高一下学期期末考试数学试卷含答案
四川省泸州市2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷(含解析)
四川省泸州市2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1．若集合,,则( )A. B. C. D.2．设复数z 满足( )A. B. C. D.3．设,,A. B. C. D.4．已知( )5．平面与平面平行的充分条件可以是( )A.内有无穷多条直线都与平行B.直线,,且,C.直线,直线,且,D.内的任何一条直线都与平行6．如图,为直角三角形,,,C 为斜边的中点,P 为线段的中点,则( )7．若圆台侧面展开图扇环的圆心角为,其母线长为2,下底面圆的半径是上底面圆的半径的2倍,则该圆台的高为( ){}25A x x =∈-<<Z {}24B x x x =<A B = (0,4){1,2,3}{}1-(2,4)-(1i)3i z -=-=2i+2i-12i -12i+0.48a = 1.312b -⎛⎫= ⎪⎝⎭c =a c b <<a b c<<c b a <<c a b<<tan α=α=αβαβm ⊄m β⊄//m α//m βm α⊂n β⊂//m β//n ααβAOB △1OA =2OB =AB OC AP OP ⋅=12180︒A.8．已知函数,若方程有4个不同的根,,,,且,则的值为( )A.3B.0C.2D.6二、多项选择题9．下列说法正确的是( )A.任意向量,与同向,则B.若向量,且,则A,B,C 三点共线C.若,则与的夹角是锐角,,则在上的投影向量为10．已知函数,满足,且,则( )A.的图象关于C.在上单调递减D.的图象关于点对称11．正方体的棱长为2,已知平面,则关于平面截正方体所得截面的判断正确的是( )A.截面形状可能为正三角形B.平面与平面ABCD 所成二面角的正弦值为C.截面形状可能为正六边形D.截面面积的最大值为三、填空题12．已知函数是定义在R 上的周期为2的奇函数,当时,,则的值为____________．__________.41,0()log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩()f x k =1x 2x 3x 4x 1234x x x x <<<3412x x x x --a b ba b> PA PB PC λμ=+ 1(01)λμλ+=<<0a b ⋅>a b 6b 3,π4b = a b -()sin(2)f x x ϕ=+ππ33f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()ππ2f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭()f x x 1φ2=-()f x π,π2⎛⎫⎪⎝⎭()f x 13π,012⎛⎫⎪⎝⎭1111ABCD A B C D -1AC α⊥αα()f x 01x <<()2xf x =72f ⎛⎫ ⎪⎝⎭=14．已知三棱锥底面是边长为3的等边三角形,且,当该三棱锥的体积取得最大值时,其外接球的表面积为____________．四、解答题15．已知向量,且．（1）求向量与的夹角．（2）若向量与互相垂直,求k 的值．16．已知函数的部分图象如下图所示．（1）求函数的解析式．（2）若将函数的图象,求不等式的解集．17．在中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c ,已知．（1）求B ;（2）若．18．如图,在四棱锥中,底面是正方形,E ,F 分别为,的中点,G 为线段上一动点,平面．（1）证明：平面平面;（2）当时,证明：平面;（3）若,四面体的体积等于四棱锥的S ABC -SA AB SB ==(1,1a =-()3a b b +⋅= a bka b + a kb -π()sin()(0,0,||)2f x A x A ωϕωϕ=+>><()f x (f x ()g x ()1g x >ABC △2cos 2b C a c =+b =sin A C =c +P ABCD -ABCD PB PC AC PD ⊥ABCD ⊥BDF A E G 3CG AG =//EG BDF 2AD PD =BGEF P ABCD -．19．对于三个实数a,b,k ,若（1）写出一个数a 使之与2具有“性质1”,并说明理由;（2）若,具有“性质k ”,求实数k 的最大值．()()()(22111a b k a b --≥--22x --x ≤≤x cos x参考答案1．答案：B解析：,,所以.故选：B.2．答案：C,.故选：C.3．答案：D解析：因为函数在R 上单调递增,所以,又因为函数在上单调递增,所以,所以.故选：D.4．答案：B解析：依题意,故选：B.5．答案：D解析：对于A,若内有无穷多条直线都与平行,则,平行或相交,故充分性不成立,故A 错误;对于B,如图,在正方体中,平面,平面,{}{}251,0,1,2,3,4A x x =∈-<<=-Z {}{}2404B x x x x x =<=<<{1,2,3}A B = ()()()()323i 1i 3i 3i 33i i+i 24i12i 1i 1i 1i 1i 22z ++-++++======+---+2x y =. 1..130.31422220182b a -⎛⎫== ⎪=>=>⎝>⎭lg y x =(0,)+∞1lg lg103c =<=c a b <<2222222211cos sin 1tan 2cos2cos sin 1cos sin 1tan 12ααααααααα---=-=====+++αβαβ1111ABCD A B C D -11//C D ABCD 11//C D 11ABB A而平面平面,故充分性不成立,故B 错误;对于C,如图,在正方体中,平面,平面,而平面平面,故充分性不成立,故C 错误;对于D,由面面平行的定义知能推出平面与平面平行,故充分性成立,故D 正确.故选：D.6．答案：B解析：因为,取中点Q ,连接,故选：B.7．答案：C解析：设圆台的上底面的圆心为H ,下底面的圆心为O ,设圆台的母线交于点S ,11ABB A ABCD AB =1111ABCD A B C D -11//A B ABCD //CD 11ABB A 11ABB A ABCD AB =αβ()()1111111122222224PQ PO PA CO PA CO AO AC CA BA ⎛⎫⎡⎤=+=+=-+== ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦14BA ==AO PQ 144AP OP PA PO PA PO⋅=⋅=⋅⋅()()22221514164PA PO PA PO PQ AQ ⎡⎤=+--=-=-=⎢⎥⎣⎦为圆台的母线,且,下底面圆的半径是上底面圆的半径的2倍,,所以,由圆台侧面展开图扇环的圆心角为,所以下底面圆的周长为,所以,所以,,在直角梯形中,易求得故选：C.8．答案：A解析：作出函数的图象如下由对称性可知,由图可知,所以,则,,,故选：A.9．答案：BD解析：对于A,向量不能比较大小,故A 错误,对于B,向量且时,由向量共线定理的推论,知A,B,C 三AB 2AB =HA OB ==2=4SB =180︒4π2π4πOB ⋅=2OB =1HA =HABO OH ==41,0()log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩12x x +=-434log x =3401x x <<<43log 0x <444344log 0log log x x x ⇒-=>434log 0x x =341x x ∴=34121(2)3x x x x ---=-=PA PB PC λμ=+1(01)λμλ+=<<点共线,故B 正确,对于C,当,同向共线时,,此时夹角不是锐角,故C 错误,,故D 正确.故选：BD 10．答案：BD解析：因为函数函数,满足,所以的图象关于所以,所以,,因为,,即,所以,,所以则,由,可得,所以在上不单调,故C 错误;由,所以的图象关于点对称,故D 正确．故选：BD ．11．答案：ACD解析：如图,在正方体中,连接,,,,a b 0a b a b ⋅=⋅>3π4=-()sin(2)f x x ϕ=+ππ33f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()sin(2)f x x ϕ=+x =πsin(2)3ϕ⨯+=±πk ϕ+=+∈Z ππ6k ϕ=-k ∈Z ()ππ2f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭()()sin πsin 2πϕϕ+>+sin 0ϕ<2k n =n ∈Z sin ϕ=π()sin(26f x x =-π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭π5π11π(,)2666x ∈-()f x π,π2⎛⎫⎪⎝⎭1313ππππ0i 1212()sin(2)s n 26f =⨯==-()f x 13π,012⎛⎫ ⎪⎝⎭1111ABCD A B C D -1A B 1A D BD AC因为平面,平面,则,因为四边形为正方形,则,又因为,,平面,所以,平面,因为平面,则,同理可证,因为,,平面,则平面,所以平面与平面平行或重合,所以平面与正方体的截面形状可以是正三角形,故A 正确;平面与平面所成二面角正弦值为即为平面与平面所成的角,设与交于O ,连接,因为四边形是正方形,所以,又平面,又平面,所以,又,,平面,又平面,所以,所以是平面平面与平面所成二面角的平面角,由题意可得,进而可得所以所以平面与平面的1AA ⊥ABCD BD ⊂ABCD 1AA BD ⊥ABCD BD AC ⊥1AA AC A = 1AA AC ⊂11AA C C BD ⊥11AA C C 1AC ⊂11AA C C 1BD AC ⊥11A B AC ⊥1A B BD B = 1A B BD ⊂1A BD 1AC ⊥1A BD α1A BD 1A BD αABCD 1A BD ABCD AC BD 1OA ABCD AC BD ⊥1AA ⊥ABCD BD ⊂ABCD 1AA BD ⊥1AA AC A = 1AA AC ⊂1AA O 1AO ⊂1AA O 1BD AA ⊥1AOA ∠1A BD ABCD 12A A =12AO AC ==1AO ==111sin AA AOA A O ∠===α当E,F,N,,M,G,H 分别为对应棱的中点时,截面为正六边形,因为E ,H 分别为,的中点,则,因为平面,平面,则平面,同理可得平面,又因为,,平面,则平面平面,所以,平面,此时截面为正六边形,故C 正确;如图设截面为多边形,设,则,则,所以多边形的面积为两个等腰梯形的面积和,所以,因为EFNMGH 1BB 11A B 1//EH A B EH ⊄1A BD 1A B ⊂1A BD //EH 1A BD //EF 1A BD EH EF E =I EH EF ⊂EFNMGH //EFNMGH 1A BD 1AC ⊥EFNMGH GMEFNH 1A G x =02x ≤≤,)GH ME NF MG HN EF x ======-MN =GMEFNH 1211()()22S GH MN h MN EF h =+⋅++⋅1h ==所以=时,故选：ACD.12．答案：解析：根据题意,是定义在R上周期为2的奇函数,所以故答案为：13．答案：414．答案：解析：依题意,三棱锥的底面面积是个定值,侧面是等边三角形,顶点S到边的距离也是一个定值,所以当该三棱锥的体积取得最大值时,平面平面,取的中点,连接,,N,M分别为正三角形,的中心,所以,,所以为二面角平面角,可得,过N,M分别作平面,平面的垂线,,两垂线交于O,的2h==11)22S x=+-11)22S x=+++-221)x=++=-+1x=maxS=()f x127111422222f f f f⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=-=-=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()2sin301041sin202︒-︒==︒15πS ABC-ABC△SAB ABSAB⊥ABCAB SH CH SAB ABCSH AB⊥CH AB⊥SHC∠S AB C--SH CH⊥SAB ABC NO MO则O 为外接球的球心,由正三角形的性质可求得进而可得易得四边形是正方形,所以由勾股定理可得其外接球的表面积为.故答案为：.（2）或解析：（1）由,得设向量与的夹角为,由,,所以,所以,解得所以向量与（2）由向量向量与互相垂直,得,所以,即,解得或．16．答案：（1）（2）,解析：（1）由图象知,即,又,,所以SH CH ==NH HM ==CM ==OMHN OM =OC ==24π15π=15π1k =1k =-()1,1a =-||a == a b[0,π]θ∈()3a b b +⋅= 2a b b ⋅+= 1a b ⋅= ||||cos 1a b θ⋅= cos θ=a b ka b + a kb -()()·0ka b a kb +-= 2220ka k a b a b kb -⋅+⋅-= 22120k k k -+-=1k =1k =-1π()2sin()26f x x =+ππ(π,π)66k k -+k ∈ZA =8π2π2π33=-=4πT =0ω>4π=ω=1()2sin()2f x x ϕ=+又函数过点,所以,所以,,解得,.又．（2）将函数可得函数,的图象,所以,由,可得,所以所以,,所以,所以不等式的解集为,．