投资组合理论 马克维茨均值方差模型 CAPM
投资组合理论与资本资产定价模型CAPM
投资组合理论与资本资产定价模型CAPM投资组合理论与资本资产定价模型（CAPM）是金融学中两个基本的理论框架，用于解释资本市场的行为和为投资者提供投资决策的依据。
投资组合理论是由美国经济学家哈里·马科维茨（Harry Markowitz）于1952年提出的，也是他获得1990年诺贝尔经济学奖的主要理论基础。
该理论认为，投资者可以通过合理配置资金，选择不同风险和收益水平的资产组合，从而实现在给定风险下最大化收益或在给定收益下最小化风险的目标。
通过将不同资产之间的相关性考虑在内，投资者可以通过分散投资来降低投资组合的整体风险。
资本资产定价模型（CAPM）是由美国经济学家威廉·夏普（William Sharpe）、芝加哥大学教授约翰·林特纳（John Lintner）和莱芜丝·特雷南伯格（Jan Mossin）于1964年同时独立提出的。
CAPM认为，资产的预期回报率与其系统风险（与整个市场波动相关的风险）成正比，与无风险利率成反比。
该模型通过将投资者面临的风险分解为系统风险和非系统风险（特异风险）两部分，提供了确定资产预期回报率的方法。
CAPM认为，投资者应该通过以无风险资产利率为基准，根据投资组合整体风险水平确定预期回报率。
投资组合理论和CAPM在投资决策中起着重要的作用。
投资组合理论强调通过选择不同相关性的资产来实现分散投资，降低整体风险。
投资者可以通过投资不同资产类别（如股票、债券、房地产等）来达到分散投资的目的。
而CAPM通过考虑整个市场风险来确定资产预期回报率，为投资者提供了估计资产预期回报率的方法，从而辅助投资者做出投资决策。
然而，投资组合理论和CAPM也存在一些局限性。
首先，投资组合理论和CAPM都是基于一系列假设和简化条件建立的，如理性投资者、完全市场、无摩擦成本等，因此在实际应用中存在局限性。
其次，CAPM是基于市场均衡的理论，没有考虑其他因素对资产价格的影响，如宏观经济因素、公司基本面等，因此在预测和解释市场波动方面具有一定的局限性。
概述资本资产定价模型(CAPM)
概述资本资产定价模型（CAPM）一、引言（资本资产定价模型的理论源渊）资产定价理论源于马柯维茨（Harry Markowtitz）的资产组合理论的研究。
1952年，马柯维茨在《金融杂志》上发表题为《投资组合的选择》的博士论文是现代金融学的第一个突破，他在该文中确定了最小方差资产组合集合的思想和方法，开创了对投资进行整体管理的先河，奠定了投资理论发展的基石，这一理论提出标志着现代投资分析理论的诞生。
在此后的岁月里，经济学家们一直在利用数量化方法不断丰富和完善组合管理的理论和实际投资管理方法，并使之成为投资学的主流理论。
到了60年代初期，金融经济学家们开始研究马柯维茨的模型是如何影响证券估值，这一研究导致了资本资产定价模型（Capital Asset Price Model，简称为CAPM）的产生。
现代资本资产定价模型是由夏普（William Sharpe ，1964年）、林特纳（Jone Lintner，1965年）和莫辛（Mossin，1966年）根据马柯维茨最优资产组合选择的思想分别提出来的，因此资本资产定价模型也称为SLM模型。
由于资本资产定价模型在资产组合管理中具有重要的作用，从其创立的六十年代中期起，就迅速为实业界所接受并转化为实用，也成了学术界研究的焦点和热点问题。
二、资本资产定价模型理论描述资本资产定价模型是在马柯维茨均值方差理论基础上发展起来的，它继承了其的假设，如，资本市场是有效的、资产无限可分，投资者可以购买股票的任何部分、投资者根据均值方差选择投资组合、投资者是厌恶风险，永不满足的、存在着无风险资产，投资者可以按无风险利率自由借贷等等。
同时又由于马柯维茨的投资组合理论计算的繁琐性，导致了其的不实用性，夏普在继承的同时，为了简化模型，又增加了新的假设。
有，资本市场是完美的，没有交易成本，信息是免费的并且是立即可得的、所有投资者借贷利率相等、投资期是单期的或者说投资者都有相同的投资期限、投资者有相同的预期，即他们对预期回报率，标准差和证券之间的协方差具有相同的理解等等。
