最新版辽宁省高一下学期期末考试试卷 数学 Word版(含答案)
沈阳二中2015—2016学年度下学期期末考试高一（18届）数学试题说明：1.测试时间：120分钟 总分：150分2.客观题涂在答题纸上，主观题答在答题纸的相应位置上第Ⅰ卷 （60分）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分；在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）1.如果θ是第一象限角，那么下列不等式恒成立的是( )A ．sin θ2>0B ．tan θ2<1C ．sin θ2>cos θ2D ．sin θ2<cos θ22.函数y ＝|sin x |sin x ＋cos x |cos x |＋|tan x |tan x 的值域是( )A ．{1，－1}B ．{－1，1，3}C ．{－1，3}D ．{1，3}3.若sin θ＋cos θ＝55，θ∈[0，π]，则tan θ＝( )A ．－12 B. 12 C ．－2 D ．24.已知tan θ＝2，则2sin 2θ＋sin θ·cos θ－cos 2θ＝( )A ．－43B ．－65 C.45 D.955.如果函数y ＝sin 2x ＋a cos 2x 的图像关于直线x ＝－π8对称，则实数a 的值为( )A . 2B ．－ 2C ．1D ．－16. 函数f(x)＝A sin ωx(A>0，ω>0)的部分图像如图所示，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2015)的值为( )A ．0B ．3 2C ．6 2D ．－ 27.已知2sin2α＝1＋cos2α，则tan 2α＝( )A ．－43 B.43 C ．－43或0 D.43或08.如图，四边形ABCD 是正方形，延长CD 至E ，使得DE ＝CD .若动点P 从点A 出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A 点，其中AP →＝λAB →＋μAE →.下列叙述正确的是( )A ．满足λ＋μ＝2的点P 必为BC 的中点 B.满足λ＋μ＝1的点P 有且只有一个 C ．λ＋μ的最大值为3 D ．λ＋μ的最小值不存在9.在△ABC 中，若3sin A ＋4cos B ＝6，4sin B ＋3cos A ＝1，则角C 为( )A ．30°B ．30°或150°C ．150°D ．60°10.在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1－a n ＝sin （n ＋1）π2，记S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 2014＝( )A ．0B ．2014C ．1008D ．1007 11.已知a n ＝n －2015n －2016(n ∈N *)，则数列{a n }的前50项中最小项和最大项分别是( )A ．a 1，a 50B ．a 1，a 44C ．a 45，a 50D ．a 44，a 4512.对于数列{x n }，若对任意n ∈N *，都有x n ＋x n ＋22<x n ＋1成立，则称数列{x n }为“减差数列”．设b n ＝2t －tn －12n －1，若数列b 3，b 4，b 5，…是“减差数列”，则实数t的取值范围是( )A ．(－1，＋∞)B ．(－∞，－1]C ．(1，＋∞)D ．(－∞，1]第Ⅱ卷(共90分)二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13. 设数列{a n }的通项公式为a n ＝1n ＋n ＋1，则10－3是此数列的第____项．14. 已知数列{}n a 中，12a =,1231n n n a a +=++,则数列{}n a 的通项公式n a = 15.函数y ＝(sin x －2)(cos x －2)的最大值是________．16.已知sin x ＋sin y ＝13，则sin y －cos 2x 的最大值是________．三、解答题（本题共6小题，共70分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （本小题满分10分） 已知函数f(x)＝cos (2x －π3)＋sin 2x －cos 2x. (1)求函数f(x)的最小正周期及图像的对称轴方程； (2)设函数g(x)＝[f(x)]2＋f(x) ，求g(x)的值域．18. （本小题满分12分）△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .向量m ＝(a ，3b )与n ＝(cos A ，sin B )平行．(1)求A ； (2)若a ＝7，b ＝2，求△ABC 的面积． 19. （本小题满分12分）已知函数f(x)＝22cos (x ＋π4)cos (x －π4)＋22sin x cos x.(1)求f(x)的最小正周期和最大值；(2)在图中给出的坐标系中画出函数y ＝f(x)在区间[0，π]上的图像，并说明 y ＝f(x)的图像是由y ＝sin 2x 的图像怎样变换得到的．20（本小题满分12分）已知递增的等比数列{a n }满足a 2＋a 3＋a 4＝28，且a 3＋2是a 2，a 4的等差中项． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝a n ·12log n a ，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，求使S n ＋n ·2n ＋1>50成立的正整数n的最小值．21. （本小题满分12分）已知数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ＝2a n －n . (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝a n a n ＋1，记数列{b n }的前n 项和为T n ，证明：－13<T n －n2<0. 22. （本小题满分12分）设数列{a n }的前n 项和为S n ，且首项a 1≠3，a n ＋1＝S n ＋3n (n ∈N *)． (1)求证：数列{S n －3n }是等比数列； (2)若{a n }为递增数列，求a 1的取值范围．沈阳二中2015—2016学年度下学期期末考试高一（18届）数学试题答案一、选择题1.B2.C3.C4.D5.D6. A7.D8. C9. A 10. C 11.D 12.C二、填空题13. 9 14. 31n n a =- 15. 92＋2 2 16. 49三、解答题（本题共6小题，共70分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （本小题满分10分）解：(1)f (x )＝12cos 2x ＋32sin 2x ＋sin 2x －cos 2x ＝12cos 2x ＋32sin 2x －cos 2x ＝sin(2x －π6)，所以最小正周期T ＝2π2＝π.由2x －π6＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π2＋π3(k ∈Z )，故函数f (x )图像的对称轴方程为x ＝k π2＋π3(k ∈Z )．(2)g (x )＝[f (x )]2＋f (x )＝sin 2(2x －π6)＋sin(2x －π6)＝[sin(2x －π6)＋12]2－14.当sin(2x －π6)＝－12时，g (x )取得最小值－14；当sin(2x －π6)＝1时，g (x )取得最大值2.所以g (x )的值域为[－14，2]．18. （本小题满分12分）解答 (1)因为m ∥n ，所以a sin B －3b cos A ＝0， 由正弦定理得sin A sin B －3sin B cos A ＝0，又sin B ≠0，从而tan A ＝3，由于0<A <π，所以A ＝π3.(6分)(2)由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，而a ＝7，b ＝2，A ＝π3，得7＝4＋c 2－2c ，即c 2－2c －3＝0， 因为c >0，所以c ＝3.故△ABC 的面积为12bc sin A ＝332.(12分)19. （本小题满分12分）解(1)最小正周期T ＝π，f (x )max ＝2(2)先将y ＝sin 2x 的图像向左平移π8个单位长度，得到y ＝sin(2x ＋π4)的图像，再将y ＝sin(2x ＋π4)的图像上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍，横坐标不变，得到y ＝2sin(2x ＋π4)的图像．20（本小题满分12分）解：(1)设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q. 依题意有2(a 3＋2)＝a 2＋a 4，代入a 2＋a 3＋a 4＝28，得a 3＝8，∴a 2＋a 4＝20， ∴⎩⎨⎧a 1q ＋a 1q 3＝20，a 3＝a 1q 2＝8，解得⎩⎨⎧q ＝2，a 1＝2或⎩⎨⎧q ＝12，a 1＝32. 又{a n }是递增数列，∴q ＝2，a 1＝2，∴a n ＝2n . (2)∵b n ＝2n ·12log n a ＝－n·2n ，∴－S n ＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n×2n ，①∴－2S n ＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋(n －1)×2n ＋n×2n ＋1.② ①－②得S n ＝2＋22＋23＋ (2)－n·2n ＋1＝2（1－2n ）1－2－n·2n ＋1＝2n ＋1－n·2n ＋1－2.S n ＋n·2n ＋1>50，即2n ＋1－2>50，∴2n ＋1>52，故使S n ＋n·2n ＋1>50成立的正整数n 的最小值为5.21. （本小题满分12分）解：(1)因为S n ＝2a n －n ，所以当n ＝1时，S 1＝a 1＝2a 1－1，所以a 1＝1.又S n ＋1＝2a n ＋1－n －1，得a n ＋1＝2a n ＋1－2a n －1，得a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)，又a 1＋1＝2，所以a n ＋1＝2n ，故a n ＝2n －1.(2)证明：因为b n ＝a n a n ＋1＝2n －12n ＋1－1，所以b n －12＝－12n ＋2－2，所以T n －n 2＝－123－2＋124－2＋…＋12n ＋2－2<0，得T n －n2<0.又12n ＋2－2＝12n －2＋3·2n ≤13·2n ，所以T n －n 2≥－1312＋122＋…＋12n ＝－13＋13·2n>－13.所以－13<T n －n 2<0. 22. （本小题满分12分）解：(1)证明：∵a n ＋1＝S n ＋3n (n ∈N *)，∴S n ＋1＝2S n ＋3n ， ∴S n ＋1－3n ＋1＝2(S n －3n )．又∵a 1≠3，∴数列{S n －3n }是公比为2，首项为a 1－3的等比数列．(2)由(1)得，S n －3n ＝(a 1－3)×2n －1，∴S n ＝(a 1－3)×2n －1＋3n . 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(a 1－3)×2n －2＋2×3n －1. ∵{a n }为递增数列，∴当n ≥2时，(a 1－3)×2n －1＋2×3n ＞(a 1－3)×2n －2＋2×3n －1， ∴2n －212×32n －2＋a 1－3>0，∴a 1＞－9. ∵a 2＝a 1＋3＞a 1，∴a 1的取值范围是a 1＞－9.。
辽宁高一高中数学期末考试带答案解析
辽宁高一高中数学期末考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.表示自然数集，集合,则( )A．B．C．D．2.在区间上不是增函数的是（）A．B．C．D．3.下列不等式正确的是（）A．B．C．D．4.已知两条直线和互相垂直，则等于( )A．B．C．D．5.函数的定义域是 ( )A．B．C．D．6.圆和的位置关系为（）A．外切B．内切C．外离D．内含7.已知两条不同的直线，两个不同的平面，则下列命题中正确的是( )A．若则B．若则C．若则D．若则8.下列判断正确的是（）A．棱柱中只能有两个面可以互相平行B．底面是正方形的直四棱柱是正四棱柱C．底面是正六边形的棱台是正六棱台D．底面是正方形的四棱锥是正四棱锥9.若直线和圆相切与点，则的值为（）A．B．C．D．10.侧棱长为的正三棱锥的侧面都是直角三角形，且四个顶点都在一个球面上，则球的表面积为（）A．B．C．D．11.已知函数，在区间内存在使，则的取值范围是( )A．B．C．D．12.定义在R上的函数满足：的图像关于轴对称，并且对任意的有，则当时，有( )A．B．C．D．二、填空题1.在空间直角坐标系中，在轴上求一点C，使得点C到点与点的距离相等，则点C的坐标为2.已知函数，则3.下列四个几何体中，每个几何体的三视图有且仅有两个视图相同的是4.已知点,点是圆上任意一点，则面积的最大值是三、解答题1.已知集合，，且，求2.已知一个几何体的三视图（单位：cm）如图所示，求（1）该几何体的体积（2）该几何体的表面积3.如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，，且点满足.（1）证明：平面 .（2）在线段上是否存在点，使得平面？若存在，确定点的位置，若不存在请说明理由 .4.设，其中为常数（1）为奇函数，试确定的值（2）若不等式恒成立，求实数的取值范围5.直线：，圆方程为（1）求证：直线和圆相交（2）当圆截直线所得弦最长时，求的值（3）直线将圆分成两个弓形，当弓形面积之差最大时，求直线方程6.分已知函数是上的奇函数，且（1）求的值（2）若，，求的值（3）若关于的不等式在上恒成立，求的取值范围辽宁高一高中数学期末考试答案及解析一、选择题1.表示自然数集，集合,则( )A．B．C．D．【答案】B【解析】集合B的补集是除0,3,6,9,12以外的自然数构成的集合，而集合，所以，故选B。
辽宁省2021-2022高一数学下学期期末考试试题(含解析) (2)
辽宁省2021-2022高一数学下学期期末考试试题（含解析）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.在区间[]1,6上随机选取一个数a ，则3a ≤的概率为（ ） A.45B.35C.25D.15【答案】C 【解析】 【分析】根据几何概型概率公式直接求解可得结果. 【详解】由几何概型概率公式可知，所求概率312615p -==- 本题正确选项：C【点睛】本题考查几何概型中的长度型概率问题的求解，属于基础题.2.为了从甲、乙两组中选一组参加“喜迎国庆共建小康”知识竞赛活动.班主任老师将两组最近的6次测试的成绩进行统计，得到如图所示的茎叶图.若甲、乙两组的平均成绩分别是x x 甲乙，.则下列说法正确的是（ ）A. x x >甲乙，乙组比甲组成绩稳定,应选乙组参加比赛B. x x >甲乙，甲组比乙组成绩稳定.应选甲组参加比赛C. x x <甲乙，甲组比乙组成绩稳定.应选甲组参加比赛D. x x <甲乙，乙组比甲组成绩稳定,应选乙组参加比赛 【答案】D 【解析】 【分析】由茎叶图数据分别计算两组的平均数；根据数据分布特点可知乙组成绩更稳定；由平均数和稳定性可知应选乙组参赛. 【详解】727879858692826x +++++==甲；788687879193876x +++++==乙x x ∴<甲乙乙组的数据集中在平均数附近∴乙组成绩更稳定∴应选乙组参加比赛本题正确选项：D【点睛】本题考查茎叶图的相关知识，涉及到平均数的计算、数据稳定性的估计等知识，属于基础题.3.已知随机事件A 和B 互斥，且()0.5P AUB =,()0.3P B =.则()P A =（ ） A. 0.5 B. 0.2C. 0.7D. 0.8【答案】D 【解析】 【分析】根据互斥事件的概率公式可求得()P A ，利用对立事件概率公式求得结果. 【详解】A 与B 互斥()()()P A B P A P B ∴=+()0.50.30.2P A ∴=-=()()110.20.8P A P A ∴=-=-=本题正确选项：D【点睛】本题考查概率中的互斥事件、对立事件概率公式的应用，属于基础题.4.等差数列{}n a 的首项为1.公差不为0，若236,,a a a 成等比数列，则数列{}n a 的前10项和为（ ） A. 80- B. 80 C. 24- D. 24【答案】A 【解析】 【分析】根据等比中项定义可得2326a a a =⋅；利用1a 和d 表示出等式，可构造方程求得d ；利用等差数列求和公式求得结果.【详解】由题意得：2326a a a =⋅设等差数列{}n a 公差为()0d d ≠，则()()()211125a d a d a d +=++即：()()()212115d d d +=++，解得：2d =-101109101090802S a d ⨯∴=+=-=- 本题正确选项：A【点睛】本题考查等差数列基本量的计算，涉及到等比中项、等差数列前n 项和公式的应用；关键是能够构造方程求出公差，属于常考题型.5.在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .若cos cos sin b C c B a A +=,则角A 的值为（ ） A.3πB.6π C.2π D.23π 【答案】C 【解析】 【分析】根据正弦定理将边化角，可得()2sin sin B C A +=，由()sin sin B C A +=可求得sin A ，根据A 的范围求得结果.【详解】由正弦定理得：()2sin cos sin cos sin sin B C C B B C A +=+=A B C π++=()()sin sin sin B C A A π∴+=-=()0,A π∈sin 0A ∴≠sin 1A ∴=2A π∴=本题正确选项：C【点睛】本题考查正弦定理边角互化的应用，涉及到两角和差正弦公式、三角形内角和、诱导公式的应用，属于基础题.6.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S .且1111S π=，则6tan 3a π⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）3 B. 3 C. 33 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列性质可知11611S a =，求得6a ，代入可求得结果. 【详解】()1111161111112a a S a π+===6a π∴=62tan tan 333a ππ⎛⎫∴-==- ⎪⎝⎭本题正确选项：C 【点睛】本题考查三角函数值的求解，关键是能够灵活应用等差数列下标和的性质，属于基础题. 7.已知0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，3sin 5α=，则tan2α=（ ）A.724B. 724-C.247D. 247-【答案】C 【解析】 【分析】根据同角三角函数关系可求得tan α；由二倍角的正切公式可求得结果.【详解】0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，3sin 5α=3tan 4α∴=232tan 242tan 291tan 7116ααα∴===--本题正确选项：C【点睛】本题考查二倍角的正切公式、同角三角函数关系的应用，属于基础题.8.袋子中有大小、形状完全相同的四个小球，分别写有和、“谐”、“校”“园”四个字，有放回地从中任意摸出一个小球，直到“和”、“谐”两个字都摸到就停止摸球，用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止摸球的概率。
