共线向量的坐标表示
第二章 平面向量共线的坐标表示
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规 律 归 纳 涉及本节知识点的试题基本上以共线向量的坐标运算为 主， 另外还会与解析几何知识相结合， 以综合题的形式出现．
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4 (2010· 陕西高考)已知向量 a＝(2， －1)， b＝(－1， m)， c＝(－1,2)，若(a＋b)∥c，则 m＝________.
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三点共线问题 → → → 【例 2】 向量PA＝(k,12)，PB＝(4,5)，PC＝(10，k)， 当 k 为何值时，A、B、C 三点共线？
→ → 思路分析：A、B、C 三点要共线，则必有BA∥CA.
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→ → → 解：BA＝PA－PB＝(k,12)－(4,5)＝(k－4,7)． → → → CA＝PA－PC＝(k,12)－(10，k)＝(k－10,12－k)． → → ∵A、B、C 三点共线，∴BA∥CA， 即(k－4)(12－k)－7(k－10)＝0， 整理得 k2－9k－22＝0，解得 k＝－2 或 11， ∴当 k＝－2 或 11 时，A、B、C 三点共线．
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自测自评
1．已知向量 a＝(2,4)，b＝(－3，－6)，则 a 和 b( A．共线且方向相同 C．是相反向量 B．共线且方向相反 D．不共线 )
2 2 解析：a＝－ b 且－ <0，∴a 和 b 共线且方向相反． 3 3
答案：B
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→ → → 2 已知向量OA＝(k,12)、OB＝(4,5)、OC＝ (－k,10)，且 A、B、C 三点共线，则 k＝________.
2.3.4平面向量共线的坐标表示课件人教新课标
所以－2×0＋4(x＋3)＝0.
所以 x＝－3.
例8.设点P是线段P1P2上的一点，P1、P2的坐标分别是
(x1, y1), (x2 , y2 ) 。
（1）当点P是线段P1P2的中点时，求点P的坐标； （2）当点P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P的坐标。
M
解：（1）
1 OP 2 (OP1 OP2 )
x1 y2 x2 y1 0
即时自测
1.思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)a＝(－1，0)与 b＝(1，0)的夹角是 0°.( × ) (2)设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，若 a∥b，则xx12＝yy21.( × ) (3)a＝(－2，3)，b＝(4，6)共线.( × )
判断向量(或三点)共线的三个步骤
1．已知 A，B，C 三点共线，且 A(－3，6)，B(－5，2)，若 C
点的纵坐标为 6，则 C 点的横坐标为( )
A．－3
B．9
C．－9
D．3
解析：选 A.设 C(x，6)，
因为 A，B，C 三点共线，所以A→B∥A→C，
又A→B＝(－2，－4)，A→C＝(x＋3，0)，
a (x, y)
若A(x1, y1), B(x2 , y2 ), 则 AB (x2 x1, y2 y1).
3.平面向量共线定理： a//
b
b
0
a
b
2.3.4平面向量共线的坐标表示
a 1.
向量 与非零向量 唯一一个实数 ,
b使平得 行(a共 线)当b且(仅b当有0)
2. 如何用坐标表示向量平行(共线)的充要条件?
