2017-2018学年高一下学期期末考试数学试卷 (含答案)
广东省河源市2017-2018学年高一下学期期末数学试卷 Word版含解析
广东省河源市2017-2018学年高一下学期期末数学试卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，正确答案只有一个）1．已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合A={1，2，5}，∁U B={4，5，6}，则集合A∩B=（）A．{1，2} B．{5} C．{1，2，3} D．{3，4，6}2．执行如图所示的程序框图，若输入x的值为﹣2，则输出y的值为（）A．5B．﹣5 C．3D．﹣33．下面的茎叶图表示柜台记录的一天销售额情况（单位：元），则销售额中的中位数是（）A．30.5 B．31.5 C．31 D．324．已知，且，则x等于（）A．﹣1 B．﹣9 C．9D．15．若三角形的两内角α，β满足：sinα•cosβ＜0，则此三角形的形状为（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．不能确定6．在长方形ABCD中，AB=2，BC=1，O为AB中点，在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到点O的距离不大于1的概率是（）A．B．1﹣C．D．1﹣7．已知函数f（x）=sin（ωx+）（ω＞0）的最小正周期为π，则f（）=（）A．1B．C．﹣1 D．﹣8．函数的定义域是（）A．（﹣1，+∞）B．[﹣1，+∞）C．（﹣1，1）∪（1，+∞）D． [﹣1，1）∪（1，+∞）9．设变量x，y满足约束条件则目标函数z=3x﹣y的最大值为（）A．﹣4 B．0C．D．410．等差数列{a n}，{b n}的前n项和分别为S n，T n，若=，则=（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）11．已知||=3，||=5，=12，则向量与向量的夹角余弦为．12．已知x与y之间的一组数据：x 0 1 2 3y 1 3 5 7则y与x的线性回归方程=bx+a必过点．13．若2、a、b、c、9成等差数列，则c﹣a=．14．不等式log3（2x﹣1）≤1的解集为．三、解答题（本大题共6小题，满分80分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．已知△ABC的三边a，b，c所对的角分别为A，B，C，且a：b：c=7：5：3．（1）求cosA的值；（2）若△ABC的面积为45，求△ABC三条边长a，b，c的大小．16．现有两组卡片，每组3张，牌面数字分别是1、2、3，从中各摸一张．（1）求摸出2张的牌面数字之和等于4的概率．（2）摸出2张的牌面数字之和为多少时的概率最大？17．已知函数，x∈R．（1）求的值；（2）若，，求．18．设计一幅宣传画，要求画面面积为4840cm2，画面的宽与高的比为k（k＜1），画面的上、下各留8cm空白，左、右各留5cm空白．怎样确定画面的高与宽尺寸，能使宣传画所用纸张面积最小？19．已知递增等差数列{a n}中的a2，a5是函数f（x）=x2﹣7x+10的两个零点．数列{b n}满足，点（b n，S n）在直线y=﹣x+1上，其中S n是数列{b n}的前n项和．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）令c n=a n•b n，求数列{c n}的前n项和T n．20．已知函数f（x）=x2﹣2ax+5（a＞1），（Ⅰ）若f（x）的定义域和值域均是[1，a]，求实数a的值；（Ⅱ）若f（x）在区间（﹣∞，2]上是减函数，且对任意的x∈[1，a+1]，都有f（x）≤0，求实数a的取值范围；（Ⅲ）若g（x）=2x+log2（x+1），且对任意的x∈[0，1]，都存在x0∈[0，1]，使得f（x0）=g （x）成立，求实数a的取值范围．广东省河源市2017-2018学年高一下学期期末数学试卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，正确答案只有一个）1．已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合A={1，2，5}，∁U B={4，5，6}，则集合A∩B=（）A．{1，2} B．{5} C．{1，2，3} D．{3，4，6}考点：交集及其运算．分析：由题意全集U={1，2，3，4，5，6}，C U B={4，5，6}，可以求出集合B，然后根据交集的定义和运算法则进行计算．解答：解：∵全集U={1，2，3，4，5，6}，又∵∁U B={4，5，6}，∴B={1，2，3}，∵A={1，2，5}，∴A∩B={1，2}，故选：A．点评：此题主要考查集合和交集的定义及其运算法则，是一道比较基础的题．2．执行如图所示的程序框图，若输入x的值为﹣2，则输出y的值为（）A．5B．﹣5 C．3D．﹣3考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：算法的功能是求y=的值，代入x=﹣2，计算求y的值．解答：解：由程序框图知：算法的功能是求y=的值，当输入x=﹣2时，输出y=﹣2×（﹣2）+1=5．故选：A．点评：本题考查了选择结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解答本题的关键．3．下面的茎叶图表示柜台记录的一天销售额情况（单位：元），则销售额中的中位数是（）A．30.5 B．31.5 C．31 D．32考点：茎叶图．专题：规律型．分析：根据中位数是位于数据中间位置的数来求．解答：解：由茎叶图知共有11个数据，从小到大排列分别为10，12，20，21，24，31，31，32，36，43，48．第六个数据为31，∴中位数为31．选C．点评：本题考查了茎叶图中中位数的求法，个数为奇数时，中间数为中位数；个数为偶数时，中间两数的平均数为中位数．4．已知，且，则x等于（）A．﹣1 B．﹣9 C．9D．1考点：平面向量共线（平行）的坐标表示．专题：平面向量及应用．分析：根据两向量平行的坐标表示，列出方程，求出x的值．解答：解：∵，且，∴x﹣3×3=0，解得x=9．故选：C．点评：本题考查了平面向量平行的坐标表示的应用问题，是基础题目．5．若三角形的两内角α，β满足：sinα•cosβ＜0，则此三角形的形状为（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．不能确定考点：三角函数值的符号．专题：三角函数的求值．分析：首先由三角形内角范围可知sinα＞0，从而得到cosβ＜0，得到β是钝角．解答：解：因为三角形的两内角α，β满足：sinα•cosβ＜0，又sinα＞0，所以cosβ＜0，所以90°＜β＜180°；故β为钝角；故选：B．点评：本题考查了三角函数符号；利用三角形内角范围可知sinα＞0是解答的关键．6．在长方形ABCD中，AB=2，BC=1，O为AB中点，在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到点O的距离不大于1的概率是（）A．B．1﹣C．D．1﹣考点：几何概型．专题：概率与统计．分析：本题考查的知识点是几何概型的意义，关键是要找出点到O的距离不大于1的点对应的图形的面积，并将其和长方形面积一齐代入几何概型计算公式进行求解．解答：解：已知如图所示：长方形面积为2，以O为圆心，1为半径作圆，在矩形内部的部分（半圆）面积为，因此取到的点到O的距离不大于1的概率P==．故选A．点评：几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关．解决的步骤均为：求出满足条件A 的基本事件对应的“几何度量”N（A），再求出总的基本事件对应的“几何度量”N，最后根据P=N（A）÷N求解．7．已知函数f（x）=sin（ωx+）（ω＞0）的最小正周期为π，则f（）=（）A．1B．C．﹣1 D．﹣考点：正弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：根据三角函数的周期公式求出ω即可．解答：解：∵函数f（x）=sin（ωx+）（ω＞0）的最小正周期为π，∴周期T==π，解得ω=2，即f（x）=sin（2x+），则f（）=sin（2×+）=sin（+）=sin=1，故选：A．点评：本题主要考查三角函数值的求解，根据函数的周期求出ω是解决本题的关键．8．函数的定义域是（）A．（﹣1，+∞）B．[﹣1，+∞）C．（﹣1，1）∪（1，+∞）D． [﹣1，1）∪（1，+∞）考点：函数的定义域及其求法．专题：函数的性质及应用．分析：依题意可知要使函数有意义需要x+1＞0且x﹣1≠0，进而可求得x的范围．解答：解：要使函数有意义需，解得x＞﹣1且x≠1．∴函数的定义域是（﹣1，1）∪（1，+∞）．故选C．点评：本题主要考查对数函数的定义域及其求法，熟练解不等式组是基础，属于基础题．9．设变量x，y满足约束条件则目标函数z=3x﹣y的最大值为（）A．﹣4 B．0C．D．4考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组表示的平面区域；作出目标函数对应的直线；结合图象知当直线过（2，2）时，z最大．解答：解：画出不等式表示的平面区域将目标函数变形为y=3x﹣z，作出目标函数对应的直线，当直线过（2，2）时，直线的纵截距最小，z最大最大值为6﹣2=4故选D点评：本题考查画不等式组表示的平面区域、考查数形结合求函数的最值．10．等差数列{a n}，{b n}的前n项和分别为S n，T n，若=，则=（）A．B．C．D．考点：等差数列的性质．专题：计算题．分析：利用等差数列的性质求得，然后代入=即可求得结果．解答：解：∵=∴==故选B．点评：此题考查学生灵活运用等差数列通项公式化简求值，做题时要认真，是一道基础题．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）11．已知||=3，||=5，=12，则向量与向量的夹角余弦为．考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题；平面向量及应用．分析：可直接由夹角余弦公式求出向量与向量的夹角余弦解答：解：∵||=3，||=5，=12，∴向量与向量的夹角余弦为==．故答案为．点评：本题考查求两向量夹角的余弦，容易题12．已知x与y之间的一组数据：x 0 1 2 3y 1 3 5 7则y与x的线性回归方程=bx+a必过点（1.5，4）．考点：线性回归方程．专题：计算题．分析：要求y与x的线性回归方程为y=bx+a必过的点，需要先求出这组数据的样本中心点，根据所给的表格中的数据，求出横标和纵标的平均值，得到样本中心点，得到结果．解答：解：∵，=4，∴本组数据的样本中心点是（1.5，4），∴y与x的线性回归方程为y=bx+a必过点（1.5，4）故答案为：（1.5，4）点评：本题考查线性回归方程必过样本中心点，这是一个基础题，题目的运算量不大，本题是一个只要认真就能够得分的题目．13．若2、a、b、c、9成等差数列，则c﹣a=．