2021-2022学年辽宁省沈阳市高一下学期期末数学试题【含答案】
2021-2022学年辽宁省沈阳市高一下学期期末数学试题一、单选题1．若，则（ ）101i 1i z -=-z=A ．1BC ．2D ．B【分析】先由复数的乘、除法公式化简，再由复数的模长公式即可求出答案.1i z =+【详解】由题得()()()21i 1i1i 1i z +==+-+=故选：B.2．已知向量，，.若，则（ ）()2,1a =-()1,1b =c a kb =+ a c ⊥ k =A ．5B ．3C ．0D ．-3A【分析】利用向量线性运算法则和垂直关系得到方程，求出5k =【详解】因为向量，，()2,1a =-()1,1b =所以，()2,1c a kb k k =+=-++因为，a c ⊥ 所以，4210k k -++=解得:，5k =故选：A.3．若，则（ ）()()2sin 2022πcos π23πcos 3cos 2αααα+-+=⎛⎫-- ⎪⎝⎭πtan 4α⎛⎫+=⎪⎝⎭A ．B ．C ．D ．113113-311311-D【分析】利用诱导公式、同角三角函数的基本关系式化简已知条件，求得，进而tan α求得.πtan 4α⎛⎫+ ⎪⎝⎭【详解】依题意：()()2sin 2022πcos π23πcos 3cos 2αααα+-+=⎛⎫-- ⎪⎝⎭即，解得，2sin cos 2tan 12sin 3cos tan 3αααααα++==----7tan 4α=-所以．πtan 13tan 41tan 11ααα+⎛⎫+==-⎪-⎝⎭故选：D4．已知，，，则（ ）cos1a =sin 2b =tan 3c =A ．B ．C ．D ．a b c <<c b a<<b c a<<c a b<<D【分析】依次判断出的范围，再比较大小即可.,,a b c【详解】由题意知，，tan 30c =<0cos1cos4a π<=<=2sin 2sin 3b π=>=故.c a b <<故选：D.5．在中，三内角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，且b ＝2，B ＝45°．若利ABC 用正弦定理解仅有唯一解，则（ ）ABCA ．0＜a ≤2B ．2＜aC ．0＜a ≤2或aD ．0＜a ≤2或a ＝D【分析】由正弦定理判断.【详解】解：由正弦定理得：sin sin a bA B ==所以，a A =因为，所以，45B =18045135A C +=-=因为仅有唯一解，ABC 所以A ，C 的值确定，当时，，仅有唯一解，此时45A ≤90C >ABC 0sin A <≤则0＜a ≤2，当时，，仅有唯一解，此时90A = 45C =ABC a =当，且时，有两解，不符合题意，45135A <<90A ≠ ABC综上：0＜a ≤2或a =故选：D ．6．如图，一个底面半径为的圆锥，其内部有一个底面半径为a 的内接圆柱，且此2a，则该圆锥的体积为（ ）.3aA B C ．D ．3a 3a 3a 3aB【分析】作出该几何体的轴截面，求出内接圆柱的高，利用三角形相似求出圆锥的高，即可求的其体积.【详解】作出该几何体的轴截面如图示：AB 为圆锥的高，设内接圆柱的高为h ，而 ,2,BC a BD r a ===，即，3a 23πa h a =则，h =由于,故，则,AB ED ∥CAB CED △∽△h DCAB BC =即，故，22a a a -=AB =所以圆锥体积为 ，231π(2)3V a a=⨯⨯=故选：B7．圭表（如图甲）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”）．当太阳在正午时刻照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图乙是一个根据某地的地理位置设计的圭表的示意图，已知某地冬至正午时太阳高度角（即）大ABC ∠约为15°，夏至正午时太阳高度角（即）大约为60°，圭面上冬至线与夏至线ADC ∠之间的距离（即DB 的长）为a ，则表高（即AC 的长）为（）A ．BCD(2aD【分析】根据图形，找到角度与边长之间的关系求解.【详解】．()tan tan15tan 45302ABC ∠=︒=︒-︒===在中，，在中，ABC (2tan ACBC ACABC ==∠ADC．tan tan 60AC AC CD ACADC ===∠︒由，得(22DBBC CD AC AC AC a ⎛=-=== ⎝，AC ==故选：D．8．已知正三棱锥P -ABC ，底面边长为3，高为1，四边形EFGH 为正三棱锥P -ABC 的一个截面，若截面为平行四边形，则四边形EFGH面积的最大值为（ ）A B C ．D 32C【分析】又正三棱锥的性质求得三棱锥的侧棱长，结合平行四边形的面积公式及基本不等式求最值即可得解.【详解】设侧棱长为，则由底面边长为3，高为1可求得，a 1=2a =如图，设，则，且，于是AEAP λ=FG BF AE EH PC BP AP PC λ====1EF GH AB AB λ==-，()2,31EH EF λλ==-所以，()()21323161622EFGHS EH EF λλλλλλ+-⎛⎫=⋅=⋅-=-≤⋅= ⎪⎝⎭当且仅当即时取等号1λλ=-12λ=.故四边形的面积最大值为，EFGH 32故选：C.二、多选题9．已知的内角，，所对的边分别为，，，下列四个命题中正确的ABC A B C a b c 命题是（ ）A ．若，则sin sin AB >a b>B ．若是锐角三角形，则恒成立ABC sin cos A B >C ．若，则一定是直角三角形cos cos b C c B a -=ABC D ．若，则一定是锐角三角形222sin sin cos 1A C B +>+ABC ABC【分析】利用正弦定理边角互化可以判断出A 正确；由三角形内角和为，结合诱导π公式可推得B 正确；利用正弦定理及余弦定理即可判断出C 正确；利用同角三角函数的基本关系式及正弦定理及余弦定理结合三角形知识判断出D.【详解】对于A ，因为，所以由正弦定理得，所以，所以Asin sin A B >22a b R R >a b >正确；对于B ，若为锐角三角形，可得且，ABC 2A B π+>,(0,2A B π∈可得，且，2A Bπ>-(0,22B ππ-∈根据正弦函数的单调性，可得，所以，所以B 正确；sin sin()2A B π>-sin cos A B >对于C ，由正弦定理及，知，cos cos b C c B a -=sin cos sin cos sin B C C B A -=所以，因为，则或，又sin()sin B C A -=,0B C A πππ-<-<<<B C A -=B C A π-+=，则，三角形为直角三角形，故C 正确；A B C π++=2B π=对于D ，若，则,由正弦定理得222sin sin cos 1A C B +>+222sin sin sin 0A C B +>-，则角B 为锐角，但不一定是锐角三角形，故D 错误；2220a c b +->ABC 故选：ABC.10．已知函数的部分图象如图所示，下列说()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭法正确的是（ ）A ．函数的图象关于点对称()y f x =π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．函数的图象关于直线对称()y f x =5π12x =-C ．函数在单调递减()y f x =2ππ,36⎡⎤--⎢⎣⎦D ．该图象向右平移个单位可得的图象π62sin 2y x =ABD根据函数的图象，可求出的解析式，进而对选项逐个分析，可得出答案.()f x 【详解】由函数的图象可得，周期，所以，2A =ππ4π312T ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭2π2π2πT ω===当时，函数取得最大值，即，所以π12x =ππ2sin 221212f ϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则，又，得，ππ22π122k ϕ⨯+=+()k ∈Z π2π3k ϕ=+π2ϕ<π3ϕ=故函数.()π2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭对于A ，当时，，即点是函数π6x =-πππ2sin 22sin 00663f ⎛⎫⎛⎫-=-⨯+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭的一个对称中心，故A 正确；()f x 对于B ，当时，，即直线5π12x =-5π5πππ2sin 22sin 2121232f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-⨯+=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭是函数的一条对称轴，故B 正确；5π12x =-()f x 对于C ，令，解得，则函数ππ3π+2π2+2π232k x k ≤+≤()k ∈Z π7π+π+π1212k x k ≤≤的单调递减区间为，故C 错误；()f x π7π+π,+π1212k k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦()k ∈Z 对于D ，将的图象向右平移个单位后，得到()f x π6的图象，即D 正确.ππ2sin 222sin 263y x x⎛⎫=-⨯+= ⎪⎝⎭故选：ABD.本题考查根据图象求三角函数解析式以及三角函数性质，考查推理能力与计算求解能力，属中档题.11．已知复数（其中为虚数单位，）则下列说法正确的有i z a b =+i ,a R b R ∈∈（ ）A ．若，B ．若，则z z =z R∈zR z ∈z R∈C ．若，则D ．若，则1z z =1z =2z z =0z =AC【分析】利用共轭复数的定义与复数的四则运算法则计算判断.【详解】当，即，得，z z =i i a b a b =+-0b =，A 正确；z R ∴∈，222222i 2i i z a b a b ab a b a b a b z +-==+-++当，则，z R z ∈22220200ab ab a b a b =⎧=⇒⎨+≠+⎩当时，，B 错误；0,0a b =≠z R ∉，即，得，1z z =()()i i 1a b a b +-=221a b +=，C 正确；1=，即，得，22z z=()()22i i a b a b +=-2i 2i ab ab =-，当时，，D 错误；0ab ∴=0,0a b ≠=0z≠故选：AC12．三棱锥中，平面平面ABC ，，S ABC -SAB ⊥390SAB ABC BAC ∠=∠=∠=︒，则（ ）2SA AC ==A ．SA BC⊥B ．三棱锥的外接球的表面积为S ABC -83πC ．点A 到平面SBCD ．二面角S BC A --AD【分析】根据平面ABC 可判断A 正误；求出直径SC ，再根据球的表面积公式课SA ⊥判断B 的正误；根据面面垂直的性质定理可知点A 到平面SBC 的距离为AG ，求出AG 可判断C 正误；根据题意可知∠SBA 为二面角的平面角，进而求出正切S BC A --值可判断D 正误.【详解】对于A ，因为平面平面ABC ，，即，SAB ⊥90SAB ∠=︒SA AB ⊥平面平面，平面SAB ，所以平面ABC ，SAB ABC AB =SA ⊂SA ⊥又因为平面ABC ，所以，故A 正确；BC ⊂SA BC ⊥对于B ，因为，，，SA BC ⊥AB BC ⊥SA AB A ⋂=所以平面SAB ，因为平面SAB ，BC ⊥SB ⊂所以.又平面ABC ，平面ABC ，BC SB ⊥SA ⊥AC ⊂所以，即，SA AC ⊥90SAC SBC ∠=∠=︒所以三棱锥外接球的直径为SC .因为，S ABC -2SA AC ==所以SC ==所以三棱锥的外接球的表面积，故B 错误；S ABC -224482SC S πππ⎛⎫=== ⎪⎝⎭对于C ，因为平面SAB ，平面SBC ，BC ⊥BC ⊂所以平面平面SBC ，过点A 作，交SB 于点G ，SAB ⊥AG SB ⊥根据面面垂直的性质定理，可得平面SBC ，AG ⊥故点A 到平面SBC 的距离为AG ，由，，390ABC BAC ∠=∠=︒2AC =得，则AB =SB ==则C 错误；AB SA AG SB ⨯===对于D ，，，所以∠SBA 为二面角的平面角，SB BC ⊥AB BC ⊥S BC A --在中，D 正确；Rt SAB tan SA SBA AB ∠===故选：AD.三、填空题13．若，，则___________.0,4πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭5sin 413πα⎛⎫-=-⎪⎝⎭cos 2=α120169【分析】由题设条件可解得，而5sin 413πα⎛⎫-=⎪⎝⎭，故由平方关系解得cos2sin 2sin 22sin cos 2444ππππααααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，代入即得所求cos 4πα⎛⎫- ⎪⎝⎭【详解】55sin sin 413413ππαα⎛⎫⎛⎫-=-⇒-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又0,4πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭044ππα⇒<-<所以12cos 413πα⎛⎫-== ⎪⎝⎭cos2sin 2sin 22sin cos 2444ππππααααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦120169=故12016914．已知函数在区间上是增函数，将函数的图像向()()sin 0f x x ωω=>π0,6⎛⎤ ⎝⎦()y f x =左平移个单位后得到的图像与将其向右平移个单位后所得到的图像重合．则的π32π3ω值为________.2【分析】根据增函数确定的范围，结合平移图像间的关系可得的值.ωω【详解】因为函数在区间上是增函数，所以，即()()sin 0f x x ωω=>π0,6⎛⎤⎥⎝⎦62ωππ≤；03ω<≤函数的图像向左平移个单位后得到的函数为()y f x =π3，sin sin 33y x x ωωωππ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭函数的图像向右平移个单位后所得到的函数为()y f x =2π3；2sin sin 33y x x ωωω2ππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为二者的图像重合，所以，，即.2233k ωωππ⎛⎫--=π⎪⎝⎭Z k ∈2k ω=所以.2ω=故2.15．在三棱锥中，平面ABC ，，．以A 为球P ABC -PA ⊥AC CB ⊥4===PA AC BC 心，表面积为的球面与侧面PBC 的交线长为______．36ππ【分析】利用线面垂直的性质定理及判定定理证得平面PBC ，进而知球面与侧AH ⊥面PBC 的交线为以为圆心，半径为1的半圆弧，利用弧长公式求解.H 【详解】设以A 为球心的球的半径为，则，解得R 2436R ππ=3R =如图，取中点，由，PC H PA AC =AH PC ∴⊥又平面ABC ，平面ABC ，PA ⊥BC ⊂PA BC ∴⊥又，，所以平面PAC ，AC CB ⊥AC PA A ⋂=BC ⊥又平面PAC ，，又，平面PBC ，AH ⊂BC AH ∴⊥BC PC C ⋂=AH ∴⊥又，4===PA ACBC AH ∴=PB =又，1r ==作，则，，HE PB ⊥PEH PCB EH PH CB PB ∴=1PH CB EH PB ⋅∴===>所以球面与侧面PBC 的交线为以为圆心，半径为1的半圆弧，故所求长为H 1ππ⨯=故π四、双空题16．已知平面单位向量，，且，则在方向上的投影向量为a b |||a b a b +=- b a _________；（）的最小值是_________．||a b λ-R λ∈12a2a【分析】分别根据投影向量的定义和单位向量的模化简即可求解.【详解】由，两边平方得，而在方向上的投影向量为|||a b a b +=- 1=2a b b a ，1=2||a b a ab（当时取得最小值）所以其最小值为||a b λ-≥ 12λ=故12a五、解答题17．已知向量，，．()0,6OA =-()8,0OB =(),OC x y =(1)若点A ，B ，C 三点共线，求实数x ，y 满足的关系；(2)若x =1且为钝角，求实数y 的取值范围．