分析力学--第2章-动力学普遍方程和拉格朗日方程
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理论力学(Ⅱ)—拉格朗日方程
角 度加为速a 。度假为想1 加、上 2，惯轮性B力质，心如的图加。速
C
yC
M
g B
ma g 2
其中
M
g A
1 2
mR21
FBg ma
M
g B
1 2
mR2 2
此系统具有两个自由度，取轮A、轮B的转
角1、 2 为广义坐标。给系统一组虚位移，如图。
1
yC R 1 R 2 (1)
N
miri
k 1
ri qk
qk
Nn
(
k 1 i1
mi
ri
ri qk
)qk
ri
N k 1
ri qk
qk
n
i 1
Fi
δ
n
ri
i1
miai
δ
ri
N
(Qk
k 1
n i1
miri
ห้องสมุดไป่ตู้
ri qk
)qk
0
Qk
n i 1
xA l cos yA l sin xB l cos
O1
x1
rA
l l rB
FIA A m1g l
rC l
B
m1g
FIB
C
yB l sin
m2g
yC 2l sin
y1
2m1lsin2lcos 2m1glsin 2m2glsin 0
sin
1 g
(a1cos
3 2
ar
)
C
yC
M
g B
ma g 2
其中
M
g A
1 2
mR21
FBg ma
M
g B
1 2
mR2 2
此系统具有两个自由度，取轮A、轮B的转
角1、 2 为广义坐标。给系统一组虚位移，如图。
1
yC R 1 R 2 (1)
N
miri
k 1
ri qk
qk
Nn
(
k 1 i1
mi
ri
ri qk
)qk
ri
N k 1
ri qk
qk
n
i 1
Fi
δ
n
ri
i1
miai
δ
ri
N
(Qk
k 1
n i1
miri
ห้องสมุดไป่ตู้
ri qk
)qk
0
Qk
n i 1
xA l cos yA l sin xB l cos
O1
x1
rA
l l rB
FIA A m1g l
rC l
B
m1g
FIB
C
yB l sin
m2g
yC 2l sin
y1
2m1lsin2lcos 2m1glsin 2m2glsin 0
sin
1 g
(a1cos
3 2
ar
)
拉格朗日方程复习与例题
(i 1,2, , n)
mi ai ) δ ri 0 (i 1,2, , n)
(F F
i i
Ni
系统的总虚功为
(F F
i i
Ni
mi ai ) δ ri 0
(i 1,2, , n)
利用理想约束条件
F
得到
i
i
Ni
δ ri 0
(m1 m2 ) g m1lcos
2
例题3 质量为m 的三棱柱ABC 1
通过滚轮搁置在光滑的水平面上。 质量为m2、半径为R的均质圆轮沿 三棱柱的斜面AB无滑动地滚下。
y
A ae C2
D
2 ar B
求：1、三棱柱后退的加速度a1； OC 2、圆轮质心C2相对于三棱 柱加速度ar。 解：1、分析运动 三棱柱作平动，加速度为 a1。 圆轮作平面运动，质心的牵连 加速度为ae= a1 ；质心的相对加 速度为ar；圆轮的角加速度为2。
x A y A x B y B yC
l cos l sin l cos l sin 2l sin
m2g
y1
3、应用动力学普遍方程
FIA δx A FIB δxB m1 g δy A m1 g δy B m2 g δyC 0
3、应用动力学普遍方程 rA FIA m1g l
C
O1
x1
l l
A
FIA δx A FIB δxB m1 g δy A m1 g δy B m2 g δyC 0
根据几何关系，有
B
rC
rB FIB
l m1g
x A lsin y A lcos xB lsin y B lcos yC 2lcosBiblioteka (i 1,2, , n)
第2章 拉格朗日方程
z
O
l
2
x2 y2 z 2 l 2 0
x
M m
x vt
2
y z l 0
2 2
y
x2 y2 z 2 l 2 0