（2）2解析：（1）因为余弦定理可得,所以,因为,所以,,2π(,2)32π12π(2sin()2323f ϕ=⨯+=πsin()3ϕ+=π2π2k ϕ+=+k ∈Z 2ππ6k ϕ=+k ∈Z ||ϕ=1π()2sin(26f x x =+(f x ()1ππ42sin(4)2sin(2)266f x x x =⨯+=+()g x ()ππ2sin[2()]2cos 266g x x x =++=()1g x >2cos 21x >cos 2x >ππ2π22π33k x k -<<+k ∈Z πππ6k x k -<<+∈Z ()1g x >ππ(π,π66k k -+k ∈Z 222222a b c b a c ab+-⨯=+222a b c ac -+=-2221cos ,(0,π)22a cb B B ac +-==-∈B =2sin sin b c B C====sin =sin C =又,由余弦定理得,即,因为,所以.18．答案：（1）证明见解析（2）证明见解析解析：（1）设与交于O ,连接,因为四边形是正方形,所以,且O 为的中点,又平面,又平面,所以,因为E 是的中点,所以,所以,又,,平面,所以平面,又平面,所以平面平面;（2）连接交于点M ,连接,连接,则O 为的中点,因为,的中点,所以M 为所以,又平面,平面,所以平面;（3）由平面,可得,因为E,F 分别为,的中点,sin sin A C =2c =1=2222cos b a c ac B =+-221322a c ac ⎛⎫=+-⨯- ⎪⎝⎭222233()4()a c ac ac a c a c =++⇒+=+⇒=+,0a c >2a c +=AC BD OE ABCD AC BD ⊥BD PD ⊥ABCD BD ⊂ABCD PD BD ⊥PB //PD OE OE BD ⊥OE AC O = OE AC ⊂A E G BD ⊥A E G BD ⊂BDF ⊥BDF A E G CE BF EF OM AC 3CG ==PB PC PBC △==//OM GE OM ⊂BDF EG ⊄BDF //EG BDF PD ⊥ABCD 22P ABCD P ABC A PBC V V V ---==PB PC所以,所以,所以又四面体的体积等于四棱锥,所以点G ,A平面.19．答案：（1）（答案不唯一）,理由见解析.（2）（3）0解析：（1）与2具有“性质1”.当时,即,则2与2具有“性质1”（2）若所以,即,令,,所以,所以,解得即所以因此x 的取值范围,具有“性质k ”,14BEF PEF PBC S S S ==△△△4A PBC A BEF V V --=228P ABCD P ABC A PBC A BEF V V V V ----===BGEF P ABCD -A BEF G BEF V --=BEF 34=2a =4{|log x x ≤4log x ≥2a =2a =()()()(22212112212--≥⨯--⨯90>22x x --()()2222110x x -⎡⎤---≥⎢⎥⎣⎦()22210442104430xxx x x x -----≥⇒+--≥⇒+-≥4xt =0t >2131300t t t t t-++-≥⇒≥2310t t -+≥0t <≤≥04x <≤x ≥4log x ≤4log x ≥4{|log x x ≤4log x ≥x ≤≤x cos x所以,,化简得令,,两边平方得令求导得令,求导得令,解得,当,,在上单调递减;当,,在上单调递增;又因为,所以,因此,即y 在单调递减,当时,y 取最小值为0,进而得到,实数k 的最大值为0.()()()(22sin 1cos 1sin cos 1sin cos x x k x x x --≥--x ≤≤x >cos x cos 0,1cos 0sin sin x x x x ->->()()22cos sin sin cos 1sin cos x x k x x xx k ≥--⇒≤sin cos t x x =-[]0,1t ∈sin cos x x =2224321()12222112t t t k t t t t --+≤=+⎛⎫-- ⎪⎝⎭43212,22t t y t t++-=()()()()()33242234422122622t t t t t t t y t t -++--++='=+462551()h t t t t =+--534220102(3105)()6h t t t t t t t '=+-=+-()0h t '=0,1t t ==<t =()0h t '<()h t t =()0h t '>()h t (0)1h =-(1)0h =()0h t <0'<y []0,11t =0k ≤。
2023-2024学年四川省自贡市高一下学期期末考试数学试题(含解析)
2023-2024学年四川省自贡市高一下学期期末考试数学试题一、选择题：本题共11小题，每小题5分，共55分。
1.在▵OMN 中，ON−MN +MO =( )A. 0B. 2MOC. 2OMD. 02.复数2+3i 1+i 对应的点( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.为了了解学生们的身体状况，某学校决定采用按比例分层抽样的方法，从高一、高二、高三三个年级共抽取100人进行各项指标测试．已知高三年级有500人，高二年级有700人，高一年级有800人，则高二年级抽取的人数为( )A. 40B. 35C. 30D. 254.水平放置的▵ABC 的斜二测直观图如图所示，已知A′C′=3,B′C′=2，则▵ABC 的面积是( )A. 4B. 5C. 6D. 75.若连续抛两次骰子得到的点数分别是m ，n ，则点P (m,n )在直线x +y =8上的概率是( )A. 112B. 19C. 536D. 166.在▵ABC 中，B =30∘,b =2,c =2 2，则▵ABC 的面积为( )A. 3+ 3B. 3+1C. 3± 3D. 3±17.已知▵ABC 中，AC ⋅AB =0,2AD−AC−AB =0,|AD |=|AB |，则CA 在CB 上的投影向量为( )A. 14CBB. 34CB D. −34CB 8.图1是唐朝著名的风鸟花卉纹浮雕银杯，它的盛酒部分可以近似地看作半球与圆柱的组合体(如图2).设这种酒杯内壁的表面积为Scm 2，半球的半径为3cm ，若半球的体积不小于圆柱体积，则S 的取值范围是( )A. [24π,+∞)B. (18π,24π]C. [30π,+∞)D. (18π,30π]9.设向量a,b满足|a|=|b|=1，且|3b−a|=10，则以下结论正确的是( )A. a⊥bB. |a−b|=2C. |b−3a|=10D. 向量a+b与a−b夹角为60∘10.下列命题中真命题是( )A. 如果不同直线m、n都平行于平面α，则m，n一定不相交B. 如果不同直线m，n都垂直于平面α，则m，n一定平行C. 如果平面α、β互相平行，若直线m⊂α，直线n⊂β，则m//nD. 如果平面α、β互相垂直，且直线m，n也互相垂直，若m⊥α，则n⊥β11.一家公司为了解客户对公司新产品的满意度，随机选取了m名客户进行评分调查，根据评分数进行适当分组后(每组为左闭右开的区间)，画出的频率分布直方图如图所示，其中有8名客户的评分数落在[40,50)内，则( )A. 图中的a=0.005B. m=200C. 同组数据用该组区间的中点值作代表，则评分数的平均数为76.2D. 该公司计划邀请评分数低于第25百分位数的客户参与产品改进会议，若客户甲的评分数为66，则甲将会被邀请参与产品改进会议二、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
2023-2024第二学期期末考试高一数学试卷
2023—2024学年第二学期期末试卷高一数学注意事项：1．本试卷包括单项选择题（第1题~第8题）、多项选择题（第9题~第11题）、填空题（第12题~第14题）、解答题（第15题~第19题）四部分。
本试卷满分为150分，考试时间为120分钟。
2．答卷前，考生务必将自己的姓名、学校、班级填在答题卡上指定的位置。
3．作答选择题时，选出每小题的答案后，用2B 铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试卷上。
4．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z ＝3＋i(i 为虚数单位)，则复数zz －2i的虚部是 A ．45B ． 45iC ． 35D ．35i2．已知m ，n 为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列结论中正确的是 A ．若m ∥α，n α⊂，则m ∥n B ．若m ⊥α，n ⊥α，则m ∥nC ．若m ∥β，n ∥β，且m α⊂，n α⊂，则α∥βD ．若α⊥β，α β＝m ，m ⊥n ，则n ⊥β 3．已知数据x 1，x 2，x 3， …x n 的平均数为10，方差为5，数据3x 1－1，3x 2－1，3x 3－1， …3x n－1的平均数为—x ，方差为s 2，则 A ．—x =10，s 2=14 B ．—x =9，s 2=44 C ．—x =29，s 2=45D ．—x =29，s 2=444．向量→a 与→b 不共线，→AB ＝→a ＋ k →b ，→AC ＝ m →a －→b (k ，m ∈R )，若→AB 与→AC 共线，则k ，m 应满足A ．k ＋m ＝0B ．k -m ＝0C ．km ＋1＝0D ．km －1＝05．同时抛掷两枚质地均匀的骰子，观察向上的点数，设事件A ＝“第一枚向上点数为奇数”，事件B ＝“第二枚向上点数为偶数”，事件C ＝“两枚骰子向上点数之和为8”，事件D ＝“两枚骰子向上点数之积为奇数”，则 A ． A 与C 互斥B ． A 与C 相互独立C ． B 与D 互斥 D ． B 与D 相互独立6． 在△ABC 中，角A ，B ，C 对边分别为a ，b ，c ．若2b cos C ＝2a －c ，A ＝π4，b ＝3，则实数a 的值为 A ． 6B ． 3C ． 6D ． 37． 如图，四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，P A ＝4，PC 与平面ABCD 所成角的大小为θ，且 tan θ＝223，则四棱锥P －ABCD 的外接球表面积为 A ． 26π B ． 28π C ． 34πD ． 14π8．已知sin2θ＝45，θ∈(0，π4) ，若cos(π4－θ)＝m cos(π4＋θ)，则实数m 的值A ．－3B ．3C ．2D ．－2二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设复数z ＝i ＋3i 2(i 为虚数单位)，则下列结论正确的是 A ． z 的共轭复数为－3－iB ．z ·i=1－3iC ． z 在复平面内对应的点位于第二象限D ．|z ＋2|＝ 210．已知△ABC 内角A ，B ，C 对边分别为a ，b ，c ，则下列说法正确的是 A ．若sin A ＞sin B ，则A ＞BB ．若a cos B =b cos A ，则△ABC 为等腰三角形 C ．若a 2＋b 2＞c 2，则△ABC 为锐角三角形D ．若a ＝1.5，b ＝2，A ＝30°的三角形有两解11．如图，在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N ，P 分别是C 1D 1，C 1C ，A 1A 的中点，则A ．M ，N ，B ，A 1四点共面B ．若a ＝2，则异面直线PD 1与MNC ．平面PMN 截正方体所得截面为等腰梯形D ．若a ＝1，则三棱锥P －MD 1B 的体积为124三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．12．一只不透明的口袋中装有形状、大小都相同的6个小球，其中2个白球，1个红球和3个黄球，从中1次随机摸出2个球，则恰有一球是黄球的概率是▲ .13．已知A(－3，5)，B(1，10)，C(2，1)，则tan∠ACB＝▲ .14．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，∠ABC=120°，BD是△ABC的中线，且1BD=，则a＋c的最大值为▲．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸．15．(13分)已知sin α＝－55，α∈(π，3π2)，sin(α+β)＝513，β∈(π2，π)．（1）求tan2α的值；（2）求sinβ的值．16．(15分)某市高一年级数学期末考试，满分为100分，为做好分析评价工作，现从中随机抽取100名学生成绩，经统计，这批学生的成绩全部介于40和100之间，将数据按照[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]分成6组，制成如图所示的频率直方图。
高一数学试题与解析-唐山市2023-2024学年高一下学期期末考试+数学答案
