第十章 概率与概率分布
数学高考复习名师精品教案：第90课时：第十章 排列、组合和概率-随机变量的分布列、期望和方差
数学高考复习名师精品教案第90课时：第十章排列、组合和概率——随机变量的分布列、期望和方差课题：随机变量的分布列、期望和方差教学目的：1．通过本课的教学，对本单元知识内容进行梳理，加深有关概念的理解，在综合运用知识能力上提高一步。
2．通过对几道例题的讲解、讨论和进一步的练习，提高学生灵活运用本单元知识解决问题的能力。
教学重点、难点：对于离散型随机变量，我们关心的是它会取哪些值、取这些值的概率、取值的平均值、稳定性等．这部分内容的实用性较强，教学过程中，要重点引导学生分析、解决一些实际问题，提高学生综合运用知识解决实际问题的能力．教学过程：1．通览基础知识2.提出随机变量ξ的分布列的概念，总结任一离散型随机变量的分布列具有的两个简单性质在分析和研究上述例子的基础上，概括出：一般地，设离散型随机变量ξ可能取的值为x1, x2, …，x i,…,ξ取每一个值x i (I=1，2，…)的概率为P(ξ= x i)=P i，则称表为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列。
离散型随机变量的分布列的两个简单性质：(1) P i≥0，I=1，2，…；(2) P1 +P2 + (1)3．讲参考例题例1 一盒中放有大小相同的红色、绿色、黄色三种小球，已知红球个数是绿球个数的两倍，黄球个数是绿球的一半，现从该盒中随机取出一个球，若取出红球得1分，取出黄球得0分，取出绿球得-1分，试写出从该盒中随机取出一球所得分数ξ的分布列。
解：设黄球的个数为n ，依题意知道绿球个数为2n ，红球个数为4n ，盒中球的总数为7n 。
71n 7n )0(P ,72n 7n 2)1(P ,74n 7n 4)1(P ===ξ==-=ξ===ξ∴ 则从该盒中随机取出一球所得分数ξ的分布列为例2 一个类似于细胞分裂的物体，一次分裂为二，两次分裂为四，如此继续分裂有限多次，而随机终止。
设分裂n 次终止的概率是）（⋯=,3,2,1n 21n 。
记ξ为原物体在分裂终止后所生成的子块数目。
概率与概率分布PPT课件
0
1
P
0.05
0.95
一、案例 [投篮命中次数的概率分布] 某人投篮的命中率为0.7，现投篮20次，则投篮命中
的次数 是随机变量，可能取值为0，1，2，…，20，
其概率分布为
P( k) C2k0 (0.7)k (0.3)20k (k 1,2,,20)
二项分布
如果随机变量 取值为0，1，2，…，n，其概率
分布为
P( k) Cnk pk (1 p)nk (k 1,2,, n) 则称 服从参数为n,p的二项分布，记作
～B(n, p)
三、进一步练习 练习[摸球] 练习 [使用寿命] 按规定，某种型号电子元件的使用 寿命超过1500小时的为一级品．已知某大批产品的一 级品率为0.2，现从中随机地抽查10只，设10只元件
从有3件废品的一批产品中任取5件，观察出现废品 的件数．我们发现这个随机试验的所有可能结果可 以用0，1，2，3这4个数字来表示．
案例3 [抛硬币] 抛一枚硬币，结果只有“出现正面”和“出现反面” 两种情况，若用数0表示出现正面，数1表示出现反 面，那么，抛一枚硬币的结果也可以用0，1这2个数 字来表示．
二、 概念和公式的引出
伯努利试验
如果一次随机试验只出现两种结果，用随机变量 取0或1来表示，那么称 服从两点（或0-1）分布． 设 取0时的概率为p，则 的概率分布见下表
0
1
P
p
1 p
三、进一步练习
练习[产品抽样]
某厂生产的产品合格率为0.95，今抽取一件产品进行
检验，则抽出合格品的件数 服从两点分布．
一定顺序列出．如掷一枚骰子，可用
取值1，2，…，6来表示所有结果．
二、 概念和公式的引出
高考数学总复习第十章计数原理概率随机变量及其分布10.4随机事件的概率理新人教A版
(3)与(1)同理，可得
顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为1200000＝0.2，
顾
客
同时
购买甲和丙的概率可以估
计为
100＋200＋300 1 000
＝
0.6，
顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为1100000＝0.1.
所以，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最
大．
考点三 互斥事件与对立事件的概率
第十章
计数原理、概率、随机变量及其分布
第4节 随机事件的概率
考纲考情
考向预测
从近三年高考情况来看，本节是高考中的一
1.了解随机事件发 生的不确定性和频
个热点，但一般不独立命题．预测 2020 年
率的稳定性，了解概 高考将考查随机事件、互斥事件与对立事件
率的意义及频率与 的概率，与事件的频率交汇考查．其中随机
解：(1)由已知得 25＋y＋10＝55，x＋30＝45，所以 x＝15， y＝20.
该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体， 所收集的 100 位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个 容量为 100 的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值 可用样本平均数估计，其估计值为 1×15＋1.5×30＋2× 10025＋2.5×20＋3×10＝1.9(分钟)．
(1)设 A 与 B 是互斥事件，A，B 的对立事件分别记为 A ， B ，则下
列说法正确的是( C )
A．A 与 B 互斥 B. A 与 B 互斥 C．P(A＋B)＝P(A)＋P(B) D．P( A ＋ B )＝1
解析：根据互斥事件的定义可知，A 与 B ， A 与 B 都有可能 同时发生，所以 A 与 B 互斥， A 与 B 互斥是不正确的；P(A＋B) ＝P(A)＋P(B)正确； A 与 B 既不一定互斥，也不一定对立，所以 D 错误.