马科维茨的均值一方差组合模型
马科维茨的均值一方差组合模型马科维茨的均值一方差组合模型(Markow itz Mean-Varian ce Model，Markow itz Model简称MM)马科维茨的均值一方差组合模型简介证券及其它风险资产的投资首先需要解决的是两个核心问题：即预期收益与风险。
那么如何测定组合投资的风险与收益和如何平衡这两项指标进行资产分配是市场投资者迫切需要解决的问题。
正是在这样的背景下，在50年代和60年代初，马可维兹理论应运而生。
马科维茨模型的假设条件该理论依据以下几个假设：1、投资者在考虑每一次投资选择时，其依据是某一持仓时间内的证券收益的概率分布。
2、投资者是根据证券的期望收益率估测证券组合的风险。
3、投资者的决定仅仅是依据证券的风险和收益。
4、在一定的风险水平上，投资者期望收益最大；相对应的是在一定的收益水平上，投资者希望风险最小。
根据以上假设，马可维兹确立了证券组合预期收益、风险的计算方法和有效边界理论，建立了资产优化配置的均值－方差模型：目标函数：minб2(rp)=∑∑xixjCo v(ri-rj)rp=∑xiri限制条件：1=∑Xi（允许卖空）或1=∑Xixi>≥0（不允许卖空）其中rp为组合收益，ri为第i只股票的收益，xi、xj为证券i、j的投资比例，б2(rp)为组合投资方差(组合总风险)，Cov (ri、rj ) 为两个证券之间的协方差。
该模型为现代证券投资理论奠定了基础。
上式表明，在限制条件下求解Xi证券收益率使组合风险б2(rp)最小，可通过朗格朗日目标函数求得。
其经济学意义是，投资者可预先确定一个期望收益，通过上式可确定投资者在每个投资项目（如股票）上的投资比例（项目资金分配），使其总投资风险最小。
CAPM资产定价模型简介与探讨
CAPM资产定价模型简介与探讨一、前言马克维兹在1952年发表了一篇具有里程碑意义的论文——《投资组合选择》，标志着现代投资组合理论的开端。
在此基础上，William Sharp（1964）、Lintner（1965）、Jan Mossin （1966）分别提出资本资产定价模型（Capital Asset Pricing Model，CAPM）。
CAPM用一个简单的模型刻画了资产收益与风险的关系，代表了金融学领域重要的进展和突破，是现代金融学最重要的理论基石之一。
本文主要是简要介绍一下CAPM资产定价模型的内容以及它在实证中所面临的一些问题。
二、CAPM模型简述（一） CAPM模型假设资本资产定价模型的推导是建立在一下严格条件上的:1.投资者以资产组合在某段时间内的预期收益率和标准差进行资产组合评价投资者都是风险厌恶的,即市场中每个参与者都满足均值-方差偏好。
他们按照均值-方差原则进行投资选择,在风险既定条件下选择收益最大化,或收益既定下选择风险最小化；2.所有的资产持有者处于同一单一投资期,市场上的投资者可以按照相同的无风险利率进行无限制的借入或贷出；3.资本市场是一个完全市场,不存在信息流阻碍,无税收和交易成本；4.资产无限可分,投资者可以按照任何比例分配其投资；5.投资者具有相同的预期,对预期收益率,标准差,资产之间的协方差等均有相同的理解。
（二） CAPM模型表达式基于以上假设，CAPM定价模型可以表达为：E(r i)=r f+β[E(r M)−r f]其中，E(r i)表示投资组合预期收益，r f表示无风险利率，β表示市场组合的风险（也就是系统风险）系数且β=Cov[r n,r M]/Var[r M]，E(r M)表示市场组合的预期收益。
这提供了一个简洁而又直观的资产定价关系：一个资产的风险溢价与其市场风险成正比，市场风险由它对市场组合的β值，即其市场β值来衡量。
比例系数是[E(r M)−r f]，即市场组合的风险溢价。
均值—方差证券资产组合理论
均值—方差证券资产组合理论1. 简介均值—方差证券资产组合理论，也被称为马科维茨模型，是现代投资组合理论的基础。
该理论由美国经济学家哈里·马科维茨于1952年提出，并在1959年获得了诺贝尔经济学奖。