拉格朗日科学研究所涉及的领域极其广泛。他在数学上最突出的贡献是使数学分析与几何与力学脱离开来，使数学的独立性更为清楚， 从此数学不再仅仅是其他学科的工具。 拉格朗日总结了18世纪的数学成果，同时又为19世纪的数学研究开辟了道路，堪称法国最杰出的数学大师。同时，他的关于月球 运动(三体问题)、行星运动、轨道计算、两个不动中心问题、流体力学等方面的成果，在使天文学力学化、力学分析化上，也起到了 历史性的作用，促进了力学和天体力学的进一步发展，成为这些领域的开创性或奠基性研究。 在柏林工作的前十年，拉格朗日把大量时间花在代数方程和超越方程的解法上，作出了有价值的贡献，推动了代数学的发展。他 提交给柏林科学院两篇著名的论文：《关于解数值方程》和《关于方程的代数解法的研究》 。把前人解三、四次代数方程的各种解法， 总结为一套标准方法，即把方程化为低一次的方程(称辅助方程或预解式)以求解。 他试图寻找五次方程的预解函数，希望这个函数是低于五次的方程的解，但未获得成功。然而，他的思想已蕴含着置换群概念，对后 来阿贝尔和伽罗华起到启发性作用，最终解决了高于四次的一般方程为何不能用代数方法求解的问题。因而也可以说拉格朗日是群论 的先驱。 在数论方面，拉格朗日也显示出非凡的才能。他对费马提出的许多问题作出了解答。如，一个正整数是不多于4个平方数的和的问 题等等，他还证明了圆周率的无理性。这些研究成果丰富了数论的内容。 在《解析函数论》以及他早在1772年的一篇论文中，在为微积分奠定理论基础方面作了独特的尝试，他企图把微分运算归结为代数运 算，从而抛弃自牛顿以来一直令人困惑的无穷小量，并想由此出发建立全部分析学。但是由于他没有考虑到无穷级数的收敛性问题， 他自以为摆脱了极限概念，其实只是回避了极限概念，并没有能达到他想使微积分代数化、严密化的目的。不过，他用幂级数表示函 数的处理方法对分析学的发展产生了影响，成为实变函数论的起点。 拉格朗日也是分析力学的创立者。拉格朗日在其名著《分析力学》中，在总结历史上各种力学基本原理的基础上，发展达朗贝尔、 欧拉等人研究成果，引入了势和等势面的概念，进一步把数学分析应用于质点和刚体力学，提出了运用于静力学和动力学的普遍方程， 引进广义坐标的概念，建立了拉格朗日方程，把力学体系的运动方程从以力为基本概念的牛顿形式，改变为以能量为基本概念的分析 力学形式，奠定了分析力学的基础，为把力学理论推广应用到物理学其他领域开辟了道路。他还给出刚体在重力作用下，绕旋转对称 轴上的定点转动(拉格朗日陀螺)的欧拉动力学方程的解，对三体问题的求解方法有重要贡献，解决了限制性三体运动的定型问题。拉 格朗日对流体运动的理论也有重要贡献，提出了描述流体运动的拉格朗日方法。 拉格朗日的研究工作中，约有一半同天体力学有关。他用自己在分析力学中的原理和公式，建立起各类天体的运动方程。在天体 运动方程的解法中，拉格朗日发现了三体问题运动方程的五个特解，即拉格朗日平动解。此外，他还研究了彗星和小行星的摄动问题， 提出了彗星起源假说等。 近百余年来，数学领域的许多新成就都可以直接或间接地溯源于拉格朗日的工作。所以他在数学史上被认为是对分析数学的发展 产生全面影响的数学家之一。被誉为“欧洲最大的数学家”。
动力学普遍方程及拉格朗日方程
C
O1
x1
δα
l α α l
A
− FIA ⋅ δxA + FIB ⋅ δxB + m1g ⋅ δyA + m1g ⋅ δyB + m2 g ⋅ δyC = 0
根据几何关系，有 根据几何关系，
ωB
δrC
δrB FIB
l m1g
xA = −lsinα yA = lcosα xB = lsinα yB = lcosα yC = 2lcosα
由动力学普遍方程， 由动力学普遍方程，得
∑F ⋅ δr −∑m a ⋅ δr
i =1 i i i =1 i i
n j j
N
N
i
=0
∑F ⋅ δr = ∑Q δ q
i =1 i i j =1
N
Q j ——广义力