ACB ∠(1)；34240x y --=(2)且.71y -<<214y ≠-【分析】（1）根据三点共线可得，结合共线向量的坐标表示可得答案；CA CB ∥（2）根据为钝角，可得且，不共线，利用坐标表示可得结果.ACB ∠0CA CB ⋅<CA CB 【详解】(1)因为A ，B ，C 三点共线，即，CA CB ∥ ，，所以，(),6CA x y =---()8,CB x y =--()()680xy y x ----=即；34240x y --=(2)因为为钝角，所以且，不共线，ACB ∠0CA CB ⋅<CA CB 由（1）得：当，且时，，1x =CA CB ∥ 214y =-因为，不共线，所以，CA CB 214y ≠-，，()1,6CA y =---()7,CB y =- ，2760CA CB y y ⋅=-++<解得：，71y -<<所以且.71y -<<214y ≠-18．如图，已知等腰梯形ABCD 的外接圆半径为2，，，点P 是AB CD ∥2AB CD =上半圆上的动点（不包含A ，B 两点），点Q 是线段PA 上的动点，将半圆APB 所在的平面沿直径AB 折起使得平面平面ABCD ．PAB ⊥(1)求三棱锥P －ACD 体积的最大值；(2)当平面QBD 时，求的值．PC ∥PQQA(2)12【分析】（1）根据平面平面ABCD ，可知平面时，三棱锥P －ACD PAB ⊥PO ⊥ABCD 体积最大，利用锥体的体积公式可求答案；（2）根据平面QBD ，确定的位置，结合比例关系可得答案.PC ∥Q 【详解】(1)当时，PO AB ⊥平面，由平面平面，平面平面，PO ⊂PAB PAB ⊥ABCD PAB ⋂ABCD AB =知平面，PO ⊥ABCD 此时，到平面的距离最大，为，P ABCD 2PO =所以，的最大值为P ACD V -11122332ACDS PO ⨯⨯=⨯⨯=(2)连接交于点，连接，AC BD M QM 则平面平面，PAC QBD QM =依题意，平面，平面，所以，PC ∥QBD PC ⊂PAC PC QM ∥所以，，PQCM QAMA=等腰梯形中，，ABCD MAB MCD △△所以.12PQCM CD QAMAAB===19．已知函数为奇函数，且图()2()2sin 1(0,0 )2x f x x ωϕωϕωϕπ+⎛⎫=++-><< ⎪⎝⎭()f x 象的相邻两对称轴间的距离为.2π(1)求的解析式与单调递减区间；()f x (2)将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标()f x 6π12不变），得到函数的图象，当时，求方程的所有()y g x = 0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()22()30g x x +-=根的和.(1)，递减区间为，()2sin 2f x x =3,44k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦k ∈Z (2)43π【分析】（1）利用恒等变换化简后，结合三角函数的性质求解；（2）利用图象变换法则求得g (x )的函数表达式，解方程求得g (x )的值，利用换元思想，结合三角函数的图象和性质分析求得.【详解】(1)由题意，2())2sin 1)cos()2x f x x x x ωϕωϕωϕωϕ+⎛⎫=++-+-+ ⎪⎝⎭2sin 6x πωϕ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭图象的相邻两对称轴间的距离为，()f x 2π的最小正周期为，即可得，∴()f x T π=2ω=又为奇函数，则，，()f x 6k πϕπ-=k ∈Z 又，，故，0ϕπ<<6πϕ∴=()2sin 2f x x =令，得3222,22k x k k ππππ++∈Z 3,44k x k k ππππ++∈Z函数的递减区间为，∴()f x 3,44k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦k ∈Z (2)将函数的图象向右平移个单位长度，可得的图象，()f x 6π2sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭再把横坐标缩小为原来的，得到函数的图象，12()2sin 43y g x x π⎛⎫==- ⎪⎝⎭又，则()22()30g x x -=()g x =()g x =即sin 43x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭sin 43x π⎛⎫-=⎪⎝⎭令，当时，，43z x π=-0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦54,333z x πππ⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦画出的图象如图所示：sin y z =,关于对称，即,sin z =12,z z 2z π=12z z π+=有,sin z =345π45,,333z z z ππ=-==在上有两个不同的根，sin 43x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦12,x x ,；124433x x πππ-+-=12512x x π∴+=又，sin 43x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭50,,122ππ所以方程在内所有根的和为.()22()30g x x +-=0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦43π20．《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，已知PA ⊥平面ABC ，平面PAB ⊥平面PBC ．(1)判断四面体P －ABC 是否为鳖臑，并给出证明；(2)若二面角B －AP －C 与二面角A －BC －P 的大小都是，求AC 与平面BCP 所成角4π的大小．(1)四面体P －ABC 为鳖臑，证明见解析(2)6π【分析】（1）作交于，根据面面垂直的性质可得平面，再AD PB ⊥PB D AD ⊥PBC 根据线面垂直的性质与判定证明平面，从而证明四面体P －ABC 四个面都BC ⊥PAB 为直角三角形即可；（2）由（1）连接，根据线面垂直的性质可得AC 与平面BCP 所成角为，CD ACD ∠再求解，从而得到即可sin ACD ∠ACD ∠【详解】(1)作交于，因为PA ⊥平面ABC ，平面ABC ，故AD PB ⊥PB D BC ⊂.又平面PAB ⊥平面PBC ，且平面PAB 平面PBC ，故平面，PA BC ⊥ PB =AD ⊥PBC 又平面，故，又，平面，故平面BC ⊂PBC AD BC ⊥AD PA A ⋂=,AD PA ⊂PAB BC ⊥，故.又PA ⊥平面ABC ，故，故四面体PAB ,BC BP BC BA ⊥⊥,PA AB PA AC ⊥⊥P－ABC 所有面都为直角三角形，故四面体P －ABC 为鳖臑(2)由（1），连接，二面角B －AP －C 的平面角为，二面角A －BC －P 的平面CD BAC ∠角为，故，故均为等腰直角三角形.设ABP ∠4BAC ABP π∠=∠=,BAC ABP ，则又平面，故AC 与平面BCP1AB BC AP ===AC BP ==CP =AD ⊥PBC 所成角为，又，且为锐角，故，即ACD ∠1sin 2AD ACD AC ∠===ACD ∠6π∠=ACD AC 与平面BCP 所成角的大小为6π21．请在①向量，，且；sin ,a c x B b c -⎛⎫= ⎪+⎝⎭ ,sin b c y A c a -⎛⎫= ⎪+⎝⎭ x y ⊥ ②这两个条件中任选一个填入横线上并解答．π2sin 3c A ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在锐角三角形ABC 中，已知角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足条件________．(1)求角C ；(2)若的面积为的取值范围．ABC 2a b +注．如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．(1)π3C =(2)()8,10【分析】（1）选择①时，由向量垂直转化为向量的数量积为零，从而得到 之a b c 、、间的关系，用余弦定理求解即可.选择②时，由正弦定理及三角形内角和定理化简得到结果.（2）由三角形面积公式得到，再由余弦定理得到8ab =，利用锐角三角形列出不等式组，解出2228c a b =+-，构造函数，利用函数的单调性求出范围即可.24a <<()82f a a a =+【详解】(1)选择①：因为x y⊥所以，()()sin sin c a A b c Bb cc a --=++由正弦定理得，，()()c a a b c b cc a b--=++即，即，即，()()2222a c a b b c -=-2233ac bc a b +=+()()()222c a b a b a ab b +=+-+即．因为，222c a b ab =+-2221cos 22a b c C ab +-==又为锐角，所以．C π3C =选择②：因为，π2sin 3c A ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭由正弦定理得，，π2sin sin 3B C A ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．sin sin cos B C A C A =又，()sin sin sin cos cos sin B A C AC A C=+=+．cos sin sin A C CA =因为，sin 0A >sin C C =又为锐角，所以．C tan C π3C =(2)因为1sin 2ABC S ab C === 所以，则．8ab =822a b a a +=+由余弦定理得，．①222222cos 8c a b ab C a b =+-=+-因为为锐角三角形，所以即ABC 0,0,cosA cosB >⎧⎨>⎩2222220,0.b c a a c b ⎧+->⎨+->⎩将①代入上式可得即解得．224,4,b a ⎧>⎨>⎩2284,4,a a ⎧⎛⎫>⎪ ⎪⎨⎝⎭⎪>⎩24a <<令，()82f a a a =+所以在上单调递增，所以，()f a ()24，()()()24f f a f <<即，即的取值范围为．()810f a <<2a b +()8,1022．如图，某公园改建一个三角形池塘，，百米，百米，现准90C =∠2AB =1BC =备养一批观赏鱼供游客观赏.(1)若在△ABC 内部取一点P ，建造连廊供游客观赏，方案一如图①，使得点P 是等腰三角形PBC 的顶点，且，求连廊的长（单位为百米）；23CPB π∠=AP PC PB ++(2)若分别在AB ，BC ，CA 上取点D ，E ，F ，并建造连廊，使得△DEF 变成池中池，放养更名贵的鱼类供游客观赏：方案二如图②，使得△DEF 为正三角形，设为图②中2S △DEF 的面积，求的最小值；方案三如图③，使得DE 平行于AB ，且EF 垂直于2S DE ，设为图③中△DEF 的面积，求的取值范围.3S 3S(2)()2minS =3S ⎛∈ ⎝【分析】（1）先由中的余弦定理求出，再由中的余弦定理求出，PBC PC APC △AP 即可得到答案；（2）分别表示出方案②和方案③中的面积，利用三角函数的性质以及二次函数的性质求解最值即可．【详解】(1)解：因为点是等腰三角形的顶点，且，，P PBC 23CPB π∠=1BC =所以，6PCB π∠=由余弦定理可得，，解得222cos 2PB PC BC PCB PB PC +-∠=⋅PC =又因为，2ACB π∠=故，3ACP π∠=在中，，，所以Rt ACB △2AB =1BC =AC ==在中，由余弦定理可得，，ACP △2222cos3AP AC PC AC PC π=+-⋅⋅解得，AP =故，AP PC PB ++所以连廊AP PC PB ++(2)解：设图②中的正的边长为，，DEF a (0)CEF ααπ∠=<<则，，sin CF a α=sin AF a α=设，1EDB ∠=∠则，213B DEB DEB ππ∠=-∠-∠=-∠，233DEB DEBππαπ=--∠=-∠所以，2133ADF πππα∠=--∠=-在中，由正弦定理可得，，ADF sinsin DF AFA ADF =∠∠即，sin6aπ=即21sin()sin 32a a παα-=-即（其中为锐角，且，a ===θtanθ=所以，即222371sin 602a S =︒()2min S =图③中，设，，BE x =(0,1)x ∈因为，且，//DEAB EF DE ⊥所以，，，3DEC π∠=6FEB π∠=2EFB π∠=所以，cos6EF x π==，222cos3CE DE CExπ===-所以22111(22)))222DEF S EF DE x x x x=⋅⋅=⨯-=-+=-+ 所以当时，，12x =DEF S△DEF S ⎛∈ ⎝ 故3S ⎛∈ ⎝。
2021-2022学年辽宁省鞍山市高一下学期期末数学试题【含答案】
2021-2022学年辽宁省鞍山市高一下学期期末数学试题一、单选题1．i 是虚数单位，计算的结果为（ ）213i +A ．B ．C ．D ．13i 55-13i 55-+13i 44-13i 44-+A【分析】应用复数的除法化简即可.【详解】.22(13i)13i13i (13i)(13i)5--==++-故选：A2．已知θ是第四象限角，且，则（ ）3sin 5θ=-πtan 4θ⎛⎫-=⎪⎝⎭A ．B ．C ．D ．177-17-7B【分析】由已知，根据θ是第四象限角，，可计算出，然后利用3sin 5θ=-3tan 4θ=-正切的和差公式即可求解出.πtan 4θ⎛⎫- ⎪⎝⎭【详解】由已知，θ是第四象限角，，所以，3sin 5θ=-3tan 4θ=-所以.31πtan 14tan 7341tan 1()4θθθ---⎛⎫-===- ⎪+⎝⎭+-故选：B.3．下列命题正确的是（ ）A ．若，且，则()2(1,2),,1a b m =-= a b ⊥ m B ．若，则不共线R,a b λλ∀∈≠ ,a bC ．若是平面内不共线的向量，且存在实数y 使得，则,OB OCOA yOC yOB OC +=+ A ，B ，C 三点共线D ．若，则在上的投影向量为(1,1),(1,2)a b =-= b a 11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭C【分析】利用向量垂直的坐标表示可判断A ，利用向量共线定理可判断BC ，利用投影向量的定义可判断D.【详解】若，且，则，所以A 选项错误；()2(1,2),,1a b m =-= 2,2a b m ⊥=m =若满足，但不满足不共线，所以B 错误；0,0a b ≠= a b λ≠,a b 由，可得，即，故A ，B ，COA yOC yOB OC +=+()OA OC y OB OC -=- CA yCB = 三点共线，所以C 正确；若在上的投影向量为(1,1),(1,2),a b b =-=a ，所以D 错．111||cos ,||,||||222aa b a b a b b a a a a b⋅⎛⎫〈〉⋅=⋅⋅==- ⎪⎝⎭⋅ 故选：C ．4．设、、为三个平面，l 、m 、n 为三条直线，则下列说法正确的是（ ）αβγA ．若，，则；m α⊂//l m //l αB ．若l 上有两点到的距离相等，则；α//l αC ．、、两两相交于三条直线l 、m 、n ，若，则；αβγ//l m //n m D ．若，，，，则m α⊂n ⊂α//m ββn////αβC【分析】由直线与平面平行的判定定理判定A ；由直线与平面的位置关系判定B ；由直线与平面平行的判定与性质判断C ；由平面与平面平行的判定判断D ．【详解】解：若，，则或，故A 错误；m α⊂//l m //l αl α⊂若上有两点到的距离相等，则或或与相交，故B 错误；l α//l αl α⊂l α，，两两相交于三条直线，，，不妨设，，，αβγl m n l αβ= m βγ= n αγ= 若，则，又，，，则，故C 正确；//l m //l γl α⊂nαγ= //l n ∴//n m 若，，，，且与相交，则，当与不相交时，不一m α⊂n ⊂α//m ββn//m n //αβm n 定有，故D 错误．//αβ故选：C ．5．若，，则（ ）()0,πα∈1sin cos 2αα+=cos 2=αAB ．C．D ．3434-B【分析】将平方，根据结果可判断，继而求得1sin cos 2αα+=π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，利用二倍角余弦公式即可求得答案.cos sin αα-=【详解】∵，平方可得，1sin cos 2αα+=112sin cos 4αα+=∴，2sin cos 3sin 24ααα==-∴，异号，又，sin αcos α()0,πα∈∴，π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭∴，()27sin cos 1sin 24ααα-=-=∴,sin cos αα-=cos sin αα-=则()()22cos 2cos sin cos sin cos sin ααααααα=-=-+=所以，cos 2α=故选：B.6．已知菱形ABCD 边长为8，∠BAD ＝60°，对角线AC 与BD 交于点O ，将菱形ABCD 沿对角线BD 翻折成平面角为θ的二面角，若θ∈[90°，120°]，则翻折后点O 到直线AC 距离的取值范围为（ ）A ．B ．[C ．[D ．]B【分析】根据菱形结合图形分析可得∠AOC ＝θ，利用几何知识可得点O 到AC 的距离，结合题意运算求解．12d AOC=∠【详解】∵AO ⊥BD ，CO ⊥BD ，∴由二面角的定义知∠AOC ＝θ，θ∈[90°，120°]，∵菱形ABCD 的边长为8，∠BAD ＝60°，∴AO ＝CO ＝∴点O 到AC 的距离，1cos 2d AOC=∠当∠AOC ＝θ＝90°时，d 取得最大值max d ==当∠AOC ＝θ＝120°时，d 取得最小值min12d ==∴点到直线AC 的距离的取值范围为[．故选：B ．7．在中，已知角所对的边分别为，若.为线ABC ,,A B C ,,a b c sin cos a B b A +=D段的中点，且，的面积为（ ）BC AD =BC =ABCA B ．C ．D ．