这一理论通过权衡资产组合的预期收益率和风险来寻找最佳的投资组合。
2. 理论原理均值—方差证券资产组合理论的核心原理在于风险与收益之间的平衡。
根据该理论，投资者可以通过有效的资产配置，实现在给定风险水平下最大化投资组合的预期收益率。
具体来说，均值—方差模型在计算资产组合时，考虑了以下两个重要指标：2.1 均值均值指的是资产组合的预期收益率。
通过对各个资产的历史数据进行分析和估计，可以计算出每个资产的预期收益率，并据此求得资产组合的整体预期收益率。
2.2 方差方差表示资产组合的风险程度。
在均值—方差模型中，方差用于衡量资产之间的波动性和相关性。
如果两个资产的收益变动具有较高的相关度，那么它们之间的方差较小；反之，如果两个资产的收益变动独立或者相关度较低，那么它们之间的方差较大。
3. 资产组合优化基于均值—方差证券资产组合理论，投资者可以通过优化资产组合来实现风险与收益之间的最佳平衡。
具体的资产组合优化包括以下几个步骤：3.1 数据准备在优化资产组合之前，首先需要收集并整理相关的数据。
这些数据包括各个资产的历史收益率、期望收益率以及方差。
通常，投资者可以通过金融数据提供商或者证券公司获取这些数据。
3.2 风险-收益曲线通过对各个资产的历史数据进行分析和计算，可以得到不同投资组合的风险和收益指标。
在优化资产组合之前，投资者可以绘制出风险-收益曲线，以便直观地了解不同投资组合之间的收益和风险的关系。
3.3 最优组合根据风险-收益曲线，可以找到在给定风险水平下具有最高预期收益率的投资组合。
这个投资组合被称为最优组合，也是均值—方差模型的核心输出。
3.4 边际效益在确定最优组合后，投资者可以通过计算边际效益来衡量每个资产对投资组合的贡献。
第二章 马科维茨投资组合理论(均方模型)(共86张PPT)
, r 沿的用概上 率面。的表示方法，一个证券在该时期的1方差1是未来收益可能值对期望收益率的偏离〔通常称为离差〕的平方的加权平均，权数是相应的可能值
5.投资者都是不知足的和厌恶风险的，遵循占优原那么， 即：在同一风险水平下，选择收益率较高的证券；在 同一收益率水平下，选择风险较低的证券。
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三、投资者的无差异曲线
在不同的系统性风险中，投资者之所以选 择不同的投资组合，是因为他们对风险的厌恶 程度和对收益的偏好程度是不同的。对一个特 定的投资者而言，任意给定一个证券组合，根 据他对期望收益率和风险的偏好态度，按照期 望收益率对风险补偿的要求，可以得到一系列 满意程度相同的〔无差异〕证券组合。所有这 些组合在均值方差〔或标准差〕坐标系中形成 一条曲线，这条曲线就称为该投资者的一条无 差异曲线。
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再次，通过对某种证券的期望回报率、回报率的方 差和某一证券与其它证券之间回报率的相互关系 〔用协方差度量〕这三类信息的适当分析，辨识出 有效投资组合在理论上是可行的。
最后，通过求解二次规划，可以算出有效投资组合 的集合，计算结果指明各种证券在投资者的资金中 占多大份额，以便实现投资组合的效性——即对给 定的风险使期望回报率最大化，或对于给定的期望 回报使风险最小化。
广义的定义：包括对所有资产和负债的 构成做出决策，甚至包括人力资本 〔如教育和培训〕的投资在内。
我们的讨论限于狭义的含义。
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第3 章 均值方差分析与资本资产定价模型(CAPM)
由(3.1.2)，当 RB 和 RA 完全负相关时，相关系数为-1，此时
σ ( Rω ) = wAσ ( RA ) − (1− wA )σ ( RB )
(3.1.8)
与完全正相关情况下的计算方法一样，对于不同的 wA 值，可以求得不同的 E ( Rw ) 和
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σ ( Rw ) ，如表 3.3 所示：
