中点，且AB+CD=BC ，试说明BE 平分∠ABC.变式1：如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E 是CD 的中点，若△AEB 的面积为S ，则梯形ABCD 的面积为（ ）A.S 25B.2SC.S 47D.S 49变式2：如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且AB+CD=BC ，M 是AD 的中点，求证：BM ⊥CM【有关中位线的应用】例4如图△ABC 中，AB=AC 延长AC 到D ，使CD=AC ，BE 是AC 边中线。
八年级数学等腰梯形的判定1
性质一：等腰梯形同一底上的两个角相等。 性质二：等腰梯形的对角线相等。 逆命题： 同一底上的两个角相等的梯形
是等腰梯形。
逆命题：对角线相等的梯形是等腰梯形。
逆命题： 同一底上的两个角相等的梯形 是等腰梯形。 A D
已知: 在梯形ABCD 中， AD//BC,
∠ B= ∠ C.
B (3) C
（2 ）
3、已知: 在梯形ABCD 中，AD//BC, E为BC中点，EF 垂直 A B， EG垂直CD，EF=EG。 求证： 梯形ABCD为等腰梯形？ A F B E D G C
逆命题：对角线相等的梯形为等腰梯形。
已知: 在梯形ABCD 中， AD//BC,AC=BD
求证： 梯形ABCD为等腰梯形。 A D
∠ACB= ∠DBC.
求证: 梯形ABCD是等腰梯形
A O B C D
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判定一:同一底上的两角相等的梯形为
等腰梯形。
判定二:对角线相等的梯形为等腰梯形.
A B
D C
A B
A B
D
C D C B
A
D
C A B D B
A
D C
C
请各位老师提出宝贵意见
三寸人间 / 三寸人间
求证 : 梯形ABCD为等 腰梯形. (1) (2)
已知:
在梯形ABCD 中，AD//BC, ∠ B= ∠ C.
求证 :
梯形ABCD为等腰梯形.Fra bibliotekA DB
E
C
已知:
在梯形ABCD 中，AD//BC, ∠ B= ∠ C.
求证 :
梯形ABCD为等腰梯形.
A
七年级数学梳理知识点：特殊四边形之梯形
为( )
A．35 cm
B．44 cm
C．34 cm
D．36 cm
A
D
B
C
6．如图所示，已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD，AD＋BC＝10，DE⊥BC于E，
则DE的长为( )
A．4
B．5
C．6
D．7
A
D
B
EC
5
【例3】 如图，在梯形ABCD中，∠B＝52º，∠C＝38º，AD＝6，BC＝10，点E、F分别是AD、BC的 中点，则EF的长度_____。
【例4】 在等腰梯形ABCD中，AD∥BC。如图，若AD＝3，BC＝7，BD＝ 5 2 ， 求证：AC⊥BD；
2
【例5】 已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，E为DC的中点，△BAE的面积为6。则梯形ABCD的
面积为________。 梯形的定义：
3
等腰梯形的性质及判定：
4
在线测试题
温馨提示：请在线作答，以便及时反馈孩子的薄弱环节！
1．下列四边形中，两条对角线一定不相等的是( )。
A．正方形
B．矩形
C．等腰梯形
D．直角梯形
2．等腰梯形的高是腰长的一半,则较小底角为( )。
A．30°
B．45°
C．60°
2020-2021学年七年级数学梳理知识点
特殊四边形之梯形
梯形的定义：
等腰梯形的性质及判定：
1
【例1】 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD＝DC，∠B＝60º。 ⑴求证：AB⊥AC； ⑵若DC＝6，求梯形ABCD的面积。
【例2】 在等腰梯形ABCD中，AD∥BC。如图，若AD＝5，BC＝11，梯形的高为4，求梯形的周 长；
初中数学等腰梯形的性质知识点详解
初中数学等腰梯形的性质知识点详解初中数学等腰梯形的性质知识点详解对于数学的学习中，下面是对等腰梯形的性质知识点的内容讲解，供大家参考学习。
等腰梯形的性质①两底平行，两腰相等②等腰梯形在同一底上的两个角相等③等腰梯形的两条对角线相等④等腰梯形是轴对称图形，只有一条对称轴，一底的垂直平分线是它的对称轴通过上面对数学中等腰梯形的性质知识点的内容讲解学习，相信同学们已经能很好的掌握了吧，希望同学们会从中学习的更好。
