2015辽宁高考理科数学
2015年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
一．选择题：（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的）
（1）已知集合{2,1,0,2}A =--，{|(1)(2)0}B x x x =-+<,则 A∩B=（ ）
（A ）｛-1,0｝ （B ）｛0,1｝ （C ）｛-1,0,1｝ （D ）｛0，1，2｝
（2）若a 为实数且(2)(2)4ai a i i +-=-,则a =（ ）
（A ）-1 （B ）0 （C ）1 （D ）2
（3）根据下面给出的2004 年至2013 年我国二氧化硫排放量（单位：万吨）柱形图。
以下结论不正确的是（ ）
（A ）逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著
（B ）2007 年我国治理二氧化硫排放显现
（C ）2006 年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势
（D ）2006 年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关
（4）等比数列{}n a 满足13a =，13521a a a ++=，则357a a a ++=（ ）
（A ）21 （B ）42 （C ）63 （D ）84
（5）设函数211log (2),1()2,1x x x f x x -+-<⎧=⎨≥⎩
，则2(2)(log 12)f f -+=（ ） （A ）3 （B ）6 （C ）9 （D ）12
（6）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如
右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（）
（A ）
18 （B ）17
（C ）16 （D ）15
（7）过三点(1,3),(4,2),(1,7)A B C -的圆交y 轴于,M N 两点，则||MN =（ ）
（A
）（B ）8 （C
） （D ）10
（8）如下程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”。
执行该程序框图，若输入,a b 分别为 14,18，则输出的a =（ ）
（A ）0 （B ）2 （C ）4 （D ）14
(9)已知A ，B 是球O 的球面上两点，∠AOB=90o ,C 为球面上的动点。
若三棱锥O-ABC 体积的最大值为36 ，则球O 的表面积为（ ）
（A ）36π （B ）64π （C ）144π （D ）256π
(10)如图，长方形ABCD 的边AB=2，BC=1，O 是AB 的中点，点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动， ∠BOP=x ，将动点P 到A ，B 两点距离之和表示为x 的函数()f x ，则()f x 的图像大致为
( )
（A ） （B ）（C ） （D ）
（11）已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，∆ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，
则E 的离心率为（ ）
（A
（B ）2 （C
（D
，
（12）设函数()f x '是奇函数()()f x x R ∈的导函数，(1)0f -=。
当0x >时，
()()0xf x f x '-<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是（ ）
（A ）(,1)(0,1)-∞- （B ）(1,0)(1,)-+∞
（C ）(,1)(1,0)-∞-- （D ）(0,1)(1,)+∞
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分
（13）设向量,a b 不平行，向量λ+a b 与2+a b 平行，则实数λ=
（14）若,x y 满足约束条件1020220x y x y x y -+≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩
，则z x y =+的最大值为
（15）4()(1)a x x ++的展开式中的奇数次幂项的系数之和为32，则a =
（16）设n S 是数列{)n a 的前项和，且11a =-，11n n n a S S ++=，则n S =
三、解答题：
（17）（本小题满分12分）
ABC ∆中，D 是BC 上的点，AD 平分BAC ∠，ABD ∆面积是ADC ∆面积的2倍. （Ⅰ）求
sin sin B C ∠∠； （Ⅱ）若1AD =
，2
DC =，求BD 和AC 的长.
某公司为了解用户对其产品的满意程度，从A,B两底分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度平分如下：
A地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 76
78 86 95 66 97 78 88 82 76 89
B地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 82
9348 65 81 74 56 54 76 65 79
（Ⅰ）根据两组数据完成两地用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体数值，给出结论即可）；
（Ⅱ）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：
记事件Ｃ：“Ａ地区用户的满意度等级高于Ｂ地区用户的满意度等级”。
假设两地区用户的评价结果相互独立，根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求Ｃ的概率.
如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中AB=16，BC=10，AA1=8，点 E，F 分别在A1B1，D1C1上，A1E=D1F=4。
过点E，F 的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形.
（Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）；
（Ⅱ）求直线AF与平面α所成角的正弦值.
（20）（本小题满分12分） 已知椭圆C ：2229(0)x y m m +=>，直线l 不过原点O 且不平
行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M.
（Ⅰ）证明：直线OM 的斜率与l 的斜率乘积为定值；
（Ⅱ）若l 过点),3
(m m ，延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时l 的斜率；若不能，说明理由.
（21）（本小题满分12分）设函数2()mx f x e x mx =+-.
（Ⅰ）证明：在(,0)-∞单调递减，在(0,)+∞单调递增；
（Ⅱ）若对于任意12,[1,1]x x ∈-，都有12|()()|1f x f x c -≤-，求m 的取值范围.
请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做第一题记分，做答时请写清题号。
（22）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，曲线1cos :sin x t C y t αα
=⎧⎨=⎩(t 为参数，0t ≠)，其中0απ≤<。
在以O
为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2:C 2sin ρθ=，曲线3:C ρθ=. （Ⅰ）求2C 与3C 交点的直角坐标；
（Ⅱ）若1C 与2C 相交于点A ，1C 与3C 相交于点B ，求|AB|的最大值.
（23）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设,,,a b c d 均为正数，且a b c d +=+，
证明：（Ⅰ）若ab cd >>；
>||||a b c d -<-的充要条件.。
2015年辽宁省沈阳市高考一模数学试卷(理科)【解析版】
2015年辽宁省沈阳市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）设复数z满足（1﹣i）z＝2i，则z的共轭复数（）A．﹣1+i B．﹣1﹣i C．1+i D．1﹣i2．（5分）若全集U＝{1，2，3，4，5，6}，M＝{1，4}，N＝{2，3}，则集合{5，6}等于（）A．M∪N B．M∩NC．（∁U M）∪（∁U N）D．（∁U M）∩（∁U N）3．（5分）“x＜0”是“ln（x+1）＜0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）抛物线y＝4ax2（a≠0）的焦点坐标是（）A．（0，a）B．（a，0）C．（0，）D．（，0）5．（5分）设S n为等差数列{a n}的前n项和，若a1＝1，公差d＝2，S n+2﹣S n＝36，则n＝（）A．5B．6C．7D．86．（5分）已知某几何体的三视图如，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是（）A．B．C．2cm3D．4cm37．（5分）已知x，y满足约束条件，则z＝2x+y的最大值为（）A．3B．﹣3C．1D．8．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的k的值为（）A．4B．5C．6D．79．（5分）由曲线y＝x2，y＝围成的封闭图形的面积为（）A．B．C．D．110．（5分）在△ABC中，若|+|＝|﹣|，AB＝2，AC＝1，E，F为BC边的三等分点，则•＝（）A．B．C．D．11．（5分）函数y＝﹣的图象按向量＝（1，0）平移之后得到的函数图象与函数y＝2sinπx（﹣2≤x≤4）的图象所有交点的橫坐标之和等于（）A．2B．4C．6D．812．（5分）若定义在R上的函数f（x）满足f（x）+f′（x）＞1，f（0）＝4，则不等式f（x）＞+1（e为自然对数的底数）的解集为（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，0）∪（3，+∞）C．（﹣∞，0）∪（0，+∞）D．（3，+∞）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题纸上.）13．（5分）若双曲线E的标准方程是，则双曲线E的渐进线的方程是．14．（5分）已知{a n}是等比数列，，则a1a2+a2a3+…+a n a n+1＝．15．（5分）若直线l：+＝1（a＞0，b＞0）经过点（1，2），则直线l在x轴和y轴的截距之和的最小值是．16．（5分）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若BC⊥AC，∠A＝，AC＝4，AA1＝4，M为AA1的中点，点P为BM中点，Q在线段CA1上，且A1Q＝3QC．则异面直线PQ与AC所成角的正弦值．三、解答题：（满分60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，解答过程书写在答题纸的对应位置.）17．（12分）已知函数f（x）＝2sin x sin（x+）．（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；（2）当x∈[0，]时，求f（x）的值域．18．（12分）如图，四棱锥S﹣ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD，SD＝AD＝a，点E是SD上的点，且DE＝λa（0＜λ≤1）．（Ⅰ）求证：对任意的λ＝（0，1]，都有AC⊥BE；（Ⅱ）若二面角C﹣BE﹣A的大小为120°，求实数λ的值．19．（12分）某综艺节目，所有参演的节日都由甲、乙、丙三名专业老师投票决定是否获奖，甲、乙、丙三名老师都有“获奖”、“待定”、“淘汰”三类票各一张，每个节目投票时，甲、乙、丙三名老师必须且只能投一张票，每人投三类票中的任意一类票的概率为，且三人投票相互没有影响，若投票结果中至少有两张“获奖”票，则决定该节目最终获一等奖；否则，该节目不能获一等奖．（Ⅰ）求某节目的投票结果是最终获一等奖的概率；（Ⅱ）求该节目投票结果中所含“获奖”和“待定”票票数之和X的分布列及数学期望．20．（12分）如图所示，椭圆C：+＝1（a＞b＞0），其中e＝，焦距为2，过点M（4，0）的直线l与椭圆C交于点A、B，点B在AM之间．又点A，B的中点横坐标为，且＝λ．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）求实数λ的值．21．（12分）已知函数f（x）＝alnx（a＞0），e为自然对数的底数．（Ⅰ）过点A（2，f（2））的切线斜率为2，求实数a的值；（Ⅱ）当x＞0时，求证：f（x）≥a（1﹣）；（Ⅲ）在区间（1，e）上e﹣e•x＜0恒成立，求实数a的取值范围．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.在答题卡选答区域指定位置答题，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.注意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致.【选修4-1：几何证明选讲】22．（10分）如图，已知AB是圆O的直径，C、D是圆O上的两个点，CE⊥AB 于E，BD交AC于G，交CE于F，CF＝FG．（Ⅰ）求证：C是劣弧的中点；（Ⅱ）求证：BF＝FG．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（θ为参数），直线l经过点P（1，2），倾斜角α＝．（Ⅰ）写出圆C的标准方程和直线l的参数方程；（Ⅱ）设直线l与圆C相交于A、B两点，求|P A|•|PB|的值．【选修4-5：不等式选讲】24．设函数f（x）＝|2x+1|﹣|x﹣4|．（1）解不等式f（x）＞0；（2）若f（x）+3|x﹣4|≥m对一切实数x均成立，求m的取值范围．2015年辽宁省沈阳市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）设复数z满足（1﹣i）z＝2i，则z的共轭复数（）A．﹣1+i B．﹣1﹣i C．1+i D．1﹣i【解答】解：由（1﹣i）z＝2i，得＝，∴．