唐山市2023－2024学年度高一年级第二学期期末考试数学参考答案及评分一．选择题：1～4．ACCB5～8．DBDC二．选择题：9．BCD 10．AD 11．ACD 三．填空题：12．713．2712514．77四．解答题：（若有其他解法．．．．．．，请参照给分．．．．．） 15．解：（1）若a ∥b ，则3sin α－cos α＝0， …3分解得tan α＝33， …5分因为α∈[0，π]，所以α＝ π6． …7分（2）若a ⊥b ，则sin α＋3cos α＝0， …10分解得tan α＝－3， …12分 因为α∈[0，π]，所以α＝2π3． …13分16．解：（1）记“甲独立解答正确”为事件A ，“乙独立解答正确”为事件B ，且事件A ，B 相互独立．所以两人解答都正确的概率为…5分（2）“至多一人解答正确”的对立事件为“两人都解答正确”，所以至多一人解答正确的概率为1－P (AB )＝1－P (A )P (B )＝1…10分（3）“至少一人解答正确”的对立事件为“两人都未解答正确”，所以至少一人解答正确的概率为1－P (A-B -)＝1－P (A -)P (B -)＝1－ 1 2× …15分17．解：（1）在△ABC…2分…3分解得sin ∠…5分因为C ＝2π3，所以∠BAC ∈(0， π3)，所以∠…7分所以又AB ＝3，BC ＝3，所以△ABC 的面积×BC ×sin…8分（2）解法一：在△ADC 中，AC ＝BC ＝3，C ＝2π3，因为D 是BC 中点，所以CD ＝ 1 2BC ＝32，由余弦定理，得AD 2 ＝AC 2＋CD 2－2AC ·CD ·cos C…11分 ＝3＋34－2×3×32×(－ 1 2)＝214．…14分 所以AD ＝212．…15分解法二：由AD →＝ 12(AB →＋AC →)两边平方可得|AD →|2＝ 14(|AB →|2＋|AC →|2＋2|AB →||AC →|cos ∠BAC )…11分由（1）可知AC ＝BC ＝3，AB ＝3，cos ∠BAC ＝32，所以|AD →|2＝ 14(9＋3＋2×3×3×32)＝214．…14分 所以AD ＝212．…15分18．解：（1）这些人的平均年龄为x-＝15×0.05＋25×0.35＋35×0.3＋45×0.2＋55×0.1 …2分＝34.5(岁)． …3分 由频率分布直方图可知，年龄在[10，40)的频率为0.05＋0.35＋0.3＝0.7， 在[10，50)的频率为0.05＋0.35＋0.3＋0.2＝0.9， 则第80百分位数为x 0∈[40，50)，由0.7＋(x 0－40)×0.02＝0.8，解得x 0＝45． …5分所以估计这些人的平均年龄为34.5岁，第80百分位数为45．（2）第三组，第四组，第五组的频率分别为0.3，0.2，0.1．…6分若从这三组中分层抽取6人，则从第三组抽取3人，记为a1，a2，a3；第四组抽取2人，记为b1，b2；第五组抽取1人，记为c；对应的样本空间Ω＝{(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，c)，(a2，a3)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，c)，(a3，b1)，(a3，b2)，(a3，c)，(b1，b2)，(b1，c)，(b2，c)}，所以n(Ω)＝15；…8分设事件A为“从6人中随机抽取两人，所抽取的2人年龄在不同组”，则A＝{(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，c)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，c)，(a3，b1)，(a3，b2)，，所以n(A)＝11. …10分…12分（3）设第三组、第四组的年龄的平均数分别为x1-，x2-，方差分别为s21，s22．则x1-＝36，x2-＝46，s21＝2，s22＝4．由第三组有30人，第四组有20人，-2s，…14分s…16分26.8．…17分19．解：（1）由已知AC∥A1C1，AC⊄平面A1BC1，A1C1⊂平面A1BC1，所以AC∥平面A1BC1．…2分又AC⊂平面ABC，平面A1BC1∩平面ABC＝l，所以AC∥l．…5分（2）取BC中点为O，连接AO，A1O．因为侧面BB1C1C为矩形，所以BB1⊥BC，又AA1//BB1，则AA1⊥BC．由A1C＝A1B，所以A1O⊥BC．…6分又A1O∩AA1＝A1，A1O，AA1⊂平面AA1O，故BC⊥平面AA1O．…8分由于AO⊂平面AA1O，故BC ⊥AO ． …10分又BO ＝CO ，故AB ＝AC ， 又AC ＝BC ，所以△ABC 为等边三角形．…12分（3）记ON 与BC 1交于点H ，连接A 1H ，过O 作OE ⊥A 1H 于点E ，连接BE ．因为O ，N 分别为BC ，B 1C 1中点， 所以ON ∥AA 1，ON ＝AA 1，所以四边形A 1AON 为平行四边形． …13分 所以平面A 1AON ∩平面A 1BC 1＝A 1H ．由（2）可知BO ⊥平面A 1AON ，OE ，A 1H ⊂平面A 1AON ， 所以BO ⊥OE ，BO ⊥A 1H ， 又OE ⊥A 1H ，BO ∩OE ＝O ，所以A 1H ⊥平面BOE ，又BE ⊂平面BOE ， 所以A 1H ⊥BE ，即∠OEB 为平面A 1AN 与平面A 1BC 1所成的锐二面角． …14分 在△A 1BC 中，A 1C ＝A 1B ＝22，BC ＝AB ＝4， 所以△A 1BC 为等腰直角三角形， 所以A 1O ＝2．因为A 1A ＝AB ＝4，△ABC 为等边三角形， 所以AO ＝23， 所以A 1O 2＋AO 2＝AA 21， 则A 1O ⊥OA ． …15分 同理可证A 1O ⊥A 1N ，又知H 为ON 中点，所以A 1H ＝ 12ON ＝2．所以△A 1OH 为边长为2的等边三角形，且OE ＝3， …16分 在△OEB 中，BO ⊥OE ， 因为BE ＝OB 2＋OE 2＝7，所以sin ∠OEB ＝OB BE ＝27＝277． …17分故平面A 1AN 与平面A 1BC 1所成二面角的正弦值是277．…17分（同上）A 1B 1C 1CABNOHE。
浙江省温州市2023-2024学年高一下学期期末教学质量统一检测数学试题(A卷)含答案
2023学年第二学期温州市高一期末教学质量统一检测数学试题（A 卷）（答案在最后）本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试时间120分钟．考生注意：1．考生答题前，务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题卡上．2．选择题的答案须用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案涂黑，如要改动，须将原填涂处用橡皮擦净．3．非选择题的答案须用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题卡上相应区域内，答案写在本试题卷上无效．选择题部分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知向量()()2,1,,1a b t ==-，若a ∥b，则t =（）A.2B.12C.2- D.3【答案】C 【解析】【分析】根据向量平行的坐标表示运算求解.【详解】因为()()2,1,,1a b t ==-，若a∥b，则()211t ⨯-=⨯，即2t =-.故选：C.2.设m 是一条直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题一定正确的是（）A.若αβ⊥，m α⊥，则//m βB.若αβ⊥，//m α，则m β⊥C.若//αβ，m α⊥，则m β⊥D.若//αβ，//m α，则//m β【答案】C 【解析】【分析】对于选项A ：根据面面垂直的性质定理即可判断；对于选项B ：根据面面垂直的性质定理即可判断；对于选项C ：根据面面平行的性质定理判断即可；对于选项D ：根据线面的位置关系判断即可.【详解】对于选项A ：若αβ⊥，m α⊥，则//m β或m β⊂，故A 不正确；对于选项B ：若αβ⊥，//m α，则//m β或m β⊂或m β⊥，故B 不正确；对于选项C ：若//αβ，m α⊥，根据面面平行的性质定理可得m β⊥，故C 正确；对于选项D ：若//αβ，//m α，则//m β或m β⊂，故D 不正确.故选：C.【点睛】本题主要考查了面面垂直的性质定理以及面面平行的性质定理.属于较易题.3.复数024i 1i2=+（）A.11i 22-- B.11i 22-+ C.11i 22- D.11i 22+【答案】C 【解析】【分析】由复数的乘除法运算法则求解即可.【详解】()()2024i 11i 1i 11i 1i 1i 1i 1i 222z --=====-+++-.故选：C.4.如图，某校数学兴趣小组对古塔AB 进行测量，AB 与地面垂直，从地面C 点看塔顶A 的仰角β为60︒，沿直线BC 前行20米到点D 此时看塔顶A 的仰角α为30︒，根据以上数据可得古塔AB 的高为（）米.A. B.20 C.10D.【答案】A 【解析】【分析】根据直角三角形三角关系可得3BC h =，BD =，根据题意列式求解即可.【详解】设古塔AB 的高为h 米，在Rt ABC △中，可得60tan 3h BC ︒==；在Rt △ABD 中，可得tan 30hBD ==︒；由题意可知：CD BD BC =-，即203h =-，解得h =，所以古塔AB 的高为米.故选：A.5.数据：1，1，2，3，3，5，5，7，7，x 的40%分位数为2.5，则x 可以是（）A.2 B.3 C.4D.5【答案】A 【解析】【分析】按照百分位数计算公式，逐项计算即可求解.【详解】对于A ，因为1040%4⨯=，所以若2x =，则1，1，2，2，3，3，5，5，7，7的40%分位数为232.52+=，故A 正确；对于B ，因为1040%4⨯=，所以若3x =，则1，1，2，3，3，3，5，5，7，7的40%分位数为3332+=，故B 错误；对于C ，因为1040%4⨯=，所以若4x =，则1，1，2，3，3，4，5，5，7，7的40%分位数为3332+=，故C 错误；对于D ，因为1040%4⨯=，所以若5x =，则1，1，2，3，3，5，5，5，7，7的40%分位数为3332+=，故D 错误.故选：A.6.在锐角ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，面积为S ，)2224a c b S +-=，若1c =，则ABC 面积的取值范围是（）A.,84⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭ B.,82⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭ C.,42⎛⎫⎪⎪⎝⎭D.,8⎛⎫+∞ ⎪⎪⎝⎭【答案】A 【解析】【分析】根据题意利用余弦定理和面积公式可得π3B=，利用正弦定理结合三角恒等变换可得112tanaC⎛⎫=+⎪⎪⎝⎭，代入面积公式结合角C的范围运算求解.)2224a cb S+-=，则12cos4sin2ac B ac B=⨯，整理可得tan B=，且π0,2B⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，可知π3B=，由题意可得：π22ππ32CC⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，解得ππ62C<<，由正弦定理sin sina cA C=可得()31cos sinsinsin1221sin sin sin2tanC CB Cc AaC C C C+⎛⎫+====+⎪⎪⎝⎭，则ABC面积111sin111222tan28tanS ac BC C⎛⎫⎫==⨯+⨯⨯⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭，因为ππ62C<<，则tan3C>，可得01tan C<<，所以ABC面积1,8tan84SC⎛⎫⎛⎫=+∈⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：A.7.已知样本数据129,,,x x x⋅⋅⋅的平均数为9，方差为12，现这组样本数据增加一个数据10x，此时新样本数据的平均数为10，则新样本数据的方差为（）A.18.2B.19.6C.19.8D.21.7【答案】C【解析】【分析】根据平均数和方差公式整理可得9921181,837i ii ix x====∑∑，由新样本数据的平均数可得1019x=，结合方差公式运算求解即可.【详解】由题意可知：()9992221111119,99912999i i i i i i x x x ===⎛⎫=-=-⨯= ⎪⎝⎭∑∑∑，可得9921181,837ii i i xx ====∑∑，且()9101011181101010i i x x x =⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭∑，解得1019x =，所以新样本数据的方差为()1010922222210111111101010101019.8101010i i i i i i x x x x ===⎛⎫⎛⎫-=-⨯=+-⨯= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑.故选：C.8.已知平面向量,,a b c 满足12,2a c a b a b a b λ==⋅=-≥- 对任意实数λ恒成立．若对每一个确定的c ，对任意实数m ，n ，c ma c nb -+- 有最小值t ．当c变化时，t 的值域为[],x y ，则x y +=（）A.2+B.C.2+D.【答案】D 【解析】【分析】根据题意结合向量的几何意义分析可知2b =，进而分析可知,MC NC 的最小值分别为过点C 分别作直线,OA OB 的垂线长，设COA θ∠=，分π0,3θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦和π,π3θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦两种情况讨论，结合三角函数运算求解即可.