考点：等差数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：由等差数列的性质可得2b=2+9，解之可得b值，再由等差中项可得a，c的值，作差即可得答案．解答：解：由等差数列的性质可得2b=2+9，解得b=，又可得2a=2+b=2+=，解之可得a=，同理可得2c=9+=，解得c=，故c﹣a=﹣==故答案为：点评：本题考查等差数列的性质和通项公式，属基础题．14．不等式log3（2x﹣1）≤1的解集为（，2]．考点：对数函数的图像与性质．专题：不等式的解法及应用．分析：由0＜2x﹣1≤3，即可求得不等式log3（2x﹣1）＜1的解集．解答：解：∵log3（2x﹣1）≤1，∴0＜2x﹣1≤31=3，∴＜x≤2，∴不等式log3（2x﹣1）≤1的解集为（，2]，故答案为：（，2]．点评：本题考查对数不等式的解法，掌握对数函数的性质是关键，属于基础题．三、解答题（本大题共6小题，满分80分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．已知△ABC的三边a，b，c所对的角分别为A，B，C，且a：b：c=7：5：3．（1）求cosA的值；（2）若△ABC的面积为45，求△ABC三条边长a，b，c的大小．考点：余弦定理；正弦定理．专题：解三角形．分析：（1）由a：b：c=7：5：3可设a=7k，b=5k，c=3k（k＞0），由余弦定理得求出cosA 的值；（2）由（1）和平方关系求出sinA的值，由条件和三角形的面积公式求出三条边长a，b，c的大小．解答：解：（1）因为a：b：c=7：5：3，所以可设a=7k，b=5k，c=3k（k＞0），…由余弦定理得，==；…（2）由（1）知，，因为A是△ABC的内角，所以=，…由（1）知b=5k，c=3k，因为△ABC的面积为，所以，…即，解得，…解得，a=7k=，b=5k=，c=3k=…点评：本题考查余弦定理，平方关系的应用，以及三角形的面积公式，考查化简、计算能力，属于中档题．16．现有两组卡片，每组3张，牌面数字分别是1、2、3，从中各摸一张．（1）求摸出2张的牌面数字之和等于4的概率．（2）摸出2张的牌面数字之和为多少时的概率最大？考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．专题：概率与统计．分析：（1）用列举法求出基本事件数，计算对应的概率即可；（2）根据（1）列举的基本事件数，分别计算摸出的牌面数字之和为t概率，求出概率最大对应的t值．解答：解：（1）从两组卡片中各摸出一张，包含的基本事件数为（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），（3，3）共9个，…设摸出牌面数字之和为4的事件为A，A包含（1，3）；（2，2）；（3，1）共3个基本事件，…则；…（2）从两组卡片中各摸出一张，牌面数字之和为t，则t可以是2，3，4，5，6；…由（1）知，P（t=2）=，P（t=3）=，P（t=4）=，P（t=5）=，P（t=6）=；…所以，摸出牌面数字之和为4的概率最大．…点评：本题考查了用列举法求古典概型的概率问题，是基础题目．17．已知函数，x∈R．（1）求的值；（2）若，，求．考点：二倍角的正弦；两角和与差的余弦函数．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．分析：（1）把x=﹣直接代入函数解析式求解．（2）先由同角三角函数的基本关系求出sinθ的值以及sin2θ，然后将x=2θ+代入函数解析式，并利用两角和与差公式求得结果．解答：解：（1）（2）因为，所以所以，所以=点评：本题主要考查了特殊角的三角函数值的求解，考查了和差角公式的运用，属于知识的简单综合，要注意角的范围．18．设计一幅宣传画，要求画面面积为4840cm2，画面的宽与高的比为k（k＜1），画面的上、下各留8cm空白，左、右各留5cm空白．怎样确定画面的高与宽尺寸，能使宣传画所用纸张面积最小？考点：函数模型的选择与应用．专题：计算题；应用题．分析：设画面高为xcm，宽为kxcm，设纸张面积为S，根据矩形的面积公式建立面积的表达式，然后根据基本不等求出函数的最值即可．解答：解：设画面高为xcm，宽为kxcm，则kx2=4840设纸张面积为S，则有S=（x+16）（kx+10）=kx2+（16k+10）x+160，将x=代入上式得S=5000+44当8时，S取得最小值，此时高：x=cm，宽：kx=cm点评：本题主要考查了函数模型的选择与应用，以及基本不等式在最值问题中的应用，属于中档题．19．已知递增等差数列{a n}中的a2，a5是函数f（x）=x2﹣7x+10的两个零点．数列{b n}满足，点（b n，S n）在直线y=﹣x+1上，其中S n是数列{b n}的前n项和．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）令c n=a n•b n，求数列{c n}的前n项和T n．考点：数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）先解出两个零点，再利用等差、等比数列的通项公式即可；（2）直接使用错位相减法求之即可．解答：解：（1）因为a2，a5是函数f（x）=x2﹣7x+10的两个零点，则，解得：或．又等差数列{a n}递增，则，所以…3分因为点（b n，S n）在直线y=﹣x+1上，则S n=﹣b n+1．当n=1时，b1=S1=﹣b1+1，即．当n≥2时，b n=S n﹣S n﹣1=（﹣b n+1）﹣（﹣b n﹣1+1），即．所以数列{b n}为首项为，公比为的等比数列，即．…6分（2）由（1）知：且，则所以①②．①﹣②得：．所以．…12分点评：本题考查知识点等差、等比数列的通项公式；错位相减法求数列的和，考查分析问题解决问题的能力，20．已知函数f（x）=x2﹣2ax+5（a＞1），（Ⅰ）若f（x）的定义域和值域均是[1，a]，求实数a的值；（Ⅱ）若f（x）在区间（﹣∞，2]上是减函数，且对任意的x∈[1，a+1]，都有f（x）≤0，求实数a的取值范围；（Ⅲ）若g（x）=2x+log2（x+1），且对任意的x∈[0，1]，都存在x0∈[0，1]，使得f（x0）=g （x）成立，求实数a的取值范围．考点：二次函数的性质．专题：函数的性质及应用．分析：（I）由函数f（x）的解析式，可得函数在（﹣∞，a]上单调递减，进而得到f（x）在[1，a]上单调递减，则，由此构造关于a的方程组，解之可得答案．（Ⅱ）若f（x）在区间（﹣∞，2]上是减函数，则（﹣∞，2]⊆（﹣∞，a]，进而结合x∈[1，a+1]时，f（x）max=f（1），构造关于a的不等式，解不等式，可得答案．（III）由函数g（x）在[0，1]上递增，f（x）在[0，1]上递减，可分别求出两个函数的值域，若对任意的x∈[0，1]，都存在x0∈[0，1]，使得f（x0）=g（x）成立；则两个函数的值域满足：[1，3]⊆[6﹣2a，5]，进而可得答案．解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=x2﹣2ax+5=（x﹣a）2+（5﹣a2）∴f（x）在（﹣∞，a]上单调递减，又a＞1，∴f（x）在[1，a]上单调递减，∴，∴，∴a=2（Ⅱ）∵f（x）在区间（﹣∞，2]上是减函数，∴（﹣∞，2]⊆（﹣∞，a]∴a≥2∴|1﹣a|≥|（a+1）﹣a|，f（1）≥f（a+1）∴x∈[1，a+1]时，f（x）max=f（1），又∵对任意的x∈[1，a+1]，都有f（x）≤0，∴f（1）≤0，即1﹣2a+5≤0，∴a≥3（Ⅲ）∵g（x）=2x+log2（x+1）在[0，1]上递增，f（x）在[0，1]上递减，当x∈[0，1]时，g（x）∈[1，3]，f（x）∈[6﹣2a，5]∵对任意的x∈[0，1]，都存在x0∈[0，1]，使得f（x0）=g（x）成立；∴[1，3]⊆[6﹣2a，5]∴6﹣2a≤1，即．点评：本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，函数的值域，函数的单调性，是函数图象和性质的综合应用，难度中档．。
2017-2018年高一下学期期中考试数学试题
2018年上学期高一（第二学期）期中考试数学试卷（分值：100分 时间：120分钟）一、选择题（本大题共10题，每小4分，共40分）⒈若扇形圆心角的弧度数为1，半径为2，则扇形的弧长是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．42.=0150sin ( )A ．23B ．23-C ．21D ．21-3.函数y ＝sin x2是( )A ．最小正周期为4π的奇函数B ．最小正周期为2π的奇函数C ．最小正周期为4π的偶函数D ．最小正周期为2π的偶函数 4．函数y ＝1+sin x ，x ∈[0，2π]的大致图象是( )5．已知向量a 与b 的夹角是060，且5a =， 4b =，则 a b ⋅=（ ）． A. 20 B. 10 C. 10- D. 20- 6.设)2,4(=a ，),6(y b =，且b a //，则=y （ ）A ．3B ．12C ．12-D ．3-7.已知51cos -=∂，ππ<∂<2，则∂2cos =（ ）A ．2523-B ．510C ．515-D ．5158.函数x y cos =的图像( )A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于原点对称D ．关于直线2π=x 对称9.已知函数)sin(ϕω+=x A y （0,0>>ωA ）在同一周期内，当12π=x 时，2max =y ，当127π=x 时 ，2min -=y ，那么函数的解析式为（ ） A ．)32sin(2π+=x y B ．)62sin(2π-=x yC ．)62sin(2π+=x y D ．)32sin(2π-=x y10.在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，若 AC ＝a ，BD ＝b ，则 AE ＝( ) A.14a ＋12b B.23a ＋13b C.12a ＋14b D.13a ＋23b二、填空题（本大题共有5小题，每小题4分，满分20分）11.已知点P (tan α，cos α)在第二象限，则角α的终边在第________象限 12.比较大小：3tan π__________4tanπ13. 已知2tan =x ，则x x xx sin cos sin cos -+ =14.已知sin α-cos α=-51,则 sin 2α= .15.把x y sin =的图像上所有点的纵坐标伸长为原来的4倍（横坐标不变）得_________ __（填函数解析式）的图像.三、解答题（本大题共5小题，共40分）16.（6分）已知定义在区间[]ππ，-上的函数x x f sin )(=的部分函数图象如图所示。
高一下学期数学期末考试试题(共2套,含答案)
高一下学期数学期末考试试题(共2套,含答案)广东省惠州市高一（下）期末考试数学试卷一.选择题（每题5分）1.一元二次不等式 $-x^2+x+2>0$ 的解集是（）A。
$\{x|x2\}$ B。
$\{x|x1\}$C。
$\{-1<x<2\}$ D。
$\{-2<x<1\}$2.已知$\alpha$，$\beta$ 为平面，$a$，$b$，$c$ 为直线，下列说法正确的是（）A。
若 $b\parallel a$，$a\subset\alpha$，则$b\parallel\alpha$B。