初中数学相关的角与性质知识点详解对于数学的学习中，下面是对相关的角与性质知识点的内容讲解，供大家参考学习。
相关的角与性质相关的角：1、对顶角：一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这两个角叫做对顶角。
2、互为补角：如果两个角的和是一个平角，这两个角做互为补角。
3、互为余角：如果两个角的和是一个直角，这两个角叫做互为余角。
4、邻补角：有公共顶点，一条公共边，另两条边互为反向延长线的两个角做互为邻补角。
注意：互余、互补是指两个角的数量关系，与两个角的位置无关，而互为邻补角则要求两个角有特殊的位置关系。
角的性质1、对顶角相等。
2、同角或等角的余角相等。
3、同角或等角的补角相等。
通过上面对数学中相关的角与性质知识点的内容讲解学习，相信同学们已经能很好的掌握了吧，希望同学们会从中学习的更好。
初中数学菱形的定义与性质知识点详解下面是老师对数学中菱形的定义与性质相关知识讲解，希望给同学们的复习学习提供很好的帮助。
菱形的定义与性质1、定义：邻边相等的平行四边形是菱形。
2、性质：（1）菱形的四边形都相等。
（2）菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角，（3）菱形的面积等于对角线乘积的一半。
（4）菱形既是中心对称图形，又是轴对称图形，有2条对称轴。
相信上面对数学中菱形的定义与性质知识的讲解学习，同学们已经能很好的掌握了吧，希望同学们在考试中取得优异成绩。
初中数学梯形定义知识点详解下面是老师对数学中梯形定义相关知识讲解，希望给同学们的复习学习提供很好的帮助。
等腰梯形与菱形等腰梯形与菱形的性质与判断方法
等腰梯形与菱形等腰梯形与菱形的性质与判断方法等腰梯形和菱形是几何中的两种特殊多边形，它们具有各自独特的性质和判断方法。
下面将详细介绍等腰梯形和菱形的性质以及如何进行判断。
一、等腰梯形的性质与判断方法等腰梯形是指具有两个底边平行的梯形，其中两个非平行边相等。
等腰梯形的性质如下：1. 两个底边平行：等腰梯形的两个底边是平行的，这是等腰梯形与其他梯形的区别之一。
2. 两个非平行边相等：等腰梯形的两个非平行边相等，相等的两边称为等腰梯形的腰。
3. 对角线相等：等腰梯形的两条对角线相等，即两条腰的中点连线相等。
判断一个四边形是否为等腰梯形，可以使用以下方法：1. 判断两个底边是否平行：通过测量两个底边的长度，如果长度相等且相对应的边平行，则可以确定为等腰梯形。
2. 判断两个非平行边是否相等：通过测量两个非平行边的长度，如果长度相等，则可以确定为等腰梯形。
3. 判断对角线是否相等：通过测量两条对角线的长度，如果长度相等，则可以确定为等腰梯形。
二、菱形的性质与判断方法菱形是指具有四个边相等的四边形，它的特点是所有角均为直角。
菱形的性质如下：1. 四个边相等：菱形的四条边长度相等，这是菱形与其他四边形的区别之一。
2. 所有角均为直角：菱形的四个角都是直角，即每个角的度数为90°。
3. 对角线相等且垂直平分：菱形的两条对角线相等且互相垂直平分，即对角线的交点是菱形的中心点，并且将菱形分成四个全等的三角形。
判断一个四边形是否为菱形，可以使用以下方法：1. 判断四条边是否相等：通过测量四条边的长度，如果长度相等，则可以确定为菱形。
2. 判断对角线是否相等：通过测量两条对角线的长度，如果长度相等，则可以确定为菱形。
3. 判断是否为直角菱形：除了判断边的长度是否相等外，还需判断是否有四个角都是直角。
综上所述，等腰梯形与菱形具有各自独特的性质与判断方法。
通过测量边长和角度，我们可以准确判断一个四边形是等腰梯形还是菱形。
等腰梯形的性质定理和判定定理及其证明
等腰梯形的性质定理和判定定理及其证明等腰梯形是一种特殊的梯形，其两边斜线段长度相等，并且两个底边之间平行。
在等腰梯形中有一些重要的性质定理以及判定定理。
1.等腰梯形的性质定理：性质定理1：等腰梯形的两个底角是相等的。
证明：设等腰梯形ABCD中的底边AB和CD的长度分别为a和b，而斜边AD和BC的长度分别为c和d。
由于等腰梯形定义为两边斜线段长度相等，即c=d，而两个底边之间平行，所以∠CAD=∠BCD，又∠ADC=∠BDC=180°-∠CAD-∠BCD，所以∠ADC=∠BDC，即等腰梯形ABCD 的两个底角是相等的。
性质定理2：等腰梯形的对角线互相垂直且平分对角线之间的角。