【详解】设,,OA a OB b OC c === ，OP b =uu u r rλ，可知P OB ∈，则a b OA OP PA -=-=uu r uu u r uu r r r λ，可知PA 的最小值即为点A 到直线OB 的距离，若12a b a b λ-≥-对任意实数λ恒成立，可知当点P 为线段OB 的中点，且AP OB ⊥，即a 在b方向上的投影向量为12b r ，则2122a b b ⋅==r r r ，可得2b = ，即2OB OA BA ===，可知OAB 为等边三角形，可设,OM ma ON nb ==uuu r uuur r r ，则,c ma MC c nb NC -=-= ，可知,MC NC的最小值分别为过点C 分别作直线,OA OB的垂线长，设COA θ∠=，根据对称性只需分析[]0,πθ∈即可，若π0,3θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可得min minπ2sin 2sin 3t MC NC θθ⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭π2sin sin sin 2sin 3θθθθθθ⎛⎫=+-=+=+ ⎪⎝⎭，因为π0,3θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则ππ2π,333θ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，可得πsin ,132θ⎤⎛⎫+∈⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，即2t ⎤∈⎦；若π,π3θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则min min π2sin 2sin 3t MC NC θθ⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭π2sin sin 3sin 6θθθθθθ⎛⎫=+=-=- ⎪⎝⎭，因为π,π3θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则ππ5π,666θ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，可得π1sin ,132θ⎛⎫⎡⎤+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，即t ∈；综上所述：t ∈，即x y ==x y +=故选：D.【点睛】关键点点睛：本题的解题关键是把向量的模长转化为两点间距离，结合几何性质分析求解，这样可以省去烦琐的运算.二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．9.已知复数z 满足1z =，则下列结论正确．．的是（）A.1z z ⋅= B.1z z+∈R C.1z -的最大值为2 D.21z =【答案】ABC 【解析】【分析】根据共轭复数及乘法计算判断A,B 选项，应用特殊值法判断D 选项，结合模长公式判断C 选项.【详解】设i z =,所以22i 1z ==-,D 选项错误；112z z -≤+=,C 选项正确；设i z a b =+,因为1,z =所以221,1a b =+=，所以()()22222·i i i =1z z a b a b a b a b =+-=-+=,A 选项正确；1·i+i=2R z z z z z z a b a b a z z+=+=+=+-∈,B 选项正确.故选：ABC.10.如图所示，下列频率分布直方图显示了三种不同的分布形态.图（1）形成对称形态，图（2）形成“右拖尾”形态，图（3）形成“左拖尾”形态，根据所给图作出以下判断，正确的是（）A.图（1）的平均数=中位数=众数B.图（2）的平均数<众数<中位数C.图（2）的众数<中位数<平均数D.图（3）的平均数<中位数<众数【答案】ACD 【解析】【详解】根据平均数，中位数，众数的概念结合图形分析判断.【分析】图（1）的分布直方图是对称的，所以平均数=中位数=众数，故A 正确；图（2）众数最小，右拖尾平均数大于中位数，故B 错误，C 正确；图（3）左拖尾众数最大，平均数小于中位数，故D 正确.故选：ACD.11.正方体1111ABCD A B C D -棱长为1，E ，F 分别为棱11B C ，AD （含端点）上的动点，记过C ，E ，F 三点的平面为α，记1d 为点B 到平面α的距离，2d 为点1D 到平面α的距离，则满足条件（）的α是不唯一的．A.12d d +=B.12d d +=C.122d d -=D.122d d +=【答案】AC 【解析】【分析】设1,C E x DF y ==，结合解三角形知识求得CEF △的面积S =，利用等体积法求得1d =2d =.根据题意结合选项逐一分析判断即可.【详解】设1,C E x DF y ==，则[],0,1x y ∈，可得CE CF EF ===在CEF △中，由余弦定理可得222cos 2CE CF EF ECF CE CF+-∠==⋅且()0,πECF ∠∈，则sin ECF ∠==，所以CEF △的面积1sin 2S CE CF ECF =⋅⋅∠=，设平面α与直线11A D 的交点为G ，连接,GF GE ，可知1D G x y =+，因为平面11ADD A ∥平面11BCC B ，且平面α 平面11ADD A GF =，平面α 平面11BCC B CE =，可得GF ∥CE ，同理可得：GE ∥CF ，可知四边形CEGF 为平行四边形，则GEF CEF S S S ==△△，对于三棱锥B CEF -可知：B CEF E BCF V V --=，则1111111332S d ⋅=⨯⨯⨯⨯，解得112d S ==；对于三棱锥1D GEF -可知：11D GEF F D EG V V --=，则()211111332S d x y ⋅=⨯⨯⨯⨯+，解得22x y d S +==；对于选项A：若12d d +==+=，显然01x y =⎧⎨=⎩和1x y =⎧⎨=⎩上式均成立，所以平面α是不唯一的，故A 正确；对于选项B：若12d d ==+=，整理可得()()()222110x y x y -+-+-=，解得1x y ==，所以平面α是唯一的，故B 错误；对于选项C：若122d d -+-===，显然02x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩和20x y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩上式均成立，所以平面α是不唯一的，故C 正确；对于选项D：若122d d +===，整理可得()()()22221210x y x y -+-+-=，解得12x y ==，所以平面α是唯一的，故D 错误；故选：AC.【点睛】关键点点睛：将平面α延展为平面CEGF ，分析可知CEGF 为平行四边形，进而可利用等体积法求12,d d .非选择题部分三、填空题：本大题共3小题，每题5分，共15分．把答案填在题中的横线上12.已知2i 3-是关于x 的实系数方程220x px q ++=的一个根，则实数p 的值为_______．【答案】12【解析】【分析】根据题意分析可知2i 3--也是方程220x px q ++=的一个根，利用韦达定理运算求解即可.【详解】因为2i 3-是关于x 的实系数方程220x px q ++=的一个根，则2i 3--也是关于x 的实系数方程220x px q ++=的一个根，由韦达定理可得()()2i 32i 362p-+--=-=-，解得12p =.故答案为：12.13.设样本空间{}1,2,3,4Ω=含有等可能的样本点，{}{}{}1231,2,1,3,1,4A A A ===，则()()()()123123P A A A P A P A P A =_______．【答案】2【解析】【分析】根据题意利用列举法求()()()()123123,,,P A P A P A P A A A ，代入即可得结果.【详解】因为样本空间{}1,2,3,4Ω=，{}{}{}1231,2,1,3,1,4A A A ===，则{}1231A A A =，可知()()()()()1231234,2,1n n A n A n A n A A A Ω=====，则()()()()()()()()()()()()1231231231231111,,,2224n A n A n A n A A A P A P A P A P A A A n n n n ========ΩΩΩΩ，所以()()()()123123142111222P A A A P A P A P A ==⨯⨯.故答案为：2.14.与多面体的每条棱都相切的球称为该多面体的棱切球．已知四面体ABCD 满足6AB BC CD DA ====，8BD =，且四面体ABCD 有棱切球，则AC 的长为________．【答案】4【解析】【分析】设球心，和相应的切点，根据题意结合切线长性质可知相应的长度关系，结合题中棱长关系分析运算即可.【详解】设棱切球的球心为O ，与棱,,,,,AB BC CD DA AC BD 分别切于点,,,,,E F G H I J ，可知,,,AH AI AE BE BF BJ CI CF CG DH DG DJ ========，由题意可得：6668AH DH AE BE AH BE BF CF BE CF BJ DJ BE DH +=⎧⎪+=+=⎪⎨+=+=⎪⎪+=+=⎩，解得42BE DH AH CF ==⎧⎨==⎩，所以4AC AI CI AH CF =+=+=.故答案为：4.【点睛】关键点点睛：本题的解题关键是切线长相等，结合棱长列式求解即可.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知圆台上底面半径为1，下底面半径为2，高为2．（1）求该圆台的体积；（2）求该圆台母线与下底面所成角的余弦值．【答案】（1）14π3（25【解析】【分析】（1）根据题意利用台体的体积公式运算求解；（2）借助于轴截面，分析可知该圆台母线与下底面所成角的大小为CBE ∠，结合题中数据分析求解.【小问1详解】由题意可知：该圆台的体积(114ππ4ππ4π233V =++⨯⨯=.【小问2详解】借助于轴截面，如图所示，其中21,O O 分别为上、下底面圆的圆心，则21O O 与上、下底面均垂直，过C 作CE AB ⊥，垂足为E ，可知CE ∥21O O ，则CE 与上、下底面均垂直，则该圆台母线与下底面所成角的大小为CBE ∠，由题意可知：212CE O O ==，1BE =，可得BC ==，则cos 5BE CBE BC ∠==，所以该圆台母线与下底面所成角的余弦值为5.16.已知,a b是单位向量，满足2a b -= a 与b 夹角为θ．（1）求θ；（2）若平面向量c 在a 上的投影向量为,1a b c ⋅=，求c ．【答案】（1）2π3θ=（2）2c =【解析】【分析】（1）由题意可知1==a b r r ，cos a b θ⋅=r r ，由2a b -= 结合数量积的运算可得1cos 2θ=-，即可得结果；（2）设,,c xa yb x y =+∈R rr r，结合题意列式解得2x y ==，结合模长与数量积的运算律分析求解.【小问1详解】因为1==a b r r ，则cos cos a b a b θθ⋅==，若2a b -= ，则222244a b a a b b -=-⋅+，即714cos 4=-+θ，可得1cos 2θ=-，且[]0,πθ∈，所以2π3θ=.【小问2详解】由（1）可知：1==a b r r ，12a b ⋅=-r r ，由题意可设,,c xa yb x y =+∈R r r r，因为平面向量c 在a 上的投影向量为a，则21a c a ⋅==r r r ，由题意可得：22a c xa yab bc xa b yb⎧⋅=+⋅⎪⎨⋅=⋅⋅+⎪⎩ ，可得112112x y x y ⎧-=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩，解得2x y ==，则()2a c b =+ ，可得()()2224241114c a a b b =+⋅+=-+= ，所以2c =.17.如图，ABC 绕边BC 旋转得到DBC △，其中2AC BC ==，,AC BC AE ⊥⊥平面ABC ，DE ∥AC．（1）证明：BC ⊥平面ACD ；（2）若二面角B DE C --的平面角为60︒，求锐二面角D CB A --平面角的正弦值．【答案】（1）证明见详解（2）3【解析】【分析】（1）根据题意可得,BCAC BC CD ⊥⊥，结合线面垂直的判定定理分析证明；（2）作辅助线，根据三垂线法分析可知二面角B DE C --的平面角为60BFC ∠=︒，可得CF =结合（1）分析可知锐二面角D CB A --平面角为ACD ∠，运算求解即可.【小问1详解】由题意可知：,BCAC BC CD ⊥⊥，且AC CD C = ，,AC CD ⊂平面ACD ，所以BC ⊥平面ACD .【小问2详解】过C 作CF DE ⊥，垂足为F ，连接BF ，即CF EF ⊥，因为BC ⊥平面ACD ，EF ⊂平面ACD ，则BC EF ⊥，且CF BC C = ，,CF BC ⊂平面BCF ，则EF ⊥平面BCF ，由BF ⊂平面BCF ，可得EF BF ⊥，可知二面角B DE C --的平面角为60BFC ∠=︒，且2BC =，可得23CF =，由（1）可知：,BCAC BC CD ⊥⊥，则锐二面角D CB A --平面角为ACD ∠，且DE ∥AC ，可知ACD CDF ∠=∠，可得233sin sin 23CF ACD CDF CD ∠=∠==，所以锐二面角D CB A --平面角的正弦值为33.18.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，过ABC 内一点M 的直线l 与直线AB 交于D ，记BA 与DM夹角为θ.（1）已知cos sin c a B b A -=，（i ）求角A ﹔（ii ）M 为ABC 的重心，1,30b c θ===︒，求AD；（2）请用向量方法．．．．探究θ与ABC 的边和角之间的等量关系.【答案】（1）（i ）45︒；（ii ）6226+（2）cos cos()cos()c a B b A θθθ=-++【解析】【分析】（1）（i ）利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式计算可得；（ii ）由1()3AM AB AC =+ 及数量积模的运算求得2cos 32AAM =，根据正弦定理结合三角恒等变换得AD211sin cos 3222A A ⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭，将45A =o 代入求值即可；（2）由BA BC CA =+，结合数量积可得DE BA DE BC DE CA ⋅=⋅+⋅ ，再运用数量积定义可分别求出DE BA ⋅ 、DE BC ⋅、DE CA ⋅ ，代入整理即可.