4-1 齐次性和叠加定理
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习题四4-1用叠加定理求题4-1图示电流源两端的电压。解电压源
习题四4- 1用叠加定理求题4— 1图示电流源两端的电压u题4— 1图 解：电压源单独作用时如图（b ）所示，贝U6 6u a一 5 = 5Vu b- 2 = 2 V1 54 2而u‘ = u b - u a = 2 - 5 = -3V当电流源单独工作时，如图（c ）所示，则4Q 与2Q 并联，1Q 与5Q 并联然后两并联电路再串联，所以‘‘58u''=+ 国 12=26V <6 6丿所以由叠加定理u =u'+u''= _3 + 26 =23V4—2用叠加定理求题4 — 2图示电路中的I Xb2Q4Q -- □ -------------- 1Q 12A(b)2Q解：电压源单独作用时的电路如图（b）所示，则5 3 I x 41 x = 24 解得I x = 2A电流源单独作用时的电路如图（c）所示，图中虚线为网孔电流，则5I''x 36 I''x 4I“x=0 解得I”x=「1.5A所以I x=I'x T'X=2-1.5=0.5A4 —3图示电路中的独立电压源和独立电流源发出的4 —3用叠加定理求题功率。
4Q(b)+O 2V4Q i'' ii'°2i''(c)i''4Q+2V(b) 3Q41x41(c)x4Q2Ai4Q题4 —3图解：电流源单独作用时的电路如图（b）所示，则i1 =2A i，=0则u；=4i；-2i< 8V电压源单独作用时的电路如图（b）所示，则，，2 ,, ,,i i 0.5A i - -i i = 0.5A4则u，，= 2 _ 2i，，= 1V所以由叠加定理h =i；• i；=2—0.5=1.5A5 = u1 u；，= 8 1 = 9V可得电压源和电流源的功率分别为P2V一2i；一3WP2A=2u；=18W4-4题4—4图示电路中，N R为电阻网络，由两个电流源供电。
第四章 网络定理
a
－
1K 0.5 i1 u (b)
i b+
列方程：
2.5i1 i u 1Ki1
解得： Ro 0.4K 41
如果要用开短路法，求短路电流。
i1 1K
a
+
10V 1K 0.5 i1
iSC
(c)
-
列方程：1.5i1 iSC
i1
10 1K
解得： iSC 15mA 42
例：图(a)电路中，N为有源线性二端
25
端口电压电流关联
u Roi uoc
26
证明如下:。
端口支路用电流源i 替代,如图(a)，根
据叠加定理，电流源单独作用产生
u’=Roi [图(b)]，网络内部全部独立电
源共同作用产生u”=uoc [图(c)]。由此
得到
u u' u" Roi uoc
27
例6 求图(a)网络的戴维南等效电路。
isc
i2
i3
iS2
R1 R1 R2
iS1
uS R3
iS2
求Ro，图(b)求得
Ro
(R1 R2 )R3 R1 R2 R3
画出诺顿等效电路，如图(c)所示。
33
含源线性电阻单口网络的等效电路 只要确定uoc,isc或Ro 就能求得两种等 效电路。
34
戴维南定理和诺顿定理注意几点：
1. 被等效的有源二端网络是线性
2.求电阻Ro 图b网络的独立
电压源置零,
得图c，设端口 电压为u'，端 上电流为 i '
1 2 - 6 i1’ +
i’ +
4
u’
i1’
电路分析基础第五版第4章
中产生的电流；
产生的电流。
即：由两个激励产生的响应可表示为每一个激 励单独作用时产生的响应之和。这就是电路理 论中的“叠加性”。
叠加定理：在线性电路中，求某支路(元件)的电压 或电流(响应)等于每个独立源(激励)分别单独作用 时，在该支路产生电压或电流的代数和。
适用范围：多电源激励线性电路。
分析方法： （1）设电压、电流的参考方向。 （2）画子图：每个独立源单独作用时的电路图。 电压源不作用视为短路，电流源不作用视为开路， 其它线性元件照搬。
6
先求出ab支路（ 电流ix 所流经的支路）以外电
a ix
b
18V 20
路其余部分就端口ab而
6
3
言的戴维宁等效电路。
c
o (a)
3
6
+
a + uoc - b
18V
6
3
（1）求开路电压uoc， 即断开ab支路后，求 ab之间的电压，如图 （b）所示。
o (b)
uoc = uab=uao- ubo
设想音频放大器（功放）提供恒定功率，
思考
若同时外接多个扬声器，那么以不同的方
式连接，会有什么样的音响效果?