表示卖空 A 投资于 B 的情况。
图 3.1 中的联合线是这两种证券的收益率在不相关的前提下做出的，若相关系数不为零，
(3-1-4)不成立，将会得到形状不同的联合线。
（2）现在假设 RA 和 RB 完全正相关，在 ( RA, RB ) 坐标系内，是一条斜率为正的一条直
线，即
RB = a0 + a1RA
券
B
的金额为
600
元，易见，此时 wA
=
400 1000
=
0.4, wB
=
600 1000
=
0.6 ，满足
wA
+
wB
= 1。
当你卖空某证券时，是先从其他人手中（通常是从经纪人手中），借入一定数量的证券，一
定时间后，你必须归还同样数量的证券。
假设你借 100 股某公司的股票，市场价格为 10 元，那么将股票卖出，可获得 1000 元现 金。一段时间之后，该股票的价格 5 元，你在市场上购买 100 股，支付现金 500，两者之间 的差额为 500 元，你可以获利。
据表 3.1，表 3.2 和表 3.3 可画出 RB 与 RA 无关， RB 与 RA 完全正相关和 RB 与 RA 完全
负相关三种情形的联合线，如图 3.4 所示
图 3.4 3 种不同情形下的联合线
《投资学》第六章CAPM模型剖析.
t时期收益率（而不是期望收益率）
E( F)是因素的期
– i 表示因素值为0时证券i的期望收益率，叫零因子
– bi 表示证券i对因素的敏感度，叫因素载荷
– eit 表示证券i的剩余收益率，叫随机误差项
– Ft 表示 t时期因素值
●单因素模型认为：证券的收益率受到某一个因素的影响。 （是市场因素而不是个别因素）
• 分离定理的价值之二：投资产品本身风险的大小 不再是影响投资决策的重要因素。不管风险偏好 如何，你都可以选择任何投资产品。
资本市场线（CML）的图形
E(rc)
E(rM)
M
rf
0
σM
σc
二、假定前提得出的推论3
• 推论3： • 资本市场线（CML) ：无风险资产组合与
市场资产组合M相连的直线。（即最优的资 本配置线）
i
单因素模型
• CAPM用于表示事先的或是期望的收益，而在现实人们只 能观察到事后的或可实现的收益。为了完成从期望收益 到可实现收益的转变，使证券的收益-风险分析具有实用 价值，提出了单因素模型。
• 单因素模型： Rit =ai +bi Ft +eit
根据单因素模型，得到证券 E（ri） =ai +b
因素模型与均衡
1、因素模型不是一个资产定价的均衡模型；
• 比较 E(ri)=ai +biE( F)
•
E(ri)=rf +βi[E(rM)-rf ]
2、一定条件下，因素模型也可以是均衡模型
当取因素为市场组合的收益率，即F=rM 则，通过公式变形整理得到，
ai =（1-βi）rf bi =βi
举例说明
• 举例： 如果紫光的股票没有进入最优风险资产组合中，市场资
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第8章 现代投资组合理论
（1）协方差(covariance)：是测量两个随机变量之间 的相互关系或互动性的统计量。 资产组合的协方差是测度两种资产收益互补程度的 指标。它测度的是两个风险资产收益相互影响的方 向与程度。 协方差为正意味着两种资产的收益同方向变动，为 负则意味着反方向变动。相对小的或0值的协方差表 明：两种证券之间的回报率之间只有很小的互动关 系或没有任何互动关系。 协方差的计算公式为：
第8章 现代投资组合理论
Ch.8 现代投资组合理论
Modern Portfolio Theory (MPT)
8.1 8.2 8.3 8.4
资产组合理论 资本资产定价模型（CAPM） 套利定价理论（APT） 有效市场假说（EMH）
第8章 现代投资组合理论
米尔顿· 弗里德曼 (Friedman，Milton)
covij ij ji
Ri E Ri R j E R j E
第8章 现代投资组合理论
（2）相关系数：