【小问1详解】（i ）因为cos sin c a B b A -=，由正弦定理可得sin sin cos sin sin C A B B A -=，即()sin sin cos sin sin A B A B B A +-=，所以cos sin sin sin A B B A =，又0180B << ，所以sin 0B >，所以cos sin A A =，所以tan 1A =，又0180A << ，所以45A =o .（ii ）由题意1,30b c θ===︒，因为M 为ABC 的重心，所以1()3AM AB AC =+，所以12cos 332A AM AM AB AC ==+=== ，在ADM △中，由正弦定理知AD AM θ=∠，所以sin AM AD AMD θ=⨯∠，显然ABC 为等腰三角形，则AM 平分BAC ∠，所以sin 302sin 301222AM A A AD AD AM ⎛⎫⎛⎫==⨯+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭441cos sin 30cos sin cos 322322222A A A A A ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭222112sin cos cos sin cos 322223222A A A A A ⎛⎫⎛⎫=⨯+=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2321216223222226⎛⎫++=⨯+⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭；【小问2详解】直线l 与ABC 的边AC 相交于点E ，如图所示，因为BA BC CA =+，所以()DE BA DE BC CA ⋅=⋅+ ，即DE BA DE BC DE CA ⋅=⋅+⋅ ，又因为||||cos ||cos DE BA DE BA EDA c DE θ⋅=∠=，||||cos()||cos()DE BC DE BC B a DE B θθ⋅=-=-，||||cos()||cos()DE CA DE CA A b DE A θθ⋅=+=+，所以||cos ||cos()||cos()c DE a DE B b DE A θθθ=-++，即cos cos()cos()c a B b A θθθ=-++.19.给定两组数据()12,,,n A x x x =⋅⋅⋅与()12,,,n B y y y =⋅⋅⋅，称()1,niii X A B x y==-∑为这两组数据之间的“差异量”．鉴宝类的节目是当下非常流行的综艺节目．现有n 个古董，它们的价值各不相同，最值钱的古董记为1号，第二值钱的古董记为2号，以此类推，则古董价值的真实排序为()1,2,,I n =⋅⋅⋅．现在某专家在不知道古董真实排序的前提下，根据自己的经验对这n 个古董的价值从高到低依次进行重新排序为12,,,n x x x ⋅⋅⋅，其中i x 为该专家给真实价值排第i 位古董的位次编号，记()12,,,n A x x x =⋅⋅⋅，那么A 与I 的差异量()1,nii X A I x i ==-∑可以有效反映一个专家的水平，该差异量(),X A I 越小说明专家的鉴宝能力越强．（1）当3n =时，求(),X A I 的所有可能取值；（2）当5n =时，求(),4X A I =的概率；（3）现在有两个专家甲、乙同时进行鉴宝，已知专家甲的鉴定结果与真实价值I 的差异量为a ，专家甲与专家乙的鉴定结果的差异量为4，那么专家乙的鉴定结果与真实价值I 的差异量是否可能为6a +？请说明理由．【答案】（1）0，2，4（2）18（3）不可能，理由见详解【解析】【分析】（1）利用列举法求A 的所有可能性结果，结合(),X A I 的定义运算求解；（2）分析可知样本容量()Ω120n =，且(),4X A I =只能调整两次两个连续序号或连续三个序号之间调整顺序，结合（1）中结论运算求解；（3）由题意可得：1n ii x i a =-=∑，14niii x y=-=∑，结合绝对值不等式的运算求解.【小问1详解】若3n =时，则()()()()()()1,2,3,1,3,2,2,1,3,2,3,1,3,1,2,3,2,1A =，且()1,2,3I =，可得(),0,2,2,4,4,4X A I =，所以(),X A I 的所有可能取值为0，2，4.【小问2详解】设“(),4X A I =”为事件M ，样本空间为Ω，因为5n =，可知A 共有54321120⨯⨯⨯⨯=个，即样本容量()Ω120n =，显然若对调两个位置的序号之差大于2，则(),4X A I >，可知(),4X A I =只能调整两次两个连续序号或连续三个序号之间调整顺序，若调整两次两个连续序号：则有()(){}()(){}()(){}1,2,3,4,1,2,4,5,2,3,4,5，共有3种可能；若连续三个序号之间调整顺序，连续三个序号有：{}{}{}1,2,3,2,3,4,3,4,5，共3组，由（1）可知：每组均有3种可能满足(),4X A I =，可得共有3412⨯=种可能；综上所述：()31215n M =+=.所以()()()151Ω1208n M P B N ===.【小问3详解】不可能，理由如下：设专家甲的排序为12,,,n x x x ⋅⋅⋅，记()12,,,n A x x x =⋅⋅⋅；专家乙的排序为12,,,⋅⋅⋅n y y y ，记()12,,,n B y y y =⋅⋅⋅；由题意可得：()1,n ii X A I x i a ==-=∑，()1,4niii X A B x y==-=∑，因为()()i i i i i i i i i i y i y x x i y x x i x i x y -=-+-≤-+-=-+-，结合i 的任意性可得11146nnniiiii i i y i x i x ya a ===-≤-+-=+<+∑∑∑，所以专家乙的鉴定结果与真实价值I 的差异量不可能为6a +.【点睛】方法点睛：1.对于（2）：利用转化法，将问题转为（1）中已知的结论；2.对于（3）：结合绝对值不等式分析证明.。
湖北省武汉2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷含答案
武汉2023-2024学年度下学期期末考试高一数学试卷（答案在最后）命题教师：考试时间：2024年7月1日考试时长：120分钟试卷满分：150分一、选择题：本题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数z 满足(2i)3i z +=-，则z =（）A.1i +B.1i- C.1i-+ D.1i--【答案】A 【解析】【分析】先利用复数的除法运算法则化简得到复数z ，再根据共轭复数的概念即可求解.【详解】因为(2i)3i z +=-，所以3i (3i)(2i)1i 2i 41z ---===-++，所以1i z =+.故选：A2.△ABC 中，60A =︒，BC =AC =C 的大小为（）A.75︒B.45︒C.135︒D.45︒或135︒【答案】A 【解析】【分析】利用正弦定理可得sin B =45B = ，由三角形内角和即可求解.【详解】由正弦定理可得sin sin BC AC A B=,故32sin 2B ==,由于60A =︒，故0120B ︒︒<<,故45B = ，18075C A B =--= ,故选：A3.已知数据1x ，2x ，L ，9x 的方差为25，则数据131x +，231x +，L ，931x +的标准差为（）A.25B.75C.15D.【答案】C 【解析】【分析】根据方差的性质求出新数据的方差，进而计算标准差即可.【详解】因为数据1x ，2x ，L ，9x 的方差为25，所以另一组数据131x +，231x +，L ，931x +的方差为2325225⨯=，15=.故选：C4.在正方形ABCD 中，M 是BC 的中点．若AC AM BD λμ=+，则λμ+的值为（）A.43B.53C.158D.2【答案】B 【解析】【分析】建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算求解作答.【详解】在正方形ABCD 中，以点A 为原点，直线AB ，AD 分别为x ，y 轴建立平面直角坐标系，如图，令||2AB =，则(2,0),(2,2),(0,2),(2,1)B C D M ，(2,2),(2,1),(2,2)AC AM BD ===-，(22,2)AM BD λμλμλμ+=-+ ，因AC AM BD λμ=+ ，于是得22222λμλμ-=⎧⎨+=⎩，解得41,33λμ==，53λμ+=所以λμ+的值为53.故选：B5.正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为2D 为BC 中点，则三棱锥11A B DC -的体积为A.3B.32C.1D.32【答案】C 【解析】【详解】试题分析：如下图所示，连接AD ，因为ABC ∆是正三角形，且D 为BC 中点，则AD BC ⊥，又因为1BB ⊥面ABC ，故1BB AD ⊥，且1BB BC B ⋂=，所以AD ⊥面11BCC B ，所以AD 是三棱锥11A B DC -的高，所以11111133133A B DC B DC V S AD -∆=⋅==．考点：1、直线和平面垂直的判断和性质；2、三棱锥体积．6.在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos cos sin sin()sin B C AA C b c C ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，3B π=，则a c +的取值范围是（）A.332⎛⎝ B.332⎛⎝ C.332⎣ D.332⎡⎢⎣【答案】A 【解析】【分析】利用三角恒等变换及正弦定理将cos cos sin sin()sin B C AA C bc C ⎛⎫++=⎪⎝⎭进行化简，可求出b 的值，再利用边化角将a c +化成角，然后利用辅助角公式及角的范围即可得到答案.【详解】由题知cos cos sin sin()sin B C AA C bc C ⎛⎫++=⎪⎝⎭，3B π=∴cos cos sin sin sin B C AB bc C ⎛⎫+=⎪⎝⎭即cos cos 3sin B C Ab c C+=由正弦定理化简得∴sin cos cos 3sin 3A cB bC C ⋅+⋅==∴23sin sin cos cos sin 3AC B C B +=∴23sin sin()sin 3AB C A +==∴2b =3B π=∴1sin sin sin a b cA B C===∴23sin sin sin sin()sin cos )3226a c A C A A A A A ππ+=+=+-=+=+ 203A π<<∴5666A πππ<+<∴)26A π<+≤即2a c <+≤故选：A .【点睛】方法点睛：边角互化的方法（1）边化角：利用正弦定理2sin sin sin a b cr A B C===（r 为ABC 外接圆半径）得2sin a r A =，2sin b r B =，2sin c r C =；（2）角化边：①利用正弦定理：sin 2aA r=，sin 2b B r =，sin 2c C r=②利用余弦定理：222cos 2b c a A bc+-=7.设O 为△ABC 的外心，若2AO AB AC =+，则sin BAC ∠的值为（）A.4B.4C.4-D.4【答案】D 【解析】【分析】设ABC 的外接圆半径为R ，由已知条件可得,2AC BO = ，所以12AC R =，且//AC BO ，取AC的中点M ，连接OM 可得π2BOM ∠=，计算cos sin BOC MOC ∠=-∠的值，再由余弦定理求出BC ，在ABC 中，由正弦定理即可求解.【详解】设ABC 的外接圆半径为R ，因为2AO AB AC =+ ,2AC AO AB BO =-=，所以1122AC BO R ==，且//AC BO ，取AC 的中点M ，连接OM ，则OM AC ⊥，因为//AC BO ，所以OM BO ⊥，即π2BOM ∠=，所以11π124cos cos sin 24AC RMC BOC MOC MOC OC OB R ⎛⎫∠=+∠=-∠=-=-=-=- ⎪⎝⎭,在BOC中由余弦定理可得：2BC R ===，在ABC中，由正弦定理得：2sin 224RBCBAC RR ∠===.故选：D8.高为8的圆台内有一个半径为2的球1O ，球心1O 在圆台的轴上，球1O 与圆台的上底面、侧面都相切.圆台内可再放入一个半径为3的球2O ，使得球2O 与球1O 、圆台的下底面及侧面都只有一个公共点.除球2O ，圆台内最多还能放入半径为3的球的个数是（）A.1 B.2C.3D.4【答案】B 【解析】【详解】作过2O 的圆台的轴截面，如图1.再作过2O 与圆台的轴垂直的截面，过截面与圆台的轴交于圆O .由图1.易求得24OO =.图1这个问题等价于：在以O 为圆心、4为半径的圆上，除2O 外最多还可放几个点，使以这些点及2O 为圆心、3为半径的圆彼此至多有一个公共点.由图2，3sin45sin sin604θ︒<=︒，有4560θ︒<<︒.图2所以，最多还可以放入36013122θ︒⎡⎤-=-=⎢⎣⎦个点，满足上述要求.因此，圆台内最多还可以放入半径为3的球2个.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知某地区有小学生120000人，初中生75000人，高中生55000人，当地教育部门为了了解本地区中小学生的近视率，按小学生、初中生、高中生进行分层抽样，抽取一个容量为2000的样本，得到小学生，初中生，高中生的近视率分别为30%，70%，80%.下列说法中正确的有（）A.从高中生中抽取了460人B.每名学生被抽到的概率为1125C.估计该地区中小学生总体的平均近视率为60%D.估计高中学生的近视人数约为44000【答案】BD 【解析】【分析】根据分层抽样、古典概型、频率公式等知识对选项进行分析，从而确定正确选项.