另外，当人们在收听音乐时，偶尔会发生
生失真现象.这又是什么引起的，该如何遭
免呢?
§4-1 叠加定理
线性电路— 由线性元件和独立源构成的电路。
1、线性电路的齐次性 齐次定理：线性电路中所有激励（独立源） 都增大或缩小K倍（K为实常数），响应也将 同样增大或缩小K倍。
利用叠加定理分别求出 1
电压源和电流源单独作
用时的短路电流 isc和isc
如图(b)、(c)所示。
a
电路定理
任何线性有源二端网络N，就其外特性而言， 可以用一个电压源与电阻的串联支路等效置换， 如图所示。
i
i a u b uoc
Req
a
u b
38
N
4-3 戴维南定理和诺顿定理
1. U oc的求法 1) 测量: 将ab端开路，测量开路处的电压U oc 2) 计算: 去掉外电路，ab端开路，计算开路电压U oc 2. Ro的求法
U ' I 'U ' ' I ' 'U ' I ' 'U ' ' I '
P' U ' I ' P'' U '' I ''
P P ' P ' '
功率为电压和电流的乘积，为电源的二次函数。
16
4-1 线性电路补充性质-齐性原理
性质2: 齐次性
——齐性原理（homogeneity property)
u3 u3 u3
8
4-1 叠加定理
u3 u3 u3
10V
i1 6
R1
us
10i1
i2
R2 4
u3
4A is
=
i1
i1
R1
us
i2
10i1
u3
R1
i2
10i1
R2
+
R2
(b) 电流源单独作用
iS
u3
9
(a) 电压源单独作用
若已知其端电流，可用一个电流源来代替，此电流 源的电流的大小和参考方向均与已知的端电流相同。
i
i a u b uoc
Req
a
u b
38
N
4-3 戴维南定理和诺顿定理
1. U oc的求法 1) 测量: 将ab端开路，测量开路处的电压U oc 2) 计算: 去掉外电路，ab端开路，计算开路电压U oc 2. Ro的求法
U ' I 'U ' ' I ' 'U ' I ' 'U ' ' I '
P' U ' I ' P'' U '' I ''
P P ' P ' '
功率为电压和电流的乘积，为电源的二次函数。
16
4-1 线性电路补充性质-齐性原理
性质2: 齐次性
——齐性原理（homogeneity property)
u3 u3 u3
8
4-1 叠加定理
u3 u3 u3
10V
i1 6
R1
us
10i1
i2
R2 4
u3
4A is
=
i1
i1
R1
us
i2
10i1
u3
R1
i2
10i1
R2
+
R2
(b) 电流源单独作用
iS
u3
9
(a) 电压源单独作用
若已知其端电流，可用一个电流源来代替，此电流 源的电流的大小和参考方向均与已知的端电流相同。
第4章电路定理th
电流源单独作用时：电压源短路，电路等效如图， 由分流公式（注意方向）得：
南 京 工 业 大 学 信 息 科 学 与 工 程 学 院 通 信 系
I2 4Ω 3Ω
4Ω 4Ω 6A I2 6Ω 3Ω
6A 4Ω 6Ω
I 2 4 A
根据叠加定理，电流为：
I I1 I 2 3 A
第 4-15 页
设I1=1A，则利用OL，KCL， KVL逐次求得
306V 2Ω c 2Ω b 2Ω a 2Ω I7 I6 I5 I4 I3 I2 1Ω US 1Ω 1Ω d I1 1Ω
Ua =(2+1)I1 = 3V I2 = Ua /1 = 3A I3 = I1+ I2 = 1+3 = 4A Ub =2I3+ Ua = 2×4+3 =11V I4 = Ub /1 = 11A I5 = I3+ I4 = 4+11 = 15A
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4.1 齐次定理和叠加定理 一、齐次定理 二、叠加定理 4.2 替代定理 一、替代定理 二、替代定理应用举例
4.3 等效电源定理 一、戴维宁定理 二、诺顿定理 三、等效内阻的计算 四、定理的应用举例 4.4 最大功率传输定理 4.5 特勒根定理和互易定理 一、特勒根定理 二、互易定理
4.1 齐次定理和叠加定理
对于一些未知结构(黑盒子)电路，利用性质进行分析,用叠 加定理求解更为方便。
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例2 如图电路，N是含有独立源的线性电路，已知 当us = 6V，iS= 0时，开路电压uo= 4V； 当us = 0V，iS= 4A时，uo= 0V； 当us = -3V，iS= -2A时，uo= 2V； 求当us = 3V，iS= 3A时的电压uo
电工学 第四章
u1 i1 i b1 u b1 i b ub
三、三点说明
1.替代定理既适用于线性电路，也适用于非线性电路； 既适用于电阻电路，也适用于动态电路； 2.替代后电路必须有唯一解
2.5A
？ 2 ＋ 1A + ？ ＋ 5 10V 5V 5V － 1.5A － －