高中数学必修二第十章概率考点大全笔记(带答案)
高中数学必修二第十章概率考点大全笔记单选题1、打靶3次，事件A i表示“击中i发”，其中i=0、1、2、3.那么A=A1∪A2∪A3表示（）A．全部击中B．至少击中1发C．至少击中2发D．以上均不正确答案：B分析：利用并事件的定义可得出结论.A=A1∪A2∪A3所表示的含义是A1、A2、A3这三个事件中至少有一个发生，即可能击中1发、2发或3发.故选：B.2、已知某运动员每次射击击中目标的概率为80%.现采用随机模拟的方法估计某运动员射击4次，至少击中3次的概率.先由计算器给出0到9之间取整数值的随机数，指定0，1表示没有击中目标，2，3，4，5，6，7，8，9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：75270293714098570347437386366947761042811417469803716233261680456011366195977424根据以上数据估计该射击运动员射击4次，至少击中3次的概率为（）A．0.852B．0.8192C．0.8D．0.75答案：D分析：由题设模拟数据确定击中目标至少3次的随机数组，应用古典概型的概率求法求概率.在20组随机数中含{2,3,4,5,6,7,8,9}中的数至少3个（含3个或4个），共有15组，即模拟结果中射击4次，=0.75.至少击中3次的频率为1520据此估计该运动员射击4次，至少击中3次的概率为0.75.故选：D3、下列事件属于古典概型的是（）A．任意抛掷两颗均匀的正方体骰子，所得点数之和作为基本事件B．篮球运动员投篮，观察他是否投中C．测量一杯水分子的个数D．在4个完全相同的小球中任取1个答案：D解析：根据古典概率的特征，逐项判断，即可得出结果判断一个事件是否为古典概型，主要看它是否具有古典概型的两个特征：有限性和等可能性.A选项，任意抛掷两颗均匀的正方体骰子，所得点数之和对应的概率不全相等，如点数之和为2与点数之和为3发生的可能性显然不相等，不属于古典概型，故A排除；B选项，“投中”与“未投中”发生的可能性不一定相等，不属于古典概型，故B排除；C选项，杯中水分子有无数多个，不属于古典概率，故C排除；D选项，在4个完全相同的小球中任取1个，每个球被抽到的机会均等，且包含的基本事件共有4个，符合古典概型，故D正确.故选：D.4、某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙均属于次品，生产中出现乙级品的概率为0.03，丙级品的概率为0.01．若从中抽查一件，则恰好得正品的概率为（）A．0.09B．0.96C．0.97D．0.98答案：B分析：根据互斥事件概率公式即得.记事件A={甲级品}，B={乙级品}，C={丙级品}，则A与B+C是对立事件，所以P(A)=1−P(B+C)=1−0.03−0.01=0.96．故选：B.5、从装有3个红球和2个黑球的口袋内任取3个球，那么“至少有2个黑球”的对立事件是（）A．至少有1个红球B．至少有1个黑球C．至多有1个黑球D．至多2个红球答案：C分析：根据对立事件的定义判断即可由题，由对立事件的定义，“至少有2个黑球”与“至多有1个黑球”对立，6、已知集合M ={−1,0,1,−2}，从集合M 中有放回地任取两元素作为点P 的坐标，则点P 落在坐标轴上的概率为（ ）A ．516B ．716C ．38D ．58 答案：B分析：利用古典概型的概率求解.由已知得，基本事件共有4×4= 16个，其中落在坐标轴上的点为：(−1,0)，(0,−1)，(0,0)，(1,0)，(0,1)，(−2,0)，(0,−2)，共7个，∴所求的概率P =716， 故选：B ．7、某种心脏手术，成功率为0.6，现采用随机模拟方法估计“3例心脏手术全部成功”的概率：先利用计算器或计算机产生0~9之间取整数值的随机数，由于成功率是0.6，我们用0，1，2，3表示手术不成功，4，5，6，7，8，9表示手术成功；再以每3个随机数为一组，作为3例手术的结果，经随机模拟产生如下10组随机数： 812，832，569，683，271，989，730，537，925，907由此估计“3例心脏手术全部成功”的概率为（ ）A ．0.2B ．0.3C ．0.4D ．0.5答案：A分析：由题可知10组随机数中表示“3例心脏手术全部成功”的有2组，即求.解：由题意，10组随机数：812,832,569,683,271,989,730,537,925,907，表示“3例心脏手术全部成功”的有： 569, 989，故2个，故估计“3例心脏手术全部成功”的概率为210=0.2.故选：A.8、从装有两个红球和三个黑球的口袋里任取两个球，那么互斥而不对立的两个事件是（ ）A ．“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”B ．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”C ．“至少有一个黑球”与“都是黑球”D ．“至少有一个黑球”与“都是红球”分析：根据互斥事件和对立事件的定义直接判断.对于A：“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”不能同时发生，但能同时不发生，故A中的两事件互斥而不对立；对于B：“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”能同时发生，故B中的两事件不互斥；对于C：“至少有一个黑球”与“都是黑球”能同时发生，故C中的两事件不是互斥事件；对于D：“至少有一个黑球”与“都是红球”互斥并且对立.故选：A多选题9、甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A1、A2和A3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是（）A．P(B)的值不能确定，因为它与A1、A2、A3中究竟哪一个发生有关B．P(B|A1)=511C．事件B与事件A1相互独立D．A1、A2、A3是两两互斥的事件答案：BD分析：P(B)的值与A1、A2、A3都有关，可以计算，可判断A；由条件概率的计算公式计算可判断B；事件B与A1的发生有关系可判断C；A1、A2、A3不可能同时发生，是互斥事件可判断D.A选项，P(B)=P(BA1)+P(BA2)+P(BA3)=510×511+210×411+310×411=922，所以A错误；B选项，P(B|A1)=510×51112=511，所以B正确；C选项，事件B与A1的发生有关系，所以C错误；D选项，A1、A2、A3不可能同时发生，是互斥事件，所以D正确.故选：BD.10、小张上班从家到公司开车有两条线路，所需时间（分钟）随交通堵塞状况有所变化，其概率分布如下表60分钟”是对立事件B．从所需的平均时间看，线路一比线路二更节省时间C．如果要求在45分钟以内从家赶到公司，小张应该走线路一D．若小张上、下班走不同线路，则所需时间之和大于100分钟的概率为0.04答案：BD分析：对于选项A，二者是互斥而不对立事件，所以选项A错误；对于选项B，通过计算得到线路一比线路二更节省时间，所以选项B正确；对于选项C，线路一所需时间小于45分钟的概率小于线路二所需时间小于45分钟的概率，所以选项C错误；对于选项D，求出所需时间之和大于100分钟的概率为0.04，所以选项D正确. 