n N ∂ri ∂r && ⋅ ∑ δ qj = ∑(∑mi && ⋅ i )δ qj ri ∑miai ⋅ δr i = ∑miri j=1 ∂qj ∂qj i =1 j =1 i =1 i =1
MI2 = J2 α2
J2 = 1 m2 R2 2
α
m2 g
B
x
m1g
ar = Rα2
m2 gsinα ⋅ Rδϕ + FI2ecosα ⋅ Rδϕ − FI2r ⋅ Rδϕ－J2α2 ⋅ δϕ = 0
1 3 sinα ⋅ + (a1cosα − ar ) = 0 g 2
解：4、应用动力学普遍方程 令： δ x ≠ 0，δ ϕ = 0
i i i i i
(i = 1,2, ⋅⋅⋅, N)
动力学普遍方程的直角坐标形式
∑[(F
O1
x1
δα
l α α l
A
− FIA ⋅ δxA + FIB ⋅ δxB + m1g ⋅ δyA + m1g ⋅ δyB + m2 g ⋅ δyC = 0
根据几何关系，有 根据几何关系，
ωB
δrC
δrB FIB
l m1g
xA = −lsinα yA = lcosα xB = lsinα yB = lcosα yC = 2lcosα
由动力学普遍方程， 由动力学普遍方程，得
∑F ⋅ δr −∑m a ⋅ δr
i =1 i i i =1 i i
n j j
N
N
i
=0
∑F ⋅ δr = ∑Q δ q
i =1 i i j =1
N
Q j ——广义力
n N ∂ri ∂r && ⋅ ∑ δ qj = ∑(∑mi && ⋅ i )δ qj ri ∑miai ⋅ δr i = ∑miri j=1 ∂qj ∂qj i =1 j =1 i =1 i =1
MI2 = J2 α2
J2 = 1 m2 R2 2
α
m2 g
B
x
m1g
ar = Rα2
m2 gsinα ⋅ Rδϕ + FI2ecosα ⋅ Rδϕ − FI2r ⋅ Rδϕ－J2α2 ⋅ δϕ = 0
1 3 sinα ⋅ + (a1cosα − ar ) = 0 g 2
解：4、应用动力学普遍方程 令： δ x ≠ 0，δ ϕ = 0
i i i i i
(i = 1,2, ⋅⋅⋅, N)
动力学普遍方程的直角坐标形式
∑[(F
06分析力学基础第二类拉格朗日方程
试建立此系统的运动微分方程。
解：图示机构为两个自由度，取x1，
为广义坐标，则有。
x2 x1 l sin y1 0 y2 l cos
求导：
x2 x1 l cos y1 0 y2 l sin
系统动能：
T
1 2
m1
x12
1 2
m2
(
x22
y22 )
m2l 2 2
m2 xl
cos
M1-20
系统势能： (以弹簧原长为弹性势能零点， 滑块A所在平面为重力势能零 点)
V
1 2
kx
2
m2gl cos
拉格朗日函数：
L T V
1 2
(m1
m2 )x2
1 2
m2l 2 2
m2 xl
cos
1 2
kx2
m2 gl
cos
Q g
r2
(R
r)2 r2
2
1 12
2P
g
9Q
(
R
r)2
2
W ( ) M
Q
W ( )
M
T
1 6
2P
g
9Q
(R
r)2
d dt
T
1 6
2P
g
9Q
(R
r)2
T
0
M1-17
代入拉氏方程：
1 6
2P
g
9Q
(R
解：图示机构为两个自由度，取x1，
为广义坐标，则有。
x2 x1 l sin y1 0 y2 l cos
求导：
x2 x1 l cos y1 0 y2 l sin
系统动能：
T
1 2
m1
x12
1 2
m2
(
x22
y22 )
m2l 2 2
m2 xl
cos
M1-20
系统势能： (以弹簧原长为弹性势能零点， 滑块A所在平面为重力势能零 点)
V
1 2
kx
2
m2gl cos
拉格朗日函数：
L T V
1 2
(m1
m2 )x2
1 2
m2l 2 2
m2 xl
cos
1 2
kx2
m2 gl
cos
Q g
r2
(R
r)2 r2
2
1 12
2P
g
9Q
(
R
r)2
2
W ( ) M
Q
W ( )
M
T
1 6
2P
g
9Q
(R
r)2
d dt
T
1 6
2P
g
9Q
(R
r)2