例 1 利用戴维宁定理求电流 i 。 4V + 1 a
6V 3 12V 6
b
i
1
步骤：(1) 选择断开点，将原电路分解为两个一端口网络；
(2) 求不含未知量的一端口的戴维宁等效电路； 求开路电压：应用前面学过的方法 求输入电阻：①② (3) 用等效电路代替原一端口网络，求解等效后的电路。
每个独立源单独作用：只有当前独立源作用， 其他独立源都不作用； 其他独立源都不作用—— 电压源不作用，电压值为零，用短路线代替； 电流源不作用，电流值为零，用开路代替。
记为 y = y(1) + y(2) + … + y(N) = k1xS1 + k2xS2 + … + kNxSN = kixSi
U3 = U3(1)+ U3(2) + U3(3) + U3(4)
G1US1 G 2 US2 IS1 IS2 G1 G 2 G 3
与所有独立源（US1, US2, IS1，IS2）共同作用时的结果 相同，叠加定理成立。
例2
用叠加定理求电压 U。
4 9V 4 2A 6
3
+ uo
若 N 与 NE 等效 io
NE
+ uo
N1
N1
io'
电路分析基础-电路的若干定理
第4章 电路的若干定理 (Circuit Theorems )4.1 叠加定理 (Superposition Theorem)4. 2 替代定理 (Substitution Theorem )4.3 戴维南定理和诺顿定理(Thevenin -Norton Theorem )4. 5＊特勒根定理 (Tellegen’s Theorem )4. 6 互易定理 (Reciprocity Theorem )4. 7＊对偶原理 (Dual Principle )4.4 最大功率传输定理(Maximum Power Transfer Theorem )4.1 叠加定理 (Superposition Theorem )一、线性电路的齐次性和叠加性线性电路：由线性元件和独立源构成的电路。
1.齐次性（homogeneity)(又称比例性，proportionality)电路x (t )y (t )+-+-齐次性：若输入x (t ) → 响应y (t ) ，则输入K x (t) → K y (t ) 电路K x (t )K y (t )+-+-2.叠加性（superposition)若输入x 1(t ) → y 1(t )(单独作用） , x 2(t ) → y 2(t ) … x n (t ) → y n (t )则x 1(t ) 、x 2(t ) … x n (t ) 同时作用时响应y (t )= y 1(t )+ y 2(t )+ … +y n (t )注： x 1(t ) … x n (t ) 可以是不同位置上的激励信号电路x 1(t )y (t )+-+-x 2(t )x n (t )++--3.线性=齐次性+叠加性(t) →y1(t)(单独作用）若输入x1x2(t) →y2(t)…x n(t) →y n(t)则:K1x1(t) +K2x2(t) +…+K n x n(t) →K1y1(t)+ K2y2(t)+ … + K n y n(t)注：齐次性是一种特殊的叠加性。
电路分析04-1
13
注
意：
网络中只有一个独立源时，可应用齐性原理， 网络中只有一个独立源时，可应用齐性原理，即响应 与激励成线性比例关系； 与激励成线性比例关系； 网络中存在多个独立源，可应用叠加定理。单独作用 网络中存在多个独立源，可应用叠加定理。 时可单个或分组进行， 时可单个或分组进行，而每一个子电路都比原电路简 单； 网络中含有受控源时，受控源如同电阻一样看待。即 网络中含有受控源时，受控源如同电阻一样看待。 每次独立源单独作用时，受控源都保留。 每次独立源单独作用时，受控源都保留。 叠加定理除了用来计算电路外，还可用来证明其它定 叠加定理除了用来计算电路外， 或分析一些参数不明的电路。 理；或分析一些参数不明的电路。其响应是各独立源 的线性组合的概念特别重要。 的线性组合的概念特别重要。
解之： 解之： Rx = 2
3
§2
叠加定理
线性电路的特性： 线性电路的特性： –响应是激励的线性函数，即它包含两层意思： 响应是激励的线性函数，
齐次性： f (k x)=k f (x) k为常数 齐次性： 可加性： f (x1 + x2)= f (x1 ) + f (x2 ) 可加性：
– 合成为叠加性：
y =α1Us1 +α2Us2 ++ β1Is1 + β2Is2 + = ∑αiUsi + ∑α j Isj
i=1 j =1 n m
即响应为各独立源的线性组合。 即响应为各独立源的线性组合。 适用范围：线性电路。 适用范围：线性电路。
7
例题 1
Is 2
用叠加定理求解
IS1单独作用时： 单独作用时：
f (k1 x1 +k2 x2 )=k1 f (x1 ) +k2 f (x2 ) +k
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I2 I1
I3
US －
.