故选：B．2．（5分）若全集U＝{1，2，3，4，5，6}，M＝{1，4}，N＝{2，3}，则集合{5，6}等于（）A．M∪N B．M∩NC．（∁U M）∪（∁U N）D．（∁U M）∩（∁U N）【解答】解：∵5∉M，5∉N，故5∈∁U M，且5∈∁U N．同理可得，6∈∁U M，且6∈∁U N，∴{5，6}＝（∁U M）∩（∁U N），故选：D．3．（5分）“x＜0”是“ln（x+1）＜0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：∵x＜0，∴x+1＜1，当x+1＞0时，ln（x+1）＜0；∵ln（x+1）＜0，∴0＜x+1＜1，∴﹣1＜x＜0，∴x＜0，∴“x＜0”是ln（x+1）＜0的必要不充分条件．故选：B．4．（5分）抛物线y＝4ax2（a≠0）的焦点坐标是（）A．（0，a）B．（a，0）C．（0，）D．（，0）【解答】解：由题意知，y＝4ax2（a≠0），则x2＝，所以抛物线y＝4ax2（a≠0）的焦点坐标是（0，），故选：C．5．（5分）设S n为等差数列{a n}的前n项和，若a1＝1，公差d＝2，S n+2﹣S n＝36，则n＝（）A．5B．6C．7D．8【解答】解：由S n+2﹣S n＝36，得：a n+1+a n+2＝36，即a1+nd+a1+（n+1）d＝36，又a1＝1，d＝2，∴2+2n+2（n+1）＝36．解得：n＝8．故选：D．6．（5分）已知某几何体的三视图如，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是（）A．B．C．2cm3D．4cm3【解答】解：由三视图可知，该几何体为底面是正方形，且边长为2cm，高为2cm的四棱锥，如图，故，故选：B．7．（5分）已知x，y满足约束条件，则z＝2x+y的最大值为（）A．3B．﹣3C．1D．【解答】解：作图易知可行域为一个三角形，当直线z＝2x+y过点A（2，﹣1）时，z最大是3，故选：A．8．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的k的值为（）A．4B．5C．6D．7【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是：输出不满足条件S＝0+1+2+8+…＜100时，k+1的值．第一次运行：满足条件，s＝1，k＝1；第二次运行：满足条件，s＝3，k＝2；第三次运行：满足条件，s＝11＜100，k＝3；满足判断框的条件，继续运行，第四次运行：s＝1+2+8+211＞100，k＝4，不满足判断框的条件，退出循环．故最后输出k的值为4．故选：A．9．（5分）由曲线y＝x2，y＝围成的封闭图形的面积为（）A．B．C．D．1【解答】解：由曲线y＝x2，y＝，联立，因为x≥0，所以解得x＝0或x＝1所以曲线y＝x2与y＝所围成的图形的面积S＝∫01（﹣x2）dx＝﹣x3|01＝故选：B．10．（5分）在△ABC中，若|+|＝|﹣|，AB＝2，AC＝1，E，F为BC边的三等分点，则•＝（）A．B．C．D．【解答】解：若|+|＝|﹣|，则＝，即有＝0，E，F为BC边的三等分点，则＝（+）•（+）＝（）•（）＝（+）•（+）＝++＝×（1+4）+0＝．故选：B．11．（5分）函数y＝﹣的图象按向量＝（1，0）平移之后得到的函数图象与函数y＝2sinπx（﹣2≤x≤4）的图象所有交点的橫坐标之和等于（）A．2B．4C．6D．8【解答】解：函数y＝﹣的图象按向量＝（1，0）平移之后得到函数y1＝，y2＝2sinπx的图象有公共的对称中心（1，0），作出两个函数的图象如图：当1＜x≤4时，y1＜0，而函数y2在（1，4）上出现1.5个周期的图象，在（1，）和（，）上是减函数；在（，）和（，4）上是增函数．∴函数y1在（1，4）上函数值为负数，且与y2的图象有四个交点E、F、G、H，相应地，y1在（﹣2，1）上函数值为正数，且与y2的图象有四个交点A、B、C、D，且：x A+x H＝x B+x G═x C+x F＝x D+x E＝2，故所求的横坐标之和为8，故选：D．12．（5分）若定义在R上的函数f（x）满足f（x）+f′（x）＞1，f（0）＝4，则不等式f（x）＞+1（e为自然对数的底数）的解集为（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，0）∪（3，+∞）C．（﹣∞，0）∪（0，+∞）D．（3，+∞）【解答】解：不等式f（x）＞+1可化为e x f（x）﹣e x﹣3＞0；令F（x）＝e x f（x）﹣e x﹣3，则F′（x）＝e x f（x）+e x f′（x）﹣e x＝e x（f（x）+f′（x）﹣1）；∵f（x）+f′（x）＞1，∴e x（f（x）+f′（x）﹣1）＞0；故F（x）＝e x f（x）﹣e x﹣3在R上是增函数，又∵F（0）＝1×4﹣1﹣3＝0；故当x＞0时，F（x）＞F（0）＝0；故e x f（x）﹣e x﹣3＞0的解集为（0，+∞）；即不等式f（x）＞+1（e为自然对数的底数）的解集为（0，+∞）；故选：A．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题纸上.）13．（5分）若双曲线E的标准方程是，则双曲线E的渐进线的方程是y＝x．【解答】解：双曲线E的标准方程是，则a＝2，b＝1，即有渐近线方程为y＝x，即为y＝x．故答案为：y＝x．14．（5分）已知{a n}是等比数列，，则a1a2+a2a3+…+a n a n+1＝．【解答】解：由，解得．数列{a n a n+1}仍是等比数列：其首项是a1a2＝8，公比为，所以，故答案为．15．（5分）若直线l：+＝1（a＞0，b＞0）经过点（1，2），则直线l在x轴和y轴的截距之和的最小值是3+2．【解答】解：∵直线l：（a＞0，b＞0）经过点（1，2）∴＝1，∴a+b＝（a+b）（）＝3+≥3+2，当且仅当b＝a时上式等号成立．∴直线在x轴，y轴上的截距之和的最小值为3+2．故答案为：3+2．16．（5分）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若BC⊥AC，∠A＝，AC＝4，AA1＝4，M为AA1的中点，点P为BM中点，Q在线段CA1上，且A1Q＝3QC．则异面直线PQ与AC所成角的正弦值．【解答】解：以C为原点，CB为x轴，CA为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，则由题意得A（0，4，0），C（0，0，0），B（4，0，0），M（0，4，2），A1（0，4，4），P（2，2，1），＝＝（0，4，4）＝（0，1，1），∴Q（0，1，1），＝（0，﹣4，0），＝（﹣2，﹣1，0），设异面直线PQ与AC所成角为θ，cosθ＝|cos＜＞|＝||＝，∴sinθ＝＝．故答案为：．三、解答题：（满分60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，解答过程书写在答题纸的对应位置.）17．（12分）已知函数f（x）＝2sin x sin（x+）．（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；（2）当x∈[0，]时，求f（x）的值域．【解答】解：（1）f（x）＝2sin x sin（x+）＝2sin x（sin x+cos x）＝sin2x+sin x cos x＝+sin2x＝+sin（2x﹣）则函数f（x）的最小正周期T＝＝π，由2k≤2kπ+，k∈Z，解得，kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，则f（x）的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z；（2）当x∈[0，]时，2x﹣∈[﹣，]，sin（2x﹣）∈[﹣，1]，则f（x）的值域为[0，1+]．18．（12分）如图，四棱锥S﹣ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD，SD＝AD＝a，点E是SD上的点，且DE＝λa（0＜λ≤1）．（Ⅰ）求证：对任意的λ＝（0，1]，都有AC⊥BE；（Ⅱ）若二面角C﹣BE﹣A的大小为120°，求实数λ的值．【解答】（I）证明：以D为原点，DA，DC，DS为x，y，z轴，如图建立空间直角坐标系D﹣xyz，则A（a，0，0），B（a，a，0），C（0，a，0），D（0，0，0），E（0，0，λa），，…（3分）∴对任意λ∈（0，1]都成立，即AC⊥BE恒成立．…（5分）（II）解：设平面ABE的一个法向量为，∵，∴，取z1＝1，则x1＝λ，．…（7分）设平面BCE的一个法向量为，∵，取z2＝1，则y2＝λ，，…（9分）∵二面角C﹣AE﹣D的大小为120°，∴|cos＜，＞|＝，∴λ＝1为所求．…（12分）19．（12分）某综艺节目，所有参演的节日都由甲、乙、丙三名专业老师投票决定是否获奖，甲、乙、丙三名老师都有“获奖”、“待定”、“淘汰”三类票各一张，每个节目投票时，甲、乙、丙三名老师必须且只能投一张票，每人投三类票中的任意一类票的概率为，且三人投票相互没有影响，若投票结果中至少有两张“获奖”票，则决定该节目最终获一等奖；否则，该节目不能获一等奖．（Ⅰ）求某节目的投票结果是最终获一等奖的概率；（Ⅱ）求该节目投票结果中所含“获奖”和“待定”票票数之和X的分布列及数学期望．【解答】解：（1）设“某节目的投票结果是最终获一等奖”为事件A，则事件A包含该节目可以获2张“获奖票”或该节目可以获3张“获奖票”，∵甲、乙、丙三名老师必须且只能投一张票，每人投三类票中的任意一类票的概率为，且三人投票相互没有影响，∴某节目的投票结果是最终获一等奖的概率：P（A）＝＝．（2）所含“获奖”和“待定”票数之和X的值为0，1，2，3，P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝＝，∴X的分布列为：E（X）＝＝2．20．（12分）如图所示，椭圆C：+＝1（a＞b＞0），其中e＝，焦距为2，过点M（4，0）的直线l与椭圆C交于点A、B，点B在AM之间．又点A，B的中点横坐标为，且＝λ．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）求实数λ的值．【解答】解：（I）由条件可知，c＝1，a＝2，故b2＝a2﹣c2＝3，椭圆的标准方程是．（II）由，可知A，B，M三点共线，设点A（x1，y1），点B（x2，y2）．若直线AB⊥x轴，则x1＝x2＝4，不合题意．当AB所在直线l的斜率k存在时，设直线l的方程为y＝k（x﹣4）．由消去y得，（3+4k2）x2﹣32k2x+64k2﹣12＝0．①由①的判别式△＝322k4﹣4（4k2+3）（64k2﹣12）＝144（1﹣4k2）＞0，解得，，由，可得，即有．将代入方程①，得7x2﹣8x﹣8＝0，则x1＝，x2＝．又因为，，，所以，所以λ＝．21．（12分）已知函数f（x）＝alnx（a＞0），e为自然对数的底数．（Ⅰ）过点A（2，f（2））的切线斜率为2，求实数a的值；（Ⅱ）当x＞0时，求证：f（x）≥a（1﹣）；（Ⅲ）在区间（1，e）上e﹣e•x＜0恒成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（I），，a＝4．…（2分）（Ⅱ）令．…（4分）令g'（x）＞0，即，解得x＞1，所以g（x）在（0，1）上递减，在（1，+∞）上递增．所以g（x）最小值为g（1）＝0，所以．…（6分）（Ⅲ）由题意可知，化简得，a＞．…（8分）令h（x）＝，则h′（x）＝，∴．…（9分）由（Ⅱ）知，在x∈（1，e）上，lnx﹣1+＞0，∴h′（x）＞0，即函数h（x）在（1，e）上单调递增，∴h（x）＜h（e）＝e﹣1．…（11分），∴a≥e﹣1．…（12分）请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.在答题卡选答区域指定位置答题，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.注意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致.【选修4-1：几何证明选讲】22．（10分）如图，已知AB是圆O的直径，C、D是圆O上的两个点，CE⊥AB 于E，BD交AC于G，交CE于F，CF＝FG．（Ⅰ）求证：C是劣弧的中点；（Ⅱ）求证：BF＝FG．【解答】解：（I）∵CF＝FG∴∠CGF＝∠FCG∵AB圆O的直径∴∵CE⊥AB∴∵∴∠CBA＝∠ACE∵∠CGF＝∠DGA∴∴∠CAB＝∠DAC∴C为劣弧BD的中点（5分）（II）∵∴∠GBC＝∠FCB∴CF＝FB又因为CF＝GF∴BF＝FG（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】23．在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（θ为参数），直线l经过点P（1，2），倾斜角α＝．（Ⅰ）写出圆C的标准方程和直线l的参数方程；（Ⅱ）设直线l与圆C相交于A、B两点，求|P A|•|PB|的值．【解答】解：（I）消去θ，得圆的标准方程为x2+y2＝16．…（2分）直线l的参数方程为，即（t为参数）…（5分）（Ⅱ）把直线的方程代入x2+y2＝16，得（1+t）2+（2+t）2＝16，即t2+（2+）t﹣11＝0，…（8分）所以t1t2＝﹣11，即|P A|•|PB|＝11．…（10分）【选修4-5：不等式选讲】24．设函数f（x）＝|2x+1|﹣|x﹣4|．（1）解不等式f（x）＞0；（2）若f（x）+3|x﹣4|≥m对一切实数x均成立，求m的取值范围．【解答】解：（1）当x≥4时，f（x）＝2x+1﹣（x﹣4）＝x+5＞0，得x＞﹣5，所以x≥4成立；当﹣≤x＜4时，f（x）＝2x+1+x﹣4＝3x﹣3＞0，得x＞1，所以1＜x＜4成立；当x＜﹣时，f（x）＝﹣x﹣5＞0，得x＜﹣5，所以x＜﹣5成立．综上，原不等式的解集为{x|x＞1或x＜﹣5}；（2）令F（x）＝f（x）+3|x﹣4|＝|2x+1|+2|x﹣4|≥|2x+1﹣（2x﹣8）|＝9，当﹣时等号成立．即有F（x）的最小值为9，所以m≤9．即m的取值范围为（﹣∞，9]．。
辽宁理科数学高考试题及答案
边上的高为
h
，那么
SABD
1 2
BD h
,
SACD
1 2
CD h 。
因为
SABD
2SACD
,所以
CD BD
1 2
。
AD
平分 BAC
,由根据三角形内角平分线
性质定理知, CD AC .根据正弦定理得 sin B AC 。于是 sin B 1 。
BD AB
sin C AB
sin C 2
〔Ⅱ〕 BD 2CD 2 2 2 。在 ABD 和 ADC 中,由余弦定理可知 2
〔Ⅰ)证明: EF A BC ；
〔Ⅱ〕假设 AG 等于⊙Ｏ的半径，且 AE MN 2 3
， 求四边形ＥＢCF 的面积.