证明：设等腰梯形ABCD中的对角线AC和BD相交于点E。
由于等腰梯形的两边斜线段长度相等，所以AE=CE，而AE=BE，故BE=CE。
又由于两个底边之间平行，所以∠ADC=∠BDC，所以∠AEB=180°-∠ADC-∠BDC=180°-∠ADC-(180°-∠AED-∠CED)=∠AED+∠CED。
根据等腰梯形的两个底角相等性质定理，可得∠AED=∠CED，所以∠AEB=2∠AED，即等腰梯形ABCD的对角线互相垂直且平分对角线之间的角。
2.等腰梯形的判定定理：判定定理1：如果一个梯形的两个底角相等，则它是一个等腰梯形。
证明：设梯形ABCD的两个底角∠A和∠D相等。
由于两个底角相等，所以∠CAD=∠BDC。
又由于∠ADC=∠BDC，所以∠ADC=∠CAD。
根据等腰梯形的性质定理1可得等腰梯形ABCD的两个底角相等，即如果一个梯形的两个底角相等，则它是一个等腰梯形。
判定定理2：如果一个梯形的对角线互相垂直且平分对角线之间的角，则它是一个等腰梯形。
证明：设梯形ABCD的对角线AC和BD相交于点E，且互相垂直且平分对角线之间的角。
由于对角线互相垂直，所以∠AEB=90°。
又因为对角线平分对角线之间的角，所以∠AEB=∠BED。
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A
Ｂ
２．如图,等腰梯形ABCD中， AD∥BC, AC⊥BD， AD+BC=10， DE⊥BC于E，求DE的长．
A D
B
E
C
F
5.等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB =CD
∠ DBC＝45○ ,翻折梯形使点B重合于点 D，
折痕分别交边 AB、BC于点F、E，若AD=2，
BC=8，求BE的长．
预习指南
1
B
E
C
它的逆命题是什 么？正确吗？
判定定理1、同一底上的两个 角相等的梯形是等腰梯形
E
A
1
2 D
已知：如图梯形ABCD， AD∥BC，∠B=∠C 求证：梯形ABCD是等腰梯形
1
B
你有其他证明 方法吗？
C
E
性质定理2、等腰梯形的两条对 角线相等 已知：如图等腰梯形ABCD， AD∥BC，AB=CD，求证：AC=BD
总结经验：在等腰梯形中， 常用辅助线有哪几种？
A D
A D
B
C
B
C
A
D
A
D
B
C
B
C
练一练：
如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC， BD⊥DC ，点E是BC边的中点， ED∥AB，则∠BCD等于（ ） 60 A． D． 70 C． 75 30 B．
A D
B
E
C
如图，在梯形ABCD中，AD∥BC， AB＝DC＝AD，∠C＝60°， AE⊥BD于点E，AE＝1，求梯形 ABCD的高为_________
A D
B
C
判定定理2、两条对角线相 等的梯形是等腰梯形
已知：如图梯形ABCD,AD∥BC,AC=BD， 求证：梯形ABCD是等腰梯形
A D
1
B
2 E
F
C
E
命题3、等腰梯形一底的中点 到另一底两端的距离相等
已知：如图等腰梯形ABCD， AD∥BC，AB=CD，M是AD的中点 N是BC的中点 求证：NA=ND 求证：MB=MC D
A E D
B
练一练：
C
如图，在等腰梯形ABCD中,AD∥BC, ∠B=60度，AD=AB.点E.F分别在 AD,AB上，AE=BF，DF与CE相交于 P，则∠ DPE= ．
A F B E D
P C
如图,等腰梯形ABCD中，AB∥DC,对角线
AC平分∠BAD，梯形的周长为4.5cm,下
底AB=1.5cm,求上底CD的长． Ｄ Ｃ
中位线（1）
A
M
D
A
B
C
B
N
C
挑战自我
已知：在△ABC中，AB=AC，BD、CE 是角平分线，求证：四边形EBCD是 A 等腰梯形
E
D
B
2
C
挑战自我
已知：在梯形ABCD中，AD∥BC， AB=DC，M、N分别是AD、BC的中点， AD=3，BC=9，∠B=450， 求证：MN的长 A M D
1
2
B
E
N
F
C
等腰梯形的性质与判定
1、如图，等腰△ABC，AB=AC， 则__________ 2、你能将此等腰三角形剪成等腰 梯形吗？说说你的方法，由此可 以得出等腰梯形的什么性质？
A
D
B
E
C
性质定理1、等腰梯形同一 底上的两底角相等
已知：如图等腰梯形ABCD， AD∥BC，AB=CD，
A D
求证：∠B=∠C