对于选项A，“所需时间小于50分钟”与“所需时间为60分钟”是互斥而不对立事件，所以选项A错误；对于选项B，线路一所需的平均时间为30×0.5+40×0.2+50×0.2+69×0.1=39分钟，线路二所需的平均时间为30×0.3+40×0.5+50×0.1+60×0.1=40分钟，所以线路一比线路二更节省时间，所以选项B正确；对于选项C，线路一所需时间小于45分钟的概率为0.7，线路二所需时间小于45分钟的概率为0.8，小张应该选线路二，所以选项C错误；对于选项D，所需时间之和大于100分钟，则线路一、线路二的时间可以为(50,60)，(60,50)和(60,60)三种情况，概率为0.2×0.1+0.1×0.1+0.1×0.1=0.04，所以选项D正确．故选：BD.小提示：本题主要考查概率的计算和应用，考查随机变量的均值的计算和应用，考查互斥事件和对立事件的概念，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.11、下列说法错误的是（）A．甲、乙二人比赛，甲胜的概率为3，则比赛5场，甲胜3场5B．某医院治疗一种疾病的治愈率为10%，前9个病人没有治愈，则第10个病人一定治愈C．随机试验的频率与概率相等D ．天气预报中，预报明天降水概率为90%，是指降水的可能性是90%答案：ABC分析：根据频率与概率的概念分析可得答案.对于A ，甲、乙二人比赛，甲胜的概率为35，是指每场比赛，甲胜的可能性为35，则比赛5场，甲可能胜3场、2场、1场、0场，故A 错误；对于B ，治愈率为10%，是指每个人治愈的可能性是10%，不是说前9个病人没有治愈，则第10个病人一定治愈，故B 错误；对于C ，随机试验的频率是变化的，概率是频率的稳定值，是固定的，故C 错误；对于D ，天气预报中，预报明天降水概率为90%，是指降水的可能性是90%，故D 正确.故选：ABC填空题12、将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是_____. 答案：19分析：分别求出基本事件总数，点数和为5的种数，再根据概率公式解答即可．根据题意可得基本事件数总为6×6=36个.点数和为5的基本事件有(1,4)，(4,1)，(2,3)，(3,2)共4个.∴出现向上的点数和为5的概率为P =436=19.所以答案是：19. 小提示：本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．13、已知事件A ，B ，且P (A )=0.5，P (B )=0.2，如果A 与B 互斥，令m =P (AB )；如果A 与B 相互独立，令n =P (A B̅)，则n −m =___________. 答案：0.4##25分析：利用互斥事件的概念及独立事件概率公式即得.∵A 与B 互斥，∴m =P (AB )=0,∵A与B相互独立，∴n=P(A B̅)=P(A)P(B̅)=(1−0.5)×(1−0.2)=0.4，∴n−m=0.4.所以答案是：0.4.14、为迎接2022年北京冬奥会，某工厂生产了一批雪车，这批产品中按质量分为一等品、二等品、三等品.从这批雪车中随机抽取一件雪车检测，已知抽到不是三等品的概率为0.93，抽到一等品或三等品的概率为0.82，则抽到一等品的概率为___________.答案：0.75##34分析：由互斥事件的概率加法公式进行求解即可．设抽到一等品，二等品，三等品的事件分别为A，B，C，则{P(A)+P(B)=0.93 P(A)+P(C)=0.82P(A)+P(B)+P(C)=1，解得{P(A)=0.75P(B)=0.18P(C)=0.07，所以抽到一等品的概率为0.75.所以答案是：0.75.解答题15、某校夏令营有3名男同学A，B，C和3名女同学X，Y，Z，其年级情况如下表：(每人被选到的可能性相同)．（1）写出该试验的样本空间Ω；（2）设事件M为“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，试用集合表示M．答案：（1）答案见解析；（2）答案见解析．分析：（1）从6名同学中随机选出2人，那么每个人都有可能被选到，将所有的组合列出来即可；（2）找出所有组合中，既满足2人来自不同年级，又满足恰有1名男同学和1名女同学的所有情况即可. 解（1）Ω＝{AB，AC，AX，AY，AZ，BC，BX，BY，BZ，CX，CY，CZ，XY，XZ，YZ}．（2）M＝{AY，AZ，BX，BZ，CX，CY}．。
概率与概率分布
概率与概率分布概率是数学中的一个重要概念，它描述了事件发生的可能性。
在现实生活和各个学科领域中，概率都有着广泛的应用。
而概率分布则是概率理论的基础，用于描述不同事件发生的概率分布情况。
本文将介绍概率的定义，概率的性质以及概率分布的类型和应用。
一、概率的定义与性质1.1 概率的定义概率是指某个事件在特定条件下发生的可能性。
它通常用一个介于0和1之间的数值来表示，其中0代表不可能发生的事件，而1代表必然发生的事件。
概率的计算方法可以通过实验观察、理论推导或者数据统计等方式得到。
1.2 概率的性质概率具有以下几个重要的性质：1) 非负性：概率的值始终是非负的，即概率不会为负数。
2) 正则性：所有可能事件的概率之和等于1，即P(Ω) = 1，其中Ω代表样本空间。
3) 可列可加性：对于任意一组互不相容的事件Ai（i = 1,2,...,n），它们的概率之和等于各个事件概率的和，即P(A1∪A2∪...∪An) =P(A1)+ P(A2)+ ...+ P(An)。
二、概率分布的概念与类型2.1 概率分布的概念概率分布是用于描述随机变量可能取值的概率情况的函数或表格。
随机变量是实验结果的函数，它的取值是根据概率分布来确定的。
2.2 常见的概率分布类型2.2.1 离散概率分布离散概率分布是指随机变量的取值只能是离散的、有限或可数个的情况。
常见的离散概率分布有：1) 伯努利分布：描述了只有两个可能结果的随机试验，如抛硬币的结果。
2) 二项分布：用于描述重复n次、每次试验只有两个可能结果的情况。
3) 泊松分布：适用于描述单位时间或单位面积内随机事件发生次数的概率分布。
2.2.2 连续概率分布连续概率分布是指随机变量的取值可以是连续的、无限多个的情况。
常见的连续概率分布有：1) 均匀分布：描述在一个区间内每个取值出现的可能性相等的概率分布。
2) 正态分布：也称为高斯分布，是最常见的连续概率分布之一，广泛应用于各个领域。
2022版新教材高考数学一轮复习第十章概率随机变量及其分布10.4二项分布与超几何分布正态分布学案新
10.4二项分布与超几何分布、正态分布必备知识预案自诊知识梳理1.伯努利试验(1)定义:只包含两个可能结果的试验.(2)n 重伯努利试验:将一个伯努利试验独立地重复进行n 次所组成的随机试验. 显然,n 重伯努利试验具有如下共同特征:①同一个伯努利试验重复做n 次,“重复”意味着各次试验成功的概率相同;②各次试验的结果相互独立.注:独立重复试验的实际原型是有放回的抽样检验问题.温馨提示两个事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一事件发生的概率没有影响.独立重复试验是指在同样条件下可重复进行的,各次之间相互独立的一种试验.由此可见,独立重复试验是相互独立事件的特例,就像对立事件是互斥事件的特例一样,只是有“恰好”字样的用独立重复试验的概率公式计算更简单,就像有“至少”“至多”字样的题用对立事件的概率公式计算更简单一样.2.二项分布定义:一般地,在n 重伯努利试验中,设每次试验中事件A 发生的概率为p (0<p<1),用X 表示事件A 发生的次数,则X 的分布列为P (X=k )=k p k (1-p )n-k ,k=0,1,2,…,n.如果随机变量X 的分布列具有上式形式,则称随机变量X 服从二项分布,记作X~B (n ,p ).温馨提示(1)二项式[(1-p )+p ]n 的展开式中,第k+1项为T k+1=k (1-p )n-k p k ,可见P (X=k )就是二项式[(1-p )+p ]n 的展开式中的第k+1项,故称随机变量X 服从二项分布.