为了更清楚地说明两种证券之间的相关程度，通常把 协方差正规化，使用证券i和证券j的相关系数ij。 相关系数与斜方差的关系为：两变量协方差除以两标 准差之积等于它们的相关系数。 相关系数范围在－ 1 和 +1 之间，－ 1 表明完全负相关， +1 表明完全正相关，多数情况是介于这两个极端值之 间。 相关系数的计算公式为：
第8章 现代投资组合理论
i 1 j i , j 1 总结 3 3 3 对于包含 p，其总收益的期望值和方差 ＝ n个资产的组合 w1w j 1 j＋ w 2 w j 2 j w3 w j 3 j j i , j 1 j i , j 1 j i , j 1 分别为：
将平方项展开得到
2
第8章 现代投资组合理论
E[ w1 (r1 E (r1 )) w2 (r2 E (r2 )) ... wn (rn E (rn ))]2 wi2 E (ri E (ri )) 2
i 1 n n n i 1 j 1,i j
第8章 现代投资组合理论
所有投资者都有相同的投资期限，即投资者的投资为 单一投资期，多期投资是单期投资的不断重复。 对于所有投资者，无风险利率相同； 对于所有投资者，信息是免费的且是立即可得到的； 投资者具有相同的预期（同质期望），所有投资者对 期望回报率、标准差和证券之间的协方差有相同的理 解，即他们对证券的评价和经济形势的看法都一致。 通过这些假设，模型将情况简化为一种极端的情形：证 券市场是完全市场，每一个人都有相同的信息，并对 证券的前景有一致的看法，这意味着投资者以同一方 式来分析和处理信息，每一个人采取同样的投资态度， 通过市场上投资者的集体行为，可以获得每一证券的 风险和收益之间均衡关系的特征。
第8章 现代投资组合理论
1952年在学术论文《资产选择：有效的多样化》 中，首次应用资产组合报酬的均值和方差这两个数学 概念，从数学上明确地定义了投资者偏好。第一次将 边际分析原理运用于资产组合的分析研究。这一研究 成果主要用来帮助家庭和公司如何合理运用、组合其 资金，以在风险一定时取得最大收益。 马科维茨的学术活动基本上是专注于金融微观分 析领域。1959年其代表作《资产组合：有效的多样化》 的出版是其学术生涯的顶峰，以后他继续进行他的研 究工作，但基本上是对他五十年代证券组合选择理论 的完善，及一些技术、方法方面的工作，没有重大的 理论突破。
第8章 现代投资组合理论
马柯维茨的资产组合理论
马柯维兹 (Harry Markowitz)1952 年在 Journal of Finance 发表了论文《资产组合的选择》，标志着现代 投资理论发展的开端。 马克维茨1927年8月出生于芝加哥一个店主家庭，大 学在芝大读经济系。在研究生期间，他作为库普曼的助 研，参加了计量经济学会的证券市场研究工作。他的导 师是芝大商学院院长《财务学杂志》主编凯彻姆教授。 凯要马克维茨去读威廉姆斯的《投资价值理论》一书。 马想为什么投资者并不简单地选内在价值最大的股 票，他终于明白，投资者不仅要考虑收益，还担心风险， 分散投资是为了分散风险。同时考虑投资的收益和风险， 马是第一人。当时主流意见是集中投资。
3
3
wi w j ij
( w1w2 12 w1w3 13 ) ( w2 w1 21 w2 w3 23 )
n w ) ( w3 w1 31 w 3 2 32
Er E （ w rw w （ Er i1 i）＝ i） 2p w1 w2 12 2 w w3 23 3 13 2 w2i
萨缪尔森 Samuelson
蒙代尔 (Robert A. Mundell)
第8章 现代投资组合理论
现代投资理论的产生以1952年3月Harry.M. Markowitz发表的《投资组合选择》为标志 1964、1965、1966年林特纳（John Lintner）、布 莱克（Fischer Black）和摩森（Jan Mossin）三人 分别独立提出资本资产定价模型。1962年，Willian Sharpe对资产组合模型进行简化，提出了资本资产 定价模型（Capital asset pricing model，CAPM） 1976年，Stephen Ross提出了替代CAPM的套利定 价模型（Arbitrage pricing theory，APT）。 上述的几个理论均假设市场是有效的。人们对市场 能够地按照定价理论的问题也发生了兴趣，1965年， Eugene Fama在其博士论文中提出了有效市场假说 （Efficient market hypothesis，EMH）