若$\alpha\perp\beta$，$\alpha\cap\beta=c$，$b\perp c$，则 $b\perp\beta$C。
若 $a\perp c$，$b\perp c$，则 $a\parallel b$D。
若 $a\cap b=A$，$a\subset\alpha$，$b\subset\alpha$，$a\parallel\beta$，$b\parallel\beta$，则 $\alpha\parallel\beta$3.在 $\triangle ABC$ 中，$AB=3$，$AC=1$，$\angleA=30^\circ$，则 $\triangle ABC$ 面积为（）A。
$\frac{\sqrt{3}}{4}$ B。
$\frac{\sqrt{3}}{2}$ C。
$\frac{\sqrt{3}}{8}$ D。
$\frac{\sqrt{3}}{16}$4.设直线 $ $l_1\parallel l_2$，则 $k=$（）A。
$-1$ B。
$1$ C。
$\pm1$ D。
无法确定5.已知 $a>0$，$b>0$，$a+b=1$，则$\sqrt{a}+\sqrt{b}$ 的最小值是（）A。
$4$ B。
$5$ C。
$8$ D。
$9$6.若 $\{a_n\}$ 为等差数列，且 $a_2+a_5+a_8=39$，则$a_1+a_2+\cdots+a_9$ 的值为（）A。
XXX2017-2018学年第一学期期末考试高一数学试卷
XXX2017-2018学年第一学期期末考试高一数学试卷XXX2017-2018学年第一学期期末考试高一年级数学试卷第I卷(选择题共40分)一、选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1.已知向量a=(2,1),b=(λ−1,2),若a+b与a−b共线,则λ=（）A.−2B.−1C.1D.2改写：向量a=(2,1)，向量b=(λ-1,2)，若a+b和a-b共线，则λ=（） A。
-2 B。
-1 C。
1 D。
22.已知3sinα+4cosα=2，则1-sinαcosα-cos2α的值是() A。
- B。
C。
-2 D。
2改写：已知3sinα+4cosα=2，求1-sinαcosα-cos2α的值，答案为() A。
- B。
C。
-2 D。
23.已知在△ABC中，AB=AC=1，BC=3，则AB·AC=() A。
1/33 B。
- C。
-2 D。
-改写：在△ABC中，AB=AC=1，BC=3，求XXX的值，答案为() A。
1/33 B。
- C。
-2 D。
-4.在△ABC中，若AB2=AB·AC+BA·BC+CA·CB，则△ABC是() A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.不确定改写：在△ABC中，如果AB2=AB·AC+BA·BC+CA·CB，则△ABC是() A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.不确定5.已知△ABC中，内角A,B,C所对边的边长分别为a,b,c,且c=7/11，a+b=22/3，XXX-tanA-tanB=3，则△ABC的面积为() A。
3/33 B。
- C。
3 D。
33/2改写：已知△ABC中，内角A,B,C所对边的边长分别为a,b,c，且c=7/11，a+b=22/3，XXX-tanB=3，求△ABC的面积，答案为() A。
3/33 B。
- C。
2017-2018学年度第二学期期末考试初一数学试题及答案
2017—2018学年度第二学期期末考试初一数学试题一、填空题（每空1分，共22分）1、如果下降5米，记作－5米，那么上升4米记作（）米；如果＋2千克表示增加2千克，那么－3千克表示（）。
2、从80减少到50，减少了（）%；从50增加到80，增加了（）%。
3、某班有60人，缺席6人，出勤率是（）%。
4、如果3a=5b（a、b≠0），那么a：b=（）。
5、一个圆锥的体积12dm3 ,高3dm，底面积是（）。
6、甲、乙两数的比是5:8，甲数是150，乙数是（）。
7、比较大小：－7○－5 1.5○5 20○－2.4 －3.1○3.18、某服装店一件休闲装现价200元，比原价降低了50元，相当于打（）折。
照这样的折扣，原价800元的西装，现价（）元。
9、一个圆柱和一个圆锥的体积相等，底面积也相等，圆柱的高是4米，圆锥的是高（）米。
10、一桶油连桶称7.5千克，用去一半油后，连桶称还重4.5千克。
桶重（）千克，油重（）千克。
11、13只鸡放进4个鸡笼里，至少有（）只鸡要放进同一个笼子里。
12、一个圆柱形的木料，底面半径是3厘米，高是8厘米，这个圆柱体的表面积是（）平方厘米。
如果把它加工成一个最大的圆锥体，削去部分的体积是（）立方厘米。
13、找出规律，填一填。
3，11，20，30，（），53,（）。
二、判断题：对的在括号打√，错的打×。
（每小题1分共5分）1、0是负数。
（）2、书店以50元卖出两套不同的书，一套赚10%，一套亏本10%，书店是不亏也不赚。
（）3、时间一定，路程和速度成正比例。
（）4、栽120棵树，都成活了，成活率是120%。
（）5、圆柱的体积大于与它等底等高的圆锥的体积。
（）三、选择题（每题3分，共15分）1、规定10吨记为0吨，11吨记为＋1吨，则下列说法错误的是（）A、9吨记为－9吨B、12吨记为＋2吨C、6吨记为－4吨D、＋3吨表示重量为13吨2、在a12=13中，a的值是（）A、12B、4C、6D、83、把长1.2米的圆柱形钢材按2:3:7截成三段，表面积比原来增加56平方厘米，这三段圆钢中最长的一段比最短的一段体积多（）A、700立方厘米B、800立方厘米C、840立方厘米D、980立方厘米4、小刚把1000元钱按年利率2.4%存入银行，存期为两年，那么计算到期时她可以从银行取回多少钱（不计利息税），列式正确的是（）。
安徽省铜陵市高一数学下学期期末试卷(含解析)-人教版高一全册数学试题
2016-2017学年某某省某某市高一（下）期末数学试卷一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若c=，b=，B=120°，则a等于（）A．B．C．D．22．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c．若c=2a，bsinB﹣asinA=asinC，则sinB等于（）A．B．C．D．3．各项均为正数的等比数列{a n}，其前n项和为S n，若a2﹣a5=﹣78，S3=13，则数列{a n}的通项公式a n=（）A．2n B．B、2n﹣1C．3n D．3n﹣14．已知数列{a n}的通项为a n=（﹣1）n（4n﹣3），则数列{a n}的前50项和T50=（）A．98 B．99 C．100 D．1015．设S n是公差不为零的等差数列{a n}的前n项和，且a1＞0，若S5=S9，则当S n最大时，n=（）A．6 B．7 C．10 D．96．某空间组合体的三视图如图所示，则该组合体的体积为（）A．48 B．56 C．64 D．727．设a＞0，b＞0，若2是4a和2b的等比中项，则+的最小值为（）A．B．4 C．D．58．大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论．主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和．是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其前10项依次是0、2、4、8、12、18、24、32、40、50…，则此数列第20项为（）A．180 B．200 C．128 D．1629．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若M，N，P三点共线，O为坐标原点，且=a15+a6（直线MP不过点O），则S20=（）A．10 B．15 C．20 D．4010．已知a＞b，一元二次不等式ax2+2x+b≥0对于一切实数x恒成立，又∃x0∈R，使ax02+2x0+b=0成立，则2a2+b2的最小值为（）A．1 B．C．2 D．211．（理）若实数a、b∈（0，1），且满足，则a、b的大小关系是（）A．a＜b B．a≤b C．a＞b D．a≥b12．已知向量，，（m＞0，n＞0），若m+n∈，则的取值X围是（）A．B．C．D．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．已知向量、满足•（+）=5，且||=2，||=1，则向量与夹角余弦值为．14．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若2ccosB=2a+b，△ABC的面积为S=c，则ab的最小值为．15．半径为的球的体积与一个长、宽分别为6、4的长方体的体积相等，则长方体的表面积为．16．设等比数列{a n}满足公比q∈N*，a n∈N*，且{a n}中的任意两项之积也是该数列中的一项，若a1=281，则q的所有可能取值的集合为．三、解答题（共6小题，满分70分）17．叙述并推导等比数列的前n项和公式．18．已知二次函数f（x）的二次项系数为a，且不等式f（x）＞﹣2x的解集为（1，3）．（Ⅰ）若方程f（x）+6a=0有两个相等的根，求f（x）的解析式；（Ⅱ）若f（x）的最大值为正数，求a的取值X围．19．已知函数f（x）=．（1）若f（x）＞k的解集为{x|x＜﹣3或x＞﹣2}，则k的值等于；（2）对任意x＞0，f（x）≤t恒成立，则t的取值X围是．20．设△ABC的内角A，B，C的内角对边分别为a，b，c，满足（a+b+c）（a﹣b+c）=ac．（Ⅰ）求B．（Ⅱ）若sinAsinC=，求C．21．已知一四面体的三组对边分别相等，且长度依次为5、、．（1）求该四面体的体积；（2）求该四面体外接球的表面积．22．设数列{a n}的前n项和为S n，已知=a n﹣2n（n∈N*）．（1）求a1的值，若a n=2n，证明数列{}是等差数列；（2）设b n=log2a n﹣log2（n+1），数列{}的前n项和为B n，若存在整数m，使对任意n ∈N*且n≥2，都有B3n﹣B n＞成立，求m的最大值．2016-2017学年某某省某某市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若c=，b=，B=120°，则a等于（）A．B．C．D．2【考点】HP：正弦定理．【分析】由题意和正弦定理求出sinC，由内角的X围和条件求出C，由内角和定理求出A，利用边角关系求出a．【解答】解：∵c=，b=，B=120°，∴由正弦定理得，，则sinC===，∵0°＜C＜120°，∴C=30°，∴A=180°﹣B﹣C=30°，即A=C，a=c=，故选B．2．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c．若c=2a，bsinB﹣asinA=asinC，则sinB等于（）A．B．C．D．【考点】HP：正弦定理．【分析】由正弦定理化简已知可得：b2﹣a2=，又c=2a，可解得a2+c2﹣b2=3a2，利用余弦定理可得cosB，结合X围0＜B＜π，即可解得sinB．