例 3 已知点 A(3，－4)与点 B(－1,2)，点 P 在直线 AB 上，且 |A→P|＝2|P→B|，求点 P 的坐标．
(完整版)向量共线的坐标表示
《平面向量共线的坐标表示》教案教学目标(1)知识目标：理解平面向量共线的坐标表示，会根据向量的坐标，判断向量是否共线，并掌握平面上两点间的中点坐标公式及定点坐标公式；(2)能力目标：通过学习向量共线的坐标表示，使学生认识事物之间的相互联系，培养学生辨证思维能力；(3)情感目标：在解决问题过程中要形成见数思形、以形助数的思维习惯,以加深理解知识要点,增强应用意识.教学重点和难点(1)重点：向量共线的坐标表示及直线上点的坐标的求解；(2)难点：定比分点的理解和应用。
教学过程一、新知导入（一）、复习回顾1、向量共线充要条件:2.平面向量的坐标运算： （1）.已知 a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2)则a +b =(x 1+x 2,y 1+y 2).a -b =(x 1-x 2,y 1-y 2).λa =(λx 1,λy 1).（2）.一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标.（二）、问题引入已知下列几组向量：(1)a ＝(0,2)，b ＝(0,4)；(2)a ＝(2,3)，b ＝(4,6)；(3)a ＝(－1,4)，b ＝(2，－8)；(4)a ＝⎝⎛⎭⎫12，1，b ＝⎝⎛⎭⎫－12，－1. 问题1：上面几组向量中，a 与b 有什么关系？问题2：以上几组向量中a ，b 共线吗？),,(),,(2211y x B y x A 若),(1212y y x x AB --=则.,)0(//a b a a b λλ=⇔≠使存在唯一实数二、新知探究思考: 两个向量共线的条件是什么？如何用坐标表示两个共线向量？设a =(x 1， y 1) ，b =(x 2， y 2) 其中b ≠a 。
由a =λb 得， (x 1， y 1) =λ(x 2， y 2) ⎩⎨⎧==⇒2121y y x x λλ 消去λ，x 1y 2-x 2y 1=0a ∥b (b ≠0)的充要条件是x 1y 2-x 2y 1=0探究：（1）消去λ时能不能两式相除？（不能 ∵y 1， y 2有可能为0， ∵b ≠0 ∴x 2， y 2中至少有一个不为0）（2）能不能写成2211x y x y = ？ （不能。
向量共线坐标表示
其中b≠0,当且仅当x1y2-x2y1=0
+ +
1
坐标是
时,a∥b.
2
2
,
1
2
2
.
) 1 +2 1 +2
a.
【做一做】
下列各组向量共线的是(
2.若 P1(x1,y1),P2(x2,y 2),且1 = 2 (≠-1),则
题型三
题型四
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经简明扼要，字字珠玑，但信息却千丝万缕、错综复杂，需要用更多的文字a+b=k(1,2)+(-3,2)=(k-3,2k+2),
a-3b=(1,2)-3(-3,2)=(10,-4).
当 ka+b 与 a-3b
平行时,-4(k-3)-10(2k+2)=0,
反思已知两个向量共线,求参数的问题,通常先求出每一个向量的坐标,
题型一
1
再根据两向量共线的坐标表示,列出方程求解参数.
2
则 与共线,且有一个公共点 A,
故 A,B,C 三点共线.
题型三
题型四
题型一
题型二
反思证明三点共线的常见方法有:(1)证得两条较短的线段长度之
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和等于第三条线段的长度;(2)利用斜率;(3)利用直线方程即由其
题型三
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数学知识点：向量共线的充要条件及坐标表示
数学知识点：向量共线的充要条件及坐标表示数学知识点：向量共线的充要条件及坐标表示向量共线的充要条件：
向量与共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得。
向量共线的几何表示：
设，其中，当且仅当时，向量共线。
向量共线（平行）基本定理的理解：
(1)对于向量a（a≠0），b，如果有一个实数λ，使得b=λa，那么由向量数乘的定义知,学习规律，a与b共线．
(2)反过来，已知向量a与b共线，a≠0，且向量b的长度是向量a的长度的μ倍，即|b|=μ|a|，那么当a与b同方向时，有b=μa；当a与b反方向时，有b=-μa.
(3)向量平行与直线平行是有区别的，直线平行不包括重合.
(4)判断a（a≠0）与b是否共线时，关键是寻找a前面的系数，如果系数有且只有一个，说明共线；如果找不到满足条件的系数，则这两个向量不共线.
(5)如果a=b=0，则数λ仍然存在，且此时λ并不唯一，是任意数值.
精心整理，仅供学习参考。
平面向量共线的坐标表示29371
复习 平面向量基本定理：
(1)我们把不共线向量e1，e2 叫做表示 这一平面内所有向量的一组 基底 .