【详解】高中生抽取5500020004401200007500055000⨯=++人，A 选项错误.每名学生被抽到的概率为200011200007500055000125=++，B 选项正确.学生总人数为1200007500055000250000++=，估计该地区中小学生总体的平均近视率为1200007500055000132.50.30.70.80.53250000250000250000250⨯+⨯+⨯==，C 选项错误.高中学生近视人数约为550000.844000⨯=人，D 选项正确.故选：BD10.G 是ABC 的重心，2,4,120,AB AC CAB P ∠=== 是ABC 所在平面内的一点，则下列结论正确的是（）A.0GA GB GC ++= B.AB 在AC上的投影向量等于12- AC .C.3AG =D.()AP BP CP ⋅+ 的最小值为32-【答案】ACD 【解析】【分析】根据向量的线性运算，并结合重心的性质，即可判断A ，根据投影向量的定义，判断B ；根据向量数量积公式，以及重心的性质，判断C ；根据向量数量积的运算率，结合图形转化，即可判断D.【详解】A.以,GB GC 为邻边作平行四边形GBDC ，,GD BC 交于点O ，O 是BC 的中点，因为G 是ABC 的重心，所以,,A G O 三点共线，且2AG GO =，所以2GB GC GD GO +== ，2GA AG GO =-=- ，所以0GA GB GC ++=，故A 正确；B.AB 在AC 上的投影向量等于1cos1204AC AB AC AC ⨯=-，故B 错误；C.如图，因为()12AO AB AC =+ ，所以()222124AO AB AC AB AC =++⋅,即211416224342AO ⎛⎫=+-⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭，即3AO = 因为点G 是ABC 的重心，22333AG AO ==，故C 正确；D.取BC 的中点O ，连结,PO PA ，取AO 中点M ，则2PA PO PM += ，()12AO AB AC =+，()()2221124816344AO AB AB AC AC =+⋅+=⨯-+= ,则()()()()221224AP BP CP PA PB PC PA PO PA PO PA PO ⎡⎤⋅+=⋅+=⋅=⨯+--⎢⎥⎣⎦，222132222PM OA PM =-=- ,显然当,P M 重合时，20PM = ，()AP BP CP ⋅+ 取最小值32-，故D 正确.故选：ACD【点睛】关键点点睛：本题的关键是对于重心性质的应用，以及向量的转化.11.如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，O 为正方体的中心，M 为1DD 的中点，F 为侧面正方形11AA D D 内一动点，且满足1B F ∥平面1BC M ，则（）A.三棱锥1D DCB -的外接球表面积为12πB.动点F 的轨迹的线段为22C.三棱锥1F BC M -的体积为43D.若过A ，M ，1C 三点作正方体的截面Ω，Q 为截面Ω上一点，则线段1AQ 长度的取值范围为45,225⎡⎢⎣⎦【答案】AC 【解析】【分析】选项A ：三棱锥1D DCB -的外接球即为正方体的外接球，结合正方体的外接球分析；选项B ：分别取1AA ，11A D 的中点H ，G ，连接1B G ，GH ，1HB ，1AD ；证明平面1B GH ∥平面1BC M ，从而得到点F 的轨迹为线段GH ；选项C ：根据选项B 可得出GH ∥平面1BC M ，从而得到点F 到平面1BC M 的距离为H 到平面1BC M 的距离，再结合线面垂直及等体积法，利用四棱锥的体积求解所求三棱锥的体积；选项D ：设N 为1BB 的中点，从而根据面面平行的性质定理可得到截面Ω即为面1AMC N ，从而线段1AQ 长度的最大值为线段11A C 的长，最小值为四棱锥11A AMC N -以1A 为顶点的高.【详解】对于A ：由题意可知：三棱锥1D DCB -的外接球即为正方体的外接球，可知正方体的外接球的半径3R =所以三棱锥1D DCB -的外接球表面积为24π12πR =，故A 正确；对于B ：如图分别取1AA ，11A D 的中点H ，G ，连接1B G ，GH ，1HB ，1AD ．由正方体的性质可得11B H C M ∥，且1B H ⊂平面1B GH ，1C M ⊄平面1B GH ，所以1C M //平面1B GH ，同理可得：1BC //平面1B GH ，且111BC C M C ⋂=，11,BC C M ⊂平面1BC M ，所以平面1B GH ∥平面1BC M ，而1B F ∥平面1BC M ，所以1B F ⊂平面1B GH ，所以点F 的轨迹为线段GH ，其长度为12222⨯=，故B 错误；对于C ：由选项B 可知，点F 的轨迹为线段GH ，因为GH ∥平面1BC M ，则点F 到平面1BC M 的距离为H 到平面1BC M 的距离，过点B 作1BP B H ⊥，因为11B C ⊥平面11ABB A ，BP ⊂平面11ABB A ，所以11B C BP ⊥，又1111⋂=B C B H B ，111,B C B H ⊂平面11B C MH ，所以BP ⊥平面11B C MH ，所以1111111111114252232335F BC M H BC M B C MH B B C MH B C MHV V V V S BP ----====⨯=⨯⨯⨯⨯，故C 正确；对于D ：如图，设平面Ω与平面11AA B B 交于AN ，N 在1BB 上，因为截面Ω⋂平面11AA D D AM =，平面11AA D D ∥平面11BB C C ，所以1AM C N ∥，同理可证1AN C M ∥，所以截面1AMC N 为平行四边形，所以点N 为1BB 的中点，在四棱锥11A AMC N -中，侧棱11A C 最长，且11A C =设棱锥11A AMC N -的高为h ，因为1AM C M ==1AMC N 为菱形，所以1AMC 的边1AC ，又1AC =则112AMC S =⨯=△1111111142223323C AA M AA M V SD C -=⋅=⨯⨯⨯⨯=△，所以1111114333A AMC AMC C AA M V S h V --=⋅===△，解得3h =.综上，可知1AQ 长度的取值范围是,3⎡⎢⎣，故D 错误.故选：AC【点睛】关键点睛：由面面平行的性质得到动点的轨迹，再由锥体的体积公式即可判断C ，D 选项关键是找到临界点，求出临界值.三、填空题：本小题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知复数()221i i()z m m m =-++⋅∈R 表示纯虚数，则m =________．【答案】1-【解析】【分析】根据2i 1=-和复数的分类要求得出参数值；【详解】因为复数()()2221ii=11i()z m m mm m =-++⋅-+-⋅∈R 表示纯虚数，所以210,10,m m ⎧-=⎨-≠⎩解得1m =-，故答案为：1-.13.定义集合(){},02024,03,,Z |A x y x y x y =≤≤≤≤∈，则从A 中任选一个元素()00,x y ，它满足00124x y -+-<的概率是________．【答案】42025【解析】【分析】利用列举法求解符合条件的()00,x y ，即可利用古典概型的概率公式求解.【详解】当0y =时，02024,Z x x ≤≤∈，有2025种选择，当1,2,3y =时，02024,Z x x ≤≤∈，分别有2025种选择，因此从A 中任选一个元素()00,x y ，共有202548100⨯=种选择，若00y =，则022y -=，此时由00124x y -+-<得012x -<，此时0x 可取0，1，2，若01y =或3，则021y -=，此时由00124x y -+-<得013x -<，此时0x 可取0，1，2，3，若02y =，则020y -=，此时由00124x y -+-<得014x -<，此时0x 可取0，1，2，3，4，综上可得满足00124x y -+-<的共有342516+⨯+=种情况，故概率为16481002025=故答案为：4202514.在ABC 和AEF △中，B 是EF的中点，1,6,AB EF BC CA ====，若2AB AE AC AF ⋅+⋅= ，则EF 与BC的夹角的余弦值等于__________.【答案】23【解析】【分析】【详解】由题意有：()()2AB AE AC AF AB AB BE AC AB BF ⋅+⋅=⋅++⋅+=,即22AB AB BE AC AB AC BF +⋅+⋅+⋅= ，而21AB =，据此可得：11,AC AB BE BF ⋅=⨯-=- ，即()112,2BF AC AB BF BC +⋅--=∴⋅= ，设EF 与BC 的夹角为θ，则2cos 2,cos 3BF BC θθ⨯⨯=∴= .四、解答题：本小题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.某学校为了解本校历史、物理方向学生的学业水平模拟测试数学成绩情况，分别从物理方向的学生中随机抽取60人的成绩得到样本甲，从历史方向的学生中随机抽取n 人的成绩得到样本乙，根据两个样本数据分别得到如下直方图：已知乙样本中数据在[70,80)的有10个．（1）求n 和乙样本直方图中a 的值；（2）试估计该校物理方向的学生本次模拟测试数学成绩的平均值和历史方向的学生本次模拟测试数学成绩的第75百位数（同一组中的数据用该组区间中点值为代表）；（3）采用分层抽样的方法从甲样本数据中分数在[60,70)和[70,80)的学生中抽取6人，并从这6人中任取2人，求这两人分数都在[70,80)中的概率．【答案】（1）50n =，0.018a =；（2）物理方向的学生本次模拟测试数学成绩的平均值为81.5，历史方向的学生本次模拟测试数学成绩的第75百位数为88.25；（3）25【解析】【分析】（1）由频率分布直方图得乙样本中数据在[70,80)的频率为0.2，这个组学生有10人，由此能求出n ，由乙样本数据直方图能求出a ；（2）利用甲、乙样本数据频率分布直方图能估计估计该校物理方向的学生本次模拟测试数学成绩的平均值和历史方向的学生本次模拟测试数学成绩的第75百位数；（3）由频率分布直方图可知从分数在[60,70)和[70,80)的学生中分别抽取2人和4人，将从分数在[60,70)中抽取的2名学生分别记为1A ，2A ，从分数在[70,80)中抽取的4名学生分别记为1b ，2b ，3b ，4b ，利用列举法能求出这两人分数都在[70,80)中的概率．【小问1详解】解：由直方图可知，乙样本中数据在[70,80)的频率为0.020100.20⨯=，则100.20n=，解得50n =；由乙样本数据直方图可知，(0.0060.0160.0200.040)101a ++++⨯=，解得0.018a =；【小问2详解】解：甲样本数据的平均值估计值为(550.005650.010750.020850.045950.020)1081.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=，乙样本数据直方图中前3组的频率之和为(0.0060.0160.02)100.420.75++⨯=<，前4组的频率之和为(0.0060.0160.020.04)100.820.75+++⨯=>，所以乙样本数据的第75百位数在第4组，设第75百位数为x ，(80)0.040.420.75x -⨯+=，解得88.25x =，所以乙样本数据的第75百位数为88.25，即物理方向的学生本次模拟测试数学成绩的平均值为81.5，历史方向的学生本次模拟测试数学成绩的第75百位数为88.25；【小问3详解】解：由频率分布直方图可知从分数在[60,70)和[70,80)的学生中分别抽取2人和4人，将从分数在[60,70)中抽取的2名学生分别记为1A ，2A ，从分数在[70,80)中抽取的4名学生分别记为1b ，2b ，3b ，4b ，则从这6人中随机抽取2人的基本事件有：12(,)A A ，11(,)A b ，12(,)A b ，13(,)A b ，14(,)A b ，21(,)A b ，22(,)A b ，23(,)A b ，24(,)A b ，12()b b ,，13(,)b b ，14(,)b b ，23(,)b b ，24(,)b b ，34(,)b b 共15个，所抽取的两人分数都在[70,80)中的基本事件有6个，即这两人分数都在[70,80)中的概率为62155=．16.（建立空间直角坐标系答题不得分）如图，在四棱锥11A BCC B -中，平面ABC ⊥平面11BCC B ，△ABC 是正三角形，四边形11BCC B 是正方形，D 是AC 的中点．（1）求证：1//AB 平面1BDC ；（2）求直线BC 和平面1BDC 所成角的正弦值的大小．【答案】（1）证明见解析（2）55【解析】【分析】（1）连接1B C ，交1BC 于点O ，连接OD ，由中位线的性质，可知1//OD AB ，再由线面平行的判定定理，得证；（2）过点C 作1CE C D ⊥于点E ，连接BE ，可证CE ⊥平面1BDC ，从而知CBE ∠即为所求，再结合等面积法与三角函数的定义，得解．【小问1详解】连接1B C ，交1BC 于点O ，连接OD ，则O 为1B C 的中点，因为D 是AC 的中点，所以1//OD AB ，又OD ⊂平面1BDC ，1AB ⊄平面1BDC ，所以1AB ∥平面1BDC ．【小问2详解】过点C 作1CE C D ⊥于点E ，连接BE ，因为四边形11BCC B 是正方形，所以1BC CC ⊥，又平面ABC⊥平面11BCC B ，1CC ⊂平面11BCC B ，平面ABC ⋂平面11BCC B BC =，所以1CC ⊥平面ABC ，因为BD ⊂平面ABC ，所以1CC BD ⊥，因为ABC 是正三角形，且D 是AC 的中点，所以BD AC ⊥，又1CC AC C =I ，1,⊂CC AC 平面1ACC ，所以BD ⊥平面1ACC ，因为CE ⊂平面1ACC ，所以BD CE ⊥，又1C D BD D =I ，1,C D BD ⊂平面1BDC ，所以CE ⊥平面1BDC ，所以CBE ∠就是直线BC 和平面1BDC 所成角，设2BC =，在1Rt DCC 中，11CE DC CD CC ⋅=⋅，所以5CE ==，在Rt BCE 中，5sin 25CE CBE BC ∠===.17.