【解答】解：∵bsinB﹣asinA=asinC，∴由正弦定理可得：b2﹣a2=，又∵c=2a，∴a2+c2﹣b2=4a2﹣=3a2，∴利用余弦定理可得：cosB===，∴由于0＜B＜π，解得：sinB===．故选：A．3．各项均为正数的等比数列{a n}，其前n项和为S n，若a2﹣a5=﹣78，S3=13，则数列{a n}的通项公式a n=（）A．2n B．B、2n﹣1C．3n D．3n﹣1【考点】89：等比数列的前n项和．【分析】设公比为q的等比数列{a n}，运用等比数列的通项公式，列方程，解方程即可得到首项和公比，即可得到所求通项公式．【解答】解：各项均为正数，公比为q的等比数列{a n}，a2﹣a5=﹣78，S3=13，可得a1q﹣a1q4=﹣78，a1+a1q+a1q2=13，解得a1=1，q=3，则a n=a1q n﹣1=3n﹣1，n∈N*，故选：D．4．已知数列{a n}的通项为a n=（﹣1）n（4n﹣3），则数列{a n}的前50项和T50=（）A．98 B．99 C．100 D．101【考点】8E：数列的求和．【分析】由数列的通项公式，可得前50项和T50=﹣1+5﹣9+13﹣17+…+197=（﹣1+5）+（﹣9+13）+（﹣17+21）+…+（﹣193+197），计算即可得到所求和．【解答】解：数列{a n}的通项为a n=（﹣1）n（4n﹣3），前50项和T50=﹣1+5﹣9+13﹣17+…+197=（﹣1+5）+（﹣9+13）+（﹣17+21）+…+（﹣193+197）=4+4+4+…+4=4×25=100．5．设S n是公差不为零的等差数列{a n}的前n项和，且a1＞0，若S5=S9，则当S n最大时，n=（）A．6 B．7 C．10 D．9【考点】85：等差数列的前n项和．【分析】由题意可得a7+a8=0，从而可得数列的前7项为正数，从第8项开始为负数，可得结论．【解答】解：由题意可得S9﹣S5=a6+a7+a8+a9=0，∴2（a7+a8）=0，∴a7+a8=0，又a1＞0，∴该等差数列的前7项为正数，从第8项开始为负数，∴当S n最大时，n=7故选：B6．某空间组合体的三视图如图所示，则该组合体的体积为（）A．48 B．56 C．64 D．72【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】由题意，组合体的下方是三个长为2，宽为4，高为1的长方体，上方为长为2，宽为4，高为5的长方体，利用长方体的体积公式，可求组合体的体积．【解答】解：由题意，组合体的下方是三个长为2，宽为4，高为1的长方体，上方为长为2，宽为4，高为5的长方体．所以组合体的体积为3×2×4×1+2×4×5=64．7．设a＞0，b＞0，若2是4a和2b的等比中项，则+的最小值为（）A．B．4 C．D．5【考点】7F：基本不等式．【分析】根据题意，由等比数列的性质可得4a×2b=22，分析可得2a+b=2，分析可得+=（+）（2a+b）=，由基本不等式的性质分析可得答案．【解答】解：根据题意，若2是4a和2b的等比中项，则有4a×2b=22，即22a+b=22，则有2a+b=2，+=（+）（2a+b）=≥（5+2）=，当且仅当a=b=时，等号成立；故选：C．8．大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论．主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和．是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其前10项依次是0、2、4、8、12、18、24、32、40、50…，则此数列第20项为（）A．180 B．200 C．128 D．162【考点】81：数列的概念及简单表示法．【分析】0、2、4、8、12、18、24、32、40、50…，可得偶数项的通项公式：a2n=2n2．即可得出．【解答】解：由0、2、4、8、12、18、24、32、40、50…，可得偶数项的通项公式：a2n=2n2．则此数列第20项=2×102=200．故选：B．9．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若M，N，P三点共线，O为坐标原点，且=a15+a6（直线MP不过点O），则S20=（）A．10 B．15 C．20 D．40【考点】9H：平面向量的基本定理及其意义．【分析】利用向量共线定理可得：a15+a6=1，再利用等差数列的前n项和公式及其性质即可得出．【解答】解：∵M，N，P三点共线，O为坐标原点，且=a15+a16（直线MP不过点O），∴a15+a6=1，∴S20==10（a15+a6）=10，故选A．10．已知a＞b，一元二次不等式ax2+2x+b≥0对于一切实数x恒成立，又∃x0∈R，使ax02+2x0+b=0成立，则2a2+b2的最小值为（）A．1 B．C．2 D．2【考点】3W：二次函数的性质．【分析】根据二次函数的性质求出ab=1，根据基本不等式的性质求出2a2+b2的最小值即可．【解答】解：∵已知a＞b，二次不等式ax2+2x+b≥0对于一切实数x恒成立，∴a＞0，且△=4﹣4ab≤0，∴ab≥1．再由∃x0∈R，使ax02+2x0+b=0成立，可得△=0，∴ab=1，∴2a2+b2≥2=2，当且仅当2a2=b2即b=a时“=”成立，故选：D．11．（理）若实数a、b∈（0，1），且满足，则a、b的大小关系是（）A．a＜b B．a≤b C．a＞b D．a≥b【考点】72：不等式比较大小．【分析】可根据条件，利用不等式的性质将化为即可得到答案．【解答】解：∵a、b∈（0，1），且满足，∴，又，∴，∴b＞a．故选A．12．已知向量，，（m＞0，n＞0），若m+n∈，则的取值X围是（）A．B．C．D．【考点】7C：简单线性规划；7D：简单线性规划的应用；9R：平面向量数量积的运算．【分析】根据题意，由向量的坐标运算公式可得=（3m+n，m﹣3n），再由向量模的计算公式可得=，可以令t=，将m+n∈的关系在直角坐标系表示出来，分析可得t=表示区域中任意一点与原点（0，0）的距离，进而可得t的取值X围，又由=t，分析可得答案．【解答】解：根据题意，向量，，=（3m+n，m﹣3n），则==，令t=，则=t，而m+n∈，即1≤m+n≤2，在直角坐标系表示如图，t=表示区域中任意一点与原点（0，0）的距离，分析可得：≤t＜2，又由=t，故≤＜2；故选：B．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．已知向量、满足•（+）=5，且||=2，||=1，则向量与夹角余弦值为．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】由||=2，||=1，•（+）=5，利用平面向量数量积的运算公式可求得向量与夹角余弦值．【解答】解：∵||=2，||=1，•（+）=5，∴+||•||cos＜，＞=4+2cos＜，＞=5∴cos＜，＞=，即向量与夹角余弦值为：，故答案为：．14．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若2ccosB=2a+b，△ABC的面积为S=c，则ab的最小值为．【考点】HR：余弦定理；HP：正弦定理．【分析】由条件里用正弦定理、两角和的正弦公式求得cosC=﹣，C=．根据△ABC 的面积为S=ab•sinC=ab=c，求得c=3ab．再由余弦定理化简可得9a2b2=a2+b2+ab≥3ab，由此求得ab的最小值．【解答】解：在△ABC中，由条件用正弦定理可得2sinCcosB=2sinA+sinB=2sin（B+C）+sinB，即2sinCcosB=2sinBcosC+2sinCcosB+sinB，∴2sinBcosC+sinB=0，∴cosC=﹣，C=．由于△ABC的面积为S=ab•sinC=ab=c，∴c=3ab．再由余弦定理可得c2=a2+b2﹣2ab•cosC，整理可得9a2b2=a2+b2+ab≥3ab，当且仅当a=b时，取等号，∴ab≥，故答案为：．15．半径为的球的体积与一个长、宽分别为6、4的长方体的体积相等，则长方体的表面积为88 ．【考点】LE：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【分析】由题意，长、宽分别为6、4的长方体的体积与球的体积相等，求出长方体的高，再求长方体的表面积．【解答】解：由题意，长、宽分别为6、4的长方体的体积与球的体积相等，球的半径为．则有：⇔解得h=2长方体的表面积S=2×4×6+2×2×4+2×2×6=88故答案为88．16．设等比数列{a n}满足公比q∈N*，a n∈N*，且{a n}中的任意两项之积也是该数列中的一项，若a1=281，则q的所有可能取值的集合为{281，227，29，23，2}．【考点】88：等比数列的通项公式．【分析】依题意可求得该等比数列的通项公式a n，设该数列中的任意两项为a m，a t，它们的积为a p，求得q=，分析即可．【解答】解：由题意，a n=281q n﹣1，设该数列中的任意两项为a m，a t，它们的积为a p，则为a m•a t=a p，即281q m﹣1•281q t﹣1=281•q p﹣1，（q，m，t，p∈N*），∴q=，故p﹣m﹣t+1必是81的正约数，即p﹣m﹣t+1的可能取值为1，3，9，27，81，即的可能取值为1，3，9，27，81，所以q的所有可能取值的集合为{281，227，29，23，2}三、解答题（共6小题，满分70分）17．叙述并推导等比数列的前n项和公式．【考点】88：等比数列的通项公式．【分析】写出等比数列的求和公式，可由错位相减法证明．【解答】解：若数列{a n}为公比为q的等比数列，则其前n项和公式S n=，（q≠1），当q=1时，S n=na1．下面证明：∵S n=a1+a2+a3+…+a n=a1+a1q+a1q2+…+a1q n﹣1，①∴qS n=a1q+a1q2+a1q3+…+a1q n，②①﹣②可得（1﹣q）S n=a1﹣a1q n，当q≠1时，上式两边同除以1﹣q可得S n=，当q=1时，数列各项均为a1，故S n=na1．18．已知二次函数f（x）的二次项系数为a，且不等式f（x）＞﹣2x的解集为（1，3）．（Ⅰ）若方程f（x）+6a=0有两个相等的根，求f（x）的解析式；（Ⅱ）若f（x）的最大值为正数，求a的取值X围．【考点】57：函数与方程的综合运用；3H：函数的最值及其几何意义；75：一元二次不等式的应用．【分析】（Ⅰ）f（x）为二次函数且二次项系数为a，把不等式f（x）＞﹣2x变形为f（x）+2x＞0因为它的解集为（1，3），则可设f（x）+2x=a（x﹣1）（x﹣3）且a＜0，解出f（x）；又因为方程f（x）+6a=0有两个相等的根，利用根的判别式解出a的值得出f（x）即可；（Ⅱ）因为f（x）为开口向下的抛物线，利用公式当x=时，最大值为=．和a＜0联立组成不等式组，求出解集即可．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）+2x＞0的解集为（1，3）．f（x）+2x=a（x﹣1）（x﹣3），且a＜0．因而f（x）=a（x﹣1）（x﹣3）﹣2x=ax2﹣（2+4a）x+3a．①由方程f（x）+6a=0得ax2﹣（2+4a）x+9a=0．②因为方程②有两个相等的根，所以△=2﹣4a•9a=0，即5a2﹣4a﹣1=0．解得a=1或a=﹣．