〔23〕〔本小题总分值 1０分)选修 4—４：坐标系与参数方程
在直角坐标系
xOy
中，曲线
C1
:
x y
t t
cos sin
(
t
为参数,
t
0
)，其中
0 .在以 O 为极点， x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C2 :
边形？假设能，求此时 l 的斜率；假设不能，说明理由。 〔2１〕(本小题总分值 12 分〕设函数 f (x) emx x2 mx 。
(Ⅰ〕证明：在 (, 0) 单调递减，在 (0, ) 单调递增；
〔Ⅱ〕假设对于任意 x1, x2 [1,1] ,都有| f (x1) f (x2 ) | c 1,求 m 的取值范
相应事件发生的概率,求 C 的概率。
(19〕〔本小题总分值１2分)
如图，长方体 AＢＣD—Ａ1B1C１D1中 AＢ＝１６,BC=1０,ＡA1=8，点 Ｅ,Ｆ 分别在 Ａ１B１，D1C１上,Ａ1E=D１F＝4.过点 Ｅ，F 的平面 与此长方 体的面相交，交线围成一个正方形。
2015高考全国各省市学霸
2015全国各省高考状元是他们！高智商高颜值北京市高考理科状元刘智昕来自人大附中的高三(5)班的刘智昕以721分拿下北京市高考理科状元语文136 ，数学145，英语147，理综293总分721分。
生于1998年1月8日的她如今刚刚17岁，一副乖乖女模样丝毫想不到她是超级大学霸。
北京2015年文科状元蔡雨玹2015年北京市高考文科状元花落北京师范大学第二附属中学(以下简称师大二附)，高三九班的蔡雨玹以699分夺得北京高考文科第一名，其中语文142分，数学150分，英语135分，文综272分。
2015年上海理科状元许东我是“学霸”做啥像啥高考分数：557分(语文：123分，数学：149分，外语：138分，化学：147分)2015年上海文科状元刘逸冲从典型理科男转型文科“学霸”高考成绩：526分(语文112分、数学147分、英语140分、政治127分)天津2015年高考理科状元大港油田实验中学赵秋阳获得2015年天津市高考理科状元！总成绩706分。
大港油田实验中学高三理科班高考成绩语文133分数学143分外语140分理综290分总分706分天津2015年高考文科状元耀华中学张杨子苏获得2015年天津市高考文科状元！总成绩684分。
耀华中学高三文科班高考成绩语文132分数学142分外语145分文综265分总分684分2015年江苏高考理科状元花落泰州姜堰区泰州姜堰中学高三(8)班蒋婧煜以总分425分的高分荣获全省理科状元。
2015年江苏高考文科状元花落南通南通中学高三(11)班袁清晗同学以418分成为江苏文科状元。
2015年山东高考理科状元出自山东嘉祥一中。
山东嘉祥一中贾晶同学以726分裸分加5分省级三好学生加分，总分731分成为山东理科状元。
2015年山东高考文科两位状元分别出自山东青州市第一中学和山东胶州市第一中学。
山东青州市第一中学陈兰君同学和山东省胶州市第一中学向淑婷同学以681分裸分并列成为山东文科状元。
2015届高考数学(人教,理科)大一轮配套练透：第7章 立体几何 第5节
[课堂练通考点]1．(2013·全国新课标卷Ⅱ)已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β.直线l满足l ⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则()A．α∥β且l∥αB．α⊥β且l⊥βC．α与β相交，且交线垂直于lD.α与β相交，且交线平行于l解析：选D由于m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β，则平面α与平面β必相交，但未必垂直，且交线垂直于直线m，n，又直线l满足l⊥m，l⊥n，则交线平行于l，故选D.2．已知l，m，n为两两垂直的三条异面直线，过l作平面α与直线m垂直，则直线n 与平面α的关系是()A．n∥αB．n∥α或n⊂αC．n⊂α或n与α不平行D．n⊂α解析：选A∵l⊂α，且l与n异面，∴n⊄α，又∵m⊥α，n⊥m，∴n∥α.3．设a，b为不重合的两条直线，α，β为不重合的两个平面，给出下列命题：(1)若a∥α且b∥α，则a∥b；(2)若a⊥α且a⊥β，则α∥β；(3)若α⊥β，则一定存在平面γ，使得γ⊥α，γ⊥β；(4)若α⊥β，则一定存在直线l，使得l⊥α，l∥β.上面命题中，所有真命题的序号是________．解析：(1)中a与b可能相交或异面，故不正确．(2)垂直于同一直线的两平面平行，正确．(3)中存在γ，使得γ与α，β都垂直．(4)中只需直线l⊥α且l⃘β就可以．答案：(2)(3)(4)4．如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱垂直于底面，∠ACB＝90°，2AC＝AA1，D，M 分别是棱AA1，BC的中点，证明：(1)AM ∥平面BDC 1；(2)DC 1⊥平面BDC .证明：(1)取BC1的中点N ，连接DN ，MN ，则MN 綊12CC 1. 又AD 綊12CC 1，∴AD ∥MN ，且AD ＝MN ，∴四边形ADNM 为平行四边形，∴DN ∥AM ，又DN ⊂平面BDC 1，AM ⊄平面BDC 1，∴AM ∥平面BDC 1.(2)由题设知BC ⊥CC 1，BC ⊥AC ，又CC 1∩AC ＝C ，∴BC ⊥平面ACC 1A 1.又DC 1⊂平面ACC 1A 1，∴DC 1⊥BC ，又由题设知∠A 1DC 1＝∠ADC ＝45°，∴∠CDC 1＝90°，∴DC 1⊥DC .又DC ∩BC ＝C ，∴DC 1⊥平面BDC .[课下提升考能]第Ⅰ卷：夯基保分卷1．在空间中，给出下面四个命题：①过一点有且只有一个平面与已知直线垂直；②若平面外两点到平面的距离相等，则过两点的直线必平行于该平面；③垂直于同一条直线的两条直线互相平行；④若两个平面相互垂直，则一个平面内的任意一条直线必定垂直于另一个平面内的无数条直线．其中正确的命题是( )A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④解析：选D 易知①④正确；对于②，过两点的直线可能与平面相交；对于③，垂直于同一条直线的两条直线可能平行，也可能相交或异面．故选D.2．(2014·南昌模拟)设a ，b 是夹角为30°的异面直线，则满足条件“a ⊂α，b ⊂β，且α⊥β”的平面α，β( )A ．不存在B ．有且只有一对C ．有且只有两对D ．有无数对解析：选D 过直线a 的平面α有无数个，当平面α与直线b 平行时，两直线的公垂线与b 确定的平面β⊥α，当平面α与b 相交时，过交点作平面α的垂线与b 确定的平面β⊥α.故选D.3．已知在空间四边形ABCD 中，AD ⊥BC ，AD ⊥BD ，且△BCD 是锐角三角形，则必有( )A ．平面ABD ⊥平面ADCB ．平面ABD ⊥平面ABC C ．平面ADC ⊥平面BDCD ．平面ABC ⊥平面BDC解析：选C ∵AD ⊥BC ，AD ⊥BD ，BC ∩BD ＝B ，∴AD ⊥平面BDC ，又AD ⊂平面ADC ，∴平面ADC ⊥平面BDC .故选C.4.如图，直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，侧棱长为2，AC ＝BC ＝1，∠ACB＝90°，D 是A 1B 1的中点，F 是BB 1上的动点，AB 1，DF 交于点E .要使AB 1⊥平面C 1DF ，则线段B 1F 的长为( )A.12B ．1 C.32 D ．2解析：选A 设B 1F ＝x ，因为AB 1⊥平面C 1DF ，DF ⊂平面C 1DF ，所以AB 1⊥DF .由已知可以得A 1B 1＝2，设Rt △AA 1B 1斜边AB 1上的高为h ，则DE ＝12h .又2×2＝h 22＋(2)2，所以h ＝233，DE ＝33.在Rt △DB 1E 中，B 1E ＝⎝⎛⎭⎫222－⎝⎛⎭⎫332＝66.由面积相等得66×x 2＋⎝⎛⎭⎫222＝22x ，得x ＝12.5.如图所示，在四棱锥P -ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，且底面各边都相等，M 是PC 上的一动点，当点M 满足________时，平面MBD ⊥平面PCD .(只要填写一个你认为是正确的条件即可)解析：由定理可知，BD ⊥PC .∴当DM ⊥PC (或BM ⊥PC )时，即有PC ⊥平面MBD .而PC ⊂平面PCD ，∴平面MBD ⊥平面PCD .答案：DM ⊥PC (或BM ⊥PC 等)6．假设平面α∩平面β＝EF ，AB ⊥α，CD ⊥β，垂足分别为B ，D ，如果增加一个条件，就能推出BD ⊥EF ，现有下面四个条件：①AC ⊥α；②AC 与α，β所成的角相等；③AC 与BD 在β内的射影在同一条直线上；④AC∥EF.其中能成为增加条件的是________．(把你认为正确的条件序号都填上)解析：如果AB与CD在一个平面内，可以推出EF垂直于该平面，又BD在该平面内，所以BD⊥EF.故要证BD⊥EF，只需AB，CD在一个平面内即可，只有①③能保证这一条件．答案：①③7．(2013·辽宁高考)如图，AB是圆O的直径，P A垂直圆O所在的平面，C是圆O上的点．(1)求证：BC⊥平面P AC；(2)设Q为P A的中点，G为△AOC的重心．求证：QG∥平面PBC.证明：(1)证明：由AB是圆O的直径，得AC⊥BC.由P A⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，得P A⊥BC.又P A∩AC＝A，P A⊂平面P AC，AC⊂平面P AC，所以BC⊥平面P AC.(2)连OG并延长交AC于M，连接QM，QO，由G为△AOC的重心，得M为AC中点．由Q为P A中点，得QM∥PC.又O为AB中点，得OM∥BC.因为QM∩MO＝M，QM⊂平面QMO，MO⊂平面QMO，BC∩PC＝C，BC⊂平面PBC，PC⊂平面PBC，所以平面QMO∥平面PBC.因为QG⊂平面QMO，所以QG∥平面PBC.8．(2013·北京高考)如图，在四棱锥P-ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面P AD⊥底面ABCD，P A⊥AD，E和F分别为CD和PC的中点．求证：(1)P A⊥底面ABCD；(2)BE∥平面P AD；(3)平面BEF⊥平面PCD.证明：(1)因为平面P AD⊥底面ABCD，且P A垂直于这两个平面的交线AD，所以P A⊥底面ABCD.(2)因为AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点，所以AB ∥DE ，且AB ＝DE .所以ABED 为平行四边形．所以BE ∥AD .又因为BE ⊄平面P AD ，AD ⊂平面P AD ，所以BE ∥平面P AD .(3)因为AB ⊥AD ，而且ABED 为平行四边形．所以BE ⊥CD ，AD ⊥CD ，由(1)知P A ⊥底面ABCD ，所以P A ⊥CD ，因为P A ∩AD ＝A ，所以CD ⊥平面P AD .所以CD ⊥PD .因为E 和F 分别是CD 和PC 的中点，所以PD ∥EF ，所以CD ⊥EF .又EF ∩BE ＝E ，所以CD ⊥平面BEF .所以平面BEF ⊥平面PCD .第Ⅱ卷：提能增分卷1．如图1，在边长为1的等边三角形ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 上的点，AD ＝AE ，F 是BC 的中点，AF 与DE 交于点G .将△ABF 沿AF 折起，得到如图2所示的三棱锥A -BCF ，其中BC ＝22.图1 图2(1)证明：DE ∥平面BCF ；(2)证明：CF ⊥平面ABF ；(3)当AD ＝23时，求三棱锥F -DEG 的体积V F -DEG . 解：(1)证明：如图1，在等边三角形ABC 中，AB ＝AC .∵AD ＝AE ，∴AD DB ＝AE EC，∴DE ∥BC ， ∴DG ∥BF ，如图2，DG ⊄平面BCF ，BF ⊂平面BCF ，∴DG ∥平面BCF .同理可证GE ∥平面BCF .∵DG ∩GE ＝G ，∴平面GDE ∥平面BCF ，∴DE ∥平面BCF .(2)证明：如图1，在等边三角形ABC 中，F 是BC 的中点，∴AF ⊥FC ，∴BF ＝FC ＝12BC ＝12. 