甲、乙两人进行乒乓球对抗赛，每局依次轮流发球，连续赢2个球者获胜，且比赛结束，通过分析甲、乙过去比赛的数据知，甲发球甲赢的概率为23，乙发球甲赢的概率为25，不同球的结果互不影响，已知某局甲先发球.（1）求该局打4个球甲赢的概率；（2）求该局打5个球结束的概率.【答案】（1）875（2）44675【解析】【分析】（1）先设甲发球甲赢为事件A ，乙发球甲赢为事件B ，然后分析这4个球的发球者及输赢者，即可得到所求事件的构成，利用相互独立事件的概率计算公式即可求解；（2）先将所求事件分成甲赢与乙赢这两个互斥事件，再分析各事件的构成，利用互斥事件和相互独立事件的概率计算公式即可求得概率.【小问1详解】设甲发球甲赢为事件A ，乙发球甲赢为事件B ，该局打4个球甲赢为事件C ，由题知，2()3P A =，2()5P B =，则C ABAB =，所以23228()()()(()()353575P C P ABAB P A P B P A P B ===⨯⨯⨯=，所以该局打4个球甲赢的概率为875.【小问2详解】设该局打5个球结束时甲赢为事件D ，乙赢为事件E ，打5个球结束为事件F ，易知D ，E 为互斥事件，D ABABA =，E ABABA =，F D E =⋃，所以()()()()()()()P D P ABABA P A P B P A P B P A ==2222281135353675⎛⎫⎛⎫=-⨯⨯-⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()()()()()()P E P ABABA P A P B P A P B P A ==2222241113535375⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-⨯⨯-⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以8444()()()()67575675P F P D E P D P E =⋃=+=+=，所以该局打5个球结束的概率为44675.18.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，22cos a c b C -=.（1）求B ；（2）若点D 为边BC 的中点，点E ，F 分别在边AB ，AC （包括顶点）上，π6EDF ∠=，2b c ==.设BDE α∠=，将DEF 的面积S 表示为α的函数，并求S 的取值范围.【答案】（1）π3（2）3ππ,π328sin 23S αα=≤≤⎛⎫- ⎪⎝⎭，3,84S ⎡∈⎢⎣⎦【解析】【分析】（1）由题干及余弦定理可得222a c b ac +-=，再根据余弦定理即可求解；（2）由题可得ABC 为等边三角形，ππ32α≤≤，在BDE 与CDF 中，分别由正弦定理求出DE ，DF ，根据三角形面积公式可得3ππ,2ππ3216sin sin 36S ααα=≤≤⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由三角恒等变换及正弦函数的图象与性质即可求解.【小问1详解】因为22cos a c b C -=，所以222222222a b c a b c a c b ab a +-+--=⋅=，即222a cb ac +-=，所以2221cos 222a cb ac B ac ac +-===.因为()0,πB ∈，所以π3B =.【小问2详解】由π3B=及2b c==可知ABC为等边三角形.又因为π6EDF∠=，BDEα∠=，所以ππ32α≤≤.在BDE中，2π3BEDα∠=-，由正弦定理可得sin sinDE BDB BED∠=，即32π2sin3DEα=⎛⎫-⎪⎝⎭.在CDF中，π6CFDα∠=-，由正弦定理可得sin sinDF CDC CFD∠=，即π2sin6DFα=⎛⎫-⎪⎝⎭.所以31π3ππsin,2ππ2ππ8632 sin sin16sin sin3636Sααααα=⨯⨯=≤≤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫----⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.因为2ππ11sin sin cos sin sin cos362222αααααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=+-⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭2213313sin cos cos sin sin2cos224444αααααα=-+=-1πsin223α⎛⎫=-⎪⎝⎭，因为ππ32α≤≤，所以ππ2π2,333α⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，所以π3sin2,132α⎤⎛⎫-∈⎥⎪⎝⎭⎣⎦，所以1π1sin2,2342α⎤⎛⎫-∈⎥⎪⎝⎭⎣⎦.所以2ππ16sin sin36αα⎛⎫⎛⎫⎡⎤--∈⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭，所以33,2ππ8416sin sin36αα⎡∈⎢⎛⎫⎛⎫⎣⎦--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以333,2ππ8416sin sin36Sαα⎡=∈⎢⎛⎫⎛⎫⎣⎦--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以S 的取值范围为3,84⎡⎢⎣⎦.19.（建立空间直角坐标系答题不得分）如图，在三棱柱ADP BCQ -中，侧面ABCD 为矩形．（1）若PD⊥面ABCD ，22PD AD CD ==，2NC PN =，求证：DN BN ⊥；（2）若二面角Q BC D --的大小为θ，π2π,43θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，且2cos 2AD AB θ=⋅，设直线BD 和平面QCB 所成角为α，求sin α的最大值．【答案】（1）证明见解析（2）12-【解析】【分析】（1）问题转化为证明DN⊥平面BCP ，即证明ND BC ⊥和DN PC ⊥，ND BC ⊥转化为证明BC ⊥平面PQCD ，而ND BC ⊥则只需证明PDN PCD△△（2）作出二面角Q BC D --的平面角以及直线BD 与平面QCB 所成的角，列出sin α的表达式，最后把问题转化为函数最值问题.【小问1详解】因为PD⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以PD BC ⊥，又CD BC ⊥，PD CD D ⋂=，,PD CD ⊂平面PCD ，所以BC ⊥平面PQCD ，又ND ⊂平面PQCD ，所以ND BC ⊥，在Rt PCD 中，2PD ==，则CD =3PC =，所以2NC =，1PN =，由PN PDND PC=，DPN CPD ∠=∠，所以PDN PCD △△，所以DN PC ⊥，又因为ND BC ⊥，PC BC C ⋂=，,PC BC ⊂平面BCP ，所以DN⊥平面BCP ，又因为BN ⊂平面BCP ，所以DN BN ⊥.【小问2详解】在平面QBC 中，过点C 作CF BC ⊥，因为ABCD 为矩形，所以BC CD ⊥，所以DCF ∠为二面角Q BC D --的平面角，且DCF θ∠=，又⋂=CF CD C ，,CD CF ⊂平面CDF ，所以BC ⊥平面CDF ，在平面CDF 中，过点D 作DG FC ⊥，垂足为G ，连接BG ，因为BC ⊥平面CDF ，DG ⊂平面CDF ，所以DG BC ⊥，又BC FC C ⋂=，,BC FC ⊂平面BCQ ，所以DG ⊥平面BCQ ，所以DBG ∠为直线BD 与平面QCB 所成的角，即DBG α∠=，sin DG DC θ=，又因为2cos 2AD AB θ=⋅，所以222sin 32cos 14cos 2DGBDAB AD αθθ===+++π2π,43θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦可得12cos ,22θ⎡∈-⎢⎣⎦，21cos 0,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，设32cos t θ=+，2,32t ⎤∈+⎥⎦，则23cos 2t θ-=，()2223sin 1cos 14t θθ-=-=-，所以()2222563125651sin 14222t t t t α⎛⎫-++ ⎪--+⎝⎭=-=≤=，当且仅当25t =时等号，所以sin α51-.【点睛】关键点点睛：本题的关键是作出二面角Q BC D --的平面角以及直线BD 与平面QCB 所成的角，然后写出sin α的表达式，最后求函数最值问题利用了换元法和基本不等式.。
福建省福建师范大学附属中学2023-2024学年高一下学期7月期末考试数学试题(含答案)
福建师大附中2023-2024学年第二学期期末考试高一数学试卷时间：120分钟满分：150分试卷说明：（1）本卷共四大题，20小题，解答写在答卷的指定位置上，考试结束后，只交答卷．（2）考试过程中不得使用计算器或具有计算功能的电子设备．第Ⅰ卷（选择题，共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设i 为虚数单位，复数满足，则复数的虚部是（ ）A ．B ．C ．3iD ．32．某汽车生产厂家用比例分配的分层随机抽样方法从A ，B ，C 三个城市中抽取若干汽车进行调查，各城市的汽车销售总数和抽取数量如右表所示，则样本容量为（ ）城市销售总数抽取数量A 420m B 28020C 700nA ．60B ．80C ．100D ．1203．某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名，从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（ ）A．B ．C ．D ．4．设是两条不同的直线，是两个不同的平面，给出下列说法，其中正确的是（ ）A ．若，则B ．若，则C ．若，则D ．若，则5．如图，在三棱锥中，分别是，的中点，则异面直线所成角的余弦值为（）z ()i 142i z +=+z i-1-16131223,m n ,αβ,,m n m n αβ⊥⊥∥αβ⊥,m m αβ⊥∥αβ⊥,,m n m n αβ⊥⊂⊂αβ⊥,,m n m n αβ⊥⊂⊥αβ⊥A BCD -6,4,,AB AC BD CD AD BC M N ======AD BC ,AN CMA．B ．C ．D ．6．有一组样本数据：，其平均数为2024．由这组数据得到一组新的样本数据：，那么这两组数据一定有相同的（ ）A ．极差B ．中位数C ．方差D ．众数7．已知正四棱台上底面边长为1，下底面边长为2，体积为7，则正四棱台的侧棱与底面所成角的正切值为（ ）ABCD ．8．已知三棱锥中，平面，底面是以为直角顶点的直角三角形，且，三棱锥，过点作于，过作于，则三棱锥外接球的体积为（）A ．BCD ．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。
2023-2024学年北京市海淀区高一下学期7月期末考试数学试题+答案解析
2023-2024学年北京市海淀区高一下学期7月期末考试数学试题一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若复数z满足，则z的虚部为()A. B.2 C. D.i2.已知向量，则()A.0B.C.D.3.函数的部分图象如图所示，则其解析式为()A. B.C. D.4.若，且，则()A. B. C. D.75.在中，点D满足，若，则()A. B. C.3 D.6.已知，则下列直线中，是函数对称轴的为()A. B. C. D.7.在平面直角坐标系xOy中，点，点，其中若，则()A. B. C. D.8.在中，已知则下列说法正确的是()A.当时，是锐角三角形B.当时，是直角三角形C.当时，是钝角三角形D.当时，是等腰三角形9.已知是非零向量，则“”是“对于任意的，都有成立”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件10.定义域为、的函数的图象的两个端点分别为点是的图象上的任意一点，其中，点N满足向量，点O为坐标原点．若不等式恒成立，则称函数在上为k函数．已知函数在上为k函数，则实数k的取值范围是()A. B. C. D.二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.知复数z满足，则__________，__________.12.在中，，P满足，则__________.13.在中，若，则k的一个取值为__________；当时，__________.14.一名学生想测算某风景区山顶上古塔的塔尖距离地面的高度，由于山崖下河流的阻碍，他只能在河岸边制定如下测算方案：他在河岸边设置了共线的三个观测点A，B，如图，相邻两观测点之间的距离为200m，并用测角仪器测得各观测点与塔尖的仰角分别为，，，根据以上数据，该学生得到塔尖距离地面的高度为___________________15.已知函数，给出下列四个结论：①对任意的，函数是周期函数；②存在，使得函数在上单调递减；③存在，使得函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形；④对任意的，记函数的最大值为，则其中所有正确结论的序号是__________.三、解答题：本题共4小题，共48分。