由于a＜0，a=﹣，舍去，故a=﹣．将a=﹣代入①得f（x）的解析式．（Ⅱ）由及a＜0，可得f（x）的最大值为．就由解得a＜﹣2﹣或﹣2+＜a＜0．故当f（x）的最大值为正数时，实数a的取值X围是．19．已知函数f（x）=．（1）若f（x）＞k的解集为{x|x＜﹣3或x＞﹣2}，则k的值等于﹣；（2）对任意x＞0，f（x）≤t恒成立，则t的取值X围是[，+∞）．【考点】7E：其他不等式的解法；3R：函数恒成立问题．【分析】（1）根据不等式和方程之间的关系，转化为方程进行求解即可．（2）任意x＞0，f（x）≤t恒成立，等等价于t≥=恒成立，根据基本不等式即可求出．【解答】解：（1）：f（x）＞k⇔kx2﹣2x+6k＜0．由已知{x|x＜﹣3，或x＞﹣2}是其解集，得kx2﹣2x+6k=0的两根是﹣3，﹣2．由根与系数的关系可知（﹣2）+（﹣3）=，解得k=﹣，（2）任意x＞0，f（x）≤t恒成立，等价于t≥=恒成立，∵x+≥2=2，当且仅当x=时取等号，∴t≥，故答案为：（1）：﹣，（2）：[，+∞）20．设△ABC的内角A，B，C的内角对边分别为a，b，c，满足（a+b+c）（a﹣b+c）=ac．（Ⅰ）求B．（Ⅱ）若sinAsinC=，求C．【考点】HR：余弦定理；GQ：两角和与差的正弦函数．【分析】（I）已知等式左边利用多项式乘多项式法则计算，整理后得到关系式，利用余弦定理表示出cosB，将关系式代入求出cosB的值，由B为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数；（II）由（I）得到A+C的度数，利用两角和与差的余弦函数公式化简cos（A﹣C），变形后将cos（A+C）及2sinAsinC的值代入求出cos（A﹣C）的值，利用特殊角的三角函数值求出A﹣C的值，与A+C的值联立即可求出C的度数．【解答】解：（I）∵（a+b+c）（a﹣b+c）=（a+c）2﹣b2=ac，∴a2+c2﹣b2=﹣ac，∴cosB==﹣，又B为三角形的内角，则B=120°；（II）由（I）得：A+C=60°，∵sinAsinC=，cos（A+C）=，∴cos（A﹣C）=cosAcosC+sinAsinC=cosAcosC﹣sinAsinC+2sinAsinC=cos（A+C）+2sinAsinC=+2×=，∴A﹣C=30°或A﹣C=﹣30°，则C=15°或C=45°．21．已知一四面体的三组对边分别相等，且长度依次为5、、．（1）求该四面体的体积；（2）求该四面体外接球的表面积．【考点】LE：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】由棱锥的对边相等可知四面体为长方体切去4个小棱锥得到的，求出长方体的棱长即可得出四面体的体积和外接球的表面积．【解答】解：（1）∵四面体的三组对边分别相等，∴四面体为某一长方体的六条面对角线组成的三棱锥，设长方体的棱长为a，b，c，则，解得，∴四面体的体积V=abc﹣abc×4=abc=20．（2）由（1）可知四面体的外接球为长方体的外接球，外接球直径为长方体的体对角线长=5，∴外接球的半径为r=，∴外接球的表面积为S=4πr2=50π．22．设数列{a n}的前n项和为S n，已知=a n﹣2n（n∈N*）．（1）求a1的值，若a n=2n，证明数列{}是等差数列；（2）设b n=log2a n﹣log2（n+1），数列{}的前n项和为B n，若存在整数m，使对任意n ∈N*且n≥2，都有B3n﹣B n＞成立，求m的最大值．【考点】8K：数列与不等式的综合；8C：等差关系的确定．【分析】（1）由=，得，从而，由此能求出a1=4；当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣=，从而得到=1，由此能证明数列{} 1是首项为2，公差为1的等差数列．（2）求出=2+（n﹣1）×1=n+1，从而，进而b n=log2a n﹣log2（n+1）=n，由此得到，B3n﹣B n=，令f（n）=，则f（n+1）﹣f（n）==＞=0，从而数列{f（n）}为递增数列，当n≥2时，f（n）的最小值为f（2）=，从而＜，由此能求了出m的最大值．【解答】证明：（1）由=，得，∴，解得a1=4，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=（2a n﹣2n+1）﹣（2a n﹣1﹣2n）=，∴，n≥2，∴ =1，∵a n=2n，∴=，∴，﹣﹣1=1，∴数列{}是首项为2，公差为1的等差数列．（2）∵=1， =2，∴ =2+（n﹣1）×1=n+1，∴，∴b n=log2a n﹣log2（n+1）=n，∵数列{}的前n项和为B n，∴，∴B3n﹣B n=，令f（n）=，则，∴f（n+1）﹣f（n）==＞=0，∴f（n+1）＞f（n），∴数列{f（n）}为递增数列，∴当n≥2时，f（n）的最小值为f（2）==，据题意，＜，得m＜19，又m为整数，∴m的最大值为18．。
北京市西城区2017 - 2018学年度第二学期期末考试高一数学试卷
北京市西城区2017 - 2018学年度第二学期期末考试高一数学试卷北京市西城区2017-2018学年度第二学期期末试卷高一数学2018.7 A卷 [立体几何初步与解析几何初步] 本卷满分：100分一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1.已知点 M(-1,2)，N(3,0)，则点 M 到点 N 的距离为（）。
A) 2 (B) 4 (C) 5 (D) 2√52.直线 x-y-3=0 的倾斜角为（）。
A) 45 (B) 60 (C) 120 (D) 1353.直线 y=2x-2 与直线 l 关于 y 轴对称，则直线 l 的方程为（）。
A) y=-2x+2 (B) y=-2x-2 (C) y=2x+2 (D) y=1/x-14.已知圆 M: x^2+y^2=1 与圆 N: (x-2)^2+y^2=9，则两圆的位置关系是（）。
A) 相交 (B) 相离 (C) 内切 (D) 外切5.设m,n 为两条不重合的直线，α,β 为两个不重合的平面，m,n 既不在α 内，也不在β 内。
则下列结论正确的是（）。
A) 若m//α，n//α，则 m//n。
B) 若 m//n，n//α，则m//α。
C) 若 m⊥α，n⊥α，则 m⊥n。
D) 若 m⊥α，m⊥β，则α⊥β。
6.若方程 x^2+y^2-4x+2y+5k=0 表示圆，则实数 k 的取值范围是（）。
A) (-∞,1) (B) (-∞,1] (C) [1,+∞) (D) R7.圆柱的侧面展开图是一个边长为 2 的正方形，那么这个圆柱的体积是（）。
A) π (B) π/2 (C) 2π (D) π/28.方程 x=1-y^2 表示的图形是（）。
A) 两个半圆 (B) 两个圆 (C) 圆 (D) 半圆9.如图，四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 是梯形，XXX。
若平面 PAD 平面 PBC∥l，则（）。
高一(下学期)期末考试数学试卷
高一（下学期）期末考试数学试卷（含答案解析）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、多选题1．下列抽样方法是简单随机抽样的是（ ）A ．某工厂从老年、中年、青年职工中按2∶5∶3的比例选取职工代表B ．用抽签的方法产生随机数C ．福利彩票用摇奖机摇奖D ．规定凡买到明信片最后四位号码是“6637”的人获三等奖 2．若直线a 平行于平面α，则下列结论正确的是（ ） A ．a 平行于α内的有限条直线 B ．α内有无数条直线与a 平行 C ．直线a 上的点到平面α的距离相等 D ．α内存在无数条直线与a 成90°角3．设a ，b ，l 为不同的直线，α，β，γ为不同的平面，下列四个命题中错误的是（ ） A ．若//a α，a b ⊥，则b α⊥ B ．若αγ⊥，βγ⊥，l αβ=，则l γ⊥C ．若a α⊂，//a β，b β⊂，//b α，则//αβD ．若αβ⊥，l αβ=，A α∈，AB l ⊥，则AB β⊥4．小王于2017年底贷款购置了一套房子，根据家庭收入情况，小王选择了10年期每月还款数额相同的还贷方式，且截止2021年底，他没有再购买第二套房子．如图是2018年和2021年小王的家庭收入用于各项支出的比例分配图：根据以上信息，判断下列结论中正确的是（ ） A ．小王一家2021年用于饮食的支出费用跟2018年相同 B ．小王一家2021年用于其他方面的支出费用是2018年的3倍 C ．小王一家2021年的家庭收人比2018年增加了1倍 D ．小王一家2021年用于房贷的支出费用与2018年相同5．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点F 是棱1BB 的中点，点P 在四边形11BCC B 内(包括边界)运动，则下列说法正确的是（ ）A ．若P 在线段1BC 上，则三棱锥1P AD F -的体积为定值B ．若P 在线段1BC 上，则DP 与1AD 所成角的取值范围为,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．若//PD 平面1AD F ，则点PD ．若AP PC ⊥，则1A P 与平面11BCC B二、单选题6．已知a ，b ，c 是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，⋂=c αβ，a α⊂，b β⊂，则“a ，b 相交“是“a ，c 相交”的（ ） A ．充要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件7．某校有男生3000人，女生2000人，学校将通过分层随机抽样的方法抽取100人的身高数据，若按男女比例进行分层随机抽样，抽取到的学生平均身高为165cm ，其中被抽取的男生平均身高为172cm ，则被抽取的女生平均身高为（ ） A ．154.5cmB ．158cmC ．160.5cmD ．159cm8．从二面角内一点分别向二面角的两个面引垂线，则这两条垂线所夹的角与二面角的平面角的关系是（ ） A ．互为余角B ．相等C ．其和为周角D ．互为补角9．某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出80名学生,其数学成绩（均为整数）的频率分布直方图如图,估计这次测试中数学成绩的平均分、众数、中位数分别是（ ）A ．73.3，75，72B ．72，75，73.3C ．75，72，73.3D ．75，73.3，7210．对于数据：2、6、8、3、3、4、6、8，四位同学得出了下列结论：甲：平均数为5；乙：没有众数；丙：中位数是3；丁：第75百分位数是7，正确的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．411．为了贯彻落实《中共中央国务院全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》的文件精神，某学校结合自身实际，推出了《植物栽培》《手工编织》《实用木工》《实用电工》《烹饪技术》五门校本劳动选修课程，要求每个学生从中任选三门进行学习，学生经考核合格后方能获得该学校荣誉毕业证，则甲､乙两人的选课中仅有一门课程相同的概率为（ ） A ．325B ．