大学物理第十七章题解

第十七章 真空中的静电场

17-1．三个相同的点电荷放置在等边三角形的三个顶点上，在此三角形的中心应放置怎样的电荷，才能使作用在每一点电荷上的合力为零？

解 设等边三角形的边长为a ，则由顶点到中心的距离为33a ；设顶点处电荷为q ，中心处电荷为Q ，Q 与q 反号．考虑到等边三角形的对称性，可知Q 受其它三个电荷的合力为零，与Q 的大小无关；顶点处三个电荷q 所受合力的大小相同．

上方顶点处电荷q 受其它三个电荷的作用力如图所示，合力为

零要求

02cos30F F =o

即 22

2

003244(33)

q a

a πεπε⨯

⨯= 可求出33Q q =-．

17-2．电子所带电量最先是由密立根通过油滴实验测得的，其实验装置如图所示．一个

很小的带电油滴在均匀电场E ρ

中，调节A 、B 两端的电压，使作用在油滴上的电场力与油

滴所受重力平衡．如果油滴的半径为41.6410cm -⨯，在平衡时51

1.9210V m E -=⨯⋅，求油

滴上的电荷．已知油的密度为3

0.851g cm -⋅．

解 由0qE mg +=r r

，可得

343

R g mg

q E E ρπ== 635

4

851314(16410)98

319210

....-⨯⨯⨯⨯⨯=⨯ 1980210C .-=⨯5e =

17-3．半径为R 、电荷线密度为η的半圆形带电线如图所示，求圆心O 点的场强． 解 在带电曲线上取一个长度为d l 的电荷元，其电量d d q l η=．电荷元在O 点的场强

为d E r

，如图所示．由于电荷分布对Ox 轴对称，所以全部电荷在O 点产生的总场强沿Oy 方

向的分量之和为零，O 点的总场强E r 沿Ox 方向，(d )x E E i =⎰r r ．

由于d =d l R θ，所以

200d cos cos d cos d d 44x l E E R R

ηθηθ

θθπεπε⋅==

=

于是 22

2200

cos (d )(sin )44E i |i R R ππππηθηθθπεπε--==⎰r r r 02i R

ηπε=

r

17-4．如图所示，匀强电场E ρ

与半径为R 的半球面1S 的轴线平行．试计算通过此半球面的E ρ

通量．若以半球面的边线为边，另取一个任意形状的曲面2S ，问2S 的电通量多大？

解 以半球面1S 的边缘为边界作一个平面0S ，此平面为一个圆，

面积为2

R π．由于E r 与0S 面垂直，所以通过0S 面的E r

通量

2R E Φπ=．

因为通过1S 面和2S 面的E r 通量与通过0S 面的E r

通量相等，故通

过1S 面和2S 面的E r 通量均为2

R E Φπ=．

17-5．（1）一点电荷q 位于边长为a 的立方体中心，试问通过立方体每一面的E ρ通量多

大？（2）如果电荷q 移到该立方体的一个顶角上，这时通过立方体每一面的E ρ

通量多大？

解 （1）立方体的六个面组成闭合曲面，由高斯定理可知通过此闭合曲面的电通量 0

q

Φε=

由于立方体的六个面对其中心对称，所以每个面通过的电通量为

1234560

6q ΦΦΦΦΦΦε======

（2）由于n d d d E S E e S Φ=⋅=⋅r r r r ，因此q 所在的三个面的电通量为零（n E e ⊥r r

）． 以q 为中心，以2a 为边长做大立方体，使原立方体恰为大立方体的18．由（1）知，通过大立方体每个面的电通量各为06q ε．而原立方体的每个面为大立方体每个面的14，所以通过小立方体其它三个面的电通量各为024q ε．

17-6．（1）设地球表面附近的场强约为1

200V m -⋅，方向指向地心，试求地球所带总电量．（2）在离地面1400m 处，场强为1

20V m -⋅，方向仍指向地心，试计算1400m 以下大气里的平均电荷体密度．

解 （1）在地球表面外、沿地球表面作一个球面，以此球面为高斯面，设地球所带总电量为Q ，地球半径6

6.410m R =⨯，由高斯定理

20

d 4S

Q

E S E R πε⋅=-⨯=⎰⎰

r r Ò

所以2

04Q E R επ=-⨯⨯12

6288510

2004314(6410)...-=-⨯⨯⨯⨯⨯⨯59110(C).=-⨯

（2）在距地球表面1400m 处，作与地球表面同心的球面，以此球面为高斯面，设从离地面1400m 到地面的大气所带总电量为Q '，由高斯定理

20

d 4S

Q Q E S E R πε'

+⋅=-⨯=⎰⎰

r r Ò

则24049.110(C)Q Q E R επ'+=-⨯⨯=-⨯，45

9.1108.210(C)Q Q '=--⨯=⨯，所以

5212

8210431464101400

Q .V ..ρ'⨯==⨯⨯⨯⨯12311410C m .--=⨯⋅

17-7．厚度为d 的无限大平板均匀带电，电荷体密度为ρ，求板内外电场E r

的分布． 解 垂直于平板表面作横截面如图，图中虚线为与表面平行、距离两表面等距离（均为2d ）的平面AB ．

由于带电平板无限大，电荷分布对平面AB 对称，可知电场强度E r

与平板表面垂直，在距离平面AB 距离相等处电场强度的大小E 相同．

作对平面AB 对称的闭合高斯面S ，高斯面S 由与平面AB 平行的两个底面1S 和2S 和