1D【分析】利用正弦定理边化角可化简已知等式求得；根据4A π=，利用余弦定理可构造方程求得；在中，利用cos cos 0ADB ADC ∠+∠=22b c +ABC 余弦定理可得，代入三角形面积公式即可求得结果.bc 【详解】由正弦定理得：，sin sin sin cos A B B A B +=，，，()0,B π∈ sin 0B ∴≠sin cos 4A A A π⎛⎫∴+=+= ⎪⎝⎭，，，解得：；()0,A π∈ 5,444A πππ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭42A ππ∴+=4A π=，，ADB ADC π∠+∠= cos cos 0ADB ADC ∴∠+∠=，解得：；0=2224b c +=由余弦定理得：，解得：2222cos 2420BC b cbc A =+-==bc =.11sin 122ABC S bc A ∴==⨯= 故选：D.8．图1中的机械设备叫做“转子发动机”，其核心零部件之一的转子形状是“曲侧面三棱柱”，图2是一个曲侧面三棱柱，它的侧棱垂直于底面，底面是“莱洛三角形”，莱洛三角形是以正三角形的三个顶点为圆心，正三角形的边长为半径画圆弧得到的，如图3.若曲侧面三棱柱的高为5，底面任意两顶点之间的距离为20，则其侧面积为（ ）A ．B ．100π600πC ．D ．200π300πA【分析】由莱洛三角形是以正三角形的三个顶点为圆心，正三角形的边长为半径画圆弧得到的，结合已知可得半径为20，由弧长公式求得底面周长，进而可求得结果.【详解】莱洛三角形由三段半径为20，圆心角为的圆弧构成，所以该零件底面周长π3为，故其侧面积为．π32020π3⨯⨯=20π5=100π⨯故选：A.二、多选题9．在棱长为1的正方体中，下列选项正确的有（ ）1111ABCD A B C D -A ．平面//AD 11A BC B ．平面1DB ⊥11A BC C ．三棱锥的外接球的表面积为11D A BC -12πD ．三棱锥的体积为11D A BC -13BD【分析】对A ，根据，且与平交判断即可；//AD BC BC 11A BC对B ，证明， 即可；111A C DB ⊥11BC DB ⊥对C ，根据三棱锥的外接球即正方体的外接球求解即可；11D A BC -1111ABCD A B C D -对D ，根据求解即可11111111111D A BC A ABD C CBD B A B C D A D C V V V V V -----=----【详解】对A ，因为， 与平交于，故与平交，故A 错//AD BC BC 11A BC B AD 11A BC 误；对B ，连接，，因为正方体，故，，11A C 11B D 1111ABCD A B C D -1111AC B D ⊥111A C DD ⊥，故平面，故，同理，又1111B D DD D = 11A C ⊥11DBB D 111A C DB ⊥11BC DB ⊥，故平面，故B 正确；1111A C BC C Ç=1DB ⊥11A BC 对C ，三棱锥的外接球即正方体的外接球，易得其直径为11D A BC -1111ABCD A B C D -，故外接球的表面积，故C错误；1DB243S ππ==对D ，，故D 正11111111111D A BC A ABD C CBD B A B C D A D C V V V V V -----=----11114111323=-⨯⨯⨯⨯⨯=确故选：BD10．已知函数图像的一条对称轴和一个对称中心的最小距离π()sin (0)6f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭为，则（ ）34πA ．函数的最小正周期为()f x 3πB ．将函数的图像向左平移个单位长度后所得图像关于原点对称()f x π4C ．函数在上为增函数()f x 5π,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．设，则在内有20个零点()324g x x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ ()g x (10π,10π)-AB【分析】根据题意可得，则，所以选项A 正确；将函数的图344T π=2π3T ω==π()f x 像向左平移个单位长度得为奇函数，其图像关于原点对称，所以选项B π42sin 3y x=正确；在上为减函数，所以选项C 错误；函数共有个零点.所以选()f x 5π,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦()g x 19项D 错误.【详解】解：根据题意可得，则，即，所以选项A 正确；344T π=2π3T ω==π23ω=，将函数的图像向左平移个单位长度得2π()sin 36f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()f x π4，∵为奇函数，其图像关于原点对称，所以选2ππ2sin sin 3463y x x ⎡⎤⎛⎫=+-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦2sin 3y x =项B 正确；∵，则，∴在上为减函数，所以选项C 错误；5π,π2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦2ππ3,π3622x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦()f x 5π,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则3π()24||||sin g x x x xf x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭()()||sin ||(s n )i x xg x x x g x -=-=--=-∴为奇函数，当时，，令或,()g x 0x ≥()sin g x x x =()sin 0,0g x x x x ==∴=x k π=. 因为，所以，所以共有1+2个零点.所以选项k Z ∈10x π<1,2,3,4,5,6,7,8,9k =9=19⨯D 错误. 故选：AB ．11．下列选项中描述的多面体，一定存在外接球的有（ ）A ．侧面都是矩形的三棱柱B ．上、下底面是正方形的四棱柱C ．底面是等腰梯形的四棱锥D ．上、下底面是等边三角形的三棱台AC多面体存在外接球，其表面的多边形均有外接圆，根据选项中的多面体特征进行辨析.【详解】多面体存在外接球，则其表面的多边形均有外接圆.对于A ，侧面都是矩形的三棱柱，表面由矩形和三角形构成，满足条件；对于B ，上、下底面是正方形的四棱柱，侧面可能为斜的平行四边形，不满足条件；对于C ，底面为等腰梯形的四棱锥，表面由等腰梯形、三角形构成，满足条件；对于D ，上、下底面是等边三角形的三棱台，侧面梯形不一定有外接圆，比如有一条侧棱垂直于底面的情况，故D 不满足条件.故选：AC此题考查几何体特征的辨析，根据几何体的结构特征判定是否有外接球.12．在中，、、分别为角、、的对边，已知，ABC a b c A B C cos cos 2B bC a c =-，且，则（）ABC S b =A ．B ．C ．D ．1cos 2B =1sin 2B =1ac =a c +=ACD【分析】利用正弦定理化简得出的值，结合角的取值范围可求出的值，可判cos B B B 断AB 选项的正误；利用三角形面积公式可判断C 选项的正误；利用余弦定理可判断D 选项的正误.【详解】由及正弦定理可得，cos cos 2B bC a c =-2sin cos cos sin sin cos A B B C B C -=即，()2sin cos sin cos cos sin sin sin A B B C B C B C A=+=+=、，则，故，所以，，A ()0,B π∈sin 0A >1cos 2B =3B π=由可知且，即且，cos cos 2B bC a c =-cos 0C ≠2ca ≠2C π≠2c a ≠，则，1sin 2ABC S ac B ===△1ac =由余弦定理可得，()()222222222cos 33b ac ac B a c ac a c ac a c==+-=+-=+-=+-故，a c +=由，解得或，显然满足且，1a c ac ⎧+=⎪⎨=⎪⎩a c ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩a c ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩2C π≠2c a ≠所以，ACD 选项正确，B 选项错误.故选：ACD.三、填空题13．在《九章算术》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”.如图，四棱锥为阳马，侧棱底面ABCD ，，E 为棱PA P ABCD -PA ⊥PA AB AD ==的中点，则直线CE 与平面PAD 所成角的余弦值为___________.【分析】首先证明平面，再根据线面角的定义，即可作出线面角，再计算CD ⊥PAD 线面角的大小.【详解】因为平面ABCD ，平面ABCD ，故可得，又，PA ⊥CD ⊂CD PA ⊥CD AD ⊥，平面，PA AD A ⋂=,PA AD ⊂PAD 故可得平面PAD .连接ED .故即为所求直线CE 与平面PAD 所成角.CD ⊥CED ∠不妨设，故在直角三角形CDE 中，2PA AB AD ===，2CD =DE ==故可得.则3CE ==cos DE CED CE ∠==则直线CE 与平面PAD .14．已知，，，则__________.2a = 4b = 4a b ⋅=- 2a b +=4【分析】利用平面向量模的运算可求得结果.【详解】因为，，，||2a = ||4b = 4a b ⋅=-所以2a =4==故415．在正三棱锥中，，M 是棱PC 上的任意一点，则P ABC -PB ==的最小值是___________．AM MB +【分析】借助于侧面展开图，则可得的最小值即为，此时2AM MB MB +=2AB BM =，利用余弦定理可得，结合等面积法求．AB PC ⊥cos PBC ∠=BM 【详解】如图，借助于侧面展开图，则可得AM MB=的最小值即为，此时2AM MB MB +=2AB BM =AB PC⊥在△中PBC∵222cos 2PB BC PC PBC PB BC +-∠==⋅sin PBC ∠==∴，则11sin 22PB BC PBC PC BM ⨯⨯∠=⨯BM =的最小值为AM MB +2BM =．16．如图，在中，已知，D 是斜边AB 上任意一点（不含端点）Rt ABC 43BC AC ==，沿直线CD 将折成直二面角，当___________时，折叠后A ､B ABC B CD A --AD =两点间的距离最小.157127【分析】根据题意作出图形，作A 作于E ，作点B 作于F ，然后AE CD ⊥BF CD ⊥，进而求出，进而用勾股定理得到，最后通02ACD πθθ⎛⎫∠=<< ⎪⎝⎭,,,AE BF CE EF AB '过三角变换与三角函数的图象和性质求得答案.【详解】如图，设翻折后点B 位于点处，即求最小时AD 的长度.B 'AB '设，作A 作于E ，作点B 作于F ，根据题意，02ACD πθθ⎛⎫∠=<< ⎪⎝⎭AE CD ⊥BF CD ⊥平面平面，且交于，所以平面.B CD '⊥ACD CD AE ⊥B CD '，，所3sin ,4sin 4cos ,3cos ,2AE BF CE πθθθθ⎛⎫==-== ⎪⎝⎭4cos 4sin 2CF πθθ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭以.4sin 3cos EF CF CE θθ=-=-易得，所以AE B E '⊥AB '==.==于是，当时，即当CD 为的角平分线时，最小.此时，又4πθ=ACB ∠AB '34AD AC DB CB ==，解得.5AD DB +=157AD =故答案为.157四、解答题17．已知平面向量，.)cos ,1m x x =- ()2cos ,1n x =(1)若，，求实数x 的值；m n ∥π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦(2)求函数的单调递增区间.()f x m n=⋅ (1)π3(2)ππ[π,π],Z63k k k -++∈【分析】（1）根据向量共线的坐标表示，列出方程，结合三角函数的性质，可求得答案;（2）根据数量积的坐标表示求得函数的表达式，结合三角函数的恒等变换进行化简，可得，利用正弦函数的性质求得其单调增区间.π()2sin(2)6f x x =-【详解】(1)由 ，m n ∥cos 2cos 0x x x --=，即，3cos 0x x -=π3x -=由于，故；π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦π3x =(2)()cos )2c os 1x f x m x n x -⨯+=⋅=2cos 2cos 12cos 2x x x x x =-+=- ，π2sin(26x =-令,即，πππ2π22π,Z 262k x k k -+≤-≤+∈ππππ,Z63k x k k -+≤≤+∈即函数的单调递增区间为.()f x m n=⋅ππ[π,π],Z63k k k -++∈18．已知复数在复平面内对应的点为Z ．()()()23i z m m m m R =-++∈(1)若，求（为z 的共轭复数）；2m =z z ⋅z (2)若点Z 在直线上，求．y x =||z (1)29；(2)或||z =||z =【分析】（1）根据复数的乘法运算即可求得答案；（2）根据题意可知，进而解出m ，最后求出复数的模.23m m m +=-【详解】(1)若，此时，．2m =25i z =+25i z =-.(25i)(25i)42529z z ∴⋅=+-=+=(2)若点Z 在直线上，则，即，y x =23m m m +=-2230m m --=解得：或，此时或．1m =-3m =22i z =+66i z =+||z ∴=||z =19．如图，在等腰梯形，，，.将ABCD //AB CD 222AB CD AD ===60ABC ∠=沿着翻折，使得点到点，且.ACD △AC D P ⊥AP BC(1)求证：平面平面；APC ⊥ABC (2)求点到平面的距离.C APB (1)证明见解析【分析】（1）利用余弦定理结合勾股定理可证得，利用线面垂直的判定定理AC BC ⊥可证得平面，再利用面面垂直的判定定理可证得结论成立；BC ⊥APC （2）计算出三棱锥的体积以及的面积，利用等体积法可求得点到平B APC -PAB △C 面的距离.APB 【详解】(1)证明：在中，，，，ABC 2AB =1BC CD ==60ABC ∠=由余弦定理可得，，2222cos 603AC AB BC AB BC =+-⋅=BC AC ∴⊥，，平面，BC AP ⊥ AP AC A ⋂=BC ∴⊥APC 平面，所以，平面平面.BC ⊂ ABC APC ⊥ABC (2)解：在等腰梯形中，，，则，ABCD //AB CD 60ABC ∠=120ADC ∠=1sin1202ACD S AD CD =⋅= △在三棱锥中，P ABC -APC S =△11133B APC APC V S BC -=⋅==△平面，平面，则，则BC ⊥ APC PC ⊂APC BC PC ⊥PB ==在中，，，PAB △1PA =PB =2AB =由余弦定理可得，故为锐角，2223cos 24PA AB PB PAB PA AB +-∠==⋅PAB ∠所以，，sin PAB ∠==1sin 2PAB S PA AB PAB =⋅∠=△设点到平面的距离为，由可得C APB d C PABB APC V V --=13PAB S d ⋅=△所以，.d ===20．请在，②，③sin sin )4sin sin b C c Ba C B +=2sin cos cos cos b A A CA =这三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，sin sin cos sin B C C C A ++=并求解该问题.已知锐角中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，，且___________.ABC 4c =(1)求角A 的大小；(2)求边b 的取值范围.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.(1)；π3(2).(2,8)【分析】（1）根据所选条件，利用正弦定理边角关系、三角形内角性质，以及三角恒等变换求三角函数值，根据A 的范围确定其大小；（2）由（1）有，应用正弦定理得，根据的范围求b 的取值2π3B C=-2b =C 范围.【详解】(1)若选①，sin sin sin )4sin sin sin B C C B A C B+=即，故，sin 4sin sin sin C BA CB =sin A =因为A 为锐角，所以；π3A =若选②：由正弦定理得，，sin sin (sin cos sin cos )B A A A CC A =+即，sin sin sin()sin B A A A C A B =+=因为，所以，则π02B <<sin 0B >tan A =因为A为锐角，所以；π3A =若选③，sin sin cos sinsin A C A C B C +=+，sin sin cos sin()sin sin cos cos sin sin A C A C A C C A C AC C +=++=++，sin cos sin sin A C A C C =+因为，所以，即，π02C <<sin 0C >cos 1A A -=π2sin 16A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则，所以；ππππ0,,,2663A A ⎛⎫⎛⎫∈-∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ππ66A -=π3A =(2)由（1）知，，即，2π3B C +=2π3B C =-在锐角中，，ABCπ2ππππ0,0,23262B C C <<<-<<<由正弦定理得：，2π4sin sin 32sin sinC c B bC C ⎛⎫- ⎪⎝⎭====由.ππ1,tan 62tanC C C <<><(2,8)b ∈21．如图，在直三棱柱中，M 为棱的中点，，，111ABC A B C -AC AB BC =2AC =1AA =(1)求证：平面；1//B C 1A BM (2)求证：平面；1AC ⊥1A BM (3)在棱上是否存在点N ，使得平面平面？