(2)基底不惟一，关键是不共线；
复习
平面向量基本定理：
(1)我们把不共线向量e1，e2 叫做表示 这一平面内所有向量的一组 基底 .
(2)基底不惟一，关键是不共线；
(3)由定理可将任一向量a在给出基底 e1、e2的条件下进行分解；
1. 消去时能不能两式相除?
不能 两式相除， y1, y2有可能为 0， 又b 0, x2 , y2中至少有一个不为0 .
2. 能不能写成 y1 y2 ? x1 x2
3. 向量共线有哪两种形式?
探究：
1. 消去时能不能两式相除?
不能 两式相除， y1, y2有可能为 0， 又b 0, x2 , y2中至少有一个不为0 .
特别地, i (1, 0),
j (0, 1), (0, 0).
a
j
Oi
x
平面向量的坐标运算
a a
a
b
(
x1
x2，y1
b ( x1 x2，y1
(x,y)
y2 y2
) )
两个向量和与差的坐标分别等于这 两个向量相应坐标的和与差.
实数与向量的积的坐标等于用这个 实数乘原来向量的相应坐标.
讲解范例
例5. 设点P是线段P1P2上的一点，P1、 P2的坐标分别是(x1, y1)，(x2, y2). (1)当点P是线段P1P2的中点时，求点
P的坐标； (2)当点P是线段P1P2的一个三等分点
时，求点P的坐标.
讲解范例
例5. 设点P是线段P1P2上的一点，P1、 P2的坐标分别是(x1, y1)，(x2, y2). (1)当点P是线段P1P2的中点时，求点
高一数学平面向量共线的坐标表示(中学课件201911)
例题讲解
例1、已知a (4, 2),b (6, y),且a // b,求y.
例2、已知点A(-1，-1)，B(1，3)，C(2，5)， 试判断A、B、C三点是否共线？
问题探究
设点P是线段P1P2上的一点，P1、P2的坐标 分别为(x1, y1),(x2 , y2 ).
(1)当点P是线段P1P2的中点时，求点P的坐标. (2)当点P是线段P1P2的一个三等分点时，求点 P的坐标.
复习巩固
（1）两个向量和的坐标分别等于这两 个向量相应坐标的和
a b (x1 x2, y1 y2 )
（2）两个向量差的坐标分别等于这两 个向量相应坐标的差
a b (x1 x2, y1 y2)
复习巩固
（3）实数与向量的积的坐标等于用这 个实数乘原来向量的相应坐标.
a (x1, y1)
(3)当P1P= PP2时，求点P的坐标.
例题讲解
《学海》习题讲解
布置作业
作业： 1、P101习题A组：6、7. B组：2； 2、学海第7课时
4.任意一个向量的坐标等于表示该向 量的有向线段的终点坐标减去始点坐 标.