(2)判断一个随机变量是否服从二项分布的两个关键点:①在一次试验中,事件A 发生与不发生,二者必居其一,且A 发生的概率不变; ②试验可以独立重复进行n 次.(3)P (X=k )=∑k=0nk(1-p )n-k p k =[p+(1-p )]n =1.(4)两点分布是特殊的二项分布. 3.超几何分布 (1)定义一般地,假设一批产品共有N 件,其中有M 件次品.从N 件产品中随机抽取任取n 件(不放回),用X 表示抽取的n 件产品中的次品数,则X 的分布列为P (X=k )=C Mk -M n -kn,k=m ,m+1,m+2,…,r ,其中n ,M ,N ∈N *,M ≤N ,n ≤N ,m=max{0,n-N+M },r=min{n ,M }.如果随机变量X 的分布列具有上式的形式,那么称随机变量X 服从超几何分布. (2)超几何分布与二项分布的关系 不同点联系假设一批产品共有N 件,其中有M 件次品.从N 件产品中随机抽取n 件,用X 表示抽取的n 件产品中的次品数,二项分布和超几何分布都可以描述随机抽取n 件产品中次品的分布规若采用有放回抽样的方法抽取,则随机变量X服从二项分布,即X~B(n,p)其中p=MN;若采用不放回抽样的方法随机抽取则随机变量X服从超几何分布律,并且二者的均值相同.对于不放回抽样,当n远远小于N时,每抽取一次后,对N的影响很小,超几何分布可以用二项分布近似温馨提示超几何分布广泛地存在于现实生活中,如产品中的合格品与不合格品,盒子中的红球与黑球,学生中的男生和女生等.但超几何分布还必须满足以下三个特点:(1)总体中含有两类不同的个体;(2)不放回的抽取,且无先后顺序;(3)随机变量是从总体中抽取的n个个体中某一类个体的数量.4.正态密度函数与正态曲线(1)定义函数f(x)=σ√2π-(x-μ)22σ2,x∈R,其中μ∈R,σ>0为参数,我们称f(x)为正态密度函数,称它的图象为正态分布密度曲线,简称正态曲线.特别地,当μ=0,σ=1时,相应曲线称为标准正态曲线.(2)几何意义:随机变量X落在区间[a,b]的概率为P(a≤X≤b),即由正态曲线、过点(a,0)和点(b,0)的两条x轴的垂线及x轴所围成的平面图形的面积,如图中阴影部分的面积,就是X落在区间[a,b]的概率.(3)特点①曲线位于x轴上方,与x轴不相交.当|x|无限增大时,曲线无限接近x轴.②曲线与x轴之间的区域的面积为1.③曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称.④曲线在x=μ处达到峰值(最大值)σ√2π.⑤当σ一定时,曲线的位置由μ确定,曲线随着μ的变化而沿x轴平移.⑥当μ一定时,曲线的形状由σ确定,σ越小,曲线越“瘦高”,表示总体的分布比较集中;σ越大,曲线越“矮胖”,表示总体的分布比较分散.5.正态分布(1)概念:①定义:若随机变量X的概率分布密度函数为正态密度函数f(x),则称随机变量X服从正态分布.②表示方法:记为X~N(μ,σ2).③标准正态分布:当μ=0,σ=1时,称随机变量X服从标准正态分布.(2)正态分布的3σ原则假设X~N(μ,σ2),可以证明:对给定的k∈N*,P(μ-kσ≤X≤μ+kσ)是一个只与k有关的定值.特别地,P (μ-σ≤X ≤μ+σ)≈0.682 7, P (μ-2σ≤X ≤μ+2σ)≈0.954 5, P (μ-3σ≤X ≤μ+3σ)≈0.997 3.上述结果可用右图表示.由此看到,尽管正态变量的取值X 围是(-∞,+∞),但在一次试验中,X 的取值几乎总是落在区间[μ-3σ,μ+3σ]内,而在此区间以外取值的概率大约只有0.002 7,通常认为这种情况几乎不可能发生.在实际应用中,通常认为服从于正态分布N (μ,σ2)的随机变量X 只取[μ-3σ,μ+3σ]中的值,这在统计学中称为3σ原则.考点自诊1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(1)二项分布是一个概率分布,其公式相当于(a+b )n 二项展开式的通项,其中a=p ,b=1-p.() (2)从4名男演员和3名女演员中选出4名,其中女演员的人数X 服从超几何分布.()(3)正态分布中的参数μ和σ完全确定了正态分布,参数μ是正态分布的均值,σ是正态分布的标准差.()(4)一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和,它就服从或近似服从正态分布.()(5)二项分布是一个用公式P (X=k )=k p k (1-p )n-k ,k=0,1,2,…,n 表示的概率分布列,它表示了n 次独立重复试验中事件A 发生的次数的概率分布.()2.某贫困县的15个小镇中有9个小镇交通比较方便,有6个不太方便.现从中任意选取10个小镇,其中有X 个小镇交通不太方便,下列概率中等于C 64C 96C 1510的是()A.P (X=4)B.P (X ≤4)C.P (X=6)D.P (X ≤6)3.若随机变量X 服从二项分布B 4,23,则()A.P (X=1)=P (X=3)B.P (X=2)=2P (X=1)C.P (X=2)=P (X=3)D.P (X=3)=4P (X=1)4.在含有3件次品的10件产品中,任取4件,X 表示取到的次品数,则P (X=2)=.5.若随机变量X~N (μ,σ2),且P (X>5)=P (X<-1)=0.2,则P (2<X<5)=.关键能力学案突破考二项分布点及其应用【例1】九节虾的真身是虎斑虾,虾身上有一深一浅的横向纹路,煮熟后有明显的九节白色花纹,肉味鲜美.某酒店购进一批九节虾,并随机抽取了40只统计质量,得到的结果如下表所示:(1)若购进这批九节虾35 000 g,且同一组数据用该组区间的中点值代表,试估计这批九节虾的数量(所得结果保留整数);(2)以频率估计概率,若在本次购买的九节虾中随机挑选4只,记质量在[5,25)间的九节虾的数量为X,求X的分布列.解题心得利用二项分布解决实际问题的关键是建立二项分布模型,解决这类问题时要看它是否为n次独立重复试验,随机变量是否为在这n次独立重复试验中某事件发生的次数,满足这两点的随机变量才服从二项分布.对点训练1一家医药研究所从中草药中提取并合成了甲、乙两种抗“H病毒”的药物,经试验,服用甲、乙两种药物痊愈的概率分别为12,13,现已进入药物临床试用阶段,每个试用组由4位该病毒的感染者组成,其中2人试用甲种抗病毒药物,2人试用乙种抗病毒药物,如果试用组中,甲种抗病毒药物治愈人数超过乙种抗病毒药物的治愈人数,那么称该组为“甲类组”.(1)求一个试用组为“甲类组”的概率;(2)观察3个试用组,用η表示这3个试用组中“甲类组”的个数,求η的分布列.考点超几何分布【例2】(2020人大附中高三月考)为了解学生自主学习期间完成数学套卷的情况,一名教师对某班级的所有学生进行了调查,调查结果如下表.(1)从这个班的学生中任选一名男生,一名女生,求这两名学生完成套卷数之和为4的概率; (2)若从完成套卷数不少于4的学生中任选4人,设选到的男学生人数为X ,求随机变量X 的分布列.解题心得求超几何分布的分布列的步骤第一步,验证随机变量服从超几何分布,并确定参数N ,M ,n 的值;第二步,根据超几何分布的概率计算公式计算出随机变量取每一个值时的概率; 第三步,用表格的形式列出分布列.对点训练2PM2.5是指悬浮在空气中的空气动力学当量直径小于或等于2.5微米的可入肺颗粒物.根据现行国家标准,PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级;在35微克/立方米~75微克/立方米之间空气质量为二级;在75微克/立方米以上空气质量为超标.