T
0
M1-17
代入拉氏方程：
1 6
2P
g
9Q
(R
分析力学第二章
qk
ri t
其r中i 和：qrki称是之广为义广坐义标速和度时间的函数与广义速度无关
qk t
ri
ri
qk qk
证明（2）
d dt
ri qk
ri qk
d dt
ri qk
q1
ri qk
q1
q2
ri qk
q2
qN
ri qk
qN
t
ri qk
qk
ri q1
q1
ri q2
i 1
k 1
n
i 1
mi ai
• ri
n i 1
mi ai
•
N k 1
ri qk
qk
N k 1
n
mi
ai
i1
•
ri qk
qk
mi ai
•
ri qk
d dt
mi vi
•
ri qk
mi
vi
d dt
ri qk
d dt
mi
vi
•
ri qk
mi
vi
ri qk
d dt
q2
ri qN
qN
ri t
ri
ri q1
q1
ri q2
q2
ri qN
qN
ri t
N k 1
ri qk
qk
ri t
d dt
ri qk
ri qk
由动力学普遍方程：
n
Fi
•
ri
n
mi
ai
•
ri
0
i 1
i 1
将系统主动力所做虚功 用广义力形式描述：
动力学普遍方程和拉格朗日方程省公开课金奖全国赛课一等奖微课获奖课件
d (
T
)
T
]
0
q q i1
dt
j
j
j
改写为
因为
q , 1
q .......q
2
n
相互独立性
得第二类拉格朗日方程
d T
dt q
T
q
Q j
j
j
若质点系所受全部主动力为有势力
Q
j
V
q
j
14/36
系统势能只是系统广义坐标函数
V
q 0 j
可得
d dt
[
(T
q
V
)
]
(T
q
V）
0
j
j
引进L=T-V,成为拉格朗日函数, 则上式为
24/36
L x
(
3 2
M
m)
x
1 2
ml
cos
d dt
L x
(3 2
M
m) x
1 2
ml cos
1 2
ml 2
sin
L x
k(x
l
)
0
L
1 ml 2
3
1 2
mlx cos
d dt
L
1 3
ml 2
1 2
mlxcos
1 2
mlx 2
sin
L 1 mlx sin mg l sin
2
2
且与水平地面平行弹簧一端相连，弹簧
另一端固定。质量为m，长为 均l 质杆
AB经过以光滑铰链A与圆盘中心相连。若圆
盘在水平地面上作纯滚动，试求系统运动
拉式方程。
x
拉格朗日方程
统的自由度数目，选取合适的广义坐标。
2、分析系统的运动，写出用广义坐标及广义速 度表示的系统的动能。（速度及角速度均为绝对的）
d L L ( ) 0 (k 1,2, , N ) k dt q qk
1.2
拉 T T d T 或 L L d L ( ) ( ) 格 q q j k dt q k dt q k q k q k k 朗 5、写出拉格朗日方程并加以整理，得到N个二 日 阶常微分方程。由2 N个初始条件，解得运动方程。 方 程
1.2
d T T Q ，得 由 ( ) dt 1 2 M (2Q 9 P)(r R) 6g
拉 6Mg 即 格 (2Q 9 P)(r R) 2 朗 积分得曲柄的运动方程为 日 3Mg 2 0t 0 t 方 2 (2Q 9 P)(r R) 程 0分别为初始转角和初始角速度。 式中， 0 、
1.2
拉 格 朗 日 方 程
例4 如图轮A的质量为 m1，在水平面上只滚动不 滑动，定滑轮B的质量为 m2，两轮均为均质圆盘，半 m3 径均为R，重物C的质量为 ，弹簧的弹性系数为 ， k 试求系统的运动微分方程。 k AR 解：以系统为研究对象， B R 系统具有一个自由度。取 x x C 为广义坐标，x 从重物的平衡 位置量起。系统的动能为 2 1 1 2 1 1 3 x x 2 2 2 T ( m1 R )( ) ( m2 R )( ) m3 x 2 2 2R 2 2 R 2 1 2 (3m1 4m2 8m3 ) x 16 设系统平衡时弹簧的静伸长为 st ，则有关系式