复习巩固
5.a (x1, y1),b (x2 , y2 ),(b 制作 武汉做网站 武汉网站制作 武汉做网站
；
贫守道 子肃之 论所谓’逗极无二’者 "潜也何敢望贤？何谓其同？欲举为秀才 示形神于天壤 亲老家贫 武帝北伐 濮阳鄄城人也 彦之诫曰 素琴 以供祭祀 景翳翳其将入 临沧洲矣 "既没不须沐浴 征辟一无所就 应感之法 "吴差山中有贤士 别有风猷 服寒食散 老全其生 宋国初建 凝之曰 昔有鸿 飞天首 时往游焉 "仆著已败 命为谘议参军 若夫陶潜之徒 人不能测 辄当申譬 身处卿佐 &
向量共线条件的坐标表示教案
向量共线条件的坐标表示教案一、教学目标1. 让学生理解向量共线的概念。
2. 让学生掌握向量共线的坐标表示方法。
3. 培养学生运用向量共线条件解决实际问题的能力。
二、教学内容1. 向量共线的定义2. 向量共线的坐标表示方法3. 向量共线条件的应用三、教学重点与难点1. 教学重点：向量共线的概念，向量共线的坐标表示方法。
2. 教学难点：向量共线条件的应用。
四、教学方法1. 采用讲解法，引导学生理解向量共线的概念和坐标表示方法。
2. 采用案例分析法，让学生通过具体例子掌握向量共线条件的应用。
3. 采用互动提问法，激发学生的思考，提高课堂参与度。
五、教学过程1. 导入：简要介绍向量共线的概念，引导学生思考如何用坐标表示向量共线。
2. 新课讲解：a) 讲解向量共线的定义，让学生理解什么是向量共线。
b) 引入向量共线的坐标表示方法，引导学生掌握如何用坐标判断向量共线。
3. 案例分析：a) 给出具体例子，让学生运用向量共线条件解决问题。
b) 分析例子，引导学生总结向量共线条件的应用。
4. 课堂练习：a) 布置练习题，让学生巩固向量共线条件的坐标表示方法。
b) 引导学生互相讨论，共同解决问题。
5. 总结与拓展：a) 总结本节课的主要内容和知识点。
b) 提出拓展问题，激发学生的学习兴趣。
6. 课后作业：布置相关作业，让学生进一步巩固向量共线条件的坐标表示方法。
六、教学评估1. 课堂问答：通过提问，了解学生对向量共线条件的理解和掌握程度。
2. 练习题解答：检查学生对向量共线条件坐标表示方法的掌握情况。
3. 课后作业：评估学生对课堂所学知识的巩固程度。
七、教学反思1. 反思教学方法：根据学生的反馈，调整教学方法，提高教学效果。
2. 反思教学内容：根据学生的掌握程度，调整教学内容，确保学生扎实掌握向量共线条件。
八、教学拓展1. 向量共线与线性方程组：引导学生探讨向量共线与线性方程组之间的关系。
2. 向量共线在几何中的应用：讲解向量共线在几何领域中的应用，如线段平分、角度平分等。
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1、平面向量共线的坐标表示？ 2、如何用向量判断三点共线？ 3、如何用向量的坐标运算求线段的定比分 点坐标公式？
08:53
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平面向量共线的坐标表示
08:53
复习回顾:
1、平面向量的坐标运算方式
(1)、已知 a ( x1 , y1 ), b ( x2 , y2 ), 则: a b, a b, a的坐标.
a b ( x1 x2 , y1 y2 )
a b ( x1 x2 , y1 y2 )
1 变式3:已知点A (1,1),B(-1,5),及 AC = AB, 2 1 AD=2 AB,AE =- AB, 求点C、D、E的坐标. 2
解： AB (2, 4) AC (1, 2), AD (4,8), AE (1, 2) OC OA AC (1,1) (1, 2) (0,3) OD OA AD (1,1) (4,8) (3,9) OE OA AE (1,1) (1, 2) (2, 1) 点 C 、 D 、 E 的坐标分别是 (0,3) ， ( 3,9) ， (2, 1). 08:53
a b( x1, y1 ) ( x2 , y2 )
x1 x2 y1 y2
a //b
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x1 y1 x2 y2
x1 y2 x2 y1
• 例：判断下列两向量是否平行。
(1)a (3, 5), b (5,3)
(2)a (2,3), b (4, 6)
a ( x1, y1 )
08:53
（2）已知 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 )，求 AB 的坐标.
y
解： AB OB OA
A( x1 , y1 ) B ( x2 , y 2 )
O x
( x2 , y2 ) ( x1 , y1 )
( x2 x1 , y2 y1 )
CD (2 1, 7 5) (1, 2) 2 2 4 1 0 AB / / CD
AC (2, 6), AB (2, 4)而2 4 2 6 0 AC与 AB不平行即A、B、C三点不共线 直线AB与CD不重合 AB / / CD
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8.已知平面内向量a (1, 2), b=(-3,2),当k为何
8.已知平面内向量a (1, 2), b=(-3,2),当k为何值时, ka b与a 3b平行？平行时它们是同向还是反向？
解：法一、k a b k (1, 2) (3, 2) (k 3, 2k 2) a 3b =(1, 2)-3 (-3,2)=(10,-4) k a b 与a 3b 平行 （k 3) (4) 10 (2k 2) 0 1 k =3
变式1.若向量a =(1, x)与b ( x, 4)共线且 方向相同，求x
解： a =(1, x)与b ( x, 4)共线 (1) 4 x ( x) 0 x 2
又a与b同向 x 2
08:53
例2 :已知A(1, 1), B(1,3), C (2,5)，判断 A、B、C三点的位置关系.