15C ．310 D ．3512．已知正四棱柱ABCD - A 1B 1C 1D 1中 ，AB=2，CC 1=E 为CC 1的中点，则直线AC 1与平面BED 的距离为 A．2BCD ．1三、填空题13．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点E 、F 、G 分别为棱11B C 、1CC 、11D C 的中点，P 是底面ABCD 上的一点，若1A P ∥平面GEF ，则下面的4个判断∶点P∶线段1A P ；∶11A P AC ⊥；∶1A P 与1B C 一定异面．其中正确判断的序号为__________．14．甲、乙两同学参加“建党一百周年”知识竞赛，甲、乙获得一等奖的概率分别为14、15，获得二等奖的概率分别为12、35，甲、乙两同学是否获奖相互独立，则甲、乙两人至少有1人获奖的概率为___________.15．数据1x ，2x ，…，8x 平均数为6，标准差为2，则数据126x -，226x -，…，826x -的方差为________. 16．将正方形ABCD 沿对角线AC 折起，并使得平面ABC 垂直于平面ACD ，直线AB 与CD 所成的角为__________.四、解答题17．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1,AB BC AA AB ⊥=，G 是棱11A C 的中点．(1)证明：1BC AB ⊥；(2)证明：平面1AB G ⊥平面1A BC ．18．甲、乙两台机床同时生产一种零件，在10天中，两台机床每天生产的次品数分别为： 甲：0,0,1,2,0,0,3,0,4,0；乙：2,0,2,0,2,0,2,0,2,0． （1）分别求两组数据的众数、中位数；（2）根据两组数据平均数和标准差的计算结果比较两台机床性能．19．某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[)2030，，[)3040，，，[]8090，，并整理得到如下频率分布直方图：（1）从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率；（2）已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[)4050，内的人数； （3）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等.试估计总体中男生和女生人数的比例.20．某学校招聘在职教师，甲、乙两人同时应聘．应聘者需进行笔试和面试，笔试分为三个环节，每个环节都必须参与，甲笔试部分每个环节通过的概率依次为113224，，，乙笔试部分每个环节通过的概率依次为311422，，，笔试三个环节至少通过两个才能够参加面试，否则直接淘汰；面试分为两个环节，每个环节都必须参与，甲面试部分每个环节通过的概率依次为2132，，乙面试部分每个环节通过的概率依次为4354，，若面试部分的两个环节都通过，则可以成为该学校的在职教师．甲、乙两人通过各个环节相互独立． (1)求甲未能参与面试的概率；(2)记乙本次应聘通过的环节数为X ，求(3)P X =的值；(3)记甲、乙两人应聘成功的人数为Y ，求Y 的的分布列和数学期望21．如图，在三棱锥P -ABC 中，PA ⊥平面,ABC AB AC =，,M N 分别为,BC AB 的中点，(1)求证：MN //平面P AC (2)求证：平面PBC ⊥平面P AM22．如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为菱形，其对角线AC 与BD 相交于点O ，1160A AB A AD BAD ∠=∠=∠=，13AA =，2AB =.(1)证明：1A O ⊥平面ABCD ； (2)求三棱锥11C A BD -的体积.参考答案：1．BC【分析】由题意，根据简单随机抽样的定义，可得答案.【详解】对于A ，此为分层抽样；对于B ，此为随机数表法；对于C ，此为简单随机抽样；对于D ，此为系统抽样. 故选：BC. 2．BCD【分析】根据直线与平面平行的性质即可判断.【详解】因为直线a 平行于平面α，所以a 与平面α内的直线平行或异面，选项A 错误；选项B ，C ，D 正确.故选：BCD. 3．ACD【分析】选项ACD ，可借助正方体构造反例；选项B ，在平面γ分别取直线m 满足m a ⊥，直线n 满足n b ⊥，可证明l m ⊥，l n ⊥，即得证.【详解】A 选项：取11//A C 平面ABCD ，1111AC B D ⊥，但是11B D 不垂直于平面ABCD ，命题A 错误． B 选项：设a αγ⋂=，b βγ=，在平面γ分别取直线m 满足m a ⊥，直线n 满足n b ⊥．因为αγ⊥，βγ⊥，所以m α⊥，n β⊥，又l α⊆，l β⊆，所以l m ⊥，l n ⊥，所以l γ⊥．命题B 正确． C 选项：11//A B 平面ABCD ，//CD 平面11ABB A ，但平面ABCD 与平面11ABB A 不平行，命题C 错误． D 选项：平面ABCD ⊥平面11ABB A ，交线为AB ，1B ∈平面11ABB A ，1B C AB ⊥，但1B C 与平面ABCD 不垂直，命题D 错误． 故选：ACD4．BD【分析】由题意，根据扇形统计图的性质，可得答案.【详解】对于A ，小王一家2021年用于饮食的支出比例与跟2018年相同，但是由于2021年比2018年家庭收入多，∶小王一家2021年用于饮食的支出费用比2018年多，故A 错误；对于B ，设2018年收入为a ，∶相同的还款数额在2018年占各项支出的60%，在2021年占各项支出的40%，∶2021年收入为：0.6 1.50.4aa =，∶小王一家2021年用于其他方面的支出费用为1.512%0.18a a ⨯=，小王一家2018年用于其他方面的支出费用为0.06a ，∶小王一家2021年用于其他方面的支出费用是2018年的3倍，故B 正确；对于C ，设2018年收入为a ，则2021年收入为：0.6 1.50.4aa =，故C 错误； 对于D ，小王一家2021年用于房贷的支出费用与2018年相同，故D 正确． 故选：BD ． 5．ACD【分析】A. 如图，当P 在线段1BC 上时，当P 到平面1AFD 的距离不变，又底面1AFD △的面积是定值，所以三棱锥1P AD F -的体积为定值，所以该选项正确；B. 如图，分析得DP 与1AD 所成角的取值范围为[,]32ππ，所以该命题错误；C.如图，,M N 分别是1,CC CB 中点，点P 的轨迹是线段MN =D. 点P 的轨迹为以BC 中点O 为圆心，以1为半径的半圆，1BO 所以1PB 1,所以1A P 与平面11BCC B=所以该选项正确. 【详解】A. 如图，因为11//,BC AD AD ⊂平面1,AFD 1BC ⊄平面1,AFD 所以1//BC 平面1,AFD 所以当P 在线段1BC 上时，当P 到平面1AFD 的距离不变，又底面1AFD △的面积是定值，所以三棱锥1P AD F -的体积为定值，所以该选项正确；B. 如图，因为11//,BC AD 所以DP 与1AD 所成角就是DP 与1BC 所成的角（锐角或直角），当点P 在1,B C 时，由于∶1BDC 是等边三角形，所以这个角为3π，当1DP BC 时，这个角为2π，由图得DP 与1AD 所成角的取值范围为[,]32ππ，所以该命题错误；C.如图，,M N 分别是1,CC CB 中点，点P 的轨迹是线段MN ,由于//DM AF ,AF ⊂平面1AFD ,DM ⊄平面1AFD ,所以//DM 平面1AFD ，同理可得//MN 平面1AFD ，又,DM MN ⊂平面DMN ,DMMN M =,所以平面//DMN 平面1AFD ，所以//DP 平面1AFD ，MN ==P 选项正确；D.如图，由题得1A P 与平面11BCC B 所成角为11A PB ∠,1112tan A PB PB ∠=,即求1PB 的最小值，因为,PC AP PC AB ⊥⊥,,,AP AB A AP AB ⋂=⊂平面ABP ,所以PC ⊥平面ABP ,所以PC BP ⊥,所以点P 的轨迹为以BC 中点O 为圆心，以1为半径的半圆，1BO 所以1PB1,所以1A P 与平面11BCC B 所=所以该选项正确.故选：ACD 6．C【分析】根据直线与平面的位置关系进行判断即可.【详解】解：∶若a ，b 相交，a α⊂，b β⊂，则其交点在交线c 上，故a ，c 相交， ∶若a ，c 相交，可能a ，b 为相交直线或异面直线．综上所述：a ，b 相交是a ，c 相交的充分不必要条件． 故选：C ． 7．A【分析】由分层抽样求出100人中的男女生数，再利用平均数公式计算作答. 【详解】根据分层随机抽样原理，被抽取到的男生为60人，女生为40人， 设被抽取到的女生平均身高为cm x ，则6017240165100x⨯+=，解得154.5cm x =，所以被抽取的女生平均身高为154.5cm . 故选：A 8．D【分析】做出图像数形结合即可判断.【详解】如图，A 为二面角--l αβ内任意一点，AB α⊥，AC β⊥，过B 作BD l ⊥于D ， 连接CD ，因为AB α⊥，l α⊂，所以AB l ⊥因为AC β⊥，l β⊂，所以AC l ⊥，且AB AC A ⋂=， 所以l ⊥平面ABCD ，且CD ⊂面ABCD ，所以⊥l CD 则BDC ∠为二面角l αβ--的平面角，90ABD ACD ∠∠︒＝＝，BAC ∠为两条垂线AB 与AC 所成角，所以180A BDC ∠∠︒＋＝， 所以两条垂线所夹的角与二面角的平面角互为补角. 故选：D. 9．B【解析】根据频率分布直方图,结合平均数、众数、中位数的求法,即可得解. 【详解】由频率分布直方图可知,平均数为450.00510450.00510550.01510650.02010⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯750.03010850.02510950.0051072+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=众数为最高矩形底边的中点,即75中为数为:0.005100.015100.02010100.5x ⨯+⨯+⨯+⨯= 可得0.010x = 所以中为数为0.010701073.30.030+⨯≈ 综上可知,B 为正确选项 故选:B【点睛】本题考查了频率分布直方图的应用,平均数、众数、中位数的计算,属于基础题. 10．B【分析】分别求出平均数，中位数，众数，第75百分位数即可得解. 【详解】解：平均数为2683346858+++++++=，故甲正确；众数为：3，6，8，故乙错误；将这组数据按照从小到大的顺序排列：2,3,3,4,6,6,8,8， 则中位数为4652+=，故丙错误； 875%6⨯=，则第75百分位数为6872+=，故丁正确， 所以正确的个数为2个. 故选：B. 11．C【分析】先分析总的选课情况数，然后再分析甲、乙两人的选课中仅有一门课程相同的情况数，然后两者相除即可求解出对应概率.【详解】甲、乙总的选课方法有：3355C C ⋅种，甲、乙两人的选课中仅有一门课程相同的选法有：5412C C ⋅种，（先选一门相同的课程有15C 种选法，若要保证仅有一门课程相同只需要其中一人从剩余4门课程中选取2门，另一人选取剩余的2门课程即可，故有24C 种选法）所以概率为12543355310C C P C C ==，故选：C.