整理后得 3 1 1 2 2 1 2 2 2 2 T m1 x m2 ( x L Lx cos ) m2 L 4 2 4 24
2、分析系统的运动，写出用广义坐标及广义速 度表示的系统的动能。（速度及角速度均为绝对的）
d L L ( ) 0 (k 1,2, , N ) k dt q qk
1.2
拉 T T d T 或 L L d L ( ) ( ) 格 q q j k dt q k dt q k q k q k k 朗 5、写出拉格朗日方程并加以整理，得到N个二 日 阶常微分方程。由2 N个初始条件，解得运动方程。 方 程
1.2
d T T Q ，得 由 ( ) dt 1 2 M (2Q 9 P)(r R) 6g
拉 6Mg 即 格 (2Q 9 P)(r R) 2 朗 积分得曲柄的运动方程为 日 3Mg 2 0t 0 t 方 2 (2Q 9 P)(r R) 程 0分别为初始转角和初始角速度。 式中， 0 、
1.2
拉 格 朗 日 方 程
例4 如图轮A的质量为 m1，在水平面上只滚动不 滑动，定滑轮B的质量为 m2，两轮均为均质圆盘，半 m3 径均为R，重物C的质量为 ，弹簧的弹性系数为 ， k 试求系统的运动微分方程。 k AR 解：以系统为研究对象， B R 系统具有一个自由度。取 x x C 为广义坐标，x 从重物的平衡 位置量起。系统的动能为 2 1 1 2 1 1 3 x x 2 2 2 T ( m1 R )( ) ( m2 R )( ) m3 x 2 2 2R 2 2 R 2 1 2 (3m1 4m2 8m3 ) x 16 设系统平衡时弹簧的静伸长为 st ，则有关系式
整理后得 3 1 1 2 2 1 2 2 2 2 T m1 x m2 ( x L Lx cos ) m2 L 4 2 4 24
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Fzj
k i1
i
fi z j
n个质点的系统受到k 个如 下形式的完整约束fi ,又若系统中 质量为mj的第j个质点受主动力 Fj，则系统的运动满足3n个方程
如左，称为第一类拉格朗日方程
，λi称为拉各朗日未定乘子。
*第一类拉格朗日方程用到的较少
.
拉格朗日
1736 — 1813,法籍 意大利人，数学家 、 力学家、天文学家 ， 十九岁成为数学教 授，与欧拉共同创 立变分法，是十八 世纪继欧拉后伟大 的数学家。
达朗伯（1717-1785）通过引入惯性力的概念，建立了著名的 达朗伯原理（用静力学建立平衡方程的方法处理动力学问题） ；
约翰·伯努利（1667-1748）于1717年精确表述了虚位移原理 （建立虚位移、虚功的概念，用动力学的方法研究静力学中的 平衡问题）；
拉格朗日（1736-1813）应用达朗伯原理，把虚位移原理推广 到非自由质点系的动力学问题中，建立了动力学普遍方程，进 一步导出了拉格朗日方程。
M v
P
R'=－R=－ ma
此力是摆锤被迫作非惯性运动时产生的“反作用力”， 称为惯性力。
.
结论：质点在作非惯性运动的任意瞬时，对于施力于它的物 体会作用一个惯性力，该力的大小等于其质量与加速度的乘 积，方向与其加速度方向相反。
若用Fg表示惯性力，则有 Fg =－ ma
说明： 1.此力是不是真实的力！ 2.此力作用于施力给质点的物体上！ 3.此力又称为牛顿惯性力！
i1
.
n
或 (Fi miai)δri 0 i1
动力学普遍方程
表明：在理想约束条件下，在任意瞬时，作用于质点系上 的主动力和惯性力在质点系的任意虚位移上所做虚功之和 等于零。
若 F iX iiY ijZ ik, ai x ii y ij z ik,
rixiiyijzik,
则动力学普遍方程的坐标分解式为
n
X i m i x ix i Y i m i y iy i Z i m i z izi 0
i 1
.
例1. 两均质轮质量皆为m1，半径皆为r，对轮心的转动惯量为 J；中心用质量为m2的连杆连接，在倾角为α的斜面上纯滚动 。求连杆的加速度。
α
.
解：研究整个系统，进行受力分析；
设杆的加速度为a，则
.