从某自然保护区2020年全年每天的PM2.5监测数据中随机地抽取10天的数据作为样本,监测值频数如下表所示:(1)从这10天的PM2.5日均值监测数据中,随机抽出3天,求恰有一天空气质量达到一级的概率;(2)从这10天的数据中任取3天数据,记ξ表示抽到PM2.5监测数据超标的天数,求ξ的分布列.考点正态分布及其应用(多考向探究)考向1正态分布的概率计算【例3】(1)已知随机变量X服从正态分布N(3,1),且P(X≥4)=0.158 7,则P(2<X<4)=()A.0.682 6B.0.341 3C.0.460 3D.0.920 7(2)某校在一次月考中有900人参加考试,数学考试的成绩服从正态分布X~N(90,a2)(a>0,试卷满分150分),统计结果显示数学考试成绩在70分到110分之间的人数约为总人数的35,则此次月考中数学考试成绩不低于110分的学生约有人.解题心得正态分布下两类常见的概率计算(1)利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题,涉及的知识主要是正态曲线关于直线x=μ对称,曲线与x轴之间的面积为1.(2)利用3σ原则求概率问题时,要注意把给出的区间或X围与正态变量的μ,σ进行对比联系,确定它们属于[μ-σ,μ+σ],[μ-2σ,μ+2σ],[μ-3σ,μ+3σ]中的哪一个.对点训练3(1)(2020某某开滦高三检测)已知随机变量X~N(7,4),且P(5<X<9)=a,P(3<X<11)=b,则P(3<X<9)=()A.b-a2B.b+a2C.2b-a2D.2a-b2(2)(2020某某扶余一中月考)已知随机变量ξ服从正态分布N(2,25),若P(ξ>c)=P(ξ<c-2),则实数c的值是()A.4B.3C.2D.1考向2正态分布的实际应用【例4】为了监控生产某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件,并测量其尺寸(单位:cm).根据长期生产经验,可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(μ,σ2).(1)假设生产状态正常,记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在[μ-3σ,μ+3σ]之外的零件数,求P(X≥1)及X的均值.(2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在[μ-3σ,μ+3σ]之外的零件,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查.①试说明上述监控生产过程方法的合理性;②下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸:9.95,10.12,9.96,9.96,10.01,9.92,9.98,10.04,10.26,9.91,10.13,10.02,9.22,10.04,10.05,9.95.经计算得。
高考数学总复习第十章计数原理概率第7讲二项分布及其应用学案
第7讲 二项分布及其应用最新考纲 1.理解条件概率和两个事件相互独立的概念；2.理解n 次独立重复试验的模型及二项分布.能解决一些简单的实际问题.知 识 梳 理1.条件概率(1)定义：设A ，B 为两个事件，如果P (AB )＝P (A )P (B )，则称事件A 与事件B 相互独立. (2)性质：若事件A 与B 相互独立，则A 与B 、A 与B 、A 与B 也都相互独立，P (B |A )＝P (B )，P (A |B )＝P (A ).3.独立重复试验与二项分布 (1)独立重复试验在相同条件下重复做的n 次试验称为n 次独立重复试验，其中A i (i ＝1，2，…，n )是第i 次试验结果，则P (A 1A 2A 3…A n )＝P (A 1)P (A 2)P (A 3)…P (A n ).(2)二项分布在n 次独立重复试验中，用X 表示事件A 发生的次数，设每次试验中事件A 发生的概率为p ，则P (X ＝k )＝C k n p k(1－p )n －k(k ＝0，1，2，…，n )，此时称随机变量X 服从二项分布，记作X ～B (n ，p )，并称p 为成功概率.诊 断 自 测1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)(1)若事件A ，B 相互独立，则P (B |A )＝P (B ).( )(2)P (AB )表示事件A ，B 同时发生的概率，一定有P (AB )＝P (A )·P (B ).( ) (3)二项分布是一个概率分布列，是一个用公式P (X ＝k )＝C k n p k(1－p )n －k，k ＝0，1，2，…，n表示的概率分布列，它表示了n 次独立重复试验中事件A 发生的次数的概率分布.( ) 解析 对于(2)，若A ，B 独立，则P (AB )＝P (A )·P (B )，若A ，B 不独立，则P (AB )＝P (A )·P (B |A )，故(2)不正确.答案 (1)√ (2)× (3)√2.(选修2－3P54T2改编)已知盒中装有3个红球、2个白球、5个黑球，它们大小形状完全相同.甲每次从中任取一个不放回，则在他第一次拿到白球的条件下，第二次拿到红球的概率为( ) A.310B.13C.38D.29解析 设“第一次拿到白球”为事件A ，“第二次拿到红球”为事件B ，依题意P (A )＝210＝15，P (AB )＝2×310×9＝115， 故P (B |A )＝P （AB ）P （A ）＝13.答案 B3.设随机变量X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，12，则P (X ＝3)等于( ) A.516B.316C.58D.38解析 X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，12，由二项分布可得， P (X ＝3)＝C 36⎝ ⎛⎭⎪⎫123·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－123＝516.答案 A4.两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为23和34，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为( ) A.12 B.512C.14D.16解析 设事件A ：甲实习生加工的零件为一等品；事件B ：乙实习生加工的零件为一等品，且A ，B 相互独立，则P (A )＝23，P (B )＝34，所以这两个零件中恰有一个一等品的概率为P (A B )＋P (A B )＝P (A )P (B )＋P (A )P (B )＝23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×34＝512.答案 B5.(2017·嘉兴七校联考)天气预报，端午节假期甲、乙、丙三地降雨的概率分别是0.9、0.8、0.75，若甲、乙、丙三地是否降雨相互之间没有影响，则其中至少一个地方降雨的概率为________.解析 ∵甲、乙、丙三地降雨的概率分别是0.9、0.8、0.75，∴甲、乙、丙三地不降雨的概率分别是0.1、0.2、0.25， 甲、乙、丙三地都不降雨的概率是0.1×0.2×0.25＝0.005， 故至少一个地方降雨的概率为1－0.005＝0.995. 答案 0.9956.连续掷一个质地均匀的骰子3次，各次互不影响，则恰好有一次出现1点的概率为________. 解析 掷一次骰子出现1点的概率为P ＝16，所以所求概率为P ＝C 13·16·⎝ ⎛⎭⎪⎫562＝2572.