如果存在，求此时1BB 1AC N ⊥11AA C C 的值；如果不存在，请说明理由.1BNBB (1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)存在，.112BN BB =【分析】（1）连接与，两线交于点，连接，利用三角形中位线性质得到1AB 1A B O OM ，再利用线面平行的判定即可证.1//OM B C （2）应用线面垂直的性质、判定可得平面，从而得到，根据BM ⊥11ACC A 1BM AC ⊥和得到，再利用线11AC C A MA ∠=∠111190AC C C AC A MA C AC ∠+∠=∠+∠= 11A M AC ⊥面垂直的判定即可证.（3）当点为的中点，设的中点为，连接，，易证四边形N 1BB 1AC D DM DN 为平行四边形，从而得到，进而有平面，再利用面面垂BNDM //BM DN DN ⊥11ACC A 直的判定即可证.【详解】(1)连接与，两线交于点，连接，1AB 1A B OOM 在中，分别为，的中点，1B AC △M O AC 1AB 所以，又平面，平面，1//OM B C OM ⊂1A BM 1B C ⊄1A BM 所以平面.1//B C 1A BM (2)因为底面，平面，所以.1AA ⊥ABC BM ⊂ABC 1AA BM ⊥又为棱的中点，，所以.M AC AB BC =BM AC ⊥因为，，平面，1AA AC A = 1AA AC ⊂11ACC A 所以平面，平面，所以.BM ⊥11ACC A 1AC ⊂11ACC A 1BM AC ⊥因为，所以.又，2AC =1AM=1AA =在和中，，1Rt ACC 1Rt A AM11tan tan AC C A MA ∠=∠=所以，即，11AC C A MA ∠=∠111190AC C C AC A MA C AC ∠+∠=∠+∠=所以，又，，平面，11A M AC ⊥1BM A M M = BM 1A M ⊂1A BM 所以平面.1AC ⊥1A BM (3)当点为的中点，即时，平面平面.N 1BB 112BN BB =1AC N ⊥11AA C C 证明如下：设的中点为，连接，，1AC D DM DN因为，分别为，的中点，D M 1AC AC 所以且，又为的中点，1//DM CC 112DM CC =N 1BB 所以且，//DM BN DM BN =所以四边形为平行四边形，故，BNDM //BM DN 由（2）知：平面，所以平面，又平面，BM ⊥11ACC A DN ⊥11ACC A DN ⊂1AC N 所以平面平面.1AC N ⊥11ACC A22．已知函数()4sin sin 16f x x x π⎛⎫=++- ⎪⎝⎭（1）若关于x 的方程在上有解，求实数m 的取值范围；()0f x m +-=,32x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦（2）记的内角B 满足边上的高为2，求的最大值；ABC 1,2B f AC ⎛⎫= ⎪⎝⎭BD 21BC AB +（3）函数的图象纵坐标不变，横坐标伸长为原来的4倍，再把整个图象向左平()f x 移个单位长度，再将函数图像向下平移1个单位得到的图象．若，23π()g x ()2,3M π-，问在的图象上是否存在一点P ，使得．若存在，求出()2,6N π+()y g x =MP NP ⊥ P 点坐标；若不存在，说明理由．（1；（2；（3）存在，P 点坐标为.31m -≤≤-(,2)π【分析】（1）首先方程转化为在上有解，转4sin sin 16m x x π⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭,32x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦化为函数的化简和求函数的值域；（2）首先求得()4sin sin 16t x x x π⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，再利用三角形转化，再利用三角函数求最值；另解：3B π=1211sin sin 24A CAB BC +=+设，将表示为关于的函数，再利用三角函数求最值；03ABD πθθ⎛⎫∠=<< ⎪⎝⎭12AB BC +θ（3）首先求得函数，假设存在点，使得，利用()g x 001,2sin 2P x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭MP NP ⊥ ，求得点的坐标.0MP NP ⋅=P【详解】（1）由在上有解可得；()0f x m +=,32x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦在上有解． 4sin sin 16m x x π⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭,32x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦设()4sin sin 16t x x x π⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭2cos 216x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭因为，所以，从而∴,32x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦572,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦1cos 26x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭3()1t x ≤≤-31m -≤≤-（2）由得12B f ⎛⎫= ⎪⎝⎭cos 06B π⎛⎫+= ⎪⎝⎭∵，∴，∴0B π<<62B ππ+=3B π=在中，；在中 Rt ABD △2sin AB A =Rt BCD 2sin BC C =12111sin sin sin sin()242A C A AB AB BC +=+=++sin ),tan A A A ϕϕ==+=当时，即sin()1A ϕ+=2A π=-12AB BC +另解：设03ABD πθθ⎛⎫∠=<< ⎪⎝⎭在中Rt ABD △11cos 2AB θ=在中 Rt BCD 2cos 3BCπθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭∴211cos cos )32BC ABπθθθϕ⎛⎫+=-+=+ ⎪⎝⎭其中1cos 2ϕϕ==>所以，当sin()1θϕ+=即2πθ=-21BC AB +（3）存在，理由如下：由（1）知，将的图象（纵坐标不变）横坐标伸长为原来()2sin 213f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭()g x 的4倍可得函数再把整个图象向左平移个单位长度得到12sin 123y x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭23π化简得：，再将图像向下平移1个单位122sin 1233y x ππ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12sin 12y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭得． 1()2sin 2g x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭假设存在一点P ，使得，设点，MP NP ⊥001,2sin ,(2,3),(2,6)2P x x M N ππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，．0012,2sin 32MP x x π⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭ 0012,2sin 62NP x x π⎛⎫=--- ⎪⎝⎭ 又，所以，．MP NP ⊥0MP NP ⋅= 22200199244sin 0244x x x ππ⎛⎫-+-+--= ⎪⎝⎭整理得：．()220025194sin 424x x π⎛⎫--=- ⎪⎝⎭易知，2025191694sin 4244x ⎛⎫≤-≤⎪⎝⎭又因为，()20252544x π--≤所以当且仅当时，和同时等于，0x π=20194sin 24x ⎛⎫- ⎪⎝⎭()20254x π--254即时，符合题意，故上存在一点P ，此时P 点坐标为0x π=()g x (,2)π。
辽宁高一高中数学期末考试带答案解析
辽宁高一高中数学期末考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.已知过点的直线与直线平行，则实数的值为（）2.一个棱锥的三视图如图（尺寸的长度单位为m），则该棱锥的全面积是（单位：m2）（）3.设若直线与线段有交点，则实数的取值范围是（）4.方程表示的曲线是（）一条直线两条直线一个圆两个半圆5.是圆内异于圆心的一点，则直线与圆的位置关系是（）相交相切相离不能确定6.设是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题正确的是（）若，则若，则若，则若，则7.若一个等差数列前项的和为，最后项的和为，且所有项的和为，则这个数列有（）项项项项8.已知实数满足，如果目标函数的最小值为，则实数等于（）9.不解三角形，下列判断中正确的是（），有两解，有一解，有两解，无解10.直线和直线与两坐标轴围成的四边形有外接圆,则实数的值是( )或或或或11.在侧棱长为的正三棱锥中，，过作截面，则截面的最小周长为（）12.数列是各项均为正数的等比数列，是等差数列，且，则有（）二、填空题1.若点，则||的最小值是。
2.已知为直线上的点，如果的绝对值最大，则点的坐标为。
3.若为的三个内角，则的最小值为______________。
4.过圆内一点作一弦交圆于B、C两点，过点B、C作圆的切PB、PC，则点P的轨迹方程是。
三、解答题1.（10分）在圆的所有切线中，求在坐标轴上截距相等的切线方程。
2.（12分）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面⊥底面，为AD的中点，是棱上的点，，．（1）若点是棱的中点，求证：// 平面；（2）求证：平面⊥平面。
3.（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足（I）求角A的大小；（II）若，求△ABC面积的最大值。
4.（12分）解关于的不等式：，。
5.（12分）已知圆：和，动点到圆的切线长与||的比等于常数，求动点的轨迹方程，并说明表示什么曲线。
辽宁高一高中数学期末考试带答案解析
辽宁高一高中数学期末考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.已知全集,集合,，则( )A．B．C．D．2.已知为直线，为平面，，，则与之间的关系是( )A．平行B．垂直C．异面D．平行或异面3.函数的零点个数为( )A．3B．2C．1D．04.已知向量，满足，且，则与的夹角为( )A．B．C．D．5.设，，，则( )A．B．C．D．6.我国古代名著《九章算术》中有这样一段话：“今有金锤，长五尺，斩本一尺，重四斤．斩末一尺，重二斤．”意思是：“现有一根金锤，头部的1尺，重4斤；尾部的1尺，重2斤；且从头到尾，每一尺的重量构成等差数列.”则下列说法错误的是 ( )A．该金锤中间一尺重3斤B．中间三尺的重量和时头尾两尺重量和的3倍C．该金锤的重量为15斤D．该金锤相邻两尺的重量之差的绝对值为0.5斤7.在区间上随机地取一个，则事件“”发生的概率为( )A．B．C．D．8.已知锐角的外接圆半径为，且，则( )A．B．C．D．9.若表示不超过的最大整数，则图中的程序框图运行之后输出的结果为( )A．400B．600C．10D．1510.已知函数，若是函数的一条对称轴，且，则点所在直线为 ( )A．B．C．D．11.已知函数，若函数在区间内没有零点，则的取值范围是( )A．B．C．D．二、填空题1.从编号为0，1，2，…，79的80件产品中，采用系统抽样的方法抽取容量为5的一个样本，若编号为42的产品在样本中，则该样本中产品的最小编号为_______________．2.与向量垂直的单位向量为______________________．3.如图所示，网格纸上小正方形的边长为，粗线画出的是某一几何体的三视图，则该几何体的体积为__________．4.三角形ABC中，，且，则三角形ABC面积最大值为__________.三、解答题1.设函数.(1)求的定义域；(2)指出的单调递减区间(不必证明).2.已知数列为等差数列，其前项和为，若，.(1)求数列的通项公式；(2)求数列前项和.3.的内角的对边分别为，已知．（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若，求的最大值．4.2017年高考特别强调了要增加对数学文化的考查，为此瓦房店市高级中学高三年级数学组特命制了一套与数学文化有关的专题训练卷(文、理科试卷满分均为100分)，并对整个高三年级的学生进行了测试.现从这些学生中随机抽取了50名学生的成绩，按照成绩为，，…，分成了5组，制成了如图所示的频率分布直方图(假定每名学生的成绩均不低于50分).(1)求频率分布直方图中的的值，并估计所抽取的50名学生成绩的平均数、中位数(同一组中的数据用该组区间的中点值代表，中位数请用分数表示)；(2)若高三年级共有700名学生，试估计高三学生中这次测试成绩不低于70分的人数；(3)若利用分层抽样的方法从样本中成绩不低于70分的三组学生中抽取6人，再从这6人中随机抽取3人参加这次考试的考后分析会，试求后两组中至少有1人被抽到的概率.5.如图，在四棱锥中，底面，，，点为棱的中点.(1)证明：面；(2)求三棱锥的体积．6.某校一个校园景观的主题为“托起明天的太阳”，其主体是一个半径为5米的球体，需设计一个透明的支撑物将其托起，该支撑物为等边圆柱形的侧面，厚度忽略不计．轴截面如图所示，设．(注：底面直径和高相等的圆柱叫做等边圆柱．)(1)用表示圆柱的高；(2)实践表明，当球心O和圆柱底面圆周上的点D的距离达到最大时，景观的观赏效果最佳，试求出OD最大值，并求出此时的值．辽宁高一高中数学期末考试答案及解析一、选择题1.已知全集,集合,，则( )A．B．C．D．【答案】C【解析】,故选C.2.已知为直线，为平面，，，则与之间的关系是( )A．平行B．垂直C．异面D．平行或异面【答案】D【解析】直线和平面平行，则直线和平面上的直线可能平行或异面.3.函数的零点个数为( )A．3B．2C．1D．0【答案】C【解析】函数f(x)的定义域为[0,+∞)在定义域上为增函数,在定义域上为增函数∴函数在定义域上为增函数而故函数的零点个数为1个本题选择C选项.4.已知向量，满足，且，则与的夹角为( )A．B．C．D．【答案】D【解析】设与的夹角为，则，则与的夹角为.本题选择D选项.5.设，，，则( )A．B．C．D．【答案】C【解析】 ,因为 ,所以 ,选C.6.我国古代名著《九章算术》中有这样一段话：“今有金锤，长五尺，斩本一尺，重四斤．斩末一尺，重二斤．”意思是：“现有一根金锤，头部的1尺，重4斤；尾部的1尺，重2斤；且从头到尾，每一尺的重量构成等差数列.”则下列说法错误的是 ( )A．该金锤中间一尺重3斤B．中间三尺的重量和时头尾两尺重量和的3倍C．该金锤的重量为15斤D．该金锤相邻两尺的重量之差的绝对值为0.5斤【答案】B【解析】依题意，从头至尾，每尺的重量构成等差数列，可得，可知选项A、C、D都正确，而中间三尺的重量和不是头尾两尺重量和的倍，故选B.7.在区间上随机地取一个，则事件“”发生的概率为( )A．B．C．D．【答案】A【解析】在区间上,由得，，本题选择A选项.点睛：解答几何概型问题的关键在于弄清题中的考察对象和对象的活动范围．当考察对象为点，点的活动范围在线段上时，用线段长度比计算；当考察对象为线时，一般用角度比计算，即当半径一定时，由于弧长之比等于其所对应的圆心角的度数之比，所以角度之比实际上是所对的弧长(曲线长)之比．8.已知锐角的外接圆半径为，且，则( )A．B．C．D．【答案】B【解析】因为，因为A为锐角，所以，所以本题选择B选项.9.若表示不超过的最大整数，则图中的程序框图运行之后输出的结果为( )A．400B．600C．10D．15【答案】A【解析】根据题意，得；[x]表示不超过x的最大整数,且；所以，该程序框图运行后输出的结果中是40个0与40个1，40个2，40个3，40个4的和；所以输出的结果为S=40×（0+1+2+3+4）=400.本题选择A选项.点睛：识别、运行程序框图和完善程序框图的思路(1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构．(2)要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题．(3)按照题目的要求完成解答并验证．10.已知函数，若是函数的一条对称轴，且，则点所在直线为 ( )A．B．C．D．【答案】D【解析】，令 ,则 ,即，则，由，得，即函数的对称轴为，是函数f(x)的一条对称轴，,则，即a=3b，即a−3b=0，则点(a,b)所在的直线为x−3y=0，本题选择D选项.11.已知函数，若函数在区间内没有零点，则的取值范围是( )A．B．C．D．【答案】D【解析】，又或或，故选D.二、填空题1.从编号为0，1，2，…，79的80件产品中，采用系统抽样的方法抽取容量为5的一个样本，若编号为42的产品在样本中，则该样本中产品的最小编号为_______________．【答案】10【解析】样本间隔为80÷5=16，∵42=16×2+10，∴该样本中产品的最小编号为10,故填10.2.与向量垂直的单位向量为______________________．【答案】或【解析】设这个向量为，根据题意,有，解得：，故 .3.如图所示，网格纸上小正方形的边长为，粗线画出的是某一几何体的三视图，则该几何体的体积为__________．【答案】【解析】该几何体由一个半球和一个圆锥组成，则该几何体的体积：.4.三角形ABC中，，且，则三角形ABC面积最大值为__________.【答案】【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，则：，设点A的坐标为，由题意有：，整理可得： ,结合三角形的性质可得点C的轨迹方程为以为圆心，为半径的圆出去其与x轴的交点，据此可得三角形ABC面积的最大值为 .点睛：求轨迹方程的常用方法(1)直接法：直接利用条件建立x ，y 之间的关系F (x ，y )＝0. (2)待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程．(3)定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程．(4)代入(相关点)法：动点P (x ，y )依赖于另一动点Q (x 0，y 0)的变化而运动，常利用代入法求动点P (x ，y )的轨迹方程．三、解答题1.设函数. (1)求的定义域； (2)指出的单调递减区间(不必证明). 【答案】(1)；(2).【解析】(1)由题意得到关于x 的不等式组，求解不等式组可得函数的定义域为. (2)整理函数的解析式，结合复合函数单调性的法则可得的单调递减区间是. 试题解析： (1)函数有意义，则 ，求解不等式组可得函数的定义域为.(2) 函数的解析式及：，结合函数的定义域和复合函数的单调性可得单调递减区间为；2.已知数列为等差数列，其前项和为， 若，.(1)求数列的通项公式； (2)求数列前项和. 【答案】(1) ；(2) . 【解析】 (1)由题意求得，则数列的通项公式：；(2)结合等差数列的前n 项和公式可得 .试题解析： (1)由题意可得：，解得：，则数列的通项公式：；(2)由等差数列的前n 项和公式可得：. 3.的内角的对边分别为，已知．（Ⅰ）求角的大小； （Ⅱ）若，求的最大值． 【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）．【解析】（1）由于是边的齐次式，用正弦定理化角做，得，再统一成角A,B 做。