I2 I' R2
.
I I'1 R1 + US －
.
I4 I' I I'3 R3 R4
R4 0.4A I 4 0.2A I2 R3 R4 IS 单独作用时：
US 0.6A R1 R2 R3 // R 4
I1
R2 R3 // R4 I S I1 1.5A I S 1.5A I 2 R1 R2 R3 // R4
3.ex
注意问题 1. 叠加定理只适用于线性网络。 2. 网络中的响应是指每一个电源单独作用时响应的代数和， 注意电流的方向和电压的极性。
3. 独立源可以单独作用：当电压源单独作用，电流源不作用时， 电流源为零（开路）处理；当电流源单独作用，电压源不作用时， 电压源为零（短路）处理。 4. 独立源可以单独作用，受控源不可以单独作用，独立源 单独作用时受控源要保留。 5. 直流电路求功率不能用叠加定理，只能求出总电流和总 电压，然后再完成功率的计算。
i3
R3 + us3 –
当一个电源单独作用时，其余 电源不作用，就意味着取零值。即 对电压源看作短路，而对电流源看 作开路。即如左图：
=
i1'
R1
i3' i2'
R2
R3
i1''
i3'' i2'' R2 + us2 –
R3
i1'''
i3''' i2''' R
2
us1 –
+
+
R1
+
R1
R3
+
–
us3
三个电源共同作用 = us1单独作用 因此 i1=i1'+i1"+i1"' i3=i3'+i3"+i3"'
U = U(1) +U(2) =－0.5+12.5=12(V)
应用举例
2.图示电路中，已知：R1 =50，R2 = R3 = 30，R4 = 60， US = 60V，IS = 3 A。用叠加原理求各未知支路电流。 R 解：US 单独作用时： . .
2
R1 +
I1
I2 IS
I3 R3
I4 R4
Y H m xm
M
3.1.1
叠加定理
叠加定理在线性电路的分析中起着重要的作用，它是分析线性 电路的基础。线性电路中很多定理都与叠加定理有关。
叠加定理内容:
在线性电阻电路中，任一支路电流(或支路电压)都是电路中各
个独立电源单独作用时，在该支路产生的电流(或电压)的叠加。
i1 R1 us1 – + i2 ia R2 + – us2 ib
例4：如图电路，A为有源电路，当 US=4V时，I3=4A；当US=6V时， I3=5A；求当US=2V时，I3为多少？ 解：由线性定理，I3可表示为
Us
A
I3
I 3 = G1 U S +
i =1
GU
i
n
Si
+
j =1
m
k j I Sj
由于A内电源不变，上式又可写为 I3 = G1×US+I0 式中I0为A内所有电源产生的分量，由给出的条件得
用齐性定理分析梯形电路特别有效。
例3. 已知：RL=2，R1=1，R2=1，us=51V。求电流 i 。
R1 21A us + + 21V – + R2 '=34V u – s – R1 8A R1 3A + 3V – 5A R2 i i'=1A + 2A RL 2V –
+ 8V – 13A R2
.
I" 2
I3
R4 1A I2 R3 R4
0.5A I4
.