答案2572考点一 条件概率【例1】 (1)从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A ：“取到的2个数之和为偶数”，事件B ：“取到的2个数均为偶数”，则P (B |A )＝( ) A.18B.14C.25D.12(2)(2014·全国Ⅱ卷)某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是( ) A.0.8B.0.75C.0.6D.0.45解析 (1)法一 事件A 包括的基本事件：(1，3)，(1，5)，(3，5)，(2，4)共4个. 事件AB 发生的结果只有(2，4)一种情形，即n (AB )＝1. 故由古典概型概率P (B |A )＝n （AB ）n （A ）＝14.法二 P (A )＝C 23＋C 22C 25＝410，P (AB )＝C 22C 25＝110.由条件概率计算公式，得P (B |A )＝P （AB ）P （A ）＝110410＝14.(2)记事件A 表示“一天的空气质量为优良”，事件B 表示“随后一天的空气质量为优良”，P (A )＝0.75，P (AB )＝0.6.由条件概率，得P (B |A )＝P （AB ）P （A ）＝0.60.75＝0.8.答案 (1)B (2)A规律方法 (1)利用定义，分别求P (A )和P (AB )，得P (B |A )＝P （AB ）P （A ），这是求条件概率的通法.(2)借助古典概型概率公式，先求事件A 包含的基本事件数n (A )，再求事件A 与事件B 的交事件中包含的基本事件数n (AB )，得P (B |A )＝n （AB ）n （A ）.【训练1】 (2016·唐山二模)已知甲在上班途中要经过两个路口，在第一个路口遇到红灯的概率为0.5，两个路口连续遇到红灯的概率为0.4，则甲在第一个路口遇到红灯的条件下，第二个路口遇到红灯的概率为( ) A.0.6B.0.7C.0.8D.0.9解析 设“第一个路口遇到红灯”为事件A ，“第二个路口遇到红灯”为事件B ，则P (A )＝0.5，P (AB )＝0.4，则P (B |A )＝P （AB ）P （A ）＝0.8.答案 C考点二 相互独立事件的概率【例2】 (2017·东阳调研)某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为23和35.现安排甲组研发新产品A ，乙组研发新产品B .设甲、乙两组的研发相互独立. (1)求至少有一种新产品研发成功的概率；(2)若新产品A 研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B 研发成功，预计企业可获利润100万元.求该企业可获利润的分布列.解 记E ＝{甲组研发新产品成功}，F ＝{乙组研发新产品成功}，由题设知P (E )＝23，P (E )＝13，P (F )＝35，P (F )＝25，且事件E 与F ，E 与F ，E 与F ，E 与F 都相互独立. (1)记H ＝{至少有一种新产品研发成功}，则H ＝E F ， 于是P (H )＝P (E )P (F )＝13×25＝215，故所求的概率为P (H )＝1－P (H )＝1－215＝1315.(2)设企业可获利润为X (万元)，则X 的可能取值为0，100，120，220，因为P (X ＝0)＝P (EF )＝13 ×25＝215，P (X ＝100)＝P (E F )＝13×35＝315＝15， P (X ＝120)＝P (E F )＝23×25＝415， P (X ＝220)＝P (E F )＝23×35＝615＝25.故所求的分布列为规律方法 (1)相互独立事件的积，然后利用相关公式进行计算. (2)求相互独立事件同时发生的概率的主要方法 ①利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解.②正面计算较繁(如求用“至少”表述的事件的概率)或难以入手时，可从其对立事件入手计算.【训练2】 为了迎接2017在德国波恩举行的联合国气候大会，某社区举办《“环保我参与”有奖问答比赛》活动.某场比赛中，甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关环保知识的问题，已知甲家庭回答对这道题的概率是34，甲、丙两个家庭都回答错的概率是112，乙、丙两个家庭都回答对的概率是14.若各家庭回答是否正确互不影响.(1)求乙、丙两个家庭各自回答对这道题的概率；(2)求甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答对这道题的概率.解 (1)记“甲答对这道题”、“乙答对这道题”、“丙答对这道题”分别为事件A ，B ，C ，则P (A )＝34，且有⎩⎪⎨⎪⎧P （A ）·P （C ）＝112，P （B ）·P （C ）＝14，即⎩⎪⎨⎪⎧[1－P （A ）]·[1－P （C ）]＝112，P （B ）·P （C ）＝14， 所以P (B )＝38，P (C )＝23.(2)有0个家庭回答对的概率为P 0＝P (A B C )＝P (A )·P (B )·P (C )＝14×58×13＝596，有1个家庭回答对的概率为P 1＝P (A B C ＋A B C ＋A B C )＝34×58×13＋14×38×13＋14×58×23＝724， 所以不少于2个家庭回答对这道题的概率为P ＝1－P 0－P 1＝1－596－724＝2132.考点三 独立重复试验与二项分布【例3】 (2015·湖南卷)某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖.(1)求顾客抽奖1次能获奖的概率；(2)若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X ，求X 的分布列. 解 (1)记事件A 1为“从甲箱中摸出的1个球是红球”，A 2为“从乙箱中摸出的1个球是红球”，B 为“顾客抽奖1次能获奖”，则B 表示“顾客抽奖1次没有获奖”.由题意A 1与A 2相互独立，则A 1与A 2相互独立，且B ＝A 1·A 2，因为P (A 1)＝410＝25，P (A 2)＝510＝12， 所以P (B )＝P (A 1·A 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－25·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＝310，故所求事件的概率P (B )＝1－P (B )＝1－310＝710.(2)设“顾客抽奖一次获得一等奖”为事件C ， 由P (C )＝P (A 1·A 2) ＝P (A 1)·P (A 2)＝15，顾客抽奖3次可视为3次独立重复试验，则X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，15， 于是P (X ＝0)＝C 03⎝ ⎛⎭⎪⎫150⎝ ⎛⎭⎪⎫453＝64125， P (X ＝1)＝C 13⎝ ⎛⎭⎪⎫151⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝48125， P (X ＝2)＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫152⎝ ⎛⎭⎪⎫451＝12125， P (X ＝3)＝C 33⎝ ⎛⎭⎪⎫153⎝ ⎛⎭⎪⎫450＝1125. 