平面向量共线的坐标表示ppt 人教课标版

( x1 x2 , y1 y2 )
2
2
y P2
P P1
所以，点P的坐标为
(
x1
2
x2
,
y1
2
y2
)
O
x
(1)
例8.设点P是线段P1P2上的一点，P1、P2的坐标分别是(x1, y1), (x2 , y2 )
（2）当点P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P的坐标。
解：（2）
①
uur 若点P靠近p1点则有：P1P
r
r
ur r r
1. 已知向量a = (2,1),b = (x,- 1), m= a + 2b,
r r r ur r
u = 2a - br,且m// u,求r x的值. x = - 2r r
2. 已知向量a = (3, 4),b = (cosa ,sin a ),且a // b,
求tan a的值.
3
∴点P的坐标是( 2x1 + x2 ,2y1 + y2 )
3
3
解法二:
设点P的坐标为（x,y）
uur 若P1P
=
1 2
uuur PP 2,则
uur P1P
=
1 3
uuuur P1P 2
uur
P1P =(x,y)-(x1,y 1)=(x - x1,y - y 1)
1 3
uuuur P1P 2
=
1 3
∴点 P 的 坐 标 是 ( x1 + 2x2 ,y1 + 2y2 ) P1
3
3
y P2
P
O
x
小结:
向量平行(共线)等价条件的两种形式:
(1)ar
/
rr /b(b
≠
r 0)⇔
ar
r =λb;
(x2
-
x1,y2
-
y1)
P1
y P2
P
=( x2 - x1 ,y2 - y1 )
3
3
O
x
即
(x
-
x1,y
-
y
1)
=
(
x2
3
x1
,y
2
3
y1
)
解得 x = 2x1 + x2 ,y = 2y1 + y2
3
3
∴点P的坐标是( 2x1 + x2 ,2y1 + y2 )
3
3
②若点p靠近P2点 时
uuuur uuuur 则有： p1 p = 2 p p2,
tan a = 4
r
3
3、与a (12,5)平行的单位向量是（ C ）
（A）（12 ，5） 13
（B）（ 12， 5 ） 13 13
（C）（12，5 ）或（ 12， 5 ） （D）（ 12， 5 ）
13 13
13 13
13 13
4. 已知a=(1, 0), b=(2, 1), 当实数k为何值时,向
∴AB∥CD
例8.设点P是线段P1P2上的一点，P1、P2的坐标分别是
(x1, y1), (x2 , y2 ) 。
（1）当点P是线段P1P2的中点时，求点P的坐标； （2）当点P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P的坐标。
M
解：（1）
uuur 1 uuur uuuur OP 2 (OP1 OP2 )
ar ar

r b r b

(x1 (x1

x2，y1 x2，y1

y2 ) y2 )
ar (x, y)
uuur 若A(x1, y1), B(x2 , y2 ), 则 AB (x2 x1, y2 y1).
3.平面向量共线定理：

a//
b

b


0

量ka－b与a+3b平行? 并确定它们是同向还是
反向. 解：ka－b=(k－2, －1),
a+3b=(7, 3),
∵ka－b与a+3b平行
这两个向量是反向。
例7.已知A(-1，- 1)，Ｂ(1，3)，C(2，5)，试 判断A,B,C三点之间的位置关系.
解法1:
y ●C
●B
A● 0
uur ∵AB =（1-（ - 1），3 -（ - 1））=（2，4）
2.3.4平面向量共线的 坐标表示
1. 对于平面内的任一向量a，由 平面向量基本定理可得，有且 只有一对实数x、y，使得
y yj a
a=xi+yj。我们把有序数对（x，
xi
y）叫做向量a的坐标，记作a= j
（x，y）
Oi
x
2. 向量的坐标运算： ar (x1，y1)
r b (x2，y2 )
uur AC =（2 -（ - 1），5 -（ - 1））=（3，6） 又 2× 6 - 3× 4 = 0， uur uur ∴AB∥ AC ∵直线AB、直线AC有公共点A， x∴ A、B、C三点共线。
已知A(-1， -1)， B(1，3)， C(1，5) ，D(2，7) ，
向量 AB 与 CD 平行吗？直线AB与平行于直线CD吗？
不能, Q x1, x2有可能为 0 .
例6.
rrr
r
已知a / /b,且a =(4,2),b =(6,y),求y的值;
rr
解：∵a / /b
∴4y - 2× 6 = 0
∴y = 3
练习：
rrr
r
已知a / /b,且a =(x,2),b =(2,1),求x的值.
rr 解：∵a / /b
∴ x-22 = 0 ∴x = 4


a



b


问题: 如果向量 a ，b 共线（其中 b≠ ）， 那么0 ， 满足a 什b么关系？
a b
思考: 设 a =(x1，y1),b =(x2，y2)，若向 量 a ，b 共线（其中 b ≠ 0），则这两个向 量的坐标应满足什么关系？
结论r : 设r a =(x1，y1),b =(x2，y2),（其 中 b 0）,当且仅当
解：∵ AB =(1-(-1)， 3-(-1))=(2， 4)
CD =(2-1，7-5)=(1，2)
又 ∵2×2-4×1=0
∴ AB∥ CD
又 ∵ AC =(1-(-1)， 5-(-1))=(2，6)
AB =(2， 4)， ∴ 2×4-2×60
∴ AC 与 AB 不平行 ∴ A，B，C不共线 ∴AB与CD不重合
x1y 2 -x2y1 = 0
向量 a与向量 b 共线。
r rr r 即：a / /b(b 0) x1y2 x2 y1 0
探究：
1. 消去时能不能两式相除?
不能两式相除，Q rr
y1,
y2有可能为
0，
又b 0, x2, y2中至少有一个不为 0
2. 能不能写成 y1 y2 ? x1 x2
=
1 2
uuur PP 2,
uur OP
=
uuur 0P1
+
uur P1P
=
uuur 0P1
+
1 3
uuuur P 1P 2
P1
y P2
P
=
uuur 0P1
+
31(0uuPur2
-
uuur 0P1)
O
x
=
2 3
uuur 0P1
+
1 3
uuur OP 2
=( 2x1 + x2 ,2y1 + y2 )
பைடு நூலகம்
3