辽宁省高一数学下学期期末考试试题
辽宁省2021-2022高一数学下学期期末考试试题注意事项:1.本试卷分第Ⅰ卷、第Ⅱ卷两部分，共6页．满分150分；考试时间：120分钟.2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目、试卷类型用2B 铅笔涂在答题卡上．3.用铅笔把第Ⅰ卷的答案涂在答题卡上，用钢笔或圆珠笔把第Ⅱ卷的答案写在答题纸的相应位置上．4.考试结束，将答题卡和答题纸一并交回．第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．) 1．sin1110︒=A ．23B ．21C ．3．12-2．=z (1＋i)(2-i)的共轭复数z 为A ．-3-iB ．-3＋iC ．3＋iD ． 3-i3．若向量a ＝(6，m )，b ＝(2，-1)，向量a 与b 垂直，则实数m 的值为A ．-12B ．12C ．-3D ．34．下列说法正确的是A ．侧棱垂直于底面的棱柱一定是直棱柱B ．棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面C ．棱柱中各条棱长都相等D ．棱柱的侧面是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形 5．若51cos 2sin cos 5sin 3-=-+αααα，则tan α的值为A ．23 B ．-23 C ．2316 D ．-23166．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ) 0,2⎛⎫>< ⎪⎝⎭πωϕ的部分图像如图所示，则ω，φ的值为A ．2,3πωϕ==B ．1,6πωϕ==C ．2,3πωϕ==-D ．1,3πωϕ==-7．求sin10sin 50sin 70︒︒︒的值A ．21B ．23 C ．81D ．833 8．自古以来，人们对于崇山峻岭都心存敬畏，同时感慨大自然的鬼斧神工，一代诗圣杜甫曾赋诗《望岳》：“岱宗夫如何？，一览众山小. ” 然而，随着技术手段的发展，山高路远便不再人们出行的阻碍，伟大领袖毛主席曾作词：“一桥飞架南北，天堑变通途”. 在科技腾飞的当下，路桥建设部门仍然潜心研究如何缩短空间距离方便出行，如港珠澳跨海大桥等. 如图为某工程队将A 到D 修建一条隧道，测量员测得一些数据如图所示（A ,B ,C ,D 在同一水平面内），则A ，D 间的距离为A ．65123km -B ．651213km -C ．35123km -D ．351213km -二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．) 9．在ABC ∆中，角A,B,C 所对边分别为a,b,c ，b =15,c =16,B =60°,则a 边为A ．833+B ．83161+C ．833-D ．83161-10．设m ,n 是两条不同的直线，α,β是两个不同的平面，则下列命题不正确的是A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥nB ．若m ∥α，m ∥β，则α∥βC ．若m ∥n ，m ⊥α，则n ⊥αD ．若m ∥α，α⊥β，则m ⊥β11．在ABC Rt ∆中，BD 为斜边AC 上的高，下列结论中正确的是A ．2AB AB AC =⋅ B ．2BC CB AC =⋅ C ．2AC AB BD =⋅D ．2BD BA BD BC BD =⋅=⋅12．如图，在边长为4的正三角形ABC 中，D ，E ，F 分别为各边的中点，G ，H 分别为DE ，AF 的中点，将ABC ∆沿DE ，EF ，DF 折成正四面体P DEF -，则在此正四面体中，下列说法正确的是 A ．PG 与DH 所成的角的正弦值为23B ．DF 与PE 成角2π C ．GH 与PD 所成的角为4πD ．PG 与EF 所成角余弦值为3第Ⅱ卷（非选择题，共90分）ADBC三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．) 13．已知复数z ＝210(3i)+(i 为虚数单位)，则|z |＝________.14．化简：sin()tan()cos()2=cos()tan()++---παπαπααπα. 15．在三棱锥A BCD -中，ABC ∆是边长为3的正三角形，BD ⊥平面ABC 且BD =4，则该三棱锥的外接球的体积为 .16．已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝1，则|a ＋b |＋|a －b |的最小值是______；最大值是_________．（本小题第一空2分，第二空3分）四、解答题（本题共6小题，共70分. 17题10分，18题—22题每题12分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．(本小题满分10分)已知：a =),cos ,sin 2(x x b =)cos 32,(cos x x - 设函数f (x )＝a ⋅b ＋3＋1.（1）求函数f (x )的最小正周期T 及单调递增区间； （2）当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，5π6时，求函数f (x )的值域．18.(本小题满分12分)已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若1cos 2b Ac a =-， （1）求B ；（2）若ABC ∆为锐角三角形，且1c =，求ABC ∆面积的取值范围．19. (本小题满分12分)如图，AB 是圆柱OO 1底面的直径，PA 是圆柱OO 1的母线，C 是圆O 上的点，Q 为PA 的中点，G 为AOC ∆的重心． （1）求证：BC PC ⊥； （2）求证：QG ∥平面PBC ．20. (本小题满分12分)已知：1sin cos 2α+α=，2α∈ππ（，）. （1）求sin cos α-α的值； （2）求tan ,tan 2αα的值.21．(本小题满分12分)如图，在边长为4的菱形ABCD 中，∠DAB ＝60°．点E ，F 分别在边CD ，CB 上，点E 与点C ，D 不重合，EF ⊥AC ，EF ∩AC ＝O ．沿EF 将△CEF 翻折到△PEF 的位置，使平面PEF ⊥平面ABFED ．（1）若AO ：OC =5：3，求棱锥P -ABD 的体积； （2）当PB 取得最小值时，求二面角P -BF -D 的余弦值.22．(本小题满分12分)已知函数()()3sin 21(0)22f x x ππωϕωϕ++><<，-，函数()f x 的图像经过点112,π⎛⎫- ⎪⎝⎭且()f x 的最小正周期为2π. （1）求函数()f x 的解析式；（2）将函数)(x f y =图像上所有的点向下平移1个单位长度，再将函数图像上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，再将图像上所有的点的横坐标不变，纵坐标变为原来23倍，得到函数()y h x =图像，令函数()()1g x h x =+，区间[,]a b (,a b R ∈且)a b <满足：()y g x =在[,]a b 上至少有30个零点，在所有满足上述条件的[,]a b 中，求b a -的最小值；（3）若1313(()1)cos 081222x m f x ⎡⎤+--++≤⎢⎥⎣⎦π对任意[]0,2x π∈恒成立，求实数m 的取值范围.2021年普通高中学业质量监测考试高一数学 参考答案及评分标准一、单项选择题 1-8 BDBA DCCA 二、多项选择题9．AC 10．ABD 11．AD 12．BCD 三、填空题13．1 14.αcos 15．2837π16． 2（2分）;22（3分）四、解答题17．解:(1)f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3 π=T -----------------------------------4分由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12.则函数递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z .-----------------5分(2)由π4＜x ＜5π6，得π6＜2x －π3＜4π3，则－32＜sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3≤ ∴1－3＜y ≤3，即值域为(1－3，3]．----------------------10分 18.（1）1cos 2b Ac a =-解：因为，1sin cos sin sin 2B AC A=-由正弦定理得11sin cos sin()sin sin cos sin cos cos sin sin 22B A A B A B A A B A B A=+-⇒=+- 110cos cos 22B B ⇒=-⇒=所以3B π=.------------------------------------------------------------------------------------------6分(2)因为ABC 是锐角三角形，由（1）知3B π=，A B C π++=得到23A C π+=， 故022032C C πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，解得62C ππ<<.------------------------------------------------------8分又应用正弦定理sin sin a cA C=，1c =， 由三角形面积公式有：222sin()111sin 33sin sin sin 222sin sin ABCC a A Sac B c B c B c C Cπ-=⋅=⋅=⋅=22sin cos cos sin 333sin 3212313(sin cos )3tan 38tan C C C C C ππππ-==-=分又因3,tan 62C C ππ<<>331338tan C <+<故3382ABCS <<. 故ABCS的取值范围是33(------------------------------------------12分19.证：（1）由AB 是圆O 的直径，得AC ⊥BC ．----------2分 由PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，得PA ⊥BC ，-------4分 又PA ∩AC=A,PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ， 所以BC ⊥平面PAC ．又因为PC ⊂平面PAC所以BC PC ⊥；-----------------------------------6分 （2）连OG 并延长交AC 与M ，链接QM ，QO ． --------8分 由G 为∆AOC 的重心，得M 为AC 中点， 由G 为PA 中点，得QM//PC ．又O 为AB 中点，得OM//BC ． --------------------10分 因为QM ∩MO=M, ，平面平面PBC OMQ //∴QG ⊂平面OMQ ． 所以QG//平面PBC ．------------------------------12分20.解：（1）因为，21cos sin =+αα平方得11+2sin cos 4αα=， 所以2sin cos -34αα=.----------2分由2απ<<π，2sin cos 0αα<，所以sin 0,cos 0αα<>.所以27(sin cos )12sin cos 4αααα-=-=.------------4分 所以7sin cos αα-=.--------------------6分 （2）由7sin cos 2αα-=-，结合1sin cos 2αα+= 可得7171sin αα-++==.------------8分所以sin7174tancos71ααα-+-===+-----------------------------10分1cossin sin sin1cos272222tan12sin3cos cos sin sin2222ααααααααααα---=====---------------------------------------------------------------12分21．解：（1）在边长为4菱形ABCD中，因为60DAB∠=︒，所以ABD∆，BDC∆为等边三角形，AC=34, 3:5:=OCAO，,233233=∴=∴POOC，--------3分∵菱形ABCD的对角线互相垂直，∴BD AC⊥，∴BD AO⊥，∵EF AC⊥，∴PO EF⊥．∵平面PEF⊥平面ABFED，平面PEF平面ABFED EF=，且PO⊂平面PEF，∴PO⊥平面ABFED,6233324213131ABD-=⨯⨯⨯⨯=⋅⋅=∴∆POSVABDP----------------6分（2）∵PO⊥平面ABFED, BO⊂平面ABFED，∴PO BO⊥设.AO BD H⋂=因为60DAB∠=︒，所以BDC∆为等边三角形，故4BD=，2,23HB HC==．又设PO x=，则23OH x=-，22OB OH+=HB 在POBRt∆中，所以2222(23)22(3)10PB x x x=-++=-+，当3x=时，min10PB=．------------8分由O做BF垂线，垂足为M，连接PM，BMPOABFEDABFED，BFPO⊥∴⊂⊥平面平面POMBMOPOOM平面，⊥∴=⋂PM BM POM PM ⊥∴⊂,平面所以二面角P-BF-D 的平面角为OMP ∠----------------------------10分 在POM Rt Δ中，21523==PM OM ， 55PM OM OMP cos ==∠.----------------------------------------12分 22．解：（1）()()3sin 21f x x ωϕ=++，又函数()f x 的最小正周期为2π， 222ππω∴=，2ω∴=.-----------------------------1分 ()()3sin 41f x x ϕ∴++.又函数()f x 经过点-112π（，），所以(-)3sin -1=1123f ππϕ⎛⎫∴=++ ⎪⎝⎭，于是4(),12k k Z πϕπ⎛⎫⨯-+=∈ ⎪⎝⎭因为22πϕπ<<-，所以3πϕ=------------------------------------------2分()3413f x x π⎛⎫∴=++ ⎪⎝⎭.-------------------------------4分（2）由题意，h (x )=2sin (2x+π3 )()2sin 213g x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭------------------------------------------6分令()0g x =得：1sin 232x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭ 72236x k πππ∴+=+或112236x k πππ+=+，k Z ∈解得：512x k π=π+或34x k ππ=+，k Z ∈∴相邻两个零点之间的距离为3π或23π-------------------------------------------7分若b a -最小，则,a b 均为()g x 的零点，此时在区间[],a a π+，[],2a a π+，…，[](),a m a m N π*+∈分别恰有3,5,,21m ⋅⋅⋅+个零点精品 Word 可修改 欢迎下载 ∴在区间[],14a a π+恰有214129⨯+=个零点(]14,a b π∴+至少有一个零点 ()143b a ππ∴-+≥，即431433b a πππ-≥+= 检验可知，在5543,12124πππ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦恰有30个零点，满足题意（可有可无） b a ∴-的最小值为433π--------------------------8分。
辽宁省市高一数学下学期期末考试试题(含解析)
A. 若 ，则
B. 若 ， ， 分别表示 ， 面积，则
C. 两个非零向量a，b，若 ，则a与b共线且反向
D. 若 ，则存在唯一实数 使得
【答案】AD
【解析】
【分析】
对每一个选项逐一分析判断得解.