故X 的分布列为规律方法 是否满足公式P (X ＝k )＝C k n p k(1－p )n －k的三个条件：(1)在一次试验中某事件A 发生的概率是一个常数p ；(2)n 次试验不仅是在完全相同的情况下进行的重复试验，而且各次试验的结果是相互独立的；(3)该公式表示n 次试验中事件A 恰好发生了k 次的概率.【训练3】 一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分(即获得－200分).设每次击鼓出现音乐的概率为12，且各次击鼓出现音乐相互独立.(1)设每盘游戏获得的分数为X ，求X 的分布列； (2)玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率.解 (1)设“每盘游戏中击鼓三次后，出现音乐的次数为ξ”.依题意，ξ的取值可能为0，1，2，3，且ξ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，12，则P (ξ＝k )＝C k 3⎝ ⎛⎭⎪⎫123－k ⎝ ⎛⎭⎪⎫12k ＝C k 3·⎝ ⎛⎭⎪⎫123. 又每盘游戏得分X 的取值为10，20，100，－200.根据题意则P (X ＝10)＝P (ξ＝1)＝C 13⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝38，P (X ＝20)＝P (ξ＝2)＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝38，P (X ＝100)＝P (ξ＝3)＝C 33⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝18，P (X ＝－200)＝P (ξ＝0)＝C 03⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝18.所以X 的分布列为(2)设“第i i 则P (A 1)＝P (A 2)＝P (A 3)＝P (X ＝－200)＝18.所以，“三盘游戏中至少有一次出现音乐”的概率为 1－P (A 1A 2A 3)＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫183＝1－1512＝511512.因此，玩三盘游戏至少有一盘出现音乐的概率是511512.[思想方法]1.古典概型中，A 发生的条件下B 发生的条件概率公式为P (B |A )＝P （AB ）P （A ）＝n （AB ）n （A ），其中，在实际应用中P (B |A )＝n （AB ）n （A ）是一种重要的求条件概率的方法.2.相互独立事件与互斥事件的区别相互独立事件是指两个事件发生的概率互不影响，计算公式为P (AB )＝P (A )P (B ).互斥事件是指在同一试验中，两个事件不会同时发生，计算公式为P (A ∪B )＝P (A )＋P (B ).3.二项分布是概率论中最重要的几种分布之一，在实际应用和理论分析中都有重要的地位. (1)判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有二：其一是独立性，即一次试验中，事件发生与不发生二者必居其一；其二是重复性，即试验是独立重复地进行了n 次.(2)对于二项分布，如果在一次试验中某事件发生的概率是p ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率是P (X ＝k )＝C k n p k q n －k.其中k ＝0，1，…，n ，q ＝1－p .[易错防范]1.运用公式P (AB )＝P (A )P (B )时一定要注意公式成立的条件，只有当事件A ，B 相互独立时，公式才成立.2.独立重复试验中，每一次试验只有两种结果，即某事件要么发生，要么不发生，并且任何一次试验中某事件发生的概率相等.注意恰好与至多(少)的关系，灵活运用对立事件.3.注意二项分布与超几何分布的联系与区别.有放回抽取问题对应二项分布，不放回抽取问题对应超几何分布，当总体数量很大时，超几何分布可近似为二项分布来处理.。
概率分布及概率分布图
概率密度函数图
总结词
概率密度函数图是一种展示连续概率分布的图形，通过曲线的高低表示概率密度的大小。
详细描述
概率密度函数图是连续概率分布的图形表示，它通过曲线的高低表示概率密度的大小。在概率密度函数图中，曲 线下方的面积表示事件发生的概率。这种图形可以帮助我们了解连续随机变量的分布情况，并用于估计和预测未 来的事件。
02 离散概率分布
二项分布
01
02
03
定义
二项分布是描述在n次独 立重复的伯努利试验中成 功的次数的概率分布。
公式
$B(n, p) = C(n, k) p^k (1-p)^{n-k}$，其中C(n, k)是组合数，表示从n个 不同项中选取k个的方法 数。
应用场景
例如，抛硬币的结果（正 面或反面），或者给定数 量的独立事件中成功事件 的次数。
泊松分布
定义
泊松分布是描述在单位时间内（或单 位面积内）随机事件的次数，当这些 事件以小概率发生，并且这些事件之 间是独立的。
公式
应用场景
例如，放射性衰变或者网络中同时发 生的请求数。
$P(X=k) = frac{e^{lambda}lambda^k}{k!}$，其中 $lambda$是事件的平均发生率。
05 概率分布及概率分布图的 应用实例
在统计学中的应用
1 2 3
描述性统计
概率分布图可以用来描述数据的分布情况，如频 数分布图、直方图等，帮助我们了解数据的集中 趋势、离散程度等。
假设检验
在假设检验中，概率分布图可以用来表示样本数 据和理论分布之间的比较，帮助我们判断样本数 据是否符合预期的分布。
概率分布的种类
离散概率分布
描述离散随机变量的取值概率，如二项分布、泊 松分布等。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
[例] 假如对1000个大学生进行歌曲欣赏调查，发现 其中有500个学生喜欢民族歌曲，400个学生喜欢流行歌 曲，而这些学生中有100人属于既喜欢民族歌曲又喜欢流 行歌曲的，剩下来的学生两种歌曲都不喜欢。如果我们 随机地从该总体中抽取一个学生，并设事件A为该学生喜 欢民族歌曲，事件B为该学生喜欢流行歌曲。 ①用数字证明P(A且B)=P(A)P(B/A)=P(B)P(A/B) ②得到一个喜欢两种风格歌曲之一的学生的概率是 多少？ ③随机地选取一个由3个学生组成的样本，要求这三 个学生全都有相同的欣赏方式，得到这种样本的概率是 多少？
4. 经验概率
求算概率的另一途径是运用频率法。设想有一个与某试验相联 系的事件A，把这个试验一次又一次地做下去，每次都记录事件A 是否发生了。假如做了 n 次试验，而记录到事件A发生了 m 次 （即成功 m 次），则频数与试验次数的比值，称作次试验中事件A 发生的频率
显然，频率具有双重性质：随机性和规律性. 当试验或观察次数趋近于无穷时相应频率趋于稳定，这个极 限值就是用频率法所定义的概率，即
概率论的创始人是法国的帕斯卡(1623—1662)和费
尔马(1601—1665)，他们在以通信的方式讨论赌博的机率 问题时，发表了《骰子赌博理论》一书。棣莫弗(1667— 1754)发现了正态方程式。同一时期瑞士的伯努利(1654一 1705)提出了二项分布理论。1814年，法国的拉普拉斯 (1749—1827)发表了《概率分析论》，该书奠定了古典概 率理论的基础，并将概率理论应用于自然和社会的研 究。此后，法国的泊松(1781—1840)提出了泊松分布，德
[例] 掷一颗骰子，试列出它的基本事件和样本空间。
随 机 事 件
简单事件：仅含样本空间中 一个样本点的事件。 复合事件：含样本空间中一 个样本点以上的的事件。 不可能事件：从样本空间来看 ， 不含任何基本事件，记作Φ 。 必然事件：从样本空间来看 ， 该事件事件是由其全部基本事件 所组成，记作S 。