在图2中，∵BC ＝22，∴BC 2＝BF 2＋FC 2，∴∠BFC ＝90°， ∴FC ⊥BF .∵BF ∩AF ＝F ，∴CF ⊥平面ABF .(3)∵AD ＝23，∴BD ＝13，AD ∶DB ＝2∶1， 在图2中，AF ⊥FC ，AF ⊥BF ，∴AF ⊥平面BCF ，由(1)知平面GDE ∥平面BCF ，∴AF ⊥平面GDE .在等边三角形ABC 中，AF ＝32AB ＝32， ∴FG ＝13AF ＝36，DG ＝23BF ＝23×12＝13＝GE ， ∴S △DGE ＝12DG ·EG ＝118，∴V F -DEG ＝13S △DGE ·FG ＝3324. 2．如图，在三棱锥A -BOC 中，AO ⊥平面COB ，∠OAB ＝∠OAC ＝π6，AB ＝AC ＝2，BC ＝2，D 、E 分别为AB 、OB 的中点．(1)求证：CO ⊥平面AOB ；(2)在线段CB 上是否存在一点F ，使得平面DEF ∥平面AOC ，若存在，试确定F 的位置；若不存在，请说明理由．解：(1)证明：因为AO ⊥平面COB ，所以AO ⊥CO ，AO ⊥BO .即△AOC 与△AOB 为直角三角形．又因为∠OAB ＝∠OAC ＝π6，AB ＝AC ＝2， 所以OB ＝OC ＝1.由OB 2＋OC 2＝1＋1＝2＝BC 2，可知△BOC 为直角三角形．所以CO ⊥BO ，又因为AO ∩BO ＝O ，所以CO ⊥平面AOB .(2)在段线CB 上存在一点F ，使得平面DEF ∥平面AOC ，此时F 为线段CB 的中点．如图，连接DF ，EF ，因为D 、E 分别为AB 、OB 的中点，所以DE ∥OA .又DE ⊄平面AOC 上，所以DE ∥平面AOC .因为E 、F 分别为OB 、BC 的中点，所以EF ∥OC .又EF ⊄平面AOC ，所以EF ∥平面AOC ，又EF ∩DE ＝E ，EF ⊂平面DEF ，DE ⊂平面DEF ，所以平面DEF ∥平面AOC .3.如图，在正三棱柱ABC -A1B 1C 1中，点D 在边BC 上，AD ⊥C 1D .(1)求证：AD ⊥平面BCC 1B 1；(2)设E 是B 1C 1上的一点，当B 1E EC 1的值为多少时，A 1E ∥平面ADC 1？请给出证明．解：(1)证明：在正三棱柱中，CC 1⊥平面ABC ，AD ⊂平面ABC ，∴AD ⊥CC 1.又∵AD ⊥C 1D ，CC 1∩C 1D ＝C 1，CC 1⊂平面BCC 1B 1，C 1D ⊂平面BCC 1B 1， ∴AD ⊥平面BCC 1B 1.(2)由(1)，得AD ⊥BC .在正三角形ABC 中，D 是BC 的中点．当B 1E EC 1＝1，即E 为B 1C 1的中点时，A 1E ∥平面ADC 1. 证明如下，作图如图所示．事实上，正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，四边形BCC 1B 1是矩形，且D ，E 分别是BC ，B 1C 1的中点，所以B 1B ∥DE ，B 1B ＝DE .又∵B 1B ∥AA 1，且B 1B ＝AA 1，∴DE ∥AA 1，且DE ＝AA 1.∴四边形ADEA 1为平行四边形，∴EA 1∥AD .而A 1E ⊄平面ADC 1，AD ⊂平面ADC 1，故A 1E ∥平面ADC 1.。
2015届高考数学(人教,理科)大一轮配套练透：第9章 计数原理与概率、随机变量及其分布 第3节
[课堂练通考点]1．(2013·辽宁高考)使⎝⎛⎭⎫3x ＋1x x n(n ∈N ＋)的展开式中含有常数项的最小的n 为( )A ．4B ．5C ．6D ．7解析：选B由二项式定理得，T r ＋1＝C r n (3x )n －r⎝⎛⎭⎫1x x r ＝C r n3n －r x 52n r －，令n －52r ＝0，当r ＝2时，n ＝5，此时n 最小．2．(2013·贵阳模拟)在二项式(x 2＋x ＋1)(x －1)5的展开式中，含x 4项的系数是( ) A ．－25 B ．－5 C ．5D ．25解析：选B ∵(x 2＋x ＋1)(x －1)＝x 3－1，∴原式可化为(x 3－1)(x －1)4.故展开式中，含x 4项的系数为C 34(－1)3－C 04＝－4－1＝－5.3．(2014·厦门质检)()2－x 8的展开式中不含x 4项的系数的和为( ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．2解析：选B ()2－x 8展开式中各项的系数和为()2－18＝1，展开式的通项为C r 828－r(－x )r ，则x 4项的系数为C 88×28－8＝1，则()2－x 8展开式中不含x 4项的系数的和为0. 4．若(2x －3)5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5，则a 1＋2a 2＋3a 3＋4a 4＋5a 5等于________．解析：在已知等式两边对x 求导，得5(2x －3)4×2＝a 1＋2a 2x ＋3a 3x 2＋4a 4x 3＋5a 5x 4，令x ＝1得a 1＋2a 2＋3a 3＋4a 4＋5a 5＝5×(2×1－3)4×2＝10.答案：105．(2014·荆州模拟)已知a ＝4⎠⎜⎛0π2 cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6d x ，则二项式⎝⎛⎭⎫x 2＋ax 5的展开式中x 的系数为________．解析：依题意得a ＝4⎠⎜⎛0π2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6d x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π62π＝－2，即a ＝－2，则T r ＋1＝C r 5(－2)r x 10－3r，当r ＝3时，T 4＝－80x .故二项式⎝⎛⎭⎫x 2＋ax 5的展开式中x 的系数为－80. 答案：－80[课下提升考能]第Ⅰ组：全员必做题 1．设⎝⎛⎭⎫x －2x 6的展开式中x 3的系数为A ，二项式系数为B ，则AB ＝( )A ．4B ．－4C ．26D ．－26解析：选A T k ＋1＝C k 6x6－k⎝⎛⎭⎫－2x k ＝C k 6(－2)k x 362k－，令6－3k 2＝3，即k ＝2，所以T 3＝C 26(－2)2x 3＝60x 3，所以x 3的系数为A ＝60，二项式系数为B ＝C 26＝15，所以A B ＝6015＝4，选A.2．(2013·湖北八校联考)在⎝⎛⎭⎫x 2－1x n 的展开式中，常数项为15，则n 的值可以为( ) A ．3 B ．4 C ．5D ．6解析：选D ∵T r ＋1＝C r n (x 2)n －r ⎝⎛⎭⎫－1x r ＝C r n (－1)r x 2n －3r， ∴C r n (－1)r＝15且2n －3r ＝0，∴n 可能是6，选D.3．(2013·济南模拟)二项式⎝⎛⎭⎪⎫x 2－13x 8的展开式中常数项是( )A ．28B ．－7C ．7D ．－28解析：选C 展开式的通项公式是T r ＋1＝C r 8⎝⎛⎭⎫x 28－r ·(－1)r x 3r－，令8－r －r 3＝0，得r ＝6，所以展开式中的常数项为C 68×⎝⎛⎭⎫122＝28×14＝7. 4．(2013·陕西高考)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫x －1x 6，x <0，－x ，x ≥0，则当x >0时，f (f (x ))表达式的展开式中常数项为( )A ．－20B ．20C ．－15D ．15解析：选A 依据分段函数的解析式，得f (f (x ))＝f (－x )＝⎝⎛⎭⎫1x －x 6，∴T r ＋1＝C r 6(－1)r x r －3，则常数项为C 36(－1)3＝－20.5．(2013·北京东城模拟)(x －2y )8的展开式中，x 6y 2项的系数是( ) A ．56B ．－56C ．28D ．－28解析：选A 由二项式定理通项公式得，所求系数为C 28(－2)2＝56.6．(2014·合肥质检)若(x ＋2＋m )9＝a 0＋a 1(x ＋1)＋a 2(x ＋1)2＋…＋a 9(x ＋1)9，且(a 0＋a 2＋…＋a 8)2－(a 1＋a 3＋…＋a 9)2＝39，则实数m 的值为( )A ．1或－3B ．－1或3C ．1D ．－3解析：选A 令x ＝0，得到a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9＝(2＋m )9，令x ＝－2，得到a 0－a 1＋a 2－a 3＋…－a 9＝m 9，所以有(2＋m )9m 9＝39，即m 2＋2m ＝3，解得m ＝1或－3.7．(2014·黄冈模拟)设a ＝⎠⎛12(3x 2－2x )d x ，则二项式⎝⎛⎭⎫ax 2－1x 6展开式中的第4项为( ) A ．－1 280x 3 B ．－1 280 C ．240D ．－240解析：选A 由微积分基本定理知a ＝4，⎝⎛⎭⎫4x 2－1x 6展开式中的第4项为T 3＋1＝C 36(4x 2)3⎝⎛⎭⎫－1x 3＝－1 280x 3，选A. 8．(2013·青岛一检)“n ＝5”是“⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋13x n(n ∈N *)的展开式中含有常数项”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 因为⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋13x n (n ∈N *)展开式的通项T r ＋1＝C r n 2n －r x 23n r r －－，⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋13x n 的展开式中含有常数项时满足n －r 2－r 3＝0，当n ＝5时，15－5r6＝0，解得r ＝3，此时含有常数项；反之，当n ＝10时，r ＝6，也有常数项，但是不满足n ＝5.故“n ＝5”是“⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋13x n(n ∈N *)的展开式中含有常数项”的充分不必要条件，选A.9．(2013·浙江高考)设二项式⎝⎛⎭⎪⎫x －13x 5的展开式中常数项为A ，则A ＝________.解析：T r ＋1＝(－1)r C r 5x 1556r －，令15－5r ＝0，得r ＝3，故常数项A ＝(－1)3C 35＝－10.答案：－1010．(2014·福州质检)在(1－x 2)20的展开式中，如果第4r 项和第r ＋2项的二项式系数相等，则r ＝________.解析：由题意得，C 4r －120＝C r ＋120故4r －1＝r ＋1或4r －1＋r ＋1＝20，即r ＝23或r ＝4.因为r 为整数，故r ＝4.答案：411．(2013·广州二模)在⎝⎛⎭⎪⎫3x －2x 15的展开式中，x 的整数次幂的项的个数为________．解析：展开式的通项为T r ＋1＝(－1)r C r 15(3x )15－r⎝⎛⎭⎫2x r ＝(－1)r 2r C r 15x3056r -，由题意5－56r为非负整数，得r ＝0或6，∴符合要求的项的个数为2.答案：212．若⎝⎛⎭⎫x ＋1x n 的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中1x 2的系数为________．解析：利用二项展开式的通项公式求解．由题意知，C 2n ＝C 6n ，∴n ＝8.∴T r ＋1＝C r 8·x 8－r ·⎝⎛⎭⎫1x r ＝C r 8·x 8－2r ， 当8－2r ＝－2时，r ＝5， ∴1x 2的系数为C 58＝C 38＝56. 答案：56第Ⅱ组：重点选做题1．已知⎝⎛⎭⎫x －2x 2n (n ∈N *)的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是10∶1. (1)求展开式中各项系数的和； (2)求展开式中含x 32的项；解：由题意知，第五项系数为C 4n ·(－2)4， 第三项的系数为C 2n ·(－2)2，则有C 4n ·(－2)4C 2n ·(－2)2＝101，化简得n 2－5n －24＝0，解得n ＝8或n ＝－3(舍去)． (1)令x ＝1得各项系数的和为(1－2)8＝1. (2)通项公式T k ＋1＝C k 8·(x )8－k·⎝⎛⎭⎫－2x 2k ＝C k8·(－2)k ·x 82k －－2k ，令8－k 2－2k ＝32，则k ＝1，故展开式中含x 32的项为T 2＝－16x 32.2．(1)求证：1＋2＋22＋…＋25n －1(n ∈N *)能被31整除；(2)求S ＝C 127＋C 227＋…＋C 2727除以9的余数．解：(1)证明：∵1＋2＋22＋…＋25n －1＝25n －12－1＝25n －1＝32n －1＝(31＋1)n －1＝C 0n ×31n ＋C 1n ×31n －1＋…＋C n －1n ×31＋C nn －1＝31(C 0n ×31n －1＋C 1n ×31n －2＋…＋C n －1n )，显然C 0n ×31n －1＋C 1n ×31n －2＋…＋C n －1n 为整数，∴原式能被31整除．(2)S ＝C 127＋C 227＋…＋C 2727＝227－1＝89－1＝(9－1)9－1＝C 09×99－C 19×98＋…＋C 89×9－C 99－1 ＝9(C 09×98－C 19×97＋…＋C 89)－2. ∵C 09×98－C 19×97＋…＋C 89是整数，∴S 被9除的余数为7.。