【详解】A.若 ，则 ,如果 都是非零向量， ，显然满足已知条件，但是结论不一定成立，所以该选项是错误的；
辽宁省2021-2022高一数学下学期期末考试试题（含解析）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷、第Ⅱ卷两部分，共4页。满分150分；考试时间：120分钟。
2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目、试卷类型用2B铅笔涂在答题卡上。
3．用铅笔把第Ⅰ卷的答案涂在答题卡上，用钢笔或圆珠把Ⅱ卷的答案写在答题纸的相应位置上。
（3）由两名运动员来自同一协会有 ， ， ， ，共4种，利用古典概型，即可求解．
【详解】（1）由题意，从这6名运动员中随机抽取2名参加双打比赛，所有可能的结果为
， ， ， ， ， ， ， ， ，
， ， ， ， ， ，共15种.
（2）因为丙协会至少有一名运动员参加双打比赛，所以编号为 ， 的两名运动员至少有一人被抽到，其结果为：设“丙协会至少有一名运动员参加双打比赛”为事件 ，
分数段
[70，80）
[80，90）
[90，100）
[100，110）
[110，120）
x：y
1:2
2:1
6:5
1:2
1:1
【答案】（1） （2）平均分为 ，中位数为 （3）140人
【解析】
【分析】
（1）由题得 ，解方程即得解；（2）利用频率分布直方图中平均数和中位数的计算公式估计这200名学生的平均分和中位数；（3）分别计算每一段的人数即得解.
辽宁省沈阳市重点联合体2024年高一下学期期末检测数学试题+答案
2023—2024学年度（下）联合体高一期末检测数学注意事项：1.答题时，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡规定的位置上.2.答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号.3.答非选择题时，必须使用黑色墨水笔或黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上，写在试题卷､草稿纸上无效.4.考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回（满分：150分考试时间：120分钟）.第I 卷（选择题，共58分）一､单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）1.已知复数z 满足()2i 34i,i z −=−为虚数单位，则复数z 的共轭复数z =（ ）A.12i+ B.12i− C.2i− D.2i+2.已知()9,8P −为角α终边上一点，则5sin 2cos 2sin 5cos αααα−=+（）A.6122−B.-2C.2261D.123.已知向量()()1,2,2,3ab ==−，若向量c 满足()c a + ∥,b c a ⊥ ，则向量c的坐标为（）A.77,24 −B.77,42 −−C.77,24 −−D.77,42−4.在ABC 中，已知角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若sin :sin :sin 4:7:9A B C =，则cos A =（）A.1921−B.863 C.1921 D.16215.计算：πtan8=（ ）A.121−1+6.已知,m n 是空间中两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A.若,,m n m αα⊂⊂∥,n β∥β，则α∥βB.若,n αβ⊥∥α，则n β⊥C.若α∥,m β∥α，则m ∥βD.若,,m n m αβ⊥⊂∥n ，则αβ⊥7.一个圆柱形容器内部的底面半径为4cm ，高为8cm ，将该容器注满水，然后将一个半径为4cm 的实心球缓慢放入该容器内，当球沉到容器底部时，留在圆柱形容器内的水的体积为（ ） A.3320πcm 3 B.3128πcm 3 C.380πcm 3D.364πcm 3 8.已知()π5cos 20243f x x=−的最大值为m ，若存在不同的实数12,x x ，使得对任意实数x 总有()()()12f x f x f x 成立，则12m x x −的最小值为（ ）A.5π2024 B.5π1012 二､多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.已知复数12,z z ，则下列结论正确的是（ ） A.1212z z z z +=+ B.1212z z z z ⋅=⋅C.若12z z =，则2212z z =D.若12z z =，则1122z z z z ⋅=⋅10.已知ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，下列四个结论中，正确的是（ ） A.cos cos ca Bb A +B.若222a b c bc =++，则120A =C.若sin2sin2A B =，则ABC 为等腰直角三角形D.若222sin sin sin A B C +<，则ABC 是钝角三角形11.如图，在长方体1111ABCD A B C D −中，12,4,AB AA BC E ===为CD 的中点，M 是1A C 上一点，N 是平面1AED 内一点，则（ ）A.长方体1111ABCD A B C D −的外接球的表面积为24πB.1A C AE ⊥C.1A C ∥平面1AEDD.MN 第II 卷（非选择题，共92分）三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知向量,a b满足3,12a a b =⋅=− ，则向量b 在向量a 的方向上的投影的数量为__________.13.已知ππsin 126αα+=∈，则cos2α=__________. 14.如图，143,55P为锐角θ的终边与单位圆的交点，1OP 逆时针旋转π3得到22,OP OP 逆时针旋转π3得到31,,n OP OP − 逆时针旋转π3得到n OP ，则sin2θ=__________，点2024P 的横坐标为__________.四､解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤）15.（13分）已知复数()()221118914i,z mm m m m =−++−+∈R ，其中i 为虚数单位.（1）若复数z 是纯虚数，求m 的值；（2）若复数z 在复平面内对应的点位于第二象限，求m 的取值范围.16.（15分）如图是函数()()sin (0,0,0π)f x A x A ωϕωϕ=+>>< 的部分图象.（1）求函数()f x 的解析式； （2）求函数ππ24y f x f x=+++的单调递增区间.17.（15分）在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，已知向量(),(cos ,sin )m b n B C =，且m ∥n. （1）求B ；（2）若3b =，且ABC ABC 的周长. 18.（17分）如图，在四棱锥P ABCD −中，PD ⊥底面ABCD ，且底面ABCD 为正方形，2PD CD ==，,,E F G 分别是,,AB PB CD 的中点.证明：（1）EF CD ⊥； （2）平面EFG ∥平面PAD .19.（17分）如图是一条“L ”，河道均足够长.现过点D修建一条栈道AB ，开辟出直角三角形区域（图中OAB ）养殖观赏鱼，且π02OAB∠θθ=<<.点H 在线段AB 上，且OH AB ⊥.线段OH 将养殖区域分为两部分，其中OH 上方养殖金鱼，OH 下方养殖锦鲤.（1）当养殖区域的面积最小时，求θ的值，并求出此时的最小面积；（2）若游客可以在栈道AH上投喂金鱼，在河岸OB与栈道HB上投喂锦鲤，且希望投喂锦鲤的道路长度不小于投喂金鱼的道路长度，求θ的取值范围.2023—2024学年度（下）联合体高一期末检测数学参考答案及评分标准一､单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1.D 【解析】因为()()()()34i 2i 34i63i 8i 42i 2i2i 2i 5z −+−+−+====−−−+，所以2i z =+.2.B 【解析】因为()9,8P −为角α终边上一点，所以8tan 9α=−， 所以8525sin 2cos 5tan 29282sin 5cos 2tan 5259αααααα ×−− −− ===−++×−+. 3.A 【解析】设向量(),c m n = ，则()1,2c a m n +++.由()c a +∥,b c a ⊥，得()()31220,20,m n m n −+−+=+= 解得7,27,4m n=− =故向量c 的坐标为77,24 − . 4.C 【解析】因为sin :sin :sin 4:7:9A B C =，则由正弦定理可设4,7a k b k ==，9c k =.由余弦定理得22222249811619cos 227921b c a k k k A bc k k +−+−===⋅⋅. 5.C 【解析】因为2π2tanπππ8tan tan 1π4881tan 8 =+==−，所以2ππtan 2tan 1088+−=.易知πtan 8是方程2210x x +−=的根，且方程2210x x +−=的两根分别为11x=−，21x −.因为当π0,2x∈时，tan 0x>，所以πtan 18=.6.D 【解析】若,,m n m αα⊂⊂∥,n β∥β，则,αβ可能平行，也可能相交，故A 错误；若,n αβ⊥∥α，则n β⊥或n ∥β或n β⊂或n 与β相交（不垂直），故B 错误；若α∥,m β∥α，则m ∥β或m β⊂，故C 错误；因为,m m α⊥∥n ，所以n α⊥.又n β⊂，所以αβ⊥，故D正确.7.B 【解析】根据题意可知留在圆柱形容器内的水的体积等于圆柱形容器的体积减去实心球的体积，即()2334128π48π4πcm 33V =××−×=.8.A 【解析】因为()π5cos 20243f x x=−，所以2ππ5,20241012m T ===. 由题意得()1f x 为最小值，()2f x 为最大值，所以12x x −的最小值为2T， 所以12m x x −的最小值为π5π55220242024T ×=×=. 二､多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）（评分标准：如果正确答案有2个，每个答案3分；如果正确答案有3个，每个答案2分）9.BD 【解析】对于A ，取121i,1i z z =+=−，则12122,z z z z +=+=， 故A 错误；对于B ，结合复数模的性质可知，1212z z z z ⋅=⋅，故B 正确；对于C ，令121,i z z ==，则12z z =，而22121,1z z ==−，故C 错误；对于D ，设1i z a b =+， 2i z c d =+，则12z z =时，2222a b c d +=+.又()()2211i i z z a b a b a b ⋅=+−=+，2222z z c d ⋅=+，所以112z z z ⋅=，故D 正确.故选：BD.10.ABD 【解析】由余弦定理得22222222222222cos cos 22222a c b b c a a c b b c a c a B b A a b c ac bc c c c +−+−+−+−+=⋅+⋅=+==，故A 正确；由余弦定理得2221cos 222b c a bc A bc bc +−−===−.而0180A << ，则120A = ，故B 正确；若sin2sin2A B =，即()()()()sin sin A B A B A B A B ++−=+−−，展开整理得()()cos sin 0A B A B +−=.因为0180,180180A B A B <+<−<−< ，所以90A B += 或0A B −= ，所以ABC 为直角三角形或等腰三角形或等腰直角三角形，故C 错误；若222sin sin sin A B C +<，由正弦定理得222a b c +<.由余弦定理得222cos 02a b c C ab+−=<，可得C 为钝角，则ABC 是钝角三角形，故D 正确.故选：ABD.11.ACD 【解析】在长方体1111ABCD A B C D −中，由12,4AB AA BC ===，可得长方体的体对角线长.设长方体1111ABCD A B C D −的外接球的半径为R，则2R =，可得R =，所以长方体的外接球的表面积为24π24πSR =，故A 正确；如图，连接AC .在长方体1111ABCD A B C D −中，易得1AA ⊥平面ABCD .因为AE ⊂平面ABCD ，所以1AA AE ⊥.假设1A C AE ⊥.因为11111,,AA AC A AA AC ∩=⊂平面1AA C ，所以AE ⊥平面1AA C .又因为AC ⊂平面1AA C ，所以AE AC ⊥.因为在矩形ABCD 中，AE 与AC 不垂直，所以假设不成立，所以1A C 与AE 不垂直，故B 错误；如图，连接1A D 交1AD 于点F ，连接EF .因为E 为CD 的中点，所以EF∥1A C .又因为1AC ⊄平面1AED ，且EF ⊂平面1AED ，所以1A C ∥平面1AED ，故C 正确；因为1A C ∥平面1AED ，且M 是1A C 上一点，N 是平面1AED内一点，所以点M 到平面1AED 的距离等于点1A 到平面1AED 的距离，即为MN 的最小值.设距离为d .因为在长方体1111ABCD A B C D −中，12,4AB AA BC ===，可得1AD =，1D E AE =.由余弦定理得222111112cos 25AD D E AE AD E AD D E ∠+−==⋅，所以1sin AD E ∠，所以112AD E S =× .由1111A AD E E AA D V V −−=，可得111421332h =××××，所以h =，即MN，故D 正确.故选：ACD.三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）（评分标准：第14题第1个空2分，第2个空3分）12.-4 【解析】向量b 在向量a的方向上的投影的数量为12cos ,43a b b a b a ⋅−===−【解析】由π0,6α ∈ ，得πππ,12124α +∈ .因为πsin 12α +所以πcos 12α +，所以2ππ3cos 212sin 6125αα +=−+= ， πππ4sin 22sin cos 612125ααα+=++=，所以ππππππ341cos2cos 2cos 2cos sin 2sin 666666552αααα=+−=+++=×=14.2425 【解析】由题意得34sin ,cos 55θθ==，所以sin2θ=34242sin cos 25525θθ=××=.因为点2024P 所在角为2023π3θ+，则2023πππππcos cos 674πcos cos cos sin sin 33333θθθθθ +=++=+=−413525=×−=四､解答题（本大题共5小题，共77分）15.解：（1）因为复数z 是纯虚数，所以2211180,9140,m m m m −+= −+≠ 解得9m =.（2）因为复数z 在复平面内对应的点位于第二象限，所以2211180,9140,m m m m −+< −+>解得79m <<.16.（1）解：由图可知max ()2A f x ==，函数()f x 的最小正周期为7ππ4π123T=×−=， 则2π2π2πT ω===， 所以()()2sin 2f x x ϕ=+. 由7π7π2sin 2126f ϕ =+=，可得7πsin 16ϕ+=.因为0πϕ≤<，则π7π13π666ϕ<+<， 所以7ππ62ϕ+=，所以2π3ϕ=−， 所以()2π2sin 23f x x=−. （2）ππ24y f x f x=+++π2ππ2π2sin 22sin 22343x x+−++−ππ2sin 22sin 236x x++−.令π23x θ=+，则ππ262x θ−=−， 所以π2sin 2sin 2sin 2cos 2y θθθθ =+−=−π24x θ−=. 令πππ2π22π,2122k x k k −≤+≤+∈Z ， 解得7π5πππ,2424k x k k −≤≤+∈Z ， 所以函数ππ24y f x f x=+++的单调递增区间为7π5ππ,π,2424k k k−+∈Z .17.解：（1）因为m ∥n，所以sin cos 0b C B −=.由正弦定理得sin sin cos 0B C C B −=.又sin 0C ≠，故tan B =.因为0πB <<，所以π3B =.（2）因为11sin 22S ac B ac === 所以163ac =. 由余弦定理得22222cos ()2b a c ac B a c ac ac =+−=+−−， 即2169()33a c +−×，解得5a c +=， 所以ABC 的周长为8abc ++=. 18.证明：（1）因为PD ⊥底面,ABCD CD ⊂平面ABCD ， 所以CD PD ⊥.又因为底面ABCD 为正方形，所以CD AD ⊥，且,AD PD ⊂平面,PAD AD PD D ∩=， 所以CD ⊥平面PAD .因为PA ⊂平面PAD ，所以PA CD ⊥.又因为,E F 分别是,AB PB 的中点， 所以EF ∥PA ，所以EF CD ⊥.（2）因为,,E F G 分别是,,AB PB CD 的中点， 所以EF ∥,PA EG ∥AD . 又因为PA ⊂平面,PAD EF ⊄平面,PAD AD ⊂平面,PAD EG ⊄平面PAD ， 所以EF ∥平面,PAD EG ∥平面PAD ，且,,EF EG E EF EG ∩=⊂平面EFG ， 所以平面EFG ∥平面PAD . 19.解：（1）如图，过点D 分别作,DM OA DN OB ⊥⊥，垂足分别为,M N ，则DM ON DN OM ====tan DM AM θ==m ），tan BN DN θθ=⋅（m ）. 养殖观赏鱼的面积为12OAB S OA OB =⋅)12θ= 13tan tan θθ=++ 由π0,2θ∈ 可得tan 0θ>，则13tan tan θθ+≥，当且仅当tan θ=，即π6θ=时取等号，此时OAB S = .故当π6θ=时，OAB S 的最小值为（2）由π2AOB OHA ∠∠==，可得BOH ∠θ=， 则m,tan m,m tan cos OHOH AH BH OH OB θθθ==⋅=. 由题意得BH OB AH +≥， 所以11tan cos tan θθθ+≥， 所以sin 1cos cos sin θθθθ+≥，所以()22sin 1sin cos 1sin θθθθ+≥=−， 则22sin sin 10θθ+−≥， 所以1sin 2θ≥或sin 1θ≤−（舍去）. 又因为π02θ<<，所以ππ,62θ ∈ .。