【点睛】关键点点睛：解答本题的关键在于分析两人的选课仅有1门相同的选法数，可通过先确定相同的选课，然后再分析四门课程中如何做到两人的选课不同，根据古典概型的概率计算方法完成求解. 12．D【详解】试题分析：因为线面平行，所求求线面距可以转化为求点到面的距离，选用等体积法．1//AC 平面BDE ，1AC ∴到平面BDE 的距离等于A 到平面BDE 的距离，由题计算得11111223232E ABD ABD V S CC -=⨯=⨯⨯⨯在BDE 中，BE DE BD ===BD边上的高2==，所以122BDE S =⨯=所以1133A BDE BDE V S h -==⨯，利用等体积法A BDE E ABD V V --=，得: 13⨯=解得: 1h = 考点：利用等体积法求距离 13．∶∶【分析】先证明平面1A BD ∥平面GEF ，可判断P 的轨迹是线段BD ，结合选项和几何性质一一判断即可． 【详解】分别连接11,,BD A B A D ，所以11BD B D ∥，又因为11B D ∥EG ，则BD EG ∥， 同理1A D EF ∥，1,BDA D D EGEF E ==，故平面1A BD ∥平面GEF ，又因为1A P ∥平面GEF ，且P 是底面ABCD 上的一点，所以点P 在BD 上．所以点P 的轨迹是一段长度为BD =，故∶正确；当P 为BD 中点时1A P BD ⊥，线段1A P ，故∶错； 因为在正方体1111ABCD A B C D -中，1AC ⊥平面1A BD ，又1A P ⊂平面1A BD ， 则11A P AC ⊥，故∶正确；当P 与D 重合时，1A P 与1B C 平行，则∶错． 故答案为：∶∶14．1920【分析】利用独立事件的概率乘法公式和对立事件的概率公式可求得所求事件的概率.【详解】由题意可知，甲不中奖的概率为1111424--=，乙不中奖的概率为1311555--=，因此，甲、乙两人至少有1人获奖的概率为111914520-⨯=.故答案为：1920. 15．16【详解】试题分析：由题意知12868x x x x +++==，(862s x +-=，则12848x x x +++=，24s =，而()()()12826262624886688x x x y -+-++-⨯-⨯===，所以所求方差为()()()2222212812122122124168s x x x s ⎡⎤=-+-++-=⨯=⎣⎦'．故正确答案为16．考点：两组线性数据间的特征数的运算．【方法点晴】此题主要考查两组俱有线性关系的数据的特征数关系，当数据{}12,,,n x x x 与{}12,,,n y y y 中若有i i y ax b =+时，那么它们之间的平均数与方差（标准差）之间的关系是：y x =，222y x s a s =或是y x s as =，掌握此关系会给我们计算带来很大方便． 16．60°【分析】将所求异面直线平移到同一个三角形中，即可求得异面直线所成的角. 【详解】如图，取AC ，BD ，AD 的中点，分别为O ，M ，N ，则11,22ON CD MN AB ∥∥，所以ONM ∠或其补角即为所求的角.因为平面ABC ⊥平面ACD ，BO AC ⊥，平面ABC平面ACD AC =，BO ⊂平面ABC ，所以BO ⊥平面ACD ，又因为OD ⊂平面ACD ，所以BO OD ⊥. 设正方形边长为2，OB OD ==2BD =，则112OM BD ==. 所以=1ON MN OM ==.所以OMN 是等边三角形，60ONM ∠=︒. 所以直线AB 与CD 所成的角为60︒． 故答案为： 60° 17．(1)证明见解析 (2)证明见解析【分析】（1）由线面垂直得到1AA BC ⊥，从而求出BC ⊥平面11ABB A ，得到1BC AB ⊥；（2）根据正方形得到11BA AB ⊥，结合第一问求出的1BC AB ⊥，得到1AB ⊥平面1A BC ，从而证明面面垂直. （1）∶1AA ⊥平面ABC ，且BC ⊂平面ABC ， ∶1AA BC ⊥． 又因为1,BC AB AA AB A ⊥=，1,AA AB ⊂平面11ABB A ，所以BC ⊥平面11ABB A ． ∶1AB ⊂平面11ABB A ， ∶1BC AB ⊥． （2）∶1AA AB =，易知矩形11ABB A 为正方形， ∶11BA AB ⊥．由（1）知1BC AB ⊥，又由于11,,A B BC B A B BC =⊂平面1A BC ，∶1AB ⊥平面1A BC ． 又∶1AB ⊂平面1AB G ， ∶平面1AB G ⊥平面1A BC ．18．（1）甲的众数等于0；乙的众数等于0和2；甲的中位数等于0；乙的中位数等于1；（2）甲乙的平均水平相当，但是乙更稳定.【分析】（1）根据众数和中位数的公式直接计算，众数是指数据中出现次数最多的数据，中位数是按从小到大排列，若是奇数个，则正中间的数是中位数，若是偶数个数，则正中间两个数的平均数是中位数；（2）平均数指数据的平均水平，标准差指数据的稳定程度，离散水平.【详解】解：（1）由题知：甲的众数等于0；乙的众数等于0和2；甲的中位数等于0；乙的中位数等于1 （2）甲的平均数等于0012003040110+++++++++=乙的平均数等于2020202020110+++++++++=甲的方差等于2222222222(01)(01)(11)(21)(01)(01)(31)(01)(41)(01)210-+-+-+-+-+-+-+-+-+-=乙的方差等于2222222222(21)(01)(21)(01)(21)(01)(21)(01)(21)(01)110-+-+-+-+-+-+-+-+-+-=1 因此，甲乙的平均水平相当，但是乙更稳定！【点睛】本题考查样本的众数，中位数，标准差，重点考查定义和计算能力，属于基础题型. 19．（1）0.4；（2）20；（3）3:2.【分析】（1）根据频率=组距⨯高，可得分数小于70的概率为：1(0.040.02)10-+⨯；（2）先计算样本中分数小于40的频率，进而计算分数在区间[40，50)内的频率，可估计总体中分数在区间[40，50)内的人数；（3）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等，分别求出男生、女生的人数，进而得到答案．【详解】解：（1）由频率分布直方图知：分数小于70的频率为：1(0.040.02)100.4-+⨯= 故从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率为0.4； （2）已知样本中分数小于40的学生有5人， 故样本中分数小于40的频率为：0.05，则分数在区间[40，50)内的频率为：1(0.040.020.020.01)100.050.05-+++⨯-=， 估计总体中分数在区间[40，50)内的人数为4000.0520⨯=人， （3）样本中分数不小于70的频率为：0.6， 由于样本中分数不小于70的男女生人数相等． 故分数不小于70的男生的频率为：0.3， 由样本中有一半男生的分数不小于70，故男生的频率为：0.6，则男生人数为0.610060⨯=， 即女生的频率为：0.4，则女生人数为0.410040⨯=， 所以总体中男生和女生人数的比例约为：3:2． 20．(1)38；(2)13(3)80P X ==；(3)分布列见解析；期望为712． 【分析】(1)甲未能参与面试，则甲笔试最多通过一个环节，结合已知条件计算即可；(2)分析3X =时，分析乙笔试和面试分别通过的环节即可求解；(3)首先分别求出甲乙应聘的概率，然后利用独立事件的性质求解即可.【详解】(1)设事件A =“甲未能参与面试”，即甲笔试最多通过一个环节， 故1131131133()(1)(1)(1)(1)(1)2(1)(1)2242242248P A =---+⨯--⨯+--⨯=；(2)当3X =时，可知乙笔试通过两个环节且面试通过1个环节，或者乙笔试通过三个环节且面试都未通过， 3113114343(3)[(1)(1)2][(1)(1)]4224225454P X ==-⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯-+-⨯3114313(1)(1)4225480+⨯⨯⨯--=；(3)甲应聘成功的概率为1113113113215[(1)2(1)]2242242243224P =-⨯⨯⨯+⨯⨯-+⨯⨯⨯⨯=， 乙应聘成功的概率为2113113113433[(1)2(1)]224224224548P =-⨯⨯⨯+⨯⨯-+⨯⨯⨯⨯=，由题意可知，Y 的取值可能为0，1，2， 5395(0)(1)(1)248192P Y ==--=， 535341(1)(1)(1)24824896P Y ==⨯-+-⨯=535(2)24864P Y ==⨯=， 所以Y 的分布列如下表：所以数学期望7()12E Y =. 21．(1)证明见解析； (2)证明见解析.【分析】（1）由题意证得//MN AC ,结合线面平行的判定定理，即可证得//MN 平面PAC ；（2）由PA ⊥平面ABC ，证得PA BC ⊥，再由AB AC =，证得AM BC ⊥，根据线面垂直的判定定理证得BC ⊥平面PAM ，进而得到平面PBC ⊥平面PAM . （1）证明：在ABC 中，因为,M N 分别为,BC AB 中点，可得//MN AC , 又因为MN ⊄平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，所以//MN 平面PAC . （2）证明：因为PA ⊥平面ABC ，且BC ⊂平面ABC ，可得PA BC ⊥， 又因为AB AC =，且M 为BC 中点，可得AM BC ⊥，又由PA AM A =且,PA AM ⊂平面PAM ，所以BC ⊥平面PAM ， 因为BC ⊂平面PBC ，所以平面PBC ⊥平面PAM . 22．(1)证明见解析 (2)【分析】（1）连接1A B ，1A D ，可证明1AO BD ⊥，再证明1A O OA ⊥，从而可证明结论. （2）由线面垂直的判断定理得AC ⊥平面1A BD ，由11//AC A C 得11A C ⊥平面1A BD ，再由棱锥的体积可得答案. （1）连接11,A D A B ，111,,AD AB A AB A AD A A =∠=∠为公共边，1111,∴≅∴=A AB A AD A D A B ，又O 为BD 的中点，1A O BD ∴⊥，在1A AB 中，由余弦定理可知1A B在1Rt AOB 中1AO =13,A A AO = 满足22211A O AO A A +=1A O OA ∴⊥，又AO BD O ⋂=，1A O ∴⊥平面ABCD .（2）由（1）知1A O ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ， 1A O AC ∴⊥且1BD AC BD AO O ⊥⋂=，， AC ∴⊥平面1A BD ，且11//AC A C ， 11A C ∴⊥平面1A BD ，1111232C A BD V -=⨯⨯。