2014年辽宁省高考数学分析及2015年备考建议(理)
2014年辽宁高考数学理科试卷分析及2015年备考建议一、高考试卷分析对比213年辽宁高考理科试卷，2014年辽宁理科试卷考查的知识点与考查的能力基本一致，只不过在一些题有一些创新，导致学生感觉有一些难度。
模拟考试常考的球的问题没有出现，反而函数部分增加了题量。
但这套试卷充分体现我们考纲对三基与五个应用的考察。
本套试卷内容覆盖全面，重难点分明，更加注重学生对主干知识的掌握和应用。
在解题方面本套试卷更注重对学生的计算能力和应变能力的考查。
基于以上的分析2014年辽宁理科试卷难度比2013年高考难段有很大提升，二、试卷结构全卷共分为Ⅰ卷和Ⅱ卷两部分。
满分150分。
Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题本题共12个小题，每题5分，共60分。
Ⅱ卷：（非选择题，共90分）二、填空题本题共4小题，每小题5分，共20分。
三、解答题本题共6小题，共70分。
其中第13~21题为必考题，第22~24为选考题。
三、考点分析（一）选择题题号考查的知识点难易程度分值1 集合的交集、补集运算基础题5分2 复数代数形式的乘除运算基础题5分3 指数对数比较大小基础题5分4 空间中直线与直线之间的位置关系基础题5分5 复合命题的真假基础题5分6 计数原理的应用基础题5分7 三视图与几何体的体积问题基础题5分8 数列的函数特性基础题5分9 函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换中档题5分10 直线与圆锥曲线的关系中档题5分函数恒成立问题；其他不等式的解难题5分11法函数恒成立问题；绝对值不等式的难题5分12解法通过以上可以看出：今年高考的前三道小题与我们之前在模拟考试以及平时练习中一样，难度很小，学生只需要细心运算就能解决问题。
第5题，如果忽视了已知条件，易将命题q错判为假命题。
第9，10，11,12首更加注重考查了数形结合的能力,第11，12题更加注重了转化能力。
.第12题，作为抽象函数问题，信息量比较大，所以易使有些学生在解答中出现慌乱的情况。
2015高考全国各省市学霸
2015高考全国各省市学霸2015年上海理科状元许东我是“学霸”做啥像啥高考分数：557分(语文：123分，数学：149分，外语：138分，化学：147分)2015年上海文科状元刘逸冲从典型理科男转型文科“学霸”高考成绩：526分(语文112分、数学147分、英语140分、政治127分)天津2015年高考理科状元大港油田实验中学赵秋阳获得2015年天津市高考理科状元！总成绩706分。
大港油田实验中学高三理科班高考成绩语文133分数学143分外语140分理综290分总分706分天津2015年高考文科状元耀华中学张杨子苏获得2015年天津市高考文科状元！总成绩684分。
耀华中学高三文科班高考成绩语文132分数学142分外语145分文综265分总分684分2015年江苏高考理科状元花落泰州姜堰区泰州姜堰中学高三(8)班蒋婧煜以总分425分的高分荣获全省理科状元。
2015年江苏高考文科状元花落南通南通中学高三(11)班袁清晗同学以418分成为江苏文科状元。
2015年山东高考理科状元出自山东嘉祥一中。
山东嘉祥一中贾晶同学以726分裸分加5分省级三好学生加分，总分731分成为山东理科状元。
2015年山东高考文科两位状元分别出自山东青州市第一中学和山东胶州市第一中学。
山东青州市第一中学陈兰君同学和山东省胶州市第一中学向淑婷同学以681分裸分并列成为山东文科状元。
四川理科第一名是绵阳中学高三13班高志华，以总分689分的成绩夺得。
四川省文科第一名是成都外国语学校学生万妙然(如图女孩)，考分681分。
湖北2015高考理科状元襄阳五中刘世豪，699分。
各科成绩分别为语文126，数学141，英语146，理综286。
湖北2015高考文科状元襄阳五中陈凤竹，643分。
2015广西高考文理科状元文科状元柳铁一中凌志宇以672分摘取2015年广西省文科状元(上图男孩)。
2015广西高考理科状元为全州高中李忠明,以总分721摘取2015年广西省理科状元。
辽宁高考数学理科卷解析
一、选择题（每小题5分，共60分）. 1.已知集合{}{}35,55M x x N x x =-<=-<<,则MN =( )A. {}55x x -<< B. {}35x x -<< C. {}55x x-< D. {}35x x -<【测量目标】集合的基本运算.【考查方式】给出两个集合运用集合间的交集运算求解交集表示的范围. 【难易程度】容易 【参考答案】B【试题解析】直接利用交集性质求解,或者画出数轴求解. 2.已知复数12i z =-，那么1z=( )A.55+ B.i 55- C.12i 55+ D.12i 55- 【测量目标】复数的基本运算、共轭复数.【考查方式】给出复数的共轭复数的分数形式求其值. 【难易程度】容易 【参考答案】D 【试题解析】21112i 12i 12i 12i (12i)(12i)1255z --====-++-+. 3.平面向量a 与b 的夹角为60︒，(2,0)=a ，1=b 则2+=a b( )【测量目标】平面向量的数量积运算.【考查方式】给出平面向量之间的夹角及一个向量的坐标表示求模. 【难易程度】容易 【参考答案】B【试题解析】由已知2222,2444421cos60412︒=+=++=+⨯⨯⨯+=a a b a a b b ,∴2+=a b 4. 已知圆C 与直线0x y -=及40x y --=都相切，圆心在直线0x y +=上，则圆C 的方程为( )A.22(1)(1)2x y ++-= B. 22(1)(1)2x y -++= C.22(1)(1)2x y -+-= D. 22(1)(1)2x y +++=【测量目标】直线与圆的位置关系，圆的方程.【考查方式】已知圆与一条已知直线之间的位置关系和圆心所在的直线方程求圆的一般方程. 【难易程度】容易 【参考答案】B【试题解析】圆心在0x y +=上,排除C 、D,再结合图象,或者验证A 、B 中圆心到两直线的距离等于半径2即可.5.从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有 ( ) A.70种 B. 80种 C. 100种 D.140种 【测量目标】排列组合.【考查方式】给出实际问题运用排列组合的性质运算求解答案. 【难易程度】容易 【参考答案】A【试题解析】直接法：一男两女,有1254C C ＝5×6＝30种,两男一女,有2154C C ＝10×4＝40种,共计70种.间接法：任意选取39C ＝84种,其中都是男医生有35C ＝10种,都是女医生有14C ＝4种,于是符合条件的有84－10－4＝70种. 6.设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若633S S =,则69SS = ( )A. 2 B. 73C. 83D.3【测量目标】等比数列的前n 项和，等比数列的性质.【考查方式】给出等比数列的前n 项和的比的形式求解其值.【难易程度】容易 【参考答案】B【试题解析】设公比为q ,则3336333(1)132S q S q q S S +==+=⇒=.于是63693112471123S q q S q ++++===++. 7.曲线2xy x =-在点(1,1)-处的切线方程为( ) A. 2y x -= B.32y x =-+ C. 23y x =- D. 21y x =-+ 【测量目标】函数的导数，切线方程.【考查方式】给出一个曲线的解析式求其在某个定点的切线方程. 【难易程度】中等 【参考答案】D【试题解析】2222(2)(2)x x y x x ---'==--,当1x =时切线斜率为2k =-. 8.已知函数()cos()f x A x ωϕ=+的图象如图所示，π2()23f =-，则(0)f = ( )第8题图A.23-B.23C.12-D. 12【测量目标】函数sin()y A x ωϕ=+的图像与性质.【考查方式】给出函数sin()y A x ωϕ=+的图像，运用其性质求解未知数. 【难易程度】中等 【参考答案】B【试题解析】由图象可得最小正周期为2π3于是2π(0)()3f f =,注意到2π3与π2关于7π12对称所以2ππ2()()323f f =-=. 9.已知偶函数()f x 在区间[0,)+∞单调增加，则满足1(21)()3f x f -<的x 取值范围是（ ）A. 12(,)33B.12,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C. 12(,)23 D. 12,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭【测量目标】利用函数的单调性求参数范围.【考查方式】已知函数在某个区间的单调性求未知参数的取值范围. 【难易程度】中等 【参考答案】A【试题解析】由于()f x 是偶函数,故()()f x f x =∴得1(21)()3f x f -<,再根据()f x 的单调性得1213x -<解得1233x <<. 10.某店一个月的收入和支出总共记录了 N 个数据1a ，2a ，... N a ，其中收入记为正数，支出记为负数.该店用下边的程序框图计算月总收入S 和月净盈利V ，那么在图中空白的判断框和处理框中，应分别填入下列四个选项中的( )第10题图A.0,A V S T >=-B.0,A V S T <=-C.0,A V S T >=+D.0,A V S T <=+【测量目标】循环结构的程序框图.【考查方式】已知某个循环结构的程序框图，给出输出结果逆推出原程序框图中的残缺部分. 【难易程度】容易 【参考答案】C 【试题解析】月总收入为S,因此0A >时归入S ,判断框内填0A >支出T 为负数,因此月盈利V S T =+.11.正六棱锥P －ABCDEF 中，G 为PB 的中点，则三棱锥D －GAC 与三棱锥 P －GAC 体积之比为( )A. 1:1B. 1:2C. 2:1D. 3:2 【测量目标】锥的体积.【考查方式】求解已知几何体中部分几何体的体积之比. 【难易程度】中等 【参考答案】C【试题解析】由于G 是PB 的中点,故P －GAC 的体积等于B －GAC 的体积. 在底面正六边形ABCDEF 中3tan 303BH AB AB ︒==而3BD AB =故DH ＝2BH 于是22D GAC B GAC P GAC V V V ---==第11题图12.若1x 满足225xx +=, 2x 满足222log (1)5x x +-=, 12x x +=( )A.52 B.3 C. 72D.4 【测量目标】对数函数、指数函数的性质.【考查方式】给出满足对数函数、指数函数的未知数，运用对数函数、指数函数的性质求解未知数之和.【难易程度】中等 【参考答案】C【试题解析】由题意225xx += ①222log (1)5x x +-= ②（步骤1）所以112252,log (52)xx x x =-=-即12122log (52)x x =-（步骤2）令1272x t =-,代入上式得22722log (22)22log (1)t t t -=-=+-2522log (1)t t ∴-=-与②式比较得2t x = 于是12272x x =-（步骤3）1272x x ∴+=,故选C.