R1 I"1
.
R2 R3 R4 I" I" 3
叠加得 ： I1 = I1'+I1" = 2.1 A I2 = I2'－I2" =－0.9 A
IS
.
.
4
I3 = I3'－I3" =－0.6 A I4 = I4'－I4" =－0.3 A
1.设
I ' 5 1 A U ' 4 12V
I5=1A,求Us等于多少.
I ' 4 12 / 4 3 A
I' 3 I' 4 I' 5 4 A
I' 1 I' 2 I' 3 6 A
U ' 3 6 I ' 3 24V
U ' 1 5 I ' 1 30V
=
Ux=Ux1+Ux2+Ux3
Ux1=H1Us
+
Ux2=H2Is 0=0+4H2+H3
+
Ux3=H3
∴ 当Us=3V,Is=3A时 Ux=3*1/3+3*(-1/2)+2 =1.5 V
解：由叠加定理 ：Ux=H1Us+H2IS+H3
代入已知条件，得: 4=6H1+0+H3
2=-3H1-2H2+H3
解得：H1=1/3; H2=-1/2; H3=2
例2. 求电压Us。
+ 10V –
I1 6
+ 10 I1– + Us 4 –
4A
解: (1)10V电压源单独作用： (2)4A电流源单独作用：
I1' 6
+
4
10 I1'
+ 10V –
– +
Us'
I1'' 6
–
4
10 I1'' + – U+ '' –
s
4A
Us"= -10I1"+2.44 = -10 (-1.6)+9.6=25.6V 共同作用： Us= Us' +Us"= -6+25.6=19.6V
各分电路中都不予更动。
例1. 求图中电压u。
6 + 10V – 6 + 10V – 6 + 4 u –
4A
+ 4 u'' –
=
+ 4 u' –
解:
(1) 10V电压源单独作用，4A电流源开路 u'=4V (2) 4A电流源单独作用，10V电压源短路
+
u"= -42.4= -9.6V 4A 共同作用：u=u'+u"= 4+(- 9.6)= - 5.6V
+ us2单独作用 + us3单独作用
i2=i2'+i2"+i2"'
使用叠加定理应注意以下几点:
1.叠加定理只适用于线性电路。 电压源为零—用短路替代 2.一个电源作用，其余电源为零 电流源为零—用开路替代
3.计算功率不能应用叠加定理(因为功率为电压和电流的乘积)。 4.计算电压u、电流 i 在叠加时要注意各分量的方向。 5.含受控源(线性)电路亦可用叠加定理，在应用叠加定理时只 适用于独立源作用，受控源以及电路中所有电阻应始终保留在
例题说明叠加定理 (二) 电路如图所示，用叠加定理求Ix.
=
解：（1）电流源单独作用时： ' ' ' 2 I 3 I 1 2 I 由KVL x x x 0 ' I 解得： x 0.6 A (2).电压源单独作用时：
+
由KVL 解得：
2 1I x'' 2I x'' 10 0
U ' 2 U ' 3 U ' 4 36V I ' 2 U ' 2 / 18 2 A
故得： U ' S U ' 1 U ' 2 66V 2.求电路中各电流，电压 ∵Us=165V 得增长系数K=US/U’S = 165/66=2.5(倍) 由齐次性定理可知，电路中各电流，电压都相应增大2.5倍， ∴ I5=2.5A ; U4=30V ; I4=7.5A ; U3=60V ; I3=10A ; U2=90V ; I2=5A ; U1=75V I1=15A;
I 2A
'' x
(3).电压源，电流源共同作用时 由叠加定理得：
' '' Ix Ix Ix 0.6 2 1.4 A
应用举例 例（补充）:下图的电路N是含有独立源的线性电阻电路。 已知：当Us=6V,Is=0时，开路端电压Ux=4V;当 Us=0V,Is=4A时， Ux=0V;当Us=-3V,Is=-2A时，Ux=2V;求当Us=3V,IS=3A时的Ux。
线性电路
由线性元件及线性独立源组成的电路为线性电路。 线性是线性电路的基本性质，它包括齐次性（或比例性）
和可加性（或叠加性）。
一.齐次原理
在单激励的线性电路中，激励增大多少倍，响应也增大相 同倍数。
图示含义：
X Y 2X 2Y KX KY
N
实验演示：