5 . A(5, 7), B(3, x), C (2,3), D(4, x), 则x ____
7. 已知A、B、C、D四点坐标分别是(1, 0)、 (4,3)、 (2, 4)、 (0, 2).试证明四边形ABCD是梯形. 值时,k a b与a 3b平行?平行时它们是同向 还是反向？
08:53
运用 例1 已知a＝(1，0)，b＝(2，1)，当实数k 为何值时,向量ka－b与a＋3b平行？并确定 此时它们是同向还是反向．)＝(k－2,－1), a＋3b＝(1，0)＋3(2，1)＝(7，3)． 由向量平行的条件可得 3· (k－2)－(－1)· 7＝ 0， 所以 k＝－1/3． 此时， ka－b＝ (－7/3,－1)＝－1/3(7,3) ＝－1/3 (a＋3b) ． 08:53 因此，它们是反向的．
有向线段的终点的坐标减去起点的坐标.
08:53
2、共线向量基本定理
b 与向量 a(a 0) 共线 当且仅当有唯一一个实数 使得
向量
b a
0 0
08:53
a
b
b b
思考：如何用坐标来表示两个
向量的共线关系呢？
a b b
08:53
平面向量共线的坐标表示 讲授新课：
设a ( x1, y1 ), b ( x2 , y2 ), 其中b 0
08:53
(B)
B、2,2
C、3,2
D、2,4
3 . 4. 已知a (4, 2), b (6, y ), 且a / / b, 则 y ___
5. 已知a (1, 2), b ( x,1), 若a 2b与2a b平行,
0.5 则x的值为 ______ .
6. 已知平行四边形ABCD四个顶点的坐标为
解: AB (2, 4), AC (3, 6) 又2 6 3 4 0 AB / / AC. A、B、C三点共线.
A
C B
08:53
变式2：已知A(1, 1), B(1,3), C (1,5) D(2, 7),向量 AB与CD平行吗？直线AB与CD平行吗？ 解： AB (1 (1),3 (1)) (2, 4),
08:53
1 2 1 此时当时k a b ( -3,- +2)=- (a 3b ) 3 3 3 1 当k 时，k a b 与a 3b 平行，并且反向. 3
法二、由法一知： k a b (k 3, 2k 2), a 3b (10, 4) 当k a b与a 3b平行时,存在唯一实数使 k a b = （a 3b） 由(k 3,2k 2)=(10,-4)得 k 3 10 1 k 3 2k 2 4 1 当k 时,k a b与a 3b平行 3 1 此时:k a b (a 3b) 3 1 =- <0 k a b与a 3b反向 08:53 3
巩固练习：
1.若a (2,3), b (4, 1 y ),且a / / b, 则y A、6 B、5 C、7 D、 8
(C )
2.若A( x, 1), B (1,3), C (2,5)三点共线, 则x的值为( B ) A、-3 B、-1 C、1 D、 3 3.若 AB i 2 j与DC (3 x)i (4 y )（其中、 j i j的 方向分别与x、y轴正方向相同且为单位向量). AB与DC共线，则x、y的值可能分别为 A、1,2
(3)a ( 3, 3), b ( 5, 5)
不平行
平行 平行 平行
(4)a (0,0), b (3, 5)
08:53
例1 已知a (4, 2), b (6, y), 且a/ / b, 求y的值。
解: a / / b, 4 y 2 6 0 y 3
08:53