设质点系由n个质点组成，具有s个完整理想约束，则有 N=3n-s个自由度（广义坐标）。
用q1，q2，…qN表示系统的广义坐标，第i个质点质量为mi， 矢径为ri。则
ri= ri(q1，q2，…qN，t) 对上式求变分得
δri q ri1δq 1 q ri2δq 2 q r N i δq N r tiδt
解得
a((22m m11m m22))rr22s.i2nJ g
.
.
.
.
(a) (b)
.
.
.
.
.
2. 拉格朗日方程
将动力学普遍方程用广义坐标表示，即可推导出第二类拉格 朗日方程。
m
j &x&j
Fxj
k i1
i
fi x j
m
j &y&j
Fyj
k i1
i
fi y j
m j &z&j
.
二、质点系的达朗伯原理
设质点系由n个质点组成， 第i个质点质量为mi，受力有主动力 Fi ，约束反力FNi ，加速度为ai ，假想地加上其惯性力Fgi=－miai ，则根据质点的达朗伯原理，Fi 、 FNi与Fgi应组成形式上的平衡 力系，即
Fi + FNi +Fgi=0 （i =1，2，…，n ）
.
引言3：达朗伯原理
一、质点的达朗伯原理
设质点M的质量为m，受力有主动力F 、
M Fg
约束反力FN，加m速a度=为F+aF，N 则根据牛顿
第二定令律Fg，=－有ma
FN
a F
则 F+FN+Fg = 0
形式上的平衡方程
结论：在质点运动的任意瞬时，如果在其上假想地加上一惯性
力Fg，则此力与主动力、约束反力在形式上组成一平衡力系。 这就是质点的达朗伯原理。
a
Mg
Fg1
Fg1= m1a， Fg2= m2a，
Mg
J
J
a, r
Mg
Fg2 Fg1
m2g
m1g
给连杆以平行于斜面向下
m1g
N2
的虚位移s，则相应地两 s
轮有转角虚位移，且
α
s
N1
r
根据动力学普 遍方程，得:
于是
(2m 1m 2)gsins(2Fg1Fg2)s 2Mg0 (2m 1m 2)gsins(2m 1m 2)as2Jarrs0
.
图示圆锥摆摆长为l，摆锤M的质量m ，在水平面内作匀速圆周运动，速度为v
，锥摆的顶角为2φ，摆锤 M 受力如图。
其加速度为
a an v2
l sin
令 R=P+T
φ l T
an
则 ma = R = P + T
摆锤M在受到P、T的同时，将给施力体 （地心和绳子）一对应的反作用力， 反作用力的合力为
第二章 动力学普遍方程和拉各 朗日方程
1.动力学普遍方程 2.拉格朗日方程 3.动能的广义速度表达式 4.拉格朗日方程的初积分 5.碰撞问题的拉格朗日方程 6.拉格朗日方程的应用举例
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引言1：非自由质点系的动力学问题
K
φ1 φ2
多杆摆问题.
摆长不定，如何确定 其摆动规律？
混沌摆问题
引言2：惯性力的概念
设质点系由n个质点组成，第i个质点质量为mi，
受主动力Fi，约束反力FNi，加速度为ai，虚加上 M
Fgi
其惯性力Fgi=－miai
则根据达朗伯原理， Fi 、FNi 与Fgi， 应组成形式上的平衡力系，即
FNi
ai Fi
Fi + FNi +Fgi= 0
若质点系受理想约束作用，应用虚位移原理，有
n
(Fi Fgi)δri 0
N i1
ri qk
δqk
n
n
动力学普遍方程可写成
Fiδri miaiδri 0
其中
i1
i1
i n1miaiδri i n1mi r ikN 1qrikδqk
Nn
k1 i1
mi ri qrik
δqk
.
根据虚位移原理中广义力与广义虚位移的表示形式，有
n
N
Fi δri Qkδqk
对整个质点系来说，在运动的任意瞬时，虚加于质点系的各质 点的惯性力与作用于该质点系的主动力、约束反力将组成形式 上的平衡力系。
即 ∑Fi + ∑ FNi +∑Fgi=0
或∑MO(Fi) + ∑ MO( FNi ) +∑ MO( Fgi ) =0
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质点系的 达朗伯原理
1 .动力学普遍方程
动力学普遍方程是虚位移原理与达朗伯原理简单结合的产物 。