（步骤4） 13.某企业有3个分厂生产同一种电子产品，第一、二、三分厂的产量之比为1：2：1，用分 层抽样方法（每个分厂的产品为一层）从3个分厂生产的电子产品中共取100件作使用寿命 的测试，由所得的测试结果算得从第一、二、三分厂取出的产品的使用寿命的平均值分别为 980h ，1020h ，1032h ，则抽取的100件产品的使用寿命的平均值为_________h. 【测量目标】分层抽样.【考查方式】给出实际问题运用分层抽样的方法求解答案. 【难易程度】容易 【参考答案】1013 【试题解析】9801102021032110134x ⨯+⨯+⨯==.14.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且53655,S S -=则4a = . 【测量目标】数列的通项公式{}n a 与前n 项和n S 的关系.【考查方式】已知数列的通项与其前n 项和之间的关系求解数列的未知项.【难易程度】中等 【参考答案】13【试题解析】∵11(1)2n S na n n d =+-∴5131510,33S a d S a d =+=+. ∴5311114653060(1515)154515(3)15S S a d a d a d a d a -=+-+=+=+=. ∵53655,S S -=故413a =. 15.设某几何体的三视图如下（尺寸的长度单位为m ）.则该几何体的体积为 3m .第15题图【测量目标】三视图，求几何体的体积【考查方式】给出几何体的三视图，求其体积. 【难易程度】容易 【参考答案】4【试题解析】这是一个三棱锥,高为2,底面三角形一边为4,这边上的高为3, 体积等于16×2×4×3＝4.16.已知F 是双曲线221412x y -=的左焦点，(1,4),A P 是双曲线右支上的动点，则PF PA +的最小值为 .【测量目标】双曲线的简单几何性质.【考查方式】给出双曲线的标准方程，运用其简单的几何性质求两条线段模的最值. 【难易程度】中等 【参考答案】9【试题解析】注意到P 点在双曲线的两只之间,且双曲线右焦点为(4,0)F ', 于是由双曲线性质24PF PF a '-==而5PA PF AF ''+=两式相加得9PF PA+,当且仅当,,A P F '三点共线时等号成立.17.（本小题满分12分）如图，A,B,C,D 都在同一个与水平面垂直的平面内，B ，D 为两岛上的两座灯塔的塔顶.测量船于水面A 处测得B 点和D 点的仰角分别为75︒，30︒，于水面C 处测得B 点和D 点的仰角均为60︒，0.1AC = km.试探究图中B ，D 间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B ，D 的距离（计算结果精确到0.01km ，2≈1.414， 6≈2.44）第17题图【测量目标】正弦定理的实际应用.【考查方式】运用正弦定理在实际问题中构建三角形求解实际问题. 【难易程度】中等【试题解析】在ABC △中，30,6030DAC ADC DAC ︒︒︒∠=∠=-∠=.（步骤1）所以0.1CD AC == 又180606060BCD ︒︒︒︒∠=--=，（步骤2）故CB 是CAD △底边AD 的中垂线，所以BD BA =,（步骤3）在ABC △中，sin sin AB ACBCA ABC=∠∠即sin 60326sin1520AC AB ︒︒+==（步骤4）因此，3260.33km 20BD +=≈.故B ，D 的距离约为0.33km. （步骤5）18.（本小题满分12分）如图，已知两个正方行ABCD 和DCEF 不在同一平面内，M ，N 分别为AB ，DF 的中点 .（1）若平面ABCD ⊥平面DCEF ，求直线MN 与平面DCEF 所成角的正值弦；（2）用反证法证明：直线ME 与 BN 是两条异面直线.第18题图【测量目标】面面垂直，异面直线之间的关系.【考查方式】给出立体几何体，由已知知识点求解面面垂直与异面直线之间的关系. 【难易程度】较难【试题解析】（1）解法一：取CD 的中点G ，连接MG ，NG .设正方形ABCD ，DCEF 的边长为2，则MG ⊥CD ，MG =2，NG 2=（步骤1）因为平面ABCD ⊥平面DCED ，所以MG ⊥平面DCEF ，可得∠MNG 是MN 与平面DCEF 所成的角. （步骤2）因为MN 6=，所以6sin 3MNG ∠=为MN 与平面DCEF 所成角的正弦值.（步骤3） 解法二：设正方形ABCD ，DCEF 的边长为2，以D 为坐标原点，分别以射线DC ，DF ，DA 为,,x y z 轴正半轴建立空间直角坐标系如图. （步骤1）则M （1,0,2）,N (0,1,0),可得(1,1,2)MN =-（步骤2） 又(0,2,2)DA =为平面DCEF 的法向量，可得6cos(,)3MN DA MN DA MN DA==-· 所以MN 与平面DCEF 所成角的正弦值为6cos ,3MN DA =（步骤3）第18题(1)图(2)假设直线ME 与BN 共面，则AB ⊂平面MBEN ，且平面MBEN 与平面DCEF 交于EN 由已知，两正方形不共面，故AB ⊄平面DCEF .又AB //CD ，所以AB //平面DCEF .而EN 为平面MBEN 与平面DCEF 的交线，所以AB //EN .又AB //CD //EF ，所以EN //EF ，这与ENEF =E 矛盾，故假设不成立.所以ME 与BN 不共面，它们是异面直线. 19.（本小题满分12分）某人向一目射击4次，每次击中目标的概率为13.该目标分为3个不同的部分，第一、二、三部分面积之比为1:3:6.击中目标时，击中任何一部分的概率与其面积成正比.（1）设X 表示目标被击中的次数，求X 的分布列；（2）若目标被击中2次，A 表示事件“第一部分至少被击中1次或第二部分被击中2次”，求()P A【测量目标】数学期望，分布列.【考查方式】运用数学期望的相关知识求解实际问题. 【难易程度】中等【试题解析】（1）依题意X 的分列为X 0 1 2 3 4P1681 3281 2481 881 181（2）设A 1表示事件“第一次击中目标时，击中第i 部分”，1,2i =.B 1表示事件“第二次击中目标时，击中第i 部分”,1,2i =依题意知P （A 1）=P (B 1)=0.1，P （A 2）=P (B 2)=0.3，（步骤1）11111122A A B A B A B A B =,（步骤2）所求的概率为11111122()()()()P A P A B P A B PA B P A B =+++（） =11111122()()())()()()P A B P A P B PA PB P A P B +++（ =0.10.90.90.10.10.10.30.30.28⨯+⨯+⨯+⨯= . （步骤3）20.（本小题满分12分）已知，椭圆C 过点A 3(1,)2，两个焦点为(1,0),(1,0)-.（1） 求椭圆C 的方程；（2） E,F 是椭圆C 上的两个动点，如果直线AE 的斜率与AF 的斜率互为相反数，证明直线EF 的斜率为定值，并求出这个定值.【测量目标】椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系.【考查方式】已知椭圆的几个参数求解椭圆的标准方程，判断直线与椭圆的位置关系. 【难易程度】较难【试题解析】(1)由题意，c =1,可设椭圆方程为2219114b b+=+，（步骤1）解得23b =，234b =-（舍去）所以椭圆方程为22143x y +=. （步骤2） (2)设直线AE 方程为：3(1)2y k x =-+，代入22143x y +=得 2223(34)4(32)4()1202k x k k x k ++-+--=（步骤3）设(,)E E E x y ,(,)F F F x y ,因为点3(1,)2A 在椭圆上，所以2234()12234F k x k--=+,32E E y kx k =+-（步骤4） 又直线AF 的斜率与AE 的斜率互为相反数，在上式中以k -代k ，可得2234()12234F k x k +-=+32E Ey kx k =-++（步骤5）所以直线EF 的斜率()212F E F E EF F E F E y y k x x k k x x x x --++===--即直线EF 的斜率为定值，其值为12. （步骤6） 21.（本小题满分12分）已知函数21()(1)ln ,12f x x ax a x a =-+->. （1）讨论函数()f x 的单调性； （2）证明：若5a <，则对任意x 1，x 2∈(0,)+∞，x 1≠x 2，有1212()()1f x f x x x ->--.【测量目标】函数的单调性.【考查方式】已知函数解析式求解函数的单调性，已知参数范围求解区间内函数的单调性. 【难易程度】较难【试题解析】(1)()f x 的定义域为(0,)+∞.211()a x ax a f x x a x x--+-'=-+= (1)(1)x x a x-+-=（步骤1）（i ）若11a -=即2a =,则2(1)()x f x x-'=故()f x 在(0,)+∞单调增加. （步骤2）(ii)若11a -<,而1a >,故12a <<,则当(1,1)x a ∈-时，()0f x '<;（步骤3） 当(0,1)x a ∈-及(1,)x ∈+∞时，()0f x '>故()f x 在(1,1)a -单调减少，在(0,1),(1,)a -+∞单调增加. （步骤4）(iii)若11a ->,即2a >,同理可得()f x 在(1,1)a -单调减少，在(0,1),(1,)a -+∞单调增加. （步骤5）(2)考虑函数 ()()g x f x x =+21(1)ln 2x ax a x x =-+-+（步骤6）则211()(1)2(1)1(11)a a g x x a x a a x x--'=--+--=---（步骤7） 由于15a <<,故()0g x '>，即()g x 在(4, +∞)单调增加，从而当120x x >>时有12()()0g x g x ->，（步骤8）即1212()()0f x f x x x -+->，故1212()()1f x f x x x ->--，当120x x <<时，有12211221()()()()1f x f x f x f x x x x x --=>---.（步骤9） 22.（本小题满分10分）已知ABC △中，AB =AC , D 是ABC △外接圆劣弧AC 上的点（不与点A ,C 重合），延长BD 至E .(1)求证：AD 的延长线平分∠CDE ；(2)若∠BAC =30︒，ABC △中BC 边上的高为2+3， 求ABC △外接圆的面积.第22题图【测量目标】直线与圆的位置关系，圆的简单几何性质.【考查方式】给出圆与直线的位置关系，运用其简单几何性质求解角与线的关系.【难易程度】中等【试题解析】(1)如图，设F 为AD 延长线上一点∵A ，B ，C ，D 四点共圆，∴∠CDF=∠ABC （步骤1） 又AB =AC ∴∠ABC =∠ACB ,且∠ADB =∠ACB , ∴∠ADB =∠CDF , （步骤2）对顶角∠EDF =∠ADB , 故∠EDF =∠CDF ,即AD 的延长线平分∠CDE . （步骤3）第22题图(2)设O 为外接圆圆心，连接AO 交BC 于H ,则AH ⊥BC .连接OC , OA 由题意∠OAC =∠OCA =15︒, ∠ACB =75︒,∴∠OCH =60︒.（步骤4）设圆半径为r ,则r +23r =2+3,a 得r =2,外接圆的面积为4π.（步骤5） 23.（本小题满分10分）选修4－4 ：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为πcos()3ρθ-=1，M,N 分别为C 与x 轴，y 轴的交点.（1）写出C 的直角坐标方程，并求M,N 的极坐标；（2）设MN 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程.【测量目标】坐标系与参数方程.【考查方式】建立坐标系求解参数方程.【难易程度】中等【试题解析】（1）由πcos()13ρθ-=得13(cos )12ρθθ+=（步骤1） 从而C 的直角坐标方程为13122x y +=即32x +=（步骤2） 0θ=时，2,ρ=所以(2,0)M π2θ=时，3=3ρ所以3π()32N （步骤3） （2）M 点的直角坐标为（2，0）N 点的直角坐标为3(0,3（步骤4） 所以P 点的直角坐标为3,则P 点的极坐标为23π()6所以直线OP 的极坐标方程为π,(,)6θρ=∈-∞+∞（步骤5） 24.（本小题满分10分）设函数()|1|||f x x x a =-+-.(1)若1,a =-解不等式()3f x ； (2)如果x ∀∈R ,()2f x ,求a 的取值范围.【测量目标】不等式.【考查方式】给出函数解析式求解不等式.【难易程度】中等【试题解析】(1)当1a =-时，()11f x x x =-++.由()3f x 得113x x -++（步骤1） ○1当1x -时，不等式化为113x x---即23x -（步骤2）○2当1x >时，联立不等式组1()3x f x >⎧⎨⎩解得其解集为3+2⎛⎫∞ ⎪⎝⎭，，综上得()3f x 的解集为33,,22⎛⎫⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭.（步骤3） (2)若1,()21a f x x ==-，不满足题设条件.○1若1a <,21,,()1,1,2(1),1x a x a f x a a x x a x -++⎧⎪=-<<⎨⎪-+⎩()f x 的最小值为1a -（步骤4） ○2若1,a >21,1,()1,1,2(1),x a x f x a x a x a x a -++⎧⎪=-<<⎨⎪-+⎩()f x 的最小值为1a -（步骤5） 所以()2x f x ∀∈R ，的充要条件是12a -，从而a 的取值范围为][13∞-+∞（-，，）.（步骤6）。