第8章 现代投资组合理论
2.现代证券组合理论的基本假设：为了弄清资产是如何 定价的，需要建立一个模型即一种理论，模型应将 注意力集中在最主要的要素上，因此需要通过对环 境作一些假设，来达到一定程度的抽象。 投资者都是以期望收益率和方差（标准差）来评价 资产组合（Portfolio）的效用大小划或风险大小。 投资者是永不满足的和风险厌恶的，即是理性的。 因此，当面临其他条件相同的两种选择时，将选择 具有较高期望收益率或较小标准差的投资组合。 单一资产都是无限可分的，可按一定比例购买一定 数量的资产。 投资者可按相同的无风险利率借入或贷出资金。 税收和交易费用成本均忽略不计。
第8章 现代投资组合理论
8.1 资产组合理论
8.1.1资产组合理论的基本假设 8.1.2资产组合的风险与收益 8.1.3资产组合的可行集和有效集 8.1.4最优风险资产组合的决定
第8章 现代投资组合理论
8.1.1资产组合理论的基本假设
1.现代证券组合理论（Modern Portfolio Theory）是关于 在收益不确定条件下投资行为的理论， 它由美国经济学家哈里· 马科维兹在1952年率先提出。 该理论为那些想增加个人财富，但又不甘冒风险的投资 者指明了一个获得最佳投资决策的方向。 风险与收益相伴而生。即投资者追求高收益则可能面临 高风险。投资者大多采用组合投资以便降低风险。但是， 分散化投资在降低风险的同时，也可能降低收益。 马科维兹的证券组合理论就是针对风险和收益这一矛盾 而提出的。
2 2
第8章 现代投资组合理论
资产组合方差的计算公式
2 p ＝Wi 2 i2 i 1 n n i 1 j i , j 1
WW
i j
n
ij
wi w j ij
i , j 1
n
证明：
证明：D(rp ) E[rp E (rp )]2 E[ wi ri E ( wi ri )]2
第8章 现代投资组合理论
马克维茨运用线性规划来处理收益与风险的权衡问 题，给出了选择最佳资产组合的方法，完成了论文， 1959年出版了专著，不仅分析了分散投资的重要性，还 给出了如何进行正确的分散方法。
马的贡献是开创了在不确定性条件下理性投资者进 行资产组合投资的理论和方法，第一次采用定量的方法 证明了分散投资的优点。他用数学中的均值方差，使人 们按照自己的偏好，精确地选择一个确定风险下能提供 最大收益的资产组合。获1990年诺贝尔经济学奖。
ij ij 则有：covij ij ij i j i j
第8章 现代投资组合理论
（3）资产组合的风险：
2 p covij xi x j i 1 j 1 N N
其中当i j时， covij 表示证券i证券j的收益的协方差， 反映了两种证券的收益 在一个共同周期中变动 的相 关程度。 协方差与相关系数 存在下列关系： covij ij i j 当i j时， covij i j ，即ij 1
i 1 i 1 n n
E[ w1r1 w2 r2 ... wn rn w1E (r1 ) w2 E (r2 ) ... wn E (rn )]2 E[ w1 (r1 E (r1 )) w2 (r2 E (r2 )) ... wn (rn E (rn ))]
i 1 i 1
n
同理，当i, j n 时
2 2 2 其中 w ＝ w i i i 1 p n n i i1 1 n n
100万
60万 房地产 20万 政府公债 20万 股票
第8章 现代投资组合理论
2. 资产组合的预期收益：是组合中各种证券的预期 收益(ri)的加权平均数。其中每一证券的权重(wi) 等于该证券在整个组合中所占的投资比例。 假设组合的收益为rp，组合中包含n种证券，每种 证券的收益为ri，它在组合中的权重是wi，则组 合的投资收益为：
Erp E （ wi ri）＝ w （ i Eri）
i 1 i 1
n
n
其中 wi 1