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泉港一中2017-2018学年下学期期末考试高一数学试题（考试时间：120分钟 总分：150分）命题人： 审题人：一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．若a ，b ，c ∈R ，且a ＞b ，则下列结论一定成立的是（ ） A ．a ＞bcB ．＜C ．a ﹣c ＞b ﹣cD ． a 2＞b 22．经过两点A (2,1)，B (1，m 2)的直线l 的倾斜角为锐角，则m 的取值范围是( )A ．m ＜1B ．m ＞－1C ．－1＜m ＜1D ．m ＞1或m ＜－13.在等比数列{n a }中，若93-=a ，17-=a ，则5a 的值为（ ）A .3±B ．3C ．-3D ．不存在4．已知x ＞0，y ＞0，且x ＋y ＝8，则(1＋x )(1＋y )的最大值为( )A ．16B ．25C ．9D ．36 5．若直线a 不平行于平面α，则下列结论成立的是( )A ．α内的所有直线均与a 异面B ．α内不存在与a 平行的直线C ．α内直线均与a 相交D ．直线a 与平面α有公共点6．实数x ，y 满足不等式组⎩⎨⎧y ≥0，x －y ≥0，2x －y －2≥0，则W ＝y －1x ＋1的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，13B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，13C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，1 7．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a=10，b=8，B=30°，那么△ABC 的解的情况是（ ） A ．无解 B ． 一解C ． 两解D ．一解或两解8．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，BB 1与平面ACD 1所成的角的余弦值为( )A.23B.33C.23D.639．《莱因德纸草书》（Rhind papyrus ）是世界上最古老的数学著作之一．该书中有一道这样的题目：100个面包分给5个人，每人一份，若按照每个人分得的面包个数从少到多排列，可得到一个等差数列，其中较多的三份和的等于较少的两份和，则最多的一份面包个数为（ ）A ．35B ．32C ．30D ． 2710．已知关于x 的不等式x 2－4x ≥m 对任意x ∈(0,1]恒成立，则有( )A ．m ≤－3B ．m ≥－3C ．－3≤m ＜0D ．m ≥－411．已知圆的方程为x 2＋y 2－6x －8y ＝0，设该圆过点P (3,5)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为( )A ．10 6B ．206C ．30 6D ．40 612．在平面直角坐标系中，定义d （P ，Q ）=|x 1﹣x 2|+|y 1﹣y 2|为两点P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2）之间的“折线距离”，在这个定义下，给出下列命题： ①到原点的“折线距离”等于1的点的集合是一个圆； ②到原点的“折线距离”小于等于2的点构成的区域面积为8；③到M （0，﹣2），N （0，2）两点的“折线距离”相等的点的轨迹方程是y=0； ④直线y=x+1上的点到N （0，2）的“折线距离”的最小值为1． 其中真命题有（ ） A ． 1个B ． 2个C ． 3个D ． 4个二．填空题：（本题共4个小题，每小题5分，共20分）13.以两点A (－3，－1)和B (5,5)为直径端点的圆的方程是________．14．如图，三棱锥C ADB -中，2CA CD AB BD ====，23AD =，1BC =，则二面角C －AD －B 的平面角为________．15.某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A 原料3吨，B 原料2吨；生产每吨乙产品要用A 原料1吨，B 原料3吨，销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元．该企业在一个生产周期内消耗A 原料不超过13吨，B 原料不超过18吨．那么该企业可获得最大利润是________万元．16. 设数列{a n }为等比数列，则下面四个数列：①{a 3n }；②{pa n }(p 为非零常数)；③{a n ·a n ＋1}；④{a n ＋a n ＋1}．其中是等比数列的序号为________．（填上所有正确的序号）三、解答题：本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. （本题满分10分） 若不等式ax 2＋bx －1＞0的解集是{x |1＜x ＜2}．(1)试求a 、b 的值； (2)求不等式ax ＋1bx －1≥0的解集．18.（本题满分12分）如图，在△ABC 中，∠ABC=90°，AB=4，BC=3，点D 在直线AC 上，且AD=4DC.（I ）求BD 的长；（II ）求sin ∠CBD 的值.19.已知等差数列{a n }满足a 2＝0，a 6＋a 8＝－10.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n 2n －1的前n 项和．20（12分）．如图所示，ABCD 是正方形，PA ⊥平面ABCD ，E 、F 是AC 、PC 的中点（1）求证：AC ⊥DF ；（2）若PA=2，AB=1，求三棱锥C ﹣PED 的体积．21（12分）已知直线l：mx+ny﹣1=0（m，n∈ R）与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，且直线l与圆x2+y2=4相交所得弦长为2．（1）若直线l与直线2x+y+5=0平行，求直线l的方程；（2）若点P是可行域内的一个点，是否存在实数m，n使得|OA|+|OB|的最小值为2，且直线l经过点P？若存在，求出m，n的值；若不存在，说明理由．22（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，a n≠0，λS n=a n a n+1+1，其中λ为常数．（1）证明：数列{a2n}是等差数列；﹣1（2）是否存在实数λ，使得{a n}为等差数列，并说明理由；（3）若{a n}为等差数列，令b n=（﹣1）n- 1，求数列b n的前n项和T n．泉港一中2017-2018学年下学期期末考试高一数学参考答案二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，计20分）13、(x －1)2＋(y －2)2＝25 14、60 15、27 16、①②③④三、解答题：（本题共6个小题，共70分。
解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17. （本小题满分10分）(1)∵不等式ax 2＋bx －1＞0的解集是{x |1＜x ＜2}．∴a ＜0，且1和2是方程ax 2＋bx －1＝0的两根，由韦达定理可得⎩⎨⎧－ba＝3，－1a ＝2，a ＜0.于是得⎩⎨⎧a ＝－12，b ＝32.…………………5分(2)由(1)得不等式ax ＋1bx －1≥0即为－12x ＋132x －1≥0， ∴⎝⎛⎭⎫－12x ＋1⎝⎛⎭⎫32x －1≥0且32≠x ，因此(x －2)⎝⎛⎭⎫x －23 ≤0且32≠x ，解得23＜x ≤2. 即原不等式的解集是⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<232x x.…………………10分18.（本题满分12分）（I ）解：因为∠ABC=90°，AB=4，BC=3，所以34cos ,sin 55C C ==，AC=5， 又因为AD=4DC ，所以AD=4，DC=1. 在△BCD 中，由余弦定理，得2222cos BD BC CD BC CD C =+-⋅223323123155=+-⨯⨯⨯=，所以4105BD =.……………………6分 （II ）在△BCD 中，由正弦定理，得sin sin CD BDCBD C=∠， 所以410154sin 5CBD=∠， 所以10sin 10CDB ∠=.……………………12分19．（本题满分12分）20．（本题满分12分） 证明：（1）连接ED 、EF ，∵ABCD 是正方形，E 是AC 的中点， ∴ED ⊥AC 又∵E 、F 分别是AC 、PC 的中点 ∴EF ∥PA 又∵PA ⊥平面ABCD ， ∴EF ⊥平面ABCD ，∵AC ⊂平面ABCD ， ∴EF ⊥AC 又∵ED ∩EF=E ，ED ，EF ⊂平面DEF ∴AC ⊥平面DEF … 又∵DF ⊂平面DEF故AC ⊥DF ……………………6分解：（2）∵PA ⊥平面ABCD ， ∴是PA 三棱锥P ﹣CED 的高，且PA=2 ∵ABCD 是正方形，E 是AC 的中点， ∴△CED 是等腰直角三角形… 又∵AB=1， 故，…故……………………12分21．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）直线l 与圆224x y +=相交所得弦长为2.所以圆心到直线l 322223d m n m n ===++2213m n +=. …………………2分 因为直线l ：10mx ny +-=(,)m n ∈+R 的斜率1m k n=-， 直线250x y ++=的斜率22k =-，由题意知12k k =，得2m n =， …………3分 由（Ⅰ）可求得15n =，215m = 因此所求直线l 的方程为2150x y +-=． ………………………5分22.（本题满分12分）（1）证明：∵a 1=1，a n ≠0，λS n =a n a n+1+1，其中λ为常数． 当n ≥2时，λS n ﹣1=a n ﹣1a n +1，∴λa n =a n （a n+1﹣a n ﹣1），∴a n+1﹣a n ﹣1=λ，用2n 代替n 可得：a 2n+1﹣a 2n ﹣1=λ为常数，∴数列{a 2n ﹣1}是等差数列，首项为1，公差为λ；………………………4分（2）解：由λS n =a n a n+1+1，取n=1，可得λ=a 2+1， 则a 2=λ﹣1，∴a 2﹣a 1=λ﹣2．假设存在实数λ，使得{a n }为等差数列，则λ﹣2=，解得λ=4．因此当λ=4时，（a n+1﹣a n ）+（a n ﹣a n ﹣1）=4，即a n+1﹣a n =2，∴{a n }为等差数列，首项为1，公差为2．………………………8分（3）∵{a n }为等差数列，由（2）可知：a n =1+2（n ﹣1）=2n ﹣1．)121121()1(4)1(111++--=-=-+-n n a a n b n n n n n(Ⅱ)12分)121121()121321()7151()5131()311(++---+-+-+++-+=n n n n T n n 为偶数时，当1221211+=+-=∴n nn T n )121121()121321()7151()5131()311(++-+-+---+++-+=n n n n T n n 为奇数时，当12221211++=++=∴n n n T n ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=∴为奇数为偶数n n n n n nT n ,1222,122 ………………………12分 （ 112)1(12-+-++=n n n n T ）。