2015辽宁高考压轴卷 数学(理) Word版含答案
2015辽宁高考压轴卷理科数学第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.在复平面内，复数iz +=21对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.设全集U=R ，{|}A x N x =∈≤≤110，{|}B x R x x =∈+-=260，则图1中阴影表示的集合为（ ）A.{}2B.{}2,3-C.{}3-D.{}2,1,3- 3.函数sin cos y x x ππ=的最小正周期是（ ） A.π B.π2 C.2 D.14. 已知01a <<，log log aa x =，1log 52a y =，log log a a z =，则z y x ,,的大小关系是（ ）A. y x z <<B. x y z <<C. z y x <<D. z x y <<5. 如图2，用6种不同的颜色给图中的“笑脸”涂色,要求“眼睛”（即图中A 、B 所示区域）用相同颜色，则不同的涂法共有( )Ａ. 36种 Ｂ.210种 Ｃ. 216种 Ｄ.120种6. 在某个容量为300的样本的频率分布直方图中，共有9个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他8个小长方形面积和的15，则中间一组的频数为（ ） A.40 B.50 C.60 D.48 7.数列{}n a 满足*1111(),22n n a a n N a ++=∈=-，n S 是{}n a 的前n 项和，则2011S =（ ） A.502 B.500 C.504 D.498图2图18. 若过点A )1,0(-的直线l 与曲线12)3(22=-+y x 有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为A.)33,33(- B.⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡-3,33 C.),3()3,(∞+--∞ D.⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-,3333, 9. 已知nx i x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-2的展开式中第3项与第5项的系数之比为143-，则展开式中的常数项为（ ）A.21B.16C.35D.4510.设∈⎪⎭⎫⎝⎛+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=n i i i i n f nn (1111)(N ),则集合{})(n f x x =中元素的个数是（ ）A.1B.3C.2D.411.如图3， 四棱锥S-ABCD 的底面是边长为 1的正方形，SD ⊥AD ，且SD=1，M 为SA 的中点，则异面直线DM 与SB 所成角为（ ）A.30 B.60 C.45 D.9012. 设函数12,0()(1),0x x f x f x x -⎧≤=⎨->⎩，方程a x x f +=)(有且只有两相不等实数根，则实数a的取值范围为（ ）A. [)3,4B.)4,1(C.]3,(-∞D.),4[+∞第Ⅱ卷二、（本大题共4小题，每小题5分） 13.不等式252(1)x x +-≥的解集 .图314.设x 、y 满足约束条件5,3212,03,0 4.x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≤≤⎪⎪≤≤⎩，则目标函数65z x y =+取得最大值的点(,)x y 的坐标是 .15.问题：在测量某物理量的过程中，因仪器和观察的误差，使得n 次测量分别得到a 1，a 2，…，a n ，共n 个数据．我们规定所测量的“最佳近似值”a 是这样一个量：与其他近似值比较，a 与各数据的差的平方和最小．依此规定，从a 1，a 2，…，a n 推出的=a .16.已知有公共焦点的椭圆与双曲线中心在原点，焦点在x 轴上，左、右焦点分别为1F ，2F ，且它们在第一象限的交点为P ，△12PF F 是以1PF 为底边的等腰三角形．若1PF ＝10，双曲线的离心率的取值范围为)2,1(，则该椭圆的离心率的取值范围是 ． 三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分10分）△ABC 中，角A 的对边长等于2，向量m =()222cos 12B C +-，，向量n =()sin ,12A -.（1）求m ·n 取得最大值时的角A ；（2）在（1）的条件下，求△ABC 面积的最大值.18. （本小题满分12分）某社区举办北京奥运知识宣传活动，现场的“抽卡有奖游戏”特别引人注目，游戏规则是：盒子中装有8张形状大小相同的精美卡片，卡片上分别印有“奥运福娃”或“奥运会徽”，要求参加游戏的4人从盒子中轮流抽取卡片，一次抽2张，抽取后不放回，直到4人中一人一次抽到2张“奥运福娃” 卡才能得到奖并终止游戏．（1）游戏开始之前，一位高中生问：盒子中有几张“奥运会徽” 卡？主持人说：若从盒中任抽2张卡片不都是“奥运会徽” 卡的概率为2528．请你回答有几张“奥运会徽” 卡呢？ （2）现有甲、乙、丙、丁4人参加游戏，约定甲、乙、丙、丁依次抽取．用ξ表示4人中的某人获奖终止游戏时总共抽取卡片的次数，求ξ的概率分布及ξ的数学期望． 19. （本小题满分12分）如图4，已知长方体1111D C B A ABCD -中，,2,3==BC AB 51=CC ,E 是1CC 上不同于端点的点，且1CC λ=.（1） 当1BEA ∠为钝角时，求实数λ的取值范围； （2） 若52=λ，记二面角的大小为θ，求θcos .（图4）ABCDEA 1B 1C 1D 120.（本小题满分12分）如图5，已知位于y 轴左侧的圆C 与y 轴相切于点(0,1)，且被x 轴分成的两段弧长之比为21:，过点(0,)H t 的直线l 与圆C 相交于,M N 两点，且以MN 为直径的圆恰好经过坐标原点O ．（1）求圆C 的方程；（2）当1t =时，求出直线l 的方程； （3）求直线OM 的斜率k 的取值范围．21.（本小题满分12分）已知函数2()ln f x ax x =+，21145()ln 639f x x x x =++，221()22f x x ax =+，a ∈R ． （1）求证：函数()f x 在点(e,(e))f 处的切线恒过定点，并求出定点坐标； （2）若2()()f x f x <在区间()1,+∞上恒成立，求a 的取值范围； （3）当23a =时，求证：在区间()1,+∞上，满足12()()()f x g x f x <<恒成立的函数()g x 有无穷多个．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲]已知ABC ∆中，AC AB =，D 是ABC ∆外接圆劣弧AC 上的点（不与点A 、C 重合），延长BD 至点E ．求证：AD 的延长线平分CDE ∠.图5BACDE（第22题图）23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 已知在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧+=+=,sin 42,cos 41θθy x （θ为参数），直线l 经过定点)5,3(P ，倾斜角为3π. （1）写出直线l 的参数方程和曲线C 的标准方程； （2）设直线l 与曲线C 相交于B A ,两点，求PB PA ⋅的值.24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数x x x f -+=52)(.（1）求证：5)(≤x f ，并说明等号成立的条件；（2）若关于x 的不等式2)(-≤m x f 恒成立，求实数m 的取值范围.2015辽宁高考压轴卷理科数学答案一、选择题1.D2. A3.D4.A5.C6.B7.A8.D9.D 10.B 11.D 12.A 解析： 1i z +=21i i i 5152422-=--=，即该复数z 对应的点在第四象限.故选D. 2.{3,2}B =-，则{}A B =2.故选A.3.1sin cos sin 22y x x x πππ==，周期1T =.故选D.4.log log a a x =6log a =，1log 52a y =5log a =，log log a a z =7log a =，又01a <<，即对数函数在其定义域内为减函数，所以有5log 6log 7log a a a<<，即y x z <<.故选A.5. 解法一：6种颜色中选三色、两色、一色填涂，共有2161623263336=+⋅+⋅C A C A C （种）； 解法二：涂眼睛有16C 种，涂鼻子有16C 种，涂嘴巴有16C 种，共有216161616=C C C 种.故选C.6. 在直方图中，小长方形的面积等于这组数的频率，小长方形的面积之和为1.设中间一个小长方形面积为x ，则1(1)5x x =-，解得16x =，∴中间一组的频数为1300506⨯=.故选B.7. 123411,1,,122a a a a =-==-=，……，∴201111005110065022S =⨯-⨯=.故选A. 8. 设01,1:=--+=y kx kx y l ，求出直线与圆相切时的斜率.113322+--=k ，33±=k ，所以直线l 的斜率的取值范围为 ⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-,3333, 9. 第3项，第5项的系数分别为22)(i C n-，44)(i C n-.由题意有143)()(4422-=--i C i C n n ，整理得05052=--n n ，解得10=n 符合题意.由r r rr n i xx C T )(2220101-⋅⋅⋅=--+，当02220=--r r 时，有8=r ，故常数项为45)(2108810==-C i C .故选D. 10.)(n f =11()11nnn ni i i i i i +-⎛⎫⎛⎫+=+- ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭,分n =4k ,n =4k +1,n =4k+2,n =4k +3(k ∈N )四种情况，分别代入可得的值为2,0,2-.故选B.11. 