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高一下学期期末考试试卷数学考试时量：120分钟 考试总分：150分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的．1．已知集合{}{}1,2,12A B x x =-=≤≤，则AB =A . {}12x x ≤≤ B . []1,2- C . φ D . {}2 2．下面是属于正六棱锥的侧视图的是3．给出以下命题：①经过三点有且只有一个平面；②垂直于同一直线的两条直线平行；③一个平面内有两条直线与另一个平面平行，则这两个平面平行；④垂直于同一平面的两条直线平行.其中正确命题的个数有 A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4.下列命题正确的是A ．幂函数的图象都经过(0,0)、(1,1)两点B ．当0n =时，函数n y x =的图象是一条直线C ．如果两个幂函数的图象有三个公共点，那么这两个函数一定相同D ．如果幂函数为偶函数，则图象一定经过点(1,1)-5．直线(2)y k x =+被圆224x y +=截得的弦长为23，则直线的倾斜角为 A. 6π B. 3π C. 6π或56π D. 3π或23π6．若函数2log (1)a y x ax =-+定义域为R ，则a 的取值范围是A ．01a <<B ．02a <<且1a ≠C ．12a <<D ． 2a ≥7．如图，在直角梯形ABCD 中，0190,//,12A AD BC AD AB BC ∠====，将ABD ∆ 沿BD 折起，使得平面ABD ⊥平面BCD .在四面体A BCD -中，下列说法正确的是 A. 平面ABD ⊥平面ABC B. 平面ACD ⊥平面ABC C. 平面ABC ⊥平面BCD D. 平面ACD ⊥平面BCD8.中国古代数学名著《九章算术》中,将顶部为一线段，下底为一矩形的拟柱体称之为刍甍(méng)，如图几何体为刍甍，已知面ABCD 是边长为3的正方形，//EF AB ，2,EF EF =与面ABCD 的距离为2，则该多面体的体积为 A. 6 B.152C. 8D. 99．我们从这个商标中抽象出一个图像为右图，其对应的函数可能是A ．21()1f x x =-B ． 21()1f x x =+C ．1()1f x x =- D ． 1()1f x x =-10．已知三棱锥P ABC -的三条侧棱,,PA PB PC 两两垂直，且1PA PB PC ===，则 三棱锥P ABC -的外接球的表面积为A. 16πB. 12πC. 4πD. 3π 11．若实数,x y 满足223x y +=，则2yx -的取值范围是 A. ()3,3- B. ()(),33,-∞-+∞C. 3,3⎡⎤-⎣⎦D. (),33,⎤⎡-∞-+∞⎦⎣O111yx12．设函数()y f x =有5个零点12345,,,,x x x x x ，且对一切实数x 均满足(4)()0f x f x ++-=，则12345x x x x x ++++=A. 8B. 10C. 16D. 20二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中对应题号的横线上． 13．给出下列平面图形：①三角形；②四边形；③五边形；④六边形.则过正方体中心的截面图形可以 是 （填序号）14．已知m R ∈，则直线1:(1)(3)40l m x m y +---=与直线2:(1)(3)l m x m y +--0=的距离的最大值为15．已知函数2ln (0)()2(0)x x f x x x x >⎧=⎨--≤⎩ ，则函数()()g x f x x a =+-恰好存在一个零点时，实数a 的取值范围为 ____________．16．圆锥AO 底面圆半径为1，母线AB 长为6，从AB 中点M 拉一条绳子，绕圆锥一周转到B 点，则这条绳子最短时长度为三、解答题：本大题共6小题，共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分10分）已知函数()f x = （1） 求函数()f x 的定义域； （2） 判断函数()f x 的奇偶性已知三棱锥P ABC -中，PC ⊥平面ABC ，,2,22AB BC AB BC PC ⊥=== （1） 求直线PA 与平面PBC 所成的角的大小； （2） 求二面角B AP C --的正弦值.19.（本小题满分12分）已知点P 是圆22:(3)4C x y -+=上的动点，点(3,0)A - ，M 是线段AP 的中点（1）求点M 的轨迹方程；（2）若点M 的轨迹与直线:20l x y n -+=交于,E F 两点，且OE OF ⊥，求n 的值.20.（本小题满分12分）定义在R 上的奇函数()f x 对任意实数,x y ，都有()()()22x y f x f y f ++=. （1） 求证：函数()f x 对任意实数,x y ，都有()()()f x y f x f y +=+ ； （2） 若0x >时()0f x <，且(1)2f =-，求()f x 在[]3,3-上的最值如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为平行四边形，090BAP CDP ∠=∠=，E 为PC 中点（1） 求证：//AP 平面EBD ；（2） 若PAD ∆是正三角形，且PA AB =.(Ⅰ)当点M 在线段PA 上什么位置时，有DM ⊥平面PAB ？(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下，点N 在线段PB 上什么位置时，有平面DMN ⊥平面PBC ？22. （本小题满分12分）已知函数()22xxf x -=+的定义域为[)0,+∞ (1) 试判断()f x 的单调性；(2) 若()(2)2()g x f x f x =-，求()g x 在 [)0,+∞的值域；(3) 是否存在实数t ，使得2()g()t f x x ->有解，若存在，求出t 的取值范围；若不存在，说明理由.下学期高一期末考试数学参考答案一、选择题：DBADC BBCDD CB二、填空题：13．②④ 14．2 15．1,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭16．33 三、解答题：本大题共6小题，共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分10分） 已知函数1()ln1x f x x+=- （3） 求函数()f x 的定义域； （4） 判断函数()f x 的奇偶性 解：（1）由101xx+>-得11x -<<，∴ 函数()f x 的定义域为(1,1)- ………………………………5分 （2）(1,1)x ∈-时 11()()lnln ln1011x xf x f x x x-+-+=+==+- ()()f x f x ∴-=-∴ 函数()f x 为奇函数 ………………………………10分18．（本小题满分12分）已知三棱锥P ABC -中，PC ⊥平面ABC ，,2,22AB BC AB BC PC ⊥===（3） 求直线PA 与平面PBC 所成的角的大小； （4） 求二面角B AP C --的正弦值. 解：（1）PC ⊥平面ABC ，PC AB ∴⊥又AB BC ⊥，PC BC C =AB ∴⊥平面PBCPA ∴在平面PBC 内的射影为PB 则APB ∠为直线PA 与平面PBC 所成的角………………………………3分 由PC ⊥平面ABC 得PC ⊥BC2,BC PC PB ==∴=在RT ABP ∆中，,tan 3AB APB PB ∠===030APB ∴∠= 所以直线PA 与平面PBC 所成的角为030………………………………6分 （2）取AC 中点D ，连接BD ，,AB BC BD AC =∴⊥，PC ⊥平面ABC ，PC BD ∴⊥，PCAC C =，BD ∴⊥平面PAC ，则BD AP ⊥，过D 作DE AP ⊥于E ，连接BE ，则AP ⊥平面BDE ，，BE AP ∴⊥ 则BED ∠为二面角B AP C --的平面角………………………………9分2,BD AB BC ==∴=在RT BED ∆中，BE =，,sin 3BD BED BE ∠=== 所以二面角B AP C --………………………………12分19.（本小题满分12分）已知点P 是圆22:(3)4C x y -+=上的动点，点(3,0)A - ，M 是线段AP 的中点（1）求点M 的轨迹方程；（2）若点M 的轨迹与直线:20l x y n -+=交于,E F 两点，且OE OF ⊥，求n 的值. 解：（1）设(,)M x y 为所求轨迹上任意的一点，其对应的P 点为11(,)x y ，则2211(3)4x y -+= ①又M 是AP 的中点，11322x x y y -⎧=⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩，则11232x x y y =+⎧⎨=⎩，代入①式得221x y += ………………………………6分（或用定义法亦可）（2）联立方程22120x y x y n ⎧+=⎨-+=⎩消去y 得25410x nx n ++-=由0∆>得n <<② ………………………………8分又设1122(,),(,)E x y F x y ，则122124515n x x n x x ⎧+=-⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩③ 由OE OF ⊥可得12120x x y y +=，而2y x n =+1212(2)(2)0x x x n x n ∴+++=，展开得2121252()n 0x x n x x +++=由③式可得221452()n 055n nn -⨯+⨯-+=，化简得252n = ④根据②④得n =………………………………12分20.（本小题满分12分）定义在R 上的奇函数()f x 对任意实数,x y ，都有()()()22x y f x f y f ++=. （3） 求证：函数()f x 对任意实数,x y ，都有()()()f x y f x f y +=+ ； （4） 若0x >时()0f x <，且(1)2f =-，求()f x 在[]3,3-上的最值 （1）证明：()()()0()(0)()2222x y f x f y x y f x y f f f ++++++⎡⎤=∴=⎢⎥⎣⎦()f(0)()()22f x y f x f y +++∴=而(0)0f = ，()()()f x y f x f y ∴+=+………………………………5分 （2）解：设12x x <，则121121112121()()()()()()()()f x f x f x f x x x f x f x f x x f x x -=-+-⎡⎤⎣⎦=---=-- 2121120()0()()x x f x x f x f x ->∴-<∴>则()f x 为R 上的减函数………………………………9分(1)2(2)(1)(1)4f f f f =-∴=+=-，(3)(2)(1)6f f f =+=-(3)(3)6f f -=-=min max 3,()6,3,()6x f x x f x ∴==-=-= ………………………………12分21.（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为平行四边形，090BAP CDP ∠=∠=，E 为PC 中点（3） 求证：//AP 平面EBD ；（4） 若PAD ∆是正三角形，且PA AB =.(Ⅰ)当点M 在线段PA 上什么位置时，有DM ⊥平面PAB ？(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下，点N 在线段PB 上什么位置时，有平面DMN ⊥平面PBC ？（1）证明：连接AC 交BD 于O ，则O 为AC 中点，连接OEE 为PC 中点，//,OE PA OE ∴⊂面EBD∴//AP 平面EBD………………………………4分（2）解(Ⅰ)当点M 在线段PA 中点时，有DM ⊥平面PAB 取PA 中点M ，连接DMCD PD ⊥ ，又//AB CDAB PD ∴⊥ ，又AB PA ⊥ PAPD P =，AB ∴⊥平面PADAB DM ∴⊥，又PAD ∆是正三角形，,,DM PA PAAB A ∴⊥=∴DM ⊥平面PAB ………………………8分(Ⅱ) 当14PN PB =时，有平面DMN ⊥平面PBC 过M 作MN PB ⊥于N ，由(Ⅰ)知,DM PB MN DM M ⊥=，PB ∴⊥平面DMN ，所以平面DMN ⊥平面PBC 易得14PN PB = ………………………………12分22. （本小题满分12分）已知函数()22xxf x -=+的定义域为[)0,+∞ (4) 试判断()f x 的单调性；(5) 若()(2)2()g x f x f x =-，求()g x 在 [)0,+∞的值域；(6) 是否存在实数t ，使得2()g()t f x x ->有解，若存在，求出t 的取值范围；若不存在，说明理由. 解：（1）设120x x ≤<11221212121()()(22)(22)(22)(1)2x x x x x x x x f x f x --+-=+-+=--12121210220,102x x x x x x +≤<∴-<->12()()f x f x ∴< ，()f x ∴在[)0,+∞单调递增………………………………4分 （2）()(2)2()g x f x f x =-222222(22)(22)2(22)2x x x x xx xx----=+-+=+-+-令[)22,2,xx t t -+=∈+∞2222(1)3y t t t =--=-- ，[)2,y ∴∈-+∞ ()g x 的值域为[)2,-+∞ ………………………………8分 （3）由2()g()t f x x ->得2222x x t ->+而当[)0,x ∈+∞时，22222(22)22x xx x --+=+-≥ 所以t 的取值范围为()2,+∞ ………………………………12分。