辽宁省部分学校2022-2023学年高一下学期期末联考数学试题及参考答案
高一考试数学试卷注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．4．本试卷主要考试内容：人教B 版必修第三册至必修第四册．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．一个几何体的棱数是奇数，则这个几何体可能是（ ） A ．三棱锥 B ．三棱柱C ．四棱锥D ．四棱柱2．31i2i −=+（ ） A ．31i 55−B ．31i 55−+C ．13i 55−D ．13i 55−+ 3．若正五边形ABCDE 的中心为O ，以AO 所在的直线为轴，其余五边旋转半周形成的面围成一个几何体，则（ ） A ．该几何体为圆台B ．该几何体是由圆台和圆锥组合而成的简单组合体C ．该几何体为圆柱D ．该几何体是由圆柱和圆锥组合而成的简单组合体4．已知向量(),1a m = ，()1,1b m =−，若()a ab ⊥+，则m =（ ）A ．0或2B ．2C ．0或2−D ．2−5．棣莫弗定理是由法国数学家棣莫弗发现的，由棣莫弗定理可以导出复数乘方公式：()()cos isin cos isin nnr r n n θθθθ + =+．根据复数乘方公式，复数20232cos isin 55ππ −+在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限6．如图，在圆柱OO ′中，AB ，CD 分别为圆O ，O ′的直径，AB CD ∥，2AB BC ==，DE 为BC 的中点，则一只蚂蚁在圆柱表而从A 爬到E 的最短路径的长度为（ ）ABCD7．已知函数()2cos 3f x x πω=+（0ω>）在0,12π上恰有3个零点，则ω的取值范围为（ ） A ．(]40,48B ．[)40,48C ．(]42,46D ．[)42,468．在直三棱柱111ABC A B C −中，23BAC π∠=，122AA AC AB ===，O 为四边形11AA C C 的中心，则异面直线1OB 与1A B 夹角的余弦值为（ ）ABCD二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．下列结论正确的是（ ）A ．球心与球面上两个不同的点确定一个平面B ．若直线l 上任意一点都不在平面α内，则l α∥C ．若平面α∥平面β，直线l ⊥平面β，则l α⊥D ．若直线l ∥平面α，直线l ⊥平面β，则αβ⊥ 10．已知()2,1A −，()3,2B ，()1,3C −，则（ ）A ．()1,3AB =−−B ．9AB AC ⋅=C．cos ,AB AC = D ．AB 在AC 上的投影的数量为9511．若200450x x −+=（0x 为复数），则（ ） A ．02i x =±B ．0054x x += C ．2020258x x += D ．4002455x x −=−12．在正三棱锥P ABC −中，PA 与底面ABC，AB = ） A ．PC AB ⊥B ．三棱锥P ABC −的体积为C ．二面角P AB C −−的大小为3πD ．三棱锥P ABC −的外接球的表面积为493π三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．13．用斜二测画法画出的水平放置的ABC △的直观图如图所示，已知1A B ′′=，12A C ′′=，则BC =______．14．已知复数z 满足213i z z =++，则2z z +=______．15．在正四棱台1111ABCD A B C D −中，4AB =，112A B =，1AA =，则该棱台的体积为______．16．汾阳文峰塔建于明末清初，位于山西省汾阳市城区以东2公里的建昌村，该塔共十三层，雄伟挺拔，高度位于中国砖结构古塔之首．如图，某测绘小组为了测量汾阳文峰塔的实际高度AB ，选取了与塔底B 在同一水平面内的三个测量基点C ，D ，E ，现测得30BCD ∠=°，70BDC ∠=°，120BED °∠=，17.2m BE =，10.32m DE =，在点C 测得塔顶A 的仰角为62°，则塔高AB =______．（结果精确到1m ）．参考数据：取tan62 1.88=°，sin700.94=°12.04=．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知复数()216i z a a =+−，2223i z a a =−+，a ∈R ．（1）若12z z +是纯虚数，求a ； （2）若120z z +>，求1z ． 18．（12分）如图，正方体1111ABCD A B C D −被平面EFGH 截成两个几何体，其中E ，F ，G ，H 分别在棱11C D ，1CC ，1BB ，11A B 上．（1）证明：EF ∥平面DGH ；（2）若11122336AB A H BG EC FC =====，且直线HE 与GF 交于点O ，求三棱锥1O C EF −的体积．19．（12分）已知函数()()sin f x x ωϕ=+（0ω>，2πϕ<）在5,1818ππ−上单调递增，且直线18x π=−和518x π=为()f x 图象的两条对称轴． （1）求()f x 的解析式； （2）若函数()()6g x f x f x π=++，求()g x 的单调递增区间． 20．（12分）如图，在圆锥PO 中，AB 是圆O 的直径，C 为 AB 上更靠近A 的三等分点，D 为线段PO 的中点，且3PA =，圆锥PO 的侧面展开图是圆心角为43π的扇形．（1）求圆锥PO 的表面积； （2）求D 到平面PAC 的距离． 21．（12分）已知锐角ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()sin 1cos sin cos A B B A +=． （1）求A 的取值范围； （2）求2aa c+的取值范围．22．（12分）如图1，在等腰直角ABC △中，2C π∠=，D ，E 分别是AC ，AB 的中点，F 为线段CD 上一点（不含端点），将ADE △沿DE 翻折到1A DE △的位置，连接1A C ，1A B ，得到四棱锥1A BCDE −，如图2所示，且1A F CD ⊥．（1）证明：1A F ⊥平面BCDE ；（2）若直线1A E 与平面BCDE 1A BD C −−的平面角的正切值．高一考试数学试卷参考答案1．B 三棱锥有6条棱，三棱柱有9条棱，四棱锥有8条棱，四棱柱有12条棱．2．A31i 1i31i 2i 2i55−−==−+−． 3．B 由题意可知该几何体是由圆台和圆锥组合而成的简单组合体．4．C 由题意得()1,a b m m +=+，所以()10m m m ++=，得0m =或2−． 5．D 由题意得20232cos isin 55ππ−+()()2023202320232023332cos isin 2cos isin 5555ππππ=−+=−+， 因为()202320−<，3cos 05π<，3sin05π>，所以复数20232cos isin 55ππ −+在复平面内对应的点位于第四象限．6．A 如图，在半圆柱侧面的展开图上，AB π=，1BE =，则最短路径的长度为AE ．7．D 因为0,12x π∈，所以,33123x πππωπω +∈+ ．令2cos 03x πω +−= ，则cos 3x πω + ．因为()2cos 3f x x πω =+在0,12π上有3个零点，所以232561236ππωππ≤+<，解得4246ω≤<． 8．C 如图，延长AB 至点D ，使AB BD =，延长11A B 至点E ，使111A B B E =，连接DE ，1B D ，易证11A B B D ∥，则异面直线1OB 与1A B 的夹角为1OB D ∠，过O 作FH AC ⊥，垂足为F ，交11A C 于H ，连接DF ，1B H ，OD ，由余弦定理得1B H =，DF =，所以12OB =，OD =，易得1B D =，所以1cos OB D ∠=．9．BCD 当球心与球面上两个不同的点在一条直线上时，不能确定一个平面，A 错误．易得B ，C ，D 正确．10．BCD 由题意得()1,3AB =，()3,4AC =− ，所以3129AB AC ⋅=−+=，cos ,AB AC AB ACAB AC⋅==，AB 在AC 上的投影的数量为95AB AC AC ⋅= ． 11．ABD ()2200000450212i 2i x x x x x −+=⇒−=−⇒−=±⇒=±，A 正确．2000054504x x x x −+=⇒+=，B 正确． 22000200055254166x x x x x x +=⇒+=⇒+=，C 错误．22000045045x x x x −+=⇒=−，则()()()242200000000244524166425164251652555x x x x x x x x −=−−=−+=−+=×−+=−，D 正确． 12．ACD 由题意，作正三棱锥P ABC −，取AB 的中点D ，连接PD ，CD ，取等边ABC △的中心O ，连接PO ，AO ，如图所示．在正三棱锥P ABC −中，因为D 为AB 的中点，所以PD AB ⊥，在等边ABC △中，因为D 为AB 的中点，所以CD AB ⊥．又PD CD D = ，所以AB ⊥平面PDC ，则PC AB ⊥．易知PO ⊥平面ABC ，所以PAO ∠为PA 与底面ABC所成的角，则cos AO PAO AP∠=AB =2AO =，AP =，PO =，1DO =，所以三棱锥P ABC −的体积为(2133=．易知二面角P AB C −−的平面角为PDC ∠，又tan POPDC DO ∠=，所以3PDC π∠=．设正三棱锥P ABC −的外接球的半径为r ，则()222r PO CO r −+=，可得(224r r +=，解得r =，故正三棱锥P ABC −的外接球的表面积24943S r ππ==．故选ACD ． 13由斜二测画法得，在ABC △中，2BAC π∠=，1AB AC ==，所以BC =14．3i −− 设i z a b =+（a ，b ∈R ），则()()i 2i 13i 2132i a b a b a b +=−++=++−， 所以21,32,a a b b =+ =− 得1,1.a b =− = 故()21i 21i 3i z z +=−++−−=−−．15．563如图，连接AC ，BD 交于点O ，连接11A C ，11B D 交于点1O ，连接1OO ，过1A 作1A M AC ⊥，垂足为M ，易得1A M 为四棱台1111ABCD A B C D −的高，则1111111122A O A C B ==1122AO AC ==， 所以)111(2AM AC A C =−=，12A M ==．故该棱台的体积为(156216433××++=．16．85m 由余弦定理得2222cos BD BE DE BE DE BED +−⋅⋅∠，则BD =212.0424.08m =×=．在BCD △中，由正弦定理得sin sin BD BCBCD BDC=∠∠， 则sin 24.080.9445.27m 1sin 2BD BDC BC BCD⋅∠×==≈∠．在ABC △中，62ACB ∠=°，所以tan 45.27 1.8885.107685m AB BC ACB =⋅∠≈×=≈． 17．解：（1）由题意得()2212236i z z a a a a ++−++−，因为12z z +是纯虚数，所以22230,60,a a a a +−= +−≠ ，得1a =．（2）因为120z z +>，所以22230,60,a a a a +−> +−=，得2a =．故144i z =−=．18．（1）证明：由正方体性质可得平面11ABB A ∥平面11DCC D ，∵平面11ABB A 平面EFGH GH =，平面11DCC D 平面EFGH EF =， ∴EF GH ∥．∵GH ⊂平面DGH ，EF ⊄平面DGH ， ∴EF ∥平面DGH ．（2）解：∵O HE ∈，HE ⊂平面1111A B C D ，∴O ∈平面1111A B C D ．∵O GF ∈，GF ⊂平面11BCC B ，∴O ∈平面11BCC B ． ∵平面1111A B C D 平面1111BCC B B C =，∴11O B C ∈．∵11OEC OHB △∽△，∴111123OC EC OB HB ==， 即()11263OC OC =+，则112OC =， ∴1111111118332O C EF C EF V S OC EC FC OC −=⋅=×⋅⋅=△．19．解：（1）设()f x 的最小正周期为T ，则5218183T ππππω ==−−=，得3ω=． 由题意得53182k ππϕπ×+=+（k ∈Z ）， 得3k πϕπ=−+（k ∈Z ），因为2πϕ<，所以3πϕ=−．故()sin 33f x x π=−． （2）由题意得()sin 3sin 3sin 3cos 33233g x x x x x ππππ=−+−+=−+−333412x x πππ−+=−，由2322122k x k πππππ−+≤−≤+（k ∈Z ），得5272363363k k x ππππ−+≤≤+（k ∈Z ）， 所以()g x 的单调递增区间为5272,363363k k ππππ−++ （k ∈Z ）． 20．解：（1）由题意得4233AO ππ=×，得2AO =， 所以圆锥PO 的表面积为210AO AO PA πππ+⋅=．（2）由题意得D 到平面PAC 的距离等于O 到平面PAC 的距离的12． 因为C 为 AB 上更靠近A 的三等分点，所以AOC △为等边三角形，所以1sin 2AOC S AO CO AOC =⋅∠=△易得12PACS AC ==△，PO ==，设O 到平面PAC 的距离为h ， 由1133O PAC PAC P AOC ADC V S h V S PO −−=⋅==⋅△△，得AOC PACS PO hS ⋅=△△ 故D 到平面PAC21．解：（1）由题意得()sin sin cos cos sin sin A B A B A B A =−=−， 所以A B A =−或A B A B π+−==（舍去），即2B A =．因为ABC △是锐角三角形，所以0,202,203,2A B A C A ππππ<<<<<=−<得,64A ππ∈ ． （2）由正弦定理得()22sin 2sin sin sin sin sin cos cos sin aA A a cA AB A A B A B==+++++()2222sin 2sin 1sin sin cos2cos sin22cos sin sin 2cos 12sin cos A A A A A A A AA A A A A ==+++−+， 由,64A ππ ∈，得cos A ∈，232cos 1,2A ∈ ， 所以2212,12cos 3aa cA =∈+ ，即2a a c +的取值范围为2,13． 22．（1）证明：∵2C π∠=，DE BC ∥，∴DE AD ⊥（1DE A D ⊥），DE CD ⊥． ∵1A D CD D = ，∴DE ⊥平面1A DC ． ∵1A F ⊂平面1A DC ，∴1DE A F ⊥．又CD DE D = ，∴1A F ⊥平面BCDE ．（2）解：在图2中，连接EF ．由题意得1A D CD DE ==，∵1A F ⊥平面BCDE ，∴直线1A E 与平面BCDE 所成的角为1A EF ∠，则1tan A EF ∠=． 设DF x =，则1A F =，EF∴11tan A F A EF EF ∠=，得12A D x =，即F 为CD 的中点． 过F 作FO BD ⊥，垂足为O ．∵1A F ⊥平面BCDE ，∴1A F BD ⊥， ∵1A F OF F = ，∴BD ⊥平面A OF ，∴1AO BD ⊥， ∴二面角1A BD C −−的平面角为1A OF ∠．由题意得4,2BC x CD x ==，则BD，∴12CD BC OF x BD ⋅=⋅，∵1A F =，∴11tan A F A OF OF ∠=．。