取AB 的中点N ，连结MN ，DN ，则MN ∥SB ，∴∠DMN 就是异面直线DM 与SB 所成的角 ∵M 为SA 的中点 ∴MN ＝12SB＝2.在Rt △SAD 中，DM=12SA=122在Rt △AND 中，在Rt △DMN 中，MN 2+DM 2=DN 2=54，∴△DMN 为直角三角形，∠DMN=90°. ∴异面直线DM 与SB 所成的角为90°.故选D. 12.作出函数图象，由数形结合可知，a x x f +=)(经过)4,1(时有2个交点，因此可得3=a ，所以实数a 的取值范围[)3,4.故选A. 二、填空题 13. (]11132⎡⎫-⎪⎢⎣⎭，，14.)3,2( 15. 12n a a a a n ++⋅⋅⋅+= 16.⎪⎭⎫⎝⎛52,31解析： 13. 由252(1)x x +-≥，整理得03522≤--x x ，解得321≤≤-x .又01≠-x ，即1≠x，A所以原不等式的解集为(]11132⎡⎫-⎪⎢⎣⎭，，. 14. 在坐标平面上画出可行域，研究目标函数的取值范围. 欲求65z x y =+的最大值，即求y 轴上的截距最大值，由图可知，在(2, 3) 点处目标函数65z x y =+取得最大值.15. 本题涉及的数量较多，关键在于对题目所给信息的提炼、加工.仔细读题后发现可以写出“最佳近似值”a 的函数表达式，这样问题就转化为函数的最值问题了，即关于a 的二次函数22212()()()()n f a a a a a a a =-+-+⋅⋅⋅+-222212122()n n na a a a a a a a =-++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+有最小值，而此时12na a a a n++⋅⋅⋅+=.16. 如图，设椭圆的半长轴长，半焦距分别为1a ，c ，双曲线的半实轴长，半焦距分别为2a ，c ，1PF ＝m ，2PF ＝n ，则1222102m n a m n a m n c +=⎧⎪-=⎪⎨=⎪⎪=⎩，，，，，得1255a c a c =+⎧⎨=-⎩，，问题转化为1＜5c c -＜2，求5c c+的取值范围． 设5c c -＝x ，则c ＝51x x+，所以5c c +＝21x x +＝12－142x +． 因为1＜x ＜2，所以12－16＜12－142x +＜12－110，即13＜12－142x +＜25．三、解答题17. 解：（1）m ·n ＝2sin2A－()22cos 12sin cos()22B C A B C +-=-+. 因为 A ＋B ＋C π=，所以B ＋C π=－A ，于是m ·n ＝2sin2A ＋cos A ＝－22sin 2sin 122A A ++＝－2213(sin )222A -+. 因为()π0,22A ∈，所以当且仅当sin 2A ＝12，即A ＝π3时，m ·n 取得最大值32.故m ·n 取得最大值时的角A ＝π3.（2）设角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，由余弦定理，得 b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ，即bc c b bc 2422≥+=+，所以4≤bc ，当且仅当2==c b 时取等号.又343sin 21≤==∆bc A bc S ABC .当且仅当2===c b a 时，△ABC18. 解：（1）设盒子中有“会徽卡”n 张，依题意有，28251282=-C C n ，解得3=n .即盒中有“会徽卡”3张．（2）因为ξ表示某人一次抽得2张“福娃卡”终止时，所有人共抽取了卡片的次数，所以ξ的所有可能取值为1，2，3，4.145)1(2825===C C P ξ；2211235354222286862(2)7C C C C C P C C C C ξ⋅==⋅+⋅=； 211111122221131535353424242222222228648648643(3)14C C C C C C C C C C C C C P C C C C C C C C C ξ⋅⋅⋅⋅==⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=； 11111123513242222286421(4)7C C C C C C C P C C C C ξ⋅⋅⋅==⋅⋅⋅=， 概率分布表为：471ξ∴的数学期望为715714143372141=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE 19. 解：（1）以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.由题设，知)0,3,2(B ，)5,0,2(1A ，)0,3,0(C ，)5,3,0(1C . 因为CE →＝λCC 1→，所以1CC λ=,所以)5,3,0(λE . 从而EB →＝(2，0，－5λ)， )5,0,2(λ-=,)55,3,2(1λ--=.当1BEA ∠为钝角时，0cos 1<∠BEA ,所以01<⋅,即0)55(522<--⨯λλ，解得5451<<λ.即实数λ的取值范围是⎪⎭⎫⎝⎛54,51.（2）当52=λ时， )2,0,2(-=,)3,3,2(1-=EA . 设平面1BEA 的一个法向量为),,(1z y x n =，由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅,0,0111EA n EB n 得⎩⎨⎧=+-=-,0332,022z y x z x 取1=x ，得1,35==z y .所以平面1BEA 的一个法向量为)1,35,1(1=n .易知，平面11B BA 的一个法向量为)0,0,1(2=n .因为434339431,cos 212121==⋅>=<n n n n n n ，从而43433cos =θ.20.解：（1）因为位于y 轴左侧的圆C 与y 轴相切于点(0,1)，所以圆心C 在直线1y =上． 设圆C 与x 轴的交点分别为A 、B ，由圆C 被x 轴分成的两段弧长之比为21:得23ACB π∠=， 所以2C AC B ==，圆心C 的坐标为(2,1)-，所以圆C 的方程为22(2)(1)4x y ++-=.……4分（2）当1t =时，由题意知直线l 的斜率存在，设直线l 方程为1y mx =+，由221,(2)(1)4y mx x y =+⎧⎨++-=⎩得0,1x y =⎧⎨=⎩或2224,141.1x m m m y m -⎧=⎪⎪+⎨-+⎪=⎪+⎩不妨令222441(,),(0,1)11m m M N m m --+++，因为以MN 为直径的圆恰好经过原点O ， 所以2222244141(,)(0,1)0111m m m m OM ON m m m --+-+⋅=⋅==+++，解得2m =，所以所求直线l方程为(21y x =+或(21y x =+．（3）设直线MO 的方程为y kx =2，解之得34k ≤，同理得，134k -≤，解之得43k ≤-或>0k ．由（2）知，=0k 也满足题意．所以k 的取值范围是43(,][0,]34-∞-． .21. 解：（1）因为1()2f x ax x '=+，所以()f x 在点(e,(e))f 处的切线的斜率为12k ae e=+， 所以()f x 在点(,())e f e 处的切线方程为21(2)()1y ae x e ae e=+-++，整理得11(2)()22e y ae x e -=+-，所以切线恒过定点1(,)22e ．（2）令x ax x a x f x f x p ln 2)21()()()(22+--=-=<0，对(1,)x ∈+∞恒成立，因为21(21)21(1)[(21)1]()(21)2a x ax x a x p x a x a x x x --+---'=--+==（*）①当112a <<时，有2121x a =-11=>x ，即112a <<时，在（2x ，+∞）上有()0p x '>， 此时)(x p 在区间2(,)x +∞上是增函数，并且在该区间上有)(x p ∈2((),)p x +∞，不合题意；②当1a ≥时，有2121x a =-11=≤x ， 同理可知，)(x p 在区间(1,)+∞上，有)(x p ∈((1),)p +∞，也不合题意；③当12a ≤时，有210a -≤，此时在区间(1,)+∞上恒有()0p x '<，从而)(x p 在区间(1,)+∞上是减函数； 要使0)(<x p 在此区间上恒成立，只须满足021)1(≤--=a p 12a ⇒≥-，所以1122a -≤≤． 综上可知a 的范围是11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦． （3）当23a =时，2214()23f x x x =+，21145()ln 639f x x x x =++， 记22115()()ln ,(1,)39y f x f x x x x =-=-∈+∞． 因为225650399x x y x x -'=-=>，所以21()()y f x f x =-在(1,)+∞上为增函数， 所以21211()()(1)(1)3f x f x f f ->-=， 设11()()(01)3R x f x λλ=+<<,则12()()()f x R x f x <<, 所以在区间()1,+∞上，满足12()()()f x g x f x <<恒成立的函数()g x 有无穷多个．22. 证明：：设F 为AD 延长线上一点因为D C B A ,,,四点共圆，所以CDF ABC ∠=∠.又AC AB =,所以ACB ABC ∠=∠,且ACB ADB ∠=∠,所以CDF ADB ∠=∠，对顶角ADB EDF ∠=∠，故CDF EDF ∠=∠，即AD 的延长线平分CDE ∠.23. 解析：（1）曲线16)2()1(:22=-+-y x C ，直线⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=,235,213:t y t x l （t 为参数）. （2）将直线l 的参数方程代入圆C 的方程可得03)332(2=-++t t .设21,t t 是方程的两个根，则321-=t t ，所以32121===t t t t PB PA .24. 解析：（1）由柯西不等式得[]25)5()()12()52(22222=-++≤-+x x x x . 所以552)(≤-+=x x x f ，当且仅当152x x -=，即4=x 时等号成立. （2）关于x 的不等式2)(-≤m x f 恒成立，等价于52≥-m ，解得7≥m 或3-≤m . 故m 的取值范围为),7[]3,(+∞--∞∈ m。
辽宁师大附中2015届高三高考考前精品卷数学(理)试题及答案
B．上午生产情况异常，下午生产情况正常
C．上、下午生产情况均正常
D．上、下午生产情况均不正常
8. ABC 中，角 A, B, C 所对的边长分别为 a,b, c ， a sin B cosC 且 a b ，则 B =
csin B cos A 1 b ， 2
（
）
A.
B.
6
C.
2
3
3
D.
5
6
9. 已知平行六面体 ABCD- A1B1C1D1 中，底面 ABCD是边长为 1 的正方形， AA1＝ 2，∠ A1AB
率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图 （图中仅列出了得分在
，
的数据）．
（Ⅰ）求样本容量 n 和频率分布直方图中 x、 y 的值； （Ⅱ）在选取的样本中，从竞赛成绩是 80 分以上（含 80 分）的同学中随机抽取 3 名同
学到市政广场参加环保知识宣传的志愿者活动，设
表示所抽取的 3 名同学中得分在
的学生个数，求 的分布列及其数学期望．
20. (本题满分 12 分 )已知抛物线 C1 : y2 2 px 上一点M 3，y0 到其焦点 F 的距离为 4；椭圆
y2 x2
C
2： a
2
b2
1 a b 0 的离心率 e
2 ，且过抛物线的焦点 F . 2
（I ）求抛物线C1 和椭圆C2 的标准方程；
（ II ） 过 点 F 的 直 线 l1 交抛 物 线 C1 于 A 、 B 两 不 同点， 交 y 轴 于点 N ， 已知
NA AF，NB BF，求证：
为定值.
（ III ）直线 l2 交椭圆 C2 于 P ， Q 两不同点， P ， Q 在 x 轴的射影分别为 P ， Q ，