(完整)高中数学复数专题知识点整理和总结人教版,推荐文档

【1】复数的基本概念

（1）形如 a + b i 的数叫做复数（其中 a ，b ∈ R ）；复数的单位为 i ，它的平方等于－1，即 i 2 = -1 .其中a 叫做复数的实部，b 叫做虚部 实数：当 b = 0 时复数 a + b i 为实数虚数：当 b ≠ 0 时的复数 a + b i 为虚数；

纯虚数：当 a = 0 且 b ≠ 0 时的复数 a + b i 为纯虚数

（2） 两个复数相等的定义：

a + bi = c + di ⇔ a = c 且

b = d （其中，a ，b ，

c ，

d ，∈ R ）特别地a + bi = 0 ⇔ a = b = 0

（3） 共轭复数： z = a + bi 的共轭记作 z = a - bi ；

（4） 复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面叫复平面； z = a + bi ，对应

点坐标为 p (a , b )；（象限的复习）

（5） 复数的模：对于复数 z = a + bi ，把 z =

【2】复数的基本运算 设 z 1 = a 1 + b 1i ， z 2 = a 2 + b 2i

叫做复数 z 的模；

（1） 加法： z 1+ z 2 = (a 1 + a 2 )+ (b 1 + b 2 )i ； （2） 减法： z 1-z 2 = (a 1 - a 2 )+ (b 1 - b 2 )i ；

（3） 乘 法 ： z ⋅z = (a a - b b )+ (a b + a b )i

特 别 z ⋅ z = a 2 + b 2 。

1 2

1 2

1 2

2 1

1 2

（4）幂运算： i 1 = i i 2 = -1 i 3 = -i i 4 = 1 i 5 = i i 6 = -1 ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅

【3】复数的化简 z = c + di （ a , b 是均不为 0 的实数）；的化简就是通过分母实数化的方法将分母

a + bi

化为实数： z = c + di = c + di ⋅ a - bi =

a + bi a + bi a - bi

(ac + bd )+ (ad - bc )i

a 2 +

b 2

对于 z = c + di (a ⋅ b ≠ 0)，当 c = d

时 z 为实数；当 z 为纯虚数是 z 可设为

a + bi a

b z =

c + di = xi 进一步建立方程求解

a + bi

【例 4】 若复数 z = a + 3i (a ∈ R ) 1- 2i （i 为虚数单位），

是虚数单位，复数 (1)

若 z 为实数，求a 的值 (2)当 z 为纯虚，求a 的值.

【变式 1】设a 是实数，且 a

1+ i + 1- i 是实数，求a 的值.. 2

【变式 2】若 z = y + 3i

(x , y ∈ R )是实数，则实数

xy 的值是 .

1+ xi 【例 7】复数 z = cos 3 + i sin 3 对应的点位于第 象限

【变式 1】i 是虚数单位, ( 1+ i )4 等于 ( ) 1-i

A ．i

B ．-i

C ．1

D ．-1

【变式 2】已知 Z

1＋i

=2+i,则复数 z=（）

（A ）-1+3i (B)1-3i (C)3+i (D)3-i

【变式 3】 i 是虚数单位，若1+ 7i

= a + bi (a , b ∈ R ) ，则乘积ab 的值是

2 - i （A ）－15

（B ）－3

（C ）3

（D ）15

【例 8】（2012 年天津）复数 z = 7 - i

= （ ）

3 + i

（A ）2 + i （Ｂ）2 - i （Ｃ）-2 + i （Ｄ） -2 - i

2i 3

【变式 4】（2007 年天津）已知i 是虚数单位， 1- i = （ ）

Ａ1+ i

Ｂ -1+ i

Ｃ1- i

Ｄ． -1- i

【变式 5】.（2011 年天津）已知i 1- 3i

=

（

）

1- i

A 2 + i

B 2 - i

C -1+ 2i

D -1- 2i

【变式 6】（2011 年天津） 已知 i 是虚数单位，复数-1+ 3i = （

）

1+ 2i

(A)1＋i (B)5＋5i

(C)-5-5i

(D)-1－i

【变式 7】.（2008 年天津）已知i 是虚数单位，则 i 3 (i + 1) = （

）

i - 1

(A) -1

(B)1 (C) - i (D) i

“”

“”

At the end, Xiao Bian gives you a passage. Minand once said, "people who learn to learn are very happy people.". In every wonderful life, learning is an eternal theme. As a professional clerical and teaching position, I understand the importance of continuous learning, "life is diligent, nothing can be gained", only continuous learning can achieve better self. Only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge, can employees from all walks of life keep up with the pace of enterprise development and innovate to meet the needs of the market. This document is also edited by my studio professionals, there may be errors in the document, if there are errors, please correct, thank you!