总和
1200
1200
600
3000
[例]假定数据变动如下，随机地从这个总体中抽取一个社区， 得 到一个中等的而且犯罪率低的社区的概率又是多少 属性 大 中 小 ? 总和 高犯罪率 低犯罪率 100 500 300 900 600 600 1000 2000
总和
600
1200
1200
3000
[例] 根据统计结果，男婴出生的概率是22/43， 女婴出生的概率是21/43，某单位有两名孕妇， 问两名孕妇都生男婴的概率是多少？都生女婴的 概率是多少？其中一男一女的概率是多少？ [例] 某居民楼共20户，其中核心家庭为2户，问访 问两户都是核心家庭的概率是多少？ 问访问第二户才是核心家庭的概率是多少？
所有N个元
N个元素中，若其中第一组中有r1个不能
素都不相同的 情况下，排列
区分的元素，第2组中有r2个不能区分的元 素，…，第k组中有rk个不能区分的元素，
方式数为
且各组彼此是可以区分的，则总的排列数为
[例] 从一幅洗得很好的扑克牌中做了3次抽取，假定使用回置法， 求至少得到1张A和一张K的概率是多少? [解]按照题意，要在不同样本空间中考虑三种复合事件：抽到1张 A和1张K，另l张非A非K，用符号(AKO)表示(其中“O”表示其他)； 抽到1张A和2张K，用符号(AKK)表示；抽到2张A和1张K，用符号 （AAK)表示。因为在不同样本空间中基本事件实现的概率不同， 必须对它们加以区别。 次序为AKO的样本点实现的概率是 次序为AKK的样本点实现的概率是 次序为AAK的样本点实现的概率是 再考虑每个复合事件各含有多少种可能的排列方式 (AKK)含有3！／2!＝3种排列方式 (AAK)含有3！／2!＝3种排列方式 （AKO)含有3！＝6种排列方式 所以，在三次抽取中，至少得到1张A和1张K的概率是
2. 事件之间的关系 （1）事件和（Or conjunction)——事件A与 事件B至少有一个事件发生所构成的事件C称为A 与B的事件和，记作 （2）事件积(As-well-as conjunction)——事 件A与事件B同时发生所构成的事件C称为A与B 的事件积，记作
（3）事件的包含与相等——事件A发生必然 导致事件B发生，则称为B包含A记作
在抽样方法中还经常涉及到回置抽样和不回置抽样。 如前所述，所谓回置抽样，就是抽取的单位登记后又被放 回总体中去，然后再进行下一次抽取。使用回置抽样法， 先后两次抽取是彼此独立的。因为每一次抽取后抽取到的 单位都得返还，总体保持不变，前一次的结果不可能影响 到后一次。所谓不回置抽样，就是不再把抽取到的单位退 还总体。这样先后两次抽取就不再独立了，必须使用条件 概率的概念。
在抽样方法中还经常涉及到回置抽样和不回置抽样。如前所 述，所谓回置抽样，就是抽取的单位登记后又被放回总体中去，然 后再进行下一次抽取。使用回置抽样法，先后两次抽取是彼此独立 的。因为每一次抽取后抽取到的单位都得返还，总体保持不变，前 一次的结果不可能影响到后一次。所谓不回置抽样，就是不再把抽 取到的单位退还总体。这样先后两次抽取就不再独立了，必须使用 条件概率的概念。
加法规则可推广到对两个以上的事件，若事 件A，B，C…K都互斥，那么有 P (A或B或C…或K)＝P(A)+P(B)+P(C)… +P(K)
3.乘法规则
式中符号 和 代表条件概率。 应理 解为，“在B已经发生条件下A发生的概率”。条件概率的意思是， A发生的概率可能与B是否发生有关系。换言之，B已经发生时A发生 的概率可能有别于B没有发生时A发生的概率。
[例]用回置法从一幅普通扑克牌抽取两次，计算得 到两张A的概率。
例：用不回置法从一幅普通扑克牌抽取两次，计算得到 两张A的概率。
[例 ] 为了研究父代文化程度对子代文 化程度的影响，某大学统计出学生中父亲 具有大学文化程度的占30％，母亲具有大 学文化程度的占20％，而双方都具有文化 程度的占有10％，问从学生中任抽一名， 父代至少有一名具有大学文化程度的概率 是多少？
用回置法从一幅普通 扑克牌抽取两次，计算 得到两张A的概率。
用不回置法从一幅普 通扑克牌抽取两次，计算 得到两张A的概率。
4. 排列和样本点的计数 要正确解决概率问题，往往光考虑乘法规则还不够， 还要同时考虑使用加法规则。一般最简单的做法是：首先 确定一种符合要求的排列方式并计算它们发生的概率，然 后再考虑还有没有其他同样符合要求的排列方式。如果存 在着其他实现方式，并且都具有相同的概率，就可以简单 地把排列方式数与以某一给定的排列方式计算的概率相乘。 注意，后一步相当于使用了加法规则。
国的高斯(1777—1855)提出了最小平方法。
1. 随机现象和随机事件
概率是与随机现象相联系的一个概念。所谓随 机现象，是指事先不能精确预言其结果的现象，如即 将出生的婴儿是男还是女？一枚硬币落地后其正面是 朝上还是朝下?等等。所有这些现象都有一个共同的 特点，那就是在给定的条件下，观察所得的结果不止 一个。随机现象具有非确定性，但内中也有一定的规 律性。例如，事先我们虽不能准确预言一个婴儿出生 后的性别，但大量观察，我们会发现妇女生男生女的 可能性几乎一样大，都是0.5，这就是概率。 随机现象具有一定 条件呈现多种可能结 果的特性。 人们把随机现象的结 果以及这些结果的集合体 称作随机事件。
频率稳定到概率这个事实，给了“机会大小”即概率一个浅显 而 说得通的解释，这在统计学上具有很重要的意义。坚持这种观点的 统计学派也就被称为频率学派。
比如： 法国统计学家蒲丰（Buffon）把铜板抛了4040次， 正面的次数是2048，比例是0.5069 。 1900年，英国统计学家皮尔逊把硬币抛了24000次， 正面的次数是12012，比例是0.5005 南非数学家柯屈瑞在监狱时，把硬币抛了10000次， 正面的次数是5067，比例是0.5067 。 再如： 保险公司会利用概率进行人寿保险经营，比如研 究表明20－24岁的男性中明年死亡的概率是 0.0015，同龄的女性是0.0005，保险公司对男性的 保费就多收一些。
第二节
1.非负性
概率的数学性质
特别对必然事件 和不可能事件有
2.加法规则
如果事件A和事件B互斥，那么 如果A和B是任何事件(不一定互斥)， 加法规则更普通地表示为如下形式
[例]从一副普通扑克牌中抽一张牌，求抽到一张红 桃或者方块的概率。
[例] 在一副52张扑克牌中，求单独抽取一次抽到一 张红桃或爱司的概率。
之两 间随 的机 关事 系件
3. 先验概率
在统计学中，有两种常见的确定概率的方法：古 典法和频率法。 由普拉斯1814年提出。以想 象总体为对象，利用模型本身所 具有的对称性来事先求得概率， 故被称为先验概率 。 条件： （1）在一样本空间中，各样 本点出现的机会均等； （2）该样计独立的概念，对于灵活运用概率的乘法规则 很重要。现在用条件概率来加以表达，统计独立是指
若A和B在统计上相互独立(无关) ，这时乘法规则可以简化为
[例]假定有下列3000个社区的数据，如果随机地从这 个总体中抽取一个社区，得到一个中等的而且犯罪率 低的社区的概率是多少? 属性 高犯罪率 低犯罪率 大 600 600 中 300 900 小 100 500 总和 1000 2000
用古典 法求出 的概率
这样对于含有m个样本点的事件A，其出现 的概率为
m P ( A) n
用古典法求算概 率，在应用上有两个 缺点：①它只适用于 有限样本点的情况； ②它假设机会均等， 但这些条件实际上往 往不能得到满足。
[例] 掷两枚均匀的硬币， ①求 “两枚都朝上”的概率； ②求“一枚 朝上，一枚朝下”的概率。
极端的
随机事件
[例 ] 对掷一颗骰子的试验，我们研究如下 事件：①A为“点数是3”；②B为“出现奇数 点”； ③C为“出现点数不超过6”；④D为“点数是 7”。